Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Пособие для учащихся «Справочные материалы по математике», 7 класс

Пособие для учащихся «Справочные материалы по математике», 7 класс


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Содержание


Раздел I. АЛГЕБРА

§ 1. Определение степени с натуральным показателем ………………………….. 1

§ 2. Свойства степени с натуральным показателем …………………..……………1

§ 3. Степень с целым показателем…………………………………………………..1

§ 4. Умножение многочлена на одночлен .………………………………………....2

§ 5. Умножение многочлена на многочлен .………………………………………..2

§ 6. Формулы сокращённого умножения ………..…………………………………2

§ 7. Деление многочлена на одночлен …………………………………….……….3

§ 8. Деление многочлена на многочлен ……………………………………………3

§ 9. Разложение многочлена на множители………………………………………..3

§ 10. Алгебраические дроби ………………………………………………………..5

§ 11. Основное свойство дроби. Сокращение дроби .…………... ………………..5

§ 12. Приведение алгебраических дробей к НОЗ …………………………………5

§ 13. Сложение и вычитание алгебраических дробей ……..……………………..6

§ 14. Умножение и деление алгебраических дробей ……………………………..6

§ 15. Стандартный вид числа ………..……………………………………………..6

§ 16. Функция hello_html_6dc5e9e2.gif и её график…………………………………………………..7

§ 17. Абсолютная погрешность приближения …………………………………….8

§ 18. Относительная погрешность …...…………………………………………….8


Раздел II. ГЕОМЕТРИЯ

§ 19. Точка, прямая, плоскость …….………………………………………………9

§ 20. Смежные углы ……………………………………………………………….10

§ 21. Вертикальные углы ………..………………………………….………….….11

§ 22. Признаки параллельности прямых ……………………………….………...11

§ 23. Виды треугольников …………..…………………………………………….11

§ 24. Признаки равенства треугольников…………………………………………12

§ 25. Высота, биссектриса и медиана треугольника ……………….……………12

§ 26. Свойство медианы равнобедренного треугольника .……………………...12

§ 27. Сумма углов треугольника…………………….............................................13

§ 28. Внешние углы треугольника ………………………………………….........13

§ 29. Признаки равенства прямоугольного треугольника………………………13

§ 30. Свойство медианы треугольника…………………………………………...14

§ 31. Соотношения между сторонами и углами треугольника …………………14

§ 32. Свойство катета, лежащего против угла 30° ………………………………14

§ 33. Окружность и её элементы …………………………………………………14

§ 34. Касательная к окружности ………………………………………………….15

§ 35. Окружность, описанная около треугольника ……………………………..15

§ 36. Окружность, вписанная в треугольник ……..……………………………..15




Соловьёв В.А.


Справочник

7 класс


Математика. Готовься к экзаменам






Справочные материалы

по курсу математики 7 класса










2010 г.




























Данное пособие поможет вам, ребята, повторить

теоретические основы курса математики 7 класса.







Цель пособия: привести ваши знания в систему, устранить

пробелы в теоретических сведениях курса математики 7 класса.

Не забывай: математику нужно изучать последовательно и

с большим вниманием. Не выучив материала даже одного урока,

ты уже можешь не понять последующей темы.

Запомни простую истину: математику надо изучать

«с карандашом в руке», при необходимости делай для себя

пометки в отдельной тетради.

Буду доволен, если тебе данное пособие поможет привести

знания по математике за курс 7 класса в систему, ликвидировать

отставание, устранить пробелы в знаниях.

Если ты станешь глубже понимать математику, успешнее

учиться – значит, мой труд не пропал даром.

Твой учитель математики.











































Ребята!

Отзывы и пожелания по материалам справочного пособия по курсу математики

7 класса вы можете высказать учителю математики.

Желаю Вам успехов в учёбе!!!




































16

Раздел I. АЛГЕБРА

§ 1. Определение степени с натуральным показателем

Определение. Нахождение произведения нескольких одинаковых множителей называют возведением в степень.

Произведение 4 ∙ 4 обозначают 4hello_html_m390ba23f.gif , а 4 ∙ 4 ∙ 4 обозначают 4hello_html_28a05c6c.gif. Произведение п

( п – натуральное число, большее 1) множителей, каждый из которых равен а, называют а в степени п. Записывают: hello_html_m62250983.gif, где аоснование степени; число п, которое показывает, в какую степень надо возвести, называют показателем степени.

Степенью любого числа а с показателем 1 называется само число: hello_html_mf5d948f.gif

Например: 1) hello_html_m3149c442.gif;

2) hello_html_m2fd4af79.gif; hello_html_510a4254.gif; hello_html_3e4e4e17.gif;

3) hello_html_m1ce24dd6.gif; hello_html_m5f78a7d0.gif.


§ 2. Свойства степени с натуральным показателем

Свойство 1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели

степеней складываются, а основание остаётся прежним: аhello_html_65dfafdf.gif ∙ аhello_html_d901e0b.gif= а hello_html_28144ef1.gif.

Например, hello_html_5ca350e.gif.

Свойство 2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели

степеней вычитаются, а основание остаётся прежним: hello_html_meb582c8.gif.

Например, hello_html_2c56285f.gif.

Свойство 3. При возведении степени в степень показатели степеней

перемножаются, а основание остаётся прежним: hello_html_m6b55ad94.gif.

Например, hello_html_401383ee.gif.

Свойство 4. При возведении произведения в степень в эту степень возводится

каждый множитель: (ав)hello_html_m6ae24753.gif

Например, hello_html_m7526244e.gif.

Свойство 5. При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель

и знаменатель: hello_html_4628faf6.gif. Например, hello_html_1a45f32a.gif.


§ 3. Степень с целым показателем


Если а ≠ 0 и пнатуральное число, то: hello_html_mdd4887b.gif

Примеры: 1) hello_html_3048daee.gif; 2) hello_html_c540239.gif.

1





Если а ≠ 0, то: hello_html_18e9ab44.gif

Например: 1) hello_html_173464be.gif; 2)hello_html_72b8a347.gif; 3) hello_html_m393c907.gif.


§ 4. Умножение многочлена на одночлен

Чтобы умножить многочлен на одночлен, надо каждый член многочлена умножить на одночлен и сложить полученные произведения.

Пример: (а – 3в)∙ (– 3с) = а ∙ (– 3с) – 3в∙ (– 3с) = – 3ас + 3вс.


§ 5. Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножать многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и сложить полученные результаты.

Пример: (2а – 3в)∙ (а + 3в) =2 аа – 3в а + 2а ∙ 3в – 3в ∙ 3в = 2аhello_html_6e2b85fc.gif3ав + 6ав

9вhello_html_6e2b85fc.gif = 2аhello_html_6e2b85fc.gif + 3ав – 9вhello_html_6e2b85fc.gif.


§ 6. Формулы сокращённого умножения


1) hello_html_m5aad2dec.gif

Произведение разности двух чисел на их сумму равно разности квадратов этих чисел.

2) hello_html_19547d0.gif

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

3) hello_html_3718ebf3.gif

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

4) hello_html_m11289cb3.gif

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго плюс куб второго числа.

5)hello_html_m7ff6fb7f.gif

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа.

6) hello_html_1dde9fa6.gif

Произведение разности двух чисел и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих чисел.

7)hello_html_m35bdac40.gif.


2

§ 34. Касательная к окружности


hello_html_m5fb0d070.png



Рис. 13

Прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту точку, называется касательной. При этом данная точка окружности называется точкой касания.

На рисунке 13 прямая а проведена через точку окружности А перпендикулярно к радиусу ОА. Прямая а является касательной к окружности. Точка А является точкой касания. Можно сказать также, что окружность касается прямой а в точке А.

§ 35. Окружность, описанная около треугольника


Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

На рис. 14 окружность описана около треугольника АВС.

Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины этих сторон (серединных перпендикуляров).

hello_html_m2a782d41.png

Рис. 14


§ 36. Окружность, вписанная в треугольник


hello_html_1995e948.png

Рис. 15

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

На рис. 15 окружность вписана в треугольник АВС.


Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.











15

2) по гипотенузе и острому углу: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

3) по катету и противолежащему углу: Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.


§ 30. Свойство медианы треугольника


Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Точка пересечения медиан треугольника, отсекает от медианы hello_html_m6632ac8d.gif её, считая от соответствующей стороны.


§ 31. Соотношения между сторонами и углами треугольника


1) Против бόльшей стороны треугольника лежит бόльший угол.

2) В треугольнике против равных углов лежат равные стороны.

3) В треугольнике против бόльшего угла лежит бόльшая сторона.

4) Сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Следствие: Разность двух сторон треугольника меньше третьей стороны.


§ 32. Свойство катета, лежащего против угла 30°


Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.


§ 33. Окружность и её элементы


Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Эта точка называется центром окружности.

Расстояние от точек окружности до её центра называется радиусом окружности. Радиусом называется также любой отрезок, соединяющий точку окружности с её центром (рис. 11).

hello_html_m4894ba94.png

Рис. 11


hello_html_m638610f5.png

Рис. 12

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром. На рисунке 12 ВС – хорда, АВ – диаметр.

Диаметр окружности, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей.



14


Произведение суммы двух чисел и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих чисел.


§ 7. Деление многочлена на одночлен


Чтобы разделить многочлен на одночлен нужно разделить каждый член многочлена на одночлен и полученные результаты сложить.

Чтобы проверить правильность результата деления многочлена на одночлен, нужно частное умножить на одночлен.

Например,hello_html_246560f9.gif.

Деление выполнено правильно, т.к. hello_html_14ea7550.gif.

При делении многочлена на одночлен каждый его член должен нацело делиться на этот одночлен. Например, многочлен ав + ас не делится на одночлен ав, т.к. одночлен ас не делится на одночлен ав. При делении многочлена на одночлен значение выражения, являющегося делителем, не должно равняться нулю.


§ 8. Деление многочлена на многочлен


Пример 1. Выполнить деление:

hello_html_782dd962.png

Пример 2. Выполнить деление:

hello_html_m4d6e25f0.png

Пример 3. Выполнить деление:

hello_html_m6a4d9b6.png

Теорема Безу: Целый корень целого многочлена с целыми коэффициентами

равен делителю свободного члена.


§ 9. Разложение многочлена на множители


Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов (среди них могут быть и одночлены) называют разложением многочлена на множители. 3

1) Вынесение общего множителя за скобку

Если каждый член многочлена содержит общий множитель (числовой или буквенный), то его можно вынести за скобку.

Для того, чтобы найти многочлен, который останется в скобках, нужно каждый член данного многочлена разделить на этот множитель.

Например, разложим на множители многочлен 6ав + 3в – 12вс. Все члены данного многочлена содержат общий множитель 3в. Следовательно, 6ав + 3в – 12вс = = 3в (2а + 1 – 4с).

Члены многочлена, стоящего в скобках, получаются при делении каждого члена данного многочлена на общий множитель 3в.


2) Способ группировки

Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно:

1) члены многочлена, имеющие одинаковые множители, объединить в группы;

2) вынести за скобку общие множители в каждой группе;

3) упростить выражение, оставшееся в скобках.

Примеры: 1) hello_html_701ea651.gif;

2) hello_html_m1f2c9633.gif;

3) hello_html_3f680e1e.gif

hello_html_m8dcf7d0.gif.


3) Разложение на множители по формулам сокращённого умножения


I. Применение формулы разности квадратов: hello_html_m5d438ee2.gif.

1) hello_html_32015816.gif;

2) hello_html_m7cdb2fab.gif;

3) hello_html_mb2f2a8a.gif.

II. Применение формулы квадрата суммы или разности:

hello_html_3718ebf3.gifилиhello_html_19547d0.gif.

1)hello_html_m27bca7df.gif;

2) hello_html_m387b5364.gif.

III. Применение формулы разности или суммы кубов:

hello_html_m7f4a96ab.gif; hello_html_m4e1899cf.gif.

1) hello_html_6807f579.gif;

2) hello_html_m688925b7.gif.

IV. Применение формулы куба разности или суммы:

hello_html_m11289cb3.gif;

hello_html_5663b071.gif.

4

§ 27. Сумма углов треугольника


Сумма углов треугольника равна 180°.

Задача. В треугольнике углы пропорциональны числам 2, 3, 5. Найти его углы.

Решение: Если даётся отношение, то это задача на части. Пусть 1 часть равна х°, тогда hello_html_m9599c9c.gif1 = 2х°, hello_html_m9599c9c.gif2 = 3х°, hello_html_m9599c9c.gif3 = 5х°. hello_html_m9599c9c.gif1 + hello_html_m9599c9c.gif2 + hello_html_m9599c9c.gif3 = 180° – свойство углов треугольника, значит 2х + 3х + 5х = 180°, 10 х = 180, х = 18° – 1 часть.

Тогда hello_html_m9599c9c.gif1 = 2х = 2 ∙ 18 = 36°, hello_html_m9599c9c.gif2 = 3х = = 3 ∙ 18 = 54°, hello_html_m9599c9c.gif3 = 5х = 5 ∙ 18 = 90°.

Ответ: 36°, 54°, 90°.


§ 28. Внешние углы треугольника


Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине (рис. 8).

Чтобы не путать угол треугольника при данной вершине с внешним углом при этой же вершине, его иногда называют внутренним углом.

hello_html_m1fe6811b.png

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных.


§ 29. Признаки равенства прямоугольного треугольника


Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 180° – 90° = 90°.

Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами (рис. 9).

hello_html_7c63d5f3.png

Рис. 9 Рис. 10

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1) по гипотенузе и катету: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 10).




13

Треугольник, у которого один угол прямой, называется прямоугольным.

Треугольник, у которого все углы острые называются остроугольным.

Треугольник, у которого один угол тупой называется тупоугольным.


§ 24. Признаки равенства треугольников


1) Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2) Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3) Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.


§ 25. Высота, биссектриса и медиана треугольника


Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведённый из этой вершины к противолежащей стороне треугольника.

На рисунке 7 вы видите два треугольника, у которых проведены высоты из вершин В и Вhello_html_51ada824.gif. На рисунке 7,а основание высоты лежит на стороне треугольника, на рисунке 7,б – на продолжении стороны треугольника.

Биссектрисой угла называется луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне (рис. 7, в).

Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника (рис. 7, г).

hello_html_3696d469.png

hello_html_m269288c1.png

а) б) в) г)

Рис. 7


§ 26. Свойство медианы равнобедренного треугольника


В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.

12

1) hello_html_3f0a382d.gif;

2) hello_html_m7f36b978.gif;

3)hello_html_5bf48171.gif.


§ 10. Алгебраические дроби


Если в рациональном выражении отсутствует деление на буквенное выражение, то оно является целым, если имеется деление на буквенное выражение, то является дробным.

Таким образом, выражения вида hello_html_m3f48bb05.gif,hello_html_435abe45.gif,hello_html_m4da5c0af.gif,hello_html_5a90a9e8.gif,hello_html_m2160f85a.gif и т. д. называют алгебраическими дробями.


§ 11. Основное свойство дроби. Сокращение дроби


Числитель и знаменатель дроби можно умножить или разделить на одно и то же число, при этом получим дробь, равную данной.

Это правило выражает два основных свойства алгебраической дроби. Это свойство дроби используется при сокращении числителя и знаменателя дроби на общий множитель.

Пример 1. hello_html_m7f00043f.gif, мы сократили дробь на 9 – наибольший общий множитель её числителя и знаменателя.

Пример 2. Разделив числитель и знаменатель дроби hello_html_d818689.gifна 5тп – их наибольший общий множитель, находим, что hello_html_44ff240d.gif

Пример 3. Сократим дробь hello_html_7b791ad2.gif.

Следовательно, чтобы сократить дробь, надо разделить её числитель и знаменатель на наибольший их общий множитель.


§ 12. Приведение алгебраических дробей к наименьшему общему знаменателю


Чтобы привести алгебраические дроби к наименьшему общему знаменателю надо:

1) разложить знаменатели дробей на множители;

2) найти наименьший общий знаменатель дробей;

3) найти дополнительный множитель для каждой дроби;

4) умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель;

4) записать найденный числитель и общий знаменатель каждой дроби.



5

§ 13. Сложение и вычитание алгебраических дробей


При сложении (вычитании) дробей с одинаковыми знаменателями складывают (вычитают друг из друга) их числители и оставляют прежними их знаменатели.

Пример 1. hello_html_m48bc758.gif.


Пример 2. hello_html_m552c2c3d.gif.

При сложении (вычитании) дробей с разными знаменателями приводят их к общему знаменателю и складывают (вычитают) так же как дроби с одинаковыми знаменателями.


Пример 3. Вычтем дроби: hello_html_3c20a241.gifhello_html_m3a957694.gif

=hello_html_m2ca660a9.gifhello_html_54d90005.gif.


Пример 4. Упростим выражение: hello_html_7db4096e.gif=

=hello_html_m648b85c5.gif.


§ 14. Умножение и деление алгебраических дробей


Умножение и деление алгебраических дробей выполняются по правилам умножения и деления обыкновенных дробей: hello_html_m702e478f.gif, hello_html_m28197373.gif.

Чтобы возвести дробь в степень, используется формула: hello_html_2679af5c.gif.

Пример 1. hello_html_m5ab4a3f8.gif.

Пример 2. hello_html_m25389326.gif.

Пример 3. hello_html_m268d9769.gif

=hello_html_m722feed1.gif.


§ 15. Стандартный вид числа


6

§ 21. Вертикальные углы


hello_html_55ef4211.png

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжением сторон другого.

Вертикальные углы равны.

Задача. Сумма двух углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равна 50°. Найдите эти углы.

Решение. Два угла, которые получаются при пересечении двух прямых, либо смежные, либо вертикальные. Данные углы не могут быть смежными, так как их сумма равна 50°, а сумма смежных углов равна 180°. Значит, они вертикальные. Так как вертикальные углы равны и по условию их сумма 50°, то каждый из углов равен 25°.

Ответ: 25°.

§ 22. Признаки параллельности прямых

hello_html_44f83bb1.png

hello_html_36b75fc4.png

Прямая, пересекающая две прямые, называется секущей по отношению к этим прямым.

На рис. 6(а) прямая с является секущей прямых а и в.

Секущая образует с прямыми различные углы, которые имеют специальные названия.


а) б)

Рис.6

На рис. 6 (б) hello_html_m9599c9c.gif1 и hello_html_m9599c9c.gif2, а также hello_html_m9599c9c.gif3 и hello_html_m9599c9c.gif4 называются односторонними углами.

hello_html_m9599c9c.gif1 и hello_html_m9599c9c.gif4, а также hello_html_m9599c9c.gif2 и hello_html_m9599c9c.gif3, называются накрест лежащими углами.

hello_html_m9599c9c.gif1 и hello_html_m9599c9c.gif5, hello_html_m9599c9c.gif2 и hello_html_m9599c9c.gif6, hello_html_m9599c9c.gif3 и hello_html_m9599c9c.gif7, а также hello_html_m9599c9c.gif4 и hello_html_m9599c9c.gif8, называются соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

1) Если при пересечении двух прямых секущей образуются равные накрест лежащие углы, то прямые параллельны.

2) Если при пересечении двух прямых секущей образуются равные соответственные углы, то прямые параллельны.

3) Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.


§ 23. Виды треугольников


Если две стороны треугольника равны между собой, то треугольник называется равнобедренным. Треугольник, у которого все стороны равны между собой, называется равносторонним или правильным. Равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

11

На рис. 4 изображены прямая а и точки А, В, С, D, Е, F, К, причём точки А, В, К лежат на прямой а, точки же С, D, Е, F не лежат на этой прямой а. В этом случае также говорят:

1) точки А, В и К принадлежат прямой а, точки С, D, Е, F не принадлежат прямой а;

2) прямая проходит через точки А, К и В, но не проходит через точки С, D, Е, F;

3) прямая а проведена через точки А и В;

4) точки А и В – точки прямой а, точки С, D, Е, F не являются точками прямой а.

hello_html_m7b73b99c.png

Рис. 4

Если точка А лежит на прямой а, то пишут: Аhello_html_m7f499848.gifа. В этой записи символом hello_html_m7f499848.gif обозначено отношение принадлежности. Если же точка Е не принадлежит прямой а, то пользуются такой записью: Е hello_html_m423b5d47.gifа.

Основное свойство взаимного расположения точек и прямых:

Через любые две точки можно провести только одну прямую.

Две прямые на плоскости могут быть параллельными или пересекаться.

Если прямые а и в пересекаются в точке М, то пишут: а hello_html_m31404bb3.gifв = М.

Читают: «прямые а и в пересекаются в точке М», «М – точка пересечения прямых а и в».

Две прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными.

Пишут: аhello_html_501fa71c.gifв. Читают: «прямая а перпендикулярна прямой в».

Две прямые, не имеющие общих точек, называются параллельными.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.


§ 20. Смежные углы

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.

hello_html_2a7d6e8.png

Рис.5

Если угол АОВ развёрнутый (рис. 5) и луч ОС делит его на два угла АОС и ВОС, то эти углы смежные.

Угол называется прямым, если он равен смежному углу. Угол называется острым, если он меньше прямого угла и тупым, если он больше прямого угла.

Сумма смежных углов равна 180°. Прямой угол равен 90°, острый угол меньше 90°, а тупой угол больше 90°. Угол смежный с острым углом будет тупым, а угол смежный с тупым – острым.

Задача. Один из смежных углов в 2 раза больше другого. Найти углы.

Решение: Пустьhello_html_m9599c9c.gif2 = х, тогда hello_html_m9599c9c.gif1 = 2х. Сумма смежных углов равна 180°, значит hello_html_m9599c9c.gif1 +hello_html_m9599c9c.gif2 = 180°, 2х + х = 180, 3х = 180, х = 60°, 2х = 120°.


Ответ: 120° и 60°.


10


Большие и малые числа принято записывать в компактном стандартном виде. При этом число представляют в виде hello_html_m77d4ba75.gif где hello_html_m67ebed3.gif, п – порядок числа. Например, числа hello_html_5274c9b0.gif; hello_html_m5a31274c.gif; hello_html_m3058aab2.gifимеют порядок соответственно 2; –3; 0.

Прежде, чем записывать числа в стандартном виде, введём понятие «значащие цифры» числа. Значащей цифрой числа называют все его цифры, кроме нулей, стоящих перед остальными цифрами этого числа.

Число Значащие цифры числа

0,0065 6 и 5

0,504 5; 0 и 4

21,40 2; 1; 4.

Рассмотрим примеры записи числа в стандартном виде.

Пример 1. Запишем число 1 045 000 000 000 в стандартном виде, для этого в числе поставим запятую так, чтобы в целой части оказалась одна значащая цифра. Тогда получим 1,045. Отделив запятой 12 цифр справа, мы уменьшим число в 12 раз. Поэтому 1 045 000 000 000 = 1,045 ∙ hello_html_m71e675c3.gif.

Пример 2. Запишем в стандартном виде диаметр молекулы d = 0,0000000003 м. Переставим в числе d запятую так, чтобы в целой части оказалась одна значащая цифра. Переставив запятую на10 знаков вправо, мы увеличим число в hello_html_531c84a3.gif раз. Поэтому число

d меньше числа 3 в hello_html_531c84a3.gif раз. Отсюда: d = 0,0000000003 = 3 ∙ hello_html_3ff87d05.gif(м).


§ 16. Функция hello_html_6dc5e9e2.gif и её график


Функция, выраженная формулой у = kx называется линейной.

Она указывает на прямо пропорциональную зависимость между переменными х и у. Графиком прямо пропорциональной зависимости является прямая линия, проходящая через начало координат.

Функция, которую можно задавать формулой видаhello_html_6dc5e9e2.gif, где х – независимая переменная, k – число, не равное нулю; называют обратной пропорциональностью. Областью определения этой функции являются все, отличные от нуля, числа.

Графиком обратной пропорциональности является гипербола.


hello_html_327d3edb.png

Рис. 1

hello_html_m3561069e.png

Рис. 2

7

Теперь рассмотрим свойства этой функции:

1) Область определения функции – промежуток (– ∞; 0)hello_html_m5ea1c861.gif (0; + ∞).

2) Значения функции также лежат в промежутке (– ∞; 0)hello_html_m5ea1c861.gif (0; + ∞).

3) При k > 0 функция является убывающей, график её расположен в I и III четвертях (рис. 1), а при k < 0 функция является возрастающей, график её расположен во II и IV четвертях (рис. 2).

4) График функции располагается симметрично относительно начала координат.


§ 17. Абсолютная погрешность приближения


При решении практических задач приходится иметь дело с приближёнными значениями различных величин.

Во многих случаях, кроме счёта предметов незначительного количества, фиксированной стоимости или заработной платы, берут приближённые значения величин. Например, число деревьев в лесу, значения различных величин, полученные измерением с помощью приборов. При округлении значений таких величин как масса, длина, температура, время и других берут их приближённые значения:

Модуль разности точного и приближённого значений величины называют абсолютной погрешностью приближения.

Если обозначим точное значение величины через х, приближённое значение через а и абсолютную погрешность через ∆ (дельта), то ∆ = |ха|.

Пример 1. При измерении с помощью транспортира сумма углов четырёхугольника оказалась равной 357°. Чему равна абсолютная погрешность приближения, если известно, что сумма углов четырёхугольника равна 360°?

= |ха| = |360° – 357° | = |3°| = 3°.

Пример 2. Чему равна абсолютная погрешность приближения, если при вычислении дробь hello_html_m484f88b7.gifзаменили десятичной дробью 0,42?

= |ха| = |hello_html_m484f88b7.gif – 0,42 | = |hello_html_m484f88b7.gifhello_html_1903b458.gif| = |hello_html_m656ed225.gif | =|hello_html_569bbf08.gif | = hello_html_m524d0212.gif.


§ 18. Относительная погрешность


Качество измерения определяется не только нахождением его абсолютной погрешности. Например, при измерении толщины стекла (d) и длины книжной полки (l) получены следующие результаты:

d = (0,4 ± 0,1) см; l = (100,0 ± 0,1) см.

В обоих случаях результаты получены с точностью до 0,1 см. Число 0,1 является значительной частью числа 0,4, но составляет незначительную часть числа 100. Это показывает, что качество второго измерения по сравнению с качеством первого намного выше, для оценки качества измерения используют не только абсолютную погрешность, но и относительную погрешность.


8

Отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения называют относительной погрешностью этого приближённого значения.

В записи х = а ± h число а является приближённым значением величины и h верхней границей абсолютной погрешности (|ха| ≤ h).

Относительная погрешность преимущественно выражается в процентах. Обозначим относительную погрешность буквой ε. Тогда ε =hello_html_m61189188.gif% =hello_html_799573d9.gif.

Теперь определим относительную погрешность измерения толщины стекла и длины книжной полки, рассмотренных выше.

Относительная погрешность, допущенная при измерении толщины стекла, составляет εhello_html_51ada824.gif =hello_html_380b962c.gif∙100 % =0,25∙100 % = 25 %.

Относительная погрешность, допущенная при измерении длины полки, равна

εhello_html_49d4d587.gif =hello_html_m49041377.gif∙100 % =0,001∙100 % = 0,1 %.

Большую относительную погрешность, допущенную в первом случае, нужно понимать следующим образом: при измерении толщины стекла не использован соответствующий для подобных измерений прибор.


Раздел II. ГЕОМЕТРИЯ


§ 19. Точка, прямая, плоскость


В планиметрии (геометрии на плоскости) основными понятиями являются понятия точки, прямой и их взаимного расположения.

След, оставляемый остриём карандаша или ручки при прикосновении к листу бумаги является изображением точки. Представление о прямой можно получить рассматривая натянутую нить или луч света, выходящий из очень малого отверстия. След, оставляемый на листе бумаги остриём карандаша или ручки при перемещении вдоль линейки любых размеров является изображением прямой. Таким перемещением мы получим только часть прямой, прямая бесконечна.

Точки обозначают большими буквами латинского алфавита А, В, С,..., прямые – малыми буквами а, в, с или двумя заглавными: АВ, ВС, МК.

Представление о плоскости даёт нам поверхность оконного стекла, поверхность тихого озера, поверхность книги. В этих примерах плоскость предстаёт как ограниченная поверхность, однако плоскость следует представлять простирающейся в бесконечность по всем на ней направлениям. На рисунке же плоскость изображают параллелограммом или в виде некоторых замкнутых линий (рис. 3). Плоскость обозначают греческими буквами α, β, γ.

hello_html_m2be02db1.png

Рис. 3 9


Автор
Дата добавления 09.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров303
Номер материала ДВ-435053
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх