Инфоурок / Другое / Другие методич. материалы / Пособие для подготовки к зачету "Основы сопротивления материалов"
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Я люблю природу», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 15 ДЕКАБРЯ!

Конкурс "Я люблю природу"

Пособие для подготовки к зачету "Основы сопротивления материалов"




Московские документы для аттестации!

124 курса профессиональной переподготовки от 4 795 руб.
274 курса повышения квалификации от 1 225 руб.

Для выбора курса воспользуйтесь поиском на сайте KURSY.ORG


Вы получите официальный Диплом или Удостоверение установленного образца в соответствии с требованиями государства (образовательная Лицензия № 038767 выдана ООО "Столичный учебный центр" Департаментом образования города МОСКВА).

ДИПЛОМ от Столичного учебного центра: KURSY.ORG


библиотека
материалов


Федеральное агентство по образованию РФ ГОУ СПО

«Воронежский государственный

промышленно - технологический колледж».








Наумов О. Е.




ЭЛЕМЕНТЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Учебно-методическое пособие для подготовки

к зачету



ОСНОВЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ












Воронеж 2012 г.


ББК 30.12





Данное методическое пособие представляет краткий сборник лекций по предмету «Элементы технической механики » студентов НПО профессии 30.20 «Автомеханик» и является дополнительным пособием для подготовки студентов к зачету и при выполнении расчетно-графических задач. Методическое пособие разработано в соответствии с рабочей программой по дисциплине, составленной на основе требований Государственного стандарта.





Рецензенты: профессор кафедры механизации

и проектирования машин ВГЛТА,

доктор технических наук

П.И. Попиков.



доцент кафедры «Транспортных машин» ВГАСУ,

преподаватель спецдисциплин ГОУ СПО «ВГПТК»,

кандидат технических наук

С.А.Никитин





Печатается по решению методического совета Воронежского государственного промышленно-технологического колледжа



Пояснительная записка.


Методическое пособие предназначено для студентов второго курса НПО специальности 30.20 «Автомеханик». Пособие составлено на основе образовательных стандартов и рабочей программы предмета «Элементы технической механики» при изучении курса объёмом 52 аудиторных часа. Оно является второй частью трех общих разделов курса и рассматривает вопросы

«Сопротивления материалов». В пособии в краткой форме изложены основные теоретические вопросы, определения, формулы, которые рассматриваются на занятиях со студентами. Материал построен таким образом, что по мере изучения основных формул и понятий каждой темы, студенту предлагается ответить на вопросы. Рассматриваемые вопросы относятся к зачетному материалу, на них студент будет отвечать по окончанию изучения всего курса. Полный список вопросов для подготовки к зачету и дополнительная литература, предложена в конце пособия.

В методическом пособии намеренно опущена часть поясняющих схем и графических рисунков, так как они подробно рассматриваются на уроках предмета «Элементы технической механики» и в процессе решения расчетно-графических задач.

Такой нестандартный подход позволяет дифференцированно обучать и оценивать знания студентов. Слабому студенту он дает возможность подготовить минимальный объем знаний для сдачи зачета, сильному - более углубленно и творчески изучить предмет, преподавателю - высвободить время для прямого диалога со студентами при изучении сложных тем и разделов предмета « Элементы технической механики ».































СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ


1.1. Основные понятия

Сопротивление материалов это раздел технической механики изучающий способности материалов сопротивляться действию внешней нагрузки. В данном разделе рассматривают тела, которые под действием внешних сил меняют свою форму и размеры, т.е. деформиру­ются.

Что изучает сопротивление материалов?

Деформации могут быть упругими, если тело после устране­ния нагрузки, т.е. внешних сил, восстанавливает свои размеры и форму. Если же после снятия нагрузки тело не восстанавливает прежней формы, то возникающие при этом деформации назы­ваются остаточными. Здесь будем изучать только однородные изотропные тела, у которых по всем направлениям свойства оди­наковые.

Чем отличаются упругие деформации от остаточных?

В сопротивлении материалов тела классифицируют следую­щим образом:

  • пластина - у нее длина и ширина намного больше толщины;

  • оболочка - в отличие от пластины она ограничена криволи­нейными поверхностями;

  • брус - у него длина тела значительно больше его высоты и ширины. Если линия, соединяющая центры тяжести отдельных поперечных сечений бруса, прямая, то такой брус называют прямым;

  • стержень - брус, работающий на растяжение или сжатие;

  • балка - брус, к которому приложены силы под углом. В этом случае брус под действием таких сил будет работать не только на сжатие (растяжение), но и на изгиб, т.е. будет изгибаться.

В зависимости от того, какие силы приложены к брусу, он бу­дет по разному деформироваться. Чтобы определить напряжен­ное состояние, применяют метод сечений. Метод сечений позво­ляет выявить внутренние силы и заключается в том, что тело мыс­ленно рассекают плоскостью на две половины (рис. 1, а) и рас­сматривают равновесие какой либо отсеченной части. Считают, что внутренние hello_html_m1e7b183b.gifсилы распределены равномерно, их равнодейст­вующая равна N (рис. 1, б).


hello_html_m1a2e1a2c.png

Рис. 1

Расскажите о методе сечения.

Составим уравнение равновесия сил, действующих на отсеченную часть бруса:

hello_html_328b2e04.gif(1.1)


Отсюда N = F.

Величина а, характеризующая интенсивность распределения внутренних сил по поперечному сечению, называется напряжением:

hello_html_1d498e2b.gif(1.2)

где S - площадь поперечного сечения. Напряжение согласно Меж­дународной системе единиц измеряется в Па (Н/м2), а на практике чаще используют Н/см2, Н/мм2.

В рассмотренном примере внутренние силы направлены по нормали к поперечному сечению, поэтому напряжение называется нормальным.

hello_html_m33e5ebf2.png

Рис. 2.

В общем случае нагружения тела (рис. 2.) все внутренние силы можно привести к главному вектору R и главному моменту М.

Выбираем систему координат так, чтобы ось z была направлена по нормали к сечению, а оси х и у расположим в его плоскости. Спроектировав главный вектор и главный момент на координат­ные оси, получим шесть уравнений для определения внутренних силовых факторов. Составляющая внутренних сил по нормали к сечению N - нормальная сила; силы Qx и Qy являются составляю­щими поперечной силы Q. Момент относительно оси z называют крутящим моментом (Мкр), а моменты Мх и Му - изгибающими моментами относительно осей х и у. При заданных внешних силах все шесть внутренних силовых факторов могут быть определены из шести уравнений равновесия, составленных для отсеченной части бруса. Если в поперечном сечении возникает только нормальная внутренняя сила N, а прочие внутренние силовые факторы обра­щаются в нуль, то имеет место растяжение или сжатие, в зависимо­сти от направления силы N. Если в поперечном сечении возникает только момент Мкр, то брус в данном сечении работает только на кручение. В случае, когда внешние силы приложены к брусу таким образом, что в поперечных сечениях возникает только изгибающий момент Мх (или Му), имеет место чистый изгиб в плоскости yz (или xz). Если в поперечном сечении наряду с изгибающим момен­том, например Мх, возникает и поперечная сила Qy такой случай нагружения называется поперечным изгибом (в плоскости у2). Воз­можны и другие случаи, когда в поперечном сечении действуют раз­личные силовые факторы; при этом брус испытывает сложное на­пряженное состояние. Помимо нормального напряжения в сечении будет возникать касательное напряжение т в плоскости этого сечения.

Перечислите все внутренние силовые факторы возникающие в сечении бруса.

1.2. Растяжение и сжатие

Под растяжением понимается такой вид нагружения, при ко­тором в поперечных сечениях бруса (стержня) возникают только нормальные силы, а все прочие внутренние силовые факторы (по­перечные силы, крутящий и изгибающие моменты) равны нулю. Сжатие отличается от растяжения только знаком силы N: при растяжении нормальная сила N направлена от сечения (см. рис. 1), а при сжатии - к сечению. Поэтому при анализе внутренних сил сохраняется единство подхода к вопросам растяжения и сжатия. Исключение составят длинные тонкие стержни, для которых сжа­тие сопровождается изгибом.

Закон Гука. Многочисленные наблюдения за поведением твер­дых тел показывают, что в подавляющем большинстве случаев перемещения в определенных пределах пропорциональны дейст­вующим силам. Впервые в 1676 г. Гуком был сформулирован закон о том, что «какова сила, такова и деформация».

В современной трактовке закон Гука определяет линейную за­висимость между напряжением и деформацией:


hello_html_md8cb3c7.gif(1.3)


Здесь коэффициент пропорциональности Е есть модуль упругости первого рода, ε - деформация, которую для однородного стержня можно определить как


hello_html_m49bd9227.gif(1.4)


Величину ε иногда называют относительным удлинением стержня длиной l, удлинение которого под действием приложенной силы составило Δl.

Модуль упругости первого рода является физической констан­той материала; он определяется экспериментально. Для наиболее часто встречающихся материалов его значения приведены в табл. 1 .

Запишите закон Гука при растяжении (сжатии)

Удлинение стержня. Если в закон Гука вместо напряжения под­ставитьhello_html_m70c60c3a.gif= N/S, а вместо деформации hello_html_m49bd9227.gif , то для стержня, у которого на длине l внутренняя нормальная сила постоянная и поперечное сечение не изменяется, получим выражение для опре­деления удлинения стержня:


hello_html_546c9b42.gif(1.5)


При решении многих практических задач возникает необхо­димость наряду с удлинением, обусловленным напряжением а, учитывать также удлинения, связанные с температурным воз­действием.

В этом случае деформацию рассматривают как сумму силовой и чисто температурной деформации:


hello_html_m191b273d.gif(1.6)


где hello_html_7e387e14.gif - коэффициент температурного расширения материала. Для однородного стержня, нагруженного по концам и равномерно нагретого, имеем

hello_html_57cb866c.gif(1.7)

Что такое относительное удлинение , и от чего он зависит?

Построение эпюр. График изменения нормальной силы, напря­жений и перемещений стержня вдоль его оси называется эпюрой соответственно нормальных сил, напряжений и перемещений. Эпюры дают наглядное представление о законах изменения раз­личных исследуемых величин. Построение эпюр рассмотрим на конкретном примере.

Пример 1

Для бруса, изображенного на рис.3,а, построить эпюры внутренних сил, напряжений и перемещений по длине бруса.


Решение.

1. Выбираем начало отсчета в неподвижном сечении (точка О);

положи­тельное направление оси z направим по оси бруса, т.е. вниз.

2. Определим реакцию, составив одно уравнение равновесия:

N0 - 3F + F = 0.

Отсюда N0 =2F.

3. Построим эпюру внутренних сил N. Для этого на расстоянии z1 рассечем брус и рассмотрим равновесие нижней части (рис. 3, б):



hello_html_m67fa6d20.png

Рис. 3


Fiz = 0; - N1 + F = 0


Отсюда N1 =F , что справедливо для lz1 ≤ 3l. В этих пределах в брусе возни­кает растяжение, так как продольная сила N1 направлена от сечения.

Теперь выберем второй участок бруса 0 ≤ z2l и рассмотрим равновесие верхней части (рис. 3, в):


Fiz = 0; N0 - N2 = 0; 2F – N2 = 0

Отсюда N2 = 2F. Поскольку N2 направлена к сечению, то брус под дейст­вием сил N0 и N2 сжимается.

После того как определили все внутренние нормальные силы, переходим к построению эпюры нормальных сил (рис. 3, г). Вправо будем отклады­вать положительные значения, а влево - отрицательные значения нормаль­ных сил.

Анализируя построенную эпюру (N) , заметим, что внутренние силы не за­висят от размеров поперечного сечения, а зависят только от приложенных внешних сил. Поэтому длину бруса разбивают на такое число участков, сколько сил на его длине приложено. В данном случае было два участка.

При проверке правильности построения эпюры следует обратить внимание на то, что на эпюре внутренних сил в тех сечениях, где были приложены внешние силы, должны быть скачки, равные приложенной внешней силе.

4. Построим эпюру напряжений (σ). Брус следует разбить на участки. По­скольку σ = N/S, то участков на эпюре будет столько, сколько раз меняется поперечное сечение; при этом следует обращать внимание, чтобы при посто­янной площади поперечного сечения нормальная сила на эпюре N остава­лась неизменной. С учетом этого на эпюре (σ) будут три различных значения σ

(рис. 2.3, д):

σ1 = N1/ S1 = F/S;

σ2 = N2/S2 = F/2S;

σ3 = N2/S2 = -2F/2S = -F/S.

5.Строим эпюру перемещений (U). Начинать следует от неподвижного се­чения, т.е. от сечения О. Выразим перемещение сечения, находящегося от неподвижного на расстоянии z2:

hello_html_4175b305.gif


Если 0 ≤ z2l , то для z2 = l перемещении hello_html_5da911cc.gif

Для lz ≤ 2l hello_html_m6830f82a.gif

Или hello_html_m18fd7023.gif

при z = 2l hello_html_m637eb668.gif


Для 2lz1 ≤ 3l hello_html_5c770305.gif

при z1 = 3 l hello_html_m20bdbce3.gif

где σ – продольное напряжение в сечении бруса;

S – площадь поперечного сечения в характерной точке;

l – длина характерного участка;

Е – модуль упругости материала;

U – перемещение деформируемого участка.

Откладываем вычисленные перемещения на эпюре

(U) (рис. 3, e).


Какие необходимо построить эпюры чтобы выполнить расчет на прочность при растяжении?


Диаграмма растяжения. Наиболее наглядно особенности диа­граммы растяжения можно показать на примере испытания образца из малоуглеродистой стали (рис. 4). Диаграмма вы­черчена в координатах F,Δl. На кривой можно выделить четыре зоны.

Зона ОА носит название зоны упругости. Здесь материал подчиняется закону Гука и


hello_html_1b13fec5.gif. (1.8)

где S – площадь поперечного сечения в характер-

ной точке;

l – длина характерного участка;

Е – модуль упругости материала;

F – внешняя сила;

hello_html_m5d5e86db.gif- удлинение деформируемого участка.

На рис. 4 этот участок для большей наглядности показан с отступлением от масштаба. Уд­линения на участке ОА очень малы, и прямая ОА, будучи вычер­ченной в масштабе, совпадала бы в пределах ширины линии с осью ординат. Значение силы, для которой справедлив закон Гука, зависит от размеров образца и физических свойств мате­риала, поэтому при дальнейшем рассмотрении диаграммы растя­жения ее перестраивают в координатах σ и ε

Зона АВ называется зоной общей текучести, а участок АВ - площадкой текучести. Здесь происходит существенное изменение длины образца без заметного увеличения нагрузки. Не все метал­лы имеют площадку текучести. Например, у алюминия, отожжен­ной меди, легированных сталей площадка текучести не обнару­живается.

Зона ВС называется зоной упрочнения. Здесь удлинение образца сопровождается возрастанием

hello_html_7e934c8f.png

Рис.4

нагрузки. В стадии упрочнения на образце намечается место будущего разрыва и начинает образовы­ваться так называемая шейка – мест­ное сужение образца. При дальней­шем растяжении образца шейка быст­ро прогрессирует. Начиная с точки С удлинение образца происходит с уменьшением силы, но среднее напря­жение в поперечном сечении шейки возрастает. Удлинение образца носит в этом случае местный характер, по­ этому участок CD называется зоной местной текучести


hello_html_m194289a2.png

Рис.5

Точка D соответ­ствует разрушению образца.

Какая зона на диаграмме растяжения сжатия является зоной упрочнения и почему?

hello_html_m288ea1be.gifОтносительная поперечная дефор­мация. При растяжении (сжатии) прямого бруса кроме продольной деформации е происходит изменение поперечных размеров бруса (рис.5). Ширина бруса b при растяжении уменьшается на Δb. Если Δb отнести к первоначальной ширине, то полу­чим выражение для определения относительной поперечной де­формации:


hello_html_m6fd885c2.gif(1.9)


Отношение относительной поперечной

деформации к относи­тельной продольной деформации называют коэффициентом Пуас­сона и обозначают hello_html_m2cffcd16.gif:

hello_html_6b6aaa1d.gif(1.10)


Коэффициент Пуассона, так же как и модуль упругости Е, ха­рактеризует физические свойства материала; его значение колеб­лется для металлов в пределах от 0,25 до 0,35. Некоторые значе­ния коэффициента приведены в

табл. 1.




1.3. Основные механические характеристики материалов


Механические свойства материалов устанавливают опытным путем, испытывая образцы на растяжение. Затем диаграмму растя­жения перестраивают в координатах hello_html_m70c60c3a.gif и hello_html_m16ba2c0c.gif. Как видно из рис. 6, она имеет такой же вид, как и в координатах F, Δl (см. рис. 4), но эта кривая будет характеризовать уже не свойства образца, а свойства материала. Отметим на этой диаграмме характерные точки.

Наибольшее значение напряжения, до которого материал следу­ет закону Гука, называется пределом пропорциональности σп.

Упругие свойства материала сохраняются до значений напря­жения, называемого пределом упругости. Под пределом упругости σу понимается такое наибольшее значение напряжения, до которого материал не получает остаточных деформаций.

На практике предел пропорциональности и предел упругости трудно поддаются замеру, поэтому значения hello_html_m70c60c3a.gifп и hello_html_m70c60c3a.gifу в справочные данные по свойствам материалов обычно не включаются.

Более определенной характеристикой является предел текуче­сти. Под пределом текучести понимается такое значение напряжения, при котором рост деформации происходит без заметного уве­личения нагрузки. В тех случаях, когда на диаграмме отсутствует явно выраженная площадка текучести, за предел текучести услов­но принимают такое значение напряжения, при котором остаточ­ная деформация составляет 0,2%. В этом случае условный предел текучести будет обозначаться через σ0,2 .Если необходимо отли­чить предел текучести при растяжении от предела текучести при сжатии, то в обозначение вводится дополнительный индекс «р» или «с» (σтр и σтс). Предел текучести легко определяется экспери­ментально, поэтому он является одной из основных механических характеристик материала


Что такое предел упругости и предел текучести , и от чего они зависят?


Отношение максимальной силы, которую способен выдержать образец, к его начальной площади поперечного сечения называет­ся пределом прочности, или временным сопротивлением разрыву - σвр (сжатию - σвс). Следует заметить, что σвр не является тем значени­ем напряжения, при котором разрушается образец. Фактическое напряжение, при котором образец


hello_html_3b90f1f9.png

Рис. 6


Фактическое напряжение, при котором образец разрушается, будет больше, так как площадь поперечного сечения в этот момент меньше первона­чальной площади вследствие образования шейки (на диаграмме напряжение подсчитывается относительно первоначальной площа­ди поперечного сечения образца). Значение σвр является сравни­тельной характеристикой прочностных свойств материалов и часто используется при расчетах.

При испытаниях на растяжение определяется еще одна характе­ристика материала - так называемое удлинение при разрыве δ %.


Удлинение при разрыве представляет собой значение средней остаточной деформации, которая образуется к моменту разрыва на определенной стандартной длине образца. За стандартную длину образца принимают либо


l0 = 10 d, либо l0 = 5d,

где d - диаметр образца.

До какого значения напряжения справедлив закон Гука?


Значения механических характеристик некоторых наиболее часто встречающихся материалов приведены в табл. 1.



Используя тбл.1 объясните, как от значения напряжения зависит удлинение образца.





Таблица 1.

Материал



Напряжение, Н/мм2

Е ,

Н/мм2

δ %

l0 =5d



μ



σтр

σтс

σвр

σвс

Сталь малоуглеродистая


Сталь 30 незакаленная


Сталь 30 закаленная


Сталь 45 незакаленная


Сталь 45 закаленная


Сталь У8 незакаленная


Сталь У8 закаленная


Сталь 30ХГС закаленная


Сталь 40ХНВ закаленная


250


330


030


370


1040


250


700



1400


1720


250


330


900


370


970


430


700



1400


2100


390


530


1100


620


1080


630


1100



1620


2050



2,0·105


2,0·105


2,0·105


2,0·105


2,0·105


2,0·105


2,0·105



2,0·105


2,0·105


42


28


11


24


13


25


16



10


10











0,25... ...0,35

Чугун серый СЧ28

140

310

150

640

0,7·105


0,6


Титан технический

520

520

600


1,1·105


23


Медь отожженная

55

55

220


1,1·105


46

0,34

Медь прутковая

250

250

320


1,1·105


15


Латунь

330

330

450


1,2·105


17


Бронза

110

110

136


1,2·105


7,5


Алюминий

50

50

84


0,7·105


35

0,26…....0,36

Дюраль

340

340

540


0,75·105


13


Текстолит

75

115

127

168

0,03·105


1,5




1.4. Расчеты на прочность при растяжении и сжатии


Размеры элементов конструкции следует подбирать так, чтобы обеспечить их прочность в работе при наименьшей затрате мате­риала. На основании анализа конструкции выявляется та точка, где возникают наибольшие напряжения σнаиб. Найденное значение напряжения сопоставляется с допустимым значением напряжения для данного материала и конструкции.

Когда конструкция находится в стадии проектирования, то за­даются коэффициентом запаса п. Он назначается из конкретных условий работы рассчитываемой конструкции. В каждой области техники уже сложились свои традиции, свои требования и спе­цифика расчетов. Например, при проектировании строительных сооружений, рассчитанных на долгие сроки эксплуатации, запасы принимаются довольно большими (пв = 2...5). Индекс «в» показы­вает на то, что запас вычисляется от предела прочности σв. В авиационной технике, где на конструкцию накладываются ог­раничения по массе, коэффициенты запаса также определяются по пределу прочности, но составляют пв - 1,3... 2,0.

Значение коэффициентов запаса зависит и от свойств материала. В случае пластичного материала коэффициент запаса берется от предела текучести (пТ = 1,5...2,0), а для хрупких материалов запас рассчитывается от предела прочности и принимается пъ = 2,5...4,0.

Назначив коэффициент запаса, для данного элемента конструк­ции рассчитывают допускаемое напряжение

hello_html_4cb003ee.gifили hello_html_m5047617b.gif (1.11)

Выбрав допускаемое напряжение, составляют условие

σнаиб ≤ [σ ] (1.12)


где hello_html_m12c1bf1a.gif - допускаемое продольное напряжение;

σт ; σв - напряжение текучести и выносливости

материала.

из которого определяют размеры проектируемого элемента.

Для чего вводится понятие допускаемого напряжения?


hello_html_1bf1771c.gifhello_html_m7db1bbbe.gif1.5. Срез и смятие


Напряжения и деформации при сдвиге (срезе). Ранее уже упоминалось, что в поперечном сечении могут возникать как нормальные σ, так и касательные напряжения τ. Если к короткому брусу, жестко заделанному одним концом в стену (рис.7, а),перпендикулярно к оси бруса приложить силу F, то в поперечных сечениях возникнет внутренняя поперечная сила Q в плоскости сечения, а следовательно, и касательное напряжение


τ = Q/S. (1.13)


где τ – касательное напряжение ;

Q – поперечная сила в сечении бруса;

S площадь сечения участка .

hello_html_m4e9ed20a.png

Рис. 7

Параллельные сечения бруса сдвигаются относительно друг друга (рис.7, б) так, что верхняя грань образует угол γ с горизон­талью. Установлено, что касательное напряжение τ прямо пропор­ционально угловой деформации γ:


τ = G γ. (1.14)


Эта зависимость выражает закон Гука для сдвига. Явление среза можно наблюдать, если стальную полосу или бумагу перерезать ножницами, а также в случае, если к клепаному соединению при­ложена сила, большая, чем та, на которую данное соединение было рассчитано. На рис. 8 показано, что силы F приложены в плоскости сечений; они вызывают деформацию сдвига, и может произойти срез заклепки. Вот почему сдвиг часто называют срезом.

Модуль упругости при сдвиге зависит от модуля упругости I рода Е:


hello_html_6c04e209.gif(1.15)


Если известны Е и μ , то модуль упругости при сдвиге можно определить. Например, для стали 30 Е = 2 ∙ 105 Н/мм2, μ = 0,3 , сле­довательно,

hello_html_69b4a925.gif


Подчеркнем, что сдвиг - это напряженное состояние. Если воз­никшие при сдвиге деформации находятся в пределах упругости, то после снятия нагрузки размеры и форма детали восстанавли­ваются. Если же деформации превысили предел упругости, то наблюдаются пластические деформации. После снятия нагрузки остается намеченное место среза. По достижении предельных на­пряжений произойдет срез.

hello_html_2e186d44.gifhello_html_m55e293c6.png

Рис. 8

Как вы понимаете деформацию сдвига и что такое модуль упругости при сдвиге?


Смятие. При сжатии двух тел возникает опасность смятия этих плоскостей. Напряжения, возникающие на контактирующих по­верхностях, называются напряжениями смятия. Смятие имеет место в заклепочных и болтовых соединениях. Напряжение смятия опре­деляют по формуле:


hello_html_6bb6a1ba.gif(1.16)


где F - сила, с которой сдавливаются контактирующие

поверх­ности,

Sсм - площадь смятия.

Если поверхность смятия является криволинейной, то площадь смятия такой поверхности вычисляется как площадь проекции этой поверхности на плоскость, перпенди­кулярную к линии действия сминающей силы.

Объясните сущность деформации смятия.


1.6. Кручение


Под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях возникает только крутящий момент. Про­чие внутренние силовые факторы (нормальная и поперечные силы, изгибающие моменты) равны нулю.

Рассмотрим кручение круглого бруса (рис. 9). К круглому брусу, жестко заделанному в стенку, на свободном торце прило­жен крутящий момент М.

В результате этого брус деформирует­ся: смежные сечения поворачиваются относительно друг друга, образующая ОВ искривляется и занимает положение ОС. При описании кручения принимаются следующие допущения и пра­вила:

  • ось бруса не деформируется;

  • поперечные сечения, плоские до деформации, после деформации также остаются плоскими;

  • продольные волокна не изменяют своей длины (угол у настолько мал, что изменением длины можно пренебречь);

  • радиусы r поперечных сечений остаются прямыми после де­формации, поворачиваясь на некоторый угол φ;

  • для внутренних крутящих моментов принято следующее пра­вило знаков: если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит внутренний крутящий момент Мкр направленным против хода часовой стрелки, то момент счи­тается положительным.

Таким образом, при кручении в поперечном сечении бруса воз­никают касательные напряжения (чистый сдвиг).

Существуют понятия угла за­кручивания φ и относительного угла закручивания γ:


hello_html_m25b9e82c.gif(1.17)


Касательные напряжения τ при кручении распределяются по се­чению неравномерно: в центре они равны нулю, а на макси­мальной окружности поперечно­го сечения - максимальному зна­чению τmax.

hello_html_3ff6bdfa.png

Рис 9


Поэтому расчет ве­дется по τmax .Значение касательного напряжения зависит от внутреннего крутящего момента и геометрической характеристики поперечного сечения:


hello_html_2522214d.gif( 1.18)


где hello_html_169d8a8a.gif - есть полярный момент сопротивления сечения

Для сплошного поперечного сечения диаметром D:

Wp = 0,2 D3 (1.19)


Для кольцевого сечения (полый вал):


Wp = 0,2 D3( 1 – d4/D4) (1.20)


где dвнутренний диаметр отверстия ;

D – внешний диаметр вала.


Какие внутренние силовые факторы вызывают деформацию кручения , и какие напряжения возникают в сечении?


hello_html_673b95d5.gifhello_html_m3ea27a91.gifhello_html_27990684.gifhello_html_m41188e26.gifhello_html_m4d5ac7f1.gifПостроение эпюр. При кручении, как и при растяжении, строят эпюры внутренних силовых факторов ( Mкр крутящих моментов), напря­жений (τmax) и перемещений (углов закручивания φ).

Построение эпюры Мкр. Всю длину бруса (рис. 10) разобьем на два участка. На эпюре внутренних силовых факторов в сечениях, где приложены внешние силы, будут скачки, равные приложен­ным нагрузкам (в данном случае - крутящим моментам). Приме­няя метод сечений с учетом правила знаков для крутящих момен­тов, строим эпюры Мкр. На рис. 2.10 для изображения внешних моментов применено условное обозначение в виде кружков: кру­жок с точкой обозначает силу, направленную на наблюдателя, а кружок с крестиком - силу, направленную от наблюдателя.


hello_html_m4cfa39fe.png

Рис. 10


Построение эпюры τmax . Всю длину бруса разбиваем на три уча­стка; на каждом из них Мкр и Wp сохраняют постоянное значение. Затем подставляем в формулу (1.18)

τmax=Mкр /Wp

соответствующие зна­чения Мкр и Wp:

на I участке

hello_html_m681a6d02.gif;

на II участке

hello_html_56c7deba.gif;

на II участке

hello_html_68f640d0.gif;hello_html_759ebd3a.gifhello_html_60b9ad2a.gif

Поскольку все внутренние крутящие моменты имели положи­тельный знак, то и все касательные напряжения будут положи­тельны при построении их на эпюре τmax

Построение эпюры φ. Прежде всего, необходимо установить за­висимость, по которой будем определять углы закручивания φ. На основании закона Гука для сдвига запишем выражение для мак­симального касательного напряжения в поперечном сечении круглого бруса, по аналогии с формулой для сдвига (1.14) :

τmax = G γ.



От чего зависит построение эпюры касательных напряжений при кручении?

Из рис. 9 видно, что при кручении образующая цилиндра ОВ поворачивается на угол у и занимает положение ОС. При этом дуга ВС равна γl; глядя на поперечное сечение по стрелке А, можно записать, что та же дуга ВС равна φr. Следовательно, γl = φr

откуда hello_html_m28ccc038.gif (1.21)


Подставляя найденное значение hello_html_5d9d7da5.gif в закон Гука, получим

hello_html_m2492a29f.gif(1.22)


С другой стороны, hello_html_37732593.gif, следовательно, hello_html_43d65bbb.gif

Выразим отсюда угол закручивания

hello_html_m7c4d0015.gif(1.23)


Величину Wpr называют полярным моментом инер­ции сечения и обозначают Jp.

Полярный момент инерции для сплошного круглого бруса


Jp ≈ 0,1 D4 (1.24)


для полого круглого бруса

hello_html_m4a343b66.gif(1.25)


Теперь угол закручивания запишем в виде


hello_html_m312badf3.gif(1.26)


Произведение GJp называют жесткостью бруса при кручении.

Что такое полярный момент инерции сечения и что он характеризует?


Итак, получена зависимость, по которой можно опреде-лять углы закручивания бруса.
Определять угол закручивания по этой зависимости можно только при условии, что на длине l все входя­щие в эту формулу величины - Мкр , Jp и G- постоянные.

Переходим к построению эпюры угловых перемещений. Вал по длине эпюры разбиваем на четыре участка. Так же, как и при по­строении эпюры перемещений при растяжении, начинаем строить эпюру от неподвижного сечения, т.е. от жесткой заделки. В конце первого участка угол закручивания будет

hello_html_276749d7.gif

В конце II участка угол закручивания


hello_html_m183db6cf.gif

В конце III участка


hello_html_m2234ec96.gif

На IV участке угол закручивания будет равен углу закручивания φIII, так как на этом участке отсутствуют внутренние крутящие мо­менты.

Вычисленные угловые перемещения откладываем на

эпюре φ.

Объясните, как построить эпюру углов закручивания деформируемого бруса.


1.7. Прямой поперечный изгиб

Под изгибом понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты. Если изгибающий момент является единственным силовым фактором, а поперечные и нормальные силы отсутствуют, то такой изгиб называется чистым. В большинстве случаев в поперечных сечениях бруса наряду с изгибающи­ми моментами возникают поперечные силы. В этом случае изгиб называют поперечным.

Брус, работающий в ос­новном на изгиб, называется балкой. На балку могут действовать сосре­доточенные силы и силы и моменты, а также распределенные по длине. Например, на рис. 11 F - сосредоточенная сила, М - сосредото­ченный

hello_html_m2a825cf3.png

Рис .11

момент; на участке а приложена распределенная нагрузка от нуля до qmax.

Что такое изгиб?


При описании явления изгиба используют геометрические ха­рактеристики поперечного сечения, учитывающие распределение материала по высоте сечения: Jx - момент инерции сечения отно­сительно главной оси, перпендикулярной к плоскости изгибаю­щего момента; Wx - момент сопротивления сечения при изгибе,


Wx = Jx/ymax, (1.27)


где ymax - координата точки, наиболее удаленной от нейтральной линии бруса (см.рис.12,б). Например, для прямоугольного сечения


hello_html_m5e5779a.gif(1.28)


где b - ширина;

h - высота сечения;

для круглого поперечного сечения


hello_html_649d0ac1.gif(1.29)


где D - диаметр сечения.

Что называется геометрической характеристикой сечения?


Анализ внутренних силовых факторов начинается с определе­ния полной системы внешних сил. Рассмотрим некоторые харак­терные примеры и установим правила определения изгибающих моментов и поперечных сил.

На рис. 12, а показана простейшая двухопорная балка, нагру­женная силой F. Освобождаем балку от связей и заменяем их дейст­вие реакциями. Опора А представляет собой невесомый стержень, поэтому реакция RA пойдет вдоль него. В шарнире В реакцию раскладываем на две составляющие. Несмотря на то, что выбор системы координат, безусловно, произволен, в сопротивлении материалов принято ось z направлять вдоль бруса; оси х и у должны лежать в плоскости, перпендикулярной к этой оси, причем поворот от оси х к оси у должен происходить против хода часовой стрелки,

hello_html_m6b4eaa56.png


Рис.12.


если смотреть с конца оси z (рис. 12, б). Начало отсчета для осей располагается в центре тяжести поперечного сечения. В этом случае оси х п у называются главными централь­ными осями поперечного сечения.

Составим уравнения равновесия для плоской системы сил и оп­ределим неизвестные реакции связей. Неизвестных величин три RA, YB, ZB. Уравнений статики тоже три, следовательно, задача статически определимая:


Σ Fiy = 0; +RAF + YB = 0

Σ Fiy = 0; + ZB = 0

ΣmomB (Fi) = 0 ; - RJ + F(l – a) = 0

Отсюда находим реакции опор:


ZB=0;

RA=F(l-a)/l;

YB=Fa/l

Теперь приступим к выявлению внутренних силовых факторов в поперечных сечениях бруса. Для этого между точками приложе­ния внешних сил и моментов, воспользовавшись методом сече­ний, составляют уравнения равновесия отсеченных частей. Так, в конкретном примере необходимо делать сечения дважды: на рас­стоянии z, и z2 от левой опоры. На рис. 12, в показано, как рас­сечен брус на расстоянии z,. Следует обратить внимание на то, чтобы внутренние силовые факторы в поперечном сечении левой и правой частей были обязательно противоположны по направ­лению.

Из предыдущего материала уже известно, что внутренние си­ловые факторы определяются из уравнений равновесия отсечен­ных частей. Следует условиться о знаках поперечных сил и мо­ментов.

hello_html_4c3ad2ba.png

Рис.13.

Существует несколько способов определения знака изгибаю­щего момента в поперечном сечении.

1. По знаку кривизны изо­гнутого бруса (рис.13, а). Очевидно, знак будет зависеть от выбранной системы координат. Если ось у направить в противо­положную сторону, то знаки Мтг изменятся на противополож­ные.

2. Чаще всего при построении эпюр изгибающих моментов знак момента не зависит от выбранной системы отсчета, а орди­ната откладывается на сжатом волокне, т. е. в сторону вогнутости изогнутой оси бруса (рис. 13, б).

3. Если трудно представить, как будет выглядеть изогнутая ось бруса, то составляют сумму момен­тов сил, действующих на левую отсеченную часть бруса. Если равнодействующий момент всех сил, действующих на левую часть, будет направлен по часовой стрелке, то ордината изгибающего момента откладывается на эпюре вверх, т.е. момент. в поперечном сечении действует против часовой стрелки, а брус изгибается вогнутостью вверх, следовательно, ордината будет отложена на сжатом волокне. Если же сумма моментов, действующих слева от сечения, направлена против часовой стрелки, то изгибающий момент откладывается вниз (рис. 13, б).

Для сил, лежащих справа от сечения, имеет место обратная за­висимость.

Правило определения знака для поперечных сил: если равнодей­ствующая внешних сил, лежащих по левую сторону от сечения, на­правлена вверх, то поперечная сила в сечении считается положитель­ной, а если вниз, то поперечная сила отрицательна.

В сечении на расстоянии zx от начала координат (т.е. в левой части бруса от сечения, см. рис. 12, в) поперечная сила Q имеет положительный знак и на эпюре будет откладываться вверх. При рассмотрении равновесия правой отсеченной части для сил, лежа­щих справа от сечения, имеет место обратная зависимость. Чтобы легче усвоить правила определения знаков, желательно рассмат­ривать равновесие, например, всегда левой части бруса. При построении эпюр изгибающих моментов и поперечных сил будет показан способ проверки правильности выбора знаков попереч­ных сил.


По каким принципам определяется знаки изгибающих моментов.

Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил осуще­ствляется в следующей последовательности:

1) определяют реакции опор;

2) выявляют в поперечных сечениях бруса все внутренние силовые факторы (их значение и знак); 3) строят эпюры. Построим эпюры для балки, представленной на рис. 12, используя полу­ченные ранее вычисления.

1. Определяем реакции опор.

Составляем уравнения равновесия плоской системы сил:

RA=F(l-a)/l; YB=Fa/l.

2. Определяем внутренние изгибающие моменты в поперечных сечениях балки. Для этого рассматриваем равновесие отсеченной левой части (рис. 12, в):

в сечении z1

hello_html_733f6187.gif

для 0 ≤ z1a hello_html_m50a85cb4.gif

в сечении z2

hello_html_37b0c644.gif

для az2l hello_html_m2ef105a9.gif

3.Определяем поперечные силы в сечении z1

Σ Fiy = 0; RA – Q = 0


Отсюда Q = RA=F(l-a)/l;

в сечении z2Σ Fiy = 0; RAF + Q = 0

Отсюда Q = Fa /l.

4. Строим эпюры изгибающих моментов.

Эпюра Мизг в пределах 0 ≤ z1 ≤ а имеет линейную зависимость. Задаемся z1 = 0, при этом Мизг = 0. Откладываем эту точку на эпюре (рис. 14).

Далее при z1 = а; Мизг = F(l-a)a/l

В пределах a z2 l получаем:

при z2 = a Мизг = F(l-a)a/l;

При z2 = l Мизг = 0.

Откладываем эти ординаты (они построены на сжатом волокне) и соединяем линиями. Следует заметить, что на втором участке можно было ординаты не вычислять, так как в шарнирной опоре В момент не может возникать, и поэтому на эпюре нужно сразу отложить 0.

5. Строим эпюры поперечных сил.

Как было выявлено в п. 3, поперечные силы постоянны на ка­ждом из двух участков, поэтому откладываем подсчитанные зна­чения с учетом знаков. Нужно обратить внимание, что в точке приложения внешней силы должен быть скачок, равный прило­женной силе.

hello_html_2f99c616.png

Рис.14


Кроме того, можно проверить правильность установленных знаков поперечных сил. Тангенс угла наклона линии Мизг на эпю­ре изгибающих моментов показывает на знак поперечной силы. Если угол острый, то тангенс положительный, а следовательно, и поперечная сила имеет знак плюс. Если угол наклона линии с осью z тупой, то поперечная сила отрицательная. Сопоставьте построенные эпюры Мизг и Q (см. рис. 14).


Объясните принципы построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов при изгибе бруса.

Напряжения в брусе при прямом чистом изгибе. Чистый изгиб в брусе может иметь место по всей длине бруса аb (рис. 15, а) или только на его части ab (рис. 15, б). При чистом изгибе в брусе возникают напряжения, непостоянные по высоте попереч­ного сечения. Из рис. 2.16 видно, что при изгибе бруса напряже­ние меняется от тaх до -σmaх. Следовательно, в поперечных сечениях есть недеформируемые точки, которые образуют ней­тральную линию, проходящую через центр тяжести поперечных сечений. Если изменение кривизны бруса происходит в плоскости, в которой действует изгибающий момент, и эта плоскость про­ходит через главные оси сечения, то такой изгиб называется прямым.

При прямом чистом изгибе


hello_html_5446708d.gif(1.30)



Расчет на прочность при изгибе по методике аналогичен расче­там на прочность при растяжении и кручении. Подсчитываются напряжения в сечениях по длине бруса и из них (по эпюре напря­жений) выбирается наибольшее. После чего из условия


hello_html_m7fe6a85e.gif( 1.31)


определяются геометрические размеры поперечного сечения бруса.

hello_html_45dd8e5.png

Рис. 15 Рис. 16



Пример 2

Определить диаметр круглого поперечного сечения бруса, нагруженного изгибающим моментом М = 600 кНм (см. рис. 15, а), если допускаемое напряжение [σ]р = 160 Н/мм2.

Решение.

  1. Поскольку эпюра изгибающих моментов уже известна, а брус имеет по­стоянное поперечное сечение, то определяем момент сопротивления

hello_html_6d5ef1bf.gif

2. Определяем диаметр круглого бруса:

hello_html_56574aea.gif


Какие напряжения возникают в поперечном сечении при изгибе ?

1.8. Устойчивость при осевом нагружении стержня


Под устойчивостью понимается свойство системы самостоя­тельно восстанавливать свое первоначальное состояние после того, как ей было сообщено некоторое отклонение от положения равно­весия. Если система таким свойством не обладает, то она называ­ется неустойчивой (говорят, что произошла потеря устойчивости).

Система, потерявшая устойчивость, может вести себя по разному, но переход к новому положению равновесия сопровож­дается большими перемещениями. Классическим примером неус­тойчивого равновесия является равновесие шарика на выпуклой поверхности (рис. 17, а). Малейшее отклонение от этого поло­жения приведет к тому, что шарик скатится вниз (рис.17, б, в). Попав в вогнутую поверхность, шарик будет находиться в состоя­нии устойчивого равновесия. Если теперь его вывести из этого состояния, отклонив влево или вправо, он вернется в первона­чальное положение.

Явление потери устойчивости можно наблюдать для упругих тел на целом ряде примеров. Наиболее простым случаем является потеря устойчивости центрально сжатого стержня (рис. 18). При достаточно большой силе стержень не сможет сохранить прямо­линейную форму и изогнется. Произойдет потеря устойчивости.

hello_html_6781a216.png

Рис..17 Рис. .18

Тонкостенная труба, нагруженная внешним давлением, также может потерять устойчивость. При этом круговая форма сечения переходит в эллиптическую, и труба сплющивается.

Что такое устойчивость?

Впервые задача об устойчивости стержня была поставлена и решена Л. Эйлером в середине XVIII в. Поэтому, когда речь идет об устойчивости сжатого стержня, употребляют выражение «устой­чивость стержня по Эйлеру». Эйлер определил значение первой критической (эйлеровой) силы для продольно сжатого стержня с шарнирным опиранием (рис. 19):


hello_html_422f4953.gif( 1.32)


По достижении критической силы Fкр прямолинейная форма равно­весия становится неустойчивой.

Продольно сжатые стержни не­обходимо проверять на устойчивость. Особенно опасен этот вид деформации при сжатии длин­ных стержней с небольшим осевым моментом инерции J.



hello_html_m4fc01129.png

Рис.19

Как определяется эйлерова сила?


1.9. Расчет бруса на совместное действие кручения и изгиба

Детали машин очень часто работают при совместном действии изгибающих и крутящих моментов (например, валы редукторов и коробок скоростей). Чтобы можно было сравнить два сложных напряженных состояния, вводится понятие эквивалентного на­пряжения.

Эквивалентное напряжение σэкв - это такое напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное со­стояние было равноопасно с заданным.

Если значение σэкв найдено, то задачу о мере опасности слож­ного напряженного состояния можно считать решенной. Коэффи­циент запаса


hello_html_m35047dca.gif(1.33)


При совместном действии кручения и изгиба эквивалентное напряжение


hello_html_3f2fa6cc.gif(1.34)


По какому напряжению ведется расчет бруса на который действуют одновременно изгибающий и крутящий момент?



Вопросы и задания к зачету по разделу

«Сопротивление материалов»


  1. Что изучает сопротивление материалов?

  2. Чем отличаются упругие деформации от остаточных?

  3. Расскажите о методе сечений.

  4. Перечислите все внутренние силовые факторы возникающие в сечении бруса.

  5. Запишите закон Гука при растяжении (сжатии).

  6. Что такое относительное удлинение, от чего оно зависит?

  7. Какие эпюры необходимо построить, чтобы выполнить рас­чет на прочность при растяжении?

  8. Какая зона на диаграмме растяжения сжатия является зоной упрочнения и почему?

  9. Что такое предел упругости и предел текучести, от чего они зависят?

  10. До какого значения напряжения справедлив закон Гука?

  11. Используя тбл.1 объясните, как от значения

напряжения зависит удлинение образца?

  1. Для чего вводится понятие допускаемого

напряжения?

  1. Как вы понимаете деформацию сдвига и что такое модуль упругости при сдвиге?

  2. Объясните сущность деформации смятия.

15. Какие внутренние силовые факторы

вызывают деформацию кручения, какие

напряжения возникают в сечении?

  1. От чего зависит построение эпюры

касательных напряжений при кручении?

  1. Что такое полярный момент инерции сечения, что он характеризует?

  2. Объясните, как построить эпюру углов закручивания деформируемого бруса.

  3. Что такое изгиб?

  4. Что называется геометрической характеристикой сечения?

  5. По каким принципам определяется знаки изгибающих моментов.

  6. Объясните принципы построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов при изгибе бруса.

  7. Что такое устойчивость?

  8. Как определяется эйлерова сила?

  9. По какому напряжению ведется расчет бруса, на который действуют одновременно изгибающий и крутящий моменты?














Литература.

Вереина Л.И. Техническая механика: учебник для среднего проф. образов. – М.: Издательский центр «Академия»,2004. – 288с.


Аркуша А.И. Техническая механика: учеб. для средних спец. учеб. Заведений – М.:Высш.шк.,2003. – 352с.: ил;


Олофинская В.П. Техническая механика: Курс лекций с вариантами практических заданий: учебное пособие. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005. – 349с., ил. – ( Профессиональ-ное образование)








Учебно-методическое пособие

для подготовки к зачету студентов НПО

профессии 30.20 «Автомеханик»


Составил: преподаватель технических дисциплин

К.п.н. Наумов О. Е.

Редактор: к.т.н. Старчакова О.К.


ГОУ СПО

« Воронежский государственный промышленно - технологический колледж »

г. Воронеж, ул. 9 – го Января, д. 270


Самые низкие цены на курсы переподготовки

Специально для учителей, воспитателей и других работников системы образования действуют 50% скидки при обучении на курсах профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца с присвоением квалификации (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок", но в дипломе форма обучения не указывается.

Начало обучения ближайшей группы: 20 декабря. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (10% в начале обучения и 90% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru


Общая информация

Номер материала: ДВ-292259
Курсы профессиональной переподготовки
133 курса

Выдаем дипломы установленного образца

Заочное обучение - на сайте «Инфоурок»
(в дипломе форма обучения не указывается)

Начало обучения: 20 декабря
(набор групп каждую неделю)

Лицензия на образовательную деятельность
(№5201 выдана ООО «Инфоурок» 20.05.2016)


Скидка 50%

от 13 800  6 900 руб. / 300 часов

от 17 800  8 900 руб. / 600 часов

Выберите квалификацию, которая должна быть указана в Вашем дипломе:
... и ещё 87 других квалификаций, которые Вы можете получить

Похожие материалы

Получите наградные документы сразу с 38 конкурсов за один орг.взнос: Подробнее ->>