Последовательность введения понятия логарифма и
логарифмической функции, а также их свойств в школьных учебниках, использующих
в настоящее время.
Логарифмы и их свойства
А. Г. Мордкович, П. В. Семенов.
“ Алгебра и начала
анализа” 11 класс (профильный уровень).
Понятие логарифма
вводится для обдумывания ситуации с показательным уравнением. А именно:
показательное уравнение решается графически и по чертежу мы не можем определить
значение корня, поэтому нужно вводить новый символ.
Определение:
логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию
а называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы
получить число b.
На языке символов = b.
Операцию
нахождения логарифма числа обычно называют логарифмированием. Эта операция
является обратной по отношению к возведению в степень с соответствующим
основанием.
Особо выделяют три
формулы:
logaa = 1
loga1 = 0
logaac = c
Одна и та же
зависимость logab = c и ac = b.
Логарифм по
основанию 10 называется десятичным логарифмом.
Свойства логарифмов: (все свойства формулируются для
положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифма)
1.
Логарифм произведения двух
положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел: loga bc = logab + logac.
Доказательство:
Введем следующее обозначения:
loga bc = х, logab = у, logac = z.
Нужно доказать, что выполняется равенство х = у + z.
Так как loga bc = х, то ах = bc.
Так как logab = у, то ау = b.
Так как logac = z, то аz = c.
Итак, ах = bc, ау = b, аz
= c.
Значит, ау · аz = ах, т.е. ау+z
= ах.
Но если степени двух положительных чисел равны и основания степеней
равны и отличны от 1, то равны и показатели степеней. Значит, у + z = х,
что и требовалось доказать.
Теорема остается справедливой и для случая, когда логарифмируемое
выражение представляет собой произведение более двух положительных чисел.
2.
Если а, b,c –
положительные числа, причем а 1, то справедливо
равенство loga = logab
– logac. ( логарифм частного равен разности
логарифмов делимого и делителя или логарифм дроби равен разности логарифмов
числителя и знаменателя). Без доказательства.
3.
Если а и b –
положительные числа, причем а 1, то для любого числа
r справедливо равенство logabr =
r logab. (логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм
основания степени.)
Доказательство:
Введем следующие обозначения:
logabr = х, logab = у.
Нужно доказать, что х = rу.
Из logabr = х следует, что ах = br; из logab = у следует, что ау = b.
Возведя обе части последнего равенства в степень r, получим аrу = br. Итак, ах = br, аrу = br, значит, ах = аrу, т.е. х = rу, что
и требовалось доказать.
4.
Равенство loga t = loga s, где а > 0, а 1, t > 0, s >0, справедливо тогда и только тогда,
когда t = s. Без доказательства.
5.
Если а, b,c –
положительные числа, причем а и с отличны от 1, то имеет место равенство logab = .
Доказательство:
Введем следующие обозначения:
logab = х, logcb = y, logca = z.
Нужно доказать, что х = .
Из logab = х следует, что ах = b; из logcb = y следует, что су = b. Итак,
ах = су. Далее, из logca = z следует, что сz
= а. Значит, (сz)х = су, т.е. zх = у, что
и требовалось доказать.
Следствие 1: Если а и b – положительные и отличные от 1 числа, то
справедливо равенство logab = .
Доказательство:
Применив формулу logab = к случаю, когда с = b, получим: logab = =.
Следствие 2: Если а и b – положительные числа, причем а 1, то для любого числа r 0 справедливо равенство logab = logar br.
Доказательство:
Перейдем к выражению logar br к логарифмам по основанию а: logar br =
Вычисление значений логарифмов сводится к решению некоторого
показательного уравнения.
А. Н. Колмогоров.
“ Алгебра и начала математического анализа” 10 – 11 класс.
Уравнение ax = b, a > 0 и а 1 не
имеет решений при b0 и имеет единственный корень в случае b > 0. Этот корень
называют логарифмом b по основанию а и обозначают logab, т.е. aloga b = b (основное логарифмическое тождество).
Определение: Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени
, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.
Основные свойства логарифмов: ( при любом а >
0, а 1 и любых
положительных х и у).
1.
loga 1 = 0.
2.
logaa = 1.
3.
logaxy = logax + logay (логарифм произведения равен сумме логарифмов).
Доказательство:
Воспользуемся
основным логарифмическим тождеством: х = аlogax,
y = alogay. Перемножая почленно эти равенства, получаем:
ху = аlogax· alogay = аlogax+logay,
т.е. ху = аlogax+logay.
Следовательно по определению логарифма logaxy = logax + logay.
4.
loga = logax - logay (логарифм частного равен разности
логарифмов.)
Доказательство:
Воспользуемся основным логарифмическим тождеством: х = аlogax,
y = alogay. , следовательно, по
определению loga = logax - logay
5.
logaxp = p logax , для любого действительного p.(логарифм
степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой
степени.)
Доказательство:
Воспользуемся тождеством х = аlogax, откуда хр = (аlogax)р
= арlogax. Следовательно, по определению logaxp = p logax.
6.
logax = (формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию.)
Доказательство:
По правилу логарифмирования степени и основному логарифмическому
тождеству получаем: logbx = logb(аlogax), откуда logbx = logax·logba. Разделив обе части полученного равенства на
logba, приходим к нужной формуле.
М. И. Башмаков.
“ Алгебра и начала
анализа” 10 – 11 класс.
Определение: Логарифмом
числа b по основанию а называется показатель степени, в
которую надо возвести а, чтобы получить число b. (t = logab)
На основе
определения вводится понятие логарифма. Рассматривается только степень. Все
выкладки и формулы производятся путем подстановки в равенство at = b. Например, подставляя в равенство at = b запись числа t в виде логарифма, получаем равенство,
называемое основным логарифмическим тождеством: alogab = b.
Свойства логарифмов: (числа b, b1, b2 положительны)
1.
logab1b2 = logab1 + logab2 ( логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей.)
Доказательство:
Обозначим logab1 = t1,
logab2 = t2.
По основному логарифмическому тождеству имеем: at1 = b1 и at2 = b2.
Перемножим эти равенства: at1· at2 = b1 b2. По свойству степеней at1·
at2
= at1+ t2, т.е. b1 b2
= at1+ t2. По определению логарифма logab1b2 = logab1 + logab2, что и требовалось доказать.
2.
loga =
logab1 – logab2 ( логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя).
Без доказательства.
3.
logabk = k logab (логарифм степени равен показателю степени,
умноженному на логарифм основания). Без доказательства.
Н. Я. Виленкин, О.
С. Ивашев – Мусатов, С. И. Шварцбурд.
“ Алгебра и
математический анализ” 11 класс.
Вначале
рассматривается только натуральный логарифм, как функция, который вводится на
основе интеграла, а затем путем рассмотрения натурального логарифма и
логарифмической функции получают логарифм х по основанию а. А уже показательная
функция здесь основывается на логарифмической.
Свойства функции натурального логарифма:
1.
ln ax = ln a + ln x
2.
ln = ln
a – ln x
3.
ln xn = n ln x
4.
ln = ln x, x > 0
Свойства логарифма: (Без доказательства)
1.
logaax = x
2.
alogab
= b, b > 0
3.
logaxy = logax
+ logay, x > 0, y > 0
4.
loga =
logax – logay, x > 0, y > 0
5.
loga = logax,
x>0
6.
logab = , a > 0, b > 0, c > 0, c1
Логарифмическая функция
Рассмотрим
последовательность введения логарифмической функции в современных школьных
учебниках.
А. Г. Мордкович, П. В. Семенов.
“ Алгебра и начала
анализа” 11 класс (профильный уровень).
Рассматривается показательная функция у = ах.
Значит, по теореме об обратной функции для функции у = ах существует обратная этой
обратной функцией является х = logaу или у = logах. Ее график получается из графика показательной функции у = ах
с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х. График функции у = logах называется логарифмической кривой.
Свойства функции y = logax, a>1:
1.
D(f) = (0;+)
2.
не является ни четной, ни
нечетной.
3.
возрастает на (0;+)
4.
не ограничена сверху, не
ограничена снизу
5.
не имеет ни наибольшего,
ни наименьшего значений
6.
непрерывна
7.
E(f) = (-;
+)
8.
выпукла вверх.
Свойства функции y = logax, 0<a<1:
1.
D(f) = (0;+)
2.
не является ни четной, ни
нечетной.
3.
убывает на (0;+)
4.
не ограничена сверху, не
ограничена снизу
5.
не имеет ни наибольшего,
ни наименьшего значений
6.
непрерывна
7.
E(f) = (-;
+)
8.
выпукла вниз.
А. Н. Колмогоров.
“ Алгебра и начала математического анализа” 10 – 11 класс.
Определение: Функцию заданную формулой y = logax называют логарифмической функцией с основанием а.
Свойства:
1.
Область определения
логарифмической функции – множество всех положительных чисел R, т.е. D (loga) = R+.
2.
Область значений
логарифмической функции – множество всех действительных чисел.
3.
Логарифмическая функция на
всей области определения возрастает ( при а >1) или убывает (при 0<a<1).
Графики показательной
и логарифмической функций симметричны относительно прямой у = х.
М. И. Башмаков.
“ Алгебра и начала
анализа” 10 – 11 класс.
Определение:
Логарифмической функцией называется функция вида y = logax.
Определение
логарифмов основано на понятии степени, при доказательстве свойств логарифмической
функции используют свойства показательной функции.
Свойства:
1.
Область определения –
множество всех положительных чисел, т. е. промежуток (0;+).
2.
Монотонность: если а>1,
то логарифмическая функция строго возрастает, если 0<a<1, то
она строго убывает.
3.
Область значений:
множество всех вещественных чисел R.
Доказательство:
Всякое вещественное число t может быть логарифмом некоторого числа х. Так
как степень at определена при любом t, то,
взяв х = аt, получим logaat = t, что и требовалось доказать.
Н. Я. Виленкин,
О. С. Ивашев – Мусатов, С. И. Шварцбурд.
“ Алгебра и
математический анализ” 11 класс.
Вначале вводится
определение ln x, ее свойства и график. Затем логарифмическая
функция и степень с любым показателем. И только после изучения логарифмической
функции изучается показательная функция.
Логарифмическая
функция вводится на основе натурального логарифма, который в свою очередь
представляет собой интеграл.
В профильных классах
можно рассмотреть следующие свойства:
Свойство 1. При положительном основании отрицательные
числа и нуль не имеют действительных логарифмов.
Дано: logaN
N 0
a>0, a.
Доказать: не существует действительного значения для logaN.
Доказательство: Предположим что logaN, где N<0 существует и равен k т.е. logaN = k. Тогда по определению логарифма ak=N. Но ak>0 (при положительном основании функция у=ах-
положительна), а N<0.
Таким образом,
пришли к противоречию: положительное число (ак) равно отрицательному
числу или нулю (N).
Следовательно
отрицательные числа и нуль при положительном основании не имеют логарифмов.
Свойство 2.
При положительном основании каждое положительное число имеет логарифм.
Дано: N>0, a>0, a.
Доказать: lgaN – действительное число.
Покажем на частном
примере нахождение логарифма некоторого положительного числа по какому-либо
основанию с любой степенью точности.
Пусть требуется
например lg 2 с точностью до 0,1.
Положим lg 2 = . Отсюда ( по определению логарифма) = 2 или возвысив обе части последнего
равенства в 10-ю степень получим:
10x=210
или 10x= 10241000=103, т.е. 10x 103 и x3.
Значит, lg 2 ==0,3.
Для нахождения log 2 с
точностью до 0,01 положим lg 2 = .
Сделав аналогичные
преобразования получим:
=2,10x=2100=(210)10=102410
(103)10=1030,
т.е.
10x 1030 и x30, a lg 2 =0,3.
Замечание. Применяя
указанный способ и рассмотренные ниже свойства логарифмов можно было бы
составить таблицы логарифмов чисел по любому положительному основанию с любой
степенью точности но указанный способ очень сложный. Математика дает более
простые способы вычисления которые выходят за рамки школьной программы.
Свойство 3. Числа,
имеющие при одном и том же основании равные логарифмы, равны между собой.
Дано: logaN1=logaN2.
Доказать: N1=N2.
Доказательство.
Обозначив logaN1=logaN2 через к по определению логарифма получим: N1=ak и N2=ak, откуда N1=N2.
(Две величины порознь
равные третьей равны между собой.)
Свойство 4.
При одном и том же основании равные числа имеют равные логарифмы.
Дано: N1=N2
Доказать: logaN1=logaN2.
Доказательство.
Положив logaN1=k , a logaN2=m (1) рассмотрим относительно основания а два случая:
1) а>1
2)a<1
Случай 1. (а>1).
Из (1) по определению логарифма имеем: ak=N1 и am=N2, откуда ak=am, или ak-am=0, ak(1-am-k)=0. Но ak 0, следовательно, 1- am-k=0,
am-k=1.
Последнее равенство
возможно при m-k =0, т.е. при m=k. В
самом деле если
m-k>0, то am-k>1, а если m-k<0,
то am-k<1 ( по
свойству показательной функции при а >1).
Случай 2 доказывается
аналогично.
Итак доказано, что m=k, т. е.
logaN1=logaN2.
Замечание. Так как
логарифм есть показатель степени, то это свойство можно сформулировать и так:
если степени равны, основания степеней равны, то и показатели степеней равны.
Из свойств 2 и 4
заключаем:
Каждое
положительное число имеет единственный логарифм.
Свойство 5: (Теорема о логарифмах).
Я считаю целесообразным доказать
справедливость теоремы о логарифмировании произведения произвольного числа n
сомножителей, применяя метод математической индукции.
Будем считать
доказанным равенство:
loga(N1 ·N2)
= logaN1+logaN2.
Докажем справедливость равенства:
loga(N1N2N3…Nn-1Nn) = logaN1+logN2+…+lognNn-1+logaNn.
(1)
Доказательство:
1. Теорема
справедлива для произведения двух сомножителей:
loga(N1 ·N2) = logaN1+logaN2.
2. Предположим, что
теорема справедлива и для произведения произвольного числа k сомножителей,
т.е. что
loga(N1N2...Nk)
= logaN1+logaN2+…logaNk.
Докажем, что эта теорема будет справедлива и для
произведения k+1 сомножителя, т.е. справедливо равенство:
loga(N1N2…NkNk+1)
= logaN1+logaN2+…+logaNk+logaNk+1.
Действительно:
loga(N1N2…NkNk+1)
= loga((N1N2…Nk)Nk+1) = loga(N1N2…Nk)+logaNk+1.
Но по предположению
loga(N1N2…Nk) = logaN1+logaN2+…+logaNk.
Следовательно,
окончательно имеем:
loga(N1N2…NkNk+1)
= logaN1+logaN2+…+logaNk+logaNk+1.
что и требовалось
доказать.
Свойство 6: (Основное логарифмическое тождество).
alogaN = N
Это тождество
вытекает из определения логарифма. В самом деле, положив logaN=k, получим ak=N, но k=logaN, а поэтому alogaN=N.
Пользуясь этим
тождеством, можно доказать теоремы о логарифмах.
Свойство 7: ( Модуль перехода от одной системы
логарифмов к другой).
Существуют
различные системы логарифмов. Основными являются десятичные (основание 10) и
натуральные (основание – иррациональное число е=2,718231…). Покажем, как, зная
логарифм некоторого числа по основанию, например а, найти логарифм того же
числа по основанию b.
Итак, пусть logbN=k. Найдем logaN.
LogbN=k, отсюда bk=N.
Прологарифмировав
обе части полученного равенства по основанию а, получим: k·logab=logaN, откуда
k=logaN/logab,
т. е.
logbN=logaN/logab.
Поясним на примере,
как с помощью этой формулы, зная логарифм числа по одному основанию, найти
логарифм того же числа по другому основанию. Например, пользуясь десятичными
таблицами логарифмов, найдем log28.
Таким образом, с помощью
этой формулы, пользуясь таблицей десятичных логарифмов чисел, мы можем найти
логарифм любого положительного числа по другому положительному основанию.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.