Для всех учителей из 37 347 образовательных учреждений по всей стране

Скидка до 75% на все 778 курсов

Выбрать курс
Получите деньги за публикацию своих
разработок в библиотеке «Инфоурок»
Добавить авторскую разработку
и получить бесплатное свидетельство о размещении материала на сайте infourok.ru
Инфоурок Математика КонспектыПонятие производной для учащихся в классах с углубленным изучением математики

Понятие производной для учащихся в классах с углубленным изучением математики

библиотека
материалов

Дифференциальное исчисление функций одной переменной.


§1. Задачи, приводящие к понятию производной.

1. Задача о вычислении скорости движущейся точки.

Пусть материальная точка движется прямолинейно. Положение точки определяется ее расстоянием J, отсчитываемым от некоторой начальной точки 0; это расстояние называется пройденным путем. Время t отсчитывается от некоторого начального момента. Движение считается заданным, если известно уравнение движения: J=f(t), из которого положение точки определяется для любого момента времени. Дадим t приращение Dt, ему соответствует увеличение пути J на DJ. Отношение hello_html_m519d8b9a.gif называется средней скоростью движущейся точки за промежуток времени Dt vср=hello_html_m519d8b9a.gif, а истинная скорость точки в момент t равна пределу: v=hello_html_49293e9a.gif=hello_html_28ff206a.gif.


2hello_html_4bc6845e.gif. задача о проведении касательной к кривой.

hello_html_7f62220d.gifhello_html_m3ae844ab.gifhello_html_2a777b1e.gifhello_html_m3a96283d.gif hello_html_1e60547.gify M

T


M0

hello_html_2bd288b6.gifO L x

Пусть дана кривая L и на ней точка Мо. Сначала приведем определение касательной к кривой в т.М0. Возьмем на кривой еще точку М и проведем секущую М0М. Когда точка М будет перемещаться вдоль кривой, эта секущая будет вращаться вокруг точки М0.


Определение: Касательной к кривой L в точке М0 называется предельное положение МТ секущей М0М, когда точка М вдоль по кривой стремится к совпадению с М0.

hello_html_5cfb9775.gifhello_html_m592c4a0b.gifhello_html_4209d84.gifhello_html_46d42d8e.gifhello_html_2ea2087c.gifhello_html_3d6f8bb4.gifhello_html_591fd7f7.gifhello_html_2fdb6c81.gif y

M

Dy

M0 N


O x x+Dx x

Применим это определение к параболе у = ах2 в любой ее точке М0(х, у). Т.к. касательная проходит через эту точку, то для уточнения ее положения надо знать еще ее угловой коэффициент tga в точке М0.Дадим абсциссе х приращение Dх, от точки М0 кривой перейдем к точке М с абсциссой х+Dх и ординатой у+Dу=а(х+Dх)2. Угловой коэффициент tgj секущей М0М определяется из прямоугольного треугольника М0МN. В нем катет М0N равен приращению абсциссы Dх, а катет NM1– соответствующему приращению орди­наты

Dу=а(х+Dх)2-ах2(2хDх+Dх2), так что tgj = hello_html_m7b3f610d.gif=2ах+аDх. Для получения углового коэффициента касательной нужно перейти здесь к пределу при Dх®0. Таким образом, получим tgj =hello_html_m2bebcb72.gif(2ах+аDх)=2ах.

В случае любой кривой с уравнением у=f(х), угловой коэффициент касательной устанавливается аналогично: tgj =hello_html_m5529059c.giftgj =hello_html_m5529059c.gifhello_html_m726749c3.gif.


3. Определение производной.

В рассмотренных выше задачах по существу делалось одно и то же: приращение функции делилось на приращение независимой переменной, затем вычислялся предел их отношения. Таким путем мы приходим к основному понятию дифференциального исчисления – к понятию производной.

Пусть функция у=f(х) определена в промежутке Х, а точка х0ÎХ, внутренняя точка этого промежутка. Дадим приращение Dх так, чтобы х0+DхÎХ, при этом Dх может быть или положительное или отрицательное и приращенная точка х0+Dх лежит правее х0, если Dх>0; х0+Dх лежит левее точки х0 на числовой оси, когда Dх<0. Тогда значение у=f(х0) функции заменится новым (приращенным) значением у+Dу=f(х0+Dх), т.е. получим приращение Dу=Df(х0)=f(х0+Dх)-f(х0).

Определение: Предел отношения приращения функции Dу к вызвавшему его приращение независимой переменной Dх, при стремлении Dх к 0, то естьhello_html_m5529059c.gifhello_html_m726749c3.gif= =hello_html_m5529059c.gifhello_html_m3de74138.gifназывается производной функции у=f(х) по независимой переменной х при данном ее значении (или в данной точке) х=х0.

Таким образом, производная в точке х0, если она существует, есть число; если же производная функции f(х) существует в каждой точке промежутка Х, то она является функцией от х.


4. Геометрический и механический смысл производной.

Рассматривая задачу о проведении касательной к данной кривой, мы пришли к выводу, что угловой коэффициент касательной в заданной точке на кривой есть предел hello_html_m5529059c.gifhello_html_4cbbea24.gif. Но этот предел выше определили как производную функции f(х) в точке х0. Отсюда следует геометрическая интерпретация производной: угловой коэффициент касательной tga есть производная f ¢(х0).

Задача о вычислении скорости движущейся точки приводит к механическому смыслу производной: скорость изменения функции при данном значении х.


5. Формула для приращения функции.

Пусть функция у=f(х) определена в промежутке Х, и пусть х0 – внутренняя точка этого промежутка. Обозначим Dx – произвольное (положительное или отрицательное) приращение х так чтобы х0+DхÎ Х. Тогда соответствующее приращение функции будет Dу=Df(х0)=f(х0+Dх)-f(х0).

Теорема 1: Если функция f(x) в точке х0 имеет конченую производную у¢=f¢(х0), то приращение функции может быть представлено в виде Df(х0)=f¢(х0)Dх+Dх, где aвеличина, зависящая от Dх и стремящаяся к 0 при Dх®0 (то есть aбесконечно малая, высшего порядка по сравнению с Dх:hello_html_m5529059c.gifhello_html_6c09b0e9.gif= 0).

Теорема 2: Если функция f(x) в точке х0 имеет конечную производную, то в этой точке функция непрерывна.


§2. Правила вычисления производных.

Свойство 1. Если функция f(x) имеет производную в точке х, а с=const, то функция j(х)f(х) также имеет производную в точке х, причем (cf(x))¢=c×f ¢(х).

Это свойство выражает следующее правило: постоянный множитель может быть вынесен за знак производной.

Доказательство: Пусть независимая переменная х получила приращение Dх, а функция j при этом получает приращение: Dj=cf(x+Dx)-cf(x)=c(f(x+Dx)-f(x)=cDf(x).

Тогда: =hello_html_5fc71862.gifhello_html_476e823f.gif=hello_html_5fc71862.gifhello_html_m36bd04a7.gifhello_html_5fc71862.gifhello_html_1812b643.gif= с× f¢(х).

Свойство 2. Если функции f и g в точке х имеют производные f¢(x) и (х), то их сумма (разность) j(х)=f(x)±g(x) также имеет производную и при этом справедливо равенство: (х)= f¢(x)± g¢(x).

Это правило справедливо для любого конечного числа слагаемых: [f1(x)+f2(x)+...+fn(x)]¢=f1¢(x)+...+fn¢(x).

Свойство 3. При тех же предположениях относительно функций f и g существует производная произведения (fg)¢ и при этом имеет место равенство (fg)¢=f¢×g+f×g¢.

Свойство 4. Если f и g удовлетворяют тем же предположениям и, кроме того g(x)¹0, то функция hello_html_m1986c7cf.gifимеет также производную, при этом hello_html_m20792111.gif = hello_html_m43d2450e.gif.

рассмотрим теорему о производной обратной функции ( необходимую для получения формул производных функций arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x).

Теорема 3 (о производной обратной функции). Пусть функция f(x)

1) монотонна и непрерывна на промежутке Х;

2) во внутренней точке х0 этого промежутка имеет конечную и отличную от нуля производную f (х0).

Тогда для обратной функции (у) в соответствующей точке у0=f(х0) также существует производная, равная (у0)=hello_html_m2ed09df2.gif.

Выясним ее геометрический смысл. Мы знаем, что производная у¢х есть тангенс

hello_html_m313b5d05.gifhello_html_58a65b4.gifhello_html_m7c1a13e9.gifhello_html_m31b0cb5d.gifhello_html_m13f5c56.gifhello_html_4694f905.gifhello_html_7b9740d1.gifhello_html_1ad3dd72.gifhello_html_me741cc3.gif y


y0 M

a

O b x0 x

угла a, образованного касательной к графику функции у=f(x) с осью х. Но обратная функция х=j(у) имеет тот же график, лишь независимая переменная для нее откладывается по оси Оу. Поэтому производная х¢у равна тангенсу угла b, образованного той же касательной с осью Оу. Таким образом, выведенная формула сводится к соотношению tg b = =hello_html_bf6c86d.gif, связывающему тангенсы двух углов a и b, сумма которых равна hello_html_7c29f14e.gif.

Таблица производных элементарных функций.

Пусть С - постоянная, f(x) и g(x) - функции, имеющие производные, тогда имеет место следующая таблица:

Рассмотрим несколько примеров вывода формул для вычисления производной из таблицы.

2. у = хn – это степенная функция, n – натуральное число: у¢ = nxn-1.

Доказательство: Dу=(х+Dх)n-xn=nxn-1Dx+hello_html_68b5c273.gifxn-2Dx2+... и

hello_html_89b6462.gifnxn-1+hello_html_68b5c273.gifxn-2Dx+ ....

Так как при Dх®0 все слагаемые, кроме первого, стремятся к нулю, то

у¢=hello_html_677e0792.gif = nxn-1.

Замечание. Аналогичная формула имеет место для степенной функции у=хa, где

aÎ R,a¹0, т.е. у¢=aхa-1. Например, если у=hello_html_e13f1cd.gif, то у¢=hello_html_mcaec6ab.gif; если у=hello_html_c48f383.gif, то у¢ =hello_html_m18fae0ad.gif.

6. у=ах. Это показательная функция, здесь а>0, а¹1, y =ах ln a.

Докажем формулу

у¢ =hello_html_63ffd26c.gif,

где у= аDx -1, Dх =loga(y+1)=hello_html_m28e424e3.gif. В частности х)¢ = ех.

8. у=logax, у¢=hello_html_72488e9f.gif


Доказательство:

у¢=hello_html_m632bb4d7.gif.

В частности (ln x)¢=hello_html_m1434c365.gif.

9. у=sin x, y¢=cos x.

Доказательство:(sin x)¢=hello_html_m4940c294.gif hello_html_4b176f0f.gifhello_html_m4940c294.gifhello_html_6bdf2b73.gif=cosx.

Установим весьма важное при практическом нахождении производных правило, позволяющее вычислить производную сложной функции, если известны производные составляющих функций.

Теорема 4 (производная сложной функции). Пусть

I. функция u=j(x) имеет в некоторой точке х0 производную u¢x=j¢(x0);

II. функция у=f(u) имеет в соответствующей точке u0=j(x0) производную у¢u=f ¢(u).

Тогда сложная функция у=f(j(x)) в указанной точке х0 также имеет производную, равную произведению производных функций f(u) и j(х):

(f(j(x)))¢=f ¢u(j(x))×j¢(x0) или короче у¢х=у¢u× u¢x.

Если рассматриваемое значение х является одним из концов того промежутка Х, в котором определена функция у=f(х), то при вычислении предела приходится ограничиваться приближением Dх к нулю лишь справа (когда речь идет о левом конце промежутка) или слева (для правого конца). В этом случае говорят об односторонней производной справа или слева. В соответствующих точках график функции имеет одностороннюю касательную.

hello_html_632e5410.gifhello_html_1bfdfd18.gifhello_html_1396224c.gifhello_html_4c4272a5.gifhello_html_6073158b.gifhello_html_m7857e875.gif hello_html_1a381a5e.gify

T1 M T2

O x0 x

Может случиться, что и для внутренней точки х существуют лишь односторонние пределы отношенияhello_html_m5ae06d66.gif(при Dх®0+ или Dх®0), не равные между собой; их также называют односторонними производными. Для графика функции в соответствующей точке существуют лишь односторонние касательные, составляющие угол; точка является угловой.

Пример. Расcмотрим функцию у=½sin x½. Эта функция определена на всем множестве действительных числе R и всюду непрерывна. Возьмем точку х=0. Будем иметь Dу=f(0+Dx)-f(0)=½sin Dx½-½sin 0½=½sin Dx½. Если Dх>0, тоDу=½sin Dx½=sin Dx

hello_html_m50e6dd01.gifhello_html_m3c934e23.gifhello_html_m3fe95dc6.gifhello_html_4b937008.gifhello_html_75878720.gifhello_html_75878720.gif y


hello_html_5cb4bba2.gifO hello_html_47b18b1c.gifx

иhello_html_165ecbe8.gifhello_html_60d80cfa.gif. Если Dх<0:

Dу=½sin Dx½-½sin 0½=½sin Dx½=-sinDx и hello_html_165ecbe8.gifhello_html_m5ae06d66.gif=hello_html_165ecbe8.gifhello_html_5779bbb1.gif. Начало координат является угловой точкой для графика данной функции.

Левая касательная у = -х и правая касательная в этой точке у = х.


§3. Дифференцируемые функции и дифференциал.

Касательная и нормаль к кривой.

Рассмотрим функцию у=f(x), определенную. В некотором промежутке Х и непрерывную во внутренней точке этого промежутка х0. Возьмем приращение Dх так, чтобы х0+DхÎХ. При этом и функция получает приращение Dу=Df(х0)=f(x0+ +Dx)-f(x0).

Определение 1. Функция у=f(x) называется дифференцируемой в точке х0ÎХ, если ее приращение можно представить в виде Dу=А×Dх+aDх, где А=const, а a – бесконечно малая высшего порядка относительно Dх, то есть hello_html_m5529059c.gifhello_html_m26f1859c.gif=0.

Определение 2. Линейная относительно Dх, главная часть приращения дифференцируемой функции называется дифференциалом функции (обозначается символом dy или df(x0)). Итак, df(x0)=А×Dх.

Теорема. Для того чтобы функция у=f(x) в точке х0 была дифференцируема, необходимо и достаточно чтобы в этой точке существовала конечная производная у¢=f ¢(x0). При этом А=f ¢(x0).

Итак, дифференциал функции f(x) в точке х0 вычисляется по формуле dy=f ¢(x0)Dх. Эту формулу преобразуем еще раз, установив, что dx=Dх. Рассмотрим f(x)=x, тогда по формуле dy= f ¢(x)Dx находим dx=(х)'Dх=1×Dх=Dх. Таким образом, окончательно получим df(х)=f ¢(x)dx. Последнее равенство – формула для вычисления дифференциала функции f(x).

Пример. f(x) = х sin x. Найти дифференциал заданной функции.

Решение: Так как f(x) представляет собой произведение двух дифференцируемых функций j(х)=х и g(x)=sin x в любой точке х, то находим дифференциал, пользуясь выше доказанной формулой: df(x)=(x sin x)¢dx=(sin x+xcos x)dx.

hello_html_mf38adc2.gifhello_html_m2d3cecd0.gifhello_html_5af8cabc.gifhello_html_1b70f7ef.gifhello_html_2aecf151.gifhello_html_af8acd7.gifhello_html_m4f023731.gif y M

N

M0 K

Ohello_html_583f18de.gif x0 x0+Dx x

Пусть функция у=f(х) дифференцируема в точке х0, тогда существует дифференциал df(x)=f ¢(x0)dx. Значению аргумента х0 и функции f(x0) соответст­вует точка М0 на кривой. Проведем в этой точке касательную к кривой М0Т, ее угловой коэффициент tg a равен производной f ¢(x0). Если абсциссе х0 дать приращение Dх, то ордината кривой у0=f(x0) получит приращение Dу=МК. В то же время ордината

касательной получит приращение MN. Вычисляя NK как катет прямоугольного треугольника M0NK, найдем NK=M0K×tga=f ¢(x0)Dx=dy. Итак, в то время, как Dу есть приращение ординаты кривой, dy является соответствующим приращением ординаты касательной.

Касательная и нормаль к кривой.

Определение касательной к кривой в заданной точке х0 было дано при рассмотрении задачи о проведении касательной. Из курса геометрии известно, что уравнение прямой, проходящей через заданную точку (х0, у0) с угловым коэффициентом k, имеет следующий вид: у-у0=k(х-х0). Так как угловой коэффициент касательной k=f ¢(х0), то уравнение касательной у=f(х0)+f ¢(х0)(х-х0). Кроме касательной в точке М0 рассматривают еще




hello_html_cb84568.gifhello_html_mf38adc2.gifhello_html_m21babdd9.gifhello_html_m4d6ca375.gifhello_html_4ee79fdf.gifhello_html_78a6a5c4.gifhello_html_m64ba2889.gifhello_html_3628749c.gifhello_html_5d2f6ec8.gifhello_html_19f01ebe.gif y

N

y0

M0

T

O x0 x

одну прямую, называемую нормалью: это прямая, проходящая через точку М0(х0, у0) и перпендикулярная касательной. Из определения нормали следует, что угловой коэффициент нормали k1 связан с угловым коэффициентом касательной соотношением k1×k=-1, откуда находим k1=-hello_html_518da440.gif и поэтому уравнение нормали

имеет вид: (у-у0)=-hello_html_518da440.gif(х-х0) или у=f(х0)-hello_html_m2ed09df2.gif(х-х0).

Пример. Составить уравнения касательной и нормали к данной линии у=hello_html_m1c9d2f8f.gif в точке с абсциссой х=2а.

Решение: Найдем у¢=-hello_html_mf82dd79.gif и вычислим у¢(2а)=hello_html_627f53be.gif,

у0=hello_html_383f3e11.gif. Таким образом: уравнение касательной у=а-hello_html_m344bfe6f.gif или

у=-hello_html_5b8feed9.gif, уравнение нормали: у=а+2(х-2а)=2х-3а.


§4. Параметрически заданные функции и их производные.

Определение 1. Будем говорить, что функция задана параметрически уравнениями hello_html_m70996aaa.gif, где a£t£b, если функция j строго монотонна и j и y – непрерывны на отрезке [a, b] (где t – параметр).

Определение 2. Параметрические уравнения hello_html_m70996aaa.gif определяют гладкую кривую hello_html_m57dc1986.gifна плоскости, если функции j и y имеют в каждой точке отрезка [a, b] непрерывные производные, которые одновременно ни в одной точке [a, b] не обращаются в нуль, т.е. j¢ 2(t)+y¢ 2(t)>0.

Рассмотрим пример параметрически заданной кривой (то есть функции). Представим себе, что по прямой Ox слева направо катится без скольжения круг радиуса a с центром в А. Кривая, описываемая при этом любой точкой окружности, , называется циклоидой. Проследим, например, путь точки О за время одного оборота круга. Рассмотрим катящийся круг в новом положении. Точкой касания служит уже другая точка, таким образом по прямой точка касания переместилась на расстояние ON. В то же время точка О переместилась в положение М, пройдя по окружности круга путь NM. Так как качение происходит без скольжения, то эти пути равны: hello_html_m14b0cb35.gif=ON. Если выбрать теперь в качестве параметра, определяющего положение точки, угол t=ÐNDM, на который успеет повернуться радиус, имевший в начале качения вертикальное положение АО, то координаты х и у точки М выразятся следующим образом: х=OF=ON-FN=hello_html_m25f5d777.gif-MG=at-asin t,

y=FM=NG=ND-GD=a-acos t.

hello_html_39889f28.gifhello_html_319f15ca.gifhello_html_4c34fead.gifhello_html_m4ed9b5a4.gifhello_html_4c34fead.gifhello_html_m6e8e3015.gifhello_html_4b6731ab.gifhello_html_6ee05a80.gifhello_html_398d07f0.gifhello_html_688d493c.gifhello_html_1187e21d.gifhello_html_7956f6a.gifhello_html_76090511.gifhello_html_2a03193a.gifhello_html_3717f722.gifhello_html_34411c00.gifhello_html_m13f5c56.gifhello_html_2ba9b14e.gifhello_html_27adac18.gifhello_html_m1fbdd95f.gifhello_html_m3a19195b.gifhello_html_62faa90d.gif hello_html_m5c7ce7d0.gifhello_html_m54b51b80.gifhello_html_m5c7ce7d0.gifhello_html_m54b51b80.gify

H

A M D

G

a

O F N x

Итак, параметрические уравнения кривой имеют вид:

hello_html_65e613b6.gif, 0£t£2p.

При изменении t от -¥ до +¥ получится кривая, состоящая из бесконечного множества таких ветвей, какая изображена на чертеже. Эта кривая называется циклоидой.

Так как производные х¢t=a(1-cos t), y¢t=asin t одновременно обращаются в 0 при t=2kp (k=0, ±1, ±2, ...), то этим значениям соответствуют особые точки кривой.

Теперь выведем формулу для вычисления производной функции, заданной параметрически.

Пусть заданы hello_html_m70996aaa.gif, эти функции имеют производные и j(t) имеет обратную t=j -1(x), которая также дифференцируема. Тогда функция у может быть представлена как сложная функция от х: у=y(j -1(x))=f(x), которая тоже имеет производную

у¢х = hello_html_419d09b0.gif.

Вычислим производную циклоиды:

f ¢(x)=hello_html_m5827a3b0.gif.

§5. Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема 1 (Ферма). Пусть функция f(x) определена в некотором промежутке Х и во внутренней точке с этого промежутка принимает наибольшее значение. Если существует конечная производная f ¢(c) в этой точке, то f ¢(c)=0.

Замечание 1. Теорема Ферма утверждает, что во внутренней точке с, в которой существует производная и в которой функция принимает наибольшее значение, касательная к графику функции параллельна оси Ох.

Замечание 2. В теореме используется тот факт, что наибольшее значение функции достигается во внутренней точке.

Аналогично доказывается другое утверждение теоремы Ферма: Если функция f(x) определена в некотором промежутке Х и во внутренней точке с этого промежутка принимает наименьшее значение, в которой, кроме того, существует производная, то f ¢(c)=0.

Теорема 2 (Ролля). Пусть функция f(x):

1)определена и непрерывна на отрезке [а, b];

2)существует конечная производная f ¢(х), по крайней мере на интервале (а, b);

3) на концах отрезка функция принимает равные значения: f(а)=f(b).

Тогда между а и b найдется такая точка с, (а< с< b), что f ¢(c)=0.

Пhello_html_22ee09b7.gifример 1. Пусть f(x)=hello_html_m5d52ded8.gif

hello_html_b7d670a.gifhello_html_m4c2aa203.gifhello_html_m1230d307.gifhello_html_3bf70e44.gifhello_html_m157d1879.gif hello_html_3ce9fc82.gif

O hello_html_3ce9fc82.gif 1 x

Для этой функции условие (1) теоремы Ролля выполнено, она непрерывна на [0, 1]. Условие (3) также выполнено, т.к. f(0)=f(1)=0. Нарушено только условие (2).Здесь f ¢ (hello_html_m16b515b.gif)=1, а f ¢(hello_html_48d784a5.gif)=-1 и в точке х=hello_html_3a133650.gif производная f ¢(х) не существует. И в этом случае теорема Ролля не применима:

не нашлось внутри интервала (0, 1) ни одной точки, в которой бы производная f ¢(х) равнялась нулю.

hello_html_m592c4a0b.gifhello_html_d3a7145.gifhello_html_3a1d973.gifhello_html_m1835bf1e.gifhello_html_63e6ae25.gif y



1 M



O 1 x

Пример 2. Пусть f(x)=x2.

Для функции f(x)=x2 на [0,1] выполнены первое и второе условия теоремы Ролля, она непрерывна на отрезке [0, 1] (1); имеет производную у¢=2х в каждой точке (0,1) (2), но f(0)=0, f(1)=1, то е не выполняетcя условие (3). Здесь также нарушено только одно условие из трех и теорема не применима.

Следствие (из теоремы Роля): Между двумя корнями дифференцируемой функции лежит по крайней мере один корень производной.

Теорема 3 (Лагранжа). Пусть:

1) f(x) определена и непрерывна на отрезке [а, b];

2) существует конечная производная f ¢(x), по крайней мере в интервале (а,b). Тогда внутри интервала (а,b) найдется такая точка с: (а<с<b), что для нее выполняется равенство hello_html_3341df11.gif.

Замечание. Доказанную теорему называют также теоремой о среднем (в дифференциальном исчислении).

hello_html_b7d670a.gifhello_html_319f15ca.gifhello_html_4cab2835.gifhello_html_1d96917b.gifhello_html_m6aedf13a.gifhello_html_316130d4.gifhello_html_m389b9b50.gifhello_html_m288bd37b.gifhello_html_4cf5cde1.gifhello_html_m38c9fec8.gifhello_html_3898f68.gifhello_html_m3666f8a6.gif y



yb M B


ya A C


O a c b x

Обращаясь к геометрическому смыслу теоремы Лагранжа, заметим, что отношение hello_html_77d3322d.gif=hello_html_2baac904.gif есть угловой коэффициент секущей АВ, а f ¢(c) есть угловой коэффициент касательной к кривой у=f(x) в точке с абсциссой х=с. Таким образом, утверждение теоремы Лагранжа равносильно следующему: на дуге АВ всегда найдется по крайней мере одна точка М, в которой касательная параллельна хорде АВ.

формула hello_html_77d3322d.gif = f ¢(c) или f(b)-f(а)=f ¢(c)(b-а) называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

Формулу конечных приращений употребляют чаще в другой форме записи, а именно: применим формулу Лагранжа к отрезку [х0, х0+Dх] при Dх>0 или к отрезку [х0+Dх, х0] при Dх<0. Число с, заключенное в этом случае между х0 и х0+Dх можно представить так: с=х0+qDх, где 0<q<1. Тогда формула Лагранжа примет следующий вид: hello_html_m7b8c2ca0.gif или

Df(x0)=f(x0+Dx)- f(x0)= f ¢(x0+qDх)×Dx, (0<q<1).

Теорема 4 (Коши). Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [а, b] и существуют конечные производные f ¢(x) и g¢(x) по крайней мере в интервале (а, b), причем g¢(x)¹0 всюду в интервале (а, b). Тогда между а и b найдется такая точка с: а<с<b, что hello_html_3ba59ba5.gif.

Замечание. Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши. Это видно из того, что если в теореме Коши положить g(x)=x.

Теорему Коши называют обобщенной теоремой о среднем значении (в дифференциальном исчислении).

Геометрическая иллюстрация теоремы Коши – та же, что и для теоремы Лагранжа. Чтобы это увидеть, перейдем к другим обозначениям: х заменим на t, а функции обозначим j(t) и y(t). Если t изменяется в промежутке [a, b], то формула Коши напишется так: hello_html_3af5148.gif=hello_html_7b9c4f29.gif, где a<t<b. Рассмотрим теперь кривую, заданную параметрическими уравнениями hello_html_m2fe31a20.gif; (a£t£b).

Тогда левая часть формулы Коши выражает угловой коэффициент хорды, соединяющей концы души этой кривой, а правая – угловой коэффициент касательной в некоторой внутренней точке дуги, соответствующей t=t.


§6. Исследование функции с применением производной

Общая схема исследования функций включает в себя такие элементы, как нахождение промежутков монотонности, точек экстремума, участков выпуклости т.д. Применение производной позволяет значительно упростить эти исследования.

  Теорема 1. Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.

П р и м е р 1. Функция  y = | x | ( рис.3 )  всюду непрерывна, но она не имеет производной при  x = 0 , так как в этой точке не существует касательной к графику этой функции.


Достаточные признаки монотонности функции.

Теорема 2. Если  f ’(x) > 0  в каждой точке интервала (a, b), то функция  f (x) возрастает на этом интервале.

Теорема 3. Если  f ’(x) < 0  в каждой точке интервала (a, b) , то функция  f (x) убывает на этом интервале.

  Теорема 4 (Дарбу). Точки, в которых производная функции равна 0  или не существует, делят область определения функции на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак.

Используя эти интервалы, можно найти интервалы монотонности функций, что очень важно при их исследовании.

hello_html_5bc77478.png
 
hello_html_78c08ed2.png

hello_html_18103517.png

Следовательно, функция возрастает на интервалах ( hello_html_m1381be40.png0 ) и ( 1, + hello_html_m1381be40.pngи убывает на интервале ( 0, 1 ). Точка  x = 0 не входит в область определения функции, но по мере приближения  x  к  0 слагаемое  x 2  неограниченно возрастает, поэтому функция также неограниченно возрастает. В точке  x = 1 значение функции равно 3. В соответствии с этим анализом мы можем построить график функции (рис.4б ).

Критические точки.

Определение 1. Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.

Эти точки очень важны при анализе функции и построении её графика, потому что только в этих точках функция может иметь экстремум ( минимум или максимум рис.5а,б).

hello_html_67717601.png

В точках x1 , x2 ( рис.5a ) и x3 ( рис.5b ) производная равна 0; в точках x1 , x2 ( рис.5б ) производная не существует. Но все они точки экстремума.

 

Теорема 5. (Необходимое условие экстремума). Если x0 - точка экстремума функции f(x) и производная f’ существует в этой точке, то f’(x0)=0.

Если производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция имеет экстремум в этой точке. Например, производная функции  f ( x ) = x 3 равна 0 при   x = 0, но эта функция не имеет экстремум в этой точке ( рис.6 ).

hello_html_652886ee.png

С другой стороны, функция  y = | x | , представленная на рис.3, имеет минимум в точке   x = 0 , но в этой точке производной не существует.

 

Достаточные условия экстремума.

Теорема 6. Если производная при переходе через точку  x0  меняет свой знак с «плюса» на «минус», то  x0  - точка максимума.

Теорема 7. Если производная при переходе через точку  x0  меняет свой знак с «минуса» на «плюс», то  x0  - точка минимума.

 

План исследования функции.

Для построения графика функции нужно:

    1)  найти область определения и область значений функции,

    2)  установить, является ли функция чётной или нечётной,

    3)  определить, является ли функция периодической или нет,

    4)  найти нули функции и её значения при  x = 0,

    5)  найти интервалы знакопостоянства,

    6)  найти интервалы монотонности,

    7)  найти точки экстремума и значения функции в этих точках,

    8)  проанализировать поведение функции вблизи  “особых” точек

         и при больших значениях модуля  x .

 

П р и м е р . Исследуйте функцию  f ( x ) = x 3 + 2x 2 x 2 и постройте график.

 

Решение: Исследуем функцию по вышеприведенной схеме.

1)  область определения x hello_html_3acc81e5.pngR (x – любое действительное число);

область значений  y hello_html_3acc81e5.pngR, так как  f (x) – многочлен нечётной степени;

                       2)  функция  f (x) не является ни чётной, ни нечётной

                       3)   f(x) – непериодическая функция;

                       4)  график функции пересекается с осью Y  в точке ( 0, – 2 ),

                             так как  f (0) = 2 ;  чтобы найти нули функции нужно 

                             решить уравнение:  x 3 + 2x 2 x 2  = 0, один из корней

                             которого ( x = 1 ) очевиден. Другие корни находятся

                             ( если они есть!) из решения квадратного уравнения:

                             x 2 + 3x + 2 = 0, которое получено делением многочлена

                             x 3 + 2x 2 x 2  на двучлен ( x – 1 ). Легко проверить,

                             что два других корня: x2 = 2 и  x3  = 1. Таким образом,

                             нулями функции являются:  2, 1 и 1.

                       5)  Это значит, что числовая ось делится этими корнями на

                             четыре интервала знакопостоянства, внутри которых

                             функция сохраняет свой знак :

                                     hello_html_3a14ad42.png

                             Этот результат может быть получен разложением

                             многочлена на множители:

 

                                          x 3 + 2x 2 x 2 = ( x + 2 ) ( x + 1 ( x – 1 )

 

                             и оценкой знака произведения  методом интервалов.

                        6)  Производная  f’ ( x ) = 3x2 + 4x 1 не имеет точек, в которых

                             она не существует, поэтому её область определения R ( все

                             действительные числа ); нули  f’ (x) – это корни уравнения:    

                             3x2 + 4x 1 = 0 .

hello_html_537b43a9.png

                               Полученные результаты сведены в таблицу:

hello_html_3597ef9a.png

hello_html_2ebdec3d.png

hello_html_m24389c92.png 

15


Курс повышения квалификации
Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.