Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Пособие для обучающихся "Числовые множества"

Пособие для обучающихся "Числовые множества"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Государственное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Тульской области

«Алексинский машиностроительный техникум»



17 Декабря 2013 - Целого мира мало








Числовые

множества




Разработан

преподавателем

математики

Христофоровой М.Ю.





Число́ — основное понятие математики, используемое для  количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Письменными знаками для обозначения чисел служат цифры, а также  символы математических операций.

Понятие числа возникло в глубокой древности из практической потребности людей и развивалось в процессе развития человечества. Область человеческой деятельности расширялась и соответственно, возрастала потребность в количественном описании и исследовании. Сначала понятие числа определялось теми потребностями счёта и измерения, которые возникали в практической деятельности человека, всё более усложняясь. Позже число становится основным понятием математики, и потребности этой науки определяют дальнейшее развитие этого понятия.Форум Зайцев.нет Powered by Invision Power Board

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.

Примерами числовых множеств являются:

N={1; 2; 3; ...; n; ... } — множество натуральных чисел;

Zo={0; 1; 2; ...; n; ... } — множество целых неотрицательных чисел;

Z={0; ±1; ±2; ...; ±n; ...} — множество целых чисел;

Q={m/n:    mZ,nN} — множество рациональных чисел.

R—множество действительных чисел.

Между этими множествами существует соотношение

N Zo Z Q R.

  • Числа вида N = {1, 2, 3, ....} называются натуральными. Натуральные числа появились в связи с необходимостью подсчета предметов.

Любое натуральное число, большее единицы, представимо в виде произведения степеней простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей. Например, 121968=24·32·7·112

  1. Если m, n, k - натуральные числа, то при m - n = k говорят, что m - уменьшаемое, n - вычитаемое, k - разность; при m : n = k говорят, что m - делимое, n - делитель, k - частное, число называют также кратным числа n, а число n - делителем числа m, Если число m - кратное числа n, то существует натуральное число k, такое, что m = kn.

  2. Из чисел с помощью знаков арифметических действий и скобок составляются числовые выражения. Если в числовом выражении выполнить указанные действия, соблюдая принятый порядок, то получиться число, которое называетсязначением выражения.

  3. Порядок арифметических действий: сначала выполняются действия в скобках; внутри любых скобок сначала выполняют умножение и деление, а потом сложение и вычитание.

  4. Если натуральное число не делится на натуральное число n, т.е. не существует такого натурального числа k, что m =kn, то рассматривают деление с остатком: m = np + r, где m - делимое, n - делитель (m>n), p - частное, r - остаток.

  5. Если число имеет только два делителя (само число и единица), то оно называется простым: если число имеет более двух делителей, то оно называется составным.

  6. Любое составное натуральное число можно разложить на простые множители, и только одним способом. При разложении чисел на простые множители используют признаки делимости.

  7. Для любых заданных натуральных чисел a и можно найти наибольший общий делитель. Он обозначается D(a,b). Если числа a и таковы, что D(a,b) = 1, то числа a и называются взаимно простыми.

  8. Для любых заданных натуральных чисел a и можно найти наименьшее общее кратное. Оно обозначается K(a,b). Любое общее кратное чисел a и делится на K(a,b).

  9. Если числа a и b взаимно простые, т.е. D(a,b) = 1, то K(a,b) = ab .

  • Числа вида: Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....} называются целыми числамит.е. целые числа - это натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и число 0.

Натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5.... называют также положительными целыми числами. Числа -1, -2, -3, -4, -5, ...,противоположные натуральным, называются отрицательными целыми числами.

  • Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел: Q = Z http://uztest.ru/jsmath/jsMath/fonts/cmsy10/alpha/144/char5B.png {nm}, где m - целое число, а n - натуральное число.

  1. Среди дробей, обозначающих данное рациональное число, имеется одна и только одна несократимая дробь.Для целых чисел - это дробь со знаменателем 1.

  2. Каждое рациональное число представимо в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.Архив материалов Интересные факты и события. . Факты и их обсуждение.

  3. Дробь nm называется правильнойесли ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или раен ему.

  4. Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби.

  5. Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.

  6. Если числитель и знаменатель дроби взаимно простые числа, то дробь называется несократимой.

  7. В виде десятичной дроби можно записать правильную дробь, знаменатель которой равен степени с основанием 10. Если к десятичной дроби приписать справа нуль или несколько нулей, то получится равная ей дробь. Если десятичная дробь оканчивается одним или несколькими нулями, то эти нули можно отбросить - получиться равная ей дробь. 

Значимыми цифрами числа называются все его цифры, кроме нулей, стоящих в начале.

  1. Последовательно повторяющаяся группа цифр после запятой в десятичной записи числа называется периодом, а бесконечная десятичная дробь, имеющая такой период в своей записи, называется периодическойЕсли период начинается сразу после запятой, то дробь называется чистой периодической; если же между запятой и периодом есть другие десятичные знаки, то дробь называется смешанной периодической.

  • Числа не являющиеся целыми или дробными называются иррациональными.

Каждое иррациональное число представляется в виде непереодической бесконечной десятичной дробью.

  • Множество всех конечных и бесконечных десятичных дробей называется множеством действительных чисел: рациональных и иррациональных.

Множество R действительных чисел обладает следующими свойствами.

1. Оно упорядоченное: для любых двух различных чисел α и b имеет место одно из двух соотношений а

2. Множество R плотное: между любыми двумя различными числами a и b содержится бесконечное множество действительных чисел х, т. е. чисел, удовлетворяющих неравенству a<х

Так, если a

(a 2a<а+b а+b<2b   2а  а<(a+b)/2

Действительные числа можно изображать в виде точек на числовой прямой. Чтобы задать числовую прямую необходимо отметить на прямой точку, которой будет соответствовать число 0- начало отсчёта, а затем выбрать единичный отрезок и указать положительное направление.контрольная работа Начальная школа

Каждой точке на координатной прямой соответствует число, которое определяется как длина отрезка от начала отсчета до рассматриваемой точки, при этом за единицу измерения принимается единичный отрезок. Это число -координата точки. Если точка взята справа от начала отсчета, то ее координата положительная, а если слева - отрицательная. Например точки О и А имеют координаты 0 и 2, соответственно, что можно записать так: 0(0), А(2).

Комплексные числа подразделяются на  алгебраические  и  трансцендентные. При этом каждое действительное трансцендентное является иррациональным, а каждое рациональное число — действительным алгебраическим.

Более общими (но всё ещё счётными) классами чисел, чем алгебраические, являются  периодывычислимые  и  арифметические числа (где каждый последующий класс шире, чем предыдущий).

Также надо понимать, что одно выделяемое числовое множество может являться подмножеством другого. Так, например, множество натуральных чисел (N) является подмножеством целых (Z).

С другой стороны, могут быть два числовых множества, по отношению к которым нельзя сказать, что одно является подмножеством другого. Например, в таких отношениях находятся множества положительных (R+) и отрицательных (R-) действительных чисел. Они принадлежат неперекрывающимся числовым диапазонам.


Иерархия чисел

Ниже представлена иерархия чисел, для множеств которых справедливо выражение \mathbb{N}\subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \subset \mathbb{H} \subset \mathbb{O} \subset \mathbb{S}, с примерами:

1,\;2,\;\ldots

Натуральные числа


0,\;1,\;-1,\;\ldots

Целые числа


1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;\frac{2}{3},\;0{,}12,\;\ldots

Рациональные числа


1,\;-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;\sqrt{2},\;\ldots

Вещественные числа


-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots

Комплексные числа


1,\;i,\;j,\;k,\;2i + \pi j-\frac{1}{2}k,\;\dots

Кватернионы


1,\;i,\;j,\;k,\;l,\;m,\;n,\;o,\;2 - 5l + \frac{\pi}{3}m,\;\dots

Октонионы


1,\;e_1,\;e_2,\;\dots,\;e_{15},\;7e_2 + \frac{2}{5}e_7 - \frac{1}{3}e_{15},\;\dots

Седенионы



Общая информация

Номер материала: ДВ-131453

Похожие материалы