Пособие для учащихся "Справочные материалы", 5 класс

Содержание

§ 1. Натуральные числа …………………………………………………………….. 1

§ 2. Математические выражения ……………………………………………………1

§ 3. Законы сложения и умножения ………………………………………………...1

§ 4. Распределительный закон умножения ………………………………………....2

§ 5. Уравнение ………………………………………………………………………..2

§ 6. Формулы …………………………………………………………………………3

§ 7. Делитель и кратное натуральных чисел ……………………………... ……….4

§ 8. Признаки делимости на 2, на 5 и на 10 ………………………………………...4

§ 9. Признаки делимости на 3 и на 9 ………………………………………………..5

§ 10. Простые и составные числа ……………………………………………………5

§ 11. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа ……………………..5

§ 12. Наименьшее общее кратное …………………………………………………...6

§ 13. Окружность и круг ……………………………………………………………..7

§ 14. Обыкновенные дроби ………………………………………………………….7

§ 15. Основное свойство дроби. Сокращение дробей………………………………7

§ 16. Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа……………………..8

§ 17. Приведение обыкновенных дробей к наименьшему общему знаменателю..8

§ 18. Сравнение обыкновенных дробей……………………………………………..9

§ 19. Сложение обыкновенных дробей ……………………………………………..9

§ 20. Сложение смешанных чисел …………………………………………………..9

§ 21. Вычитание обыкновенных дробей……………………………………………10

§ 22. Вычитание смешанных чисел ………………………………………………...10

§ 23. Умножение обыкновенных дробей ………………………………………….11

§ 24. Нахождение дроби от числа ………………………………………………….11

§ 25. Деление обыкновенных дробей ……………………………………………...11

§ 26. Нахождение числа  по его дроби …………………………………………….12

§ 27. Сложение десятичных дробей ……………………………………………….12

§ 28. Вычитание десятичных дробей ………………………………………………13

§ 29. Умножение десятичной дроби на натуральное число ……………………...13

§ 30. Умножение десятичных дробей …………………….......................................13

§ 31. Деление десятичной дроби на натуральное число …………………….........14

§ 32. Деление на десятичную дробь ……………………………………………….14

§ 33. Среднее арифметическое ……………………………………………………..15

§ 34. Понятие процента. Нахождение процента данного числа .............................15

§ 35. Нахождение числа по его процентам ………………………………………..16

§ 36. Угол. Градусная мера угла. Транспортир …………………………………...16

§ 37. Виды углов …………………………………………………………………….16

 Приложение: Таблица простых чисел ……………………………………….17

 

           Данное пособие поможет вам, ребята, повторить   

  теоретические основы курса математики 5 класса.

              Цель пособия: привести ваши знания в систему, устранить  

  пробелы в теоретических сведениях курса математики 5 класса.

              Не забывай: математику нужно изучать последовательно и

  с большим вниманием. Не выучив материала даже одного урока, ты

  уже можешь не понять последующей темы.

             Запомни простую истину: математику надо изучать

  «с карандашом в руке», при необходимости делай для себя пометки

  в отдельной тетради.

             Буду доволен, если тебе данное пособие поможет привести   

  знания по математике за курс 5 класса в систему, ликвидировать

  отставание, устранить пробелы в знаниях.

             Если ты станешь глубже понимать математику, успешнее

  учиться –  значит, мой труд не пропал даром.

                                                            Твой учитель математики.

                     

17

           Чтобы узнать, сколько процентов составляет первое число от второго, надо:

           1) первое число разделить на второе;

           2) полученное частное выразить в процентах.

§ 35. Нахождение числа по его процентам

       Чтобы найти число по его процентам, надо:

        1) выразить проценты обыкновенной или десятичной дробью;

        2) разделить данное число на эту дробь.

           Пример.    Найти число 24 % которого равны 96.

                             Выразим 24% дробью: 24% = 0,24. Разделим 96  на 0,24. 

                             Имеем: 96 : 0,24 = 400.

Ответ: 400.

           Часто в задачах приходится использовать понятие концентрации раствора.

           Чтобы найти концентрацию раствора, надо количество растворённого вещества разделить на общую массу раствора и выразить полученный результат в процентах, умножив на 100.

§ 36. Угол. Градусная мера угла. Транспортир

           Углом называют фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки. При этом точку, из которой исходят лучи, называют вершиной угла. Лучи, образующие угол, называют сторонами угла.

           Для измерения углов пользуются градусом. Он составляет  часть развёрнутого угла. Измеряют величину угла с помощью транспортира.

§ 37. Виды углов

           Величина развёрнутого угла составляет 180. Прямой угол равен 90.

           Угол называется острым, если его градусная мера меньше 90.

           Угол называется тупым, если его градусная мера больше 90,

но меньше 180.

16

§ 1. Натуральные числа

           Числа, которые используются для счёта предметов, называются натуральными числами. Если запишем натуральные числа в порядке возрастания: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, ... , то получим ряд натуральных чисел. Натуральный ряд чисел начинается с 1. Натуральный ряд чисел не имеет конца (неограничен).

§ 2. Математические выражения

           Выражение, составленное из чисел, из знаков действий и скобок (по необходимости), называется числовым выражением.

           Число, полученное в результате выполнения всех действий в числовом выражении, называется значением выражения.

12 + (12 –  5) = 12 + 7 = 19.

           Здесь число 19 является значением данного выражения.

           Выражение, содержащее буквы, называется буквенным выражением.

86 + (86 + а)

           Если а =15, то 86 + (86 + а) = 86 + (86 + 15) = 187.

           Здесь число 15 – значение буквы а, а число 187 – значение данного выражения.

           Числовые выражения и буквенные выражения называются математическими выражениями.

           Математические выражения составляются из чисел, букв, знаков действий и скобок (по необходимости). При записи математических выражений используются латинские буквы.

           Если в буквенном выражении один из множителей является числом, то он пишется впереди буквенного множителя. Множитель, стоящий перед буквенным выражением, называется коэффициентом. Между коэффициентом и буквенным множителем не ставится знак умножения. Например, буквенное выражение 5∙а запишется в виде 5а, где число 5 – коэффициент.            

           Коэффициент буквенных выражений а, в равен 1. Он не пишется.

§ 3. Законы сложения и умножения

           Переместительный закон сложения: от перемены мест слагаемых сумма не изменяется: а + в = в + а.

           Сочетательный закон сложения: (а + в) + с = а + (в + с). Математические выражения можно упрощать, используя переместительное и сочетательное свойства сложения.                                                                                                            

           Переместительный закон умножения: от перемены мест множителей произведение не изменяется: а ∙ в = в ∙ а.

           Сочетательный закон умножения: (а ∙ в) ∙ с = а ∙ (в ∙ с).                                          

           Математические выражения можно упрощать, используя переместительный и сочетательный законы умножения.                                                                                         1                                                            

           Пример 1:            а) 73 + 36 + 27 = (73 + 27) + 36 = 100 + 36 = 136;

                                        б) (m + 9) + 16 = m + (9 + 16) = m + 25.

           Пример 2:            а) 25 ∙ 9 ∙ 4 = (25 ∙ 4) ∙ 9=100 ∙ 9 = 900;

                                        б) 12х∙ 5 =(12 ∙ 5) ∙ х = 60х.

§ 4. Распределительный закон умножения

           Распределительное свойство умножения относительно сложения: Чтобы умножить сумму на число, нужно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные произведения.

           С помощью букв это записывается так: (а + в) ∙ с = а ∙ с + в ∙ с.

           Пример: 5(х + 7) = 5 ∙ х + 5 ∙ 7 = 5х + 35.

           Распределительное свойство умножения относительно вычитания: Чтобы умножить разность двух чисел на число, нужно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.

           С помощью букв это записывается так: (а – в) ∙ с = а ∙ с – в ∙ с.

           Пример: 6(у – 9) = 6 ∙ у – 6 ∙ 9 = 6у – 54.

§ 5. Уравнение

          Равенство с переменной (буквой) называется уравнением, если надо найти значение переменной, при котором равенство верно.

           Эта буква называется переменной или неизвестной.

           Значение буквы, при котором уравнение становится верным числовым равенством, называется корнем уравнения.

           Решить уравнение – значит найти все его корни или убедиться, что это уравнение корней не имеет.

           Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное

слагаемое.

                   х  + 5  = 12;             х = 12 – 5;              х = 7.                                Ответ: х = 7.

           Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к вычитаемому прибавить

разность.

                   х  – 5  = 12;             х = 12 + 5;              х = 17.                              Ответ: х = 17.          

           Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

                   18 – х  = 12;             х = 18 –  12;          х = 6.                                Ответ: х = 6.          

           Чтобы найти неизвестное делимое,  нужно частное умножить на делитель.

                   х : 8  = 6;                 х = 8 ∙  6;                 х = 48.                            Ответ: х = 48.          

           Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

                   40 : х  = 5;               х = 40 :  5;               х = 8.                              Ответ: х = 8.          

           Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить

на известный множитель.

                    4 ∙ х  = 36;               х = 36 :  4;               х = 9.                                 Ответ: х = 9.

2

           Пример 1.            7,644 : 1,56 = 764,4 : 156 = 4,9

           Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д., надо перенести

в ней запятую вправо на столько цифр, сколько в делителе знаков после запятой.

           Пример 2.            2,73 : 0,1 = 27,3;                 46,761 : 0,01 = 4676,1;

                                        27,3 : 1 = 27,3;                      4676,1 : 1 = 4676,1.

           Деление десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001; ... равносильно умножению десятичной дроби на 10, 100, 1000, … .

           Пример 3.            2,73 : 0,1 = 27,3;                 46,761 : 0,01 = 4676,1;

                                        2,73 ∙ 10 = 27,3;                   46,761∙ 100 = 4676,1.

§ 33. Среднее арифметическое

           Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

           Задача 1. На шахматном турнире ученики 5 класса получили 13, 14, 15, 12, 10 очков.            

                           Найдите среднее арифметическое полученных очков.

Решение:

(13 + 14 + 15 + 12 + 16) : 5 = 70 : 5 = 14.

           Ответ: среднее арифметическое полученных учениками очков равно 14 очкам.

           Задача 2. Автобус шёл 2 часа со скоростью 65 км/ч, 3 часа со скоростью 70 км/ч

                           и 5 часов со скоростью 60 км/ч.

                          Найдите среднюю скорость движения автобуса.

Решение:

           Чтобы найти среднюю скорость движения автобуса, надо весь пройденный путь разделить на время движения автобуса:

 (65 ∙ 2 + 70 ∙ 3 + 60 ∙ 5) : (2 + 3 + 5) = 640 : 10 = 64 (км/ч).

           Ответ: 64 км/ч.

§ 34. Понятие процента. Нахождение процента данного числа

           Процентом называется сотая часть числа.

       Чтобы найти проценты от данного числа, надо:

        1) выразить проценты обыкновенной или десятичной дробью;

        2) умножить данное число на эту дробь.

           Пример.    Найти 25 % от числа 52.

           Выразим 25% дробью: 25% = 0,25. Умножим 52  на 0,25.  Имеем: 52 · 0,25 = 13.

Ответ: 13.

           Формулой это будет выглядеть так:

15

           Пример 1.         8,34 ∙ 2,7 = 22,518. При умножении 834 на 27, получаем 22 518.

                             В произведении отделим 5 знаков после запятой, так как в первом

                             множителе после запятой 2 знака, а во втором – 3.

                             Всего – 5 знаков.

           Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001; ..., нужно в этой дроби перенести запятую влево на столько цифр, сколько знаков после запятой.

           Пример 2.     а) 57,8 ∙ 0,1 = 5,78;                б) 72,3 ∙ 0,01 = 0, 723;

                                 в) 4,5 ∙ 0,001 = 0,0045.

§ 31. Деление десятичной дроби на натуральное число

           Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо:

           1) разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую;

           2) поставить в частном запятую тогда, когда закончится деление целой части.

           Пример 1. а) 12,8 : 4 = 3,2;            б) 18,4 : 8 = 2,3;           в) 0,16 : 8 = 0,02.

           Если в процессе деления десятичной дроби останется остаток, то приписав к нему нужное число нулей, продолжим деление до тех пор, пока в остатке не получится нуль.

           Пример 2.                            31,5 : 28 = 1,125.

                                                                         

           Чтобы разделить десятичные дроби на разрядные единицы 10, 100, 1000 и т.д., надо перенести запятую в этой дроби влево на столько цифр, сколько нулей стоит после единицы в делителе.

           Пример 2.              а) 327,6 : 10 = 32,76;           б) 327,6 : 1000 = 0,3276.

§ 32. Деление на десятичную дробь

           Деление на десятичную дробь можно свести к делению на натуральное число.

           Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо:

           1)  в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько

               их после запятой в делителе;

14        2)  после этого выполнить деление на натуральное число.

§ 6. Формулы

           В математике правила записываются с помощью равенств, содержащих буквы.

           В таком случае говорят, что правило записано формулой.

           Формула периметра прямоугольника:

Р = 2а + 2в или  Р = 2 (а + в).

           Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме его длины и ширины.

Здесь Р – периметр, а – длина, в – ширина прямоугольника (рис. 1).

Рис.1

           Пример 1. Длина прямоугольника 5 см, ширина 3 см.

                             Найдите периметр прямоугольника.

Решение:

           а = 5 см, в = 3 см.  Р = 2 (а + в);  Р = 2 ∙ (5 + 3) = 16 (см).

Ответ: 16 см.

           Квадрат – это прямоугольник, все стороны которого равны (рис. 2).

Рис. 2

           Если сторона квадрата равна а, а то формула его периметра будет иметь вид:

Р = 4а.

           Формула периметра треугольника имеет вид:

Р = а + в + с.

           Здесь а, в и с – стороны треугольника.

           Чтобы найти периметр треугольника, нужно сложить длины всех его сторон.

        Формула площади прямоугольника:  S= ав.

           Здесь S – площадь прямоугольника.

           Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину.

           Пример 2. Длина прямоугольника 8 см, ширина 5 см.

                             Найдите площадь прямоугольника.

       Решение:  а = 8 см, в = 5 см,  S = 8 ∙ 5 = 40 (см).             

 О т в е т:  40 см. 

            Формула площади квадрата S = а.

        Площадь квадрата равна квадрату его стороны.                                        3

        Формула объёма прямоугольного параллелепипеда: V = авс.

            Здесь V – объём, а – длина, в – ширина, с – высота прямоугольного параллелепипеда.             

           Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины на ширину и высоту.

           Пример 3. Объём прямоугольного параллелепипеда 90 см.

                             Его длина равна 6 см, ширина – 5 см. Найдите его высоту.

Решение:

            а = 6 см, в = 5 см. V = авс;  90 = 6 ∙ 5 ∙ с;  30с = 90;  с = 90 : 30 = 3 (см).

О т в е т:  3 см.

§ 7. Делитель и кратное натуральных чисел.

           Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка.

           Например, делители числа 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28.

           Делитель делит данное число нацело.

           Число 1 является делителем любого натурального числа, так как все натуральные числа делятся на 1.

           Наибольший делитель данного натурального числа равен самому числу.

           Кратным натурального числа в называют натуральное число,  которое делится на в без остатка.

           Числа 4, 8, 12, 16, 20, … кратны числу 4.

           Кратное делится на данное число.        

           Наименьшее кратное данного натурального числа равно самому числу.

§ 8. Признаки делимости на 2, на 5 и на 10

           Натуральные числа делятся на чётные числа и нечётные числа.

           Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют чётными цифрами.

           Числа, запись которых оканчивается чётными цифрами, называют чётными числами.

           Например, числа 10, 12, 24, 36, 58, ... – чётные числа.

           Цифры 1, 3, 5, 7, 9 называют нечётными цифрами.

           Числа, запись которых оканчивается нечётными цифрами, называют нечётными числами.

           Например, числа 11, 33, 45, 57, 79, ... – нечётные числа.

           Признак делимости на число 2: Все натуральные числа, запись которых оканчивается чётной цифрой, делятся на 2.

           Например, 18 : 2 = 9,  104 : 2 = 52, 1 376 : 2 = 688.

4

§ 28. Вычитание десятичных дробей

           Чтобы выполнить вычитание десятичных дробей, надо:

           1) уравнять в этих дробях количество знаков после запятой;

           2) подписать вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы запятая была записана

               под запятой;

           3) выполнить вычитание, не обращая внимания на запятую, и поставить

               в разности запятую под запятыми уменьшаемого и вычитаемого.

           Пример 1.             а) 17,23 – 8,45 = 8,78;        б) 34,683 – 8,564 = 26,119.

                                                     17,23                                   34,683

                                                          8,45                                         8,564

                                                          8,78                                       26,119                     

           Пример 2.             а) 32,85 – 3,673 = 32,850 – 3,673 = 29,177;

                                         б) 49 –  44,72 = 49,00 – 44,72 = 4,28.

                                          32,850                                   49,00

                                               3,673                                       44,72

                                             29,177                                         4,28                     

§ 29. Умножение десятичной дроби на натуральное число

           Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, надо:

           1) умножить её на это число, не обращая внимания на запятую;

           2) в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа,

               сколько их отделено запятой в десятичной дроби.

           Пример 1.             а) 17,23 ∙ 6 = 103,38;        б) 0,0072 ∙ 3 = 0,0216.

                                                      17,23                                   0,0072

                                                               6                                                3

                                                       103,38                                     0,0216

           Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую вправо на столько цифр, сколько нулей в множителе после единицы.

           Например:        а) 7,8975 ∙ 100 = 789,75;             б) 123,7843 ∙ 1000 = 123 784,3.

             Если число десятичных знаков в десятичной дроби меньше, чем число нулей в разрядной единице, то можно приписать необходимое количество нулей к десятичной дроби и выполнить умножение.

           Например:        4,5 ∙ 1000 = 4,500 ∙ 1000 = 4 500.

§ 30. Умножение десятичных дробей

           Чтобы умножить десятичные дроби, надо:

           1) выполнить умножение, не обращая внимания на запятые;

           2) отделить в полученном произведении запятой столько цифр справа,

               сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.                                    13

           Пример 1.         .

           Любое число, кроме нуля, имеет обратное число. Поэтому на нуль делить

нельзя.

           Если среди данных чисел имеются смешанные числа, то сначала смешанное число записывают в виде неправильной дроби, а потом выполняют действие деления.

           Пример 2.        .          

           Если делимое или делитель является натуральным числом, то натуральное число записывают в виде дроби со знаменателем 1, затем используют правило деления дроби на дробь.

           Пример 3.        а) ;

                                    б) .  

§ 26. Нахождение числа  по его дроби

           Чтобы найти число по его дроби, надо разделить на эту дробь соответствующее ей число.

           Задача. Машина проехала 280 км, что составляет  всего намеченного пути. Каков весь путь?

           Решение:     (км).                               Ответ: 350 км.

§ 27. Сложение десятичных дробей

           Чтобы сложить десятичные дроби, надо:

           1)  уравнять в этих дробях количество знаков после запятой;

           2)  записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой;

           3)  выполнить сложение, не обращая внимания на запятую, и поставить

в сумме запятую под запятой в слагаемых дробях.

           Пример 1.             а) 4,21 + 5,47 = 9,68;        б) 34,683 + 8,564 = 43,247.

                                                     4,21                                 34,683

                                                        5,47                                       8,564

                                                        9,68                                     43,247                     

           Пример 2.             5,243 + 76,4 = 5,243 + 76,400 = 81,643.

                                                     5,243

                                                      76,400                     

                                                                  81,643

12

           Признак делимости на число 5: Все натуральные числа, запись которых оканчивается цифрой 0 или цифрой 5, делятся на 5.

           Например, 125 : 5 = 25, 220 : 5 = 44,  1 000 : 5 = 200.

           Признак делимости на число 10: Все натуральные числа, запись которых оканчивается цифрой 0, делятся на 10.

           Например, 30  : 10 = 3, 120 : 10 = 12,  1 070 : 10 = 107.

           Так как 10 = 2 ∙ 5, то все числа, которые делятся на 10, делятся и на 2, и на 5.

§ 9. Признаки делимости на 3 и на 9

           Признак делимости на число 3:  Если сумма цифр натурального числа делится

на 3, то и число делится на 3.

           Пример 1. Число 654 делится на 3, так как сумма цифр числа 654 равна

6 + 5 + 4 =15. Тогда 654 : 3 = 218.

           Пример 2. Число 437 не делится на 3, так как сумма цифр числа 437

равна 4 + 3 + 7= 14. А число 14 не делится на 3.

           Признак делимости на 9: Если сумма цифр натурального числа делится

на 9, то и число делится на 9.

            Пример 3. Число 576 делится на 9, так как сумма цифр числа 576 равна

5 + 7 + 6 = 18. Тогда число 576 делится на 9. 576 : 9 = 64.

           Пример 4. Число 289 не делится на 9, так как сумма цифр числа 289

равна 2 + 8 + 9 = 19. А число 19 не делится на 9.

           Так как число 9 делится на 3, все числа, которые делятся на 9, также делятся на 3.

§ 10. Простые и составные числа

          Натуральное число, которое делится только на 1 и на себя, называется простым числом.

       Существует только одно чётное простое число, это 2.              

          Натуральное число, которое имеет более двух различных делителей, называется составным числом.

       Натуральное число 1 имеет только один делитель: само число 1.

       Поэтому число 1 не является ни простым числом, ни составным.

§ 11. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа

           Делители числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18;     делители числа 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

Общие делители чисел 18 и 30: числа 1, 2, 3, 6. Наибольшим из них является число 6, которое является наибольшим общим делителем  чисел 18 и 30.

            Его обозначают так: НОД (18; 30) = 6.     

           Наибольшим общим делителем данных натуральных чисел называют наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из этих чисел.

           Пример 1. Найдем наибольший общий делитель чисел 8, 14 и 22.

5

Решение.

           Делители числа 8: 1, 2, 4, 8;  делители числа 14: 1, 2, 7, 14;  делители числа 22: 1, 2, 11, 22.

           Общими делителями чисел 8, 14 и 22 являются: 1 и 2. Наибольшим общим делителем является число 2. НОД (8; 14; 22) = 2.

           Пример 2. Найдём наибольший общий делитель чисел 25 и 12.

Решение.

           Делители числа 25: 1, 5, 25; делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Общим делителем чисел 25 и 12 является только одно число – число 1.

НОД (25;12) =1.

           Два или более натуральных числа, которые имеют только один общий делитель – единицу, называют взаимно простыми числами.

           Например, числа 7 и 11, 8 и 15, 4 и 19 являются взаимно простыми числами.

           Если наименьшее из чисел является делителем остальных чисел, это число является наибольшим общим делителем данных чисел.

           Наибольший общий делитель данных чисел можно найти путем разложения этих чисел на простые множители. Для этого надо:

           1) разложить данные числа на простые множители;

           2) выписать общие простые множители;

           3) вычислить произведение полученных простых множителей.

           Наибольший общий делитель данных чисел равен произведению общих простых множителей в разложениях этих чисел.

           Пример 3. Найдём наибольший общий делитель чисел 18, 24 и 36 с помощью разложения данных чисел на простые множители.

           18 = 2 ∙ 3 ∙ 3;              24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3;           36 = 3 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 2.

           Общим множителем в разложении данных чисел 2 и 3, а их произведение:

2 ∙ 3 = 6. Следовательно, НОД (18; 24; 36) = 6.

§ 12. Наименьшее общее кратное

           Числа, кратные 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ... ,

           числа, кратные 6:  6, 12, 18, 24, 30, 36, … .

Найдём среди этих кратных числа, которые являются кратными и числу 4 и числу 6, т.е. общие кратные. Ими являются: 12, 24, 36, … . Наименьшее среди них – число 12. Следовательно, наименьшим общим кратным данных натуральных чисел 4 и 6 является число 12.

           Наименьшим общим кратным данных натуральных чисел называют наименьшее натуральное число, кратное каждому из данных чисел.

           Наименьшее общее кратное чисел 4 и 6 –  число 12.

           Его обозначение: НОК (4; 6) = 12.                                                                                                  

Способы нахождения наименьшего общего кратного.

           Способ 1. Нахождение наименьшего общего кратного данных натуральных

6             чисел путём разложения этих чисел на простые множители. Для этого надо:

           Пример 3.      .

           При вычитании из смешанного числа натурального числа надо из целой

части смешанного числа вычесть натуральное число и к полученному числу

приписать дробную часть смешанного числа.

           Пример 4.      .

§ 23. Умножение обыкновенных дробей

           Произведение двух обыкновенных дробей это дробь, числитель которой равен

произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей данных дробей.

           Используя буквенные обозначения, правило умножения двух дробей можно записать так: .

           Если числитель и знаменатель дроби имеют общие делители, то сначала нужно произвести сокращение.

           Пример 1.     .

           Чтобы умножить дробь на натуральное число, это натуральное число записывается дробью со знаменателем 1.

           Пример 2.      .

           При умножении дроби на натуральное число, числитель дроби умножают на это число, а знаменатель оставляют без изменения.

           Если множители являются смешанными числами, то сначала их нужно записать в виде неправильных дробей, затем воспользоваться правилом умножения дробей.

           Пример 3.        .

§ 24. Нахождение дроби от числа

           Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.

           Пример 1.      Найдём  от .  .

           Пример 2.      Найдём  от .  .

§ 25. Деление обыкновенных дробей

           Чтобы разделить обыкновенную дробь на обыкновенную дробь, нужно делимое умножить на число, обратное делителю.

11

.

§ 21. Вычитание обыкновенных дробей

           При вычитании обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель оставляют тот же: .

           Пример 1:     а) ;      б) .

           Чтобы выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, нужно:

           1) привести дроби к наименьшему общему знаменателю;

           2) выполнить действие вычитания полученных дробей по правилу вычитания  дробей с одинаковыми знаменателями.

           Пример 2:       .     

           Чтобы выполнить вычитание дроби из натурального числа, нужно:

           Уменьшить на одну целую натуральное число, записать его в виде смешанного числа с таким же знаменателем, как у вычитаемой дроби.

           Пример 3.       .

§ 22. Вычитание смешанных чисел

           Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел с разными знаменателями, надо:

           1)  привести дробные части смешанных чисел к наименьшему общему

знаменателю;

           2) отдельно выполнить вычитание целых частей, отдельно дробных частей,

а затем сложить полученные результаты.

           Пример 1.       .

           Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то нужно превратить её в неправильную дробь, уменьшив целую часть на единицу. При этом дробная часть уменьшаемого станет неправильной дробью и будет больше дробной части вычитаемого.

           Пример 2.      .

           Чтобы вычесть из натурального числа смешанное число, надо записать натуральное число в виде смешанного числа, а затем выполнить действие по правилу 10       вычитания смешанных чисел.

           1) разложить данные натуральные числа на простые множители;

           2) выписать множители, входящие в разложение одного из них (наибольшего),

и дополнить их недостающими множителями из разложений остальных чисел;

           3) найти произведение полученных множителей. Это произведение

               является наименьшим общим кратным данных натуральных чисел.

           Пример 1. Нужно найти НОК (50; 28).

                             Разложим числа 50 и 28 на простые множители:

                             50 = 2 ∙ 5 ∙ 5;                        28 = 7 ∙ 2 ∙ 2.

           НОК (50; 28) = (2 ∙ 5 ∙ 5) ∙ 2 ∙ 7;           НОК (50; 28) = 700.

           Если наибольшее число из данных натуральных чисел является кратным остальных чисел, то это наибольшее число будет наименьшим общим кратным данных чисел.

           Например, НОК (57; 19) =57;            НОК (8; 16; 32) = 32.

           Наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.

           Например, НОК (5; 7) = 35; НОК (3; 11) = 33; НОК (10; 21) = 210.

           Способ 2. Нахождение наименьшего общего кратного путём увеличения в несколько раз наибольшего числа.

           Пример 2. НОК (12; 16) = 48; 16 ∙ 2 =32; 32 на 12 не делится нацело,  48 : 12 = 4.

§ 13. Окружность и круг

           Окружность – множество точек плоскости, каждая из которых удалена на одинаковое расстояние от одной точки, называемой центром окружности.

           Отрезок, соединяющий любую точку окружности с центром окружности, называется радиусом.

           Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр, называется диаметром.                         D = 2 R.

           Длина окружности вычисляется по формуле: C = 2π R = π D.

           Часть плоскости, находящаяся внутри окружности, называется кругом.

           Площадь круга вычисляется по формуле: S = π R.

§ 14.  Обыкновенные дроби

           Обыкновенные дроби:      ; ; ; ; ; ; .

           Обыкновенная дробь = .  Знаменатель дроби говорит о том, на сколько равных частей что-то поделили, а числитель дроби говорит о том, сколько таких равных частей взяли.

§ 15. Основное свойство дроби. Сокращение дробей

7

           Основное свойство дроби: Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

           Деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, называют сокращением дроби.

           Пример:       ;    .

§ 16. Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа

           Если числитель дроби меньше знаменателя дроби, то дробь называется правильной дробью. Поэтому правильная дробь меньше единицы.

           Например:      ; ; ; ; ; ; .

           Если числитель дроби равен или больше знаменателя дроби, то дробь называется неправильной дробью. Поэтому неправильная дробь равна единице или больше единицы.

           Например:      ; ; ; ; ; ; .

           Число, состоящее из целой и дробной части, называется смешанным числом.

           Чтобы неправильную дробь представить в виде смешанного числа, надо:

           1) разделить числитель дроби на знаменатель: = 11 : 3 = 3 (остаток 2);

           2) в качестве целой части взять неполное частное;

           3) остаток (если он есть) будет числителем дробной части, а делитель –

знаменателем дробной части.

           Значит:        = 3

           Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно:

           1)  умножить целую часть смешанного числа на знаменатель дробной части;

           2)  к полученному произведению прибавить числитель дробной части;

           3) записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель оставить

без изменения.

           Например:     5= = .

§ 17. Приведение обыкновенных дробей к наименьшему общему знаменателю

           Дроби с разными знаменателями можно заменить на дроби с одинаковыми знаменателями, используя основное свойство дроби. Число, которое может быть

8       

знаменателем для всех дробей с разными знаменателями, называется общим знаменателем этих дробей.

           Наименьшим общим знаменателем данных несократимых дробей является наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей.

           Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:

           1) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей, оно и будет

 их наименьшим общим знаменателем;

           2) разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей

и найти для каждой дроби дополнительный множитель;

           3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный  множитель.

§ 18. Сравнение обыкновенных дробей

           Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше, и меньше та дробь, у которой числитель меньше.

           Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше, и меньше та дробь, у которой знаменатель больше.

§ 19. Сложение обыкновенных дробей

           При сложении дробей с одинаковым знаменателем числители складывают, а знаменатель оставляют тот же.

           Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, надо:

           1) привести дроби к наименьшему общему знаменателю;

           2) выполнить сложение полученных дробей по правилу сложения дробей

               с одинаковым знаменателем.

§ 20. Сложение смешанных чисел

           Чтобы сложить смешанные числа с одинаковыми знаменателями, нужно выполнить отдельно сложение целых частей и отдельно дробных частей, записать сумму в виде смешанного числа.

           Пример 1.      .

           Чтобы сложить смешанные числа с разными знаменателями, нужно:

           1) привести дробные части смешанных чисел к наименьшему общему знаменателю;

           2) выполнить сложение полученных чисел по правилу сложения смешанных чисел с одинаковым знаменателем.

           Если в полученной сумме дробная часть смешанного числа будет неправильной дробью, то выделяется его целая часть и прибавляется к сумме целых частей смешанного числа.

9