Пособие для учащихся «Справочные материалы по математике», 11 класс

 

           Данное пособие поможет вам, ребята, повторить  

  теоретические основы курса математики 7 класса.

Цель пособия: привести ваши знания в систему,

устранить пробелы в теоретических сведениях курса

математики средней школы.

Буду доволен, если тебе данное пособие поможет

привести знания по математике за курс средней школы

в систему, ликвидировать отставание, устранить пробелы

в знаниях.

Если ты станешь глубже понимать математику,

успешнее учиться – значит, мой труд не пропал даром.

Справочник опробован на практике.

Все, кто повторял материал, используя его, сделал справочник

 своей настольной книгой, оперативным

помощником, получили высокие баллы на ЕНТ.

                                                            Учитель математики.

1. Делители и кратные

                      Делитель делит данное число нацело.

           Число 1 является делителем любого натурального числа, так как все натуральные числа делятся на 1.

           Наибольший делитель данного натурального числа равен самому числу.

           Кратным натурального числа в называют натуральное число,  которое делится на в без остатка.

           Кратное делится на данное число.        

           Натуральное число, которое делится только на 1 и на себя, называется простым числом.

       Существует только одно чётное простое число, это 2.              

           Натуральное число, которое имеет более двух различных делителей, называется составным числом.

       Число 1 не является ни простым числом, ни составным.

2. Наибольший общий делитель (НОД). Взаимно простые числа

НОД (18; 30) = 6.

           Наибольшим общим делителем данных натуральных чисел называют наибольшее натуральное число,

на которое делится каждое из этих чисел.

           Общим делителем чисел 25 и 12 является только одно число – число 1. НОД (25; 12) =1.

           Два или более натуральных числа, которые имеют только один общий делитель – единицу, называют взаимно простыми числами.

3. Наименьшее общее кратное (НОК)

           Наименьшим общим кратным данных натуральных чисел называют наименьшее натуральное число, кратное каждому из данных чисел.

           Наименьшее общее кратное чисел 4 и 6 –  число 12. Его обозначение: НОК (4; 6) = 12.

4. Формулы сокращённого умножения:

;        ;        ;

;         ;

;                .

5. Законы сложения и умножения

                Переместительный закон:  а + в = в + а;  а ∙ в = в ∙ а. 

                Сочетательный закон: (а + в) + с = а + (в + с);  (а ∙ в)∙ с = а ∙ (в ∙ с).

                Распределительный закон: (а + в) ∙ с = а ∙ с + в ∙ с.

6. Степень с рациональным показателем. Свойства степеней

а= а ∙ а ∙ …∙ а ∙ а (n множителей);      а° = 1;   .

          а ∙ а= а ;  ;  (а;  (ав);  (. 

7. Степени и корни

 если а, где х ≥ 0.

;    ;   а = ;     ;    ‌│а│;    

=  (k > 0);       = (.

8. Вычисление сложных радикалов

;        .

Например:

1

9. Арифметическая прогрессия

Формула п – го члена: .

      Формула суммы  п   первых членов:

10. Геометрическая прогрессия

       Формула п – го члена:  .

      Формула суммы  п   первых членов: .

        Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 

11. Линейная функция. Уравнение прямой

           Уравнение прямой, проходящей через две данные точки: .

           Уравнение прямой:   у = kх + в.                 Если уу, то k ∙ k = -1.

                                                                                 Если у|| у, то k = k.

12. Квадратное уравнение и его корни

           Решим уравнение  в общем виде. Найдём  – дискриминант.

При этом возможны случаи:

           1) D > 0, тогда уравнение имеет два корня: , эту формулу называют

формулой корней квадратного уравнения.

           2) D = 0, тогда уравнение имеет один корень: .

           3) D < 0, тогда уравнение не имеет корней.

13. Таблица квадратов натуральных чисел

дес.	единицы
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
2	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
3	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
4	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401
5	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
6	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
7	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
8	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
9	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

14. Теорема Виета

           Квадратные уравнения, в которых первый коэффициент равен 1, называют

приведёнными квадратными уравнениями.

           Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту,

 взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

           Если , то  

                Эти формулы выражают теорему Виета.

           Пусть квадратное уравнение имеет корни  и .

           Отсюда: . По теореме Виета:  и

2

58. В пирамиде площади сечений, параллельных основанию относятся как квадраты их расстояний

      от вершины пирамиды.

Дополнительные сведения

Область значений функции

1. Функция  у = , у ≠  0, т.е. Е(у) = (- ∞; 0)(0; + ∞).

2. Функция  у = , у ≠ , т.е. Е(у) = (- ∞; )(; + ∞).

3. Функция  у = , у ≥ 0, т.е. Е(у) = [0; + ∞).

4. Функция  у = , при , где А – значение функции

    в вершине параболы, т.е.  А = f (-).

5. Функция  у = sin (kx + в), Е(у) = [– 1; +1];   у = cos (kx + в), Е(у) = [– 1; +1].

6. Функция  у = a sin (kx + в) + c, Е(у) = [– a + c; a + c];   у = a cos (kx + в) + c, Е(у) = [– a+ c; a + c].

7. Функция  у = а sin (kx + в) + в cos (kx + в),  Е(у) =[-; ].

Таблица простых чисел (до 1000)

2	61	149	239	347	443	563	659	773	887
3	67	151	241	349	449	569	661	787	907
5	71	157	251	353	457	571	673	797	911
7	73	163	257	359	461	577	677	809	919
11	79	167	263	367	463	587	683	811	929
13	83	173	269	373	467	593	691	821	937
17	89	179	271	379	479	599	701	823	941
19	97	181	277	383	487	601	709	827	947
23	101	191	281	389	491	607	719	829	953
29	103	193	283	397	499	613	727	839	967
31	107	197	293	401	503	617	733	853	971
37	109	199	307	409	509	619	739	857	977
41	113	211	311	419	521	631	743	859	983
43	127	223	313	421	523	641	751	863	991
47	131	227	317	431	541	643	757	877	997
53	137	229	331	433	547	647	761	881
59	139	233	337	439	557	653	769	883

11

35. Скалярное произведение двух векторов    и  () вычисляется по формулам:

     1)   · =||·||· cos φ, где φ - угол между векторами  и ;

     2)  · = х· х+ у· у+ z· z.

36.  Если два вектора   и  () коллинеарны, то = =.

37.  Если два вектора и () перпендикулярны, то х· х+ у· у+ z· z= 0.

Объёмы

38.  Объём прямоугольного параллелепипеда: V = aвc.

39.  Объём призмы:    V = S· H      или      V = S ·  AA.

49.  Объём пирамиды:  V = S· H.

41. Объём усечённой пирамиды: .

42.  Объём цилиндра:   V = π R· H.

43.  Объём конуса:    V =  π R· H.

44. Объём усечённого конуса:.

Поверхности

45.  Поверхность прямоугольного параллелепипеда: S = 2 ав + 2ас + 2 вс.

46.  Поверхность призмы: S = 2 S + S

47. Поверхность пирамиды: S = S + S

48. Боковая поверхность цилиндра: S = 2 πR H.  

49.  Полная поверхность цилиндра:  S = 2S + S= 2π R+ 2 πR H= 2 πR (R + H).

50.  Боковая поверхность конуса: S = π R L.  

51.  Полная поверхность конуса:  S = S + S= π R+  πR L = πR (R + L).

52. Поверхность усечённого конуса:.

53.  Свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда.   В прямоугольном параллелепипеде  

      квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений:  d= a+ в+ с.

54. Площадь ортогональной проекции фигуры: , где φ - угол  между фигурой

       и её проекцией.

55.  Теорема Фалеса. Если   на   одной   стороне   угла   отложить   пропорциональные   отрезки   и 

       провести   через точки     деления    параллельные прямые    до пересечения    с   другой   

       стороной    угла,   то отношение   отрезков   на  одной   стороне угла будет   равно  отношению 

      отрезков  на другой стороне угла.

Подобные фигуры

56. Периметры подобных фигур относятся как их сходственные стороны:

57. Площади подобных фигур относятся как квадраты их сходственных сторон:

.

10

15. Разложение квадратного трёхчлена на множители

,

где и –  корни квадратного уравнения .

16. Основные формулы тригонометрии

sinα+ cosα = 1;     ;   

;         ;          .

17. Значения тригонометрических функций некоторых углов

α	0								π
α	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
sin α	0				1				0
cos α	1				0	-	-	-	- 1

18. Тригонометрические функции суммы и разности двух аргументов

19. Тригонометрические функции двойного угла

;     ;     

;     ;         ;        .

20. Тригонометрические функции половинного угла

;    ; ;   

  ;      ;     ;     ;

;      .

21. Формулы понижения степени

;     ;      .

22. Преобразование суммы в произведение

;       ;

;     .

3

23. Преобразование произведения в сумму

 ;       ;

                                                                 .                                                            

24. Свойства тригонометрических функций

    Чётность:  ;  ;   ;  .

Периодичность:    ;    ;

;    .

Период функции sin (кх + в) ,  cos(кх + в),  tg(кх + в),  ctg(кх + в) находим по формуле: .

25. Решение тригонометрических уравнений

Уравнение соs x = а.

            Вспомним, что arc cos a = α,  если cos α = a  и   0 ≤ α ≤ π

соs x = а, где а[-1; 1].

Частные случаи: соs x = 0 , тогда;

соs x = 1, тогда ;              соs x = – 1, тогда.

         Если же  соs x = а, где – 1 < а < 1, а ≠ 0, то  .

а	- 1	-	-	-	0				1
аrc cos α	π								0

Уравнение sin x = а.

   Вспомним, что arc sin a = α,  если sin α = a   и    – ≤ α ≤ .

Частные случаи: sin x = 0, тогда;

sin x = 1, тогда ;             sin x = – 1, тогда .

         Если же  sin x  = а, где – 1 < а < 1, а ≠ 0, то   k Z.

а	- 1	-	-	-	0				1
аrc sin a	-	-	-	-	0

Уравнение tg x = а.

    Вспомним, что arc tg a = α,  если tg α = a   и    – < α <.

                   tg x = а,  то   k Z.

а	-	-	-	- 1	0	1
аrc tg а	-	-	-	-	0

4

PQ = , где а и в – основания трапеции.

20. Отрезок, параллельный основаниям трапеции и делящий её на две равновеликие части

                                    (площади которых равны), вычисляется по формуле: 

Произвольный четырёхугольник

21. Площадь произвольного четырёхугольника может быть найдена, как половина произведения диагоналей

      на синус угла между ними.

Правильный шестиугольник

21.1.  Р = 6а,    S = 6 · = ;    и  R = a.

Координаты точек. Векторы

22.  Расстояние между двумя точками:

           а) на плоскости: А()  и  В () находим по формуле:

           б) в пространстве: А()  и  В ()  и   АВ =

23.  Координаты середины отрезка  АВ,  где   А()  и  В ()

       вычисляются по формулам:   х = ;     у = ;   z =  .

24. Координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении  λ  (т.е. точка М удовлетворяет

      условию ), находятся по формулам:     и   .

25.  Уравнение окружности с центром в точке О (а; в) имеет вид:    (х - а) +  (у - в)= R.

       Длина окружности: С = 2 πR = πD   и   площадь круга:  S = π R= π, где D – диаметр круга.

26.  Длина дуги окружности и площадь сектора:         S= .

27.  Свойство касательной к окружности.

       Если из одной и  той же точки провести секущую и касательную  к окружности, то:

       Произведение длины секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.

28 . Если хорды АВ и СD пересекаются в точке S,  АS · SВ = СS · SD.

29. Центральный угол измеряется величиной дуги, на которую он опирается.

30. Вписанный угол измеряется половиной величины дуги, на которую он опирается.

31. Сумма внутренних углов правильного многоугольника: S= .

      Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятому по одному при вершине, равна

32.  Уравнение сферы с  центром в точке О (а; в; с) имеет вид:  (х - а) +  (у - в) + (z - c)= R.

     Поверхность сферы:  S = 4 π R,  где R - радиус сферы.  Объём шара:  V =  π R,  где R - радиус шара.

33. Пусть А()  и  В (), тогда ;  длина вектора

       вычисляется по формуле:  .

34.  Пусть   и   (), тогда =(),

     =,  k=().

9

или    а = ;   или в = .

      3) .             4) В прямоугольном треугольнике: .      5) и  .      

9. Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон  

       без удвоенного произведения этих сторон  на косинус угла между ними:

а= в + с– 2 в с · cos A;      в= а + с– 2 а с · cos В;     с= а + в– 2 ав · cos С.

10. Теорема синусов. Отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов –

величина постоянная:  .

11. В треугольнике точка пересечения медиан отсекает  от каждой медианы, считая  от  стороны.

12. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине.

13.  Биссектриса угла делит угол пополам.   В треугольнике биссектриса делит противоположную

       сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.                                 

1) ;                            2) ;

3) ; 4)

Формулы медианы и высоты треугольника:

5)  (из формулы Герона);         6)   ;

7) .

14. Теорема Стюарта.

       Пусть l – биссектриса треугольника АВС, делящая противолежащую сторону на отрезки и .

Тогда .

Прямоугольник и квадрат

15.  Периметр и площадь прямоугольника:   Р = 2а + 2в     или      Р = 2· (а + в);    S = а· в.

     Периметр и площадь квадрата:   Р = 4а;    S = аили  .

Параллелограмм

16.  Параллелограмм, его площадь. Свойства диагоналей параллелограмма.  

       S = а· h;     S = а·в·sin C;   , α – угол между диагоналями;  .

Трапеция

17.  Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: 

18. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований (средней линии) на высоту:   

                                                                            

19. Отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку пересечения диагоналей,

вычисляется по формуле:

8

Уравнение сtg x = а.

    Вспомним, что arc ctg a = α,  если ctg α = a   и    0 < α < π. Если  ctg x = а,  то   k Z.

а	-	-	-	- 1	0	1
аrc ctg а					0

26. Формулы приведения

рад
градусы	90°- α	90° + α	180° - α	180° + α	270°- α	270°+ α	360°- α
sin β	cos α	cos α	sin α	- sin α	- cos α	- cos α	- sin α
cos β	sin α	- sin α	- cos α	- cos α	- sin α	sin α	cos α
tg  β	ctg α	- ctg α	- tg α	tg α	ctg α	- ctg α	- tg α
ctg  β	tg α	- tg α	- ctg α	ctg α	tg α	- tg α	- ctg α

27. Знаки тригонометрических функций

28. Решение тригонометрических неравенств

           1)  sinx > a, (|а| < 1) => х  (arc sinа + 2πk; π – arc sinа + 2πk), kZ;

           2)  sinx < a, (|a| < 1) => x (- π - arc sina + 2πk; arc sinа + 2πk), kZ;

           3)  cosx > a, (|a| < 1) => x (- arc cosa + 2πk; arc cosa + 2πk), k Z;

           4)  cosx < a, (|a| < 1) => x (arc cosa + 2πk; 2π – arc cosa + 2πk), kZ;

           5)  tgx ≥ a => x[arc tga + πk;  π/2 + πk), kZ;

           6)  tgx ≤ a => x(- π/2 + πk; arc tga + πk], kZ;

           7)  ctgx ≥ а => x(πk; arc сtga + πk], kZ;

           8)  ctgx ≤ a => x[arc сtga + πk; π + πk), kZ.

29. Формулы для вычисления производных

(u + v)' = u' + v ';  (u ∙ v)' = u' v + u v';  (C u)' = C ∙ u'; 

C ' = 0 (где C = const);     (sin x)' = cos x;     (cos x)' = – sin x;

 (tg x)' = ;   (ctg x)' = ;        ()' = ;       (ln x)' = ;

(x)' = n ∙ x;  (e)' = e;  (a)' = a∙ ln a;  (logx)' = .

Уравнение касательной имеет вид: у – у = (х – х).

Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной: .

Механический смысл производной: производная пути по времени есть скорость, т. е. ,

а производная скорости по времени есть ускорение: .

           Критические точки: это те точки, в которых производная равна нулю.

           Функция убывает на промежутке, если  у′  на нём отрицательна  (у′ < 0);

           Функция возрастает на промежутке, если  у′  на нём положительна  (у′ > 0).                                   

5

           Если при переходе через критическую точку производная меняет знак  с «–» на «+»,

то это точка минимума; если же при переходе через критическую точку производная меняет знак

с «+» на «–», то это точка максимума.

           Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на промежутке, надо найти

значения функции на концах промежутка и в точках максимума и минимума (если они есть), принадлежащих указанному промежутку, а затем выбрать из них самое большое и самое

маленькое.

30. Логарифмическая функция

      Логарифмом числа в по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно

возвести а, чтобы получить в. 

       Поэтому:  а, где а > 0, в > 0.

Основные свойства логарифмов:

log1= 0;     log а = 1;     logху = logх + logу;

log= logх – logу;     logх= p ∙ logх.    logв= –  формула перехода

                                                                                                                                       к новому основанию.

31.  Первообразная. Интеграл

Если F' (x) = f (x), то F(x) – первообразная для f (x).

Таблица первообразных:

функция f (x)	первообразная F(x)	функция f (x)	первообразная F(x)
k	kx + C	sin x	– cos x + С
x	+ C	cos x	sin x + С
	ln ‌‌‌│x│ + C		– ctg x + C
e	e+ C		tg x + C
a			2+ C
у = f (kx+в)	F(x) = F(kx+в)+ C		+ C

Формула нахождения неопределённого интеграла: .

Формула Ньютона-Лейбница: .

Формула вычисления площади плоской фигуры: .

Формула объёма тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Ох:

.

32. Обращение десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь

           Рассмотрим этот приём на конкретных примерах: ;     ;

6

;      .

33. Область допустимых значений (ОДЗ)

При нахождении ОДЗ следует обращать внимание на 3 факта:

           1) Делить на нуль нельзя, поэтому делитель (знаменатель дроби) всегда отличен от нуля (≠ 0).

           2) Выражение, стоящее под знаком корня чётной степени всегда неотрицательно (≥ 0).        

           3) Выражение, стоящее под знаком логарифма всегда положительно (> 0).

34. Основные тождества для обратных тригонометрических функций

x[-1; 1]	x[-; ]	x[-1; 1]	x[0; π]
sin (arc sin x) = x	arc sin (sin x) = x	cos (arc cos x) = x	arc cos (cos x) = x

	x(-; )
tg (arc tg x) = x	arc tg (tg x) = x

arc sin (- x) = - arc sin x;   arc cos (- x) = π - arc cos x;   arc tg (- x) = - arc tg x;   arc ctg (- x) =π  - arc ctg x;  

arc sin  x + arc cos x = , если x[-1; 1];

arc tg x + arc ctg x = ,

sin (arc cos x) = cos (arc sin x) = , если x[-1; 1];

tg (arc ctg x) = ctg (arc tg x) = , если x ≠  0.

Основные формулы по геометрии

Треугольники

1. Формулы площади треугольника:   S= a· h =  aв sin C;     формула Герона:    

S= , где р = А так же:  .

2.  Радиусы вписанной и описанной окружности для треугольника: и

              2 R = а + в – 2r;  r = ;     2 (R + r) = а + в.

3. Равносторонний треугольник:  S =  ,  h = l =  m =,  и.

4.  В треугольнике сумма всех трёх углов равна 180°:   = 180°.

5.  Смежные углы в сумме составляют 180°.

6.  Вертикальные углы равны между собой.

7.  Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен  сумме квадратов

     катетов:   с= а + в.

8.  Свойства прямоугольного треугольника.

     1) В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, есть     

       среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:     или 

      2)  Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой

            и его проекцией на гипотенузу: 

7