Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Пособие по алгебре и началам анализа в профильных классах старшей школы
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 20 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 203 курсов со скидкой 40%

Пособие по алгебре и началам анализа в профильных классах старшей школы

библиотека
материалов



МОУ «Киреевская районная гимназия»

Тульской области


Кафедра физико-математических наук












Научно - методическое пособие

по алгебре и началам анализа


в профильных классах

старшей школы









Составитель: Дюжина А.С., учитель математики











г. Киреевск, 2005 год











В данном учебном пособии приведены примеры решения задач, входящих в разряд повышенной сложности по темам курса алгебры и начал анализа для 10 - 11 классов всех профилей, дополнительных тем углубленно-

го изучения данного курса в классах физико - математического профиля.


Материал разбит на темы. В начале каждой темы дана краткая справочная информация. Каждую тему сопровождают типовые задачи с решениями.


Овладение предложенными методами решения способствует выработке навыков самостоятельного поиска нестандартных решений. Для закрепления полученных знаний и умений предложены задачи для самостоятельного решения, даны рекомендации по составлению контрольных работ.


Пособие может быть использовано на уроках алгебры и начал анализа в профильных физико - математических классах, при подготовке к олимпиадам, экзаменам.























Тема I

Тригонометрические функции числового аргумента.

Свойства и графики функций.

Информация.


1.Единичную окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности называют числовой окружностью.


2. Если точка М числовой окружности соответствует числу t , то она соответствует и числу вида t + 2Пk, где k - любое целое число.


3. Если функция y = f (x) имеет период Т, то для построения графика функции нужно сначала построить часть его на любом промежутке длины Т , а затем сдвинуть эту часть по оси x вправо и влево на Т, 2Т, 3Т и т. д.


4. Построение графика функции y = f (kx), где k < 0 осуществляют в три шага:

1) построить график функции y = f (x) ;

2) произвести его сжатие (растяжение) к оси y с коэффициентом IkI;

3) сжатый (растянутый) график подвергнуть преобразованию симметрии

относительно оси y.


5. При построении графика функции y = f IxI строят график функции y = f (x) для x>0 и отображают его симметрично оси y.


6. При построении графика функции y = If (x)I отображение части графика функции y = f(x), лежащей под осью х , происходит симметрично оси x.


7. Для графика функции IyI = f (x) берут часть графика функции y = f (x) (f (x)>0 ) и проводят преобразование симметрии относительно оси x.


1, если x > 0,

8. Функция y = sgn x такова: f (x) = sgn x = 0, если x = 0,

-1, если x < 0.








Упражнения для самостоятельного решения:

1. Постройте график функции:

а) y = sin ( x + П /3) - 1;

б) y = - sin ( xП /6) + 2;

в) y = I- 1/2 cos x I;

г) y = cos IxI /2 3;

д) y = -3cos ( 2x + П/3);

е) y = - tg ( xП/2);

ж) y = I- tg xI + 1;

( 3sin x, если х < П/2,

з) f (x) = ( 2cos x, если х > П/2.


( -2cos x, если х < 0,

и) f (x) = ( 1/2x, если х > 0.


2. Вычислите:

а) sgn ( x2 – 4x + 3);

б) sgn ( x3 – 2x2x + 2);

в) sgn ( 2х3 + 15х2 + 36х + 27);

2x - 1

г) sgn x - 2 .


В контрольные работы N 1 и N 2 рекомендуется включить задания:

1. Постройте график функции:

а) y = sin ( х – П);

б) y = cos (х + /2);

в) y = -2sin x;

г) y = 1 cos x;

д) y = I sin 2xI ;

е) y = cos IxI 3.

2. Постройте часть графика функции:

а) y = sin x на [ -2П; 0 ];

б) y = cos x на [ П/6 ; П/6 + 2П ];

в) y = ctg x на ( 0; 2П);

г) y = tg x на (-П/2; /2).

3. Найдите наибольшее (наименьшее) значение выражения:

а) 3cos x + 5sin x;

б) 4cos x + 7sin x.

4. Докажите, что при всех значениях х :

а) -8 < 3cos x + 5sin x < 8;

б) -11 < 4cos x + 7sin x < 11.








Тема II

Тригонометрические уравнения и неравенства.



Информация.


1. Тригонометрическими уравнениями обычно называют уравнения, в которых переменная содержится под знаками тригонометрических функций.


2.Уравнение вида asinx + bcosx = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени; уравнение вида asin2x + bcosx sinx + ccos2x = 0 называют

однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

3. Методы решения тригонометрических уравнений:

а) введение новой переменной;

б) замена тригонометрической функции на другую с использованием

тригонометрических формул;

в) деление на синус (косинус) в степени, равной степени уравнения;

г) разложение левой части уравнения на множители;

д) нестандартные методы.




























Упражнения для самостоятельного решения:


1. Решите уравнение:

а) V 2 sin 2 x/2 ( 1+cosx) = - sin (-x) – 5cosx ;

б) x - 2П = arcsin (3sinx + 1 );

в) сos2x + 4cos2 x – 2sin2x = sinx + cosx ;

sinx - cosx

г) Isin2xI = I V3 cos2xI;

д) V3 сtgx = 2 IcosxI;

е) IcosxI = 2cosx – V3 sinx;

ж) V16 – x2 sinx = 0;

з) ( V2 cosx – 1) V 4x2 – 7x + 3 = 0.


2. Найдите число корней уравнения:

а) ( 1/ sin2 x – 1) V xx2 + 30 = 0;

б) ( sinx1/2) ( sinx + 1 ) = 0 на отрезке [ 0; 2П] ;

в) ( cosx + 1/2) ( cosx – 1) = 0 на отрезке [0; 2П ] ;

г) cosx = V3/2 на отрезке [ -П; П ] .


3. Решите неравенство:

а) sin2 x – 6sinx cosx + 5cos2 x > 0;

б) sin2 x – 6sinx cosx + 5cos2 x < 0.


4. Найдите область значений функции:

а) y = sinx + V – cos2 x;

б) y = cos3x + V cos2 3x – 1;

в) y = sin2x + V sin2 4x – 1.




В контрольную работу N 3 рекомендуется включить любые два из этих заданий.










Тема III


Введение в анализ.


Информация.

1. Пусть a - точка прямой, r - положительное число. Интервал (a-r; a+r ) называют окрестностью точки а, число r-радиусом окрестности.

2. Число b называют пределом последовательности ( уn), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

3. Равенство lim f(n) = b

n ~ означает, что прямая y = b является горизонтальной

асимптотой графика последовательности yn= f(n), т. е. графика функции y = f(x), x c N.

4. Если последовательность сходится ( имеет «точку сгущения»), то только к одному пределу.

5. Если последовательность сходится, то она ограниченна.

6. Если последовательность монотонна и ограниченна, то она сходится.


7. Вычисление пределов:

1) предел суммы равен сумме пределов;

2) предел произведения равен произведению пределов;

3) предел частного равен частному пределов;

4) постоянный множитель можно вынести за знак предела.


8. Функцию y = f(x) называют непрерывной в точке x = a, если выполняется соотношение lim f(x) = f(a).

x a

(Функция y = f(x) непрерывна в точке х = а, если в этой точке выполняется следующее условие: если х 0, то y 0.)


9. Функцию y = f(x) называют непрерывной на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке промежутка.


10. Если выражение f(x) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция y = f(x) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение f(x).

11. Для вычисления предела функции в точке, как и для предела на бесконечности, используют правила «предел суммы», «предел произведения», «предел частного».


12. Если функция разрывается в точке, определенной для нахождения предела, то её заменяют на тождественную, непрерывную в этой точке.

Тема IV

Первообразная и интеграл.


Информация.


  1. Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на заданном промежутке X, если для всех х из X выполняется равенство F’(x) = f(x).


  1. Первообразная суммы равна сумме первообразных.


  1. Постоянный множитель можно вынести за знак первообразной.


  1. Если y = F(x) - первообразная для функции y = f(x), то первообразной для функции y = f(kx + m) служит функция y = 1/kF(kx + m).


  1. Если y = F(x) – первообразная для функции y = f(x) на промежутке X , то у функции y = f(x) бесконечно много первообразных и все они имеют вид y = F(x) + C.

Множество функций вида y = F(x) + C называют неопределенным интегралом от функции y = f(x) и обозначают

F(x)dx ( читают: неопределенный интеграл эф от икс дэ икс )

  1. Геометрический смысл определенного интеграла – площадь

криволинейной трапеции, ограниченной линиями

y = f(x), y = 0, x = a, x = b.


  1. Формула Ньютона – Лейбница :

b b

f(x)dx = F(x) = F(b) – F(a).

a a













Тема V


Комплексные числа.


Информация.

1. Определение:

  1. Числа вида a + bi , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, называются комплексными.

  2. Комплексными числами называются выражения вида a + bi, где а и b – действительные числа а i- некоторый символ, если для этих выражений следующим образом определены понятие равенства и операции сложения и умножения:

a + bi = c + di, если a = c, b = d

(a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i

(a +bi) (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

3) Комплексным числом z называют пару (а;b) действительных чисел a и b, взятых в определенном порядке. (a;b) и (c;d) задают одно и то же комплексное число в том и только в том случае, когда a = c , b = d.


2. Алгебраическая форма комплексного числа:

a + bi

a – действительная часть, bi – мнимая часть.

Если b = 0, то z = a – действительное число.

Если a = 0, то z = bi – чисто мнимое число.


3. ( a + bi) и ( abi) – сопряженные комплексные числа.


4. При нахождении частного комплексных чисел числитель и знаменатель дроби умножают на число, сопряженное знаменателю.


5.Тригонометрическая форма комплексного числа:

z = cosx + isinx

x – аргумент комплексного числа,

r = IzI = V a2 + b2 – модуль.

cosx = a/r , sinx = b/r.

Любое комплексное число имеет бесконечное число аргументов (x + 2Пк, к c Z),

при к = 0 х – главное значение аргумента.

(r ; x) – полярные координаты точки z при геометрической интерпретации комплексного числа как вектора.



z1 z2 = r1 r2 ( cos(x1 + x2) + i sin(x1 + x2 ) ),

z1 / z2 = r1 / r2 ( cos(x1x2 ) + i sin(x1x2) ),

сложение и вычитание комплексных чисел в тригонометрической форме производится по законам сложения и вычитания векторов.

6. Показательная форма комплексного числа:

z = r eix (по формуле Эйлера)

7. Формула Муавра:

zn = rn (cosxn + isinxn)


nVz = nV r (cosx + i sinx)



8. i

i2 = -1

i3 = -i

i4 = 1

i5 = i

i6 = -1

i7 = -i

i8 = 1

i9 = i

---------


9.Решение квадратных уравнений с комплексными коэффициентами:


Z1,2 = + V a2 + b2 + a + i sgnb V a2 + b2 – a

V 2 V 2



Общая информация

Номер материала: ДВ-244192

Похожие материалы