1000

Понятия «соответствие» и «функция» в школьном курсе математики: некоторые дидактические аспекты обучения

Предпросмотр материала:

Понятия «соответствие» и «функция» в школьном курсе математики: некоторые дидактические аспекты обучения

 

Понятие «функция» широко применяется во многих отраслях знания. Функции рассматриваются в естественнонаучных, экономических, гуманитарных, а также во многих других сферах деятельности человека. Функция, с математической точки зрения, представляет собой частный случай более общего понятия «соответствие». Соответствие того или иного вида рассматривается всякий раз, когда нужно сопоставить элементы двух множеств друг другу; при этом сами множества могут быть различной природы.

С понятием «функция» школьники более-менее обстоятельно впервые знакомятся в 7 – 8 классах. С первых же уроков по связанным с этим понятием темам школьники получают сведения о числовых функциях y = f (x), где независимая переменная x принимает значения из некоторого подмножества множества действительных (или рациональных) чисел, а зависимая переменная y вычисляется по формуле, которая задается видом f (x). 

В дальнейшем при изучении математических предметов в рамках программы основной и средней школы основное внимание уделяется изучению лишь частного случая функциональной зависимости – числовой функции одной действительной переменной. Табличный и графический способы задания функций рассматривается лишь на уровне определений с приведением немногочисленных примеров. При этом часто встречающиеся в школьной программе задачи на построение графиков функции и анализ этих графиков направлены лишь на то, чтобы учащиеся имели наглядное представление о функциональной зависимости того или иного типа, а также графической иллюстрации функциональной зависимости.

Однако в процессе обучения математике приходится сталкиваться с тем, что учащиеся зачастую не осознают глубину и многогранность самого понятия «функция»: произносят формально выражения типа «y от x», «подставим какое-то значение x и получим некоторое y» и т.д. Абстрактный формализм определения функции, который фигурирует во многих учебниках по математике, не способствует тому, чтобы школьники имели представление, насколько важным для теоретических исследований и практических приложений является понятие «функция».

В связи с этим нам представляется целесообразным уделить хотя бы 2 – 3 урока для рассмотрения более общего понятия «соответствие» перед тем, как дать определение и начать детально разбираться с частным, но очень важным для математики случаем соответствия, – числовой функции одной переменной. При этом понятие «соответствие» нужно, прежде чем давать его общее определение, проиллюстрировать на ряде примеров, в которых фигурируют множества разной, в том числе нечисловой природы. Затем имеет смысл рассмотреть определение функции с приведением примеров нечисловых функций.

Перейдём к более детальному изложению высказанных соображений.

Формально термин «соответствие» можно определить следующим образом. Пусть имеются непустые множества X и Y произвольной природы и пусть, каким-то элементам множества X сопоставлены какие-то элементы множества Y. В этом случае говорят, что задано соответствие f между множеством X и множеством Y.

Соответствие наглядно изображают с помощью диаграммы ЭйлераВенна:

Некоторым элементам множества X сопоставлен только один элемент множества Y. Другим элементам множества X сопоставлены более одного элемента множества Y. А некоторым элементам множества X вообще не сопоставлены никакие элементы множества Y.

В основном рассматриваются ситуации, когда каждому элементу X сопоставлены какие-либо элементы Y. Приведем пример нечислового соответствия. Пусть 

X = {весна, лето, осень, зима}, Y = {январь, февраль, …, ноябрь, декабрь}.

Каждому элементу множества X (элементы – времена года) ставится в соответствие соответствующие три месяца из множества Y:

весна → март, апрель, май; …, зима → декабрь, январь, февраль.

Соответствие f является функцией, если каждому x X сопоставлен ровно один элемент y Y. При этом X есть область определения, а те элементы из множества Y, для которых имеется прообраз из X, есть множество значений E( f ) функции f ;  естественно E( f ) – подмножество множества Y: E( f ) Y.

В приведенном примере соответствие не будет функцией, поскольку каждому элементу X сопоставлено более одного элемента Y. Однако обратное соответствие g, когда каждому месяцу сопоставляется соответствующее время года, является функцией:

январь → зима, февраль → зима, март → весна, …, август→ лето, …

          ноябрь → осень, декабрь → зима.

В этом случае роль множества X (область определения) играет множество, состоящее из всех 12 элементов – месяцев, а роль Y – четырёхэлементное множество времён года; при этом здесь множество значений E(g) совпадает с множеством Y.

Ещё пример функции. На диаграмме Эйлера-Венна представлено являющееся функцией соответствие вида

 

Здесь областью определения функции f является множество X = {, , , }, состоящее из первых четырёх букв греческого алфавита. Множеством значений является подмножество E( f ) = {I, V, C, M} множества некоторых римских цифр Y = {I, V, L, C, M}. Можно записать  f () = C, f () = V,  f () = I,  f () = M;

заметим, что нет ни одного элемента их X, которому поставлена была бы в соответствие цифра L, 

Приведем ещё примеры нечисловых функций. 

1)                      Пусть X – 12-элементное множество всех месяцев года. Каждому месяцу сопоставим число дней в нём (год не високосный):

январь → 31, февраль → 28, март → 31, апрель → 30, …

          ноябрь → 30, декабрь → 31.

Здесь область определения нечисловая, а множество значений представляет собой трёхэлементное подмножество E( f ) = {28, 30, 31} множества действительных чисел Y = R.  

2)                      Нечисловой является функция, в которой область определения представляет собой список некоторых государств, и каждому государству из списка сопоставлен его флаг; флаги этих государств образуют множество значений. Область определения и множество значений нечисловые.

3)                      Пусть каждому натуральному числу, в зависимости от того, делится ли оно на два или нет, сопоставлено слово «чётный» или «нечетный». Здесь имеем дело с функцией, у которой область определения числовая, а множество значений – нечисловое двухэлементное множество.

И как уже отмечалось выше, в курсе математики основной и средней школы имеют дело только с числовыми функциями вида y = f (x), где xX;

X R – область определения функции, R – множество действительных чисел. Множество значений E( f ) также представляет собой подмножество множества действительных чисел: E( f ) R. Примерами таких функций являются, например, следующие функции:

•      f (x) = 2 cos(2x); здесь X = R, E( f ) = [–1; 1]. • f (x) = 12; здесь X = (–,0) (0, +), E( f ) = (0, +).

𝑥

•      f (x) = 𝑥3+1, если x X = [–2; 5); в этом случае E( f ) = [–7, 126).

Следует заметить, что в школьном курсе математики без подробного анализа рассматривают также примеры функций двух и более числовых переменных. Например, площадь треугольника S(x, y) =  x y есть функция двух переменных x (основание), y (высота). Поскольку обе переменные по своему смыслу являются положительными, то областью определения будет множество {(x, y) R2: x > 0, y > 0}, а множеством значений – множество всех положительных чисел R+ = {SR: S > 0}.

В заключение отметим, что в результате подробного рассмотрения на нескольких уроках основных теоретических положений, связанных с термином «соответствие», а также после приведения и разбора ряда примеров соответствий и функций (как числовых, так и нечисловых), учащиеся гораздо  более глубоко будут знать и понимать одно из самых важных понятий математики – понятие «функция». В ходе дальнейшего изучения различных разделов математики они будут лучше ориентироваться в терминах и понятиях, связанный с функциями и их свойствами – область определения, множество значений, график функций, чётность и нечётность, периодичность и т.д.

 

 

0%

Краткое описание материала

Понятия «соответствие» и «функция» в школьном курсе математики: некоторые дидактические аспекты обучения

    PDF

24.07.2021

1730

Файл будет скачан в формате:

    PDF

Краткое описание материала

Автор материала

Локшин Михаил Давидович

Локшин Михаил Давидович

учитель математики

  • На сайте: 5 лет
  • Всего просмотров: 4750
  • Подписчики: 0
  • Всего материалов: 6
  • 4750
    просмотров
  • 6
    материалов
  • 0
    подписчиков

Настоящий материал опубликован пользователем Локшин Михаил Давидович.
Инфоурок является информационным посредником. Всю ответственность за опубликованные материалы несут пользователи, загрузившие материал на сайт. Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете на материал.

ИИ для создания материалов

Создавайте материалы с ИИ

Если готовые материалы не подошли — помогут нейросети

Конспекты, тесты, презентации, рабочие листы и другие материалы по ФГОС — под ваш урок, класс и цели занятия за пару минут.

Попробовать бесплатно

Выберите инструмент

~160

Нейросети могут ошибаться. Обязательно проверяйте ответы.

Курсы по теме

Перейти в каталог курсов

Мини-курсы по теме

Перейти в каталог мини-курсов

Найдите подходящий для Вас курс

Найдите подходящий для Вас курс

В каталоге 7 450 курсов по разным направлениям

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы: