Пособие по теме "Векторы в пространстве" (теория, тесты, опорная схема и задачи по теме)

Тест

Векторы в пространстве

Выберите верные высказывания:

1)     Векторы, имеющие равные длины, равны.

2)     Векторы, лежащие на двух прямых, перпендикулярных к одной плоскости, коллинеарны.

3)     Векторы коллинеарны, если они лежат на  параллельных прямых..

4)     Векторы, лежащие на двух прямых, параллельных одной плоскости, коллинеарны

5)     Векторы, лежащие на боковых ребрах призмы, коллинеарны

6)     Длины равных векторов равны.

7)     Любые два противоположно направленных вектора коллинеарны

8)     Любые два коллинеарных вектора сонаправлены

9)     Любые два равных вектора коллинеарны

10) Любые два сонаправленных вектора равны

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Да
Нет

Тест по теме «Векторы» по геометрии  в 10 классе.

Вариант 1.

Группа А. В таблицу впишите букву правильного ответа

N	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ответ

1.     Даны точки А(4; 5; 1) и В(0; 9; -8). Чему равна длина отрезка АВ?

a)                b)          c)            d)             e)

2.     Укажите пару коллинеарных векторов:

a) и                b) и              c) и    

d) и               e) и

3.     Могут ли векторы быть коллинеарными, но не равными?

a) да                     b) нет                     c)  не достаточно данных

4.     Вектор  ортогонален вектору . Укажите координаты вектора :

a)                           b)                   c)       

d)                            e)

5.     Вычислить координаты середины отрезка АВ, если А(-10; 2; 3) и В(0; 16; -7).

a)             b)         c)         d)          e)

6.     Чему равен модуль вектора , если M  N

a)                    b)          c)            d)              e)

7.     При каком положительном n векторы  и  ортогональны?

a) -2; 1                 b) 1               c) 1; 2                 d) 2             e) -2

8.     Вычислить скалярное произведение векторов  и :

a) -14                   b) 4               c) -4                    d) 10                    e) -10

9.     Вычислить угол между векторами  и :

a) 45˚                   b) 60˚            c) 30˚                  d) 90˚                    e) 120˚

10. Даны векторы и . Вычислить координаты вектора .

a)          b)           c)         d)          e)

 

Группа В. В таблицу впишите правильный ответ.     

Даны три точки А(1; 5; -3), В(6; 4; -3) и С(2; 0; -3). Вычислить:

1.  Длину медианы АМ

2.  Периметр ∆АВС

3.  Косинус угла С

Вариант 2.

Группа А. В таблицу впишите букву правильного ответа

N	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ответ

1.     Даны точки А(0; 18; -1) и В(4; 13; 0). Чему равна длина отрезка АВ?

a)                b)          c)            d)             e)

2.     Укажите пару коллинеарных векторов:

a) и                b) и             c) и    

d) и               e) и

3.     Могут ли векторы быть равными, но не коллинеарными?

a) да                     b) нет                     c)  не достаточно данных

4.     Вектор  ортогонален вектору . Укажите координаты вектора :

a)                           b)                   c)       

d)                              e)

5.     Вычислить координаты середины отрезка АВ, если А(-5;1; 10) и В(-5; 15; -14).

a)             b)         c)         d)          e)

6.     Чему равен модуль вектора , если M  N

a)  4            b)            c)            d)             e)

7.     При каком положительном n векторы  и  ортогональны?

a) -2; 1                 b) -2              c) 2            d) 1; 2                   e) 1

8.     Вычислить скалярное произведение векторов  и :

a) -14                   b) 14             c) -4                    d) 10                    e) -10

9.     Вычислить угол между векторами  и :

a) 90˚                    b) 30˚                     c) 60˚                  d) 45˚                   e) 120˚

10. Даны векторы  и . Вычислить координаты вектора .

a)          b)           c)         d)          e)

 

Группа В. В таблицу впишите правильный ответ.

Даны три точки А(-1; 3; -5), В(4; 2; -5) и С(0; -2; -5). Вычислить:

1.  Длину медианы АМ

2.  Периметр ∆АВС

3.  Косинус угла С

Коды правильных ответов теста:

Группа А

Группа В

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

I

a

b

a

d

b

c

b

e

a

e

II

b

b

b

b

b

a

e

b

d

c

задачи
Дано: Найти: координаты и модули векторов:	Дано:   1.     Построить векторы:       2.     Вычислить модули построенных векторов и косинус угла между векторами
Дано:	Дано: Найти: 1) 2) 3)
Дано: При каком значении m векторы будут коллинеарны?	Дано: . При каком k векторы ортогональны?
Дано: При каком значении λ вектор  коллинеарен вектору	Найти скалярное произведение векторов , если
На оси Ох найти точку, равноудаленную от точек А(3; 4) и В(10; 2).	Найти расстояние от точки А(3; -5; 6) до плоскостей хОу и xOz.
Даны точки А(-1; 3; 8) и В(-1; 2; 9). Найти все точки С на плоскости уOz, такие, что треугольник АВС равносторонний.	Вычислить периметр треугольника АВС, если А(0; -1; 5), В(-10; 4; 0), С(2; 0; 2)
Вычислить площадь параллелограмма, построенного  на векторах

• 1 слайд

  Векторы в пространстве
  Пособие для учащихся
  
  Учитель математики Рыбина Н.Н
  

• 2 слайд

  Понятие вектора
  Отрезок, для которого указано, какая его граничная точка является началом, а какая - концом, называется направленным отрезком или вектором
  A
  B
  AB
  Конец вектора
  Начало вектора
  либо а
  a
  

• 3 слайд

  М
  Длина вектора
  К
  Е
  вектор ММ - нулевой вектор
  Длиной вектора или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка
  |КЕ| = |KE| длина вектора КЕ
  |ММ| = 0
  

• 4 слайд

  Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору
  Коллинеарные векторы
  М
  с
  L
  K
  b
  A
  B
  Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых
  

• 5 слайд

  с
  L
  K
  b
  A
  B
  Сонаправленные векторы
  Коллинеарные векторы, имеющие одинаковое направление, называются сонаправленными векторами
  М
  c ↑↑ KL AB ↑↑ b MM ↑↑ (любому вектору)
  

• 6 слайд

  с
  b
  L
  K
  A
  B
  Противоположно направленные векторы
  Коллинеарные векторы, имеющие противоположное направление, называются противоположно направленными векторами
  b ↑↓ KL AB ↑↓ c
  c↑↓ b KL ↑↓ AB
  

• 7 слайд

  Равенство векторов
  L
  K
  b
  A
  B
  Векторы называются равными, если:
  1) они сонаправлены ;
  2) их длины равны.
  m ↑↑ KL, | m | = | KL | след-но m = KL
  m
  

• 8 слайд

  Векторы в пространстве
  3
  4
  5
  

• 9 слайд

  Прямоугольная система координат
  Тройка взаимно перпендикулярных координатных прямых с общим началом координат.
  Впервые введена Р.Декартом(1596-1650)
  

• 10 слайд

  Координаты точки
  Каждая точка в пространстве задаётся тройкой чисел (x,y,z ) называемых координатами точки в пространстве
  

• 11 слайд

  Координаты вектора
  Векторы (i. j. k) единичные векторы
  Любой вектор можно разложить по координатным векторам
  
  
  

• 12 слайд

  Длина вектора
  

• 13 слайд

  Сложение векторов
  Правило треугольника
  a
  a + b =c
  Дано: a, b
  Построить: c = a + b
  Построение:
  a
  b
  с
  b
  

• 14 слайд

  Сложение векторов
  Правило параллелограмма
  a
  a + b =c
  Дано: a, b
  Построить: c = a + b
  Построение:
  a
  с
  b
  b
  

• 15 слайд

  Правило параллелепипеда
  

• 16 слайд

  Правило многоугольника
  a
  b
  c
  d
  m
  n
  =a + b + c + d + m + n
  a
  b
  c
  d
  m
  n
  

• 17 слайд

  Вычитание векторов
  a
  a - b = n
  Построение:
  a
  b
  n
  b
  Дано: a, b
  Построить: n = a - b
  

• 18 слайд

  Сумма и разность векторов
  

• 19 слайд

  Законы сложения векторов
  Назад
  

• 20 слайд

  Умножение вектора a на число k
  k·a = b,
  |a| ≠ 0, k – произвольное число
  |b| = |k|·|a|,
  если k> 0, то a ↑↑ b
  если k< 0, то a ↑↓ b
  a
  2a
  -2a
  Для любых чисел k, l и любых векторов a, b справедливы равенства:
  1º. (kl)a= k(la) (сочетательный закон),
  2º. (k+l)a= ka+la (первый распределительный закон),
  3º. k(a+b) = ka+kb (второй распределительный закон).
  

• 21 слайд

  Сочетательный закон
  Умножение вектора на число
  

• 22 слайд

  Умножение вектора на число
  Первый распределительный закон
  

• 23 слайд

  Умножение вектора на число
  Второй распределительный закон
  

• 24 слайд

  Компланарные векторы
  Векторы называются компланарными,
  если при откладывании их от одной точки они будут
  лежать в одной плоскости.
  Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора считаются компланарными.
  Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.
  Замечания
  

• 25 слайд

  Компланарные векторы
  

• 26 слайд

  Скалярное произведение векторов
  

• 27 слайд

  Свойства скалярного произведения. Угол между векторами.
  

• 28 слайд

  Спасибо за ВНИМАНИЕ!!!