Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Пособие по математике "Самоподготовка к Интерне-экзамену для студента СПО"

Пособие по математике "Самоподготовка к Интерне-экзамену для студента СПО"


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕСИИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВЫКСУНСКИЙ ФИЛИАЛ НИТУ «МИСиС»

















УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ИНТЕРНЕТ-ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИКЕ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ СПО






















Выкса


2012 год

Составлено в соответствии с требованиями ФГОС по специальности 140613 «Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электротехнического оборудования»

Одобрено цикловой

комиссией математических

и естественно-научных дисциплин

протокол № 2 от 10.10.2012

Председатель комиссии___________

Осипова В.М





























Учебно-методическое пособие по дисциплине «Математика» предназначено для студентов очного и очно-заочного отделений технических специальностей среднего профессионального образования. Целью данного пособия является оказание помощи студентам при самоподготовке к Интернет-экзамену в сфере профессионального образования.

Пособие содержит теоретический материал, изложенный в доступной для восприятия форме, практические задачи с разбором решений, а так же достаточное количество заданий для самостоятельного решения.










Составитель: Кулева О.И., преподаватель математики Выксунского филиала НИТУ «МИСиС»




Рецензент: Конухина Г.М, преподаватель математики Выксунского филиала НИТУ «МИСиС»



СОДЕРЖАНИЕ


Раздел 1 Элементы линейной алгебры


стр

Матрицы. Действия над матрицами. Умножение матриц.

5

Определители. Вычисление определителей второго и третьего порядка.

12

Системы линейных уравнений. Правило Крамера. Метод Гаусса

19

Раздел 2 Основы аналитической геометрии



Координаты точек на плоскости и в пространстве

34

Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов.

39

Линии и их уравнения на плоскости. Уравнение прямой на плоскости.

47

Кривые второго порядка


Раздел 3 Дифференциальное исчисление



Правила дифференцирования Производная сложной функции. Производная функции в точке

55

Экстремум функции

Наибольшее и наименьшее значения функции

77

Дифференциал функции

85

Раздел 4 Интегральное исчисление



Неопределенный интеграл. Методы вычисления неопределенных интегралов


Определенный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница. Свойства определенного интеграла


Геометрические приложения определенного интеграла. Физические приложения определенного интеграла.


Раздел 5 Основы теории вероятностей и математической статистики



Элементы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Математическое ожидание дискретной случайной величины.


Характеристики вариационного ряда. Выборочное среднее

Объем выборки


Раздел 6 Основы теории комплексных чисел



Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Решение квадратных уравнений


Сопряженные комплексные числа. Модуль комплексного числа


Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.


Раздел 7 Пределы и последовательности



Способы задания числовых последовательностей Предел функции в точке.


Раскрытие неопределенности вида "ноль деленное на ноль"

Раскрытие неопределенности вида "бесконечность на бесконечность".


Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.


МОИМ ДОРОГИМ СТУДЕНТАМ


Скажи мне, и я забуду.

Покажи мне, и я запомню.

Дай мне действовать самому,

И я научусь

Конфуций


Нагромождение страшных формул, пособия по математике, которые откроешь и тут же закроешь, мучительные поиски решения казалось бы совсем простой задачи…. Подобная ситуация не редкость, особенно когда учебник по математике последний раз открывался в далеком 7-ом классе. А между тем учебные планы многих специальностей предусматривают изучение всеми любимой математики. И в этой ситуации нередко ощущаешь себя полным «чайником» перед нагромождением ужасной математической абракадабры. Причем, похожая ситуация может сложиться при изучении любого предмета, особенно из цикла естественных наук.

Что делать? Впереди предстоит Интернет - экзамен, а там уже придется решать определители, пределы и производные САМОСТОЯТЕЛЬНО.

На зачетах, экзаменах по точным и естественным наукам ОЧЕНЬ ВАЖНО ХОТЬ ЧТО-ТО ПОНИМАТЬ. Запомните, ХОТЬ ЧТО-ТО. Полное отсутствие мыслительных процессов сразу вызывает недоверие у преподавателя, мне известны случаи, когда студентов «заворачивали» по 5-6 раз. Помнится, один молодой человек сдавал контрольную работу 4 раза, и после каждой пересдачи обращался ко мне за бесплатной гарантийной консультацией. В конце концов, я заметила, что в ответе он вместо буквы «пи» писал букву «пэ», за что и последовали жесткие санкции со стороны преподавателя. Студент ДАЖЕ НЕ ХОТЕЛ ВНИКАТЬ в задание, которое он небрежно переписал

Можно быть полным чайником в матанализе, но крайне желательно знать, что производная константы равна нулю. Если Вы ответите какую-нибудь глупость на элементарный вопрос, то велика вероятность того, что на этом учеба для Вас закончится.

Преподаватели гораздо благосклоннее относятся к тому студенту, который ХОТЯ БЫ ПЫТАЕТСЯ разобраться в предмете, к тому, кто, пусть и ошибочно, но пробует что-либо решить, объяснить или доказать. И это утверждение справедливо для всех дисциплин. Поэтому следует решительно отмести позицию «я ничего не знаю, я ничего не понимаю».

Второй важный совет – ПОСЕЩАТЬ ЛЕКЦИИ, даже если их немного.

Кроме того, в курсе высшей математики некоторые вещи самостоятельно освоить весьма трудно, нужно именно «живое» объяснение.

Тем не менее, в определенных типах задач и примеров вполне можно разобраться самостоятельно, и, цель данного пособия – научить Вас решать типовые примеры и задачи, которые практически всегда встречаются на экзаменах. Дело в том, что для ряда заданий существуют «жёсткие» алгоритмы объяснения, где от правильного решения Вам «никуда не деться». И здесь я готова Вам помочь, при условии, если Вы четко для себя уясните три вещи:


1. Знания по математике прямо пропорциональны количеству решенных задач.

2. Всю работу выполнять самостоятельно и вовремя, чтобы избежать пресловутого «снежного кома»

3. Вникать и неустанно делать попытку понимать.


Начнем  разгребать математические абракадабры


РАЗДЕЛ 1 ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ


ТЕМА 1 МАТРИЦЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ


КОНСПЕКТ 1


1.1 МАТРИЦА

Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться.

Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами hello_html_m10b5c0e7.png

Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:

hello_html_4972e70c.png

Данная матрица состоит из шести элементов:
hello_html_md05b224.jpg

Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!

Рассматриваемая матрица имеет две строки:
hello_html_4cf86c21.jpg
и три столбца:
hello_html_11cf6080.jpg

СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».

Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной, например: hello_html_313adae9.png – матрица «три на три».




1.2 ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).

Вернемся к нашей матрице hello_html_313adae9.png. Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.

Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:
hello_html_7efb153f.png
У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль.

Обратный пример: hello_html_60cd2916.png. Выглядит безобразно.

Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

hello_html_m27e0978.png

Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому-что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок.



Действие второе. Умножение матрицы на число.

Пример 1
hello_html_76a18bd5.png

Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.



Действие третье. Сумма (разность) матриц.

НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!
hello_html_m6533d370.jpg


Пример 2
Сложить матрицы hello_html_57b86619.png и hello_html_1c27ce60.png

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы:

hello_html_51a090d9.png

Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.

Пример 3
Найти разность матриц hello_html_4972e70c.png, hello_html_m51dd7011.png

hello_html_m5728f59c.png

А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу hello_html_m4174a184.png:

 hello_html_m48a22982.png

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения.




1.3 УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ

Чем дальше в лес, тем толще партизаны. Скажу сразу, правило умножения матриц выглядит очень странно, и объяснить его не так-то просто, но я все-таки постараюсь это сделать, используя конкретные примеры.

Какие матрицы можно умножать?

Чтобы матрицу  hello_html_m40fc963a.png можно было умножить на матрицу hello_html_m43d86341.png необходимо, чтобы число столбцов матрицы hello_html_m40fc963a.png равнялось числу строк матрицы hello_html_m43d86341.png.


Пример 4
Можно ли умножить матрицу hello_html_5c1cc820.png на матрицу hello_html_105f7ec0.png?

hello_html_m53c1ab27.png

hello_html_7570d22b.png, значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

hello_html_m7a662bbe.png

hello_html_8eb75a1.png, следовательно, выполнить умножение невозможно, и вообще, такая запись не имеет смысла
hello_html_m4389e053.jpg



Как умножить матрицы?

Умножение матриц лучше объяснить на конкретных примерах, так как строгое определение введет в замешательство (или помешательство) большинство читателей.

Начнем с самого простого:



Пример 5
Умножить матрицу hello_html_55327848.png на матрицу hello_html_105f7ec0.png
Я буду сразу приводить формулу для каждого случая:

hello_html_39f85d46.png – попытайтесь сразу уловить закономерность.

hello_html_5f9db014.png



Пример 6

Умножить матрицу hello_html_m10f5d6e5.png на матрицу hello_html_6bf704ef.png

Формула: hello_html_m780e158f.png

hello_html_m248254bf.png

В результате получена так называемая нулевая матрица.

Попробуйте самостоятельно выполнить умножение hello_html_1ee8fa5d.png (правильный ответ hello_html_m6a78e88d.png).

Обратите внимание, что hello_html_m26b46ebe.png! Это почти всегда так!

Таким образом, переставлять матрицы в произведении нельзя!











ПРАКТИКУМ 1


ЗАДАНИЕ N 1

Тема: Действия над матрицами
Даны матрицы

hello_html_3e180cee.png и hello_html_m6a756bf4.png 

Вычислить hello_html_m74c8a454.png

Решение:
Для нахождения матрицы hello_html_300e5582.png необходимо каждый элемент матрицы B умножить на 2. Получим

hello_html_55b62b64.png
Каждый элемент разности матриц hello_html_m2b0124c9.png и hello_html_300e5582.pngравен разности соответствующих элементов матриц.
Значит,

hello_html_m4427ee86.png


ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Действия над матрицами
Даны матрицы hello_html_5d049e8.png и hello_html_m17cff8d3.png тогда hello_html_2ea4eef4.png …


Решение:
Напоминаем, что для нахождения матрицы hello_html_m2a12c8b8.png необходимо каждый элемент матрицы A умножить на 3. Получим

hello_html_m6c24856a.png
Каждый элемент разности матриц hello_html_m2a12c8b8.png и hello_html_m5f222b26.png равен разности соответствующих
элементов этих матриц. Значит,

hello_html_mfefd991.png


ЗАДАНИЕ N 3

Тема: Умножение матриц
Даны матрицы hello_html_m535d57da.png и hello_html_21446416.png. Тогда матрица hello_html_109161e.png равна …

Решение:
Напоминаем, что если hello_html_353df667.png то элемент hello_html_m4e6b4994.png матрицы hello_html_m4aac61f7.png равен сумме произведений элементов i−ой строки матрицы A и соответствующих элементов j−го столбца матрицы В.
Тогда hello_html_55efe493.png


ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Умножение матриц
Даны матрицы hello_html_m647dc313.png и hello_html_31f5a072.png. Тогда матрица hello_html_109161e.pngравна …


Решение:
Напоминаем, что если hello_html_6f565dc6.png, то элемент hello_html_m4e6b4994.pngматрицы hello_html_m4aac61f7.png равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A и соответствующих элементов j-го столбца матрицы В.
Тогда hello_html_4e92ede5.png


ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Умножение матриц
Даны матрицы hello_html_1defbaa5.png и hello_html_578c67b.png. Тогда матрица hello_html_109161e.pngравна …


Решение:
Напоминаем, что если hello_html_6f565dc6.png, то элемент hello_html_m4e6b4994.pngматрицы hello_html_m4aac61f7.png равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A и соответствующих элементов j-го столбца матрицы В.
Тогда hello_html_m2a110fae.png






САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 1


ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Действия над матрицами
Даны матрицы hello_html_1c3473e3.png и hello_html_429b6e38.png тогда hello_html_m74c8a454.png …

ЗАДАНИЕ N 2

Тема: Действия над матрицами
Даны матрицы hello_html_m20de8017.png и hello_html_m23c46a4a.png тогда hello_html_2dd0e2eb.png …

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Действия над матрицами
Даны матрицы hello_html_2f3df97c.png и hello_html_7bb49368.png тогда hello_html_7ca6c8b.png …

ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Действия над матрицами
Даны матрицы hello_html_m32a924dc.png и hello_html_73fc34d.png тогда hello_html_m3b9e66f4.png …

Варианты ответов:

1. hello_html_815328b.png2. hello_html_m53580901.png3. hello_html_m4b8b56ce.png4. hello_html_m80ceb97.png

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Умножение матриц
Даны матрицы hello_html_m6a7e2ef7.png и hello_html_1ef86d05.png. Тогда матрица hello_html_109161e.png равна …

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Умножение матриц
Даны матрицы hello_html_m5538b073.png и hello_html_m584ca9a0.png. Тогда матрица hello_html_109161e.pngравна …

ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Умножение матриц
Даны матрицы hello_html_dd5119d.png и hello_html_55985f88.png. Тогда матрица hello_html_109161e.pngравна …

ЗАДАНИЕ N 8
Тема: Умножение матриц
Даны матрицы hello_html_1defbaa5.png и hello_html_578c67b.png. Тогда матрица hello_html_109161e.pngравна …




ТЕМА 2 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКОВ


КОНСПЕКТ 2


2.1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Определителем второго порядка (соответствующим данной матрице

hello_html_m18273ae6.png) называется числоhello_html_3b00e760.png



Пример1: Вычислим определитель матрицы

hello_html_5627c510.pnghello_html_5cf610dc.png

Пример 2. Вычислить определители второго порядка:

hello_html_m55c633b4.gif2(-4) - 5(-3) = -8 + 15 = 7

hello_html_6860a236.gif= hello_html_26ce39c0.gif



2.2 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:

А = hello_html_2f6f1388.gif

Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим данной матрице, называют число hello_html_m32e6d324.gif

dhello_html_4cabdfcd.gifet A =hello_html_m1908fe79.gif =


Пример 3

Первый способ решения:

hello_html_m121a844c.png

Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок».
Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:

hello_html_mb4caeab.jpg
Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс».
Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:

Пример 3

Второй способ решения:

hello_html_m7a5156a1.png

hello_html_6cbe3094.png

Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.

Пример 4

Вычислить определитель третьего порядка:


hello_html_m13f24c6e.gif

Пример 5

Вычислить определитель третьего порядка

hello_html_2b255391.gif



ПРАКТИКУМ 2

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Определители второго порядка
Если определитель второго порядка hello_html_m680339ae.png, то hello_html_1a9242de.png …

Решение:
Так как определитель второго порядка равен числу, которое получают по правилу:

hello_html_m4cac1aa5.png то

hello_html_m1a12fd27.png
По условию hello_html_2ad90cc4.png, тогда hello_html_f5b6567.png

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Определители второго порядка
Если определитель второго порядка

hello_html_13c72165.png, то hello_html_1a9242de.png …

Решение:
Напоминаем, что определитель второго порядка равен числу,
которое получают по правилу:

hello_html_m6460224c.png
В нашем случае имеем

hello_html_10800d9b.png
По условию hello_html_52c2a291.png, тогда hello_html_m199d2ff0.png

ЗАДАНИЕ N 3

Тема: Определители второго порядка
Если определитель второго порядка

hello_html_m1060e72e.png, то hello_html_1a9242de.png …

Решение:
Так как определитель второго порядка равен числу, которое получают по правилу:

hello_html_m4cac1aa5.png то

hello_html_m5f3b979d.png
По условию hello_html_2693e438.png, тогда hello_html_2870ad11.png

ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Определители второго порядка
Если определитель второго порядка hello_html_m1a48dab4.png, то hello_html_1a9242de.png …

Решение:
Напоминаем, что определитель второго порядка равен числу,
которое получают по правилу:

hello_html_m6460224c.png
В нашем случае имеем

hello_html_39fa0147.png
По условию hello_html_m810e0ff.png, тогда hello_html_5cc99181.png

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Определители третьего порядка
Значение определителя третьего порядка можно вычислить, используя
«правило треугольников», которое схематически указано на рисунках.
hello_html_36ee1e2f.jpg
Тогда определитель hello_html_471acb28.png равен …

Решение:
Определитель третьего порядка равен сумме шести слагаемых, из которых три берутся со знаком «+» и три – со знаком «−». Правило вычисления слагаемых со знаком «+» схематически указано на рис. 1. Одно из слагаемых равно произведению элементов определителя, лежащих на главной диагонали. Каждое из двух других находится как произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, с добавлением третьего множителя из противоположного угла определителя. Слагаемые со знаком «−» получаются таким же образом, но относительно второй диагонали (рис. 2).
Тогда hello_html_m1a89427a.png

ЗАДАНИЕ N 6

Тема: Определители третьего порядка
Значение определителя третьего порядка можно вычислить, используя
«правило треугольников», которое схематически указано на рисунках.
hello_html_36ee1e2f.jpg
Тогда определитель hello_html_m2459a7f5.png равен …


Решение:
Определитель третьего порядка равен сумме шести слагаемых, из которых три берутся со знаком «+» и три – со знаком «−». Правило вычисления слагаемых со знаком «+» схематически указано на рис. 1. Одно из слагаемых равно произведению элементов определителя, лежащих на главной диагонали. Каждое из двух других находится как произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, с добавлением третьего множителя из противоположного угла определителя. Слагаемые со знаком «−» получаются таким же образом, но относительно второй диагонали (рис. 2).
Тогда hello_html_m46b48646.png




САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 2

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Определители второго порядка
Если определитель второго порядка hello_html_38ada4fe.png, то hello_html_1a9242de.png …


ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Определители второго порядка
Если определитель второго порядка hello_html_m680339ae.png, то hello_html_1a9242de.png …

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Определители второго порядка
Если определитель второго порядка hello_html_13c72165.png, то hello_html_1a9242de.png …


ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Определители третьего порядка
Значение определителя третьего порядка можно вычислить, используя
«правило треугольников», которое схематически указано на рисунках.
hello_html_36ee1e2f.jpg
Тогда определитель hello_html_471acb28.png равен …

ЗАДАНИЕ N 5

Тема: Определители третьего порядка
Значение определителя третьего порядка можно вычислить, используя
«правило треугольников», которое схематически указано на рисунках.
hello_html_36ee1e2f.jpg
Тогда определитель hello_html_m71200e1c.png равен …

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Определители третьего порядка
Значение определителя третьего порядка можно вычислить, используя
«правило треугольников», которое схематически указано на рисунках.
hello_html_36ee1e2f.jpg
Тогда определитель hello_html_m5c9bfc95.png равен …

ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Определители третьего порядка
Значение определителя третьего порядка можно вычислить, используя
«правило треугольников», которое схематически указано на рисунках.
hello_html_36ee1e2f.jpg
Тогда определитель hello_html_m2459a7f5.png равен …

ЗАДАНИЕ N 8

Тема: Определители третьего порядка
Значение определителя третьего порядка можно вычислить, используя
«правило треугольников», которое схематически указано на рисунках.
hello_html_36ee1e2f.jpg
Тогда определитель hello_html_m7de074be.png равен …




ТЕМА 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ПРАВИЛА КРАМЕРА. МЕТОД ГАУССА

КОНСПЕКТ 3

3.1 ПРАВИЛО КРАМЕРА

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными, которые ждут вас в электротехнике на 2 курсе!

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!


Теорема

Система n уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов.

hello_html_m1a2440a3.gifhello_html_1753796.gifhello_html_m541ce1c1.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Рассмотрим систему уравнений hello_html_m54ed18ea.png

На первом шаге вычислим определитель  hello_html_c950bc.png, его называют главным определителем системы.

Если hello_html_m12f9ab6d.png, то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если hello_html_36494d49.png, то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
hello_html_m147360eb.png и hello_html_35d87c8f.png

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой hello_html_m7facec52.png.

Корни уравнения находим по формулам:
hello_html_4b725af0.png, hello_html_f42e06.png

Пример 1

Решить систему уравнений: hello_html_m37d375bf.gif

Решение

  1. Составим и вычислим определитель hello_html_2e85d6ba.gif: hello_html_m5bbc6d31.gif - система имеет одно решение, можно применить теорему Крамера

2) Составим и вычислим определитель hello_html_632023b4.gif: hello_html_m19eda49.gif

  1. Составим и вычислим определитель hello_html_52a64636.gif: hello_html_599e71bd.gif

  2. Найдем значения x и y по формулам Крамера

hello_html_m77f7fd93.gifhello_html_f292d5c.gif

Ответ: (3; -1)

Пример 2

Решить систему линейных уравнений
hello_html_66534cf.png

Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему мы взяли из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

hello_html_4c849382.png, значит, система имеет единственное решение.

hello_html_63b6f15c.png;
hello_html_750d18cf.png

hello_html_m12e8d08.png; hello_html_45e3c3fc.png

Ответ: hello_html_4dcc28ac.png, hello_html_7cf972f8.png



3.2 МЕТОД ГАУССА

Метод Гаусса прост тем, что для его освоения ДОСТАТОЧНО ЗНАНИЙ ПЯТИКЛАССНИКА. Необходимо уметь складывать и умножать! Парадокс, но у студентов метод Гаусса вызывает наибольшие сложности. Ничего удивительного – всё дело в методике, постараюсь в доступной форме рассказать об алгоритме метода.

Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений. Система линейных уравнений может:

1) Иметь единственное решение.
2) Иметь бесконечно много решений.
3) Не иметь решений (быть несовместной).

Вернемся к простейшей системе
hello_html_589ed75e.png и решим ее методом Гаусса.

На первом этапе нужно записать расширенную матрицу системы:
hello_html_33370cce.png. По какому принципу записаны коэффициенты, думаю, всем видно. Вертикальная черта внутри матрицы не несёт никакого математического смысла – это просто отчеркивание для удобства оформления.

Справка: рекомендую запомнить термины линейной алгебры. Матрица системы – это матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, в данном примере матрица системы: hello_html_mefd7145.png. Расширенная матрица системы – это та же матрица системы плюс столбец свободных членов, в данном случае: hello_html_33370cce.png. Любую из матриц можно для краткости называть просто матрицей.

После того, как расширенная матрица система записана, с ней необходимо выполнить некоторые действия, которые также называются элементарными преобразованиями.

Существуют следующие элементарные преобразования:

1) Строки матрицы можно переставлять местами. Например, в рассматриваемой матрице можно безболезненно переставить первую и вторую строки: hello_html_m30dbb966.png

2) Строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля. Рассмотрим, например, матрицу hello_html_m718435cd.png. Здесь целесообразно первую строку разделить на –3, а вторую строку – умножить на 2: hello_html_m31d702c7.png. Данное действие очень полезно, поскольку упрощает дальнейшие преобразования матрицы.

3) Это преобразование вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле ничего сложного тоже нет. К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число, отличное от нуля. Рассмотрим нашу матрицу из практического примера: hello_html_33370cce.png. Сначала я распишу преобразование очень подробно. Умножаем первую строку на –2: hello_html_57715080.png, и ко второй строке прибавляем первую строку умноженную на –2: hello_html_m4c242908.png. Теперь первую строку можно разделить «обратно» на –2: hello_html_3b98222f.png.

Как видите, строка, которую ПРИБАВЛЯЛИне изменилась. Всегда меняется строка, К КОТОРОЙ ПРИБАВЛЯЮТ.

На практике так подробно, конечно, не расписывают, а пишут короче:
hello_html_m1afb3b4b.png
Еще раз: ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. Умножают строку обычно устно или на черновике, при этом мысленный ход расчётов примерно такой:

«Переписываю матрицу и переписываю первую строку: hello_html_m1295a221.png»

«Сначала первый столбец. Внизу мне нужно получить ноль. Поэтому единицу вверху умножаю на –2: hello_html_608b9e16.png, и ко второй строке прибавляю первую: 2 + (–2) = 0. Записываю результат во вторую строку:  hello_html_m9aa9d3b.png»

«Теперь второй столбец. Вверху –1 умножаю на –2: hello_html_388980fd.png. Ко второй строке прибавляю первую: 1 + 2 = 3. Записываю результат во вторую строку:  hello_html_51db2ff9.png»

«И третий столбец. Вверху –5 умножаю на –2: hello_html_m3a896e83.png. Ко второй строке прибавляю первую: –7 + 10 = 3. Записываю результат во вторую строку:  hello_html_m1afb3b4b.png»

Пожалуйста, тщательно осмыслите этот пример и разберитесь в последовательном алгоритме вычислений, если вы это поняли, то метод Гаусса практически «в кармане». Но, конечно, над этим преобразованием мы еще поработаем.

Элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений

! ВНИМАНИЕ: рассмотренные манипуляции нельзя использовать, если Вам предложено задание, где матрицы даны «сами по себе». Например, при «классических» действиях с матрицами что-то переставлять внутри матриц ни в коем случае нельзя!

Вернемся к нашей системе hello_html_589ed75e.png. Она уже почти решена.

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

hello_html_e83e0ff.png

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. Кстати, почему первую строку умножаем именно на –2? Для того чтобы внизу получить ноль, а значит, избавиться от одной переменной во второй строке.

(2) Делим вторую строку на 3.

Цель элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду: hello_html_1cb09cf2.jpg. В оформлении задания прямо так и отчеркивают простым карандашом «лестницу», а также обводят кружочками числа, которые располагаются на «ступеньках». Сам термин «ступенчатый вид» не вполне теоретический, в научной и учебной литературе он часто называется трапециевидный вид или треугольный вид

 В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система уравнений:
hello_html_473ad417.png

Теперь систему нужно «раскрутить» в обратном направлении – снизу вверх, этот процесс называется обратным ходом метода Гаусса.

В нижнем уравнении у нас уже готовый результат: hello_html_m4bc4dcf0.png.

Рассмотрим первое уравнение системы hello_html_m3896bbf6.png и подставим в него уже известное значение «игрек»:
hello_html_m59a56d05.png
hello_html_5326f012.png

Ответ: hello_html_1483e5b.png


Пример 1

Решить методом Гаусса систему уравнений:
hello_html_58037ed.png

Запишем расширенную матрицу системы:
hello_html_m384117b9.png

Сейчас я сразу нарисую результат, к которому мы придём в ходе решения:
hello_html_m3287ecef.jpg
И повторюсь, наша цель – с помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду. С чего начать действия?

Сначала смотрим на левое верхнее число:
hello_html_57404d16.jpg
Почти всегда здесь должна находиться единица. Вообще говоря, устроит и –1 (а иногда и другие числа), но как-то так традиционно сложилось, что туда обычно помещают единицу. Как организовать единицу? Смотрим на первый столбец – готовая единица у нас есть! Преобразование первое: меняем местами первую и третью строки:

hello_html_fab7c11.png

Теперь первая строка у нас останется неизменной до конца решения. Уже легче.

Единица в левом верхнем углу организована. Теперь нужно получить нули вот на этих местах:
hello_html_b400c23.jpg

Нули получаем как раз с помощью «трудного» преобразования. Сначала разбираемся со второй строкой (2, –1, 3, 13). Что нужно сделать, чтобы на первой позиции получить ноль? Нужно ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –2. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –2: (–2, –4, 2, –18). И последовательно проводим (опять же мысленно или на черновике) сложение, ко второй строке прибавляем первую строку, уже умноженную на –2:
hello_html_m6651006b.png

Результат записываем во вторую строку:
hello_html_4861a65d.png

Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, –5, –1). Чтобы получить на первой позиции ноль, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –3: (–3, –6, 3, –27). И к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –3:
hello_html_m77876932.png

Результат записываем в третью строку:
hello_html_m145bf3ea.png

На практике эти действия обычно выполняются устно и записываются в один шаг:
hello_html_m8dd2417.png

Не нужно считать всё сразу и одновременно. Порядок вычислений и «вписывания» результатов последователен и обычно такой: сначала переписываем первую строку, и пыхтим себе потихонечку – ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО и ВНИМАТЕЛЬНО:
hello_html_m4eca301f.png
Далее нужно получить единицу на следующей «ступеньке»:
hello_html_2b2d65ff.jpg

В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на –5 (поскольку там все числа делятся на 5 без остатка). Заодно делим третью строку на –2, ведь чем меньше числа, тем проще решение:
hello_html_5964f1dd.png

На заключительном этапе элементарных преобразований нужно получить еще один ноль здесь:
hello_html_31bf1577.jpg

Для этого к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –2:
hello_html_103bc6fe.png
Попробуйте разобрать это действие самостоятельно – мысленно умножьте вторую строку на –2 и проведите сложение.

Последнее выполненное действие – причёска результата, делим третью строку на 3.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система линейных уравнений:
hello_html_7e9e3cd.png
Теперь в действие вступает обратный ход метода Гаусса. Уравнения «раскручиваются» снизу вверх.

В третьем уравнении у нас уже готовый результат: hello_html_m662750ff.png

Смотрим на второе уравнение: hello_html_5233a3cb.png. Значение «зет» уже известно, таким образом:
hello_html_m6af64209.png
hello_html_59da01c0.png

И, наконец, первое уравнение: hello_html_m67050c62.png. «Игрек» и «зет» известны, дело за малым:
hello_html_m5cd2c383.png
hello_html_4dee9e01.png
hello_html_mdc9b3aa.png

Ответ: hello_html_m36787a50.png

ПРАКТИКУМ 3

ЗАДАНИЕ N 1

Систему hello_html_m7da93dc2.png решают по правилу Крамера.
Установите соответствие между названиями величин и их значениями.
1) hello_html_57ef3080.png
2) hello_html_dad5408.png
3) x
4) y

Решение:
Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера находится по формулам hello_html_mcc0cff3.png и hello_html_221e0160.png, где hello_html_m1b111f5d.png. Здесь hello_html_m34eada47.png – главный определитель системы, в котором первый столбец состоит из коэффициентов при x,
а второй столбец – из коэффициентов при y. В нашем случае hello_html_m1a4b98b4.png Если hello_html_m7dd52b09.png, то правило Крамера для решения системы уравнений не применяют. hello_html_57ef3080.png – это определитель, который получается из главного определителя системы путем замены столбца, состоящего из коэффициентов при x на столбец, состоящий из соответствующих свободных членов. Имеем hello_html_79a7bc86.png, тогда hello_html_m62bf77e1.png
Аналогично hello_html_dad5408.png – это определитель, который получается из главного определителя системы путем замены столбца, состоящего из коэффициентов при y, на столбец, состоящий из соответствующих свободных членов.
Получим hello_html_mb3e69a7.png, тогда hello_html_6fa3047e.pnghello_html_m2c8f19d.png



ЗАДАНИЕ N 2

Тема: Правило Крамера
Систему hello_html_134d999c.png решают по правилу Крамера.
Установите соответствие между названиями величин и их значениями.
1) hello_html_m50dfda73.png
2) hello_html_57ef3080.png
3) hello_html_dad5408.png
4) y


Решение:
Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера находится по формулам hello_html_d955e1b.png и hello_html_221e0160.png, где hello_html_m1b111f5d.png. Здесь hello_html_m34eada47.png – главный определитель системы, в котором первый столбец состоит из коэффициентов при x,
а второй столбец – из коэффициентов при y. В нашем случае hello_html_65735135.png Если hello_html_m7dd52b09.png, то правило Крамера для решения системы уравнений не применяют. hello_html_57ef3080.png – это определитель, который получается из главного определителя системы путем замены столбца, состоящего из коэффициентов при x на столбец, состоящий из соответствующих свободных членов. Имеем hello_html_9b19c18.png Аналогично hello_html_dad5408.png – это определитель, который получается из главного определителя системы путем замены столбца, состоящего из коэффициентов при y, на столбец, состоящий из соответствующих свободных членов. Получим hello_html_m188d33fa.png, тогда hello_html_6fa3047e.pnghello_html_4dddb868.png


ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Системы линейных уравнений
Система линейных уравнений

hello_html_61635c6b.png имеет решение …


Решение:
Из третьего уравнения системы найдем hello_html_m3b321f0d.png
Из второго уравнения легко получить, что hello_html_m795cd23d.png
Зная значения y и z, из первого уравнения системы получим hello_html_m1b8340ca.png 
Решение данной системы: hello_html_5a2dccd3.png


ЗАДАНИЕ N 4

Тема: Системы линейных уравнений
Система линейных уравнений

hello_html_6dfd9577.png имеет решение …


Решение:
Из третьего уравнения системы найдем, что hello_html_m7dd7e6b2.png
Из второго уравнения системы получим hello_html_14191d81.png
Зная значения y и z, из первого уравнения системы найдем hello_html_1fccf9c9.png 
Решение данной системы: hello_html_2dedfecf.png


ЗАДАНИЕ N 5

Тема: Системы линейных уравнений
Система линейных уравнений

hello_html_361238a0.png имеет решение …

Решение:
Найдем сумму первого и второго уравнений системы, получим hello_html_m5159e377.png, тогда hello_html_1fccf9c9.png
Найдем y из первого или второго уравнений системы, получим hello_html_m795cd23d.png
Из третьего уравнения имеем hello_html_m7dd7e6b2.png
Решение данной системы: hello_html_15356a63.png


ЗАДАНИЕ 6

Тема: Системы линейных уравнений

Решить систему по формулам Крамера. 
hello_html_m1816ecf6.png

Решение:

Решим систему по формулам Крамера.
hello_html_513ebe6e.png
hello_html_m4c47f285.png, значит, система имеет единственное решение.

hello_html_m8d8f42d.png

hello_html_m36524203.png

hello_html_m7e661d99.png

hello_html_m5fc22902.png

hello_html_m4667d8e0.png

hello_html_m6fcef7df.png

Ответ: hello_html_m193299f2.png.


ЗАДАНИЕ 7

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
hello_html_m22e2519.png

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:
hello_html_2d77d70f.png

Смотрим на левую верхнюю «ступеньку». Там у нас должна быть единица. Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования. Обычно это можно сделать несколькими способами. Я поступил так: (1) К первой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –1. То есть, мысленно умножили вторую строку на –1 и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась.

hello_html_m26eaf9b1.png

Теперь слева вверху –1, что нас вполне устроит. Кто хочет получить +1, может выполнить дополнительное телодвижение: умножить первую строку на –1 (сменить у неё знак).

Дальше алгоритм работает уже по накатанной колее:
hello_html_13e7c643.png

(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 5. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.

(3) Первую строку умножили на –1, в принципе, это для красоты. У третьей строки также сменили знак и переставили её на второе место, таким образом, на второй «ступеньке у нас появилась нужная единица.

(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.

(5) Третью строку разделили на 3.

Скверным признаком, который свидетельствует об ошибке в вычислениях (реже – об опечатке), является «плохая» нижняя строка. То есть, если бы у нас внизу получилось что-нибудь вроде hello_html_m5b9c3cd3.png, и, соответственно, hello_html_m35132bbb.png, то с большой долей вероятности можно утверждать, что допущена ошибка в ходе элементарных преобразований.

Заряжаем обратный ход, в оформлении примеров часто не переписывают саму систему, а уравнения «берут прямо из приведенной матрицы». Обратный ход, напоминаю, работает, снизу вверх:
Да тут подарок получился:
hello_html_179880f0.png
hello_html_m598cd7b.png
hello_html_5bd4362b.png

Ответ: hello_html_17aa30ec.png.


САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 3

ЗАДАНИЕ N 1

Тема: Правило Крамера
Систему hello_html_m5a366020.png решают по правилу Крамера.
Вычислите: 1) hello_html_m50dfda73.png 2) hello_html_m14355c8c.png 3) hello_html_dad5408.png 4) x

ЗАДАНИЕ N 2

Тема: Правило Крамера
Систему hello_html_m7da93dc2.png решают по правилу Крамера.
Вычислите: 1) hello_html_57ef3080.png 2) hello_html_dad5408.png 3) x 4) y


ЗАДАНИЕ N 3

Правило Крамера
Систему hello_html_m651ca49d.png решают по правилу Крамера.
Установите соответствие между названиями величин и их значениями.
1) hello_html_57ef3080.png
2) hello_html_dad5408.png
3) x
4) y

1

2

3

4

5

- 14

14

- 2

2

1


ЗАДАНИЕ N 4

Правило Крамера
Систему hello_html_3443ef70.png решают по правилу Крамера.
Установите соответствие между названиями величин и их значениями.
1) hello_html_m50dfda73.png
2) hello_html_m14355c8c.png
3) hello_html_dad5408.png
4) x

1

2

3

4

5

- 1

2

- 2

4

1


ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Системы линейных уравнений
Система линейных уравнений

hello_html_6dfd9577.png имеет решение …

hello_html_me8ceadf.png

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Системы линейных уравнений
Система линейных уравнений hello_html_md02f975.png имеет решение …

hello_html_6a9233e0.png


ЗАДАНИЕ N 7

Тема: Системы линейных уравнений
Система линейных уравнений hello_html_61635c6b.png имеет решение …

ЗАДАНИЕ N 8
Тема: Системы линейных уравнений
Система линейных уравнений hello_html_361238a0.png имеет решение …

ЗАДАНИЕ N 9

Тема: Системы линейных уравнений
Система линейных уравнений hello_html_m3d4af21c.png имеет решение …

ЗАДАНИЕ N 10

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса
hello_html_7e5aaa8b.png













РАЗДЕЛ 2 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ


ТЕМА 4 КООРДИНАТЫ ТОЧЕК НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ


КОНСПЕКТ 4


4.1 СИСТЕМА КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ

Теперь рассмотрим точки в трехмерном пространстве, здесь практически всё так же, КАК НА ПЛОСКОСТИ! Только добавится ещё одна координата. Трехмерные чертежи выполнять тяжко, поэтому ограничимся одним рисунком.



hello_html_385fa791.gif

z





y

0

hello_html_55ef5e79.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_37707918.gifhello_html_37707918.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gif

hello_html_m2a7690f7.gif

x



Перед вами Декартова система координат трехмерного пространства, ее называют чаще прямоугольная система координат, координатные оси  попарно ортогональны: и. Ось hello_html_6a0a66a6.png наклонена под углом 45 градусов только для того, чтобы складывалось визуальное впечатление пространства.

hello_html_24c94fb0.jpg


ПРАКТИКУМ 4



ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Координаты точек на плоскости и в пространстве
Дан прямоугольный параллелепипед.
hello_html_24c94fb0.jpg
Одна из его вершин совпадает с началом координат.
Ребра, исходящие из этой вершины, лежат на осях координат.
Известно, что hello_html_390f3331.png
Найти координаты точек: . hello_html_m5f222b26.png, hello_html_m4aac61f7.png,hello_html_40c18cbd.png,hello_html_m55f68079.png

Решение:
Так как hello_html_2840dd59.pnghello_html_14973f87.png и hello_html_630a3b2d.pngто hello_html_5d951117.png
Аналогично можно найти, что hello_html_m1559d3a7.png


ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Координаты точек на плоскости и в пространстве
Дан прямоугольный параллелепипед.
hello_html_24c94fb0.jpg
Одна из его вершин совпадает с началом координат.
Ребра, исходящие из этой вершины, лежат на осях координат.
Известно, что hello_html_m3a003f82.png
Найти координаты точек: А, B,C,hello_html_651f9a1a.gif.

Решение:
Так как hello_html_51d89e69.pnghello_html_2d827800.png и hello_html_m3f9fe0de.pngто hello_html_m25bbf669.png
Аналогично можно найти, что hello_html_m6315f8ec.png


ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Координаты точек на плоскости и в пространстве
Ребро куба hello_html_15c55c1e.png равно 26.
hello_html_56d900aa.jpg
Вершина куба O совпадает с началом координат. Ребра, исходящие из этой вершины, лежат на осях координат, как изображено на рисунке. X − середина ребра hello_html_m486e285d.png Установите соответствие между точками данного куба и их координатами. Найти координаты точек:
hello_html_m5f222b26.pnghello_html_1d79ddf5.pnghello_html_1833c570.pnghello_html_m4aac61f7.png

Решение:
Если точка hello_html_m3cb33fba.png лежит на координатной плоскости или на оси координат, то некоторые ее координаты равны нулю. Так, если hello_html_79f60064.png то hello_html_m3e9ea437.png Аналогично, если hello_html_2a5dd21d.png то hello_html_m5f6b8f29.png а если hello_html_64b5c404.png то hello_html_6a238333.png Если hello_html_m503fc6a9.png то hello_html_m204caa9d.png и hello_html_m3b33fd73.png Аналогично, если hello_html_m2e0ab33a.png то hello_html_aefd756.png и hello_html_2f58db87.png и если hello_html_m2cd3cba3.png то hello_html_aefd756.png и hello_html_m5921a657.png Учитывая, что длина ребра куба равна 26, имеем: hello_html_76d5da4f.png hello_html_m6131bc5d.png и hello_html_61ba0fd7.png Точка X лежит на верхней грани куба и, значит, координата hello_html_m50a48ed1.png Так как X − середина ребра hello_html_mdafa01f.png то hello_html_59b0382c.png и hello_html_m2ccb2359.png Получили: hello_html_72746231.png


САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 4


ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Координаты точек на плоскости и в пространстве
Дан прямоугольный параллелепипед.
hello_html_24c94fb0.jpg
Одна из его вершин совпадает с началом координат.
Ребра, исходящие из этой вершины, лежат на осях координат.
Известно, что hello_html_390f3331.png
Установите соответствие между вершинами данного параллелепипеда и их координатами.
1. hello_html_m5f222b26.png
2. hello_html_m4aac61f7.png
3. hello_html_40c18cbd.png
4. hello_html_m55f68079.png

1hello_html_m4ae079c2.png

2hello_html_m4ba5d704.png

3hello_html_m5131144b.png

4hello_html_m5d7263ed.png

5hello_html_4213cda.png

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Координаты точек на плоскости и в пространстве
Дан прямоугольный параллелепипед.
hello_html_24c94fb0.jpg
Одна из его вершин совпадает с началом координат.
Ребра, исходящие из этой вершины, лежат на осях координат.
Известно, что hello_html_m3a003f82.png
Установите соответствие между вершинами данного параллелепипеда и их координатами.
1. hello_html_m2b0124c9.png
2. hello_html_m5f222b26.png
3. hello_html_40c18cbd.png
4. hello_html_m4aac61f7.png

1. hello_html_38175ec.png

2. hello_html_m3ecd7fed.png

3. hello_html_m3a4db87b.png

4. hello_html_m56e626cc.png

5. hello_html_12169a69.png

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Координаты точек на плоскости и в пространстве
Ребро куба hello_html_15c55c1e.png равно 26.
hello_html_56d900aa.jpg
Вершина куба O совпадает с началом координат. Ребра, исходящие из этой вершины, лежат на осях координат, как изображено на рисунке. X − середина ребра hello_html_m486e285d.png Установите соответствие между точками данного куба и их координатами.
1. hello_html_m5f222b26.png
2. hello_html_1d79ddf5.png
3. hello_html_1833c570.png
4. hello_html_m4aac61f7.png

1. hello_html_4f417d2b.png

2. hello_html_5ab949be.png

3. hello_html_28a16992.png

4. hello_html_2f31e12a.png

5. hello_html_m3217c99b.png

ТЕМА 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ


КОНСПЕКТ 5


5.1 КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

Теперь рассмотрим векторы в трехмерном пространстве, здесь практически всё так же, КАК НА ПЛОСКОСТИ! Только добавится ещё одна координата. Трехмерные чертежи выполнять тяжко, поэтому ограничимся одним вектором, который для простоты отложим от начала координат:
hello_html_7e06bfe9.jpg

Перед вами ортонормированный базис hello_html_7ea267fa.png трехмерного пространства и прямоугольная система координат, единичные векторы hello_html_37d87954.png данного базиса попарно ортогональны: hello_html_2a34077d.png и hello_html_m5968664b.png. Ось hello_html_6a0a66a6.png наклонена под углом 45 градусов только для того, чтобы складывалось визуальное впечатление пространства.

Любой вектор hello_html_m5956c256.png трехмерного пространства можно единственным способом разложить по ортонормированному базису hello_html_7ea267fa.png:
hello_html_56f2f5d4.png, где hello_html_m2764fdac.png – координаты вектора hello_html_m53cdcda2.png (числа) в данном базисе.

Пример с картинки: hello_html_66b9782b.png. Давайте посмотрим, как здесь работают правила действий с векторами. Во-первых, умножение вектора на число: hello_html_4fa9ffca.png (красная стрелка), hello_html_1f6a1d1c.png (зеленая стрелка) и hello_html_m7afe8121.png (малиновая стрелка). Во-вторых, перед вами пример сложения нескольких, в данном случае трёх, векторов: hello_html_m6256a706.png.  Вектор суммы hello_html_76225a1e.png начинается в исходной точке отправления (начало вектора hello_html_4fa9ffca.png) и утыкается в итоговую точку прибытия (конец вектора hello_html_m7afe8121.png).

Все векторы трехмерного пространства, естественно, тоже свободны, попробуйте мысленно отложить вектор hello_html_76225a1e.png от любой другой точки, и вы поймёте, что его разложение hello_html_m6256a706.png «останется при нём».

Аналогично плоскому случаю, помимо записи hello_html_66b9782b.png широко используются версии  со скобками: hello_html_m5a22b8b6.png либо hello_html_m57160713.png.

Если в разложении отсутствует один (или два) координатных вектора, то вместо них ставятся нули. Примеры:
вектор hello_html_maf945ab.png (дотошно hello_html_m757a0d55.png) – запишем hello_html_mded5abf.png;
вектор hello_html_7a82dba2.png (дотошно hello_html_m3b7e12ac.png) – запишем hello_html_7644af06.png;
вектор hello_html_13c1aa6f.png (дотошно hello_html_m4d4195b.png) – запишем hello_html_m12bbbdb2.png.

Базисные векторы записываются следующим образом:
hello_html_m55fa4494.png


5.2 ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В КООРДИНАТАХ

Как найти вектор по двум точкам?

Если даны две точки пространства hello_html_7acd206.png и hello_html_m4b50047f.png, то вектор hello_html_387b7c7e.png имеет следующие координаты:
hello_html_m24411e3b.png

То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора.

Как найти длину отрезка?

Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

Если даны две точки пространства hello_html_7acd206.png и hello_html_m4b50047f.png, то длину отрезка hello_html_m6abb9055.png можно вычислить по формуле hello_html_m5b08f297.png

Примечание: Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: hello_html_m67f06f94.png, но более стандартен первый вариант

Как найти длину вектора?

Если дан вектор пространства hello_html_21ebbb4d.png, то его длина вычисляется по формуле hello_html_73905007.png.

Данные формулы (как и формулы длины отрезка) легко выводятся с помощью небезызвестной теоремы Пифагора.

5.3 ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ В КООРДИНАТАХ

1) Правило сложения векторов.

Если даны векторы hello_html_6b9e4285.png, то их суммой является вектор hello_html_25497841.png.

2) Правило умножения вектора на число. Для того чтобы вектор hello_html_4ad4c122.pngумножить на число hello_html_m4b64c8c8.png, необходимо каждую координату данного вектора умножить на число hello_html_m4b64c8c8.png:. hello_html_1be17097.png.

Примечание: Данные правила справедливы не только для ортонормированных базисов hello_html_7e369b30.png, hello_html_7ea267fa.png но и для произвольного аффинного базиса плоскости или пространства.

Пример 1

Даны векторы hello_html_7da88c0d.png и hello_html_m61f9983e.png. Найти hello_html_m5ed2c8db.png и hello_html_496cd754.png

Решение: Для действий с векторами справедлив обычный алгебраический приоритет: сначала умножаем, потом складываем:
hello_html_64ffe040.png

Ответ: hello_html_3b4b6f7a.png


5.4 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Скалярное произведение векторов знакомо нам со школы. Более подготовленные студенты могут использовать материалы выборочно, в известном смысле, «добирать» недостающие знания.

Понятие скалярного произведения

Сначала про угол между векторами. Думаю, всем интуитивно понятно, что такое угол между векторами, но на всякий случай чуть подробнее. Рассмотрим свободные ненулевые векторы hello_html_m45bf760d.png и hello_html_m3040db0b.png.  Если отложить данные векторы от произвольной точки hello_html_m440cd967.png, то получится картинка, которую многие уже представили мысленно:
hello_html_7803d21d.jpg

Угол между векторами hello_html_4aa24214.png может принимать значения от 0 до 180 градусов (от 0 до hello_html_m10eb20be.png радиан) включительно. Аналитически данный факт записывается в виде двойного неравенства: hello_html_m38a6d38.png либо hello_html_8f2f2b6.png (в радианах).

В литературе значок угла hello_html_m50b6bdbe.png часто пропускают и пишут просто hello_html_m31567184.png.

Определение: Скалярным произведением двух векторов hello_html_m45bf760d.png и hello_html_m3040db0b.png называется ЧИСЛО, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
hello_html_m760a3925.png

Вот это вот уже вполне строгое определение.

Акцентируем внимание на существенной информации:

Обозначение: скалярное произведение обозначается через hello_html_m42bb3c24.png или просто hello_html_m740fa54a.png.

Результат операции является ЧИСЛОМ: Умножается вектор на вектор, а получается число. Действительно, если длины векторов hello_html_m20c5d04c.png – это числа, косинус угла – число, то их произведение hello_html_501eb1fb.png тоже будет числом.

Как уже отмечалось, угол между векторами может изменяться в пределах hello_html_m5979212f.png, и при этом возможны следующие случаи:

1) Если угол между векторами острый: hello_html_m28c6e769.png  (от 0 до 90 градусов), то hello_html_m3e41b20c.png, и скалярное произведение будет положительным: hello_html_5d27da7d.png. Особый случай: если векторы сонаправлены, то угол между ними считается нулевым hello_html_m4941357b.png, и скалярное произведение также будет положительным. Поскольку hello_html_7861cea6.png, то формула упрощается: hello_html_6758f48.png.

2) Если угол между векторами тупой: hello_html_7313b929.png  (от 90 до 180 градусов), то hello_html_798ba44c.png, и, соответственно, скалярное произведение отрицательно: hello_html_m26425a76.png. Особый случай: если векторы направлены противоположно, то угол между ними считается развёрнутым: hello_html_m4c7370cc.png (180 градусов). Скалярное произведение тоже отрицательно, так как hello_html_m357e0032.png

Справедливы и обратные утверждения:

1) Если hello_html_5d27da7d.png, то угол между данными векторами острый. Как вариант, векторы сонаправлены.

2) Если hello_html_m26425a76.png, то угол между данными векторами тупой. Как вариант, векторы направлены противоположно.

Но особый интерес представляет третий случай:

3) Если угол между векторами прямой: hello_html_b22fc7e.png (90 градусов), то hello_html_m4aa85f32.png и скалярное произведение равно нулю: hello_html_4d286e07.png. Обратное тоже верно: если hello_html_4d286e07.png, то hello_html_b22fc7e.png. Компактно утверждение формулируется так: Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы ортогональны. Короткая математическая запись: hello_html_49e7acca.png

Третий случай имеет большую практическую значимость, поскольку позволяет проверить, ортогональны векторы или нет. Речь идёт о длине, не забываем указать размерность – «единицы».

Скалярное произведение в координатах

Скалярное произведение векторов hello_html_m622c8dc.png, заданных в ортонормированном базисе hello_html_7ea267fa.png, выражается формулой hello_html_77abec1d.png

То есть, скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов.


Пример 2

Найти скалярное произведение векторов:
а) hello_html_387b7c7e.png и hello_html_dab78e3.png, если даны точки hello_html_m658f1482.png

Решение:
hello_html_m48261657.png 
Надеюсь, эта простейшая задача у вас уже отработана.

По формуле hello_html_17878f9b.png вычислим скалярное произведение:
hello_html_c900e28.png

К слову: скалярное произведение положительно, значит, угол между пространственными векторами hello_html_25a658b5.png является острым.

Проверка векторов на ортогональность с помощью скалярного произведения

Вернёмся к важному случаю, когда векторы являются ортогональными. Напоминаю: векторы hello_html_m5956c256.png и hello_html_m7ec493fe.png ортогональны тогда и только тогда, когда hello_html_m58060f36.png. В координатах данный факт запишется следующим образом: 
hello_html_78b5aa6a.png 

Пример 3

а) Проверить ортогональность векторов: hello_html_m4ed8e11e.png и  hello_html_41d036ae.png
Решение:
а) Выясним, будут ли ортогональны пространственные векторы. Вычислим их скалярное произведение:
hello_html_66cc4f03.png, следовательно, hello_html_m149aefcb.png

Обратите внимание на два существенных момента:

– В данном случае нас не интересует конкретное значение скалярного произведения, важно, что оно не равно нулю.

Ответ: а) hello_html_m149aefcb.png,


Пример 4

При каком значении hello_html_m4b64c8c8.png векторы hello_html_34f246c.png будут ортогональны?

Решение: По условию требуется найти такое значение параметра hello_html_m4b64c8c8.png, чтобы данные векторы были ортогональны. Два вектора пространства hello_html_m622c8dc.png ортогональны тогда и только тогда, когда hello_html_415c0641.png.

Дело за малым, составим уравнение:
hello_html_598099d9.png

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
hello_html_2e0f17c1.png

Решаем простейшее линейное уравнение:
hello_html_m72b0f20f.png

Ответ: при hello_html_m1c6f8d20.png

В рассмотренной задаче легко выполнить проверку, в исходные векторы hello_html_34f246c.png подставляем полученное значение параметра hello_html_m1c6f8d20.png:
hello_html_m4a453b78.png

И находим скалярное произведение:
hello_html_645c6de7.png – да, действительно, при hello_html_m1c6f8d20.png векторы hello_html_48d05f8f.png ортогональны, что и требовалось проверить.


ПРАКТИКУМ 5


ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Линейные операции над векторами
Даны векторы hello_html_m57e696a0.png и hello_html_m1e04d57f.png.
Тогда сумма координат вектора hello_html_m4d16a722.png равна …

Решение:
Напоминаем, что каждая координата произведения вектора на число
равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.
Значит, имеем hello_html_m47de723e.png.
Каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
Тогда вектор hello_html_27cfdca.png Сумма координат полученного вектора равна hello_html_m8dad3b3.png


  ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Линейные операции над векторами
Даны векторы hello_html_3acfa527.png и hello_html_m2a463a1e.png. Тогда сумма координат вектора hello_html_7a60d327.png равна …


Решение:
Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. Значит, имеем hello_html_m1a8f5e5c.png. Каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Тогда вектор hello_html_m6b14a908.png Сумма координат полученного вектора равна hello_html_m668524a2.png


ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Линейные операции над векторами
Даны векторы hello_html_m28f1f356.png и hello_html_m7e35b8ed.png. Тогда сумма координат вектора hello_html_m39dac53b.png равна …


Решение:
Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. Значит, имеем hello_html_m24ec9202.png. Каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Тогда вектор hello_html_m3eb64eff.png Сумма координат полученного вектора равна hello_html_4f85ec54.png


ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Скалярное произведение векторов
Векторы заданы своими координатами: hello_html_34489090.png и hello_html_m5faf32dc.png
Если hello_html_4690709b.png, то k равно …

Решение:
Если hello_html_m3a7a4bae.png то угол между векторами равен 90, значит, по определению hello_html_42e34094.png Напоминаем, что скалярное произведение векторов, заданных своими координатами hello_html_m79c0e42.png и hello_html_2cf64e90.png, выражается формулой: hello_html_m3c45e233.png Найдем hello_html_m3f46ba41.png тогда hello_html_2f93a431.png откуда hello_html_5cc8d087.png


ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Скалярное произведение векторов
Векторы заданы своими координатами: hello_html_m1a3237d8.png и hello_html_5b6268df.png
Если hello_html_4690709b.png, то k равно …

Решение:
Если hello_html_m3a7a4bae.png то угол между векторами равен 90, значит, по определению hello_html_42e34094.png Напоминаем, что скалярное произведение векторов, заданных своими координатами hello_html_m79c0e42.png и hello_html_2cf64e90.png, выражается формулой: hello_html_m3c45e233.png Найдем hello_html_5d0be790.png тогда hello_html_m2e5063a.png откуда hello_html_37d842a.png

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Скалярное произведение векторов
Векторы заданы своими координатами: hello_html_m62f2b316.png и hello_html_m7b0a15c.png
Если hello_html_4690709b.png, то k равно …

Решение:
Если hello_html_m3a7a4bae.png то угол между векторами равен 90, значит, по определению hello_html_42e34094.png Напоминаем, что скалярное произведение векторов, заданных своими координатами hello_html_m79c0e42.png и hello_html_2cf64e90.png, выражается формулой: hello_html_m3c45e233.png Найдем hello_html_m66d5c23b.png тогда hello_html_m51f32c2d.png откуда hello_html_m14cc08f4.png


САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 5


ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Линейные операции над векторами

Даны векторы hello_html_m57e696a0.png и hello_html_m1e04d57f.png.
Тогда сумма координат вектора hello_html_m4d16a722.png равна …


ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Линейные операции над векторами
Даны векторы hello_html_3acfa527.png и hello_html_m2a463a1e.png. Тогда сумма координат вектора hello_html_7a60d327.png равна …

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Линейные операции над векторами
Даны векторы hello_html_m28f1f356.png и hello_html_m7e35b8ed.png. Тогда сумма координат вектора hello_html_m39dac53b.png равна …

ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Линейные операции над векторами
Даны векторы hello_html_m75219de0.png и hello_html_mc58a1dc.png. Тогда сумма координат


ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Скалярное произведение векторов
Векторы заданы своими координатами: hello_html_34489090.png и hello_html_m5faf32dc.png
Если hello_html_4690709b.png, то k равно …


ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Скалярное произведение векторов
Векторы заданы своими координатами: hello_html_m1a3237d8.png и hello_html_5b6268df.png
Если hello_html_4690709b.png, то k равно …


ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Скалярное произведение векторов
Векторы заданы своими координатами: hello_html_m62f2b316.png и hello_html_m7b0a15c.png
Если hello_html_4690709b.png, то k равно …

ЗАДАНИЕ N 8
Тема: Скалярное произведение векторов
Векторы заданы своими координатами: hello_html_m787819fd.png и hello_html_26b66f87.png
Если hello_html_4690709b.png, то k равно …


ТЕМА 6 ЛИНИИ И ИХ УРАВНЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ


КОНСПЕКТ 6

6.1 УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ

Прямая линия на плоскости – это одна из простейших геометрических  фигур, знакомая вам ещё с младших классов, и сегодня мы узнаем, как с ней справляться методами аналитической геометрии. Для освоения материала необходимо уметь строить прямую; знать, каким уравнением задаётся прямая, в частности, прямая, проходящая через начало координат и прямые, параллельные координатным осям.

6.1.1 Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Всем известный «школьный» вид уравнения прямой hello_html_21fc4d21.png называется уравнением прямой с угловым коэффициентом hello_html_7c35a1bd.png. Например, если прямая задана уравнением hello_html_m94d87ab.png, то её угловой коэффициент: hello_html_m4dc624d0.png. Рассмотрим геометрический смысл данного коэффициента и то,  как его значение влияет на расположение прямой:
hello_html_m7cefb572.jpg



Напомним сведения об уравнении прямой на плоскости. Любое уравнение первой степени относительно неизвестных х и у является уравнением прямой на плоскости: АX + ВY + С = 0

Оно может быть записано в некоторых специальных видах:

а) уравнение с угловым коэффициентом у= kx+b , где k - угловой коэффициент, численно равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси Ох , а свободный член b - ордината точки пересечения графика и Оу.

hello_html_3268d9a8.png-отрезок, отсекаемый графиком на оси оу

б) уравнение пучка прямых, проходящих через точку (х00) у-у0 = k(х-х0 )

в) уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (х1у1) и (х2у2)

hello_html_12d81d2d.png

hello_html_m796c61de.png

hello_html_m3cfd7ef4.png

hello_html_mdc2d01b.png

Разберем все эти уравнения, используя вектора.


6.1.2 Общее уравнение прямой на плоскости

Рассмотрим на плоскости Оху произвольную прямую L. Пусть дана некоторая ее точка М11у1) и вектор N=Ai+Bj, перпендикулярный рассматриваемой прямой. Этот вектор называется нормальным вектором прямой. Точка М1 и нормальный вектор N вполне определяют положение прямой L на плоскости Оху.

hello_html_36027273.png Пусть М(х,у) - любая точка прямой L (она называется текущей точкой). По условию, вектор N перпендикулярен вектору hello_html_0.gif, лежащему на этой прямой. Поэтому скалярное произведение (N, hello_html_c11daf4.png)=0 , или в координатной форме А(х – х1) + В(у – у1) = 0

Произведем преобразования – раскроем скобки:

АX + ВY + [-АX1 – ВY1 ] = 0

В квадратных скобках у нас некое число. так как А и В числовые коэффициенты, а х1 и у1 - координаты точки и, если это число обозначим С, то получится общее уравнение прямой на плоскости.

АX + ВY + С = 0


6.1.3 Каноническое уравнение

Далее, положение прямой L на плоскости вполне определяется заданием какой-либо ее точки М(х11) и вектора S=mi+nj , параллельного L или лежащего на ней. Этот вектор называется направляющим вектором прямой L.

Пусть М(х,у) - произвольная точка прямой L. Так как векторы

hello_html_m48a52ea6.png

коллинеарны (по условию), то их координаты пропорциональны.

hello_html_m4be5310b.png

Это уравнение называется каноническим уравнением прямой.

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении

hello_html_m666dbe43.png

Рассмотрим снова прямую L. Ее положение вполне определяется заданием угла (Ox, L) и точки М(х ,у ), лежащей на этой прямой.

В качестве направляющего вектора возьмем единичный вектор

hello_html_m6f85af1a.png

Проверим, будет ли этот вектор единичным?

Его длина hello_html_m5d50a966.png

Тогда каноническое уравнение прямой будет иметь вид:

hello_html_23bf889b.png,

получим у-у1 = k(х – х1) – это прежнее уравнение прямой с угловым коэффициентом.


6.1.4 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Пусть на плоскости даны М11у1) и М22у2). Составим каноническое уравнение прямой, проходящей через эти две точки в качестве направляющего вектора S возьмем M1M2

hello_html_383fcccf.png

это уравнение прямой, проходящей через две данные точки (х1 у1) и (х2, у2)



ПРАКТИКУМ 6

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Линии и их уравнения на плоскости
В координатной плоскости XOY линия задана параметрически:
hello_html_2d8032e6.png
Тогда этой линии принадлежат точки …hello_html_m495265b8.pnghello_html_m5fcac1b0.pnghello_html_87dedce.pnghello_html_257fa27b.png

Решение:
Используя одну из координат точки, найдем значение t и, подставив его в другое уравнение, получим вторую координату точки.
hello_html_685d6627.png Точка с координатами hello_html_m495265b8.png принадлежит данной линии.
hello_html_m6405aede.png Точка с координатами hello_html_m5fcac1b0.png принадлежит данной линии.
hello_html_4170451b.png Точка с координатами hello_html_87dedce.png не принадлежит данной линии.
hello_html_m68610b54.png Точка с координатами hello_html_257fa27b.png не принадлежит данной линии.

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Линии и их уравнения на плоскости
В координатной плоскости XOY линия задана параметрически:
hello_html_6a37c050.png
Тогда этой линии принадлежат точки …hello_html_m7a6e4797.png,hello_html_ma08cee8.png,hello_html_63365751.png,hello_html_fc51d59.png


Решение:
Используя одну из координат точки, найдем значение t и, подставив его в другое уравнение, получим вторую координату точки.
hello_html_51f294c1.png Точка с координатами hello_html_m7a6e4797.png принадлежит данной линии.
hello_html_m33be7c8.png Точка с координатами hello_html_ma08cee8.png принадлежит данной линии.
hello_html_m7992104e.png Точка с координатами hello_html_63365751.png не принадлежит данной линии.
hello_html_1ceb5366.png Точка с координатами hello_html_fc51d59.png не принадлежит данной линии.

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Линии и их уравнения на плоскости
В координатной плоскости XOY линия задана параметрически:
hello_html_67f2299b.png
Тогда этой линии принадлежат точки …hello_html_m2b387c81.png,hello_html_m5bf89657.png,hello_html_1694ca50.png,hello_html_7a726a9d.png


Решение:
Используя одну из координат точки, найдем значение t и, подставив его в другое уравнение, получим вторую координату точки.
hello_html_4c5609dc.png Точка с координатами hello_html_m2b387c81.png принадлежит данной линии.
hello_html_m2c2cf9c7.png Точка с координатами hello_html_m5bf89657.png принадлежит данной линии.
hello_html_4269a122.png Точка с координатами hello_html_1694ca50.png не принадлежит данной линии.
hello_html_3afc0c3b.png Точка с координатами hello_html_7a726a9d.png не принадлежит данной линии.

ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Линии и их уравнения на плоскости
В координатной плоскости XOY линия задана уравнением hello_html_m75481b73.png
Тогда эта линия проходит через точки …hello_html_m3a74f932.png,hello_html_1b3dee2.png,hello_html_m17fb0dc0.png,hello_html_m357a506e.png


Решение:
Нужно подставить координаты данных точек в уравнение линии. Если получится тождество, то линия проходит через точку. В противном случае − нет.
1. hello_html_m3a74f932.png. hello_html_m290ce8c5.png Точка с координатами hello_html_m3a74f932.png принадлежит линии.
2. hello_html_1b3dee2.png. hello_html_12da96f9.png Точка с координатами hello_html_1b3dee2.png принадлежит линии.
1. hello_html_m17fb0dc0.png. hello_html_m25f8105a.png Точка с координатами hello_html_m17fb0dc0.png не принадлежит линии.
4. hello_html_m357a506e.png. hello_html_m71c33bfc.png Точка с координатами hello_html_m357a506e.png не принадлежит линии.

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Уравнение прямой на плоскости
Известно, что уравнение прямой, проходящей через две точки A и B, имеет вид
hello_html_50a92f2.png Тогда для точек hello_html_m1bacc9f.png и hello_html_m521afad6.png уравнение прямой может быть записано в виде …

Решение:
Воспользуемся формулой: hello_html_50a92f2.png Имеем: hello_html_m716d6fa4.pnghello_html_2c25c747.png Проделав элементарные преобразования, получим hello_html_m35be98e0.png


ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Уравнение прямой на плоскости
Известно, что уравнение прямой, проходящей через две точки A и B, может быть получено по формуле hello_html_35b4cb0d.png
Тогда для точек hello_html_m68995269.png и hello_html_151e257.png уравнением прямой является …

Решение:
Воспользуемся формулой hello_html_50a92f2.png
Имеем: hello_html_24500421.png или hello_html_3ed4fb18.png
Проделав элементарные преобразования, получим hello_html_m3d94ff73.png


ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Уравнение прямой на плоскости
Известно, что уравнение прямой, проходящей через две точки A и B, может быть получено по формуле hello_html_35b4cb0d.png
Тогда для точек hello_html_5cd9764.png и hello_html_4df7b8f2.png уравнением прямой является …

Решение:
Воспользуемся формулой hello_html_50a92f2.png
Имеем: hello_html_51bdbe6.png или hello_html_m778543ad.png
Проделав элементарные преобразования, получим hello_html_m1265fab0.png


ЗАДАНИЕ N 8
Тема: Уравнение прямой на плоскости
Известно, что уравнение прямой, проходящей через две точки A и B, имеет вид hello_html_m7d08f7ef.png тогда для точек hello_html_m7850d00c.png и hello_html_3e9ada6c.png уравнение прямой может быть записано в виде …


Решение:
Воспользуемся формулой: hello_html_50a92f2.png Имеем: hello_html_60e52868.pnghello_html_28c315ce.png Проделав элементарные преобразования, получим hello_html_m18410d79.png


САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 6


ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Линии и их уравнения на плоскости
В координатной плоскости XOY линия задана параметрически:
hello_html_2d8032e6.png
Какие из указанных точек принадлежат этой линии?

1. hello_html_m495265b8.png

2. hello_html_m5fcac1b0.png

3. hello_html_87dedce.png

4. hello_html_257fa27b.png

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Линии и их уравнения на плоскости
В координатной плоскости XOY линия задана параметрически:
hello_html_6a37c050.png
Какие из указанных точек принадлежат этой линии?

1. hello_html_fc51d59.png

2. hello_html_ma08cee8.png

3. hello_html_63365751.png

4. hello_html_m7a6e4797.png

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Линии и их уравнения на плоскости
В координатной плоскости XOY линия задана параметрически:
hello_html_67f2299b.png
Какие из указанных точек принадлежат этой линии?

1. hello_html_m2b387c81.png

2. hello_html_m5bf89657.png

3. hello_html_1694ca50.png

4. hello_html_7a726a9d.png
ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Линии и их уравнения на плоскости
В координатной плоскости XOY линия задана уравнением hello_html_m75481b73.png
Тогда эта линия проходит через точки …

1. hello_html_m3a74f932.png

2. hello_html_1b3dee2.png

3. hello_html_m17fb0dc0.png

4. hello_html_m357a506e.png

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Уравнение прямой на плоскости
Известно, что уравнение прямой, проходящей через две точки A и B, имеет вид
hello_html_50a92f2.png Тогда для точек hello_html_m1bacc9f.png и hello_html_m521afad6.png уравнение прямой может быть записано в виде …

1. hello_html_m7414a4ec.png

2. hello_html_m29665056.png

3. hello_html_m7acc6d25.png

4. hello_html_65d957f2.png

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Уравнение прямой на плоскости
Известно, что уравнение прямой, проходящей через две точки A и B, может быть получено по формуле hello_html_35b4cb0d.png
Тогда для точек hello_html_m68995269.png и hello_html_151e257.png уравнением прямой является …

1. hello_html_4ea81b26.png

2. hello_html_m606f7a42.png

3. hello_html_43dd5163.png

4. hello_html_m7bdaf842.png

ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Уравнение прямой на плоскости
Известно, что уравнение прямой, проходящей через две точки A и B, может быть получено по формуле hello_html_35b4cb0d.png
Тогда для точек hello_html_5cd9764.png и hello_html_4df7b8f2.png уравнением прямой является …

1. hello_html_b1e092e.png

2. hello_html_m7fc715d0.png

3. hello_html_m471930b9.png

4. hello_html_m20ca7703.png


ТЕМА 7 КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА


КОНСПЕКТ 7


7.1 КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

Кривая второго порядка может быть задана уравнением

hello_html_m9fb1f3b.gif

Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

  1. hello_html_m727040c1.gif - уравнение эллипса.

  2. hello_html_mbc34947.gif - уравнение мнимого эллипса.

  3. hello_html_m5a963330.gif - уравнение гиперболы.

  4. a2x2c2y2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.

  5. y2 = 2px – уравнение параболы.

  6. y2a2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых.

  7. y2 + a2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.

  8. y2 = 0 – пара совпадающих прямых.

  9. (xa)2 + (yb)2 = R2 – уравнение окружности.


7.1.1 ОКРУЖНОСТЬ


Вhello_html_m89e7ba7.gif окружности (xa)2 + (yb)2 = R2 центр имеет координаты (a; b).


Пример 1

Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде:

2x2 + 2y2 – 8x + 5y – 4 = 0.


Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к виду, указанному выше в п.9. Для этого выделим полные квадраты:

x2 + y2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x2 – 4x + 4 –4 + y2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2)2 + (y + 5/4)2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2)2 + (y + 5/4)2 = 121/16


Отсюда находим О(2; -5/4); R = 11/4.


7hello_html_4b10e208.gif.1.2 ЭЛЛИПС

Эллипсом называется линия, заданная уравнением hello_html_579c6bb.gif.


Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.



hello_html_m150812c5.gif М

r1

r2

F1O F2 х



F1, F2 – фокусы. F1 = (c; 0); F2(-c; 0)

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.

Теорема Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:

a2 = b2 + c2.

Фhello_html_m7e5fef23.gifорма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.

Е = с/a.

Т.к. с < a, то е < 1.

hello_html_me67c645.gifС эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения:

x = a/e; x = -a/e.

Пример 2

Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением: hello_html_28b37e1a.gif


  1. Координаты нижней вершины: x = 0; y2 = 16; y = -4.

  2. Координаты левого фокуса: c2 = a2b2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F2(-3; 0).

  3. Уравнение прямой, проходящей через две точки:

hello_html_m35970987.gif

Пример 3

Составить уравнение эллипса, если его фокусы F1(0; 0), F2(1; 1), большая ось равна 2.

Уравнение эллипса имеет вид: hello_html_m727040c1.gif. Расстояние между фокусами:

2c = hello_html_23adc19a.gif, таким образом, a2b2 = c2 = ½

по условию 2а = 2, следовательно а = 1, b = hello_html_7cbc14c4.gif

Итого: hello_html_309c4925.gif.



7.1.3 ГИПЕРБОЛА

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.







y


M(x, y)

hello_html_m4875d827.gif b

r1

r2

x


F1 a F2







с


hello_html_m3be717de.gif

hello_html_m5a963330.gif - Каноническое уравнение гиперболы.

Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.

Ось 2а называется действительной осью гиперболы.

hello_html_maea75c0.gifОсь 2b называется мнимой осью гиперболы.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых hello_html_m3903088c.gif

Отношение hello_html_7a065e0a.gifназывается эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

С учетом того, что с2 – а2 = b2:

hello_html_65b4db0d.gif

hello_html_m67078478.gif

Если а = b, e = hello_html_m4f793edc.gif, то гипербола называется равнобочной (равносторонней).


Дhello_html_m65ed34f9.gifве прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: hello_html_m31b36f18.gif.

Пример 4

Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса hello_html_m6b84b48e.gif.

Для эллипса: c2 = a2b2.

Для гиперболы: c2 = a2 + b2.






hello_html_5585296b.gif

hello_html_7136b11e.gif


hello_html_m557b136e.gif




hello_html_7136b11e.gif

hello_html_59c8e6d1.gif hello_html_59c8e6d1.gif

Уравнение гиперболы: hello_html_31327c51.gif.

7.1.4 ПАРАБОЛА

Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.


hello_html_m7141453.gif у

hello_html_m6e55a161.gif А М(х, у)






hello_html_m482d194e.gif

О F x

hello_html_59b8922.gifhello_html_3e602f0f.gif

p/2 p/2





Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы.

hello_html_395d68c4.gif

y2 = 2px


Уравнение директрисы: x = hello_html_m4520e2f2.gif

Пример 5

На параболе у2 = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.


Из уравнения параболы получаем, что р = 4.

r = x + p/2 = 4; следовательно:

x = 2; y2 = 16; y = 4. Искомые точки: M1(2; 4), M2(2; -4).




ПРАКТИКУМ 7


ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Кривые второго порядка
Известно, что уравнение параболы имеет вид hello_html_m344e2642.png Тогда уравнением параболы, изображенной на чертеже,
hello_html_m6548d85c.png
является …

Решение:
Каноническое уравнение параболы имеет вид: hello_html_947e639.png С учетом параллельного переноса данное уравнение может быть записано в виде hello_html_m5e2bb0f6.png где точка hello_html_bf28d23.pngвершина параболы. Исходя из чертежа можно записать уравнение hello_html_7440058a.png Учтем, что парабола проходит, например, через точку hello_html_c1f8c6b.png
Тогда hello_html_m50c386a3.png 
Тогда уравнение параболы примет вид: hello_html_m6f0f30ec.png

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Кривые второго порядка
Известно, что уравнение параболы имеет вид hello_html_m344e2642.png Записать уравнение параболы, изображенной на чертеже:
hello_html_m5e71adbe.png

Решение:
Каноническое уравнение параболы имеет вид: hello_html_947e639.png С учетом параллельного переноса данное уравнение может быть записано в виде hello_html_m5e2bb0f6.png где точка hello_html_bf28d23.pngвершина параболы. Исходя из чертежа можно записать уравнение hello_html_6173e7d8.png Учтем, что парабола проходит, например, через точку hello_html_m60aff855.png
Тогда hello_html_1d3a6193.png 
Тогда уравнение параболы примет вид: hello_html_4f8a68af.png

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Кривые второго порядка
Уравнением окружности, изображенной на чертеже,
hello_html_4daafe88.png
является …


Решение:
Из чертежа видно, что центр окружности имеет координаты (−5; 3) и ее радиус равен 3. Подставим эти данные в уравнение окружности hello_html_4f41f16d.png и получим hello_html_m29b7d055.png



ЗАДАНИЕ N 4

На правой ветви гиперболыhello_html_m3f94fd8f.gif найти точку, расстояние которой от правого фокуса в два раза меньше её расстояния от левого фокуса.


Решение:

Для правой ветви гиперболы фокальные радиусы - векторы определяются по формулам r1 = ex- а и r2 = ex + а. Следовательно, имеем уравнение ех + а = 2(ех - а), откуда х = 3а/e; здесь а = 4, е = с/a =hello_html_m7f949c4f.png, т.е. х = 9,6

Ординату находим из уравнения гиперболы:

hello_html_24dc32cb.png

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две точки: М1(9,6; 0,6hello_html_m1fafb736.png) и М2(9,6;-0,6hello_html_m1fafb736.png).


ЗАДАНИЕ N 5

Эксцентриситет гиперболы равен hello_html_2e55bab9.png. Составить простейшее уравнение гиперболы, проходящей через точку М(hello_html_759c9533.pnghello_html_2e55bab9.png).


Решение:

Согласно определению эксцентриситета, имеем hello_html_3888d050.gif, или hello_html_ma4af619.gif. Но hello_html_50ced939.gif; следовательно hello_html_m703fe6d1.gif, или hello_html_6c11c974.gif, т.е. гипербола равнобочная.

Другое равенство получим из условия нахождения точки М на гиперболе, т.е.


hello_html_m3790f2d7.gif, или hello_html_m115691ec.gif. Посколькуhello_html_6c11c974.gif, получим hello_html_5bbf3a59.gif, т.е. hello_html_78b333ef.gif

Таким образом, уравнение искомой гиперболы имеет вид hello_html_m1b30bb32.gif



САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 7


ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Кривые второго порядка

Известно, что уравнение параболы имеет вид hello_html_m344e2642.png Тогда уравнением параболы, изображенной на чертеже, hello_html_m6548d85c.pngявляется …

1. hello_html_m67b7827b.png

2. hello_html_m9e3dbc6.png

3. hello_html_30c201fb.png

4. hello_html_7131e1cd.png


 




ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Кривые второго порядк

Известно, что уравнение параболы имеет вид hello_html_m344e2642.png Тогда уравнением параболы, изображенной на чертеже, является …

1hello_html_m5e71adbe.png. hello_html_33dde552.png

2. hello_html_m9afc1c8.png

3. hello_html_18b495dc.png

4. hello_html_m4c81bfa7.png







ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Кривые второго порядка
Уравнением окружности, изображенной на чертеже,
является …1. hello_html_m14d84303.png

2. hello_html_7015f18c.png

3. hello_html_m5c8ab9f9.png

\4. hello_html_38470b76.png

hello_html_4daafe88.png

















ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Кривые второго порядка
Уравнением эллипса, изображенного на чертеже,
hello_html_31fb4ec1.png
является …

hello_html_m268681ce.png

hello_html_m652b4593.png

hello_html_m37007341.png


ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Кривые второго порядка
Известно, что уравнение параболы имеет вид hello_html_m344e2642.png Тогда уравнением параболы, изображенной на чертеже,
hello_html_1ce0621c.png
является …

hello_html_m62fd3c4a.png

hello_html_3d33abff.png

hello_html_63645167.png

hello_html_432ad1e4.png




РАЗДЕЛ 3

Тема 8. Правила дифференцирования Производная сложной функции. Производная функции в точке.

КОНСПЕКТ 8

Наша задача научиться находить производные. Очень хорошая новость состоит в том, что научиться брать производные не так сложно, существует довольно чёткий алгоритм решения (и объяснения) этого задания.

Пример 1

Найти производную функции hello_html_m64bdcb92.png

Решение: hello_html_2d2af043.png

Это простейший пример, пожалуйста, найдите его в таблице производных элементарных функций. Теперь посмотрим на решение и проанализируем, что же произошло? А произошла следующая вещь: у нас была функция hello_html_m64bdcb92.png, которая в результате решения превратилась в функцию hello_html_m25668cf9.png.

Говоря совсем просто, для того чтобы найти производную функции, нужно по определенным правилам превратить её в другую функцию. Посмотрите еще раз на таблицу производных – там функции превращаются в другие функции. Единственным исключением является экспоненциальная функция hello_html_m12595667.png, которая превращается сама в себя. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Обозначения: Производную обозначают hello_html_71e270ca.png или hello_html_m1e53a2dd.png


8.1 ПРАВИЛА ДИИФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Постоянное число можно (и нужно) вынести за знак производной

hello_html_m1df700e4.png, где hello_html_40ce398e.png – постоянное число (константа)

Пример 2

Найти производную функции hello_html_f4eff75.png

Смотрим в таблицу производных. Производная косинуса там есть, но у нас hello_html_m6e420ec2.png.

Решаем:

hello_html_4f814c84.png

Самое время использовать правило, выносим постоянный множитель за знак производной:

hello_html_7588b7b7.png

А теперь превращаем наш косинус по таблице:

hello_html_42bd39bd.png

Ну и результат желательно немного «причесать» – ставим минус на первое место, заодно избавляясь от скобок:

hello_html_m6f62ec56.png

Готово.


Производная суммы равна сумме производных

hello_html_m11f14c39.png

Пример 3

Найти производную функции hello_html_7ac8e157.png

Решаем.


Обычно в ходе решения первые два правила применяют одновременно (чтобы не переписывать лишний раз длинное выражение).

Все функции, находящиеся под штрихами, являются элементарными табличными функциями, с помощью таблицы осуществляем превращение:

hello_html_2ae86d04.png

Можно всё оставить в таком виде, так как штрихов больше нет, и производная найдена. Тем не менее, подобные выражения обычно упрощают:

hello_html_m6721837b.png

Все степени вида hello_html_e2edda9.png желательно снова представить в виде корней, степени с отрицательными показателями – сбросить в знаменатель. Хотя этого можно и не делать, ошибкой не будет.


Производная произведения функций

Вроде бы по аналогии напрашивается формула hello_html_5d0678b1.png…., но неожиданность состоит в том, что:

hello_html_2c3dc15e.png

Я не буду объяснять, почему именно так, наша задача научиться решать производные, а не разбираться в теории.

Пример 4

Найти производную функции hello_html_m602be71f.png

Здесь у нас произведение двух функций, зависящих от hello_html_m61f18daf.png.
Сначала применяем наше странное правило, а затем превращаем функции по таблице производных:

hello_html_m17802e70.png

Сложно? Вовсе нет, вполне доступно даже для чайника.

 

Производная частного функций

А вот это вот суровая действительность:
hello_html_m1d1443d3.png

Пример 5

Найти производную функции hello_html_m3e3492e2.png

Чего здесь только нет – сумма, разность, произведение, дробь…. С чего бы начать?! Есть сомнения, нет сомнений, но, В ЛЮБОМ СЛУЧАЕ для начала рисуем скобочки и справа вверху ставим штрих:



hello_html_m663681e1.png


8.2 ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Правило дифференцирования сложной функции:

hello_html_m68b98dc.png 

Пример 6

Найти производную функции hello_html_m6fe2e8ff.png

Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение hello_html_2e047af2.png, поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя:
hello_html_m1e4e3d9f.jpg

В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция hello_html_m6fe2e8ff.png – это сложная функция, причем многочлен hello_html_2e047af2.png является внутренней функцией (вложением), а hello_html_41e5b5c3.png – внешней функцией.

Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней.

В случае простых примеров вроде hello_html_41e5b5c3.png понятно, что под синус вложен многочлен hello_html_2e047af2.png. А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого я предлагаю использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике.

Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения hello_html_m6b30536a.png при hello_html_m601cd538.png (вместо единицы может быть любое число).

Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие: hello_html_m52ba416b.png, поэтому многочлен hello_html_2e047af2.png и будет внутренней функцией hello_html_m5425f6db.png:
hello_html_m100676c0.jpg 
Во вторую очередь нужно будет найти hello_html_13e2c7b.png, поэтому синус – будет внешней функцией:
hello_html_76f3563f.jpg
После того, как  мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции hello_html_m68b98dc.png.

Начинаем решать. hello_html_cb7ed05.png

Сначала находим производную внешней функции hello_html_m58515896.png (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что hello_html_m1b4f761b.png. Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением, в данном случае:

hello_html_m1fd4ba8d.png

Обратите внимание, что внутренняя функция hello_html_6803e358.png не изменилась, её мы не трогаем.

Ну и совершенно очевидно, что hello_html_3f2ab0c5.png

Результат применения формулы hello_html_m68b98dc.png в чистовом оформлении выглядит так:

hello_html_5a7355a.png

Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая:

hello_html_m3b83e2f.png

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:
hello_html_23c38a9d.png

Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.


Пример 7

Найти производную функции hello_html_m6533c1b2.png

Как всегда записываем:
hello_html_m395cc841.png

Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения hello_html_457781b4.png при hello_html_m601cd538.png. Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: hello_html_599e34b9.png, значит, многочлен hello_html_m5749f27e.png – и есть внутренняя функция:
hello_html_1563028.jpg
И, только потом выполняется возведение в степень hello_html_2591230d.png, следовательно, степенная функция – это внешняя функция:
hello_html_1e569c9e.jpg
Согласно формуле hello_html_m68b98dc.png, сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: hello_html_m183d858c.png. Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции  hello_html_m68b98dc.png следующий:

hello_html_m787134ba.png

Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции hello_html_m58515896.png, внутренняя функция hello_html_m5425f6db.png у нас не меняется:
hello_html_m465078d.jpg
Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат:

hello_html_52480979.png

Готово.


Пример 8

Найти производную функции hello_html_211b72e3.png

Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени hello_html_e2edda9.png. Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

hello_html_m55583e3e.png

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции hello_html_m68b98dc.png:

hello_html_730a513.png

Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:

hello_html_m69b1a7f3.png

Готово.


8.3 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

Как найти производную функции в точке? Из формулировки следуют два очевидных пункта этого задания:

1) Необходимо найти производную.

2) Необходимо вычислить значение производной в заданной точке.

Пример 9

Вычислить производную функции hello_html_m708f61ca.png в точке hello_html_8f25f6b.png

Справка: Следующие способы обозначения функции эквивалентны:
hello_html_m545f14cb.png
hello_html_7110bdc5.png
В некоторых задания бывает удобно обозначить функцию «игреком», а в некоторых через «эф от икс».

Сначала находим производную:

hello_html_m28644d2a.png

Надеюсь, многие уже приноровились находить такие производные устно.

На втором шаге вычислим значение производной в точке hello_html_8f25f6b.png:

hello_html_4811b899.png

Готово.


ПРАКТИКУМ 8


ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Правила дифференцирования
Производная функции hello_html_mc9bd78e.png равна …

Решение:
Для нахождения производной необходимо воспользоваться правилами
hello_html_2272cd65.png hello_html_cc3256b.png hello_html_71c979d0.png где c – постоянная величина, а U и V – некоторые функции, зависящие от x, и формулами
hello_html_4033df9b.png
Тогда получим
hello_html_72e5eec3.pnghello_html_576ce093.png


ЗАДАНИЕ N 2

Тема: Правила дифференцирования
Производная функции hello_html_m5bc82189.png равна …


Решение:
Для нахождения производной необходимо воспользоваться правилами
hello_html_2272cd65.png hello_html_cc3256b.png hello_html_71c979d0.png где c – постоянная величина, а U и V – некоторые функции, зависящие от x, и формулами
hello_html_m26480d4b.png
Тогда получим
hello_html_72e5eec3.pnghello_html_m7b7e4fb8.png


ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Правила дифференцирования
Производная функции hello_html_65882b66.png равна …


Решение:
Для нахождения производной необходимо воспользоваться правилами
hello_html_e040a5.png, hello_html_m70584686.png, hello_html_m6530ab9f.png, где c – постоянная величина, а U и V – некоторые функции, зависящие от x, и формулами
hello_html_4b976fbe.png
Тогда получим
hello_html_72e5eec3.pnghello_html_m22e4f5c6.png


ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Правила дифференцирования
Производная функции hello_html_m6deed999.png равна …

Решение:
Для нахождения производной необходимо воспользоваться правилами
hello_html_2272cd65.png hello_html_cc3256b.png hello_html_71c979d0.png где c – постоянная величина, а U и V – некоторые функции, зависящие от x, и формулами
hello_html_37b20ce4.png
Тогда получим
hello_html_72e5eec3.pnghello_html_m2f6343dc.png


ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Производная функции в точке
Если hello_html_41bf880b.png, то hello_html_7e85dfcf.png принимает значение, равное …


Решение:
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций, значит, hello_html_54e369b.png Пусть hello_html_m3d3dce6b.pngтогда hello_html_m26d8fff1.png


ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Производная функции в точке
Если hello_html_2f82d720.png, то hello_html_3cb1f22.png принимает значение, равное …

Решение:
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций, значит, hello_html_m34e0bd42.png Пусть hello_html_m7d5b65df.png тогда hello_html_18ac3e5d.png

ЗАДАНИЕ N 8
Тема: Производная функции в точке
Если hello_html_ac5dff7.png, то hello_html_7e85dfcf.png принимает значение, равное …

Решение:
Напоминаем, что производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. Тогда имеем hello_html_3784c498.png
Пусть hello_html_m4c1c7a48.png. Получим hello_html_m639456a6.png


ЗАДАНИЕ N 9
Тема: Производная функции в точке
Если hello_html_m77924b52.png, то hello_html_3217932d.png принимает значение, равное …

Решение:
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций, значит, hello_html_m50d73f43.png Пусть hello_html_m1328d01d.png тогда hello_html_616d9c86.png


ЗАДАНИЕ N 10
Тема: Производная функции в точке
Если hello_html_m45f585de.png, то hello_html_3cb1f22.png принимает значение, равное …

Решение:
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций, значит, hello_html_646bc7e1.png Пусть hello_html_m7d5b65df.png тогда hello_html_m4d1d7a05.png

ЗАДАНИЕ N 11
Тема: Производная функции в точке
Если hello_html_m7fa266df.png, то hello_html_3cb1f22.png принимает значение, равное …

Решение:
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций, значит, hello_html_m2983da07.png Пусть hello_html_7f220461.png, тогда hello_html_m1ee19a29.png


ЗАДАНИЕ N 12
Тема: Производная сложной функции
Производная функции hello_html_m47b1c309.png равна …

Решение:
Данная функция является сложной.
Пусть hello_html_408e4206.png, тогда hello_html_184c14d5.png. Напоминаем, что производная сложной функции находится по формуле hello_html_64d7f484.png. Тогда получим
hello_html_m1eef73d.png


ЗАДАНИЕ N 13
Тема: Производная сложной функции
Производная функции hello_html_m4bb77d06.png равна …

Решение:
Данная функция является сложной. Пусть hello_html_6f95958a.png, тогда hello_html_m47f2aa15.png. Напоминаем, что производная сложной функции находится по формуле hello_html_64d7f484.png. Тогда получим
hello_html_3284892f.png


ЗАДАНИЕ N 14
Тема: Производная сложной функции
Производная функции hello_html_m58c86457.png равна …

Решение:
Данная функция является сложной.
Пусть hello_html_724c101f.png тогда hello_html_184c14d5.png. Напоминаем, что производная сложной функции находится по формуле hello_html_64d7f484.png. Тогда получим
hello_html_m3fd05ac6.png


САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 8

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Правила дифференцирования
Производная функции hello_html_m5bc82189.png равна …


ЗАДАНИЕ N 2

Тема: Правила дифференцирования
Производная функции hello_html_532cf92d.png равна …


ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Правила дифференцирования
Производная функции hello_html_m18bc8a6.png равна …


ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Производная сложной функции
Производная функции hello_html_m4bb77d06.png равна …


ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Производная сложной функции
Производная функции hello_html_m59ac3672.png равна …


ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Производная сложной функции
Производная функции hello_html_1e70eb5a.png равна …


ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Производная сложной функции
Производная функции hello_html_304f3874.png равна …

hello_html_4ea2c834.png


ЗАДАНИЕ N 8
Тема: Производная сложной функции
Производная функции hello_html_m66ca8468.png равна …


ЗАДАНИЕ N 9
Тема: Производная сложной функции
Производная функции hello_html_79248395.png равна …


ЗАДАНИЕ N 10
Тема: Производная функции в точке
Если hello_html_20a11f9b.png то hello_html_3cb1f22.png принимает значение, равное …


ЗАДАНИЕ N 11
Тема: Производная функции в точке
Если hello_html_m2f494c00.png, то hello_html_3cb1f22.png принимает значение, равное …


ЗАДАНИЕ N 12

Тема: Производная функции в точке
Если hello_html_ac5dff7.png, то hello_html_7e85dfcf.png принимает значение, равное …


ЗАДАНИЕ N 13

Тема: Производная функции в точке
Если hello_html_m77924b52.png, то hello_html_3217932d.png принимает значение, равное …


ЗАДАНИЕ N 14
Тема: Производная функции в точке
Если hello_html_1ecf334d.png то hello_html_7e85dfcf.png принимает значение, равное …



ТЕМА 9 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ


КОНСПЕКТ 9


9.1 ПОРЯДОК НАХОЖДЕНИЯ ЭКСТРЕМУМОВ ФУНКЦИИ

1. Найти область определения функции и интервалы, на которых функция непрерывна.

2. Найти производную функции f '(x).

3. Найти критические точки функции y = f (x), т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная f '(x) обращается в нуль или не существует.

4. Исследовать характер изменения функции f (x) и знак производной f '(x) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции y = f (x).

5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума или не является точкой экстремума.

Помни: критическая точка x0 есть точка минимума, если она отделяет промежуток, в котором f '(x)<0, от промежутка, в котором f '(x)>0, и точка максимума - в противном случае. Если же в соседних промежутках, разделенных критической точкой x0, знак производной не меняется, то в точке x0 функция экстремума не имеет.

Пример 1

Исследовать на экстремум функцию f(x) = x3–3x2

Решение:

1) Функция определена для всех hello_html_3459840a.gifR. Найдем производную: f '(x)=3x2–6x.

2) Из уравнения 3x2–6x = 3x(x–2) = 0 получим критические точки функции x1=0 и x2=2.

3) Так как при переходе через точку x1=0 производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум.

4) При переходе через точку x2 =2 производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому в точке x2 = 2 у функции минимум.

x

(hello_html_3493264c.gif;0]

0

[0; 2]

2

[2; +hello_html_m79c40890.gif)

f '(x)

+

0

0

+

f (x)

fmax(0) = 0

fmin(2) = – 4


Ответ: (0; 0) – точка максимума, (2; -4) – точка минимума;

9.2 ПОРЯДОК НАХОЖДЕНИЯ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ


  1. Найти все критические точки, принадлежащие промежутку [ a,b ], и вычислить значения функции в этих точках.

  2. Вычислить значения функции на концах отрезка [ a,b ],т.е.найти f(a) и f(b).

  3. сравнить полученные результаты; наибольшее из найденных значений является наибольшим значением функции на отрезке [ a,b ]; аналогично, наименьшее из найденных значений есть наименьшее значение функции на этом отрезке.



ПРАКТИКУМ 9

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Экстремум функции
Для функции hello_html_m1dc7b580.png точка максимума hello_html_m5e34b1e8.png принимает значение, равное …

Решение:
Для отыскания точек экстремума найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует.
hello_html_75d260be.png
Заметим, что производная существует для любого значения х, приравняем ее к нулю, получим: hello_html_776d9728.png
Последнее уравнение имеет корни: hello_html_63c374ea.png Отметим найденные значения на числовой прямой. Найдем знак производной hello_html_m131c805e.png на каждом из получившихся промежутков.
hello_html_m6eeb27f4.png
Точки hello_html_m46ddd58d.png и hello_html_5632e40a.png являются экстремальными, так как при переходе через эти точки производная меняет знак.
hello_html_6ed628c5.png – точка максимума, так как производная меняет знак с «+» на «–».


ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Экстремум функции
Для функции hello_html_m50076eb0.png точка минимума hello_html_m5e34b1e8.png принимает значение, равное …

Решение:
Для отыскания точек экстремума найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует.
hello_html_m1d1f21d6.png
Заметим, что производная существует для любого значения х, приравняем ее к нулю, получим: hello_html_1b1b0a4b.png
Последнее уравнение имеет корни: hello_html_334b4270.png Отметим найденные значения на числовой прямой. Найдем знак производной hello_html_m798aae97.png на каждом из получившихся промежутков.
hello_html_2c2841cf.png
Точки hello_html_2722009a.png и hello_html_54aa69cb.png являются экстремальными, так как при переходе через эти точки производная меняет знак.
hello_html_31b1a41a.png – точка минимума, так как производная меняет знак с «−» на «+».

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Экстремум функции
Для функции hello_html_31e65916.png точка минимума hello_html_m5e34b1e8.pngпринимает значение, равное …

Решение:
Для отыскания точек экстремума найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. hello_html_m1fea89ff.png
Заметим, что производная существует для любого значения х, приравняем ее к нулю, получим: hello_html_md4f9a79.png
Последнее уравнение имеет корни: hello_html_2646740a.png Отметим найденные значения на числовой прямой. Найдем знак производной hello_html_m37a1533.png на каждом из получившихся промежутков.
hello_html_5f716cc2.png
Точки hello_html_1bd67330.png и hello_html_785d92f6.png являются экстремальными, так как при переходе через эти точки производная меняет знак. hello_html_35f65b16.png – точка минимума, так как производная меняет знак с «−» на «+».


ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Экстремум функции
Для функции hello_html_m50076eb0.png точка минимума hello_html_m5e34b1e8.png принимает значение, равное …

Решение:
Для отыскания точек экстремума найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует.
hello_html_m1d1f21d6.png
Заметим, что производная существует для любого значения х, приравняем ее к нулю, получим: hello_html_1b1b0a4b.png
Последнее уравнение имеет корни: hello_html_334b4270.png Отметим найденные значения на числовой прямой. Найдем знак производной hello_html_m798aae97.png на каждом из получившихся промежутков.
hello_html_2c2841cf.png
Точки hello_html_2722009a.png и hello_html_54aa69cb.png являются экстремальными, так как при переходе через эти точки производная меняет знак.
hello_html_31b1a41a.png – точка минимума, так как производная меняет знак с «−» на «+».


ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Экстремум функции
Для функции hello_html_330bc350.png точка минимума hello_html_m5e34b1e8.png принимает значение, равное …

Решение:
Для отыскания точек экстремума найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует.
hello_html_2763d2ce.png
Заметим, что производная существует для любого значения х, приравняем ее к нулю, получим: hello_html_5ffdc8d4.png
Последнее уравнение имеет корни: hello_html_mfed5898.png Отметим найденные значения на числовой прямой. Найдем знак производной hello_html_17a397a.png на каждом из получившихся промежутков.
hello_html_6b660ce2.png
Точки hello_html_m62b423cc.png и hello_html_54aa69cb.png являются экстремальными, так как при переходе через эти точки производная меняет знак.
hello_html_31b1a41a.png – точка минимума, так как производная меняет знак с «−» на «+».


ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции
Наибольшее значение функции hello_html_6b912f87.png на отрезке hello_html_m1bf67400.png
равно …


Решение:
Заметим, что функция hello_html_241d397f.png непрерывна на отрезке hello_html_m1bf67400.png. Найдем значения функции на концах отрезка:
hello_html_m4a95a7dd.png
Найдем производную данной функции: hello_html_m723842a6.png
Тогда hello_html_m776471cf.png
Так как hello_html_f8c9a2f.png то нужно найти только hello_html_m30afd347.png
hello_html_m1b4b8dd4.png
Сравнивая значения hello_html_m7fe1eee6.png и hello_html_mcdc51fd.png определим, что наибольшее значение функции равно 26.


ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции
Наибольшее значение функции hello_html_521bee97.png на отрезке hello_html_56319c59.png равно …

Решение:
Заметим, что функция hello_html_241d397f.png непрерывна на отрезке hello_html_56319c59.png. Найдем значения функции на концах отрезка:
hello_html_2f0e7eb1.png
Найдем производную данной функции: hello_html_6fc01e8e.png
Тогда hello_html_7be46de3.png
Так как hello_html_m3ff415d4.png то нужно найти только hello_html_17c2815.png hello_html_3c94d444.png
Сравнивая значения hello_html_m12fe9570.png и hello_html_m2c6256cf.png определим, что наибольшее значение функции равно 24.


ЗАДАНИЕ N 8
Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции
Наименьшее значение функции hello_html_m76fa8fe8.png на отрезке hello_html_56319c59.png равно …

Решение:
Заметим, что функция hello_html_241d397f.png непрерывна на отрезке hello_html_56319c59.png. Найдем значения функции на концах отрезка:
hello_html_3cf7b610.png
Найдем производную данной функции: hello_html_m4f87229b.png
Тогда hello_html_m70c72dab.png
Так как найденные значения х принадлежат отрезку hello_html_m2ea61bf8.png то нужно найти hello_html_6b9a9dee.png
hello_html_60c9d1db.png
Сравнивая значения hello_html_m12fe9570.png и hello_html_227973d6.png определим, что наименьшее значение функции равно 10.


ЗАДАНИЕ N 9
Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции
Наименьшее значение функции hello_html_84ecf97.png на отрезке hello_html_m6714d004.png равно …

Решение:
Заметим, что функция hello_html_241d397f.png непрерывна на отрезке hello_html_m7054cd5e.png.
Найдем значения функции на концах отрезка:
hello_html_7bee70b4.png
Найдем производную данной функции.
hello_html_m7cb7b85d.png
Тогда hello_html_m38b3994b.png
Так как hello_html_m450dbeda.png то нужно найти только hello_html_m30afd347.png
hello_html_2fef6af6.png
Сравнивая значения hello_html_m49acde61.png и hello_html_m353dde97.png, определим, что наименьшее значение функции равно 1.


ЗАДАНИЕ N 10
Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции
Наибольшее значение функции hello_html_e819c0f.png на отрезке hello_html_m7054cd5e.png равно …

Решение:
Заметим, что функция hello_html_241d397f.png непрерывна на отрезке hello_html_m7054cd5e.png. Найдем значения функции на концах отрезка:
hello_html_1602f8b7.png
Найдем производную данной функции: hello_html_336302b5.png
Тогда hello_html_4df80443.png
Так как hello_html_m450dbeda.png то нужно найти только hello_html_m30afd347.png
hello_html_2b564daa.png
Сравнивая значения hello_html_m49acde61.png и hello_html_m2c6256cf.png определим, что наибольшее значение функции равно 18.


ЗАДАНИЕ N 11
Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции
Наибольшее значение функции hello_html_6b912f87.png на отрезке hello_html_m1bf67400.png
равно …

Решение:
Заметим, что функция hello_html_241d397f.png непрерывна на отрезке hello_html_m1bf67400.png. Найдем значения функции на концах отрезка:
hello_html_m4a95a7dd.png
Найдем производную данной функции: hello_html_m723842a6.png
Тогда hello_html_m776471cf.png
Так как hello_html_f8c9a2f.png то нужно найти только hello_html_m30afd347.png
hello_html_m1b4b8dd4.png
Сравнивая значения hello_html_m7fe1eee6.png и hello_html_mcdc51fd.png определим, что наибольшее значение функции равно 26.



САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 9

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Экстремум функции
Для функции hello_html_37dc955b.png точка минимума hello_html_m5e34b1e8.pngпринимает значение, равное …

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Экстремум функции
Для функции hello_html_406a2324.png точка минимума hello_html_m5e34b1e8.pngпринимает значение, равное …

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Экстремум функции
Для функции hello_html_5b443915.png точка максимума hello_html_m5e34b1e8.pngпринимает значение, равное …

ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Экстремум функции
Для функции hello_html_m12390151.png точка минимума hello_html_m5e34b1e8.pngпринимает значение, равное …

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Экстремум функции
Для функции hello_html_m5eb945aa.png точка максимума hello_html_m5e34b1e8.pngпринимает значение, равное …

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Экстремум функции
Для функции hello_html_m50076eb0.png точка минимума hello_html_m5e34b1e8.png принимает значение, равное …

ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Экстремум функции
Для функции hello_html_330bc350.png точка минимума hello_html_m5e34b1e8.png принимает значение, равное …

ЗАДАНИЕ N 8
Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции
Наибольшее значение функции hello_html_523843e2.png на отрезке hello_html_m1bf67400.png
равно …

ЗАДАНИЕ N 9
Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции
Наименьшее значение функции hello_html_84ecf97.png на отрезке hello_html_m6714d004.png равно …

ЗАДАНИЕ N 10
Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции
Наименьшее значение функции hello_html_7d998d5b.png на отрезке hello_html_m6714d004.png
равно …





ТЕМА 10 ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ


КОНСПЕКТ 10

10.1 ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

В самой примитивной формулировке дифференциал – это «почти то же самое, что и производная».

Производная функции чаще всего обозначается через hello_html_71e270ca.png.

Дифференциал функции стандартно обозначается через hello_html_m698e9b6f.png (так и читается – «дэ игрек»)

Дифференциал функции одной переменной записывается в следующем виде:

hello_html_m660fb266.png

Другой вариант записи: hello_html_153fe54a.png

Простейшая задача: Найти дифференциал функции hello_html_m5a679f2c.png

1) Первый этап. Найдем производную:

hello_html_m2dcdbca9.png

2) Второй этап. Запишем дифференциал:

hello_html_779c99e4.png

Готово.

Дифференциал функции одной или нескольких переменных чаще всего используют для приближенных вычислений.

Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке hello_html_m5e953b10.png можно использовать формулу: hello_html_10537921.png где hello_html_49c181ef.pngприращение функции в точке hello_html_m49c162d4.png Функция y(x) определяется из условия задачи Значения hello_html_m5e34b1e8.png и hello_html_146b1433.png выбираются так, чтобы можно было вычислить hello_html_m32b66734.png и при этом hello_html_4e138b0d.png, взятое по модулю, было бы как можно меньше.


10.2 ПРИБЛИЖЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Для того, чтобы получить простейшую приближенную формулу для производной, нужно знать только ее определение:

hello_html_m4a6439fc.gif. (3.1)

При малом h можно положить:

hello_html_m35503f22.gif. (3.2)

Это и есть простейшая приближенная формула.

В определении (3.1) h может принимать значения обоих знаков. В дискретной записи принято обозначать через h положительное число, так что можно написать еще одну формулу:

hello_html_468fe787.gif (3.2´)

Какую ошибку мы совершаем, заменяя производную разностным отношением по формуле (3.2)? Это легко сообразить. Напишем:

hello_html_c15e6c1.gifhello_html_2b9c3efb.gif.

Отсюда

hello_html_33e43228.gif,

где m2=min |hello_html_552fbf2f.gif|, M2 = max |hello_html_552fbf2f.gif|. При hello_html_m1759be17.gifошибка стремится к нулю со скоростью h или, как говорят, формула (3.2) имеет первый порядок точности. Сложением формул (3.2) и (3.2') получается симметричная формула:

hello_html_2cfd8af2.gif. (3.3)

Формула (3.3), как легко проверить, точнее формулы (3.2), а именно, ошибка здесь имеет порядок hello_html_m35da442f.gif — это есть формула второго порядка точности потому, что ошибка не превосходит hello_html_4e2abc78.gif, где M3 = max |hello_html_m3b0022d9.gif|. Это увеличение точности получилось только за счет симметрии. Это случается очень часто.

hello_html_7350c39b.jpg

Рис. 1.

На рисунке 1 приведены результаты вычисления производной функции f(x) = sin(x) по трем разностным формулам (3.2, 3.2´ и 3.3) вместе с точным графиком производной.


ПРАКТИКУМ 10

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Дифференциал функции
Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке hello_html_m5e953b10.png можно использовать формулу hello_html_10537921.png где hello_html_49c181ef.pngприращение функции в точке hello_html_m49c162d4.png
Функция y(x) определяется из условия задачи.
Значения hello_html_m5e34b1e8.png и hello_html_146b1433.png выбираются так, чтобы можно было вычислить hello_html_144c9830.png и при этом hello_html_4e138b0d.png, взятое по модулю, было бы как можно меньше.
Тогда приближенное значение выражения hello_html_m4a4c4c83.png равно …

Решение:
hello_html_4551f9dc.png.hello_html_m5cf74569.pngТак как hello_html_m775e04f8.png, то можно рассмотреть функцию hello_html_47744037.png
Пусть hello_html_4e1b1d7f.png тогда hello_html_710f4a40.png
Имеем: hello_html_469451a7.png
hello_html_m20b31fed.png
По формуле hello_html_m36750454.png
получим hello_html_5442f5b0.png



ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Дифференциал функции
Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке hello_html_m5e953b10.png можно использовать формулу: hello_html_10537921.png где hello_html_49c181ef.pngприращение функции в точке hello_html_m49c162d4.png Функция y(x) определяется из условия задачи Значения hello_html_m5e34b1e8.png и hello_html_146b1433.png выбираются так, чтобы можно было вычислить hello_html_m32b66734.png и при этом hello_html_4e138b0d.png, взятое по модулю, было бы как можно меньше.
Тогда наилучшее приближенное значение выражения hello_html_m1d6127e2.png равно …

Решение:
hello_html_766e29be.png.hello_html_m5cf74569.pngТак как hello_html_m304e711b.png, то можно рассмотреть функцию hello_html_m7d773fc4.png
Для hello_html_m7276f18.png имеем: hello_html_6b379f95.png Тогда hello_html_m91e3e3f.png
hello_html_19c1f352.png По формуле hello_html_m36750454.png получим hello_html_m21e872ef.png


ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Дифференциал функции
Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке hello_html_m5e953b10.png можно использовать формулу: hello_html_10537921.png где hello_html_49c181ef.pngприращение функции в точке hello_html_m49c162d4.png Функция y(x) определяется из условия задачи. Значения hello_html_m5e34b1e8.png и hello_html_146b1433.png выбираются так, чтобы можно было вычислить hello_html_m32b66734.png и при этом hello_html_4e138b0d.png, взятое по модулю, было бы как можно меньше.
Тогда наилучшее приближенное значение выражения hello_html_751fa871.png равно …

Решение:
hello_html_1f72b81f.png. Так как hello_html_m1087beac.png, то можно рассмотреть функцию hello_html_m142b6b1e.png
Для hello_html_abc5c6a.png имеем: hello_html_m3af93fd4.png Тогда hello_html_57fbf43f.png
hello_html_3050d73d.png
По формуле hello_html_mf3da730.png получим: hello_html_5c6c3a4.png


САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 10

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Дифференциал функции
Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке hello_html_m5e953b10.png можно использовать формулу: hello_html_10537921.png где hello_html_49c181ef.pngприращение функции в точке hello_html_m49c162d4.png Функция y(x) определяется из условия задачи. Значения hello_html_m5e34b1e8.png и hello_html_146b1433.png выбираются так, чтобы можно было вычислить hello_html_m32b66734.png и при этом hello_html_4e138b0d.png, взятое по модулю, было бы как можно меньше.
Тогда наилучшее приближенное значение выражения hello_html_66482c4.png равно …

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Дифференциал функции
Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке hello_html_m5e953b10.png
можно использовать формулу: hello_html_10537921.png где hello_html_49c181ef.pngприращение функции в точке hello_html_m49c162d4.png Функция y(x) определяется из условия задачи. Значения hello_html_m5e34b1e8.png и hello_html_146b1433.png выбираются так, чтобы можно было вычислить hello_html_m32b66734.png и при этом hello_html_4e138b0d.png, взятое по модулю, было бы как можно меньше.
Тогда наилучшее приближенное значение выражения hello_html_m221bc554.png равно …

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Дифференциал функции
Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке hello_html_m5e953b10.png можно использовать формулу hello_html_10537921.png где hello_html_49c181ef.pngприращение функции в точке hello_html_m49c162d4.png
Функция y(x) определяется из условия задачи.
Значения hello_html_m5e34b1e8.png и hello_html_146b1433.png выбираются так, чтобы можно было вычислить hello_html_144c9830.png и при этом hello_html_4e138b0d.png, взятое по модулю, было бы как можно меньше.
Тогда приближенное значение выражения hello_html_m2a391c0d.png равно …

ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Дифференциал функции
Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке hello_html_m5e953b10.png можно использовать формулу hello_html_10537921.png где hello_html_49c181ef.pngприращение функции в точке hello_html_m49c162d4.png
Функция y(x) определяется из условия задачи.
Значения hello_html_m5e34b1e8.png и hello_html_146b1433.png выбираются так, чтобы можно было вычислить hello_html_144c9830.png и при этом hello_html_4e138b0d.png, взятое по модулю, было бы как можно меньше.
Тогда приближенное значение выражения hello_html_m6b613fe3.png равно …



РАЗДЕЛ 4

ТЕМА 11 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

КОНСПЕКТ 11

1.1 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Итак, начинаем с простого. Посмотрим на таблицу интегралов. Как и в производных, мы замечаем несколько правил интегрирования и таблицу интегралов от некоторых элементарных функций. Нетрудно заметить, что любой табличный интеграл (да и вообще любой неопределенный интеграл) имеет вид:

hello_html_m2b7249ba.png

Сразу разбираемся в обозначениях и терминах:

hello_html_7e538651.png– значок интеграла.

hello_html_m1f36a008.png – подынтегральная функция (пишется с буквой «ы»).

hello_html_m75812b69.png – значок дифференциала. При записи интеграла и в ходе решения важно не терять данный значок. Заметный недочет будет.

hello_html_4cd4c6aa.png – подынтегральное выражение или «начинка» интеграла.

hello_html_5561e8ba.png – первообразная функция.

hello_html_331d06d3.png – множество первообразных функций. Не нужно сильно загружаться терминами, самое важное, что в любом неопределенном интеграле к ответу приплюсовывается константа hello_html_40ce398e.png.

Решить интеграл – это значит найти определенную функцию hello_html_m34a7d711.png, пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей.

Еще раз посмотрим на запись:

hello_html_m3042704b.png

Посмотрим в таблицу интегралов.

Что происходит? Левые части hello_html_56cfc982.png у нас превращаются в другие функции: hello_html_m34a7d711.png.

Упростим наше определение.

Решить неопределенный интеграл hello_html_56cfc982.png – это значит ПРЕВРАТИТЬ его в определенную функцию hello_html_331d06d3.png, пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей.

Возьмем, например, табличный интеграл hello_html_m5a01b45c.png. Что произошло? hello_html_m68a54d23.png превратился в функцию hello_html_59850ffc.png.

Как и в случае с производными, для того, чтобы научиться находить интегралы, не обязательно быть в курсе, что такое интеграл, первообразная функция с теоретической точки зрения. Достаточно просто осуществлять превращения по некоторым формальным правилам. Так, в случае hello_html_m5a01b45c.png совсем не обязательно понимать, почему интегралhello_html_m68a54d23.png превращается именно в hello_html_59850ffc.png. Можно принять эту и другие формулы как данность. Все пользуются электричеством, но мало кто задумывается, как там по проводам бегают электроны.

Так как дифференцирование и интегрирование – противоположные операции, то для любой первообразной, которая найдена правильно, справедливо следующее:

hello_html_7f5145ef.png

Иными словами, если продифференцировать правильный ответ, то обязательно должна получиться исходная подынтегральная функция.

Вернемся к тому же табличному интегралу hello_html_m5a01b45c.png.

Убедимся в справедливости данной формулы. Берем производную от правой части:

hello_html_m3d602201.png – исходная подынтегральная функция.

Вот, кстати, стало понятнее, почему к функции hello_html_5561e8ba.png всегда приписывается константа hello_html_40ce398e.png. При дифференцировании константа всегда превращается в ноль.

Решить неопределенный интеграл – это значит найти множество всех первообразных, а не какую-то одну функцию. В рассматриваемом табличном примере hello_html_mf1195ac.png, hello_html_36600f8f.png, hello_html_1f03ea04.png, hello_html_mac9107b.png и т. д. – все эти функции являются решением интеграла hello_html_m68a54d23.png. Решений бесконечно много, поэтому записывают коротко: hello_html_m26599a3b.png

Таким образом, любой неопределенный интеграл достаточно легко проверить (в отличие от производных, где хорошую стопудовую проверку можно осуществить разве что с помощью математических программ). Это некоторая компенсация за большое количество интегралов разных видов.

Переходим к рассмотрению конкретных примеров. Начнем, как и при изучении производной, с двух правил интегрирования:

hello_html_bedf681.png – константу hello_html_40ce398e.png можно (и нужно) вынести за знак интеграла.

hello_html_16bb0b0.png – интеграл суммы двух функций равен сумме двух интегралов. Данное правило справедливо для любого количества слагаемых.

Как видите, правила, в принципе, такие же, как и для производных. Иногда их называют свойствами линейности интеграла.

Особое внимание обращаю на формулу интегрирования степенной функции hello_html_2e628a9b.png, она встречается очень часто, ее лучше запомнить. Следует отметить, что табличный интеграл hello_html_m4fb86d3e.png – частный случай этой же формулы: hello_html_452d945d.png.

Пример 1

Найти неопределенный интеграл.
hello_html_24a51445.png

Решение: Анализируя интеграл, мы видим, что у нас произведение двух функций, да еще и возведение в степень целого выражения. К сожалению, на поприще интегральной битвы нет хороших и удобных формул для интегрирования произведения и частного hello_html_6b008b27.jpg, hello_html_m37bcdd4e.jpg.

А поэтому, когда дано произведение или частное, всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли преобразовать подынтегральную функцию в сумму?

Рассматриваемый пример – тот случай, когда можно. Сначала я приведу полное решение, комментарии будут ниже.

hello_html_m1646b64e.png

(1) Используем старую - добрую формулу квадрата суммы hello_html_m72ebd71f.png, избавляясь от степени.

(2) Вносим hello_html_6d01c425.png в скобку, избавляясь от произведения.

(3) Используем свойства линейности интеграла (оба правила сразу).

(4) Превращаем интегралы по табличной формуле hello_html_m68997b98.png.

(5) Упрощаем ответ. Здесь следует обратить внимание на обыкновенную неправильную дробь hello_html_6409a928.png – она несократима и в ответ входит именно в таком виде.


11.2 МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов – методом замены переменной. Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами:

– Подведение функции под знак дифференциала.
– Собственно замена переменной.

По сути дела, это одно и то же, но оформление решения выглядит по-разному.

Начнем с более простого случая.


Подведение функции под знак дифференциала

hello_html_73a58450.png То есть, раскрыть дифференциал – это почти то же самое, что найти производную.

Пример 1

Найти неопределенный интеграл. hello_html_52e06806.png

Смотрим на таблицу интегралов и находим похожую формулу: hello_html_m5a01b45c.png. Но проблема заключается в том, что у нас под синусом не просто буковка «икс», а сложное выражение. Что делать?

Подводим функцию hello_html_4379535e.png под знак дифференциала:
hello_html_m6ab50f49.png

Раскрывая дифференциал, легко проверить, что:
hello_html_3a6e697.png

Фактически hello_html_52e06806.png и hello_html_1d84f3a5.png – это запись одного и того же.

Но, тем не менее, остался вопрос, а как мы пришли к мысли, что на первом шаге нужно записать наш интеграл именно так: hello_html_6f9fee3c.png?  Почему так, а не иначе?

Формула hello_html_m5a01b45c.png (и все другие табличные формулы) справедливы и применимы НЕ ТОЛЬКО для переменной hello_html_m61f18daf.png, но и для любого сложного выражения ЛИШЬ БЫ АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ (hello_html_m450a6b41.png – в нашем примере) И ВЫРАЖЕНИЕ ПОД ЗНАКОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛА БЫЛИ ОДИНАКОВЫМИ.

Поэтому мысленное рассуждение при решении должно складываться примерно так: «Мне надо решить интеграл hello_html_52e06806.png. Я посмотрел в таблицу и нашел похожую формулу hello_html_m5a01b45c.png. Но у меня сложный аргумент hello_html_4379535e.png и формулой я сразу воспользоваться не могу. Однако если мне удастся получить hello_html_4379535e.png и под знаком дифференциала, то всё будет нормально. Если я запишу hello_html_93ddc38.png, тогда hello_html_1d102aff.png. Но в исходном интеграле hello_html_m52918cb7.png множителя-тройки нет, поэтому, чтобы подынтегральная функция не изменилась, мне надо ее домножить на hello_html_770e3294.png». В ходе примерно таких мысленных рассуждений и рождается запись:

hello_html_m6ab50f49.png

Теперь можно пользоваться табличной формулой hello_html_m5a01b45c.png:

hello_html_58bd223f.png
Готово

При определенном опыте решения интегралов, подобные примеры будут казаться лёгкими, и щелкаться как орехи:

hello_html_4fb0d488.png

hello_html_m2fac4c82.png

hello_html_70030e22.png

hello_html_m500d5622.png

hello_html_6d6f5e88.png


Метод замены переменной в неопределенном интеграле

Переходим к рассмотрению общего случая – метода замены переменных в неопределенном интеграле.


Пример 2

Найти неопределенный интеграл.
hello_html_52e06806.png

Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой.
В данном случае напрашивается: hello_html_e4245ea.png
Вторая по популярности буква для замены – это буква hello_html_m7b8eb911.png.
В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций.

Итак: hello_html_m54c2c527.jpg
Но при замене у нас остаётся hello_html_m75812b69.png! Наверное, многие догадались, что если осуществляется переход к новой переменной hello_html_m69b217a4.png, то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву hello_html_m69b217a4.png, и дифференциалу hello_html_m75812b69.png там совсем не место.
Следует логичный вывод, что hello_html_m75812b69.png нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от hello_html_m69b217a4.png.

Действие следующее. После того, как мы подобрали замену, в данном примере,  hello_html_e4245ea.png, нам нужно найти дифференциал hello_html_m692c487e.png. Так как hello_html_e4245ea.png, то

hello_html_mbeb10a2.png

После разборок с дифференциалом окончательный результат рекомендую переписать максимально коротко: hello_html_57456518.png
Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам hello_html_m75812b69.png:
hello_html_23afcab3.png

В итоге: hello_html_50520509.jpg 
Таким образом:
hello_html_1cc8c09f.png
А это уже самый что ни на есть табличный интеграл hello_html_m5a01b45c.png (таблица, интегралов, естественно, справедлива и для переменной hello_html_m69b217a4.png).

hello_html_1edd9417.png
В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что hello_html_e4245ea.png.

hello_html_642eb40b.png
Готово.

11.3 ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

hello_html_m56181f05.jpg





ПРАКТИКУМ 11

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл hello_html_m6d45461c.png равен …

Решение:
Напоминаем, что интеграл суммы двух функций равен сумме интегралов этих функций hello_html_1e9be753.png и постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: hello_html_77e3061b.png
Тогда, используя формулу hello_html_mb4b92c0.png, получим:
hello_html_m62972e31.png


ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Методы вычисления неопределенных интегралов
hello_html_54ee25b7.png …

Решение:
Подстановка hello_html_52cfead2.png приводит рассматриваемый интеграл к табличному: hello_html_m2f41aefc.png Найдем дифференциал от обеих частей подстановки: hello_html_61fbe467.png, тогда hello_html_1d77c65e.png Подставим получившиеся выражения в исходный интеграл:
hello_html_m6a746a88.png Заменив hello_html_35afd7e1.png его выражением из подстановки, получим: hello_html_m6fb29045.png


ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Неопределенный интеграл
hello_html_5b44cab0.png …

Решение:
Напоминаем, что интеграл разности двух функций равен разности интегралов этих функций hello_html_m6f683f94.png и постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: hello_html_m5c377010.png
Тогда, используя формулу hello_html_m234dae64.png, получим:
hello_html_73498fa9.png


ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Методы вычисления неопределенных интегралов
hello_html_m1c94be50.png …

Решение:
Подстановка hello_html_27e448f9.png приводит рассматриваемый интеграл к табличному: hello_html_6b891797.png Найдем дифференциал от обеих частей подстановки: hello_html_m5072b960.png, тогда hello_html_m6c8dfea2.png Подставим получившиеся выражения в исходный интеграл: hello_html_m70fbe4cd.png Заменив hello_html_35afd7e1.png его выражением из подстановки, получим: hello_html_573180dd.png


ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл hello_html_m4955a570.png равен …

Решение:
Напоминаем, что постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: hello_html_77e3061b.png
Тогда, используя формулу hello_html_70d05a4e.png, получим:
hello_html_m49ec7ad2.png

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Методы вычисления неопределенных интегралов
hello_html_m5d3f8734.png …

Решение:
Подстановка hello_html_47bd8fc9.png приводит рассматриваемый интеграл к табличному: hello_html_m10c84d79.png Найдем дифференциал от обеих частей подстановки: hello_html_m303447b7.png, тогда hello_html_m7e21dfec.png Подставим получившиеся выражения в исходный интеграл:
hello_html_352a819c.png Заменив hello_html_35afd7e1.png его выражением из подстановки, получим: hello_html_m405bcc4f.png


ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Методы вычисления неопределенных интегралов
hello_html_62f71d8f.png …

Решение:
Подстановка hello_html_5ff0e232.png приводит рассматриваемый интеграл к табличному: hello_html_m28edc9cf.png Найдем дифференциал от обеих частей подстановки: hello_html_m7fde09d3.png, тогда hello_html_m6a3f5a02.png Подставим получившиеся выражения в исходный интеграл: hello_html_m1590a83a.png Заменив hello_html_35afd7e1.png его выражением из подстановки, получим: hello_html_m88b62f5.png



ЗАДАНИЕ N 8
Тема: Неопределенный интеграл
hello_html_m4c8d8a4e.png …

Решение:
Напоминаем, что интеграл суммы двух функций равен сумме интегралов этих функций hello_html_m580f8a17.png и постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: hello_html_m5c377010.png
Тогда, используя формулу hello_html_m27a790f0.png, получим:
hello_html_m4fe3d74e.png


ЗАДАНИЕ N 9
Тема: Методы вычисления неопределенных интегралов
Неопределенный интеграл hello_html_mad03e8a.png равен …

Решение:
Обращаем внимание, что подстановка hello_html_m5b945a18.png приводит рассматриваемый интеграл к табличному: hello_html_4b653f74.png
Найдем дифференциал от обеих частей подстановки: hello_html_m2958a5ac.png, тогда
hello_html_m326834a4.png Подставим получившиеся выражения в исходный интеграл:
hello_html_1098f62c.png
Заменив hello_html_35afd7e1.png его выражением из подстановки, получим:
hello_html_68c68917.png


ЗАДАНИЕ N 10
Тема: Методы вычисления неопределенных интегралов
hello_html_m4fe1bc8e.png …

Решение:
Подстановка hello_html_1d03a3c4.png приводит рассматриваемый интеграл к табличному: hello_html_m172417bc.png Найдем дифференциал от обеих частей подстановки: hello_html_m620350c6.png, тогда hello_html_4af7066d.png Подставим получившиеся выражения в исходный интеграл:
hello_html_m32f35c88.png Заменив hello_html_35afd7e1.png его выражением из подстановки, получим: hello_html_46c5867.png





САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 11

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Неопределенный интеграл
hello_html_b393eac.png …

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Неопределенный интеграл
hello_html_m19d58628.png …

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Методы вычисления неопределенных интегралов
hello_html_m4a3c341f.png …

 ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Неопределенный интеграл
hello_html_60385e76.png …

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Методы вычисления неопределенных интегралов
Неопределенный интеграл hello_html_5582a448.png равен …

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Неопределенный интеграл
hello_html_m19d58628.png …

ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Методы вычисления неопределенных интегралов
hello_html_50b7ee44.png …

ЗАДАНИЕ N 8
Тема: Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл hello_html_m56b03269.png равен …
ЗАДАНИЕ N 9 Тема: Неопределенный интеграл

hello_html_m754d56cc.png 

ЗАДАНИЕ N 10 Тема: Неопределенный интеграл
hello_html_1867edaf.png …

ТЕМА 12 ОПРЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

КОНСПЕКТ 12


14.1 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Как решить определенный интеграл? С помощью знакомой с первого курса формулы Ньютона-Лейбница:

hello_html_6f1ddcba.png

Этапы решения определенного интеграла следующие:

1) Сначала находим первообразную функцию hello_html_m38626e80.png (неопределенный интеграл). Обратите внимание, что константа hello_html_40ce398e.png в определенном интеграле никогда не добавляется. Обозначение hello_html_381da4f9.png  является чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического смысла, по сути – это просто отчёркивание. Зачем нужна сама запись hello_html_6f8f5955.png?  Подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.

2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: hello_html_m7e23f684.png.

3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: hello_html_5a57fe51.png.

4) Рассчитываем (без ошибок!) разность hello_html_m2c17a836.png, то есть, находим число.

Готово.


14.2 СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

В определенном интеграле можно переставить верхний и нижний предел, сменив при этом знак:

hello_html_669726fa.png

Например, в определенном интеграле перед интегрированием hello_html_m2a3151eb.png целесообразно поменять пределы интегрирования на «привычный» порядок:

hello_html_3d01bbae.png – в таком виде интегрировать  значительно удобнее.

Как и для неопределенного интеграла, для определенного интеграла справедливы свойства линейности:

hello_html_4c6af9fb.png

hello_html_669b83e5.png – это справедливо не только для двух, но и для любого количества функций.


В определенном интеграле можно проводить замену переменной интегрирования, правда, по сравнению с неопределенным интегралом тут есть своя специфика, о которой мы еще поговорим.

Для определенного интеграла справедлива формула интегрирования по частям:
hello_html_18ff7ded.png


Пример 1

Вычислить определенный интеграл
hello_html_m478212f5.png

Решение:
hello_html_29cf7dea.png

СЛАБОЕ ЗВЕНО в определенном интеграле – это ошибки вычислений и часто встречающаяся ПУТАНИЦА В ЗНАКАХ. Будьте внимательны! Особое внимание заостряю на третьем слагаемом: hello_html_m14d70488.png – первое место в хит-параде ошибок по невнимательности, очень часто машинально пишут hello_html_77bb5e90.png (особенно, когда подстановка верхнего и нижнего предела проводится устно и не расписывается так подробно).


ПРАКТИКУМ 12

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница
Определенный интеграл hello_html_365813c4.png равен …

Решение:
Напоминаем, что формула Ньютона – Лейбница имеет вид:
hello_html_m3f2c1ef8.png
Тогда, используя формулу hello_html_65d6319f.png, имеем:
hello_html_7db6fbf8.png

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Свойства определенного интеграла
hello_html_5aeb30a.png …

Решение:
Используя свойство интеграла hello_html_41cbbe98.png и применяя формулу Ньютона – Лейбница hello_html_m5ad23917.png, получим:
hello_html_7eed6939.png

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Свойства определенного интеграла
Определенный интеграл hello_html_m3323640d.png равен …

Решение:
Обращаем внимание, что используя свойства интеграла
hello_html_4f8a10a1.png и
hello_html_m350df001.png, исходный интеграл можно представить в виде разности двух выражений и, применяя формулу Ньютона – Лейбница
hello_html_m5ad23917.png, получим:
hello_html_m71fce256.png

ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Свойства определенного интеграла
Определенный интеграл hello_html_m25a44d0b.png равен …

Решение:
Обращаем внимание, что используя свойства интеграла
hello_html_1e9be753.png и
hello_html_m350df001.png, исходный интеграл можно представить в виде суммы двух слагаемых и, применяя формулу Ньютона – Лейбница
hello_html_m5ad23917.png, получим:
hello_html_m2433ccc4.png


ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Свойства определенного интеграла
hello_html_43db457.png …

Решение:
Используя свойства интеграла hello_html_62243426.png и
hello_html_41cbbe98.png, исходный интеграл можно представить в виде разности двух выражений и, применяя формулу Ньютона – Лейбница
hello_html_m5ad23917.png, получим:

hello_html_34b11f65.png

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Свойства определенного интеграла
hello_html_49b69de1.png …

Решение:
Используя свойство интеграла hello_html_41cbbe98.png и применяя формулу Ньютона – Лейбница hello_html_m5ad23917.png, получим:
hello_html_m56a3f029.png


ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница
Определенный интеграл hello_html_m3e7a7ff3.png равен …

Решение:
Напоминаем, что формула Ньютона – Лейбница имеет вид:
hello_html_m3f2c1ef8.png
Тогда, используя формулу hello_html_ma2484dc.png, имеем:
hello_html_m327f4bc0.png

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 12

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница
hello_html_3b727f64.png …

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница
hello_html_m62734e0e.png …

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Свойства определенного интеграла
hello_html_7f49a722.png …

ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Свойства определенного интеграла
Определенный интеграл hello_html_177a7ae2.png равен …

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница
Определенный интеграл hello_html_m7940c49d.png равен …

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница
Определенный интеграл hello_html_365813c4.png равен …

ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница
hello_html_m154d5c5f.png …

ЗАДАНИЕ N 8
Тема: Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница
hello_html_5b105204.png …

ЗАДАНИЕ N 9
Тема: Свойства определенного интеграла
hello_html_m65ff9971.png …

ТЕМА 13 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

КОНСПЕКТ 13

13.1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА


Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная графиком некоторой функции hello_html_m372913ac.png, осью hello_html_6a0a66a6.png и прямыми hello_html_m33d61ca2.png, hello_html_m6c9469fb.png:

hello_html_307d2f6f.jpg

Площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу hello_html_383b5e9a.png. У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл. С точки зрения геометрии определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ.

То есть,  определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры. Например, рассмотрим определенный интеграл hello_html_2e70f061.png. Подынтегральная функция hello_html_7b952762.png задает на плоскости некоторую кривую (её можно всегда при желании начертить), а сам определенный интеграл hello_html_2e70f061.png численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.


Пример 1

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями hello_html_m54963b25.png, hello_html_m3b4d3844.png, hello_html_m68089d4b.png, hello_html_m601cd538.png.

Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения – построение чертежа. Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО

При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. Графики функций выгоднее строить поточечно. В данной задаче решение может выглядеть так.
Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение hello_html_m3b4d3844.png задает ось hello_html_6a0a66a6.png):

hello_html_m1b9757a1.png
Штриховать криволинейную трапецию я не буду, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:

На отрезке hello_html_42203a4a.png  график функции hello_html_m54963b25.png расположен над осью hello_html_6a0a66a6.png, поэтому:

hello_html_5761658d.png

Ответ: hello_html_m2c4f15b6.png

У кого возникли трудности с вычислением определенного интеграла и применением формулы Ньютона-Лейбница hello_html_6f1ddcba.png.


13.2 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА

Физический смысл определенного интеграла в механике состоит в том, что путь hello_html_10102248.png, пройденный телом за отрезок времени от hello_html_2693ef47.pngдо hello_html_2a493340.png, движущимся прямолинейно со скоростью hello_html_m7f6b5176.png, вычисляется по формуле:
hello_html_m5778723c.png.



ПРАКТИКУМ 13

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Физические приложения определенного интеграла
Скорость движения тела задана уравнением hello_html_24e6077a.png. Тогда путь, пройденный телом за 9  секунд от начала движения, равен …

Решение:
Напоминаем, что путь hello_html_10102248.png, пройденный телом за отрезок времени от hello_html_2693ef47.pngдо hello_html_2a493340.png, движущимся прямолинейно со скоростью hello_html_m7f6b5176.png, вычисляется по формуле:
hello_html_m5778723c.png.
Тогда, используя условие, имеем:
hello_html_m9683c33.png

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Физические приложения определенного интеграла
Скорость движения тела задана уравнением hello_html_3920cca0.png. Тогда путь, пройденный телом за 2  секунды от начала движения, равен …

Решение:
Напоминаем, что путь hello_html_10102248.png, пройденный телом за отрезок времени от hello_html_2693ef47.pngдо hello_html_2a493340.png, движущимся прямолинейно со скоростью hello_html_m7f6b5176.png, вычисляется по формуле:
hello_html_655033ad.png
Тогда, используя условие, имеем:
hello_html_m6b51266f.png

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Геометрические приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, ограниченной параболой hello_html_m6c85f4cc.png и осью ОХ, равна …

Решение:
Обращаем внимание, что площадь данной плоской фигуры вычисляется по формуле hello_html_m4836aa3a.png
В данной задаче сначала необходимо найти пределы интегрирования (точки пересечения параболы с осью ОХ): hello_html_61b0d948.png
Тогда
hello_html_m1f8b5d0d.png
Площадь фигуры равна hello_html_36348fe7.png (кв. ед.).


ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Физические приложения определенного интеграла
Скорость движения тела задана уравнением hello_html_4301c72.png. Тогда путь, пройденный телом за время от второй секунды до шестой секунды движения, равен …

Решение:
Напоминаем, что путь hello_html_10102248.png, пройденный телом за отрезок времени от hello_html_2693ef47.pngдо hello_html_2a493340.png, движущимся прямолинейно со скоростью hello_html_m7f6b5176.png, вычисляется по формуле:
hello_html_m5778723c.png.
Тогда, используя условие, имеем:
hello_html_m59d216e8.png

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Геометрические приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, ограниченной параболой hello_html_m7b197540.png и осью ОХ, равна …

Решение:
Обращаем внимание, что площадь данной плоской фигуры вычисляется по формуле hello_html_m4836aa3a.png
В данной задаче сначала необходимо найти пределы интегрирования (точки пересечения параболы с осью ОХ): hello_html_726d4bd3.png
Тогда
hello_html_m580a2367.png
Площадь фигуры равна hello_html_22d3b938.png (кв. ед.).


ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Физические приложения определенного интеграла
Скорость движения тела задана уравнением hello_html_m6d892e01.png. Тогда путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, равен …

Решение:
Напоминаем, что путь hello_html_10102248.png, пройденный телом за отрезок времени от hello_html_2693ef47.pngдо hello_html_2a493340.png, движущимся прямолинейно со скоростью hello_html_m7f6b5176.png, вычисляется по формуле:
hello_html_m5778723c.png.
Тогда, используя условие, имеем:
hello_html_m5da156d0.png


САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 13

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Геометрические приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, ограниченной параболой hello_html_m68e2d916.png и осью ОХ, равна …

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Физические приложения определенного интеграла
Скорость движения тела задана уравнением hello_html_101c3b91.png. Тогда путь, пройденный телом за время от второй секунды до четвертой секунды движения, равен …

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Физические приложения определенного интеграла
Скорость движения тела задана уравнением hello_html_460701e6.png. Тогда путь, пройденный телом за 3  секунды от начала движения, равен …

ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Физические приложения определенного интеграла
Скорость движения тела задана уравнением hello_html_m771ca3d3.png. Тогда путь, пройденный телом за 4  секунды от начала движения, равен …

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Геометрические приложения определенного интеграла
Площадь фигуры, ограниченной параболой hello_html_1500ee57.png и осью ОХ, равна …

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Физические приложения определенного интеграла
Скорость движения тела задана уравнением hello_html_7188fa9f.png. Тогда путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения, равен …

ЗАДАНИЕ N 7

Тема: Физические приложения определенного интеграла
Скорость движения тела задана уравнением hello_html_25a861f7.png. Тогда путь, пройденный телом за 3  секунды от начала движения, равен …



 




РАЗДЕЛ 5.


ТЕМА 14 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ


КОНСПЕКТ 14


14.1 ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ


  1. перестановки hello_html_19c1fcad.gif

  2. размещения hello_html_m3143314a.gif

  3. сочетания hello_html_68a0f53c.gif


14.2 КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ


hello_html_e4f5817.gif- число благоприятствующих событию A исходов, n – число всех элементарных равновозможных исходов.


Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

hello_html_5977d3f9.gif

Теорема сложения вероятностей совместных событий:

hello_html_m308f149c.gif


Теорема умножения вероятностей независимых событий:

hello_html_9f5338c.gif

Теорема умножения вероятностей зависимых событий:

hello_html_2b290cbf.gif

hello_html_6817f803.gif- условная вероятность события A при условии, что произошло событие B.

hello_html_1fe77a67.gif- условная вероятность события B при условии, что произошло событие A.


14.3 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ


Закон распределения дискретной случайной величины


hello_html_m53d4ecad.gifxi

hello_html_m53d4ecad.gifx1

hello_html_m53d4ecad.gifx2

……

hello_html_m53d4ecad.gifxn

pi

p1

p2

……

pn


Сумма вероятностей всегда равна 1. hello_html_m47a8950a.gif

Функция распределения случайной величины

Функция распределения случайной величины X определяется по формуле

F(x) = P (X < x). Это неубывающая функция, принимающая значения от 0 до 1.

Математическое ожидание случайной величины

  1. Для дискретной случайной величины X, заданной рядом распределения:

hello_html_55538830.gif

1) Для непрерывной случайной величины X, заданной плотностью распределения:

hello_html_m3113b2cc.gif

Дисперсия случайной величины


По определению дисперсия – это второй центральный момент:

hello_html_eb2fdde.gif

  1. Для дискретной случайной величины X, заданной рядом распределения:

hello_html_mdad5eef.gif

  1. Для непрерывности случайной величины X, заданной плотностью распределения:

hello_html_m7e2dd39e.gif


Среднее квадратическое отклонение случайной величины

hello_html_m486467f2.png

Распределения случайных величин


Биномиальное распределение (дискретное)

X – количество «успехов» в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна hello_html_m3d830a94.gif


Закон распределения X имеет вид:


xk

0

1

……

k

……

n

pk

qn

hello_html_3736190.gif


hello_html_525aa855.gif


pn


Здесь вероятности находятся по формуле Бернулли: hello_html_7471c5a0.gif

Характеристики: hello_html_3e7166a7.gif


Примеры многоугольников распределения для n=5 и различных вероятностей:


hello_html_481a57da.png


Пуассоновское распределение (дискретное)

Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

При условии p →0, n hello_html_m74e6612e.gif, np hello_html_77ac6a1.gifзакон распределения Пуассона является предельным случаем биномиального закона. Так как при этом вероятность p события A в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называют часто законом редких явлений.


Ряд распределения:


xk

0

1

……

k

……

pk

ehello_html_2b77ac9e.gif

hello_html_m5ba5628.gif

……

hello_html_6aa73205.gif

……


Вероятности вычисляются по формуле Пуассона: hello_html_m10296103.gif

Числовые характеристики: hello_html_m3e9f2886.gif


Разные многоугольники распределения при hello_html_37ce8393.gif


hello_html_m3611dfe5.png


ПРАКТИКУМ 14 

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Классическое определение вероятности
Бросают игральную кость. Число очков, меньшее 4, выпадет с вероятностью,
равной …

Решение:
Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа благоприятных для А исходов к числу всех равновозможных исходов. По условию задачи число благоприятных исходов, то есть количество выпадений чисел, меньшее 4, равно 3 (выпали числа 1, 2, или 3). Число всех равновозможных исходов равно 6, тогда hello_html_m76b97f7f.png

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Классическое определение вероятности
В урне 10 шаров, имеющих номера: 1, 2, …, 10. Наугад вынутый шар имеет номер, больший 4, с вероятностью, равной …

Решение:
Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа благоприятных для А исходов к числу всех равновозможных исходов. По условию задачи число благоприятных исходов, то есть количество выпадений номеров больших 4, равно  6 (выпали номера 5, 6, 7, 8, 9 или 10). Число всех равновозможных исходов равно 10, тогда hello_html_66a1e952.png

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей
Имеются два пакета семян, имеющих всхожесть hello_html_4294bc84.png и hello_html_feae4fe.png соответственно.
Вероятность того, что после посадки всех семян из обоих пакетов не взойдет ни одно семя, равна …

Решение:
Пусть событие А означает, что не взойдет ни одно семя из первого пакета, тогда hello_html_m25885ebd.png Событие В означает, что не взойдет ни одно семя из второго пакета, тогда hello_html_m528da3bf.png События А и В являются независимыми. Тогда вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: hello_html_50fc1b95.png

ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей
Первый спортсмен попадает в мишень с вероятностью hello_html_m516862b4.png, а второй – с
вероятностью hello_html_m4c494950.png. Оба спортсмена стреляют одновременно. Вероятность того, что они оба попадут в мишень, равна …

Решение:
Пусть событие А означает, что первый спортсмен попадет в мишень, тогда hello_html_m348df21d.png. Событие В означает, что второй спортсмен попадет в мишень, тогда hello_html_m1aea4aef.png. События А и В являются независимыми. Тогда вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
hello_html_m57dd4e2f.png

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Элементы комбинаторики
Пин-код пластиковой карты состоит из 6 цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Если бы каждая цифра встречалась ровно один раз, то максимальное количество карт с такими кодами было бы равно …

Решение:
Число различных кодов, состоящих из 6 цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, в которых каждая цифра встречается ровно один раз, равно числу перестановок из шести элементов: hello_html_4cb39ee0.png

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Элементы комбинаторики
Пароль состоит из 3 букв слова «код». Каждая буква может встречаться ровно один раз. Тогда максимальное количество возможных паролей равно …

Решение:
Число различных паролей, состоящих из 3 букв слова «код», в которых каждая буква встречается ровно один раз, равно числу перестановок из трех элементов: hello_html_m6e79c72e.png

ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Элементы комбинаторики
Автомобилю может быть присвоен номер, состоящий из 4 цифр: 1, 3, 5, 7, 9. Цифры в номере повторяться не могут. Тогда максимальное количество автомобилей, которым могут быть присвоены такие номера, равно …

Решение:
Число различных номеров из 5 цифр: 1, 3, 5, 7, 9, в которых каждая цифра встречается ровно один раз, равно числу перестановок из пяти элементов: hello_html_m430f2bcb.png

ЗАДАНИЕ N 8
Тема: Математическое ожидание дискретной случайной величины
Математическое ожидание М(Х) случайной величины, имеющей закон распределения вероятностей hello_html_6afbcded.png, равно …

Решение:
По определению hello_html_3ce301a4.png где hello_html_m1e8a1b9d.png – значение дискретной случайной величины; а hello_html_m5d530f61.png – вероятность, с которой дискретная случайная величина принимает значение hello_html_39c87e72.png
Тогда hello_html_m6a8988ef.png

ЗАДАНИЕ N 9

Тема: Математическое ожидание дискретной случайной величины
Математическое ожидание М(Х) случайной величины, имеющей закон распределения вероятностей hello_html_141e0dc4.png, равно …

Решение:
Воспользуемся формулой hello_html_3ce301a4.png где hello_html_m1e8a1b9d.png – значение дискретной случайной величины; а hello_html_m5d530f61.png – вероятность, с которой дискретная случайная величина принимает значение hello_html_m1e8a1b9d.png.
Тогда hello_html_6050a59a.png


 

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 14

 ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Классическое определение вероятности
Бросают игральную кость. Число очков, большее 3, выпадет с вероятностью,
равной …

 ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Классическое определение вероятности
Бросают игральную кость. Число очков, большее 4, выпадет с вероятностью,
равной …

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Классическое определение вероятности
Бросают игральную кость. Число очков, большее 4, выпадет с вероятностью,
равной …

ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Классическое определение вероятности
В урне 10 шаров, имеющих номера: 1, 2, …, 10. Наугад вынутый шар имеет номер, меньший 4 с вероятностью, равной …

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей
Первый спортсмен попадает в мишень с вероятностью hello_html_m10968e90.png, а второй – с
вероятностью hello_html_48970e73.png. Оба спортсмена стреляют одновременно. Вероятность того, что они оба попадут в мишень, равна …

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей
Имеются два пакета семян, имеющих всхожесть hello_html_m1ae78246.png и hello_html_48970e73.png соответственно.
Вероятность того, что после посадки всех семян из обоих пакетов взойдут все семена, равна …

ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей
В первой урне 2 белых и 3 черных шара, во второй − 4 белых и 6 черных шаров. Из каждой урны вынули по одному шару. Вероятность того, что оба вынутых шара будут белыми, равна …

 ЗАДАНИЕ N 8
Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей
В первой урне 7 белых и 3 черных шара, во второй − 6 белых и 3 черных шара. Из каждой урны вынули по одному шару. Вероятность того, что оба вынутых шара будут черными, равна …

ЗАДАНИЕ N 9
Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей
Имеются два ящика с деталями. Вероятность вынуть бракованную деталь из первого ящика равна hello_html_32899601.png а из второго − hello_html_120762b7.png Наугад вынимают по одной детали из каждого ящика. Вероятность того, что обе детали окажутся бракованными, равна …



  ЗАДАНИЕ N 10
Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей
В первой шкатулке находится 18 монет одинакового достоинства. Известно, что две из них являются фальшивыми. Во второй шкатулке 10 монет, из которых 3 монета фальшивая. Из каждой шкатулки наугад берут по одной монете. Вероятность того, что обе монеты окажутся фальшивыми, равна …

ЗАДАНИЕ N 11
Тема: Математическое ожидание дискретной случайной величины
Математическое ожидание М(Х) случайной величины, имеющей закон распределения вероятностей hello_html_m45e51af8.png, равно …

ЗАДАНИЕ N 12

Тема: Математическое ожидание дискретной случайной величины
Математическое ожидание М(Х) случайной величины, имеющей закон распределения вероятностей hello_html_4882466b.png, равно …

ЗАДАНИЕ N 13
Тема: Математическое ожидание дискретной случайной величины
Математическое ожидание М(Х) случайной величины, имеющей закон распределения вероятностей hello_html_m5ad1000b.png, равно …

ЗАДАНИЕ N 14
Тема: Элементы комбинаторики
Пин−код пластиковой карты состоит из 5 цифр: 1, 2, 3, 4, 5. Если бы каждая цифра встречалась ровно один раз, то максимальное количество карт с такими кодами было бы равно …

ЗАДАНИЕ N 15
Тема: Элементы комбинаторики
Пароль состоит из 6 букв: a, b, c, d, i, j. Каждая буква встречается ровно один раз. Тогда максимальное количество возможных паролей равно …

ЗАДАНИЕ N 16
Тема: Элементы комбинаторики
Код замка состоит из 4 цифр: 1, 3, 5, 7. Каждая цифра встречается ровно один раз. Тогда максимальное количество замков с такими кодами равно …

ЗАДАНИЕ N 17
Тема: Элементы комбинаторики
Автомобилю может быть присвоен номер, состоящий из 4 цифр: 1, 3, 5, 7, 9. Цифры в номере повторяться не могут. Тогда максимальное количество автомобилей, которым могут быть присвоены такие номера, равно …

 


ТЕМА 15 ХАРАКТЕРИСТИКИ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА. ВЫБОРОЧНОЕ СРЕДНЕЕ. ОБЪЕМ ВЫБОРКИ


КОНСПЕКТ 15


15.1 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Математическая статистика возникла (XVIII в.) и создавалась параллельно с теорией вероятностей. Дальнейшее развитие этой дисциплины (начало 20в.) обязано, в первую очередь, П.Л. Чебышеву, А.А. Маркову, А.М. Ляпунову. Основные результаты, ставшие в настоящее время классическими, были получены учеными англо – американской школы – К. Пирсон, Р.Фишер, Ю.Нейман, А.Вальд, В.Феллер и др. и российскими математиками –В.И.Романовский, Е.Е.Слуцкий, А.Н. Колмогоров, Н.В.Смирнов. Годом рождения современной математической статистики следует считать 1933 г. – год опубликования работы академика А.Н.Колмогорова «Основные понятия

теории вероятностей». Именно в это время математическую статистику выделили из теории вероятностей в отдельную дисциплину.

В теории вероятностей, если мы изучаем случайную величину X, ее закон распределения считается заданным, и мы можем достоверно ответить на любой вопрос, касающийся данной случайной величины. В математической статистике ситуация прямо противоположная – мы ничего не знаем о законе распределения изучаемой случайной величины X. У нас имеются только некоторые ее наблюдения или измерения.

Понятно, что по конечному числу наблюдений невозможно достоверно сделать какие-либо выводы об изучаемой случайной величине. Ясно также, что чем больше таких наблюдений, тем более надежными будут наши приближенные выводы. В этом состоит основная особенность математической статистики – она не определяет достоверно закономерности поведения изучаемых случайной явлений, а оценивает их с той или иной степенью достоверности. Но при неограниченном увеличении числа наблюдений выводы математической статистики становятся практически достоверными. Поэтому содержание этой дисциплины – как и сколько сделать наблюдений и как их обработать, чтобы ответить на интересующий нас вопрос о случайном явлении с требуемой степенью достоверности. Итак, установление закономерностей, которым подчинены массовые

случайные явления основано на изучении статистических данных – результатах наблюдений.

Математическая статистика решает две главные задачи: указать способы сбора и группировки (если данных очень много) статистических сведений (результатов наблюдений) и разработать методы анализа собранных статистических данных в зависимости от целей исследования.

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты.


15.2 ХАРАКТЕРИСТИКИ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА

Некоторое предприятие выпускает партию одинаковых деталей. Если контролируют детали по размеру – это количественный признак. Можно производить этот контроль сплошным обследованием, то есть измерять каждый из объектов совокупности. Но на практике сплошное обследование применяется редко:

а) из-за очень большого числа объектов;

б) из-за того, что иногда обследование заключается в физическом уничтожении, например, проверяем взрываемость гранат или проверяем на крепость произведенную посуду и т.д.

В таких случаях производится случайный отбор ограниченного (небольшого) числа объектов, которые и подвергают изучению.

Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность случайно отобранных однородных объектов.

Генеральной совокупностью называется совокупность всех однородных объектов, из которых производится выборка.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называется число объектов этой совокупности.

При наборе выборки можно поступать двояко: после того, как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. В связи с этим выборки подразделяются на повторные и бесповторные.

Для того, чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем нас признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Это требование коротко формулируется так: выборка должна быть репрезентативной (представительной).

Способы отбора выборки:

1. Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части:

а) простой случайный бесповторный;

б) простой случайный повторный.


2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части (если объем генеральной совокупности слишком большой):

а) типический отбор. Объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из ее «типичных» частей. Например, цех из тридцати станков

производит одну и ту же деталь. Тогда отбор делается по одной или по две детали с каждого станка в случайные моменты времени;

б) механический отбор. Например, если нужно выбрать 5% деталей, то выбирают не случайно, а каждую двадцатую деталь;

в) серийный отбор. Объекты выбирают не по одному, а сериями.

Итак, пусть из генеральной совокупности значений некоторого количественного признака произведена выборка объема N:

X = { x1 , x 2 , x 3 ,..., x N }.

Таблица вида 1.1

1

2

3

N


x

x1

x2

x3

xN

называется простым статистическим рядом, являющимся первичной формой представления статистического материала.

Из данных табл. 1.1 находят xmin и xmax , соответственно наименьшее и наибольшее значения выборки. Затем данные табл. 1.1 называемые вариантами, располагают в порядке возрастания. Тогда выборка X = { x1 , x 2 , x 3 ,..., x N }, записанная в порядке возрастания, называется вариационным рядом.

Размах выборки – это длина основного интервала [xmin ; xmax] , в который попадают все значения выборки.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем x1, наблюдалось n1 раз, x2 – соответственно n2 раз, xk - nk раз и сумма всех ni и есть объем выборки: hello_html_m12d6107.gif. Наблюдаемые значения hello_html_7a9f0571.gifназывают вариантами, а последовательностьвариант, записанных в порядке возрастания, - вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки hello_html_1637db7f.gif - относительными частотами.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно записать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

Заметим, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами, или относительными частотами.


ПРИМЕР

Задано распределение частот выборки объёма n = 20

xi 2 6 12

ni 3 10 7

Написать распределение относительных частот.

РЕШЕНИЕ. Найдём относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки:

W1 = 3/20 = 0,15, W2 = 10/20 = 0,50, W3 = 7/20 = 0,35.

Напишем распределение относительных частот:

xi 2 6 12

Wi 0,15 0,50 0,35

КОНТРОЛЬ: 0,15 + 0,50 + 0,35 = 1.



ПРАКТИКУМ 15

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Объем выборки
Объем выборки, заданной статистическим распределением
hello_html_7ada40a5.png, равен …

Решение:
Случайная величина Х принимает значение «1» − 5 раз, значение «2» − 11 раз, значение «3» − 29 раз и значение «4» − 15 раз. Тогда hello_html_2e2c4656.png объем выборки.

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Объем выборки
Объем выборки, заданной статистическим распределением
hello_html_mb740160.png, равен …

Решение:
Случайная величина Х принимает значение «1» − 3 раза, значение «2» − 6 раз, значение «3» − 7 раз и значение «4» − 4 раза. Тогда hello_html_m3a0e8e86.png объем выборки.

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Характеристики вариационного ряда. Выборочное среднее
Выборочное среднее для вариационного ряда hello_html_4aae419d.png равно …

Решение:
Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки: hello_html_2e2cb823.png Значение «2» некоторая случайная величина принимает 2 раза, значение «3» – 1 раз, значение «6» – 4 раза и значение «13» − 3 раза. Тогда среднее арифметическое всех значений выборки равно hello_html_m5a71d1f4.png

ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Объем выборки
Объем выборки, заданной статистическим распределением
hello_html_7a8d1111.png, равен …

Решение:
Случайная величина Х принимает значение «2» − 3 раза, значение «4» − 12 раз, значение «6» − 8 раз и значение «8» − 7 раз. Тогда hello_html_1fb17ace.png объем выборки.


ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Характеристики вариационного ряда. Выборочное среднее
Выборочное среднее для вариационного ряда hello_html_m18569b1c.png равно …

Решение:
Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки: hello_html_2e2cb823.png Значение «1» некоторая случайная величина
принимает 1 раз, значение «3» – 2 раза, значение «4» – 2 раза и значение «5» − 5 раз. Тогда среднее арифметическое всех значений выборки равно hello_html_1a618062.png

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Объем выборки
Объем выборки, заданной статистическим распределением
hello_html_656e220c.png, равен …

Решение:
Случайная величина Х принимает значение «1» − 15 раз, значение «2» − 5 раз, значение «3» − 20 раз и значение «4» − 10 раз.
Тогда hello_html_m51e9c0eb.png объем выборки.

ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Характеристики вариационного ряда. Выборочное среднее
Выборочное среднее для вариационного ряда hello_html_m2c3501e5.png равно …

Решение:
Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки: hello_html_2e2cb823.png
Обращаем внимание, что значение «3» некоторая случайная величина
принимает 1 раз, значение «6» – 2 раза, значение «7» – 4 раза и значение «9» − 3 раза. Тогда среднее арифметическое всех значений выборки равно hello_html_4102c501.png


САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 15

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Характеристики вариационного ряда. Выборочное среднее
Выборочное среднее для вариационного ряда hello_html_437d69dc.png равно …

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Характеристики вариационного ряда. Выборочное среднее
Выборочное среднее для вариационного ряда hello_html_m7e3bd32b.png равно …

ЗАДАНИЕ N 3

Тема: Характеристики вариационного ряда. Выборочное среднее
Выборочное среднее для вариационного ряда hello_html_14b3cea.png равно …

ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Объем выборки
Объем выборки, заданной статистическим распределением
hello_html_67bbb0cf.png, равен …

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Объем выборки
Объем выборки, заданной статистическим распределением
hello_html_7dc4f799.png, равен …

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Объем выборки
Объем выборки, заданной статистическим распределением
hello_html_m2af43d8.png, равен …

ЗАДАНИЕ N 7

Тема: Объем выборки
Объем выборки, заданной статистическим распределением
hello_html_m46131db2.png, равен …



РАЗДЕЛ 6.


ТЕМА 16 ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ


КОНСПЕКТ 16


16.1 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА


Комплексным числом Z называется число вида hello_html_m4ac4ec9c.gif, где hello_html_m734afb91.gif иhello_html_559071c1.gif – действительные числа, hello_html_52908ad7.gif –мнимая единица. hello_html_6559797d.gif, а значит hello_html_m65fcc62d.gifЧисло hello_html_m734afb91.gif называется действительной частью (hello_html_m48419eac.png) комплексного числа Z, число hello_html_559071c1.gif называется мнимой частью (hello_html_2eb82b19.png) комплексного числа Z


16.2 ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ, ЗАДАННЫМИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ


СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ

Пример 1

Сложить два комплексных числа hello_html_m2d09be34.png, hello_html_5d65a09e.png

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:
hello_html_m4000c1bb.png

Пример 2

Найти разности комплексных чисел hello_html_m7cb2b69d.png , если hello_html_m4b295b2b.png, hello_html_m1fa63fc3.png

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

hello_html_55df9640.png

Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: hello_html_407388c3.png. Для наглядности ответ можно переписать так: hello_html_m479e8215.png.


УМНОЖЕНИЕ

Пример 3

Найти произведение комплексных чисел  hello_html_m648fc86e.png, hello_html_me1ce8e5.png

Очевидно, что произведение следует записать так:
hello_html_145b21e5.png

Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что hello_html_m777f6058.png и быть внимательным.

Повторим школьное правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Я распишу подробно:
hello_html_3c4347c9.png

Надеюсь, всем было понятно, что hello_html_63940571.png

Внимание, и еще раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках.


ДЕЛЕНИЕ

Пример 4

Даны комплексные числа hello_html_m214ffcf2.png, hello_html_m16e22429.png. Найти частное hello_html_mbc055e4.png.

Составим частное:
hello_html_61195a33.png

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Вспоминаем бородатую формулу hello_html_m27d067db.png и смотрим на наш знаменатель: hello_html_m3bfe9db4.png. В знаменателе уже есть hello_html_m76e8ea2c.png, поэтому сопряженным выражением в данном случае является hello_html_m50605e58.png, то есть hello_html_m2964d535.png

Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на hello_html_m2964d535.png, и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число hello_html_m2964d535.png:
hello_html_2c7d6199.png

Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой hello_html_m27d067db.png (помним, чтоhello_html_m777f6058.png и не путаемся в знаках!!!).

Распишу подробно:
hello_html_7094d002.png


ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ

Пример 5

Возвести в квадрат комплексное число hello_html_m37877949.png

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей hello_html_m64ec05dc.png и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения hello_html_m72ebd71f.png:
hello_html_43825b92.png

Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде hello_html_33f40d07.png

Пример 6

Возвести в степень комплексные числа hello_html_m228b6b8e.png, hello_html_m429de869.png, hello_html_610a8b37.png

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:
hello_html_5247821d.png

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и»,  получая четную степень:
hello_html_m7fb30bde.png

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:
hello_html_7d30993c.png


16.3 РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим пример: hello_html_m6df73ec2.png

Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень –  можно! А точнее, два корня:

hello_html_m41f83af1.png
hello_html_7be57ce5.png

Действительно ли найденные корни являются решением уравнения hello_html_43fa4522.png? Выполним проверку:

hello_html_66361695.png
hello_html_m217ce549.png

Что и требовалось проверить.

Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: hello_html_753aa402.png.

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.

Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: hello_html_281f4689.png, hello_html_mfb925de.png, hello_html_m76f1aa8a.png, hello_html_17bdfe0e.png, hello_html_m6d68a4c0.png и т.д. Во всех случаях получается два сопряженных комплексных корня.


Пример 7

Решить квадратное уравнение hello_html_m65efb7ff.png

Вычислим дискриминант:
hello_html_5beafac4.png

Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!
hello_html_2445627c.png

По известным школьным формулам получаем два корня:
hello_html_55c0bb9b.png
hello_html_19a1d93b.png – сопряженные комплексные корни

Таким образом, уравнение hello_html_m65efb7ff.png имеет два сопряженных комплексных корня: hello_html_m15f6d94e.png, hello_html_5955fd82.png




ПРАКТИКУМ 16

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме
Произведение комплексных чисел hello_html_45434f3.png и hello_html_m39636ee5.png равно …


Решение:
Напоминаем, что произведение данных комплексных чисел можно найти по правилу умножения одночлена на двучлен с учетом равенства hello_html_7440dcb5.png
Тогда получим:
hello_html_ff1ae74.png


 ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме
Произведение комплексных чисел hello_html_m1e056ffc.png и hello_html_m6e39bf4a.png равно …


Решение:
Напоминаем, что произведение данных комплексных чисел можно найти по правилу умножения одночлена на двучлен с учетом равенства hello_html_7440dcb5.png
Тогда получим:
hello_html_47b0c2dc.png


ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме
Произведение комплексных чисел hello_html_m11fcf8c5.png и hello_html_m52d6df67.png равно …


Решение:
Напоминаем, что произведение данных комплексных чисел можно найти по правилу умножения одночлена на двучлен с учетом равенства hello_html_7440dcb5.png
Тогда получим:
hello_html_3ac5007e.png


ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Решение уравнений
Корни квадратного уравнения hello_html_5e38c28.png равны …


Решение:
Учитывая равенство hello_html_68ec4099.png, мы можем найти корни данного уравнения, принадлежащие множеству комплексных чисел; получим:
hello_html_56822471.png
hello_html_m7a9ef0e3.png
hello_html_m2f76f8ed.png
hello_html_m34cb2933.png hello_html_277ae7f6.png
Корнями уравнения являются комплексные числа hello_html_m34cb2933.png и hello_html_277ae7f6.png



ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Решение уравнений
Корни квадратного уравнения hello_html_m3b038773.png равны …


Решение:
Напоминаем, что дискриминант квадратного уравнения находится по формуле
hello_html_mfdbfbe9.png; для исходного уравнения hello_html_m63fe138b.png
hello_html_m6f7d8a61.png, но учитывая равенство hello_html_m2899be5d.png, мы можем найти корни уравнения, принадлежащие множеству комплексных чисел; получим:
hello_html_m279ad325.png
hello_html_3e21478b.png
Корнями уравнения являются комплексные числа hello_html_7026bb4a.png и hello_html_m6180debe.png.


ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Решение уравнений
Корни квадратного уравнения hello_html_28e463ab.png равны …


Решение:
Учитывая равенство hello_html_135786f2.png мы можем найти корни данного уравнения, принадлежащие множеству комплексных чисел; получим:
hello_html_m44d78cc7.png
hello_html_m12cb22ea.png
hello_html_76b6315e.png
hello_html_6ca29972.png hello_html_m57eafe42.png
Корнями уравнения являются комплексные числа hello_html_51bf48ca.png и hello_html_175573a6.png.



 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 16

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме
Произведение комплексных чисел hello_html_m2898e3f.png и hello_html_m17a60c4d.png равно …


ЗАДАНИЕ N 2

Тема: Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме
Произведение комплексных чисел hello_html_45434f3.png и hello_html_m39636ee5.png равно …

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме
Произведение комплексных чисел hello_html_m11fcf8c5.png и hello_html_m52d6df67.png равно …

ЗАДАНИЕ N 4

Тема: Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме
Произведение комплексных чисел hello_html_m1e056ffc.png и hello_html_m6e39bf4a.png равно …

ЗАДАНИЕ N 5

Тема: Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме
Произведение комплексных чисел hello_html_18b3a3cf.png и hello_html_3a565083.png равно …

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Решение уравнений
Корни квадратного уравнения hello_html_m4df5af6f.png равны …

ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Решение уравнений
Корни квадратного уравнения hello_html_38100222.png равны …

 ЗАДАНИЕ N 8
Тема: Решение уравнений
Корни квадратного уравнения hello_html_22ae80e3.png равны …

ЗАДАНИЕ N 9
Тема: Решение уравнений
Корни квадратного уравнения hello_html_m774670d3.png равны …


ЗАДАНИЕ N 10
Тема: Решение уравнений
Корни квадратного уравнения hello_html_14b5b8b6.png равны …


ТЕМА 17 СОПРЯЖЕННЫЕ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МОДУЛЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА


КОНСПЕКТ 17


17.1 СОПРЯЖЕННЫЕ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

При решении квадратных уравнений часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: hello_html_753aa402.png.

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями. Итак сопряженные комплексные числа – числа, которые отличаются ТОЛЬКО ОДНИМ ЗНАКОМ ПЕРЕД МНИМОЙ ЧАСТЬЮ.


17.2 МОДУЛЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

hello_html_m2d0efb33.gif – это модуль комплексного числа

Изобразим на комплексной плоскости число hello_html_m14846312.png. Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что hello_html_12851ea3.png
hello_html_4ddb7436.png

Модулем комплексного числа hello_html_m7b8eb911.png называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен ОZ и выделен красным цветом.

Модуль комплексного числа hello_html_m7b8eb911.png стандартно обозначают: hello_html_m2d0efb33.gif или r

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: hello_html_m51a0851.png. Данная формула справедлива для любых значений «а» и «бэ».


Пример 1

Вычислить модуль комплексного числа hello_html_5d52e874.png. Очевидно, что hello_html_c3be6e8.png. Формальный расчет по формуле: hello_html_5318d2c8.png.


Пример 2

Вычислить модуль комплексного числа hello_html_m7331b083.png. Очевидно, что hello_html_149d4d4e.png. Формальный расчет по формуле: hello_html_m4ea92ad8.png.


Пример 3

Вычислить модуль комплексного числа hello_html_bfff018.gif. hello_html_m3a3f2e93.gif


ПРАКТИКУМ 17

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Сопряженные комплексные числа
Комплексное число, сопряженное числу hello_html_33a7b1ee.png, равно …

Решение:
Напоминаем, что два комплексных числа hello_html_6bab3002.png и hello_html_m68eef06b.png, отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными.

Поэтому, комплексное число, сопряженное данному числу имеет вид - 9 - i


ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Сопряженные комплексные числа
Комплексное число, сопряженное числу hello_html_m7c1a4822.png, равно …

Решение:

Напоминаем, что два комплексных числа hello_html_6bab3002.png и hello_html_m68eef06b.png, отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными

Поэтому, комплексное число, сопряженное данному числу имеет вид 7 i+3

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Модуль комплексного числа
Модуль комплексного числа hello_html_m6ae79408.png равен …


Решение:
Напоминаем, что модуль комплексного числа вычисляется по формуле hello_html_1f967c05.png, где hello_html_m8e62e69.png действительная, а hello_html_m14355c8c.png мнимая часть комплексного числа.
Тогда hello_html_m28f88d28.png


ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Модуль комплексного числа
Модуль комплексного числа hello_html_m3dbc2c40.png равен …

Решение:
Напоминаем, что модуль комплексного числа вычисляется по формуле hello_html_1f967c05.png, где hello_html_m8e62e69.png действительная, а hello_html_m14355c8c.png мнимая часть комплексного числа.
Тогда hello_html_6bdfb13f.png


ЗАДАНИЕ N 5

Тема: Модуль комплексного числа
Модуль комплексного числа hello_html_m56619d75.png равен …


Решение:
Модуль комплексного числа вычисляется по формуле hello_html_1f967c05.png, где hello_html_m8e62e69.png – действительная, а hello_html_m14355c8c.png – мнимая часть комплексного числа.
Тогда hello_html_m2062de9b.png

 ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Модуль комплексного числа
Модуль комплексного числа hello_html_423f8b20.png равен …


Решение:
Модуль комплексного числа вычисляется по формуле hello_html_1f967c05.png, где hello_html_m8e62e69.png – действительная, а hello_html_m14355c8c.png – мнимая часть комплексного числа.
Тогда hello_html_m46cd556.png

ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Модуль комплексного числа
Модуль комплексного числа hello_html_2e2226ec.png равен …


Решение:
Напоминаем, что модуль комплексного числа вычисляется по формуле hello_html_1f967c05.png, где hello_html_m8e62e69.png действительная, а hello_html_m14355c8c.png мнимая часть комплексного числа.
Тогда hello_html_m3a214fac.png

ЗАДАНИЕ N 8
Тема: Модуль комплексного числа
Модуль комплексного числа hello_html_m1df40fe1.png равен …

Решение:
Модуль комплексного числа вычисляется по формуле hello_html_1f967c05.png, где hello_html_m8e62e69.png – действительная, а hello_html_m14355c8c.png – мнимая часть комплексного числа.
Тогда hello_html_61428d58.png


САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 17



ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Сопряженные комплексные числа
Комплексное число, сопряженное числу hello_html_m7c1a4822.png, равно …

ЗАДАНИЕ N 2

Тема: Сопряженные комплексные числа
Комплексное число, сопряженное числу hello_html_4723aca5.png, равно …


ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Сопряженные комплексные числа
Комплексное число, сопряженное числу hello_html_macad1bd.png, равно …


 ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Сопряженные комплексные числа
Комплексное число, сопряженное числу hello_html_m7c1a4822.png, равно …

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Сопряженные комплексные числа
Комплексное число, сопряженное числу hello_html_33a7b1ee.png, равно …

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Модуль комплексного числа
Модуль комплексного числа hello_html_m7ca0d7cb.png равен …

ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Модуль комплексного числа
Модуль комплексного числа hello_html_m56619d75.png равен …

ЗАДАНИЕ N 8

Тема: Модуль комплексного числа
Модуль комплексного числа hello_html_m7ca0d7cb.png равен …

ЗАДАНИЕ N 9
Тема: Модуль комплексного числа
Модуль комплексного числа hello_html_m1df40fe1.png равен …



ТЕМА 18 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

КОНСПЕКТ 18.

18.1 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Любое комплексное число (кроме нуля) hello_html_m14846312.png можно записать в тригонометрической форме:
hello_html_m71663eae.png, где hello_html_m670a0505.png – это модуль комплексного числа, а hello_html_61da3479.png – аргумент комплексного числа. Изобразим на комплексной плоскости число hello_html_m14846312.png. Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что hello_html_12851ea3.png:
hello_html_4ddb7436.png

Напоминаю, модулем комплексного числа hello_html_m7b8eb911.png называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости.

Модуль комплексного числа hello_html_m7b8eb911.png стандартно обозначают: hello_html_m670a0505.png или hello_html_m5c61c7cb.png

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: hello_html_m51a0851.png. Данная формула справедлива для любых значений «а» и «бэ».

Аргументом комплексного числа hello_html_m7b8eb911.png называется угол hello_html_61da3479.png между положительной полуосью действительной оси hello_html_m48419eac.png и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: hello_html_5c49980a.png.

Аргумент комплексного числа hello_html_m7b8eb911.png стандартно обозначают: hello_html_61da3479.png или hello_html_m41d4e84d.png

Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента:
hello_html_m4b3de6a4.png. Внимание! Данная формула работает только в правой полуплоскости! Если комплексное число располагается не в 1-ой и не 4-ой координатной четверти, то формула будет немного другой. Эти случаи мы тоже разберем.

Но сначала рассмотрим простейшие примеры, когда комплексные числа располагаются на координатных осях.






Пример 1

Представить в тригонометрической форме комплексные числа: hello_html_5d52e874.png, hello_html_m7331b083.png, hello_html_5ec404aa.png, hello_html_m25197cf8.png.

На самом деле задание устное. Для наглядности перепишу тригонометрическую форму комплексного числа: hello_html_m71663eae.png

Запомним намертво, модуль – длина (которая всегда неотрицательна), аргумент – угол.

1) Представим в тригонометрической форме число hello_html_5d52e874.png. Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что hello_html_c3be6e8.png. Формальный расчет по формуле: hello_html_5318d2c8.png.
Очевидно, что hello_html_7caa8710.png (число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси). Таким образом, число в тригонометрической форме: hello_html_m13be437f.png.

Ясно, как день, обратное проверочное действие: hello_html_6ae81d3d.png

2) Представим в тригонометрической форме число hello_html_m7331b083.png. Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что hello_html_149d4d4e.png. Формальный расчет по формуле: hello_html_m4ea92ad8.png.
Очевидно, что hello_html_b9c2e7f.png (или 90 градусов). На чертеже угол обозначен красным цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: hello_html_3853938a.png.

Используя таблицу значений тригонометрических функций, легко обратно получить алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку):
hello_html_m4274db91.png

3) Представим в тригонометрической форме число hello_html_5ec404aa.png. Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что hello_html_64df027c.png. Формальный расчет по формуле: hello_html_m68e53c93.png.
Очевидно, что hello_html_327937a1.png (или 180 градусов). На чертеже угол обозначен синим цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: hello_html_48836128.png.

Проверка: hello_html_m2187e055.png

4) И четвёртый интересный случай. Представим в тригонометрической форме число hello_html_m25197cf8.png. Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что hello_html_96a9927.png. Формальный расчет по формуле: hello_html_m5c33801c.png.

Аргумент можно записать двумя способами: Первый способ: hello_html_70749d3f.png (270 градусов), и, соответственно: hello_html_7ab4087e.png. Проверка: hello_html_740b20a4.png



18.2 ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

Частное комплексных чисел

hello_html_27be3123.png

Произведение комплексных чисел

hello_html_4d94dc78.png


Возведение комплексных чисел в степень

hello_html_m59c20418.png формула Муавра

Пример 2

hello_html_5b1d5cf5.png найти hello_html_m60bbb2ac.png.

 

Тогда, по формуле Муавра:
hello_html_21c9994e.png

Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе hello_html_m3aff83f2.png, а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря,  нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляет hello_html_m79d2b320.png радиан или 360 градусов. Смотрим сколько у нас оборотов в аргументе hello_html_1787886c.png: hello_html_m2864bd47.png оборотов, в данном случае можно убавить один оборот: hello_html_1e9f4897.png. Надеюсь всем понятно, что hello_html_mbf6366f.png и hello_html_m5589f5e4.png – это один и тот же угол.

Таким образом, окончательный ответ запишется так:
hello_html_m52e06f46.png

Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде:
hello_html_1b4a341b.png (т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде).

Хотя hello_html_m52e06f46.png – ни в коем случае не ошибка.



ПРАКТИКУМ 18


ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Тригонометрическая форма комплексного числа
Тригонометрическая форма комплексного числа hello_html_m1df40fe1.png имеет вид …

Решение:
Для представления комплексного числа в тригонометрической форме записи
необходимо найти его модуль и аргумент.
Используя формулу hello_html_586d280d.png, где hello_html_m8e62e69.png – действительная, а hello_html_m14355c8c.png – мнимая часть комплексного числа, получим:
hello_html_m2c6b8452.png
По формулам hello_html_13a42336.png и hello_html_m65124af5.png найдем аргумент hello_html_mef774e5.png комплексного числа.
Обращаем внимание, что под аргументом hello_html_mef774e5.png понимается его главное значение, то есть значение, удовлетворяющее условию hello_html_m638115b5.png
Так как hello_html_567388f2.png hello_html_m7b5dd0b.png то hello_html_mebb28ae.png
Зная, что тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид
hello_html_m4a22460.png получим: hello_html_m4fe58887.png


ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Тригонометрическая форма комплексного числа
Произведение комплексных чисел hello_html_19f52e35.png и hello_html_46e25359.png равно …

Решение:
Воспользуемся формулой: hello_html_4d94dc78.png Получим: hello_html_m31b4dc90.png


ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Тригонометрическая форма комплексного числа
Тригонометрическая форма комплексного числа hello_html_m558aa8c3.png имеет вид …


Решение:
Для представления комплексного числа в тригонометрической форме записи необходимо найти его модуль и аргумент.
Заметим, что мнимая часть данного комплексного числа равна нулю, поэтому hello_html_694b9665.png
Точка, изображающая это число, принадлежит положительной части действительной оси, значит, hello_html_234fc60a.png
Зная, что тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид
hello_html_m4a22460.png получим: hello_html_m6fe94167.png


ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Тригонометрическая форма комплексного числа
Частное hello_html_m5a6d13c5.png комплексных чисел hello_html_m7e0e481d.png и hello_html_780fa706.png равно …


Решение:
Воспользуемся формулой: hello_html_27be3123.png Получим:
hello_html_m36f9a12f.png


ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Тригонометрическая форма комплексного числа
Степень комплексного числа hello_html_1ceb7ddf.png равна …


Решение:
Согласно формуле Муавра hello_html_m59c20418.png находим:
hello_html_53d07015.png



САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 18


ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Тригонометрическая форма комплексного числа
Степень комплексного числа hello_html_58730a75.png равна …


ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Тригонометрическая форма комплексного числа
Тригонометрическая форма комплексного числа hello_html_2dd69673.png имеет вид …


ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Тригонометрическая форма комплексного числа
Тригонометрическая форма комплексного числа hello_html_65932a14.png имеет вид …


ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Тригонометрическая форма комплексного числа
Частное hello_html_m5a6d13c5.png комплексных чисел hello_html_m7e0e481d.png и hello_html_780fa706.png равно …


ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Тригонометрическая форма комплексного числа
Тригонометрическая форма комплексного числа hello_html_754fb5c9.png имеет вид …


 ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Тригонометрическая форма комплексного числа
Частное hello_html_m5a6d13c5.png комплексных чисел hello_html_m5a019967.png и hello_html_m2121127c.png равно …


ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Тригонометрическая форма комплексного числа
Тригонометрическая форма комплексного числа hello_html_6142835a.png имеет вид …

 

ЗАДАНИЕ N 8
Тема: Тригонометрическая форма комплексного числа
Степень комплексного числа hello_html_2a962e2a.png равна …


ЗАДАНИЕ N 9
Тема: Тригонометрическая форма комплексного числа
Тригонометрическая форма комплексного числа hello_html_m1df40fe1.png имеет вид …


ЗАДАНИЕ N 10
Тема: Тригонометрическая форма комплексного числа
Тригонометрическая форма комплексного числа hello_html_m3f4450c5.png имеет вид …


ЗАДАНИЕ N 11
Тема: Тригонометрическая форма комплексного числа
Частное hello_html_m5a6d13c5.png комплексных чисел hello_html_m5a019967.png и hello_html_m2121127c.png равно …

ЗАДАНИЕ N 12
Тема: Тригонометрическая форма комплексного числа
Тригонометрическая форма комплексного числа hello_html_26533d50.png имеет вид …


ЗАДАНИЕ N 13
Тема: Тригонометрическая форма комплексного числа
Тригонометрическая форма комплексного числа hello_html_76f26548.png имеет вид …


ЗАДАНИЕ N 14
Тема: Тригонометрическая форма комплексного числа
Произведение комплексных чисел hello_html_672171d3.png и hello_html_26b76f5.png равно …





РАЗДЕЛ 7.


ТЕМА 19 СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ


КОНСПЕКТ 19


19.1 СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Наиболее часто встречаются четыре самых распространенных способа задания числовых последовательностей

  • С помощью формулы общего члена последовательности

  • Рекуррентный способ

  • Графический способ

  • Перечислением первых нескольких членов последовательности (выстроенных в ряд )

Пример 1

Вычислить пять первых членов последовательности x n= hello_html_mf8228f7.gif.

Решение:

Подставив вместо n последовательно 1,2,3,4,5,получим x1=0, x2=1/3,x3=1/2,x4=3/5, x5=2/3.


Пример 2

Последовательность задана рекуррентным соотношением xn= 3xn+1.Найти первые члены последовательности.

Решение:

Зададим первый член последовательности: пусть x1=2.Полагая в рекуррентном соотношении n=2, получим x2=3x2-1+1=3x1+1=3*2+1=7.При n=3,4,5 соответственно находим: x3=3x2+1=3*7+1=22, x4=3x3+1=3*22+1=67, x5=3x4+1=3*67+1=202. В результате получаем последовательность 2, 7, 22, 67, 202, … .


Пример 3

Написать общий член последовательности натуральных чисел, каждое из которых при делении на 3 дает остаток, равный 1.

Решение:

Для того чтобы число при делении на 3 давало остаток 1, оно должно иметь вид 3n+1; следовательно, общий член последовательности xn=3n+1.


19.2 ПРЕДЕЛ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

В этой связи мы не будем рассматривать строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи:

1. Понять, что такое предел.
2. Научиться решать основные типы пределов.    

Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является главной задачей.

Итак, что же такое предел?

А сразу пример, чего бабушку лохматить….

hello_html_49015955.png

Любой предел состоит из трех частей:

1) Всем известного значка предела hello_html_4a970e87.png.
2) Записи под значком предела, в данном случае hello_html_4905b8ab.png. Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно hello_html_m61f18daf.png, хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность (hello_html_6a20e19e.png).
3) Функции под знаком предела, в данном случае hello_html_m1b60d076.png.

Сама запись hello_html_49015955.png читается так: «предел функции hello_html_m1b60d076.png при икс стремящемся к единице».

Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала hello_html_m1198be57.png, затем hello_html_m474e7913.png, hello_html_2d5c91ab.png, …, hello_html_m7f432ee6.png, ….
То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.

Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

hello_html_m28d3ec10.png

Готово.

Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!

Пример с бесконечностью:

hello_html_m25e59a3e.png

Разбираемся, что такое hello_html_m26a9a1b5.png? Это тот случай, когда hello_html_m61f18daf.png неограниченно возрастает, то есть: сначала hello_html_mc7da060.png, потом hello_html_3ec79189.png, потом hello_html_m3a175872.png, затем hello_html_5a2ba124.png и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией hello_html_afb1884.png?
hello_html_460c1f65.png, hello_html_m3cd4748e.png, hello_html_m10b5a2a1.png, …

Итак: если hello_html_m26a9a1b5.png, то функция hello_html_afb1884.png стремится к минус бесконечности:

hello_html_17142500.png

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию  hello_html_m4c3a1071.png бесконечность и получаем ответ.


Еще один пример с бесконечностью:

hello_html_m6bb9c5cd.png

Опять начинаем увеличивать hello_html_m61f18daf.png до бесконечности, и смотрим на поведение функции:
hello_html_19dfdff4.png

Вывод: при hello_html_m26a9a1b5.png функция hello_html_1f820d2a.png  неограниченно возрастает
hello_html_m1efa4776.png

И еще серия примеров:

Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

hello_html_m4c321e31.png, hello_html_m44c5303f.png, hello_html_28f1cae1.png, hello_html_m3cf29770.png, hello_html_37b05c81.png, hello_html_7bffb6bd.png, hello_html_m6c27024.png, hello_html_23a60c0a.png, hello_html_m7dda9d5c.png, hello_html_1fd9deca.png
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.
В том случае, если hello_html_m26a9a1b5.png, попробуйте построить последовательность  hello_html_mc7da060.png, hello_html_3ec79189.png, hello_html_m3a175872.png. Если hello_html_m6ffbc1df.png, то  hello_html_517e3511.png, hello_html_22140bae.png, hello_html_m6023d7b1.png.

Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.

Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: hello_html_199e1cf0.png, то все равно hello_html_2b166f26.png, так как рано или поздно «икс» примет такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.

Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?

1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как hello_html_52289c24.png, hello_html_1b44313.png, hello_html_m1f26ad3d.png и т.д.


ПРАКТИКУМ 19

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Способы задания числовых последовательностей
Общий член последовательности выражается формулой hello_html_m36fe5023.png
Тогда hello_html_m68c9569b.png …


Решение:
В формулу общего члена вместо n подставим число 4. Получим: hello_html_14806ab6.png

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Способы задания числовых последовательностей
Общий член последовательности выражается формулой hello_html_532d48f6.png
Тогда hello_html_m27620659.png …

Решение:
В формулу общего члена вместо n подставим число 6. Получим: hello_html_m343d0b5b.png

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Способы задания числовых последовательностей
Общий член последовательности выражается формулой hello_html_m2a947bb6.png
Тогда hello_html_m61a66842.png …

Решение:
В формулу общего члена вместо n подставим число 5. Получим: hello_html_1b38c58b.png

ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Предел функции в точке
hello_html_m600b86cd.png …

Решение:
Напоминаем, что для вычисления предела многочлена при hello_html_411541b9.png достаточно вместо переменной hello_html_m8e62e69.png поставить значение hello_html_6b01d940.png, к которому она стремится, и выполнить соответствующие действия:
hello_html_m36e6418.png

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Предел функции в точке
hello_html_4b243436.png …

Решение:
Напоминаем, что для вычисления предела многочлена при hello_html_202222bf.png достаточно вместо переменной hello_html_m8e62e69.png поставить значение hello_html_51148860.png, к которому она стремится, и выполнить соответствующие действия:
hello_html_223f7b00.png

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 19

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Способы задания числовых последовательностей
Общий член последовательности выражается формулой hello_html_4822de14.png
Тогда hello_html_m5b898f5a.png …

ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Способы задания числовых последовательностей
Общий член последовательности выражается формулой hello_html_m68b9749c.png
Тогда hello_html_m382821bb.png …

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Способы задания числовых последовательностей
Общий член последовательности выражается формулой hello_html_m36fe5023.png
Тогда hello_html_m68c9569b.png …

ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Способы задания числовых последовательностей
Общий член последовательности выражается формулой hello_html_m2a947bb6.png
Тогда hello_html_m61a66842.png …

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Способы задания числовых последовательностей
Общий член последовательности выражается формулой hello_html_4822de14.png
Тогда hello_html_m5b898f5a.png …

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Способы задания числовых последовательностей
Общий член последовательности выражается формулой hello_html_532d48f6.png
Тогда hello_html_m27620659.png …

ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Предел функции в точке
hello_html_3ca54b.png …

ЗАДАНИЕ N 8
Тема: Предел функции в точке
hello_html_1fce88ba.png …

ЗАДАНИЕ N 9
Тема: Предел функции в точке
hello_html_4b243436.png …

ЗАДАНИЕ N 10

Тема: Предел функции в точке

hello_html_m15135113.png …

ТЕМА 20 РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ВИДА «НОЛЬ НА НОЛЬ». РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ «БЕСКОНЕЧНОСТЬ НА БЕСКОНЕЧНОСТЬ»


КОНСПЕКТ 20

20.1 РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ВИДА hello_html_m75ee3386.png 


Пример 1

Решить предел hello_html_m518bfa2e.png
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
hello_html_m109d373d.png 
В данном случае получена так называемая неопределенность hello_html_6ed80684.png.

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида hello_html_6ed80684.png, то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения.

hello_html_m16aa2afa.png

Разложим числитель на множители.
hello_html_m460af121.png
hello_html_m75d07e84.png
hello_html_4a2bf2da.png
hello_html_37401938.png
hello_html_m6d5c6bac.png
hello_html_m21beb1df.png

hello_html_2fd6a4e2.png


Пример 2

Вычислить предел hello_html_12be48ce.png

hello_html_m452bccaf.png

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: hello_html_59a7a756.png
Знаменатель:
hello_html_390a068d.png
hello_html_m77815ab6.png
hello_html_m6cea9893.png
hello_html_m69a0c348.png, hello_html_5e97594.png
hello_html_22163ce.png

hello_html_m7404d1bb.png

 

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение

Продолжаем рассматривать неопределенность вида hello_html_6ed80684.png

Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.


Пример 3

Найти предел hello_html_m640097e.png

hello_html_5423afb7.png

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

hello_html_2e4c9ca9.png

20.2 РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ВИДА hello_html_5e944806.png 

Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда hello_html_m26a9a1b5.png, а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены


Пример 4

Вычислить предел hello_html_2c6cf792.png

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида hello_html_5e944806.png. Можно было бы подумать, что hello_html_m94a67a9.png, и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Как решать пределы данного типа?

Сначала мы смотрим на числитель и находим hello_html_m61f18daf.png в старшей степени:
hello_html_m1c4e9ac0.jpg
Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим hello_html_m61f18daf.png в старшей степени:
hello_html_m52318718.jpg
Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность hello_html_5e944806.png необходимо разделить числитель и знаменатель на hello_html_m61f18daf.png в старшей степени.

hello_html_1d9219f6.png
Разделим числитель и знаменатель на hello_html_6d01c425.png
hello_html_m31e5286a.png

Вот оно как, ответ hello_html_26d5e45a.png, а вовсе не бесконечность.

Что принципиально важно в оформлении решения?

Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.

Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак hello_html_m55c90d03.png, он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.

В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:
hello_html_m1181f611.jpg
Для пометок лучше использовать простой карандаш.

Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?


Пример 5

Найти предел hello_html_6ecf1d24.png
Снова в числителе и знаменателе находим hello_html_m61f18daf.png в старшей степени:
hello_html_56f875a0.jpg
Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности hello_html_48d556c1.png делим числитель и знаменатель на hello_html_m7e01a8db.png.
Полное оформление задания может выглядеть так:

hello_html_m7a1de6e.png

Разделим числитель и знаменатель на hello_html_m7e01a8db.png

hello_html_14eed506.png


Пример 6

Найти предел hello_html_m140c3e63.png
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 (hello_html_m61f18daf.png можно записать как hello_html_m571b1fe0.png)
Для раскрытия неопределенности hello_html_48d556c1.png необходимо разделить числитель и знаменатель на hello_html_77527961.png. Чистовой вариант решения может выглядеть так:

 

hello_html_59682a94.png

Разделим числитель и знаменатель на hello_html_77527961.png

hello_html_m58ec2a1d.png

Под записью hello_html_26b24abb.png подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида hello_html_5e944806.png у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

 


ПРАКТИКУМ 20

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Раскрытие неопределенности вида "ноль на ноль"
hello_html_37feb35.png

Решение:
Если вместо переменной hello_html_m8e62e69.png поставить значение 7, к которому она стремится, то получим неопределенность вида hello_html_1bed2cc4.png тогда
hello_html_m40d627e0.png


 ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Раскрытие неопределенности вида "ноль на ноль"
hello_html_45144021.png

Решение:
Если вместо переменной hello_html_m8e62e69.png поставить значение 0, к которому она стремится, то получим неопределенность вида hello_html_1bed2cc4.png тогда
hello_html_m65ad3811.png


ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Раскрытие неопределенности вида "ноль на ноль"
hello_html_m68452d44.png

Решение:
Если вместо переменной hello_html_m8e62e69.png поставить значение 6, к которому она стремится, то получим неопределенность вида hello_html_1bed2cc4.png тогда
hello_html_m896680e.png


ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Раскрытие неопределенности вида "бесконечность на бесконечность"
hello_html_m6fa141d1.png

Решение:
Так как hello_html_m15d78ad8.png и hello_html_m4bd41c6d.png
то имеет место неопределенность вида hello_html_m6404ce4b.png
Для ее раскрытия нужно разделить каждое слагаемое числителя и знаменателя на hello_html_m8e62e69.png. Тогда, зная, что hello_html_49123a55.png получим:
hello_html_3dbea51c.png

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Раскрытие неопределенности вида "бесконечность на бесконечность"
hello_html_m56678725.png

Решение:
Так как hello_html_m5960963a.png и hello_html_m63d8a005.png
то имеет место неопределенность вида hello_html_m3e2b215d.png Для ее раскрытия нужно разделить каждое слагаемое числителя и знаменателя на hello_html_m7a68c82.png. Тогда, зная, что hello_html_49123a55.png получим:
hello_html_m17b6968d.png


САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 20


ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Раскрытие неопределенности вида "ноль на ноль"
hello_html_m62cf3c68.png

 ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Раскрытие неопределенности вида "ноль на ноль"
hello_html_m68452d44.png


 ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Раскрытие неопределенности вида "ноль на ноль"
hello_html_23612c48.png


ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Раскрытие неопределенности вида "бесконечность на бесконечность"
hello_html_m4c801e11.png


ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Раскрытие неопределенности вида "бесконечность на бесконечность"
Предел функции hello_html_m5cd0d0c7.png равен …

ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Раскрытие неопределенности вида "бесконечность на бесконечность"
hello_html_m5b643e2b.png



ТЕМА 21 ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ. ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ


КОНСПЕКТ 21


ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ

Чем же замечательны замечательные пределы? Замечательность данных пределов состоит в том, что они доказаны величайшими умами знаменитых математиков, и благодарным потомкам не приходиться мучаться страшными пределами с нагромождением тригонометрических функций, логарифмов, степеней. То есть при нахождении пределов мы будем пользоваться готовыми результатами, которые доказаны теоретически.


21.1 ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

Рассмотрим следующий предел: hello_html_620f8e2.png Согласно правилу нахождения пределов пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно, тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида hello_html_6ed80684.png, которую, к счастью, раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что:

 hello_html_m542bc119.png

Данный математический факт носит название Первого замечательного предела.

Нередко в практических  заданиях функции могут быть расположены по-другому, это ничего не меняет:

hello_html_3173510b.png – тот же самый первый замечательный предел.

! Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде hello_html_2c2a5567.png, то и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя.

На практике в качестве параметра hello_html_m5814e99c.png может выступать не только переменная hello_html_m61f18daf.png, но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю.

Примеры:
hello_html_m16cf6084.png, hello_html_m7a8524bb.png, hello_html_m178a9b4c.png, hello_html_m7f6c6768.png

Здесь hello_html_m5d69796c.png, hello_html_m22cb598d.png, hello_html_7cd1acd8.png, hello_html_2153aeef.png, и всё гуд – первый замечательный предел применим.

А вот следующая запись – ересь:

hello_html_5174cae8.jpg

Почему? Потому-что многочлен hello_html_m8d4fcca.png не стремится к нулю, он стремится к пятерке.


Пример 1

Найти предел hello_html_m609e607d.png

Если мы замечаем в пределе синус, то это нас сразу должно наталкивать на мысль о возможности применения первого замечательного предела.

Сначала пробуем подставить 0 в выражение под знак предела (делаем это мысленно или на черновике):

hello_html_7e07dd44.png

Итак, у нас есть неопределенность вида hello_html_6ed80684.png, ее обязательно указываем в оформлении решения. Выражение под знаком предела у нас похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находится hello_html_m27fe69a3.png, а в знаменателе hello_html_42455c20.png.

В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом у нас hello_html_m27fe69a3.png, значит, в знаменателе нам тоже нужно получить hello_html_m27fe69a3.png».
А делается это очень просто:

hello_html_m5fc3ef4e.png

То есть, знаменатель искусственно умножается в данном случае на 7 и делится на ту же семерку. Теперь запись у нас приняла знакомые очертания.
Когда задание оформляется от руки, то первый замечательный предел желательно пометить простым карандашом:

hello_html_4a01e363.jpg
Что произошло? По сути, обведенное выражение у нас превратилось в единицу и исчезло в произведении:
hello_html_m411c1994.jpg
Теперь только осталось избавиться от трехэтажности дроби:
hello_html_5c34373a.jpg
Готово. Окончательный ответ: hello_html_604ed83c.png


21.2 ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

В теории математического анализа доказано, что:

hello_html_254643b4.png

Данный факт носит название второго замечательного предела.

Справка: hello_html_m5de94ef5.png – это иррациональное число.

В качестве параметра hello_html_m5814e99c.png может выступать не только переменная hello_html_m61f18daf.png, но и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности.


Пример 2

Найти предел hello_html_m1eea1fc.png

Когда выражение под знаком предела находится в степени – это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел.

Но сначала, как всегда, пробуем подставить бесконечно большое число в выражение  hello_html_396f57c9.png

Нетрудно заметить, что при hello_html_m26a9a1b5.png основание степени hello_html_m48729ee7.png, а показатель – hello_html_26541f6c.png, то есть имеется, неопределенность вида hello_html_m655c12a5.png:

hello_html_m5ebccff6.png

Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но, как часто бывает, второй замечательный предел не лежит на блюдечке с голубой каемочкой, и его нужно искусственно организовать. Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр hello_html_1913a430.png, значит, в показателе нам тоже нужно организовать  hello_html_42455c20.png. Для этого возводим основание в степень hello_html_42455c20.png, и, чтобы выражение не изменилось – возводим в степень hello_html_3f684d97.png:

hello_html_4e458bac.png

Когда задание оформляется от руки, карандашом помечаем:

hello_html_768c3278.jpg
Практически всё готово, страшная степень превратилась в симпатичную букву hello_html_e7191d4.png:

При этом сам значок предела перемещаем в показатель.
hello_html_m6b30dc80.jpg




 

ПРАКТИКУМ 21

ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Первый замечательный предел
hello_html_m2fa38ff8.png …

Решение:
Чтобы воспользоваться первым замечательным пределом hello_html_m5a5d0ebb.png 
необходимо, используя соотношение hello_html_m57829f0e.png вынести множитель hello_html_43f2072f.png за знак предела. Тогда: hello_html_51cbc8c5.png


ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Первый замечательный предел
hello_html_m4746d2e9.png …

Решение:
Чтобы воспользоваться первым замечательным пределом hello_html_m5a5d0ebb.png 
необходимо, используя соотношение hello_html_m57829f0e.png вынести множитель hello_html_4cf79dce.png за знак предела. Тогда: hello_html_m4fae9976.png


ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Второй замечательный предел
Пусть hello_html_15bbe33c.png. Тогда hello_html_b5c7da.png равен …

Решение:
Обращаем внимание, что функцию hello_html_241d397f.pngнужно преобразовать так, чтобы использовать второй замечательный предел – формулу hello_html_7d0570f.png.
Для этого числитель и знаменатель дроби необходимо разделить на число hello_html_459dda2.png,
получается hello_html_m259a430a.png
Далее нужно выполнить замену переменной, полагая hello_html_25ab282a.png. Тогда если hello_html_6cb47e31.png,
то hello_html_730279e6.png, hello_html_m4c00b48a.png и, следовательно,
hello_html_45c96f8a.png Получаем hello_html_m2c5e44b1.png


ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Второй замечательный предел
Пусть hello_html_32389f98.png. Тогда hello_html_b5c7da.png равен …

Решение:
Обращаем внимание, что функцию hello_html_241d397f.pngнужно преобразовать так, чтобы использовать второй замечательный предел – формулу hello_html_7d0570f.png.
Для этого числитель и знаменатель дроби необходимо разделить на число hello_html_m6c5f57b0.png,
получается hello_html_m73e6d319.png
Далее нужно выполнить замену переменной, полагая hello_html_3d09b160.png. Тогда если hello_html_6cb47e31.png,
то hello_html_730279e6.png, hello_html_1c30a09e.png и, следовательно,
hello_html_m4563a199.png Получаем hello_html_3a28e7f3.png



САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 21


ЗАДАНИЕ N 1
Тема: Первый замечательный предел
hello_html_m2fa38ff8.png …

 ЗАДАНИЕ N 2
Тема: Первый замечательный предел
hello_html_m4746d2e9.png …

ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Первый замечательный предел
hello_html_7b67dc9.png …

 ЗАДАНИЕ N 4
Тема: Второй замечательный предел
Пусть hello_html_15bbe33c.png. Тогда hello_html_b5c7da.png равен …

ЗАДАНИЕ N 5
Тема: Второй замечательный предел
Пусть hello_html_3c87135f.png. Тогда hello_html_b5c7da.png равен …

 ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Второй замечательный предел
Пусть hello_html_6196424c.png. Тогда hello_html_b5c7da.png равен …

ЗАДАНИЕ N 7

Тема: Второй замечательный предел
Пусть hello_html_15bbe33c.png. Тогда hello_html_b5c7da.png равен …


ЗАДАНИЕ N 8
Тема: Второй замечательный предел
Пусть hello_html_15e8a2ac.png. Тогда hello_html_b5c7da.png равен …








Автор
Дата добавления 05.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров424
Номер материала ДВ-229889
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх