Пособие по теме "Пределы"

        НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Числовая последовательность. Предел последовательности.

Бесконечная числовая последовательность - это числовая функция, определенная на множестве N натуральных чисел.

Геометрически такая последовательность будет изображаться  множеством точек. Числовая последовательность всегда бесконечна, но множество точек, которое они изображают, могут иметь как конечное, так и бесконечное число.

Например: Множество натуральных чисел: 1; 2;3; 4;...n... - геометр. представляют собой бесчисленное число различных точек.

         Последовательность вида  1; 1;1; 1;... - бесконечна, но количество точек: две.

Различают последовательности: 

1.       Возрастающие (убывающие) – x_n+1 > x_n  (x_n+1 <  x_n). Например:a_n=1, 4, 9,16,... n²,...- _{возраст. послед.;} 1, 2, 3, 4,... n,...- убыв. последовательность.

2.       Ограниченные: сверху - x_n  M; снизу - x_n  m; и сверху и снизу -   m   x_n   M. Например: 1

0n₂ 1

3.       Постоянные последовательности – это последовательность, все члены которой _{совпадают. Например:} 4, 4, 4,... 4,....

Обычно последовательность задается формулой. 

Например: x_n  n^1; x_n  4n²  3ⁿ 1; x_n  ^(1)n . n1            n

Понятие о пределе последовательности

Число а называется пределом последовательности хn , если  >0 все члены последовательности хn  лежат  в -окрестности  ( а - ,  а +  )  т. а .

Т.е. найдется такой номер Nn, начиная с которого, отличие  хn  от  а  по модулю < :

| хn – а| < 

Записывают:

limnx an   (limit предел (лат.))

Геометр.:                                                                                                  а-       а     а+ 

Последовательность может иметь один предел. 

Последовательность называется бесконечно малой, если ее предел стремится к 0. 

Например: ^_ ¹ , ¹ , ¹,... ¹ ,...^_ 0.

                            2    4 8         2n 

Последовательность называется бесконечно большой, если ее предел стремится к . 

Например: 3; 5; 7; 9;...2n1....

Предел функции в точке

Число А называется пределом функции f(x)  при х а, если  >0, можно указать такое >0, что для  xa удовлетворяющего неравенству 0<|xa|<, выполняется неравенство   |f(x) – A|<.
Записывают:	lim ( )f x  A x a
Число А называется пределом f(X) при ха, если по мере того, как х приближается к а (справа или слева), f(x) приближается к А.

Функция f(x) называется бесконечно малой при ха, если    lim f (x)  0. xa

Функция f(x) называется бесконечно большой при ха, если    lim f (x) . xa

Основные теоремы о бесконечно малых  и бесконечно больших функциях

Т1. Если функции f(x) и  g(x) – бесконечно малые (бесконечно большие), то также являются бесконечно малыми (бесконечно большими) функции:

1) f(x) +  g(x)      2)f(x)   g(x)                 3)kf(x), kR, k-const, k0

Т2. Произведение ограниченной переменной величины на бесконечно малую, также является бесконечно малой величиной.

Т3. Функция, обратная по величине бесконечно малой, есть бесконечно большая (и наоборот).

Основные теоремы о пределах

Т1. Если предел функции существует, то он единственный. Т2. Предел постоянной величины, есть сама постоянная величина. limС С, С const. xa                    

Т3. Если  пределы функций f(x) и  g(x) при xa , то  также и предел их суммы (разности), равный сумме (разности) пределов f(x) и  g(x): 

 lim(f (x) g(x))  lim f (x)limg(x)

                                                       xa                                            xa                      xa

Т4. Если  пределы функций f(x) и  g(x) при xa , то  также и предел их произведения, равный произведению пределов f(x) и  g(x): 

limxa(f (x)g(x))limxa f (x)limxa g(x)

Следствие: Постоянный множитель можно вынести за скобку:

 limСf (x) Сlim f (x)

                                                                                 xa                                      xa

Т5. Если  пределы функций f(x) и g(x) при xa и предел g(x)0, то  также предел отношения f(x)/ g(x), равный отношению пределов функций f(x) и g(x): 

f (x)         lim f (x) lim  xa xa g(x)           limg(x) xa

Вычисление пределов функций

Основные факты: 

1) Любая элементарная функция непрерывна в любой внутренней точке Д(y). 2) Если функция y=f(x) непрерывна в т.x=a, то lim f (x)  f (a)

xa 3) Памятка для студентов

Степень двучлена: (a b)2 a2 2abb2 (a b)2 a2 2abb2 a2 b2  (ab)(ab) (ab)3 a3 3a2b3ab2 b3 (ab)3 a3 3a2b3ab2 b3 a3 b3 (ab)(a2 abb2) a3 b3  (ab)(a2 abb2)

Разложение квадратного трехчлена на множители: x2 pxq(xx1)(xx2) ax2 bxca(xx1)(xx2) Корни квадратных уравнений: a

1.      Предел функции в точке

для вычисления предела многочлена достаточно вместо переменной  поставить значение , к которому она стремится, и выполнить соответствующие действия

 

реши примеры

3.                                              4.                    5.

     2.Неопределенность   :

2.1.Чтобы раскрыть неопределенность 0/0, не зависящую от иррациональности, достаточно числитель и знаменатель дроби разложить на множители,  а затем сократить на множитель, приводящий к неопределенности.

Пример6

                           x² 6x 5                               x 5x 1                  x 1

limx x₂ 25  ^limx5 x _5x _5  ^limx5 x _5 

5

                 5 1              4

                            0,4

            5        5          10

: x² 6x 5  x 5x 1 D  364 1 5  16

x1  6 4  5; x2  64 1

                            2                                          2                                                                      

ПРИМЕР7:                                                                                  . Сократить дробь на критический

множитель  

пример 8 :                                                                                                         

                                    реши примеры

     9.     1           10.    – 3,                11.   равен …18

12.         13.        14.   

2.2.Чтобы раскрыть неопределенность вида        , в которой числитель или знаменатель, или тот и другой иррациональны, надо: − перенести иррациональность из числителя в знаменатель, или из знаменателя в числитель, домножив дробь на сопряженные выражения, либо сделать замену переменной.

15.

 

 

16.

 

3.Неопределенность  ^:



Чтобы раскрыть неопределенность /, необходимо  числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень аргумента,зная что

19

                                        x 8                   8

lim x8  lim x x^ _ lim ^1x _ 1 x 2x2 x 2x 2          x 2_ 2            2 x       x          x         

                              3         4x5                   x3  4x 5               1 4  5





20. limx 2xx3 4x2 5x    = limx 2xx333  4xx332 x5x3x3  limx 2x4x2  xx523  12   - 

                                                                                                           x        x

Кроме чисел 1 и 2 все остальные слагаемые числителя и знаменателя являются  б.м.ф. при x→∞,  т.е.

4

23.          ,    24.  равен …3  

25.

 

Домашнее задание №  «Вычисление пределов»

Часть 1.

                                            ³                             3)                   2)  lim 2x²  5x3                     3)  lim 6x² x1

1)  lim(3x 2x 

                     x3                                                                                               x1                x 3                                                x x

                                3x²  5x 2                                             5x² 51x10                                             x²  2x1

            4)  xlim -2                                                         5)  xlim10                  x10                                6)  limx1 2x2 x_1             

                                                                                                ⁴ x 2                                                           (x3)(x1)²

            7)  limx1                                                                  8)  xlim16 x 4                             9)  limx3 x2  2x_15

                                                                                                     1              2                                                 4x⁵  4x³  3

                                10)  limx0             11)  limx1(x1  x₂ 1)                 12)  limx                                          7x5 _ 4

                                      2x 1                                                      6x⁷  2                                                   2x3x⁴

13)  ^limx 3x5  _7x8                 14)  ^limx _4x5 _{ 7x}6 _1                  15)  ^limx _9x4 _{ 5}

1) -42;  2) -3;  3) 5;  4) -7;  5) 49;  6) 0;  7) ² ;  8) ;  9)  2;  10) 1; 11) ;  12) .

2

4.  Односторонние пределы

  Рассмотрим график некоторой функции y=f(x):

 

   При  x→a _– (слева)   lim f (x)  4   левосторонний предел

x2_

   При  x→a + (справа)  lim f (x) 3  правосторонний предел

x2

   Но при этом   lim f (x)  не существует!

x2

Таким образом, предел функции в точке существует, если существуют и равны оба односторонних предела.

5.  Непрерывность функции в точке  

Определение.  Функция  f(x)  называется непрерывной в точке  а, если предел функции при x→a  равен значению функции в точке  а.         lim f (x)  f (a)

xa

  Этому определению можно дать несколько трактовок, одна из которых:  Функция непрерывна в точке  а – значит  lim  lim  f (a)

                                                                                  xa            xa

  Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то она непрерывна на всем промежутке; если функция непрерывна в каждой точке области определения, то она непрерывна на всей области определения функции.  

Краткое описание документа:

Пособие предназначено для студентов технических специальностей 2 курса при изучении математики СПО.