Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Пособие для учащихся «Справочные материалы по математике», 11 класс

Пособие для учащихся «Справочные материалы по математике», 11 класс

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:




















































Соловьёв В.А.


Справочник

5-11 классы


Математика. Готовься к экзаменам





Справочные материалы

по курсу математики

средней школы

(основные понятия, формулы)










2010 г.




























Данное пособие поможет вам, ребята, повторить

теоретические основы курса математики 7 класса.

















Цель пособия: привести ваши знания в систему,

устранить пробелы в теоретических сведениях курса

математики средней школы.

Буду доволен, если тебе данное пособие поможет

привести знания по математике за курс средней школы

в систему, ликвидировать отставание, устранить пробелы

в знаниях.

Если ты станешь глубже понимать математику,

успешнее учиться – значит, мой труд не пропал даром.

Справочник опробован на практике.

Все, кто повторял материал, используя его, сделал справочник

своей настольной книгой, оперативным

помощником, получили высокие баллы на ЕНТ.

Учитель математики.

































































































1. Делители и кратные

Делитель делит данное число нацело.

Число 1 является делителем любого натурального числа, так как все натуральные числа делятся на 1.

Наибольший делитель данного натурального числа равен самому числу.

Кратным натурального числа в называют натуральное число, которое делится на в без остатка.

Кратное делится на данное число.

Натуральное число, которое делится только на 1 и на себя, называется простым числом.

Существует только одно чётное простое число, это 2.

Натуральное число, которое имеет более двух различных делителей, называется составным числом.

Число 1 не является ни простым числом, ни составным.

2. Наибольший общий делитель (НОД). Взаимно простые числа

НОД (18; 30) = 6.

Наибольшим общим делителем данных натуральных чисел называют наибольшее натуральное число,

на которое делится каждое из этих чисел.

Общим делителем чисел 25 и 12 является только одно число – число 1. НОД (25; 12) =1.

Два или более натуральных числа, которые имеют только один общий делитель – единицу, называют взаимно простыми числами.

3. Наименьшее общее кратное (НОК)

Наименьшим общим кратным данных натуральных чисел называют наименьшее натуральное число, кратное каждому из данных чисел.

Наименьшее общее кратное чисел 4 и 6 – число 12. Его обозначение: НОК (4; 6) = 12.

4. Формулы сокращённого умножения:

hello_html_603b1702.gif; hello_html_m4d46eb64.gif; hello_html_m29a6d89.gif;

hello_html_m15d1cff9.gif; hello_html_m3e21ac6c.gif;

hello_html_mf24cf58.gif; hello_html_m1ac04683.gif.

5. Законы сложения и умножения

Переместительный закон: а + в = в + а; а ∙ в = в ∙ а.

Сочетательный закон: (а + в) + с = а + (в + с); (а ∙ в)∙ с = а ∙ (в ∙ с).

Распределительный закон: (а + в) ∙ с = а ∙ с + в ∙ с.

6. Степень с рациональным показателем. Свойства степеней

аhello_html_d901e0b.gif= а ∙ а ∙ …∙ а ∙ а (n множителей); а° = 1; hello_html_m2d0e78f2.gif.

аhello_html_65dfafdf.gifаhello_html_d901e0b.gif= а hello_html_28144ef1.gif; hello_html_m883dba8.gif; (аhello_html_23eb9166.gif; (ав)hello_html_m62662335.gif; (hello_html_51bce7c7.gif.

7. Степени и корни

hello_html_2b97f484.gifесли аhello_html_4a244a22.gif, где х ≥ 0.

hello_html_m4c01d5c8.gif; hello_html_m3feb9565.gif; а hello_html_1fa0c615.gif= hello_html_m3c274ab.gif; hello_html_46570151.gif; hello_html_754b9c82.gif‌│а│;

hello_html_m59b11793.gif= hello_html_5585ed1e.gif (k > 0); hello_html_5585ed1e.gif= (hello_html_563615bc.gif.

8. Вычисление сложных радикалов

hello_html_m657e40fd.gif; hello_html_m5a8871ff.gif.

Например: hello_html_36a9a8b6.gif


1


9. Арифметическая прогрессия

Формула п – го члена: hello_html_6f9563f2.gif.

Формула суммы п первых членов: hello_html_c56a593.gif

10. Геометрическая прогрессия

Формула п – го члена: hello_html_1f5ac99d.gif.

Формула суммы п первых членов: hello_html_m400c425d.gif.

Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:hello_html_mcf7dcd2.gif

11. Линейная функция. Уравнение прямой

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки: hello_html_m4108b145.gif.

Уравнение прямой: у = kх + в. Если уhello_html_51ada824.gifhello_html_m3369453f.gifуhello_html_m413ecfdf.gif, то khello_html_51ada824.gifkhello_html_m413ecfdf.gif = -1.

Если уhello_html_51ada824.gif|| уhello_html_m413ecfdf.gif, то khello_html_51ada824.gif = khello_html_m413ecfdf.gif.

12. Квадратное уравнение и его корни

Решим уравнение hello_html_2059cea6.gif в общем виде. Найдём hello_html_374b746c.gif – дискриминант.

При этом возможны случаи:

1) D > 0, тогда уравнение имеет два корня: hello_html_4261b647.gif, эту формулу называют

формулой корней квадратного уравнения.

2) D = 0, тогда уравнение имеет один корень: hello_html_11577a22.gif.

3) D < 0, тогда уравнение не имеет корней.

13. Таблица квадратов натуральных чисел


дес.

единицы

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

100

121

144

169

196

225

256

289

324

361

2

400

441

484

529

576

625

676

729

784

841

3

900

961

1024

1089

1156

1225

1296

1369

1444

1521

4

1600

1681

1764

1849

1936

2025

2116

2209

2304

2401

5

2500

2601

2704

2809

2916

3025

3136

3249

3364

3481

6

3600

3721

3844

3969

4096

4225

4356

4489

4624

4761

7

4900

5041

5184

5329

5476

5625

5776

5929

6084

6241

8

6400

6561

6724

6889

7056

7225

7396

7569

7744

7921

9

8100

8281

8464

8649

8836

9025

9216

9409

9604

9801

14. Теорема Виета

Квадратные уравнения, в которых первый коэффициент равен 1, называют

приведёнными квадратными уравнениями.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту,

взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Если hello_html_m71ea66a1.gif, то hello_html_m52a29b0a.gif

Эти формулы выражают теорему Виета.

Пусть квадратное уравнение hello_html_2059cea6.gifимеет корни hello_html_6c551a8d.gif и hello_html_m546230de.gif.

Отсюда: hello_html_62f77eca.gif. По теореме Виета: hello_html_d0b8604.gifиhello_html_m7a1a76c7.gif

2

58. В пирамиде площади сечений, параллельных основанию относятся как квадраты их расстояний

от вершины пирамиды.

hello_html_m7fe1e692.gif


Дополнительные сведения


Область значений функции


1. Функция у = hello_html_2a1edc30.gif, у ≠ 0, т.е. Е(у) = (- ∞; 0)hello_html_m72007674.gif(0; + ∞).

2. Функция у = hello_html_42cf035.gif, у ≠ hello_html_m58409087.gif, т.е. Е(у) = (- ∞; hello_html_m58409087.gif)hello_html_m72007674.gif(hello_html_m58409087.gif; + ∞).

3. Функция у = hello_html_m2fce937d.gif, у ≥ 0, т.е. Е(у) = [0; + ∞).

4. Функция у = hello_html_m628e189b.gif, при hello_html_58590a.gif, где А – значение функции

в вершине параболы, т.е. А = f (-hello_html_m67e71e0e.gif).

5. Функция у = sin (kx + в), Е(у) = [– 1; +1]; у = cos (kx + в), Е(у) = [– 1; +1].

6. Функция у = a sin (kx + в) + c, Е(у) = [– a + c; a + c]; у = a cos (kx + в) + c, Е(у) = [– a+ c; a + c].

7. Функция у = а sin (kx + в) + в cos (kx + в), Е(у) =[-hello_html_515b6872.gif; hello_html_515b6872.gif].



Таблица простых чисел (до 1000)


2

61

149

239

347

443

563

659

773

887

3

67

151

241

349

449

569

661

787

907

5

71

157

251

353

457

571

673

797

911

7

73

163

257

359

461

577

677

809

919

11

79

167

263

367

463

587

683

811

929

13

83

173

269

373

467

593

691

821

937

17

89

179

271

379

479

599

701

823

941

19

97

181

277

383

487

601

709

827

947

23

101

191

281

389

491

607

719

829

953

29

103

193

283

397

499

613

727

839

967

31

107

197

293

401

503

617

733

853

971

37

109

199

307

409

509

619

739

857

977

41

113

211

311

419

521

631

743

859

983

43

127

223

313

421

523

641

751

863

991

47

131

227

317

431

541

643

757

877

997

53

137

229

331

433

547

647

761

881


59

139

233

337

439

557

653

769

883
















11

35. Скалярное произведение двух векторов hello_html_m6e198c3e.gif и hello_html_m47424c1e.gif(hello_html_46788b3b.gif) вычисляется по формулам:

1) hello_html_m5c541b13.gif· hello_html_m55b41fcd.gif=|hello_html_m5c541b13.gif|·|hello_html_m55b41fcd.gifcos φ, где φ - угол между векторами hello_html_m5c541b13.gif и hello_html_m47424c1e.gif;

2) hello_html_m5c541b13.gif· hello_html_m47424c1e.gif= хhello_html_m64e2a6c4.gif· хhello_html_7471c139.gif+ уhello_html_m64e2a6c4.gif· уhello_html_7471c139.gif+ zhello_html_m64e2a6c4.gif· zhello_html_7471c139.gif.

36. Если два вектора hello_html_m6e198c3e.gif и hello_html_m47424c1e.gif(hello_html_46788b3b.gif) коллинеарны, то hello_html_7cc6b257.gif= hello_html_441a126c.gif=hello_html_m7423e832.gif.

37. Если два вектора hello_html_m6e198c3e.gifи hello_html_m47424c1e.gif(hello_html_46788b3b.gif) перпендикулярны, то хhello_html_m64e2a6c4.gif· хhello_html_7471c139.gif+ уhello_html_m64e2a6c4.gif· уhello_html_7471c139.gif+ zhello_html_m64e2a6c4.gif· zhello_html_7471c139.gif= 0.

Объёмы

38. Объём прямоугольного параллелепипеда: V = aвc.

39. Объём призмы: V = Shello_html_7e89625d.gif· H или V = Shello_html_m70de549b.gif · AAhello_html_m34745add.gif.

49. Объём пирамиды: V = hello_html_m143712ac.gifShello_html_7e89625d.gif· H.

41. Объём усечённой пирамиды: hello_html_m7cdfea88.gif.

42. Объём цилиндра: V = π Rhello_html_m2949df1d.gif· H.

43. Объём конуса: V = hello_html_m143712ac.gif π Rhello_html_m2949df1d.gif· H.

44. Объём усечённого конуса:hello_html_m4180ab62.gif.

Поверхности

45. Поверхность прямоугольного параллелепипеда: S = 2 ав + 2ас + 2 вс.

46. Поверхность призмы: S = 2 Shello_html_7e89625d.gif + Shello_html_m5840cb68.gif

47. Поверхность пирамиды: S = Shello_html_7e89625d.gif + Shello_html_m5840cb68.gif

48. Боковая поверхность цилиндра: Shello_html_m5840cb68.gif = 2 πR H.

49. Полная поверхность цилиндра: Shello_html_m66ffcbae.gif = 2Shello_html_7e89625d.gif + Shello_html_m5840cb68.gif= 2π Rhello_html_m2949df1d.gif+ 2 πR H= 2 πR (R + H).

50. Боковая поверхность конуса: Shello_html_m5840cb68.gif = π R L.

51. Полная поверхность конуса: Shello_html_m66ffcbae.gif = Shello_html_7e89625d.gif + Shello_html_m5840cb68.gif= π Rhello_html_m2949df1d.gif+ πR L = πR (R + L).

52. Поверхность усечённого конуса:hello_html_m49cc2a8a.gif.

53. Свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда. В прямоугольном параллелепипеде

квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений: dhello_html_m390ba23f.gif= ahello_html_m390ba23f.gif+ вhello_html_m390ba23f.gif+ сhello_html_m390ba23f.gif.

54. Площадь ортогональной проекции фигуры: hello_html_m4e5f8d58.gif, где φ - угол между фигурой

и её проекцией.

55. Теорема Фалеса. Если на одной стороне угла отложить пропорциональные отрезки и

провести через точки деления параллельные прямые до пересечения с другой

стороной угла, то отношение отрезков на одной стороне угла будет равно отношению

отрезков на другой стороне угла.


Подобные фигуры

56. Периметры подобных фигур относятся как их сходственные стороны: hello_html_363618b3.gif

57. Площади подобных фигур относятся как квадраты их сходственных сторон:

hello_html_m53ad6b48.gif.




10


15. Разложение квадратного трёхчлена на множители

hello_html_6ae264bc.gif,

где hello_html_10c6c78e.gifи hello_html_m53445413.gif– корни квадратного уравнения hello_html_2059cea6.gif.

16. Основные формулы тригонометрии

sinhello_html_m390ba23f.gifα+ coshello_html_m390ba23f.gifα = 1; hello_html_201d7b90.gif; hello_html_51b24a4d.gif

hello_html_294a6de0.gif; hello_html_m5f8ae619.gif; hello_html_3a4e7a5f.gif.

17. Значения тригонометрических функций некоторых углов


α


0

hello_html_m2c606457.gif

hello_html_7748f2d2.gif

hello_html_3df0bd9.gif

hello_html_69c23a04.gif

hello_html_m22ce827e.gif

hello_html_7fd00d7b.gif

hello_html_m6cd3fe9e.gif


π

α

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°


sin α


0

hello_html_7884cba6.gif

hello_html_4b0ec28e.gif

hello_html_m2e519c8d.gif


1

hello_html_m2e519c8d.gif

hello_html_4b0ec28e.gif

hello_html_7884cba6.gif


0


cos α


1

hello_html_m2e519c8d.gif

hello_html_4b0ec28e.gif

hello_html_7884cba6.gif


0

- hello_html_7884cba6.gif

- hello_html_4b0ec28e.gif

- hello_html_m2e519c8d.gif


- 1


18. Тригонометрические функции суммы и разности двух аргументов


hello_html_7000eeeb.gif

hello_html_2cee8491.gif

hello_html_m524aa03.gif

hello_html_539bfedd.gif

hello_html_2e24e2b.gif

hello_html_m7c3ed0fc.gif

19. Тригонометрические функции двойного угла

hello_html_2ff4d7bc.gif; hello_html_m570df584.gif;

hello_html_374bce92.gif; hello_html_56b8ff38.gif; hello_html_2ef1c3a1.gif; hello_html_m6cc8096a.gif.

20. Тригонометрические функции половинного угла

hello_html_m24089d9.gif; hello_html_3211d275.gif; hello_html_m9d81a07.gif;

hello_html_3efbcdce.gif; hello_html_f549a10.gif; hello_html_da57f7.gif; hello_html_m1ae58463.gif;

hello_html_32346189.gif; hello_html_m5377391c.gif.

21. Формулы понижения степени

hello_html_3efbcdce.gif; hello_html_m6b556eda.gif; hello_html_m76995b4e.gif.

22. Преобразование суммы в произведение

hello_html_39f8f685.gif; hello_html_2ed33241.gif;

hello_html_6be877f9.gif; hello_html_3039f9e8.gif.



3

23. Преобразование произведения в сумму

hello_html_6e2421a1.gif; hello_html_58643435.gif;

hello_html_m3f498c16.gif.

24. Свойства тригонометрических функций

Чётность: hello_html_4a729d6c.gif; hello_html_m1b4cbd94.gif; hello_html_5cac729d.gif; hello_html_6f518325.gif.

Периодичность: hello_html_m7a670ab3.gif; hello_html_3d6fad6.gif;

hello_html_m43ea076c.gif; hello_html_m3c43ce68.gif.

Период функции sin (кх + в) , cos(кх + в), tg(кх + в), ctg(кх + в) находим по формуле: hello_html_b7dbfb2.gif.

25. Решение тригонометрических уравнений


Уравнение соs x = а.

Вспомним, что arc cos a = α, если cos α = a и 0 ≤ απ

соs x = а, где аhello_html_m7f499848.gif[-1; 1].

Частные случаи: соs x = 0 , тогдаhello_html_m2c2bd210.gif;

соs x = 1, тогда hello_html_4eff27cd.gif; соs x = – 1, тогдаhello_html_380b8bf3.gif.

Если же соs x = а, где – 1 < а < 1, а ≠ 0, то hello_html_361f7ee5.gif.


а


- 1

- hello_html_m2e519c8d.gif

- hello_html_4b0ec28e.gif

- hello_html_7884cba6.gif


0

hello_html_7884cba6.gif

hello_html_4b0ec28e.gif

hello_html_m2e519c8d.gif


1


аrc cos α


π

hello_html_4a8356a5.gif

hello_html_mc724929.gif

hello_html_me57d981.gif


hello_html_69c23a04.gif

hello_html_18252056.gif

hello_html_1745dacb.gif

hello_html_m379a4fda.gif


0



Уравнение sin x = а.

Вспомним, что arc sin a = α, если sin α = a и –hello_html_69c23a04.gifαhello_html_69c23a04.gif.

Частные случаи: sin x = 0, тогдаhello_html_m38c7efc7.gif;

sin x = 1, тогда hello_html_5bbae180.gif; sin x = – 1, тогда hello_html_5128fa2b.gif.

Если же sin x = а, где – 1 < а < 1, а ≠ 0, то hello_html_6c1d650c.gif k hello_html_3e29f2cd.gifZ.


а


- 1

- hello_html_m2e519c8d.gif

- hello_html_4b0ec28e.gif

- hello_html_7884cba6.gif


0

hello_html_7884cba6.gif

hello_html_4b0ec28e.gif

hello_html_m2e519c8d.gif


1


аrc sin a


- hello_html_69c23a04.gif

-hello_html_18252056.gif

-hello_html_1745dacb.gif

-hello_html_m379a4fda.gif


0

hello_html_m379a4fda.gif

hello_html_1745dacb.gif

hello_html_18252056.gif


hello_html_69c23a04.gif


Уравнение tg x = а.

Вспомним, что arc tg a = α, если tg α = a и –hello_html_69c23a04.gif < α <hello_html_69c23a04.gif.

tg x = а, то hello_html_35085405.gifk hello_html_3e29f2cd.gifZ.


а


- hello_html_93b6d1d.gif

- hello_html_m7d10675c.gif

- hello_html_34706cd3.gif



- 1


0


1

hello_html_m7d10675c.gif

hello_html_34706cd3.gif


hello_html_93b6d1d.gif


аrc tg а

-hello_html_18252056.gif

-hello_html_m379a4fda.gif

-hello_html_m379a4fda.gif

-hello_html_1745dacb.gif


0

hello_html_1745dacb.gif

hello_html_m379a4fda.gif

hello_html_m379a4fda.gif

hello_html_18252056.gif











4

PQ = hello_html_m51dec788.gif, где а и в – основания трапеции.

20. Отрезок, параллельный основаниям трапеции и делящий её на две равновеликие части

(площади которых равны), вычисляется по формуле: hello_html_44d62142.gif

Произвольный четырёхугольник

21. Площадь произвольного четырёхугольника может быть найдена, как половина произведения диагоналей

на синус угла между ними.

Правильный шестиугольник


21.1. Р = 6а, S = 6 · hello_html_m6f437b39.gif= hello_html_136644d5.gif; hello_html_m210a0bb2.gif и R = a.

Координаты точек. Векторы


22. Расстояние между двумя точками:

а) на плоскости: А(hello_html_m2b3b093f.gif) и В (hello_html_m35ae990d.gif) находим по формуле: hello_html_m54135c13.gif

б) в пространстве: А(hello_html_m65cd2bc6.gif) и В (hello_html_46788b3b.gif) и АВ = hello_html_29f8e3ac.gif

23. Координаты середины отрезка АВ, где А(hello_html_m65cd2bc6.gif) и В (hello_html_46788b3b.gif)

вычисляются по формулам: х = hello_html_m7d024537.gif; у = hello_html_61c0f5a3.gif; z = hello_html_d09d12c.gif.

24. Координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении λ (т.е. точка М удовлетворяет

условию hello_html_m1c1209c4.gif), находятся по формулам: hello_html_m6b0bfd33.gif и hello_html_5227a059.gif.

25. Уравнение окружности с центром в точке О (а; в) имеет вид: (х - а)hello_html_m2949df1d.gif + (у - в)hello_html_m2949df1d.gif= Rhello_html_m2949df1d.gif.

Длина окружности: С = 2 πR = πD и площадь круга: S = π Rhello_html_m2949df1d.gif= πhello_html_m5717d2cd.gif, где D – диаметр круга.

26. Длина дуги окружности и площадь сектора: hello_html_592fd8ee.gifShello_html_m20612029.gif= hello_html_671b97f8.gif.

27. Свойство касательной к окружности.

Если из одной и той же точки провести секущую и касательную к окружности, то:

Произведение длины секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.

28 . Если хорды АВ и СD пересекаются в точке S, АS · SВ = СS · SD.

29. Центральный угол измеряется величиной дуги, на которую он опирается.

30. Вписанный угол измеряется половиной величины дуги, на которую он опирается.

31. Сумма внутренних углов правильного многоугольника: S= hello_html_m2b749338.gif.

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятому по одному при вершине, равнаhello_html_m76eca977.gif

32. Уравнение сферы с центром в точке О (а; в; с) имеет вид: (х - а)hello_html_m2949df1d.gif + (у - в)hello_html_m2949df1d.gif + (z - c)hello_html_m2949df1d.gif= Rhello_html_m2949df1d.gif.

Поверхность сферы: S = 4 π Rhello_html_m2949df1d.gif, где R - радиус сферы. Объём шара: V = hello_html_m73e3d255.gif π Rhello_html_28a05c6c.gif, где R - радиус шара.

33. Пусть А(hello_html_m65cd2bc6.gif) и В (hello_html_m65cd2bc6.gif), тогда hello_html_3f9922fc.gif; длина вектора hello_html_57e99a9a.gifhello_html_m53d4ecad.gif

вычисляется по формуле: hello_html_7c92c4a1.gif.

34. Пусть hello_html_m6e198c3e.gif и hello_html_m8f2aa33.gif (hello_html_46788b3b.gif), тогда hello_html_47177c81.gif=(hello_html_5fe59f3e.gif),

hello_html_1970fc66.gif=hello_html_m19aa0bc5.gif, khello_html_73b15bce.gif=(hello_html_789e2ab6.gif).










9

hello_html_7d975fa0.gifили а = hello_html_253c9c80.gif; hello_html_207f1c0d.gifили в = hello_html_m54efca04.gif.

3) hello_html_734d0d2c.gif. 4) В прямоугольном треугольнике: hello_html_43d7a998.gif. 5) hello_html_6fa7a9ed.gifи hello_html_57ed7c.gif.

9. Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон

без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

аhello_html_m2949df1d.gif= вhello_html_m2949df1d.gif + сhello_html_m2949df1d.gif– 2 в с · cos A; вhello_html_m2949df1d.gif= аhello_html_m2949df1d.gif + сhello_html_m2949df1d.gif– 2 а с · cos В; сhello_html_m2949df1d.gif= аhello_html_m2949df1d.gif + вhello_html_m2949df1d.gif– 2 ав · cos С.

10. Теорема синусов. Отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов –

величина постоянная: hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m5c71a14.gif.

11. В треугольнике точка пересечения медиан отсекает hello_html_m201b2e9d.gif от каждой медианы, считая от стороны.

12. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине.

13. Биссектриса угла делит угол пополам. В треугольнике биссектриса делит противоположную

сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.


1) hello_html_2fe1cd1e.gif;

2) hello_html_m5a40b16f.gif;

hello_html_33a7681c.png

3) hello_html_12b08680.gif;

4) hello_html_m5745d067.gif

Формулы медианы и высоты треугольника:

5) hello_html_m162ded80.gif(из формулы Герона); 6) hello_html_24e40820.gif;

7) hello_html_3c7237bf.gif.

14. Теорема Стюарта.

Пусть lбиссектриса треугольника АВС, делящая противолежащую сторону на отрезки hello_html_39c3970f.gifи hello_html_3b567168.gif.

Тогда hello_html_m5ad0963c.gif.

Прямоугольник и квадрат


15. Периметр и площадь прямоугольника: Р = 2а + 2в или Р = 2· (а + в); S = а· в.

Периметр и площадь квадрата: Р = 4а; S = аhello_html_m2949df1d.gifили hello_html_61d140b2.gif.

Параллелограмм


16. Параллелограмм, его площадь. Свойства диагоналей параллелограмма.

S = а· h; S = а·в·sin C; hello_html_m11671c53.gif, α угол между диагоналями; hello_html_5ef16c44.gif.

Трапеция

17. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: hello_html_413a15dc.gif

18. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований (средней линии) на высоту:

hello_html_20d84bd6.gif

19. Отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку пересечения диагоналей,

вычисляется по формуле:




8

Уравнение сtg x = а.

Вспомним, что arc ctg a = α, если ctg α = a и 0 < α < π. Если ctg x = а, то hello_html_m279def5f.gifk hello_html_3e29f2cd.gifZ.


а


- hello_html_93b6d1d.gif

- hello_html_m7d10675c.gif

- hello_html_34706cd3.gif



- 1


0


1

hello_html_m7d10675c.gif

hello_html_34706cd3.gif


hello_html_93b6d1d.gif


аrc ctg а

hello_html_661a0d58.gif

hello_html_me57d981.gif

hello_html_me57d981.gif

hello_html_1c702621.gif


0

hello_html_1745dacb.gif

hello_html_4c8216d8.gif

hello_html_18252056.gif

hello_html_m379a4fda.gif



26. Формулы приведения



рад

hello_html_m10f1154e.gif

hello_html_m150196cb.gif


hello_html_5034e7f2.gif


hello_html_m619e9728.gif

hello_html_1d489b1d.gif

hello_html_34a11f9b.gif


hello_html_3d4bd9db.gif

градусы

90°- α

90° + α

18 - α

18 + α

270°- α

270°+ α

360°- α

sin β

cos α

cos α

sin α

- sin α

- cos α

- cos α

- sin α

cos β

sin α

- sin α

- cos α

- cos α

- sin α

sin α

cos α

tg β

ctg α

- ctg α

- tg α

tg α

ctg α

- ctg α

- tg α

ctg β

tg α

- tg α

- ctg α

ctg α

tg α

- tg α

- ctg α


27. Знаки тригонометрических функций


hello_html_m402cf3f4.png

hello_html_m6081a6d1.png


28. Решение тригонометрических неравенств

1) sinx > a, (|а| < 1) => х hello_html_m7f499848.gif (arc sinа + 2πk; πarc sinа + 2πk), khello_html_m7f499848.gifZ;

2) sinx < a, (|a| < 1) => xhello_html_m7f499848.gif (- π - arc sina + 2πk; arc sinа + 2πk), khello_html_m7f499848.gifZ;

3) cosx > a, (|a| < 1) => xhello_html_m7f499848.gif (- arc cosa + 2πk; arc cosa + 2πk), khello_html_m7f499848.gif Z;

4) cosx < a, (|a| < 1) => xhello_html_m7f499848.gif (arc cosa + 2πk; 2π – arc cosa + 2πk), khello_html_m7f499848.gifZ;

5) tgxa => xhello_html_m7f499848.gif[arc tga + πk; π/2 + πk), khello_html_m7f499848.gifZ;

6) tgxa => xhello_html_m7f499848.gif(- π/2 + πk; arc tga + πk], khello_html_m7f499848.gifZ;

7) ctgxа => xhello_html_m7f499848.gif(πk; arc сtga + πk], khello_html_m7f499848.gifZ;

8) ctgxa => xhello_html_m7f499848.gif[arc сtga + πk; π + πk), khello_html_m7f499848.gifZ.


29. Формулы для вычисления производных

(u + v)' = u' + v '; (u ∙ v)' = u' v + u v'; (C u)' = C ∙ u'; hello_html_me78b190.gif

C ' = 0 (где C = const); (sin x)' = cos x; (cos x)' = – sin x;

(tg x)' = hello_html_m1808b506.gif; (ctg x)' = hello_html_m64309616.gif; (hello_html_3c7d77bb.gif)' = hello_html_5462901d.gif; (ln x)' = hello_html_m7fd4847e.gif;

(xhello_html_d901e0b.gif)' = nxhello_html_4f7f18b3.gif; (ehello_html_34fbc23a.gif)' = ehello_html_34fbc23a.gif; (ahello_html_34fbc23a.gif)' = ahello_html_34fbc23a.gifln a; (loghello_html_m1ab27dc3.gifx)' = hello_html_777b4b68.gif.

Уравнение касательной имеет вид: у – уhello_html_2b9c130b.gif =hello_html_m634c12cd.gif (х – хhello_html_2b9c130b.gif).

Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной: hello_html_3b7179e8.gif.

Механический смысл производной: производная пути по времени есть скорость, т. е. hello_html_m7043df3d.gif,

а производная скорости по времени есть ускорение: hello_html_m333c6b9e.gif.

Критические точки: это те точки, в которых производная равна нулю.

Функция убывает на промежутке, если у′ на нём отрицательна (у′ < 0);

Функция возрастает на промежутке, если у′ на нём положительна (у′ > 0).





5

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с «–» на «+»,

то это точка минимума; если же при переходе через критическую точку производная меняет знак

с «+» на «–», то это точка максимума.

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на промежутке, надо найти

значения функции на концах промежутка и в точках максимума и минимума (если они есть), принадлежащих указанному промежутку, а затем выбрать из них самое большое и самое

маленькое.


30. Логарифмическая функция

Логарифмом числа в по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно

возвести а, чтобы получить в.

Поэтому: аhello_html_m4a917b56.gif, где а > 0, в > 0.

Основные свойства логарифмов:

loghello_html_m1bd4be41.gif1= 0; loghello_html_m1bd4be41.gif а = 1; loghello_html_m1bd4be41.gifху = loghello_html_m1bd4be41.gifх + loghello_html_m1bd4be41.gifу;

loghello_html_m1bd4be41.gifhello_html_m6844d35c.gif= loghello_html_m1bd4be41.gifхloghello_html_m1bd4be41.gifу; loghello_html_m1bd4be41.gifхhello_html_7e1fda18.gif= ploghello_html_m1bd4be41.gifх. loghello_html_m1bd4be41.gifв= hello_html_m5fe47e85.gif– формула перехода

к новому основанию.

31. Первообразная. Интеграл


Если F' (x) = f (x), то F(x) – первообразная для f (x).


Таблица первообразных:

функция f (x)

первообразная F(x)

функция f (x)

первообразная F(x)

k

kx + C

sin x

cos x + С


xhello_html_d901e0b.gif

hello_html_m353d1015.gif+ C


cos x


sin x + С

hello_html_f279428.gif


ln ‌‌‌│x│ + C

hello_html_mffdaddd.gif


ctg x + C


ehello_html_34fbc23a.gif


ehello_html_34fbc23a.gif+ C

hello_html_m1808b506.gif


tg x + C


ahello_html_34fbc23a.gif

hello_html_m533ea42b.gif

hello_html_25770d97.gif


2hello_html_66442cbe.gif+ C



у = f (kx+в)

F(x) =hello_html_753daa4c.gif F(kx+в)+ C



hello_html_66442cbe.gif

hello_html_179471e9.gif+ C


Формула нахождения неопределённого интеграла: hello_html_m74f0215d.gif.

Формула Ньютона-Лейбница: hello_html_3ad1703f.gif.

Формула вычисления площади плоской фигуры: hello_html_b9b0674.gif.

Формула объёма тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Ох:

hello_html_2fac4ad3.gif.


32. Обращение десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь

Рассмотрим этот приём на конкретных примерах: hello_html_m2c897572.gif; hello_html_52085eec.gif;




6

hello_html_43980194.gif; hello_html_me8e04c5.gif.

33. Область допустимых значений (ОДЗ)

При нахождении ОДЗ следует обращать внимание на 3 факта:

1) Делить на нуль нельзя, поэтому делитель (знаменатель дроби) всегда отличен от нуля (≠ 0).

2) Выражение, стоящее под знаком корня чётной степени всегда неотрицательно (≥ 0).

3) Выражение, стоящее под знаком логарифма всегда положительно (> 0).


34hello_html_m44c793a1.gif. Основные тождества для обратных тригонометрических функций



xhello_html_m7f499848.gif[-1; 1]

xhello_html_m7f499848.gif[-hello_html_69c23a04.gif; hello_html_69c23a04.gif]


xhello_html_m7f499848.gif[-1; 1]


xhello_html_m7f499848.gif[0; π]

sin (arc sin x) = x

arc sin (sin x) = x

cos (arc cos x) = x

arc cos (cos x) = x



xhello_html_m7f499848.gif(-hello_html_69c23a04.gif; hello_html_69c23a04.gif)

tg (arc tg x) = x

arc tg (tg x) = x



arc sin (- x) = - arc sin x; arc cos (- x) = π - arc cos x; arc tg (- x) = - arc tg x; arc ctg (- x) =π - arc ctg x;

arc sin x + arc cos x = hello_html_69c23a04.gif, если xhello_html_m7f499848.gif[-1; 1];

arc tg x + arc ctg x = hello_html_69c23a04.gif,

sin (arc cos x) = cos (arc sin x) = hello_html_4296f5b2.gif, если xhello_html_m7f499848.gif[-1; 1];

tg (arc ctg x) = ctg (arc tg x) = hello_html_m3c58410c.gif, если x ≠ 0.


Основные формулы по геометрии


Треугольники

1. Формулы площади треугольника: Shello_html_1a9d17ae.gif= hello_html_m30f3f06.gifa· h = hello_html_m30f3f06.gifaв sin C; формула Герона:

Shello_html_1a9d17ae.gif= hello_html_m2b74d7db.gif, где р = hello_html_63639618.gifА так же: hello_html_m7519bdea.gif.

2. Радиусы вписанной и описанной окружности для треугольника: hello_html_3477563.gifиhello_html_6a26c4fe.gif

2 R = а + в – 2r; r = hello_html_96d9a12.gif; 2 (R + r) = а + в.

3. Равносторонний треугольник: S = hello_html_m6f437b39.gif, h = l = m =hello_html_161a12e2.gif, hello_html_78cc8c57.gif иhello_html_m34cc0ba4.gif.

4. В треугольнике сумма всех трёх углов равна 180°: hello_html_m5358d4f5.gif = 180°.

5. Смежные углы в сумме составляют 180°.

6. Вертикальные углы равны между собой.

7. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов

катетов: сhello_html_m2949df1d.gif= аhello_html_m2949df1d.gif + вhello_html_m2949df1d.gif.

8. Свойства прямоугольного треугольника.

1) В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, есть

среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу: hello_html_m1e1f88a4.gif или hello_html_110c967e.gif

2) Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой

и его проекцией на гипотенузу:






7

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 09.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров156
Номер материала ДВ-435214
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх