Понятие производной для учащихся в классах с углубленным изучением математики

Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

§1. Задачи, приводящие к понятию производной.

1. Задача о вычислении скорости движущейся точки.

Пусть материальная точка движется прямолинейно. Положение точки определяется ее расстоянием J, отсчитываемым от некоторой начальной точки 0; это расстояние называется пройденным путем. Время t отсчитывается от некоторого начального момента. Движение считается заданным, если известно уравнение движения: J=f(t), из которого положение точки определяется для любого момента времени. Дадим t приращение Dt, ему соответствует увеличение пути J на DJ. Отношение  называется средней скоростью движущейся точки за промежуток времени  Dt   v_ср=, а истинная скорость точки в момент t равна пределу: v==.

2. задача о проведении касательной к кривой.

y                            M                                                    T                                                         M0                                              O                        L                         x

Пусть дана кривая L и на ней точка Мо. Сначала приведем определение касательной к кривой в т.М0. Возьмем на кривой еще точку М и проведем секущую М0М. Когда точка М будет перемещаться вдоль кривой, эта секущая будет вращаться вокруг точки М0.

Определение: Касательной к кривой L в точке М₀ называется предельное положение МТ секущей М₀М, когда точка М вдоль по кривой стремится к совпадению с М₀.

y                                                                                     M                                                                 Dy                                                  M0          N                                                 O         x        x+Dx                x

Применим это определение к параболе у = ах2 в любой ее точке М0(х, у). Т.к. касательная проходит через эту точку, то для уточнения ее положения надо знать еще ее угловой коэффициент tga в точке М0.Дадим абсциссе х приращение Dх, от точки М0 кривой перейдем к точке М с абсциссой х+Dх и ординатой у+Dу=а(х+Dх)2. Угловой коэффициент tgj секущей М0М определяется из прямоугольного треугольника М0МN. В нем катет М0N равен приращению абсциссы  Dх, а катет NM1– соответствующему приращению орди­наты

Dу=а(х+Dх)²-ах²=а(2хDх+Dх²), так что tgj = =2ах+аDх. Для получения углового коэффициента касательной нужно перейти здесь к пределу при Dх®0. Таким образом, получим tgj =(2ах+аDх)=2ах.

В случае любой кривой с уравнением у=f(х), угловой коэффициент касательной устанавливается аналогично: tgj = tgj =.

3. Определение производной.

В рассмотренных выше задачах по существу делалось одно и то же: приращение функции делилось на приращение независимой переменной, затем вычислялся предел их отношения. Таким путем мы приходим к основному понятию дифференциального исчисления – к понятию производной.

Пусть функция у=f(х) определена в промежутке Х, а точка х₀ÎХ, внутренняя точка этого промежутка. Дадим приращение Dх так, чтобы х₀+DхÎХ, при этом Dх может быть или положительное или отрицательное и приращенная точка х₀+Dх лежит правее х₀, если Dх>0; х₀+Dх лежит левее точки х₀ на числовой оси, когда Dх<0. Тогда значение у=f(х₀) функции заменится новым (приращенным) значением у+Dу=f(х₀+Dх), т.е. получим приращение Dу=Df(х₀)=f(х₀+Dх)-f(х₀).

Определение: Предел отношения приращения функции Dу к вызвавшему его приращение независимой переменной Dх, при стремлении Dх к 0, то есть= = называется производной функции у=f(х) по независимой переменной х при данном ее значении (или в данной точке) х=х₀.

Таким образом, производная в точке х₀, если она существует, есть число; если же производная функции f(х) существует в каждой точке промежутка Х, то она является функцией от х.

4. Геометрический и механический смысл производной.

Рассматривая задачу о проведении касательной к данной кривой, мы пришли к выводу, что угловой коэффициент касательной в заданной точке на кривой есть предел  . Но этот предел выше определили как производную функции f(х) в точке х₀. Отсюда следует геометрическая интерпретация производной: угловой коэффициент касательной tga есть производная f ^¢(х₀).

Задача о вычислении скорости движущейся точки приводит к механическому смыслу производной: скорость изменения функции при данном значении х.

5. Формула для приращения функции.

Пусть функция у=f(х) определена в промежутке Х, и пусть х₀ – внутренняя точка этого промежутка. Обозначим  Dx – произвольное (положительное или отрицательное) приращение х так чтобы х₀+DхÎ Х. Тогда соответствующее приращение функции будет Dу=Df(х₀)=f(х₀+Dх)-f(х₀).

Теорема 1: Если функция f(x) в точке х₀ имеет конченую производную у¢=f¢(х₀), то приращение функции может быть представлено в виде Df(х₀)=f¢(х₀)Dх+a×Dх, где a – величина, зависящая от Dх и стремящаяся к 0 при Dх®0 (то есть a – бесконечно малая, высшего порядка по сравнению с Dх: = 0).

Теорема 2: Если функция f(x) в точке х₀ имеет конечную производную, то в этой точке функция непрерывна.

§2. Правила вычисления производных.

Свойство 1. Если функция f(x) имеет производную в точке х, а с=const, то функция   j(х)=сf(х) также имеет производную в точке х, причем (cf(x))¢=c×f ¢(х).

Это свойство выражает следующее правило: постоянный множитель может быть вынесен за знак производной.

Доказательство: Пусть независимая переменная х получила приращение Dх, а функция j при этом получает приращение: Dj=cf(x+Dx)-cf(x)=c(f(x+Dx)-f(x)=cDf(x).

Тогда: j¢===с= с× f¢(х).

Свойство 2. Если функции f и g в точке х имеют производные f¢(x) и j¢(х), то их сумма  (разность) j(х)=f(x)±g(x) также имеет производную и при этом справедливо равенство: j¢(х)= f¢(x)± g¢(x).

Это правило справедливо для любого конечного числа слагаемых: [f₁(x)+f₂(x)+...+f_n(x)]¢=f₁¢(x)+...+f_n¢(x).

Свойство 3. При тех же предположениях относительно функций f и g существует производная произведения (fg)¢ и при этом имеет место равенство (fg)¢=f¢×g+f×g¢.

Свойство 4. Если f и g удовлетворяют тем же предположениям и, кроме того g(x)¹0, то функция имеет также производную, при этом  = .

         рассмотрим теорему о производной обратной функции ( необходимую для получения формул производных функций arcsin x, arccos x,  arctg x, arcctg x).

Теорема 3 (о производной обратной функции). Пусть функция f(x)

1) монотонна и непрерывна на промежутке Х;

2) во внутренней точке х₀ этого промежутка имеет конечную и отличную от нуля производную f ^¢(х₀).

Тогда для обратной функции j(у) в соответствующей точке у₀=f(х₀) также существует производная, равная j^¢(у₀)=.

 Выясним ее геометрический смысл. Мы знаем, что производная у^¢_х есть тангенс

y                                                                      y0                    M                                                           a                                             O   b             x0                       x

угла a,  образованного касательной к графику функции у=f(x) с осью х. Но обратная функция х=j(у) имеет тот же график, лишь независимая переменная для нее откладывается по оси Оу. Поэтому производная х¢у равна тангенсу угла b, образованного той же касательной с осью Оу. Таким образом, выведенная формула сводится к соотношению tg b = =, связывающему тангенсы двух углов a и b, сумма которых равна .

Таблица производных элементарных функций.

Пусть С - постоянная, f(x) и g(x) - функции, имеющие производные, тогда имеет место следующая таблица:

1. с¢ = 0, (x)'=1;	2. (хn)'= nxn-1;
3. ()¢ = ;	4.;
5. (ex)= ex ;	6. (ах)' =ах ln a, а>0, а¹1;
7. (ln x)¢=;	8. (logax)¢=;
9. (sin x)¢=cos x.;	10. (cos x)¢=- sin x;
11. (tg x)¢==sec2x;	12. (сtg x)¢==cosec2x;
13. (arcsin x)' , хÎ(-1, 1);	14. (arccos x)¢=-, хÎ(-1, 1);
15. (arctg x)' у¢х;	16. (arсctg x)'=-;
17.;	18. ;
19.;	20. .

Рассмотрим несколько примеров вывода формул для вычисления производной из таблицы.

2. у = хⁿ – это степенная функция, n – натуральное число: у¢ = nx^n-1.

Доказательство: Dу=(х+Dх)ⁿ-xⁿ=nx^n-1Dx+x^n-2Dx²+... и

nx^n-1+x^n-2Dx+ ....

Так как при Dх®0 все слагаемые, кроме первого, стремятся к нулю, то

у¢= = nx^n-1.

Замечание. Аналогичная формула имеет место для степенной функции    у=х^a, где

 aÎ R,a¹0, т.е. у¢=aх^a-1. Например, если у=, то у¢=; если у=, то у¢ =.

6. у=а^х. Это показательная функция, здесь а>0, а¹1, y ′ =а^х ln a.

Докажем формулу

у¢ =,

где у= а^Dx -1, Dх =log_a(y+1)=. В частности (е^х)^¢ = е^х.

8. у=log_ax, у¢=

Доказательство:

у¢=.

В частности (ln x)^¢=.

9. у=sin x,  y¢=cos x.

Доказательство:(sin x)¢= =cosx.

Установим весьма важное при практическом нахождении производных правило, позволяющее вычислить производную сложной функции, если известны производные составляющих функций.

Теорема 4 (производная сложной функции). Пусть

I. функция u=j(x) имеет в некоторой точке х₀ производную u^¢_x=j¢(x₀);

II. функция у=f(u) имеет в соответствующей точке u₀=j(x₀) производную у^¢_u=f ^¢(u).

Тогда сложная функция у=f(j(x)) в указанной точке х₀ также имеет производную, равную произведению производных функций f(u) и j(х):

(f(j(x)))^¢=f ^¢_u(j(x))×j^¢(x₀) или короче у^¢_х=у^¢_u× u^¢_x.

Если рассматриваемое значение х является одним из концов того промежутка Х, в котором определена функция у=f(х), то при вычислении предела  приходится ограничиваться приближением Dх к нулю лишь справа (когда речь идет о левом конце промежутка) или слева (для правого конца). В этом случае говорят об односторонней производной справа или слева. В соответствующих точках график функции имеет одностороннюю касательную.

y                                                                              T1                M          T2                      O                                   x0                     x

Может случиться, что и для внутренней точки х существуют лишь односторонние пределы отношения(при Dх®0+ или  Dх®0–), не равные между собой; их также называют односторонними производными. Для графика функции в соответствующей точке существуют лишь односторонние касательные, составляющие угол; точка является угловой.

Пример. Расcмотрим функцию у=½sin x½. Эта функция определена на всем множестве действительных числе R и всюду непрерывна. Возьмем точку х=0. Будем иметь Dу=f(0+Dx)-f(0)=½sin Dx½-½sin 0½=½sin Dx½. Если Dх>0, тоDу=½sin Dx½=sin Dx

y                                                                       O                                  x

и. Если Dх<0: Dу=½sin Dx½-½sin 0½=½sin Dx½=-sinDx и =. Начало координат является угловой точкой для графика данной функции.

Левая касательная у = -х и правая касательная в этой точке у = х.

§3. Дифференцируемые функции и дифференциал.

Касательная и нормаль к кривой.

Рассмотрим функцию у=f(x), определенную. В некотором промежутке Х и непрерывную во внутренней точке этого промежутка х₀. Возьмем приращение Dх так, чтобы х₀+DхÎХ. При этом и функция получает приращение Dу=Df(х₀)=f(x₀+ +Dx)-f(x₀).

Определение 1. Функция у=f(x) называется дифференцируемой в точке х₀ÎХ, если ее приращение можно представить в виде Dу=А×Dх+aDх, где А=const,  а a – бесконечно малая высшего порядка относительно Dх, то есть =0.

Определение 2. Линейная относительно Dх, главная часть приращения дифференцируемой функции называется дифференциалом функции (обозначается символом dy или df(x₀)). Итак, df(x₀)=А×Dх.

Теорема. Для того чтобы функция у=f(x) в точке х₀ была дифференцируема, необходимо и достаточно чтобы в этой точке существовала конечная производная у^¢=f ^¢(x₀). При этом  А=f ^¢(x₀).

Итак, дифференциал функции f(x) в точке х₀ вычисляется по формуле dy=f ^¢(x₀)Dх. Эту формулу  преобразуем еще раз, установив, что dx=Dх. Рассмотрим f(x)=x, тогда по формуле dy= f ^¢(x)Dx находим dx=(х)'Dх=1×Dх=Dх. Таким образом, окончательно получим df(х)=f ^¢(x)dx. Последнее равенство – формула для вычисления дифференциала функции f(x).

Пример. f(x) = х sin x. Найти дифференциал заданной функции.

Решение: Так как f(x) представляет собой произведение двух дифференцируемых функций j(х)=х и g(x)=sin x в любой точке х, то находим дифференциал, пользуясь выше доказанной формулой: df(x)=(x sin x)^¢dx=(sin x+xcos x)dx.

y                                   M                                                                         N                                                     M0      K                               O                                  x0   x0+Dx               x

Пусть функция у=f(х) дифференцируема в точке х0, тогда существует дифференциал     df(x)=f ¢(x0)dx. Значению аргумента х0 и функции f(x0) соответст­вует точка М0 на кривой. Проведем в этой точке касательную к кривой  М0Т, ее угловой коэффициент tg a равен производной f ¢(x0). Если абсциссе х0 дать приращение Dх, то ордината кривой у0=f(x0) получит приращение Dу=МК. В то же время ордината

касательной получит приращение MN. Вычисляя NK как катет прямоугольного треугольника M₀NK, найдем NK=M₀K×tga=f ^¢(x₀)Dx=dy. Итак, в то время, как Dу есть приращение ординаты кривой, dy является соответствующим приращением ординаты касательной.

Касательная и нормаль к кривой.

Определение касательной к кривой в заданной точке х₀ было дано при рассмотрении задачи о проведении касательной. Из курса геометрии известно, что уравнение прямой, проходящей через заданную точку (х₀, у₀) с угловым коэффициентом k, имеет следующий вид: у-у₀=k(х-х₀). Так как угловой коэффициент касательной k=f ¢(х₀), то уравнение касательной у=f(х₀)+f ¢(х₀)(х-х₀). Кроме касательной в точке М₀ рассматривают еще

y                                                                           N                                                           y0                                     M0                                                      T       O                      x0                                     x

одну прямую, называемую нормалью: это прямая, проходящая через точку М0(х0, у0) и перпендикулярная касательной. Из определения нормали следует, что угловой коэффициент нормали  k1 связан с угловым коэффициентом касательной соотношением k1×k=-1, откуда находим k1=- и поэтому уравнение нормали

имеет вид: (у-у₀)=-(х-х₀) или у=f(х₀)-(х-х₀).

Пример. Составить уравнения касательной и нормали к данной линии        у= в точке с абсциссой х=2а.

Решение: Найдем у¢=- и вычислим у¢(2а)=,

 у₀=. Таким образом: уравнение касательной у=а- или

у=-, уравнение нормали: у=а+2(х-2а)=2х-3а.

§4. Параметрически заданные функции и их производные.

Определение 1. Будем говорить, что функция задана параметрически уравнениями , где a£t£b, если функция j строго монотонна и j и y – непрерывны на отрезке [a, b] (где t – параметр).

Определение 2. Параметрические уравнения  определяют гладкую кривую на плоскости, если функции j и y имеют в каждой точке отрезка [a, b] непрерывные производные, которые одновременно ни в одной точке [a, b] не обращаются в нуль, т.е. j^{¢ 2}(t)+y^{¢ 2}(t)>0.

Рассмотрим пример параметрически заданной кривой (то есть функции). Представим себе, что по прямой Ox слева направо катится без скольжения круг радиуса a с центром в А. Кривая, описываемая при этом любой точкой окружности, , называется циклоидой. Проследим, например, путь точки О за время одного оборота круга. Рассмотрим катящийся круг в новом положении. Точкой касания служит уже другая точка, таким образом по прямой точка касания переместилась на расстояние ON. В то же время точка О переместилась в положение М, пройдя по окружности круга путь NM. Так как качение происходит без скольжения, то эти пути равны: =ON. Если выбрать теперь в качестве параметра, определяющего положение точки, угол t=ÐNDM, на который успеет повернуться радиус, имевший в начале качения вертикальное положение АО, то координаты х и у точки М выразятся следующим образом: х=OF=ON-FN=-MG=at-asin t,

                                                                 y=FM=NG=ND-GD=a-acos t.

y                                                                                                                                   H                                 A     M             D                                       G                         a                            O       F         N                                        x

Итак, параметрические уравнения кривой имеют вид: , 0£t£2p. При изменении  t от -¥ до +¥ получится кривая, состоящая из бесконечного множества таких ветвей, какая изображена на чертеже. Эта кривая называется циклоидой.

Так как производные х^¢_t=a(1-cos t), y^¢_t=asin t одновременно обращаются в 0 при t=2kp (k=0, ±1, ±2, ...), то этим значениям соответствуют особые точки кривой.

Теперь выведем формулу для вычисления производной функции, заданной параметрически.

Пусть заданы , эти функции имеют производные и j(t) имеет обратную t=j ^-1(x), которая также дифференцируема. Тогда функция у может быть представлена как сложная функция от х: у=y(j ^-1(x))=f(x), которая тоже имеет производную

у^¢_х = .

Вычислим производную циклоиды:

f ^¢(x)=.

§5. Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема 1 (Ферма). Пусть функция f(x) определена в некотором промежутке Х и во внутренней точке с этого промежутка принимает наибольшее значение. Если существует конечная производная f ^¢(c) в этой точке, то f ^¢(c)=0.

Замечание 1. Теорема Ферма утверждает, что во внутренней точке с, в которой существует производная и в которой функция принимает наибольшее значение, касательная к графику функции параллельна оси Ох.

Замечание 2. В теореме используется тот факт, что наибольшее значение функции достигается во внутренней точке.

 Аналогично доказывается другое утверждение теоремы Ферма: Если функция f(x) определена в некотором промежутке Х и во внутренней точке с этого промежутка принимает наименьшее значение, в которой, кроме того, существует производная, то f ^¢(c)=0.

Теорема 2 (Ролля). Пусть функция f(x):

1)определена и непрерывна на отрезке [а, b];

2)существует конечная производная f ^¢(х), по крайней мере на интервале (а, b);

3) на концах отрезка функция принимает равные значения: f(а)=f(b).

Тогда между а и b найдется такая точка с, (а< с< b), что f ^¢(c)=0.

Пример 1. Пусть f(x)= 

O                                       1                    x

Для этой функции условие (1) теоремы Ролля выполнено, она непрерывна на [0, 1]. Условие (3) также выполнено, т.к. f(0)=f(1)=0. Нарушено только условие (2).Здесь                f ¢ ()=1, а f ¢()=-1 и в точке х= производная f ¢(х) не существует. И в этом случае теорема Ролля не применима:

не нашлось внутри интервала (0, 1) ни одной точки, в которой бы производная f ^¢(х) равнялась нулю.

y                                                                        1          M                                                            O        1                                                    x

Пример 2. Пусть f(x)=x2. Для функции f(x)=x2  на [0,1] выполнены первое и второе условия теоремы Ролля, она непрерывна на отрезке [0, 1] (1); имеет производную у¢=2х в каждой точке (0,1) (2), но f(0)=0, f(1)=1, то е не выполняетcя условие (3). Здесь также нарушено только одно условие из трех и теорема не применима.

Следствие (из теоремы Роля): Между двумя корнями дифференцируемой функции лежит по крайней мере один корень производной.

Теорема 3 (Лагранжа). Пусть:

1) f(x) определена и непрерывна на отрезке [а, b];

2) существует конечная производная f ^¢(x), по крайней мере в интервале (а,b). Тогда внутри интервала (а,b) найдется такая точка с: (а<с<b), что для нее выполняется равенство .

Замечание. Доказанную теорему называют также теоремой о среднем (в дифференциальном исчислении).

y                                                                     yb                        M               B                        ya            A                            C                        O               a        c              b                      x

Обращаясь к геометрическому смыслу теоремы Лагранжа, заметим, что отношение = есть угловой коэффициент секущей АВ, а f ¢(c) есть угловой коэффициент касательной к кривой у=f(x) в точке с абсциссой х=с. Таким образом, утверждение теоремы Лагранжа равносильно следующему: на дуге АВ всегда найдется по крайней мере одна точка М, в которой касательная параллельна хорде АВ.

формула  = f ¢(c) или f(b)-f(а)=f ¢(c)(b-а) называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

Формулу конечных приращений употребляют чаще в другой форме записи, а именно: применим формулу Лагранжа к отрезку [х₀, х₀+Dх] при Dх>0 или к отрезку [х₀+Dх, х₀] при Dх<0. Число с, заключенное в этом случае между х₀ и х₀+Dх можно представить так: с=х₀+qDх, где 0<q<1. Тогда формула Лагранжа примет следующий вид:                                  или

Df(x₀)=f(x₀+Dx)- f(x₀)= f ^¢(x₀+qDх)×Dx, (0<q<1).

Теорема 4 (Коши). Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [а, b] и существуют конечные производные f ^¢(x) и g^¢(x) по крайней мере в интервале (а, b), причем g^¢(x)¹0 всюду в интервале (а, b). Тогда между а и b найдется такая точка с: а<с<b, что .

Замечание. Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши. Это видно из того, что если в теореме Коши положить g(x)=x.

Теорему Коши называют обобщенной теоремой о среднем значении (в дифференциальном исчислении).

Геометрическая иллюстрация теоремы Коши – та же, что и для теоремы Лагранжа. Чтобы это увидеть, перейдем к другим обозначениям: х заменим на t, а функции обозначим j(t) и y(t). Если t изменяется в промежутке [a, b], то формула Коши напишется так: =, где a<t<b. Рассмотрим теперь кривую, заданную параметрическими уравнениями ; (a£t£b).

Тогда левая часть формулы Коши выражает угловой коэффициент хорды, соединяющей концы души этой кривой, а правая – угловой коэффициент касательной в некоторой внутренней точке дуги, соответствующей t=t.

§6. Исследование функции с применением производной

Общая схема исследования функций включает в себя такие элементы, как нахождение промежутков монотонности, точек экстремума, участков выпуклости т.д. Применение производной позволяет значительно упростить эти исследования.

         Теорема 1.  Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.

П р и м е р 1. Функция  y = | x | ( рис.3 )  всюду непрерывна, но она не имеет производной при  x = 0 , так как в этой точке не существует касательной к графику этой функции.

Достаточные признаки монотонности функции.

Теорема 2.  Если  f ’(x) > 0  в каждой точке интервала (a, b), то функция  f (x) возрастает на этом интервале.

Теорема 3.  Если  f ’(x) < 0  в каждой точке интервала (a, b) , то функция  f (x) убывает на этом интервале.

         Теорема 4 (Дарбу). Точки, в которых производная функции равна 0  или не существует, делят область определения функции на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак.

Используя эти интервалы, можно найти интервалы монотонности функций, что очень важно при их исследовании.

           
 

Следовательно, функция возрастает на интервалах ( - , 0 ) и ( 1, + ) и убывает на интервале ( 0, 1 ). Точка  x = 0 не входит в область определения функции, но по мере приближения  x  к  0 слагаемое  x ^{- 2}  неограниченно возрастает, поэтому функция также неограниченно возрастает. В точке  x = 1 значение функции равно 3. В соответствии с этим анализом мы можем построить график функции (рис.4б ).

Критические точки.

Определение 1. Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.

Эти точки очень важны при анализе функции и построении её графика, потому что только в этих точках функция может иметь экстремум ( минимум или максимум рис.5а,б).

В точках x₁ , x₂ ( рис.5a ) и x₃ ( рис.5b ) производная равна 0; в точках x₁ , x₂ ( рис.5б ) производная не существует. Но все они точки экстремума.

Теорема 5. (Необходимое условие экстремума). Если x₀ - точка экстремума функции f(x) и производная f’ существует в этой точке, то f’(x₀)=0.

Если производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция имеет экстремум в этой точке. Например, производная функции  f ( x ) = x ³ равна 0 при   x = 0, но эта функция не имеет экстремум в этой точке ( рис.6 ).

С другой стороны, функция  y = | x | , представленная на рис.3, имеет минимум в точке     x = 0 , но в этой точке производной не существует.

Достаточные условия экстремума.

Теорема 6. Если производная при переходе через точку  x₀  меняет свой знак с «плюса» на «минус», то  x₀  - точка максимума.

Теорема 7. Если производная при переходе через точку  x₀  меняет свой знак с «минуса» на «плюс», то  x₀  - точка минимума.

План исследования функции.

Для построения графика функции нужно:

    1)  найти область определения и область значений функции,

    2)  установить, является ли функция чётной или нечётной,

    3)  определить, является ли функция периодической или нет,

    4)  найти нули функции и её значения при  x = 0,

    5)  найти интервалы знакопостоянства,

    6)  найти интервалы монотонности,

    7)  найти точки экстремума и значения функции в этих точках,

    8)  проанализировать поведение функции вблизи  “особых” точек

         и при больших значениях модуля  x .

П р и м е р . Исследуйте функцию  f ( x ) = x ³ + 2x ² - x - 2 и постройте график.

Решение:      Исследуем функцию по вышеприведенной схеме.

1)  область определения x R (x – любое действительное число);

область значений  y R, так как  f (x) – многочлен нечётной степени;

                       2)  функция  f (x) не является ни чётной, ни нечётной

                       3)   f(x) – непериодическая функция;

                       4)  график функции пересекается с осью Y  в точке ( 0, – 2 ),

                             так как  f (0) = - 2 ;  чтобы найти нули функции нужно 

                             решить уравнение:  x ³ + 2x ² - x - 2  = 0, один из корней

                             которого ( x = 1 ) очевиден. Другие корни находятся

                             ( если они есть!) из решения квадратного уравнения:

                             x ² + 3x + 2 = 0, которое получено делением многочлена

                             x ³ + 2x ² - x - 2  на двучлен ( x – 1 ). Легко проверить,

                             что два других корня: x₂ = -2 и  x₃  = -1. Таким образом,

                             нулями функции являются:  -2, -1 и 1.

                       5)  Это значит, что числовая ось делится этими корнями на

                             четыре интервала знакопостоянства, внутри которых

                             функция сохраняет свой знак :

                                    

                             Этот результат может быть получен разложением

                             многочлена на множители:

                                          x ³ + 2x ² - x - 2 = ( x + 2 ) ( x + 1 ( x – 1 )

                             и оценкой знака произведения  методом интервалов.

                        6)  Производная  f’ ( x ) = 3x² + 4x -1 не имеет точек, в которых

                             она не существует, поэтому её область определения R ( все

                             действительные числа ); нули  f’ (x) – это корни уравнения:    

                             3x² + 4x - 1 = 0 .

                               Полученные результаты сведены в таблицу: