Инфоурок Другое Конспекты"Понятие равносильности неравенств. Неравенства с модулями"

"Понятие равносильности неравенств. Неравенства с модулями"

Скачать материал
Скачать тест к материалу

Тема: Понятие равносильности неравенств. Неравенства с модулями

Урок -лекция

Цели:

  1. Общеобразовательная: систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения неравенств.
  2. Развивающая: развивать у учащихся умение слушать лекцию, конспективно записывая ее в тетрадь.
  3. Воспитательная: формировать познавательную мотивацию к изучению математики

1. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств

В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.

Определение. Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.

Например, неравенства 2 x + 7 > 10 и 2 x > 3 равносильны, так как их множества решений равны и представляют собой промежуток (2/3, ∞).ю

Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них аналогич­ны соответствующим теоремам о равносильности уравнений. При их доказательстве используются свойства истинных числовых неравенств.

Теорема 3. Пусть неравенство f(х) > g(х)задано на множестве X и h(x) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)+ h(x) > g(х) + h(x)равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используются при решении неравенств:

1)Если к обеим частям неравенства f(х) > g(х)прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f(х) + d > g(х)+ d, равно­сильное исходному.

2)Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поме­няв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Теорема 4. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h(х) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х из множества X выражение h(х) принимает положительные значения. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)· h(x) > g(х) · h(x)равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(х) > g(х) умножить на одно и то же положительное число d, то по­лучим неравенство f(х)·d > g(х) ·d, равносильное данному.

Теорема 5. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h(х) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х их множества X выражение h(х) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)· h(x) > g(х)· h(x)равносильны на множестве X.

При решении иррациональных неравенств можно использовать те же идеи, что и при решении иррациональных уравнений, но так как простая проверка решений невозможна (ведь решениями неравенств являются чаще всего целые числовые промежутки), то необходимо использовать равносильность.

https://urok.1sept.ru/articles/590871/img7.gifПриведем схемы решения основных типов иррациональных неравенств методом равносильных переходов от одного неравенства к системе неравенств.

1. Решение неравенства вида

https://urok.1sept.ru/articles/590871/img7.gifОчевидно, учитывая ОДЗ имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

https://urok.1sept.ru/articles/590871/img3.gif    Пример.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.Решение неравенства вида   https://urok.1sept.ru/articles/590871/img1.gif  < https://urok.1sept.ru/articles/590871/img2.gif

Рассмотрим иррациональное неравенство вида https://urok.1sept.ru/articles/590871/img1.gif<https://urok.1sept.ru/articles/590871/img2.gif,

то есть https://urok.1sept.ru/articles/590871/img1.gif – https://urok.1sept.ru/articles/590871/img2.gif< 0.

По теореме, если p(x) возрастает на некоторм промежутке, которому принадлежат a и b, причем a>b, то неравенства p(a) – p(b) > 0 и a – b > 0 равносильны на D(p), то есть

https://urok.1sept.ru/articles/590871/img12.gif

https://urok.1sept.ru/articles/590871/img8.gif

https://urok.1sept.ru/articles/590871/img8.gif3.Решение неравенства вида    

         

            ОДЗ: f(x) ≥0

Рассмотрим разность √f(x) - g(x), тогда если х€ОДЗ, то

а) если g(x)<0, то разность положительна в ОДЗ и неравенство выполнено в ОДЗ, а неравенство √f(x) <  g(x) не имеет решения

б) если же если g(x)≥0, то знак разности может быть любым, но сумма √f(x) + g(x) неотрицательна, и умножение разности на эту сумму не меняет знака разности, то есть при g(x)≥0 знак разности√f(x) - g(x) совпадает со знаком разности f(x) – g2(x) в ОДЗ,

т.к. (√f(x) - g(x))( √f(x) + g(x)) = f(x) – g2(x)

Получим то ж е самое утверждение, если обе части будут неотрицательны, поскольку возведение в квадрат приводит к равносильным в ОДЗ неравенствам  f(x) > g2(x) и f(x) < g2(x).

Окончательно условия равносильности принимают вид

https://urok.1sept.ru/articles/590871/img8.gif

 

 

https://urok.1sept.ru/articles/590871/img8.gif

и

 

Пример:

https://urok.1sept.ru/articles/590871/img9.gif

Исходное неравенство равносильно совокупности систем.

https://urok.1sept.ru/articles/590871/img10.gifhttps://urok.1sept.ru/articles/590871/img11.gif

 

4.Решение неравенства вида     | f(x) | <g(x)

Пусть в некоторой точке а выполнено неравенство | f(x) | <g(x), тогда  g(a)>0 и  | f(a) | <g(a )

и выполняется неравенство –g(a)< f(a) < g(a)

и наоборот, пусть в некоторой точке а выполнено неравенство

https://urok.1sept.ru/articles/590871/img7.gif–g(a)< f(a) < g(a)

–g(a) < g(a)                                    g(a) > 0

и   | f(a) | <g(a )

Следовательно , условие равносильности имеет вид

                                                                                          f(х) < g(х)      

https://urok.1sept.ru/articles/590871/img7.gifhttps://urok.1sept.ru/articles/590871/img7.gif| f(x) | <g(x)      –g(х)< f(х) < g(х)       {

                                                                                          f(х) > - g(х)

 

5.Решение неравенства вида     | f(x) | > g(x)

условие равносильности имеет вид

https://urok.1sept.ru/articles/590871/img7.gif                                          f(х) <g(х)      

| f(x) | <g(x)                               [

                                                   f(х) > g(х)      

6.Решение неравенства вида     | f(x) | < |  g(x)|

условие равносильности имеет вид

знак   разности          | f(x) |  -  |  g(x)|      со знаком

произведения ( f(x) + g(x) )( f(x) – g(x) )

Использование таких условий имеет то преимущество, что знаки функций можно игнорировать.

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал
Скачать тест к материалу
Скачать материал
Скачать тест к материалу

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 890 972 материала в базе

Скачать материал
Скачать тест к материалу

Другие материалы

Презентация по алгебре к уроку "Задачи с целочисленными неизвестными" (10 класс)
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)», Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
  • Тема: 1.10. Задачи с целочисленными неизвестными
  • 26.05.2022
  • 120
  • 0
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)», Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Презентация по алгебре на тему "Бином Ньютона"
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)», Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
  • Тема: 2.2. Формулы бинома Ньютона, суммы и разности степеней
  • 25.05.2022
  • 118
  • 1
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)», Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    Скачать тест к материалу
    • 26.05.2022 150
    • DOCX 46.3 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Арсеньева Нонна Арсеновна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Пожаловаться на материал
  • Автор материала

    Арсеньева Нонна Арсеновна
    Арсеньева Нонна Арсеновна
    • На сайте: 6 лет и 5 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 15170
    • Всего материалов: 10

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой