"Понятие равносильности неравенств. Неравенства с модулями"

Тема: Понятие равносильности неравенств. Неравенства с модулями

Урок -лекция

Цели:

1. Общеобразовательная: систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения неравенств.
2. Развивающая: развивать у учащихся умение слушать лекцию, конспективно записывая ее в тетрадь.
3. Воспитательная: формировать познавательную мотивацию к изучению математики

1. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств

В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.

Определение. Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.

Например, неравенства 2 x + 7 > 10 и 2 x > 3 равносильны, так как их множества решений равны и представляют собой промежуток (2/3, ∞).ю

Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них аналогич­ны соответствующим теоремам о равносильности уравнений. При их доказательстве используются свойства истинных числовых неравенств.

Теорема 3. Пусть неравенство f(х) > g(х)задано на множестве X и h(x) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)+ h(x) > g(х) + h(x)равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используются при решении неравенств:

1)Если к обеим частям неравенства f(х) > g(х)прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f(х) + d > g(х)+ d, равно­сильное исходному.

2)Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поме­няв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Теорема 4. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h(х) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х из множества X выражение h(х) принимает положительные значения. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)· h(x) > g(х) · h(x)равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(х) > g(х) умножить на одно и то же положительное число d, то по­лучим неравенство f(х)·d > g(х) ·d, равносильное данному.

Теорема 5. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h(х) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х их множества X выражение h(х) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)· h(x) > g(х)· h(x)равносильны на множестве X.

При решении иррациональных неравенств можно использовать те же идеи, что и при решении иррациональных уравнений, но так как простая проверка решений невозможна (ведь решениями неравенств являются чаще всего целые числовые промежутки), то необходимо использовать равносильность.

Приведем схемы решения основных типов иррациональных неравенств методом равносильных переходов от одного неравенства к системе неравенств.

1. Решение неравенства вида

Очевидно, учитывая ОДЗ имеем:

    Пример.

2.Решение неравенства вида     <

Рассмотрим иррациональное неравенство вида <,

то есть  – < 0.

По теореме, если p(x) возрастает на некоторм промежутке, которому принадлежат a и b, причем a>b, то неравенства p(a) – p(b) > 0 и a – b > 0 равносильны на D(p), то есть

3.Решение неравенства вида    

            ОДЗ: f(x) ≥0

Рассмотрим разность √f(x) - g(x), тогда если х€ОДЗ, то

а) если g(x)<0, то разность положительна в ОДЗ и неравенство выполнено в ОДЗ, а неравенство √f(x) <  g(x) не имеет решения

б) если же если g(x)≥0, то знак разности может быть любым, но сумма √f(x) + g(x) неотрицательна, и умножение разности на эту сумму не меняет знака разности, то есть при g(x)≥0 знак разности√f(x) - g(x) совпадает со знаком разности f(x) – g²(x) в ОДЗ,

т.к. (√f(x) - g(x))( √f(x) + g(x)) = f(x) – g²(x)

Получим то ж е самое утверждение, если обе части будут неотрицательны, поскольку возведение в квадрат приводит к равносильным в ОДЗ неравенствам  f(x) > g²(x) и f(x) < g²(x).

Окончательно условия равносильности принимают вид

и

Пример:

Исходное неравенство равносильно совокупности систем.

4.Решение неравенства вида     | f(x) | <g(x)

Пусть в некоторой точке а выполнено неравенство | f(x) | <g(x), тогда  g(a)>0 и  | f(a) | <g(a )

и выполняется неравенство –g(a)< f(a) < g(a)

и наоборот, пусть в некоторой точке а выполнено неравенство

–g(a)< f(a) < g(a)

–g(a) < g(a)                                    g(a) > 0

и   | f(a) | <g(a )

Следовательно , условие равносильности имеет вид

                                                                                          f(х) < g(х)      

| f(x) | <g(x)      –g(х)< f(х) < g(х)       {

                                                                                          f(х) > - g(х)

5.Решение неравенства вида     | f(x) | > g(x)

условие равносильности имеет вид

                                          f(х) <g(х)      

| f(x) | <g(x)                               [

                                                   f(х) > g(х)      

6.Решение неравенства вида     | f(x) | < |  g(x)|

условие равносильности имеет вид

знак   разности          | f(x) |  -  |  g(x)|      со знаком

произведения ( f(x) + g(x) )( f(x) – g(x) )

Использование таких условий имеет то преимущество, что знаки функций можно игнорировать.