Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Пособие для обучающихся "Формулы и свойства логарифмов"

Пособие для обучающихся "Формулы и свойства логарифмов"

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy


СВИДЕТЕЛЬСТВО СРАЗУ ПОСЛЕ ПРОСМОТРА ВЕБИНАРА

Вебинар «Подростковая лень: причины, способы борьбы»

Просмотр и заказ свидетельств доступен только до 22 января! На свидетельстве будет указано 2 академических часа и данные о наличии образовательной лицензии у организатора, что поможет Вам качественно пополнить собственное портфолио для аттестации.

Получить свидетельство за вебинар - https://infourok.ru/webinar/65.html

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Государственное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Тульской области

«Алексинский машиностроительный техникум»




Формулы и свойства

hello_html_m7b895b87.jpgлогарифмов







Разработан

преподавателем

математики

Христофоровой М.Ю.






Определение

Логарифмом числа b по основанию α (loqαb) называется такое число c, что b = αc, то есть записи loqαb = c и b = αc  равносильны.

Логарифм числа b по основанию α  определяется как показатель степени, в которую надо возвести число α, чтобы получить число b.

Логарифм в переводе с греческого буквально означает "число, изменяющее отношение".

Обозначение логарифма: loqαb

Произносится: «логарифм b по основанию α».

Логарифм имеет смысл, если α >0, α ≠1, b >0.

Правило о знаке логарифма:

- если основание α логарифма и число b расположены на числовой оси по одну сторону от 1, то loqαb положителен.

- если основание α логарифма и число b расположены на числовой оси по разные стороны от 1, то loqαb отрицателен.

Логарифм существует только у положительных чисел.

Вычисление логарифма называется логарифмированием.

Числа α , b чаще всего вещественные, но существует также теория комплексных логарифмов

Специальные обозначения:

  1. Натуральный логарифм ln α - логарифм по основанию e, где e - число Эйлера.

  2. Десятичный логарифм lq α  - логарифм по основанию 10.

Производная логарифмической функции равна:

hello_html_m6e2b3db8.png

Интеграл от логарифма вычисляется интегрированием по частям:      


hello_html_mb1891a4.png

Свойства логарифмов:

1°    hello_html_m236658e7.png - основное логарифмическое тождество.

2°    hello_html_m75a034aa.png

3°    hello_html_m320e3b.png

Логарифм единицы по любому положительному, отличному от 1, основанию равен нулю, т.к. из любого действительного числа можно получить 1 только возведя его в нулевую степень.

4°    hello_html_283eed73.png - логарифм произведения.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

5°    hello_html_m6399158f.png - логарифм частного.

Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.

6°    hello_html_793bf5b4.png - логарифм степени.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

7°    hello_html_mc69966b.png

8°    hello_html_7f280521.png

9°    hello_html_f21b487.png - переход к новому основанию.

Если выражения для основания логарифма и для логарифмируемого выражения содержат возведение в степень, для упрощения можно применить следующее тождество:

hello_html_m21f20a02.png

Это тождество сразу получается, если в логарифме слева заменить основание hello_html_2a744fe7.png на hello_html_2d86191.png по вышеприведённой формуле замены основания. Следствия:

hello_html_b01cc4a.png

Ещё одно полезное тождество:

hello_html_m3e47d1a3.png

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию hello_html_m5fc4a51d.png.

Она определена при hello_html_5a331169.png.

Область значений: hello_html_7ddbf571.png.

Эта кривая часто называется логарифмикой.

Из формулы замены основания логарифма видно, что графики логарифмических функций с разными основаниями, бо́льшими единицы, отличаются один от другого только масштабом по оси hello_html_2810ae7a.png; графики для оснований, меньших единицы, являются их зеркальным отражением относительно горизонтальной оси.

hello_html_200e2e02.png

Функция является строго возрастающей при hello_html_16266ad2.png  и строго убывающей при hello_html_m319b6cd0.png.

График любой логарифмической функции проходит через точку hello_html_31960d36.png. Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Логарифм является монотонной функцией, поэтому экстремумов не имеет.

Ось ординат (hello_html_2f3df8ea.png) является левой вертикальной асимптотой


Из определения следует, что логарифмическая зависимость есть обратная функция для показательной функции hello_html_43d0e9d8.png, поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов (см. рисунок).

hello_html_mcfa4242.png

Как и показательная, логарифмическая функция относится к категории трансцендентных функций.

hello_html_m52185446.jpghello_html_10900f76.png

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Автор
Дата добавления 07.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров172
Номер материала ДВ-131460
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх