-
Курсы
-
Другое
Равносильные уравнения.
Равносильными уравнениями называются уравнения, имеющие одинаковое множество корней, или не имеющие корней.
Например,
а)
каждое из уравнений 
имеет
один корень, равный 
.
Значит, эти уравнения равносильны;
б)
каждое из уравнений 
не
имеет корней. Значит, эти уравнения равносильны.
В процессе решения уравнений необходимо, по возможности, совершать преобразования, сохраняющие равносильность. Перечислим эти преобразования.
1) Если в уравнении перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, поменяв при этом его знак, то получится уравнение, равносильное данному.
2) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение, равносильное данному.
3) Если к обеим частям уравнения прибавить (или отнять) один и тот же многочлен, то получится уравнение, равносильное данному.
4) Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечётную степень, то получится уравнение, равносильное данному.
5)
6)
7)
Если невозможно совершить равносильные преобразования, то необходимо следить за областью допустимых значений уравнения. К таким уравнениям относятся иррациональные, дробно рациональные, логарифмические. Приведём примеры.
1) 
ОДЗ: 
(Т.к. подкоренное выражение равно выражению в квадрате, то оно не будет отрицательным, именно поэтому включать подкоренное выражение в ОДЗ нет необходимости).
ОДЗ,
значит, это посторонний корень.
Ответ: 1.
2) 
ОДЗ: 
ОДЗ,
значит, этот корень посторонний.
Ответ: 0.
3) 
ОДЗ: 
ОДЗ,
значит, это посторонний корень.
Ответ: 1.
Если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения. При этом, второе уравнение может иметь корни, которые не являются корнями первого уравнения. Их называют посторонними корнями, которые необходимо выявить и отбросить.
Например, уравнение
является следствием уравнения .
Эти уравнения имеют один общий корень, но при этом первое уравнение имеет два
корня: 
, а
второе один корень: 
Это
произошло вследствие расширения области определения исходного уравнения
(возвели в квадрат).
Чтобы уравнения получались равносильными, необходимо определять область допустимых значений и отсеивать посторонние корни.
Итак,
1) Посторонние корни появляются вследствие расширения области определения.
2) Потеря корней может произойти вследствие деления обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную.
Следствия из определений равносильных уравнений и уравнений-следствий:
· Если два уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого.
· Если каждое из уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны.
· Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.
1. Равносильны ли уравнения:
1)
и
2)
и
3)
и
4)
и
5)
и
6)
и
7)
и
8)
и
9)
и
10)
и
2. Какое из двух данных уравнений является следствием другого:
1)
и
2)
и
3)
и
4)
и
5)
и
6)
и
7)
и
8)
и
9)
и
10)
и
11)
и
12)
и
3. Записать какое-нибудь следствие уравнения:
|
1) |
2) |
3)
|
|
4)
|
5) |
6)
|
|
7) |
8) |
9) |
|
10) |
11) |
12) |
4. Докажите, что уравнение не имеет корней:
|
1) |
2) |
5. При каких значениях
уравнения будут
равносильны:
и 
6. При
каких значениях 
уравнения будут
равносильны:
и 
7. Решить уравнение:
|
1) |
2) |
3)
|
|
4)
|
5) |
6)
|
|
7) |
8) |
9)
|
|
10) |
11) |
12)
|
|
13) |
14) |
15) |
8. Решить уравнение:
|
1) |
2)
|
|
3)
|
4)
|
|
5) |
6)
|
|
7) |
8) |
|
9) |
10) |
|
11) |
12) |
|
13) |
14) |
|
15) |
16) |
|
17) |
18) |
|
19) |
20) |
|
21) |
22) |
|
23) |
24) |
Настоящий материал опубликован пользователем Колесник Марина Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
