Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Последовательность введения понятия логарифма и логарифмической функции, а также их свойств в школьных учебниках, использующих в настоящее время.

Последовательность введения понятия логарифма и логарифмической функции, а также их свойств в школьных учебниках, использующих в настоящее время.


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Последовательность введения понятия логарифма и логарифмической функции, а также их свойств в школьных учебниках, использующих в настоящее время.


Логарифмы и их свойства

А. Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Алгебра и начала анализа” 11 класс (профильный уровень).

Понятие логарифма вводится для обдумывания ситуации с показательным уравнением. А именно: показательное уравнение решается графически и по чертежу мы не можем определить значение корня, поэтому нужно вводить новый символ.

Определение: логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию а называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

На языке символов hello_html_600fe40.gif= b.

Операцию нахождения логарифма числа обычно называют логарифмированием. Эта операция является обратной по отношению к возведению в степень с соответствующим основанием.hello_html_m53d4ecad.gif

Особо выделяют три формулы:

logaa = 1

loga1 = 0

logaac = c

Одна и та же зависимость logab = c и ac= b.

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом.

Свойства логарифмов: (все свойства формулируются для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифма)

  1. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел: logabc = logab + logac.

Доказательство:

Введем следующее обозначения:

logabc = х, logab = у, logac = z.

Нужно доказать, что выполняется равенство х = у + z.

Так как logabc = х, то ах = bc.

Так как logab = у, то ау = b.

Так как logac = z, то аz = c.

Итак, ах = bc, ау = b, аz = c.

Значит, ау · аz = ах, т.е. ау+z = ах.

Но если степени двух положительных чисел равны и основания степеней равны и отличны от 1, то равны и показатели степеней. Значит, у + z = х, что и требовалось доказать.

Теорема остается справедливой и для случая, когда логарифмируемое выражение представляет собой произведение более двух положительных чисел.

  1. Если а, b,c – положительные числа, причем аhello_html_3750bfcb.gif 1, то справедливо равенство logahello_html_m1419d6df.gif = logablogac. ( логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя или логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя). Без доказательства.

  2. Если а и b – положительные числа, причем аhello_html_3750bfcb.gif 1, то для любого числа r справедливо равенство logabr = r logab. (логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.)

Доказательство:

Введем следующие обозначения:

logabr = х, logab = у.

Нужно доказать, что х = rу.

Из logabr = х следует, что ах = br; из logab = у следует, что ау = b. Возведя обе части последнего равенства в степень r, получим аrу = br. Итак, ах = br, аrу = br, значит, ах = аrу, т.е. х = rу, что и требовалось доказать.

  1. Равенство loga t = loga s, где а > 0, аhello_html_3750bfcb.gif 1, t > 0, s >0, справедливо тогда и только тогда, когда t = s. Без доказательства.

  2. Если а, b,c – положительные числа, причем а и с отличны от 1, то имеет место равенство logab = hello_html_9747e47.gif.

Доказательство:

Введем следующие обозначения:

logab = х, logcb = y, logca = z.

Нужно доказать, что х = hello_html_m68134fa2.gif.

Из logab = х следует, что ах = b; из logcb = y следует, что су = b. Итак, ах = су. Далее, из logca = z следует, что сz = а. Значит, (сz)х = су, т.е. zх = у, что и требовалось доказать.

Следствие 1: Если а и b – положительные и отличные от 1 числа, то справедливо равенство logab = hello_html_m3c39a45a.gif.

Доказательство:

Применив формулу logab = hello_html_9747e47.gif к случаю, когда с = b, получим: logab = hello_html_1da52ef2.gif =hello_html_m3c39a45a.gif.

Следствие 2: Если а и b – положительные числа, причем аhello_html_3750bfcb.gif 1, то для любого числа r hello_html_3750bfcb.gif0 справедливо равенство logab = logar br.

Доказательство:

Перейдем к выражению logar br к логарифмам по основанию а: logar br = hello_html_47cb9f4b.gif

Вычисление значений логарифмов сводится к решению некоторого показательного уравнения.


А. Н. Колмогоров.

Алгебра и начала математического анализа” 10 – 11 класс.

Уравнение ax = b, a > 0 и аhello_html_3750bfcb.gif 1 не имеет решений при bhello_html_m7ceebba.gif0 и имеет единственный корень в случае b > 0. Этот корень называют логарифмом b по основанию а и обозначают logab, т.е. aloga b = b (основное логарифмическое тождество).

Определение: Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени , в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Основные свойства логарифмов: ( при любом а > 0, аhello_html_3750bfcb.gif 1 и любых

положительных х и у).

  1. loga 1 = 0.

  2. logaa = 1.

  3. logaxy = logax + logay (логарифм произведения равен сумме логарифмов).

Доказательство:

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством: х = аlogax, y = alogay. Перемножая почленно эти равенства, получаем: ху = аlogax· alogay = аlogax+logay, т.е. ху = аlogax+logay. Следовательно по определению логарифма logaxy = logax + logay.

  1. logahello_html_m4dbc42d5.gif = logax - logay (логарифм частного равен разности логарифмов.)

Доказательство:

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством: х = аlogax, y = alogay. hello_html_m72a611f1.gif, следовательно, по определению logahello_html_m4dbc42d5.gif = logax - logay

  1. logaxp = p logax , для любого действительного p.(логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.)

Доказательство:

Воспользуемся тождеством х = аlogax, откуда хр = (аlogax)р = арlogax. Следовательно, по определению logaxp = p logax.

  1. logax = hello_html_m6658db6f.gif (формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию.)

Доказательство:

По правилу логарифмирования степени и основному логарифмическому тождеству получаем: logbx = logblogax), откуда logbx = logax·logba. Разделив обе части полученного равенства на logba, приходим к нужной формуле.



М. И. Башмаков.

Алгебра и начала анализа” 10 – 11 класс.

Определение: Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить число b. (t = logab)

На основе определения вводится понятие логарифма. Рассматривается только степень. Все выкладки и формулы производятся путем подстановки в равенство at = b. Например, подставляя в равенство at = b запись числа t в виде логарифма, получаем равенство, называемое основным логарифмическим тождеством: alogab = b.

Свойства логарифмов: (числа b, b1, b2 положительны)

  1. logab1b2 = logab1 + logab2 ( логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей.)

Доказательство:

Обозначим logab1 = t1, logab2 = t2. По основному логарифмическому тождеству имеем: at1 = b1 и at2 = b2. Перемножим эти равенства: at1· at2 = b1b2. По свойству степеней at1· at2 = at1+ t2, т.е. b1b2 = at1+ t2. По определению логарифма logab1b2 = logab1 + logab2, что и требовалось доказать.

  1. logahello_html_6eb875a9.gif = logab1logab2 ( логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя). Без доказательства.

  2. logabk = k logab (логарифм степени равен показателю степени, умноженному на логарифм основания). Без доказательства.

Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев – Мусатов, С. И. Шварцбурд.

Алгебра и математический анализ” 11 класс.

Вначале рассматривается только натуральный логарифм, как функция, который вводится на основе интеграла, а затем путем рассмотрения натурального логарифма и логарифмической функции получают логарифм х по основанию а. А уже показательная функция здесь основывается на логарифмической.

Свойства функции натурального логарифма:

  1. ln ax = ln a + ln x

  2. lnhello_html_m448d2637.gif = ln a – ln x

  3. ln xn = n ln x

  4. ln hello_html_m7144a2f6.gif = hello_html_m162abd99.gifln x, x > 0

Свойства логарифма: (Без доказательства)

  1. logaax = x

  2. alogab = b, b > 0

  3. logaxy = logax + logay, x > 0, y > 0

  4. logahello_html_m7d36df78.gif= logax – logay, x > 0, y > 0

  5. logahello_html_mdd4090c.gif = hello_html_6809f247.gif logax, x>0

  6. logab = hello_html_9747e47.gif, a > 0, b > 0, c > 0, chello_html_3750bfcb.gif1



Логарифмическая функция

Рассмотрим последовательность введения логарифмической функции в современных школьных учебниках.

А. Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Алгебра и начала анализа” 11 класс (профильный уровень).

Рассматривается показательная функция у = ах. Значит, по теореме об обратной функции для функции у = ахсуществует обратная этой обратной функцией является х = logaу или у = logах. Ее график получается из графика показательной функции у = ах с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х. График функции у = logах называется логарифмической кривой.

Свойства функции y = logax, a>1:

  1. D(f) = (0;+hello_html_m74e6612e.gif)

  2. не является ни четной, ни нечетной.

  3. возрастает на (0;+hello_html_m74e6612e.gif)

  4. не ограничена сверху, не ограничена снизу

  5. не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений

  6. непрерывна

  7. E(f) = (-hello_html_m74e6612e.gif; +hello_html_m74e6612e.gif)

  8. выпукла вверх.

Свойства функции y = logax, 0<a<1:

  1. D(f) = (0;+hello_html_m74e6612e.gif)

  2. не является ни четной, ни нечетной.

  3. убывает на (0;+hello_html_m74e6612e.gif)

  4. не ограничена сверху, не ограничена снизу

  5. не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений

  6. непрерывна

  7. E(f) = (-hello_html_m74e6612e.gif; +hello_html_m74e6612e.gif)

  8. выпукла вниз.

А. Н. Колмогоров.

Алгебра и начала математического анализа” 10 – 11 класс.

Определение: Функцию заданную формулой y = logax называют логарифмической функцией с основанием а.

Свойства:

  1. Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел R, т.е. D (loga) = R+.

  2. Область значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел.

  3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает ( при а >1) или убывает (при 0<a<1).

Графики показательной и логарифмической функций симметричны относительно прямой у = х.


М. И. Башмаков.

Алгебра и начала анализа” 10 – 11 класс.

Определение: Логарифмической функцией называется функция вида y = logax.

Определение логарифмов основано на понятии степени, при доказательстве свойств логарифмической функции используют свойства показательной функции.

Свойства:

  1. Область определения – множество всех положительных чисел, т. е. промежуток (0;+hello_html_m74e6612e.gif).

  2. Монотонность: если а>1, то логарифмическая функция строго возрастает, если 0<a<1, то она строго убывает.

  3. Область значений: множество всех вещественных чисел R.

Доказательство:

Всякое вещественное число t может быть логарифмом некоторого числа х. Так как степень at определена при любом t, то, взяв х = аt, получим logaat = t, что и требовалось доказать.

Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев – Мусатов, С. И. Шварцбурд.

Алгебра и математический анализ” 11 класс.

Вначале вводится определение ln x, ее свойства и график. Затем логарифмическая функция и степень с любым показателем. И только после изучения логарифмической функции изучается показательная функция.

Логарифмическая функция вводится на основе натурального логарифма, который в свою очередь представляет собой интеграл.


В профильных классах можно рассмотреть следующие свойства:


Свойство 1. При положительном основании отрицательные числа и нуль не имеют действительных логарифмов.

Дано: logaN

Nhello_html_m7ceebba.gif 0

a>0, ahello_html_m46593ef6.gif.

Доказать: не существует действительного значения для logaN.

Доказательство: Предположим что logaN, где N<0 существует и равен k т.е. logaN = k. Тогда по определению логарифма ak=N. Но ak>0 (при положительном основании функция у=ах- положительна), а N<0.

Таким образом, пришли к противоречию: положительное число (ак) равно отрицательному числу или нулю (N).

Следовательно отрицательные числа и нуль при положительном основании не имеют логарифмов.

Свойство 2. При положительном основании каждое положительное число имеет логарифм.

Дано: N>0, a>0, ahello_html_m46593ef6.gif.

Доказать: lgaN – действительное число.

Покажем на частном примере нахождение логарифма некоторого положительного числа по какому-либо основанию с любой степенью точности.

Пусть требуется например lg 2 с точностью до 0,1.

Положим lg 2 = hello_html_m10c351ba.gif. Отсюда ( по определению логарифма) hello_html_430ca13b.gif= 2 или возвысив обе части последнего равенства в 10-ю степень получим:

10x=210 или 10x= 1024hello_html_m3132e3c.gif1000=103, т.е. 10x hello_html_m3132e3c.gif103 и xhello_html_m3132e3c.gif3.

Значит, lg 2 =hello_html_m10c351ba.gifhello_html_m3132e3c.gifhello_html_3c6da312.gif=0,3.

Для нахождения log 2 с точностью до 0,01 положим lg 2 = hello_html_34742fc3.gif.

Сделав аналогичные преобразования получим:

hello_html_m37e1c779.gif=2,10x=2100=(210)10=102410 hello_html_m3132e3c.gif(103)10=1030, т.е.

10x hello_html_m3132e3c.gif 1030 и xhello_html_m3132e3c.gif30, a lg 2 =hello_html_34742fc3.gifhello_html_m3132e3c.gif0,3.


Замечание. Применяя указанный способ и рассмотренные ниже свойства логарифмов можно было бы составить таблицы логарифмов чисел по любому положительному основанию с любой степенью точности но указанный способ очень сложный. Математика дает более простые способы вычисления которые выходят за рамки школьной программы.

Свойство 3. Числа, имеющие при одном и том же основании равные логарифмы, равны между собой.

Дано: logaN1=logaN2.

Доказать: N1=N2.

Доказательство. Обозначив logaN1=logaN2 через к по определению логарифма получим: N1=ak и N2=ak, откуда N1=N2.

(Две величины порознь равные третьей равны между собой.)

Свойство 4. При одном и том же основании равные числа имеют равные логарифмы.

Дано: N1=N2

Доказать: logaN1=logaN2.

Доказательство. Положив logaN1=k , a logaN2=m (1) рассмотрим относительно основания а два случая: 1) а>1

2)a<1

Случай 1. (а>1). Из (1) по определению логарифма имеем: ak=N1 и am=N2, откуда ak=am, или ak-am=0, ak(1-am-k)=0. Но ak hello_html_3750bfcb.gif0, следовательно, 1- am-k=0,

am-k=1.

Последнее равенство возможно при m-k =0, т.е. при m=k. В самом деле если

m-k>0, то am-k>1, а если m-k<0, то am-k<1 ( по свойству показательной функции при а >1).

Случай 2 доказывается аналогично.

Итак доказано, что m=k, т. е. logaN1=logaN2.

Замечание. Так как логарифм есть показатель степени, то это свойство можно сформулировать и так: если степени равны, основания степеней равны, то и показатели степеней равны.

Из свойств 2 и 4 заключаем:

Каждое положительное число имеет единственный логарифм.

Свойство 5: (Теорема о логарифмах).

Я считаю целесообразным доказать справедливость теоремы о логарифмировании произведения произвольного числа n сомножителей, применяя метод математической индукции.

Будем считать доказанным равенство:

loga(N1 ·N2) = logaN1+logaN2.

Докажем справедливость равенства:

loga(N1N2N3Nn-1Nn) = logaN1+logN2+…+lognNn-1+logaNn. (1)

Доказательство:

1. Теорема справедлива для произведения двух сомножителей:

loga(N1 ·N2) = logaN1+logaN2.

2. Предположим, что теорема справедлива и для произведения произвольного числа k сомножителей, т.е. что

loga(N1N2...Nk) = logaN1+logaN2+…logaNk.

Докажем, что эта теорема будет справедлива и для произведения k+1 сомножителя, т.е. справедливо равенство:

loga(N1N2…NkNk+1) = logaN1+logaN2+…+logaNk+logaNk+1.

Действительно:

loga(N1N2…NkNk+1) = loga((N1N2…Nk)Nk+1) = loga(N1N2…Nk)+logaNk+1.

Но по предположению

loga(N1N2Nk) = logaN1+logaN2+…+logaNk.

Следовательно, окончательно имеем:

loga(N1N2…NkNk+1) = logaN1+logaN2+…+logaNk+logaNk+1.

что и требовалось доказать.

Свойство 6: (Основное логарифмическое тождество).

alogaN = N

Это тождество вытекает из определения логарифма. В самом деле, положив logaN=k, получим ak=N, но k=logaN, а поэтому alogaN=N.

Пользуясь этим тождеством, можно доказать теоремы о логарифмах.

Свойство 7: ( Модуль перехода от одной системы логарифмов к другой).

Существуют различные системы логарифмов. Основными являются десятичные (основание 10) и натуральные (основание – иррациональное число е=2,718231…). Покажем, как, зная логарифм некоторого числа по основанию, например а, найти логарифм того же числа по основанию b.

Итак, пусть logbN=k. Найдем logaN.

LogbN=k, отсюда bk=N.

Прологарифмировав обе части полученного равенства по основанию а, получим: k·logab=logaN, откуда

k=logaN/logab, т. е.

logbN=logaN/logab.

Поясним на примере, как с помощью этой формулы, зная логарифм числа по одному основанию, найти логарифм того же числа по другому основанию. Например, пользуясь десятичными таблицами логарифмов, найдем log28.

Таким образом, с помощью этой формулы, пользуясь таблицей десятичных логарифмов чисел, мы можем найти логарифм любого положительного числа по другому положительному основанию.




Автор
Дата добавления 26.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров421
Номер материала ДВ-556953
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх