Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Пособие-тренажёр по подготовке к ОГЭ " Уравнения. Виды уравнений."

Пособие-тренажёр по подготовке к ОГЭ " Уравнения. Виды уравнений."

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_1a8f4409.jpg



















Учебное пособие-тренажёр по теме:

«Уравнения. Виды уравнений.»

































  • Уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

  • Значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения.

  • Решить уравнение-значит найти все его корни ( или убедиться, что корней нет).





компоненты математических действий

Названия компонентов при сложении:

1 слагаемое, 2 слагаемое, сумма.

a+b = c, a-первое слагаемое, b-второе слагаемое, c-сумма

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Пример1: х+25 = 60 Пример2: 30+х=45

х=60-25 х=45-30

х=35 х=15

Суммой называют не только результат, но и само выражение . 

2 + 3 = 5

2 -  первое слагаемое

3 -  второе слагаемое

5 -  сумма

2 + 3 -  сумма

Чтобы найти неизвестное слагаемое надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Названия компонентов при вычитании:

уменьшаемое, вычитаемое, разность.

Вычитание:

a-b = c, a-уменьшаемое, b-вычитаемое, c-разность

Пример1: х-45 = 60 Пример2: 30-х=5

х=60+45 х=30-5

х=105 х=25



Разностью называют не только результат действия, но и само выражение.

8 - 3 = 5

8 -  уменьшаемое

3 -  вычитаемое

5 -  разность

8 - 3 -  разность

Чтобы найти уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Чтобы найти вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

Названия компонентов при умножении:

множитель, множитель, произведение.

Умножение: ab = c, a-множитель, b-множитель, c-произведение




Пример1: х ∙ 5 = 60 Пример2: 3 ∙ х = 45

х = 60 : 5 х = 45 : 3

х = 12 х = 15


Произведением  называют не только результат действия, но и само выражение.

8 ∙ 3 = 24

8 -  множитель

3 -  множитель

24 -  произведение

8 ∙ 3 -  произведение

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель (24:8=3)

Названия компонентов при делении:

делимое, делитель, частное.

Деление:

а : b = c, a-делимое, b-делитель, c-частное

Частным  называют не только результат действия, но и само выражение.

8 : 2 = 4

8 -  делимое

2 -  делитель

4 - частное

8 : 4 -  частное

Чтобы найти делимое, надо частное  умножить на делитель (4 ∙ 2 = 8)

а = bc

Чтобы найти делитель, надо делимое разделить на частное  (8 : 4 = 2)



b = а : c

Линейные уравнения:

Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида ах+b=0, где а и b – любые числа ( коэффициенты) .

  • Если а=0 и b=0, то корнем уравнения является любое число ( бесконечное множество корней).

  • Если а=0 и b0, то уравнение корней не имеет.

  • Если а0 и b=0, то уравнение имеет один корень х = (-b):а = -

Алгоритм решения линейных уравнений вида: ах+b=0, когда а0

  1. Преобразовать уравнение к виду: ах= - b

  2. Записать корень уравнения в виде х= (-b):а( или - и вычислить.



Алгоритм решения линейных уравнений вида: ах+b= сх+d

  1. Собираем слагаемые с переменной в левой части уравнения, остальные слагаемые – в правой.

  2. Приводим подобные слагаемые .

  3. Делим обе части уравнения на коэффициент при переменной.





















hello_html_m19d5ce79.jpg

Алгоритм решения квадратных уравнений

Квадратное уравнение : ax² + bx + c = 0, где a 0

а-старший коэффициент (при х²), b-средний коэффициент (при х), с-свободный коэффициент (число)

Полное квадратное уравнение

ax² + bx + c = 0,

Приведённое квадратное уравнение ( а=1), b=p, с=q,

x² + px + q = 0,

Неполные квадратные уравнения

1.Вычислить дискриминант ( определитель)по формуле:

D = - 4ac;


а) Если D˃0, то уравнение имеет 2 корня.


=


б) Если D=0, то уравнение имеет 1 корень (на самом деле 2 одинаковых корня, но так как они совпадают, то говорят, что уравнение имеет один корень).


х =


в) Если D˂0, то уравнение не имеет корней.

1) Решают как уравнение в общем виде:

1.Вычислить дискриминант по формуле:

D = - 4q;


а) Если D˃0, то уравнение имеет 2 корня.


=


б) Если D=0, то уравнение имеет 1 корень( 2 одинако-вых корня).


х =


в) Если D˂0, то уравнение не имеет корней.


2)По теореме Виета:



ax² + bx = 0, (с=0)

(2 корня)

ax² + c = 0,

( b = 0)

(2 корня или нет корней)

ax² = 0

(b = 0, с=0)

(1 корень)

x=0

x=0 или =0

= 0, = -;

1.Если a и c имеют разные знаки, то 2 корня!

=;

2. Если a и c имеют одинаковые знаки, то нет корней!


x = 0

(всегда!)





Биквадратное уравнение: a + b + c = 0, где a 0.

Замена = t, + bt + c = 0,

= , = ( если

Биквадратным уравнением — называется уравнение вида ax4 + bx2 + c = 0.

Метод решения

Порядок действий при решении биквадратных уравнений

  1. Ввести новую переменную hello_html_5f8c0089.png

  2. Подставить данную переменную в исходное уравнение

  3. Решить квадратное уравнение относительно новой переменной

  4. После нахождения корней (hello_html_4ccd01d5.png) подставить их в нашу переменную hello_html_5f8c0089.pngи найти исходные корни биквадратного уравнения

Пример решения

Решим биквадратное уравнение hello_html_680f4fb1.png. Сначала приводим это уравнение к квадратному. Для этого введем вспомогательное неизвестное hello_html_m6cc7c42f.pngтакое, что hello_html_5f8c0089.png. Тогда hello_html_m1bb0d5d.png. Теперь данное биквадратное уравнение приводится к виду:

hello_html_5498c890.png

Решая это квадратное уравнение, мы получим hello_html_88a3a72.png, hello_html_3a03399e.png. Так как hello_html_5f8c0089.png, то данное биквадратное уравнение эквивалентно системе двух уравнений:

hello_html_m685af93b.jpg

Решим каждое из этих уравнений и найдем объединение множеств их решений.

hello_html_36a8c95.jpg

hello_html_m20940814.png

Уравнения, состоящие из произведения, равному нулю

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла..

С помощью этого правила решают уравнения, в которых произведение нескольких множителей равно нулю. Уравнения вида «Произведение равно нулю» — одни из самых распространенных в математике.

Примеры.

    hello_html_161ef80b.png

Это уравнение вида «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому приравниваем к нулю каждый из множителей:

5x=0     или     2x-7=0      или     3x+18=0.

Теперь решаем каждое из уравнений. Первое — простейшее линейное уравнение. Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

5x=0  I:5

x=0

Второе и третье — линейные уравнения. Алгоритм решения: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

2x=7   I :2               3x=-18    I :3

x=3,5                        x=-6

Ответ: 0; 3,5; -6.

Замечания.

1) Это уравнение также можно рассмотреть как произведение четырех множителей:

    hello_html_3ec369d3.png

Рассуждаем так: поскольку произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а первый множитель 5≠0, приравниваем к нулю остальные множители:

x=0     или     2x-7=0        или     3x+18=0.

2) Поскольку перед буквой и перед скобками знак умножения можно не писать, условие уравнений обычно выглядят так:

5x(2x-7)(3x+18)=0.


Рациональные выражения и рациональные уравнения

Мы уже научились решать квадратные уравнения. Теперь распространим изученные методы на рациональные уравнения.

Что такое рациональное выражение? Мы уже сталкивались с этим понятием. Рациональными выражениями называются выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков математических действий.

Соответственно, рациональными уравнениями называются уравнения вида: hello_html_6558094d.png, где hello_html_3e8ebe.png – рациональные выражения.

Раньше мы рассматривали только те рациональные уравнения, которые сводятся к линейным. Теперь рассмотрим и те рациональные уравнения, которые сводятся и к квадратным.

Пример решения рационального уравнения

Пример 1

Решить уравнение: hello_html_m26cc2807.png.

Решение:

В самом начале перенесем все слагаемые в левую сторону, чтобы справа остался 0. Получаем:

hello_html_246b7a6a.png

Теперь приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

hello_html_609b8215.png

hello_html_7f82b7.png

hello_html_50855d61.png

hello_html_m1a4e42f7.png

Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда ее числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.

Получаем следующую систему:

hello_html_m51b335d2.png

Первое уравнение системы – это квадратное уравнение. Прежде чем его решать, поделим все его коэффициенты на 3. Получим:

hello_html_3851b145.png

Коэффициенты данного уравнения: hello_html_6a7438eb.png. Вычисляем дискриминант: hello_html_m53fbc47.png

Далее, по формуле корней квадратного уравнения находим:

hello_html_43eb1f0c.png

Получаем два корня: hello_html_5dfd520c.png; hello_html_665a426d.png.

Теперь решим второе неравенство: произведение множителей не равно 0 тогда и только тогда, когда ни один из множителей не равен 0.

Поскольку 2 никогда не равно 0, то необходимо, чтобы выполнялись два условия: hello_html_3e93cbe.png. Поскольку ни один из полученных выше корней уравнения не совпадает с недопустимыми значениями переменной, которые получились при решении второго неравенства, они оба являются решениями данного уравнения.

Ответ: hello_html_2515280b.png.

Алгоритм решения рационального уравнения

Итак, давайте сформулируем алгоритм решения рациональных уравнений:

1. Перенести все слагаемые в левую часть, чтобы в правой части получился 0.

2. Преобразовать и упростить левую часть, привести все дроби к общему знаменателю.

3. Полученную дробь приравнять к 0, по следующему алгоритму: hello_html_53d1c860.png.

4. Записать те корни, которые получились в первом уравнении и удовлетворяют второму неравенству, в ответ.

Пример решения рационального уравнения

Давайте рассмотрим еще один пример.

Пример 2

Решить уравнение: hello_html_1b2d16fa.png.

Решение

В самом начале перенесем все слагаемые в левую сторону, чтобы справа остался 0. Получаем:

hello_html_m5b55e8f1.png

Теперь приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

hello_html_m2f660977.png

hello_html_m2cae23f0.png

hello_html_65cfc3c3.png

hello_html_a650344.png

hello_html_m7faa3098.png

Данное уравнение эквивалентно системе:

hello_html_m71c5959c.png

Первое уравнение системы – это квадратное уравнение.

Коэффициенты данного уравнения: hello_html_5872b996.png. Вычисляем дискриминант: hello_html_m1b9d759c.png

Далее, по формуле корней квадратного уравнения находим:

hello_html_42c14369.png

Получаем два корня: hello_html_m188599f8.png; hello_html_48952005.png.

Теперь решим второе неравенство: произведение множителей не равно 0 тогда и только тогда, когда ни один из множителей не равен 0.

Необходимо, чтобы выполнялись два условия: hello_html_6689879c.png. Получаем, что из двух корней первого уравнения подходит только один – 3.

Ответ:3.

Понятие иррационального уравнения. 

Иррациональным уравнением называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня (радикала) или под знаком операции возведения в дробную степень.

Примеры иррациональных уравнений: hello_html_m69b58009.gif; hello_html_3bd678b5.gif;

hello_html_m6b0f4f08.gif; hello_html_mf9dde59.gif; hello_html_m693ef7f2.gif 

3.2. Основные приемы решения иррациональных уравнений.

Основная идея при решении уравнений данного типа - это освобождение их от иррациональности. Этого можно достичь путем совместного возведения обеих частей уравнения в нужную степень.

Например:

hello_html_mf9dde59.gif, hello_html_m62cf0d9a.gif.

Либо избавиться от иррациональности можно путем извлечения корня из соответствующей степени выражения, например:

hello_html_3bd678b5.gif, hello_html_7b3099e6.gif.

При возведении обеих частей уравнения в нечетную степень (3,5,7…) выполняется равносильное преобразование уравнения, поэтому посторонние решения не появляются.

Пример решения уравнения:

hello_html_6ece8404.gif, hello_html_m406e7db.gif, hello_html_m629013fb.gif, hello_html_me74d6f.gif, hello_html_6c36aa0f.gif

hello_html_7c95ef18.gifили hello_html_5864e3ea.gif

Ответ: 0;1.

Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, является неравносильным преобразованием уравнений, поэтому в решении могут появляться посторонние корни. Для отсеивания посторонних корней необходимо выполнять проверку или находить область допустимых значений.

Рассмотрим примеры решения подобных уравнений .

Пример № 1.

hello_html_m2dcf0fc8.gif, hello_html_m4eeb2fc4.gif, hello_html_1c119593.gif,

hello_html_m50cb0944.gif, hello_html_9178fe.gif.

Проверка: 1) hello_html_m50cb0944.gif, то hello_html_396f10ad.gifи hello_html_m1d7535a.gif, hello_html_5d6ce866.gif

2) hello_html_9178fe.gif, то hello_html_4df0f1b0.gifи hello_html_m10b4c513.gif, hello_html_m960c51a.gif.

Значит hello_html_573c97b1.gifне является корнем уравнения.

Ответ: hello_html_m875e991.gif

Пример № 2.

hello_html_7cced170.gif

Найдем ОДЗ: hello_html_336b08ed.gif, hello_html_bcada58.gif, hello_html_7aa81252.gif

Возведем обе части уравнения в квадрат:

hello_html_7203eed0.gif, hello_html_m3c9edba2.gif, hello_html_71e48b84.gif, hello_html_m3d25e45a.gif

Пусть hello_html_2e147681.gif, тогда оценка корней показывает, что hello_html_m11ae21d2.gifпоэтому hello_html_m1572fbf7.gifкорнем уравнения не является.

Ответ: hello_html_2d423a6d.gif

Алгоритм решения иррациональных уравнений основными методами:

1.Найти ОДЗ или после нахождения корней уравнения выполнить проверку.

2.Возвести в одну и ту же степень обе части уравнения.

3.Решить полученное уравнение.

4.Записать ответ.

Рациональные уравнения

Рациональные уравнения - это уравнения, обе части которого являются рациональными выражениями.

Иногда встречается определение в немного другой формулировке:

Определение.

Рациональными уравнениями называют уравнения, в левой части которого находится рациональное выражение, а в правой – нуль.

Здесь стоит заметить, что по сути оба приведенных определения эквивалентны, так как для любых рациональных выражений P и Q уравнения P=Q и P−Q=0 являются равносильными уравнениями.

Отталкиваясь от озвученных определений, приведем несколько примеров рациональных уравнений. Например, x=1, 2·x−12·x2·y·z3=0, , - это все рациональные уравнения.

Из показанных примеров видно, что рациональные уравнения, как, впрочем, и уравнения других видов, могут быть как с одной переменной, так и с двумя, тремя и т.д. переменными. В следующих пунктах мы будем говорить о решении рациональных уравнений с одной переменной. Решение уравнений с двумя переменными и их большим числом заслуживают отдельного внимания.

Помимо деления рациональных уравнений по количеству неизвестных переменных, их еще разделяют на целые и дробные. Дадим соответствующие определения.

Определение.

Рациональное уравнение называют целым, если и левая, и правая его части являются целыми рациональными выражениями.

Определение.

Если хотя бы одна из частей рационального уравнения является дробным выражением, то такое уравнение называется дробно рациональным (или дробным рациональным).

Понятно, что целые уравнения не содержат деления на переменную, напротив, дробные рациональные уравнения обязательно содержат деление на переменную (или переменную в знаменателе). Так 3·x+2=0 и (x+y)·(3·x2−1)+x=−y+0,5 – это целые рациональные уравнения, обе их части являются целыми выражениями. А и x:(5·x3+y2)=3:(x−1):5 – примеры дробных рациональных уравнений.

Линейные уравнения и квадратные уравнения являются целыми рациональными уравнениями.


Решение целых уравнений.


Одним из основных подходов к решению целых уравнений является их сведение к равносильным алгебраическим уравнениям. Это можно сделать всегда, выполнив следующие равносильные преобразования уравнения:

сначала выражение из правой части исходного целого уравнения переносят в левую часть с противоположным знаком, чтобы получить нуль в правой части;

после этого в левой части уравнения образовавшееся целое выражение преобразуют в многочлен стандартного вида.

В результате получается алгебраическое уравнение, которое равносильно исходному целому уравнению. Так в самых простых случаях решение целых уравнений сводятся к решению линейных или квадратных уравнений, а в общем случае – к решению алгебраического уравнения степени n. Для наглядности разберем решение примера.

Пример.

Найдите корни целого уравнения 3∙(x+1)∙(x−3)=x∙(2∙x−1)−3.

Решение.

Сведем решение этого целого уравнения к решению равносильного ему алгебраического уравнения. Для этого, во-первых, перенесем выражение из правой части в левую, в результате приходим к уравнению 3∙(x+1)∙(x−3)−x∙(2∙x−1)+3=0. И, во-вторых, преобразуем выражение, образовавшееся в левой части, в многочлен стандартного вида, выполнив необходимые действия с многочленами: 3∙(x+1)∙(x−3)−x∙(2∙x−1)+3=(3∙x+3)∙(x−3)−2∙x²+x+3=3∙x²−9∙x+3∙x−9−2∙x²+x+3=x²−5∙x−-6. Таким образом, решение исходного целого уравнения сводится к решению квадратного уравнения x²−5∙x−6=0.

Вычисляем его дискриминант D=(−5)2−4∙1∙(−6)=25+24=49, он положительный, значит, уравнение имеет два действительных корня, которые находим по формуле корней квадратного уравнения:

Для полной уверенности выполним проверку найденных корней уравнения. Сначала проверяем корень 6, подставляем его вместо переменной x в исходное целое уравнение: 3•(6+1)•(6−3)=6•(2•6−1)−3, что то же самое, 63=63. Это верное числовое равенство, следовательно, x=6 действительно является корнем уравнения. Теперь проверяем корень −1, имеем 3•(−1+1)•(−1−3)=(−1)•(2•(−1)−1)−3, откуда, 0=0. При x=−1 исходное уравнение также обратилось в верное числовое равенство, следовательно, x=−1 тоже является корнем уравнения.



Ответ:

6, −1.

Здесь еще нужно заметить, что с представлением целого уравнения в виде алгебраического уравнения связан термин «степень целого уравнения». Дадим соответствующее определение:

Определение.

Степенью целого уравнения называют степень равносильного ему алгебраического уравнения.

Согласно этому определению целое уравнение из предыдущего примера имеет вторую степень.

На этом можно бы было закончить с решением целых рациональных уравнений, если бы ни одно но…. Как известно, решение алгебраических уравнений степени выше второй сопряжено со значительными сложностями, а для уравнений степени выше четвертой вообще не существует общих формул корней. Поэтому для решения целых уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней часто приходится прибегать к другим методам решения.

В таких случаях иногда выручает подход к решению целых рациональных уравнений, основанный на методе разложения на множители. При этом придерживаются следующего алгоритма:

  1. сначала добиваются, чтобы в правой части уравнения был нуль, для этого переносят выражение из правой части целого уравнения в левую;

  2. полученное выражение в левой части представляют в виде произведения нескольких множителей, что позволяет перейти к совокупности нескольких более простых уравнений.

Приведенный алгоритм решения целого уравнения через разложение на множители требует детального разъяснения на примере.

Пример.

Решите целое уравнение (x²−1)∙(x²−10∙x+13)=2∙x∙(x²−10∙x+13).

Решение.

Сначала как обычно переносим выражение из правой части в левую часть уравнения, не забыв изменить знак, получаем (x²−1)∙(x²−10∙x+13)−2∙x∙ (x²−10∙x+13)=0. Здесь достаточно очевидно, что не целесообразно преобразовывать левую часть полученного уравнения в многочлен стандартного вида, так как это даст алгебраическое уравнение четвертой степени вида −12∙+32∙x−16∙x−13=0, решение которого сложно.

С другой стороны, очевидно, что в левой части полученного уравнения можно вынести за скобки общий множитель x²−10x+13, тем самым представив ее в виде произведения. Имеем (x²−10x+13)∙(x²−2x−1)=0. Полученное уравнение равносильно исходному целому уравнению, и его, в свою очередь, можно заменить совокупностью двух квадратных уравнений x²−10x+13=0 и x²−2x−1=0. Нахождение их корней по известным формулам корней через дискриминант не составляет труда, корни равны . Они являются искомыми корнями исходного уравнения.

.

Для решения целых рациональных уравнений также бывает полезен метод введения новой переменной. В некоторых случаях он позволяет переходить к уравнениям, степень которых ниже, чем степень исходного целого уравнения.

Пример.

Найдите действительные корни рационального уравнения (x²+3∙x+1)² +10=−2(x²+3x−4).

Решение.

Здесь несложно заметить, что можно ввести новую переменную y, и заменить ею выражение x²+3x. Такая замена приводит нас к целому уравнению (y+1)2+10=−2(y−4), которое после переноса выражения −2(y−4) в левую часть и последующего преобразования образовавшегося там выражения, сводится к квадратному уравнению y²+4y+3=0. Корни этого уравнения y=−1 и y=−3 легко находятся, например, их можно подобрать по теореме Виета.

Теперь переходим ко второй части метода введения новой переменной, то есть, к проведению обратной замены. Выполнив обратную замену, получаем два уравнения x²+3x=−1 и x²+3x=−3, которые можно переписать как x²+3x+1=0 и x²+3x+3=0. По формуле корней квадратного уравнения находим корни первого уравнения . А второе квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен (D=32−4∙3=9−12=−3).

.

Вообще, когда мы имеем дело с целыми уравнениями высоких степеней, всегда надо быть готовым к поиску нестандартного метода или искусственного приема для их решения.



Решение дробно рациональных уравнений

Сначала будет полезно разобраться, как решать дробно рациональные уравнения вида , где p(x) и q(x) – целые рациональные выражения.

В основе одного из подходов к решению уравнения лежит следующее утверждение: числовая дробь u/v, где v – отличное от нуля число (иначе мы столкнемся с делением на нуль, которое не определено), равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, то есть, тогда и только тогда, когда u=0. В силу этого утверждения, решение уравнения сводится к выполнению двух условий p(x)=0 и q(x)≠0.

Этому заключению соответствует следующий алгоритм решения дробно рационального уравнения . Чтобы решить дробное рациональное уравнение вида , надо

решить целое рациональное уравнение p(x)=0;

и проверить, выполняется ли для каждого найденного корня условие q(x)≠0, при этом

если выполняется, то этот корень является корнем исходного уравнения;

если не выполняется, то этот корень – посторонний, то есть, не является корнем исходного уравнения.

Разберем пример применения озвученного алгоритма при решении дробного рационального уравнения.

Пример.

Найдите корни уравнения .

Решение.

Это дробно рациональное уравнение, причем вида , где p(x)=3•x−2, q(x)=5•x2−2=0.

Согласно алгоритму решения дробно рациональных уравнений этого вида, нам сначала надо решить уравнение 3•x−2=0. Это линейное уравнение, корнем которого является x=2/3.

Осталось выполнить проверку для этого корня, то есть проверить, удовлетворяет ли он условию 5•x2−2≠0. Подставляем в выражение 5•x2−2 вместо x число 2/3, получаем . Условие выполнено, поэтому x=2/3 является корнем исходного уравнения.

Ответ:

2/3.

К решению дробного рационального уравнения можно подходить с немного другой позиции. Это уравнение равносильно целому уравнению p(x)=0 на области допустимых значений (ОДЗ) переменной x исходного уравнения. То есть, можно придерживаться такого алгоритма решения дробно рационального уравнения :

решить уравнение p(x)=0;

найти ОДЗ переменной x;

взять корни, принадлежащие области допустимых значений, - они являются искомыми корнями исходного дробного рационального уравнения.

Для примера решим дробное рациональное уравнение по этому алгоритму.

Пример.

Решите уравнение .

Решение.

Во-первых, решаем квадратное уравнение x2−2•x−11=0. Его корни можно вычислить, используя формулу корней для четного второго коэффициента, имеем D1=(−1)2−1•(−11)=12, и .

Во-вторых, находим ОДЗ переменной x для исходного уравнения. Ее составляют все числа, для которых x2+3•x≠0, что то же самое x•(x+3)≠0, откуда x≠0, x≠−3.

Остается проверить, входят ли найденные на первом шаге корни в ОДЗ. Очевидно, да. Следовательно, исходное дробно рациональное уравнение имеет два корня .

Ответ:

.

Отметим, что такой подход выгоднее первого, если легко находится ОДЗ, и особенно выгоден, если еще при этом корни уравнения p(x)=0 иррациональные, например, , или рациональные, но с довольно большим числителем и/или знаменателем, к примеру, 127/1101 и −31/59. Это связано с тем, что в таких случаях проверка условия q(x)≠0 потребует значительных вычислительных усилий, и проще исключить посторонние корни по ОДЗ.

В остальных случаях при решении уравнения , особенно когда корни уравнения p(x)=0 целые, выгоднее использовать первый из приведенных алгоритмов. То есть, целесообразно сразу находить корни целого уравнения p(x)=0, после чего проверять, выполняется ли для них условие q(x)≠0, а не находить ОДЗ, после чего решать уравнение p(x)=0 на этой ОДЗ. Это связано с тем, что в таких случаях сделать проверку обычно проще, чем найти ОДЗ.

Рассмотрим решение двух примеров для иллюстрации оговоренных нюансов.

Пример.

Найдите корни уравнения .

Решение.

Сначала найдем корни целого уравнения (2x−1)(x−6)(x²−5x+14)(x+1)=0, составленного с использованием числителя дроби. Левая часть этого уравнения – произведение, а правая – нуль, поэтому, согласно методу решения уравнений через разложение на множители, это уравнение равносильно совокупности четырех уравнений 2x−1=0, x−6=0, x²−5x+14=0, x+1=0. Три из этих уравнений линейные и одно – квадратное, их мы умеем решать. Из первого уравнения находим x=1/2, из второго: x=6, из третьего: x=7, x=−2, из четвертого : x=−1.

С найденными корнями достаточно легко выполнить их проверку на предмет того, не обращается ли при них в нуль знаменатель дроби, находящейся в левой части исходного уравнения, а определить ОДЗ, напротив, не так просто, так как для этого придется решать алгебраическое уравнение пятой степени. Поэтому, откажемся от нахождения ОДЗ в пользу проверки корней. Для этого, по очереди, подставляем их вместо переменной x в выражение −15+57х³−13x²+26x+112, вычисляем значения выражений, получающихся после подстановки, и сравниваем их с нулем: (1/2)5−15•(1/2)4+57•(1/2)3−13•(1/2)2+26•(1/2)+112=1/32−15/16+57/8−13/4+13+112=122+1/32≠0;

65−15•64+57•63−13•62+26•6+112=448≠0;

75−15•74+57•73−13•72+26•7+112=0;

(−2)5−15•(−2)4+57•(−2)3−13•(−2)2+26•(−2)+112=−720≠0;

(−1)5−15•(−1)4+57•(−1)3−13•(−1)2+26•(−1)+112=0.

Таким образом, 1/2, 6 и −2 являются искомыми корнями исходного дробно рационального уравнения, а 7 и −1 – посторонние корни.

Ответ:

1/2, 6, −2.

Пример.

Найдите корни дробного рационального уравнения .

Решение.

Сначала найдем корни уравнения (5•x2−7•x−1)•(x−2)=0. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: квадратного 5•x2−7•x−1=0 и линейного x−2=0. По формуле корней квадратного уравнения находим два корня , а из второго уравнения имеем x=2.

Проверять, не обращается ли в нуль знаменатель при найденных значениях x, достаточно неприятно. А определить область допустимых значений переменной x в исходном уравнении достаточно просто. Поэтому, будем действовать через ОДЗ.

В нашем случае ОДЗ переменной x исходного дробно рационального уравнения составляют все числа, кроме тех, для которых выполняется условие x2+5•x−14=0. Корнями этого квадратного уравнения являются x=−7 и x=2, откуда делаем вывод про ОДЗ: ее составляют все такие x, что .

Остается проверить, принадлежат ли найденные корни и x=2 области допустимых значений. Корни - принадлежат, поэтому, они являются корнями исходного уравнения, а x=2 – не принадлежит, поэтому, это посторонний корень.

Ответ:

.

Еще полезным будет отдельно остановиться на случаях, когда в дробном рациональном уравнении вида в числителе находится число, то есть, когда p(x) представлено каким-либо числом. При этом

если это число отлично от нуля, то уравнение не имеет корней, так как дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю;

если это число нуль, то корнем уравнения является любое число из ОДЗ.

Пример.

Решите дробное рациональное уравнение .

Решение.

Так как в числителе дроби, находящейся в левой части уравнения, отличное от нуля число, то ни при каких x значение этой дроби не может равняться нулю. Следовательно, данное уравнение не имеет корней.

Ответ:

нет корней.

Пример.

Решите уравнение .

Решение.

В числителе дроби, находящейся в левой части данного дробного рационального уравнения, находится нуль, поэтому значение этой дроби равно нулю для любого x, при котором она имеет смысл. Другими словами, решением этого уравнения является любое значение x из ОДЗ этой переменной.

Осталось определить эту область допустимых значений. Она включает все такие значения x, при которых x4+5•x3≠0. Решениями уравнения x4+5•x3=0 являются 0 и −5, так как, это уравнение равносильно уравнению x3•(x+5)=0, а оно в свою очередь равносильно совокупности двух уравнений x3=0 и x+5=0, откуда и видны эти корни. Следовательно, искомой областью допустимых значений являются любые x, кроме x=0 и x=−5.

Таким образом, дробно рациональное уравнение имеет бесконечно много решений, которыми являются любые числа, кроме нуля и минус пяти.

Ответ:

.





Начало формы x+2=− 3.

Конец формы



Начало формы x+1=− 8.

Конец формы



Начало формы x+7=0.

Конец формы



Начало формы x−6=0.

Конец формы



Начало формы x−8=0.

Конец формы



Начало формы x+2=5.

Конец формы



Начало формы x+4=0.

Конец формы



Начало формы x+3=0.

Конец формы



Начало формы x+2=0.

Конец формы


Начало формы x−1=− 7.

Конец формы



Начало формы x+10=− 2.

Конец формы



Начало формы x+10=− 5.

Конец формы



Начало формы x−9=− 1.

Конец формы



Начало формы x+8=10.

Конец формы



Начало формы x+10=0.

Конец формы



Начало формы x−9=0.

Конец формы



Начало формы x+7=− 10.

Конец формы



Начало формы x+2=− 1.

Конец формы



Начало формы x−9=0.

Конец формы


Начало формы x+9=7x.

Конец формы



Начало формы x−3=6x.

Конец формы



Начало формы x+3=− 7x.

Конец формы



Начало формы x+10=5x.

Конец формы



Начало формы x−6=− 3x.

Конец формы



Начало формы x+1=− 2x.

Конец формы



Начало формы x−2=− 3x.

Конец формы



Начало формы x−2=− 3x.

Конец формы



Начало формы x+5=x.

Конец формы



Начало формы x+10=8x.

Конец формы




Начало формы x−7=− 4x.

Конец формы



Начало формы x−3=− 6x.

Конец формы



Начало формы x=9x+4.

Конец формы



Начало формы x=10x+4.

Конец формы



Начало формы x=8x+1.

Конец формы



Начало формы x=6x−2.

Конец формы



Начало формы x=2x+1.

Конец формы



Начало формы x=4x−3.

Конец формы



Начало формы x=5x+10.

Конец формы



Начало формы x=− 2x−5.

Конец формы


Начало формы x+3=5x.

Конец формы



Начало формы x+1=− 4x.

Конец формы



Начало формы +3=− 9x.

Конец формы



Начало формы −2=− 3x.

Конец формы



Начало формы x−4=3x.

Конец формы



Начало формы x−7=x.

Конец формы



Начало формы x−9=2x.

Конец формы



Начало формы x−9=6x.

Конец формы


Начало формы x=− 7x−5.

Конец формы



Начало формы x=− 2x−3.

Конец формы



Начало формы x−8)=− 5.

Конец формы



Начало формы x+4)=− 9.

Конец формы



Начало формы x+9)=− 8.

Конец формы



Начало формы x−2)=− 1.

Конец формы



Начало формы x+2)=− 7.

Конец формы



Начало формы x+1)=9.

Конец формы



Начало формы x+10)=− 1.

Конец формы



Начало формы x−6)=2.

Конец формы


Начало формы x−6)=5.

Конец формы



Начало формы x−9)=7.

Конец формы






  1. Найдите корень уравнения 85(2x3)=136x.

  2. Найдите корень уравнения 17(4+2x)=−94x.

  3. Найдите корень уравнения 2−3(2x+2)=5−4x.

  4. Найдите корень уравнения 1−2(5−2x)=− x−3.

    Начало формы x+2)=5−4x.

    Конец формы

  5. Начало формы x=− 6x+8.

    Конец формы


  6. Начало формы x+7)=7.

    Конец формы


  7. Начало формы x−10)=2.

    Конец формы


  8. Начало формы x=− 6x+10.

    Конец формы


  9. Начало формы x=− 9x+1.

    Конец формы


  10. Начало формы x+5)=− 2.

    Конец формы


  11. Начало формы x+7)=− 3.

    Конец формы


  12. Начало формы x−2)=3.

    Конец формы


  13. Начало формы x−2)=6.

    Конец формы


  14. Начало формы x−4)=− 2.

    Конец формы


    Начало формы x−5)=− x.

    Конец формы


  15. Начало формы x−6)=4x.

    Конец формы


  16. Начало формы x+4)=9x.

    Конец формы


  17. Начало формы x−7)=3x.

    Конец формы


  18. Начало формы x−7)=9x.

    Конец формы


  19. Начало формы x−8)=5x.

    Конец формы


  20. Начало формы x+6)=− 3x.

    Конец формы


  21. Начало формы x+5)=− 2x.

    Конец формы


  22. Начало формы x+6)=− 7x.

    Конец формы


  23. Начало формы x−5)=8x.

    Конец формы


    Начало формы x)=4x+5.

    Конец формы


  24. Начало формы x)=− 8x−7.

    Конец формы


  25. Начало формы x)=− 5x+6.

    Конец формы


  26. Начало формы x)=8x+5.

    Конец формы


  27. Начало формы x)=− 9x+6.

    Конец формы


  28. Начало формы x)=x−4.

    Конец формы


  29. Начало формы x)=− 3x+6.

    Конец формы


  30. Начало формы x)=6x+7.

    Конец формы


  31. Начало формы x)=4x−2.

    Конец формы


  32. Начало формы x)=8x−2.

    Конец формы


    Начало формы x)=− x+4.

    Конец формы


  33. Начало формы x)=− 10x−1.

    Конец формы


  34. Начало формы x)=− x−5.

    Конец формы


  35. Начало формы x)=10x+3.

    Конец формы


  36. Начало формы x)=10x−2.

    Конец формы


  37. Начало формы x)=8x+1.

    Конец формы


  38. Начало формы x)=− x+10.

    Конец формы


  39. Начало формы x)=− 8x+10.

    Конец формы


  40. Начало формы x)=− 4x+6.

    Конец формы


  41. Начало формы x)=− 6x+2.

    Конец формы


    Начало формы x=21−8(x+3).

    Конец формы


  42. Начало формы x+5)=1+7x.

    Конец формы


  43. Начало формы x=37−7(x+3).

    Конец формы


  44. Начало формы x=10−9(x+2).

    Конец формы


  45. Начало формы х−17=5−2(4−7х).

    Конец формы


  46. Начало формы x=11−7(x+2).

    Конец формы


    Начало формы x+5+(x+5)=(1−x)+4.

    Конец формы


  47. Начало формы x−2+3(x−3)=2(4−x)−3.

    Конец формы


  48. Начало формы +2−4(x−2)=5(3−x)+3.

    Конец формы


  49. Начало формы x+4−3(x+1)=5(− 2−x)+5.

    Конец формы


    Начало формы −3−4(x+1)=5(4−x)−1.

    Конец формы


  50. Начало формы x+1−3(x+3)=− 2(1−x)+2.

    Конец формы


  51. Начало формы x+5+4(x−1)=− 4(− 4−x)+3.

    Конец формы


  52. Начало формы x−4−3(x−4)=− 2(− 3−x)−4.

    Конец формы


  53. Начало формы x+1+(x−5)=5(3−x)+5.

    Конец формы


  54. Начало формы x+4+(x−5)=− 2(− 2−x)+5.

    Конец формы


  55. Начало формы x+2+3(x+4)=− 4(1−x)+3.

    Конец формы


  56. Начало формы x−3+5(x−4)=2(− 5−x)−1.

    Конец формы


  57. Начало формы x−2+4(x+1)=4(− 3−x)−1.

    Конец формы


  58. Начало формы x−4+5(x+3)=5(− 1−x)−2.

    Конец формы


    Начало формы +3+2(x+3)=− 5(5−x)+4.

    Конец формы


  59. Начало формы +3+2(x+3)=− (3−x)+4.

    Конец формы


  60. Начало формы x−3+(x+2)=4(− 5−x)−2.

    Конец формы


  61. Начало формы x−4+2(x−4)=2(− 3−x)−5.

    Конец формы


  62. Начало формы x−5−(x−1)=− 5(− 1−x)−5.

    Конец формы


  63. Начало формы x−1−(x−4)=− (4−x)−1.

    Конец формы


    Начало формы

    x−3)=13−6x.

    Конец формы



    1. При каком значении x значения выражений 7x−2 и 3x+6 равны?

    2. При каком значении x значения выражений 10x−6 и 6x+5 равны?

    3. При каком значении x значения выражений 2x−4 и 6x+8 равны?

    4. При каком значении x значения выражений 3x−2 и 2x+4 равны?

    5. При каком значении x значения выражений 3x−4 и 4x+7 равны?

    6. При каком значении x значения выражений 4x−8 и 5x+6 равны?

    7. При каком значении x значения выражений 6x−8 и 7x+6 равны?

    8. При каком значении x значения выражений x−8 и 2x+7 равны?

    9. При каком значении x значения выражений 8x−8 и 2x+7 равны?

    10. При каком значении x значения выражений 5x−1 и 3x+1 равны?

    11. При каком значении x значения выражений 8x−6 и 7x+2 равны?

    12. При каком значении x значения выражений 8x−2 и 4x+6 равны?

    13. При каком значении x значения выражений 2x−1 и 3x+9 равны?

    14. При каком значении x значения выражений x−7 и 7x+2 равны?

    15. При каком значении x значения выражений x−6 и 6x+6 равны?

    16. При каком значении x значения выражений 3x−6 и 4x+2 равны?

    17. При каком значении x значения выражений 2x−4 и 3x+2 равны?

    18. При каком значении x значения выражений x−1 и 5x+2 равны?

    19. При каком значении x значения выражений 3x−2 и 2x+6 равны?

    20. При каком значении x значения выражений 3x−4 и 7x+6 равны?





    Начало формы Решите уравнение (2x+2)(− 2x+2)=0.

    Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

     

    Конец формы


    1. Начало формы Решите уравнение (4x+4)(− 2x−4)=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

       

      Конец формы


    2. Начало формы Решите уравнение (− 5x−6)(− 4x+1)=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

       

      Конец формы


    3. Начало формы Решите уравнение (4x−3)(− 2x−8)=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

       

      Конец формы


      Начало формы Решите уравнение (6x−6)(3x+3)=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

       

      Конец формы


    4. Начало формы Решите уравнение (− 4x−2)(4x−1)=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

       

      Конец формы


    5. Начало формы Решите уравнение (4x+2)(− 4x−7)=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

       

      Конец формы


    6. Начало формы Решите уравнение (4x−5)(2x−4)=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

       

      Конец формы


    7. Начало формы Решите уравнение (− 4x−3)(x−3)=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

       

      Конец формы


      Начало формы Решите уравнение (− 5x+3)(− x+6)=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

       

      Конец формы


    8. Начало формы Решите уравнение (− 2x+1)(− 2x−7)=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

       

      Конец формы


    9. Начало формы Решите уравнение (− x−4)(3x+3)=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

       

      Конец формы


    10. Начало формы Решите уравнение (x−6)(4x−6)=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

       

      Конец формы


    11. Начало формы Решите уравнение (− 5x−3)(2x−1)=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

       

      Конец формы


    12. Начало формы Решите уравнение (x−2)(− 2x−3)=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

       

      Конец формы


      Начало формы Решите уравнение (5x+2)(− x−4)=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

       

      Конец формы



      Начало формы Решите уравнение (x−6)(− 5x−9)=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

       

      Конец формы


    13. Начало формы Решите уравнение (6x−3)(− x+3)=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

       

      Конец формы


    14. Начало формы Решите уравнение (5x−2)(− x+3)=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

       

      Конец формы


    15. Начало формы Решите уравнение 5x2 −10x=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

       

      Конец формы


    16. Начало формы Решите уравнение 3x2 −9x=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

       

      Конец формы


    17. Начало формы Решите уравнение 4x2 −16x=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

       

      Конец формы


    18. Начало формы Решите уравнение 5x2 +15x=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

       

      Конец формы


    19. Начало формы Решите уравнение 3x2 +18x=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

       

      Конец формы


      Начало формы Решите уравнение 6x2 +24x=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

       

      Конец формы


    20. Начало формы Решите уравнение 4x2 −20x=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

       

      Конец формы


    21. Начало формы Решите уравнение 5x2 +20x=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

       

      Конец формы


    22. Начало формы Решите уравнение 7x2 −14x=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

       

      Конец формы


    23. Начало формы Решите уравнение 3x2 +12x=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

       

      Конец формы


    24. Начало формы Решите уравнение 2x2 −3x+1=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

      Конец формы


    25. Начало формы Решите уравнение 5x2 −12x+7=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

       

      Конец формы


    26. Начало формы Решите уравнение 5x2 −9x+4=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

       

      Конец формы


    27. Начало формы Решите уравнение 8x2 −12x+4=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

       

      Конец формы


    28. Начало формы Решите уравнение 8x2 −10x+2=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

       

      Конец формы


      Начало формы Решите уравнение 6x2 −9x+3=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

       

      Конец формы


    29. Начало формы Решите уравнение 5x2 +9x+4=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

       

      Конец формы


    30. Начало формы Решите уравнение 5x2 +8x+3=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

       

      Конец формы


    31. Начало формы Решите уравнение 5x2+4x−1=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

       

      Конец формы


    32. Начало формы Решите уравнение 2x2+5x−7=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

       

      Конец формы


    33. Начало формы Решите уравнение 4\3x2 −48=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

      Конец формы


    34. Начало формы Решите уравнение − 1\5x2 +20=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

       

      Конец формы


    35. Начало формы Найдите корни уравнения − 1\5x2 +45=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

       

       

      Конец формы


    36. Начало формы Решите уравнение 1\4 x2 −4=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

       

      Конец формы


    37. Начало формы Решите уравнение − 4\3x2 +12=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

       

      Конец формы


      Начало формы Решите уравнение  x²−28=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

       

      Конец формы


    38. Начало формы Решите уравнение 1\2x2 −32=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

       

      Конец формы


    39. Начало формы Решите уравнение − 4\7x2 +28=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

       

      Конец формы


    40. Начало формы Решите уравнение 1\4x2−36=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

       

      Конец формы


    41. Начало формы Решите уравнение 1\3x2−27=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

       

      Конец формы






      1. Решите уравнение x²−5x=14.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

      1. Решите уравнение x²+4=5x.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

      1. Решите уравнение x²+3x−18=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

      1.  Найдите корни уравнения x²+3x=18.

      2. Решите уравнение x²+6=5x.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

      1. Решите уравнение 5x²+20x=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

      1. Решите уравнение  x²−5x−14=0.

      2. Решите уравнение x²+2x−15=0.

      3. Решите уравнение 4x²−20x=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

      1. Решите уравнение x²−21=4x.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

      1.  Решите уравнение x²+4x=21. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
        из корней.

      2. Решите уравнение x²+2x=15.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

      1. Решите уравнение x²−20=x.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

      1. Решите уравнение x²−35=2x.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

      1. Найдите корни уравнения x²+6x16=0.

      2. Решите уравнение x²+5x−14=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

      1. Решите уравнение x²−15=2x.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

      1. Решите уравнение x²−6x=16.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

      1. Решите уравнение x²−18=7x.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

      1. Решите уравнение x²+7x=18.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

      1. Решите уравнение x²−3x=18.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

      1. Найдите корни уравнения x²−4x=12.

      2. Найдите корни уравнения x²−3x=18.

      3. Найдите корни уравнения x²+x=12.

      4. Решите уравнение x²−7x=8.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

      1. Решите уравнение x²+4x=5.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший

      из корней.

      1. Найдите корни уравнения x²+18=9x.

        Начало формы Решите уравнение x2 −20=x.

        Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
        из корней.

        Конец формы


      2. Начало формы Решите уравнение x2 −35=2x.

        Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
        из корней.

        Конец формы


      3. Начало формы Решите уравнение x2 +7x=18.

        Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
        из корней.

         

        Конец формы


      4. Начало формы Решите уравнение x2 −15=2x.

        Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
        из корней.

         

        Конец формы


      5. Начало формы Решите уравнение x2 −5x=14.

        Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
        из корней.

         

        Конец формы


      6. Начало формы Решите уравнение x2 +6=5x.

        Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
        из корней.

         

        Конец формы


      7. Начало формы Решите уравнение x2 +4=5x.

        Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
        из корней.

         

        Конец формы


      Начало формы Решите уравнение x2 −x=12.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

       

      Конец формы


      Начало формы Решите уравнение x2 +4x=5.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

       

      Конец формы



      Начало формы Решите уравнение x2 +2x=15.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

       

      Конец формы



      Начало формы Решите уравнение x2 −7x=8.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

       

      Конец формы



      Начало формы Решите уравнение x2 −6x=16.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

       

      Конец формы


      Начало формы 2+6x−16=0x2+6x−16=0.

      Конец формы


      Начало формы 2−4x=12.

      Конец формы



      Начало формы 2−3x=18x2−3x=18.

      Конец формы



      Начало формы 2+x=12x2+x=12.

      Конец формы



      Начало формы 2+18=9xx2+18=9x.

      Конец формы



      Начало формы x2+7=8xx2+7=8x.

      Конец формы


      Начало формы

      Решите уравнение 2x2−10x=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

       

      Конец формы


      Начало формы Решите уравнение 2x2+14x=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

       

      Конец формы



      Начало формы Решите уравнение x2 −3x=18.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

       

      Конец формы



      Начало формы Решите уравнение x2 −18=7x.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

       

      Конец формы



      Начало формы Решите уравнение x2 +4x=21.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

       

      Конец формы



      Начало формы Решите уравнение x2 −21=4x.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

       

      Конец формы



      Начало формы Решите уравнение x2 +7=8x.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

       

      Конец формы



      Начало формы Решите уравнение x2 +3x=10.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

      Конец формы


      Начало формы Решите уравнение x2 +18=9x.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

       

      Конец формы



      Начало формы Решите уравнение x2 +10=7x.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

       

      Конец формы



      Начало формы Решите уравнение x2+5x−14=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

       

      Конец формы



      Начало формы Решите уравнение x2+3x−18=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

       

      Конец формы




      Начало формы 2+3x=18.

      Конец формы


      Начало формы 2−5x−14=0.

      Конец формы


      Начало формы Решите уравнение 4x2+x−3=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

       

      Конец формы



      Начало формы Решите уравнение 4x2+9x+5=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

       

      Конец формы




      1. Решите уравнение x²−x=12.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

      1. Найдите корни уравнения x²+7=8x.

      2. Решите уравнение 5x²−10x=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

      1. Решите уравнение 2x²−10x=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

      1. Решите уравнение 3x²−9x=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

      1. Решите уравнение 2x²+14x=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

      1. Решите уравнение 4x²−16x=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

      1. Решите уравнение 6x²+24x=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

      1. Решите уравнение 3x²+18x=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

      1. Решите уравнение 7x²−14x=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший 
      из корней.

      1. Решите уравнение x²+3x−18=0.

      2. Решите уравнение x²+7x−18=0.

      3. Решите уравнение 5x²+15x=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

      1. Решите уравнение 3x²+12x=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший 
      из корней.

      Начало формы Решите уравнение x2−5=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

       

      Конец формы



      Начало формы x2−3x=0.

      Конец формы



      Начало формы x2−1=0.

      Конец формы



      Начало формы x2−3x=0.

      Конец формы



      Начало формы Решите уравнение x2−7x=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

       

      Конец формы



      Начало формы x2+4x=0.

      Конец формы




      Начало формы Решите уравнение − x²+7=0.

      Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

       

      Конец формы


      1. Начало формы Решите уравнение x​²−25=0.

        Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

         

        Конец формы


        Начало формы Решите уравнение  x2−32=0.

        Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

         

        Конец формы


      2. Начало формы Решите уравнение − x2+1=0.

        Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

         

        Конец формы


      3. Начало формы Решите уравнение x2−18=0.

        Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

         

        Конец формы


      4. Начало формы Решите уравнение x2−6=0.

        Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

         

        Конец формы


      5. Начало формы Решите уравнение − x2+2=0.

        Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

         

        Конец формы


      6. Начало формы Решите уравнение x2−27=0.

        Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

         

        Конец формы


      7. Начало формы Решите уравнение − x2+45=0.

        Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

         

        Конец формы


      8. Начало формы Решите уравнение x2−2=0.

        Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

         

        Конец формы


      9. Начало формы Решите уравнение x2−12=0.

        Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

         

        Конец формы


        Начало формы 2+3x+8=0.

        Конец формы


      10. Начало формы 2+6x+10=0.

        Конец формы


      11. Начало формы 2+9x+8=0.

        Конец формы


        Начало формы 2+3x+6=0.

        Конец формы


      12. Начало формы 2+3x+4=0.

        Конец формы


      13. Начало формы 2+7x+12=0.

        Конец формы


      14. Начало формы 2+3x+5=0.

        Конец формы


      15. Начало формы 2+3x+3=0.

        Конец формы


      16. Начало формы 2+5x+14=0.

        Конец формы


      17. Начало формы 2+3x+12=0.

        Конец формы


      18. Начало формы 2+2x+2=0.

        Конец формы


      19. Начало формы 2+2x+3=0.

        Конец формы


      20. Начало формы 2+7x+9=0.

        Конец формы


        Начало формы 2+9x+12=0.

        Конец формы


      21. Начало формы 2−3x+10=0.

        Конец формы


      22. Начало формы 2x+1=0.

        Конец формы


      23. Начало формы 2−12x+14=0.

        Конец формы


      24. Начало формы 2−3x+7=0.

        Конец формы


      25. Начало формы 2−9x+12=0.

        Конец формы


      26. Начало формы 2−5x+3=0.

        Конец формы


      27. Начало формы 2−3x+3=0.

        Конец формы


      28. Начало формы 2−3x+5=0.

        Конец формы


      29. Начало формы 2−11x+12=0.

        Конец формы


        Начало формы 2−3x+1=0.

        Конец формы


      30. Начало формы 2−7x+12=0.

        Конец формы


      31. Начало формы 2−2x+8=0.

        Конец формы


      32. Начало формы 2−3x+6=0.

        Конец формы


      33. Начало формы 2−4x+9=0.

        Конец формы


      34. Начало формы 2x−3=0.

        Конец формы


      35. Начало формы 2+3x−18=0x2+3x−18=0.

        Конец формы

      36. Начало формы 2+7x−18=0.

        Конец формы

      37. Начало формы x)=− x−3.

        Конец формы



        Начало формы 3−6x2−4x+24=0x3−6x2−4x+24=0.

        Конец формы






        1. Найдите корень уравнения (x+10)²=(x−5)².

        2. Найдите корень уравнения (x+3)²=(x+8)².

        3. Найдите корень уравнения (x+10)²=(5−х)².

        4. Найдите корень уравнения (x+6)²=(15 - х)².

        5. Найдите корень уравнения (x−5)²=(x+10)².

        6. Найдите корень уравнения (x−10)²=(2−x)².

        7. Найдите корень уравнения (x−7)²=(9−x)².

        8. Найдите корень уравнения (x+10=(x−9)².

        9. Найдите корень уравнения (x+1)²=(2−x)².

        10. Найдите корень уравнения (x−5)²=(x−8)².

        11. Найдите корень уравнения (x+6)²=(x−15)².

        12. Найдите корень уравнения (x+6) ²=(x−10)².

        13. Найдите корень уравнения (x−9)²=(x−3)².

        14. Найдите корень уравнения (x+9)²=(x+6)².

        15. Найдите корень уравнения (x+2)²=(1−x)².

        16. Найдите корень уравнения (x−1)²=(11−x)².

        17. Найдите корень уравнения (x+3)²=(x−5)².

        18. Найдите корень уравнения (x−2)²=(x−9)².

        19. Найдите корень уравнения (x+3)²=(x+8)².

        20. Найдите корень уравнения (x+8)²=(12−x)².

        21. Найдите корень уравнения (x+9)²=(x+1)².

        22. Найдите корень уравнения (x−8)²=(6−x)².

        23. Найдите корень уравнения (x+4)²=(2−x)².

        24. Найдите корень уравнения (x - 4)² + (x + 9)² = 2х².

        25. Найдите корень уравнения (x + 1)² + (x - 6)² = 2х².

        26. Найдите корень уравнения (x + 2)² + (x - 3)² = 2х².

        27. Найдите корень уравнения (x – 2)² + (x - 3)² = 2х².

        28. Найдите корень уравнения (x + 5)² + (x - 3)² = 2х².

        29. Найдите корень уравнения (x - 6)² + (x + 8)² = 2х².

        30. Найдите корень уравнения (x + 7)² + (x - 2)² = 2х².

        31. Найдите корень уравнения (x – 2)² + (x - 8)² = 2х².

        32. Найдите корень уравнения (x + 7)² + (x - 6)² = 2х².

        33. Найдите корень уравнения (x - 5)² + (x + 7)² = 2х².

        34. Найдите корень уравнения (x + 6)² + (x + 9)² = 2х².

        35. Найдите корень уравнения (x + 3)² + (x - 7)² = 2х².

        36. Найдите корень уравнения (x + 8)² + (x - 6)² = 2х².

        37. Найдите корень уравнения (x - 7)² + (x + 6)² = 2х².

        38. Найдите корень уравнения (x + 1)² + (x - 3)² = 2х².

        39. Найдите корень уравнения (x - 6)² + (x - 3)² = 2х².

        40. Найдите корень уравнения (x - 1)² + (x + 6)² = 2х².

        41. Найдите корень уравнения (x - 9)² + (x - 6)² = 2х².

        42. Найдите корень уравнения (x + 6)² + (x - 9)² = 2х².

        43. Найдите корень уравнения (x + 3)² + (x - 4)² = 2х².

          Начало формы x2−14x−7=(x−1)2.

          Конец формы


        44. Начало формы x2−7x+29=(x+4)2.

          Конец формы


        45. Начало формы x2−9x+12=(x+6)2.

          Конец формы


        46. Начало формы x2+x−10=(x+5)2.

          Конец формы


          Начало формы x2−7x+12=(x−2)2.

          Конец формы


        47. Начало формы x2+10x−47=(x+1)2.

          Конец формы


        48. Начало формы x2+9x−1=(x+1)2.

          Конец формы


        49. Начало формы x2−2x+33=(x−7)2.

          Конец формы


          Начало формы x−2)(x2 +6x+9)=6(x+3).

          Конец формы


        50. Начало формы 3 +3x2 =4x+12.

          Конец формы


        51. Начало формы x2−12x+29=(x−1)2.

          Конец формы


        52. Начало формы x2−4x+51=(x+9)2.

          Конец формы


        53. Начало формы x2−7x+19=(x+7)2.

          Конец формы


        54. Начало формы x2−7x+46=(x+6)2.

          Конец формы


        55. Начало формы x2+5x+56=(x−4)2.

          Конец формы


        56. Начало формы x2+15x+27=(x+6)2.

          Конец формы


          Начало формы x2−3x−35=(x−5)2.

          Конец формы


        57. Начало формы x2+7x+45=(x+6)2.

          Конец формы


        58. Начало формы x2−10x+4=(x+8)2.

          Конец формы


        59. Начало формы x2−2x−12=(x+2)2.

          Конец формы


        60. Начало формы x2−4x−44=(x+1)2.

          Конец формы


        61. Начало формы x2−7x+58=(x−8)2.

          Конец формы


          Начало формы x2+7=7+24x.

          Конец формы


        62. Начало формы x2+3=3−10x.

          Конец формы


        63. Начало формы x2−7=− 7−24x.

          Конец формы


        64. Начало формы x2+1=1−16x.

          Конец формы


        65. Начало формы x2+7=7+28x.

          Конец формы


        66. Начало формы x²−5=− 5−27x.

          Конец формы


          Начало формы x2−5=− 5−35x.

          Конец формы


        67. Начало формы x2+2=2−12x.

          Конец формы


        68. Начало формы x2−2=− 2−18x.

          Конец формы


        69. Начало формы x2−6=− 6+16x.

          Конец формы


        70. Начало формы x2+8=8+81x.

          Конец формы


        71. Начало формы x2+8=8−12x.

          Конец формы


        72. Начало формы x2+5=5−30x.

          Конец формы


        73. Начало формы x2+6=6−35x.

          Конец формы


        74. Начало формы x2+2=2+40x.

          Конец формы


        75. Начало формы x2+8=8−48x.

          Конец формы


          Начало формы x2+1=1−27x.

          Конец формы


        76. Начало формы x2+3=3+36x.

          Конец формы


        77. Начало формы x2−8=− 8+21x.

          Конец формы


        78. Начало формы x2−7=− 7+42x.

          Конец формы





          1. Найдите корень уравнения  − 2x²+x+7=− x²+5x+(− 2−x²).

          2. Найдите корень уравнения  − 3x²+5x−3=− x²+3x+(2−2x²).

          3. Найдите корень уравнения  − 3x²+x+9=− x²−4x+(− 2−2x²).

          4. Найдите корень уравнения  − 3x²+4x−7=− x²+5x(− 1+2x²).

          5. Найдите корень уравнения  − 2x²+5x+1=− x²+4x+(3−x²).

          6. Найдите корень уравнения  − 3x²+2x+6=− x²+3x(− 3+2x²).

          7. Найдите корень уравнения  x²+x+6=− x²−3x+(− 2+2x²).

          8. Найдите корень уравнения − 3x²+2x+9=− x²+4x+(− 2−2x²).

          9. Найдите корень уравнения 3x²−4x−3=x2+x+(1+2x2).

          10. Найдите корень уравнения x2−3x−2=− x2−2x+(3+2x2).

          11. Найдите корень уравнения − 3x2+3x−10=− x2+4x(− 3+2x2).

          12. Найдите корень уравнения − x2+4x+3=x2x(− 1+2x2).

          13. Найдите корень уравнения − 3x2−5x−6=− x2x+(− 1−2x2).

          14. Найдите корень уравнения 2x2 −3x−6=x2 −4x(2−x2).

          15. Найдите корень уравнения 2x2+4x−4=x2+5x+(− 3+x2).

          16. Найдите корень уравнения 2x2+4x−3=x2+2x+(− 1+x2).

          17. Найдите корень уравнения − 2x2+3x+9=− x2−2x+(2−x2).

          18. Найдите корень уравнения − x2+3x+5=x2+4x+(− 1−2x2).

          19. Найдите корень уравнения x2−4x−8=− x2−2x+(− 1+2x2).

          20. Найдите корень уравнения 2x2x−1=x2−5x(− 1−x2).

            Начало формы x2+4x+38=3x2+5x+86.

            Конец формы

          21. Начало формы 2−14x+30=− x2−21x+39.

            Конец формы


          22. Начало формы x2+16x−41=− 3x2−3x−55.

            Конец формы


          23. Начало формы x2−8x−48=5x2−22x−28.

            Конец формы


          24. Начало формы x2−17x+34=7x2−26x+28.

            Конец формы


          25. Начало формы 2−4x+35=− 9x2+11x+45.

            Конец формы


          26. Начало формы x2−11x+6=6x2−30x+51.

            Конец формы


          27. Начало формы x2−18x−10=x2.

            Конец формы


          28. Начало формы 2+21x+4=− 4x2.

            Конец формы


          29. Начало формы x2+22x−8=7x2.

            Конец формы


          30. Начало формы x2+24x−32=x2.

            Конец формы


            Начало формы x2+17x+14=x2.

            Конец формы


          31. Начало формы 2+25x+10=− 9x2.

            Конец формы


          32. Начало формы x2−19x+18=4x2.

            Конец формы


          33. Начало формы x2+22x+21=− x2.

            Конец формы


          34. Начало формы 2−11x=−5x+8−x2.

            Конец формы


          35. Начало формы 2−4x=− 25x+23−x2.

            Конец формы


          36. Начало формы 2−17x=− 10x−3−x2.

            Конец формы


          37. Начало формы 2−22x=− 24x+4−x2.

            Конец формы


          38. Начало формы 2−16x=− 3x−11−x2.

            Конец формы


          39. Начало формы 2−15x=− 11x+16−x2.

            Конец формы


            Начало формы x2−12x+1=− 10x2.

            Конец формы


          40. Начало формы x2+12x−5=10x2.

            Конец формы


          41. Начало формы x2+8x−21=6x2.

            Конец формы


          42. Начало формы x2−11x−35=− 7x2.

            Конец формы


          43. Начало формы x2−7x+1=− 5x2.

            Конец формы


          44. Начало формы x2+3x−1=− 7x2.

            Конец формы


          45. Начало формы x2−24x−14=x2.

            Конец формы


          46. Начало формы x2+12x−45=− 2x2.

            Конец формы


          47. Начало формы x2−12x−45=− 10x2.

            Конец формы


          48. Начало формы x2+x−21=− 7x2.

            Конец формы


            Начало формы x2+8x+3=− 2x2.

            Конец формы


          49. Начало формы x2−20x+19=− 3x2x+10.

            Конец формы


          50. Начало формы x2−2x−5=− 2x2−25x+37.

            Конец формы


          51. Начало формы x2+6x+47=− 7x2−15x+96.

            Конец формы


          52. Начало формы x2+6x−9=− x2+14x−3.

            Конец формы


          53. Начало формы x2+10x+2=− 3x2−3x+11.

            Конец формы


          54. Начало формы x2−13x+33=6x2−37x+60.

            Конец формы




            1. Найдите корень уравнения  - 4 + =

            2. Найдите корень уравнения  + x = 4

            3. Найдите корень уравнения х +   = 12

            4. Найдите корень уравнения  + = 4

            5. Найдите корень уравнения 1 +  = х + 7

            6. Найдите корень уравнения  х + =

            7. Найдите корень уравнения  х + =

            8. Найдите корень уравнения  6 + =

            9. Найдите корень уравнения х +   = - 5

            10. Найдите корень уравнения  х - =

            11. Найдите корень уравнения х +   = - 8

            12. Найдите корень уравнения  х – 11 =

            13. Найдите корень уравнения  + = 5

            14. Найдите корень уравнения х +   = - 9

            15. Найдите корень уравнения  х - =

            16. Найдите корень уравнения  + x = 1

            17. Найдите корень уравнения  х - =

            18. Найдите корень уравнения  х + =

            19. Найдите корень уравнения  х - =

            20. Найдите корень уравнения  х - =

            21. Найдите корень уравнения  х + =

            22. Найдите корень уравнения 13+=x+1.

            23. Найдите корень уравнения 1+=.

            24. Найдите корень уравнения ++x= −.

            25. Найдите корень уравнения 3−= .

            26. Найдите корень уравнения  + = −.

            27. Найдите корень уравнения x=2.

              −=− 1.

              Конец формы

        79. Начало формы −=− 4.

          Конец формы


        80. Начало формы −=3.

          Конец формы


        81. Начало формы −=− 1.

          Конец формы


        82. Начало формы +=− 4.

          Конец формы


        83. Начало формы −=8.

          Конец формы


        84. Начало формы −=5.

          Конец формы


        85. Начало формы +=3.

          Конец формы


        86. Начало формы +=6.

          Конец формы


        87. Начало формы −=− 2.

          Конец формы


        88. Начало формы +=− 5.

          Конец формы


          Начало формы +=8.

          Конец формы


        89. Начало формы +=− 9.

          Конец формы


        90. Начало формы −=− 2.

          Конец формы


        91. Начало формы −=1.

          Конец формы


        92. Начало формы −=3.

          Конец формы


        93. Начало формы +=− 7.

          Конец формы


        94. Начало формы +=− 11.

          Конец формы


        95. Начало формы +=− 10.

          Конец формы


        96. Начало формы +=− 11.

          Конец формы


        97. Начало формы .

          Конец формы


        98. Начало формы .

          Конец формы


        99. Начало формы .

          Конец формы


        100. Начало формы x.

          Конец формы


        101. Начало формы .

          Конец формы


        102. Начало формы .

          Конец формы


        103. Начало формы .

          Конец формы


        104. Начало формы .

          Конец формы


          Начало формы .

          Конец формы


        105. Начало формы .  

          Конец формы


        106. Начало формы .

          Конец формы


        107. Начало формы .

          Конец формы


        108. Начало формы .

          Конец формы


        109. Начало формы .

          Конец формы


        110. Начало формы .

          Конец формы


          Начало формы Конец формы



          Начало формы x=4

          Конец формы



          Начало формы

          Конец формы



          Начало формы .

          Конец формы



          Начало формы −=.

          Конец формы



          Начало формы −11=.

          Конец формы



          Начало формы

          Конец формы



          Начало формы −=− .

          Конец формы



          Начало формы x=1

          Конец формы



          Начало формы +=.

          Конец формы



        111. Начало формы .

          Конец формы


        112. Начало формы .

          Конец формы


        113. Начало формы .

          Конец формы


          Начало формы .

          Конец формы


        114. Начало формы .

          Конец формы


        115. Начало формы .

          Конец формы


        116. Начало формы .

          Конец формы


        117. Начало формы .

          Конец формы


        118. Начало формы .

          Конец формы


        119. Начало формы .

          Конец формы


        120. Начало формы .

          Конец формы


        121. Начало формы .

          Конец формы


        122. Начало формы .

          Конец формы


          Начало формы .

          Конец формы


        123. Начало формы .

          Конец формы


        124. Начало формы .

          Конец формы


        125. Начало формы .

          Конец формы


        126. Начало формы .

          Конец формы


        127. Начало формы .

          Конец формы


        128. Начало формы Найдите корень уравнения  = .

           

          Конец формы


        129. Начало формы Найдите корень уравнения  = .

           

          Конец формы


        130. Начало формы = -1.

          Конец формы


        131. Начало формы Найдите корень уравнения  = 2.

           

          Конец формы



          Начало формы .

          Конец формы



          Начало формы .

          Конец формы



          Начало формы .

          Конец формы



          Начало формы .

          Конец формы



          Начало формы Найдите корень уравнения  = .

           

          Конец формы


        132. Начало формы Найдите корень уравнения  = .

           

          Конец формы


        133. Начало формы = .

          Конец формы


        134. Начало формы = .

          Конец формы


        135. Начало формы = .

          Конец формы


        136. Начало формы Найдите корень уравнения  = .

           

          Конец формы


        137. Начало формы .

          Конец формы


        138. Начало формы Найдите корень уравнения  = .

           

          Конец формы


        139. Начало формы Найдите корень уравнения  = 4.


          Конец формы


        140. Начало формы Найдите корень уравнения   = .

           

          Конец формы


          Начало формы Найдите корень уравнения  = .

           

          Конец формы


        141. Начало формы = .

          Конец формы


        142. Начало формы Найдите корень уравнения  = .

           

          Конец формы


        143. Начало формы = .

          Конец формы


        144. Начало формы Найдите корень уравнения  = .

           

          Конец формы


        145. Начало формы Найдите корень уравнения  = .

           

          Конец формы


          Начало формы = .

          Конец формы





          Начало формы = .

          Конец формы





          Начало формы = .

          Конец формы





          Начало формы =10.

          Конец формы





          Начало формы =−10.

          Конец формы





          Начало формы =2.

          Конец формы









          Начало формы = 7.

          Конец формы


          1. Начало формы +7− =3.

            Конец формы


          2. Начало формы Найдите корень уравнения  = 5.

            Конец формы


          3. Начало формы = 4.

            Конец формы


            Начало формы = 8.

            Конец формы


          4. Начало формы = 2.

            Конец формы


          5. Начало формы = 2.

            Конец формы


          6. Начало формы +3− =5.

            Конец формы


          7. Начало формы -3− =1.

            Конец формы


          8. Начало формы x=4.

            Конец формы


          9. Начало формы = 5.

            Конец формы


          10. Начало формы = 8.

            Конец формы


          11. Начало формы x=5.

            Конец формы


          12. Начало формы = 2.

            Конец формы


            Начало формы = 5.

            Конец формы


          13. Начало формы +2− =4.

            Конец формы


          14. Начало формы +8− =5.

            Конец формы


          15. Начало формы = 0.

            Конец формы


          16. Начало формы = 4.

            Конец формы


          17. Начало формы

            Конец формы


          18. Начало формы +5 = .

            Конец формы


          19. Начало формы +3 = .

            Конец формы


          20. Начало формы +2 = .

            Конец формы


          21. Начало формы

            Конец формы


            Начало формы +4 = .

            Конец формы


          22. Начало формы

            Конец формы


          23. Начало формы x+10 = .

            Конец формы


          24. Начало формы +5 = .

            Конец формы


          25. Начало формы +4 = .

            Конец формы


          26. Начало формы

            Конец формы


          27. Начало формы +9 =.

            Конец формы


          28. Начало формы

            Конец формы


          29. Начало формы x+9=.

            Конец формы


          30. Начало формы

            Конец формы


            Начало формы + =2.

            Конец формы


          31. Начало формы + =2.

            Конец формы


            Начало формы + =2.

            Конец формы


          32. Начало формы + =2.

            Конец формы


          33. Начало формы + =2.

            Конец формы


          34. Начало формы + =2.

            Конец формы


          35. Начало формы + =2.

            Конец формы


          36. Начало формы + =2.

            Конец формы


          37. Начало формы + =2.

            Конец формы


          38. Начало формы + =2.

            Конец формы


          39. Начало формы + =2.

            Конец формы


          40. Начало формы + =2.

            Конец формы


          41. Начало формы + =2.

            Конец формы


          42. Начало формы + =2.

            Конец формы


          43. Начало формы + =2.

            Конец формы


          44. Начало формы + =2.

            Конец формы


          45. Начало формы + =2.

            Конец формы


          46. Начало формы + =2.

            Конец формы


          47. Начало формы + =2.

            Конец формы


          48. Начало формы + =2.

            Конец формы






            1. Решите уравнение  + −12=0.

            2. Решите уравнение  - −6=0.

            3. Решите уравнение  + −10 =0.

            4. Решите уравнение  - −4 =0.

            5. Решите уравнение  - −6 =0.

            6. Решите уравнение  - −4 =0.

            7. Решите уравнение  + −10 =0.

            8. Решите уравнение  + −12 =0.

            9. Решите уравнение  + −3 =0.

            10. Решите уравнение  + −3 =0.

            11. Начало формы Конец формы


              Начало формы

              + −12 =0.  

              Конец формы



              1. Решите уравнение x(x²+2x+1)=6(x+1).

              2. Решите уравнение x(x²+2x+1)=2(x+1).

              3. Решите уравнение (x1)(x²+6x+9)=5(x+3).

              4. Решите уравнение x(x²+4x+4)=3(x+2).

              5. Решите уравнение x(x²+6x+9)=4(x+3).

              6. Решите уравнение (x−1)(x²+4x+4)=4(x+2).

              7. Решите уравнение (x−2)(x²+8x+16)=7(x+4).

              8. Решите уравнение (x−1)(x²+8x+16)=6(x+4).

              9. Решите уравнение (x−2)(x²+2x+1)=4(x+1).

              10. Решите уравнение (x−2)(x²+6x+9)=6(x+3).

              11. Решите уравнение x(x2 +2x+1)=6(x+1).

              12. Решите уравнение (x−1)(x2 +6x+9)=5(x+3).

              13. Решите уравнение (x−2)(x2 +8x+16)=7(x+4).

              14. Решите уравнение x(x2 +4x+4)=3(x+2).

              15. Решите уравнение (x−2)(x2 +2x+1)=4(x+1).

              16. Решите уравнение   −4  −5=0.

              17. Решите уравнение  +  −6=0.

              18. Решите уравнение   +  −8=0.

              19. Решите уравнение  -2  −3=0.

              20. Решите уравнение   -  −6=0.

              21. Решите уравнение   -  −10=0.

              22. Решите уравнение   -4  −21=0.

              23. Решите уравнение   +  −12=0.

              24. Решите уравнение   -2  −3 =0.

              25. Решите уравнение   -  −6=0.

              26. Решите уравнение   -  −10=0.

              27. Решите уравнение   -6  −7=0.

              28. Решите уравнение   +3  −10=0.









              1. Решите уравнение   x³−6x²−4x+24=0.

              2. Решите уравнение x³+7x²=4x+28.

              3. Решите уравнение x³+4x²=9x+36.

              4. Решите уравнение x³+5x²=9x+45.

              5. Решите уравнение x³+6x²=4x+24.

              6. Решите уравнение x³+5x²=4x+20.

              7. Решите уравнение x³+3x²=4x+12.

              8. Решите уравнение x³+2x²=9x+18.

              9. Решите уравнение x³+3x²=16x+48.

              10. Решите уравнение x3+6x2=9x+54.

              11. Решите уравнение x3+4x2=4x+16.

              12. Решите уравнение x3=x2+6x.

              13. Решите уравнение x3=2x2+8x.

              14. Решите уравнение x3=x2+2x.

              15. Решите уравнение x3=2x2+3x.

              16. Решите уравнение x3=3x2+4x.

              17. Решите уравнение x3=2x2+15x.

              18. Решите уравнение x3=4x2+5x.

              19. Решите уравнение x3=x2+12x.

              20. Решите уравнение x3=3x2+10x.

              21. Решите уравнение x3=x2+20x.

                Начало формы 3 +3x2 −x−3=0.

                Конец формы


              22. Начало формы 3 +4x2 −4x−16=0.

                Конец формы


              23. Начало формы 3 +5x2 −x−5=0.

                Конец формы


              24. Начало формы 3 +2x2 −x−2=0.

                Конец формы


              25. Начало формы 3 +3x2 −4x−12=0.

                Конец формы


              26. Начало формы 3 +2x2 −9x−18=0.

                Конец формы


              27. Начало формы 3 +4x2 −x−4=0.

                Конец формы


              28. Начало формы 3 +4x2 −9x−36=0.

                Конец формы


              29. Начало формы 3 +5x2 −4x−20=0.

                Конец формы


                Начало формы

                3 +5x2 −9x−45=0.

                Конец формы



                1. Решите уравнение (x+5)³=25(x+5).

                2. Решите уравнение (x+3)³=9(x+3).

                3. Решите уравнение (x+2)³=16(x+2).

                4. Решите уравнение (x+2)³=4(x+2).

                5. Решите уравнение (x+8)³=64(x+8).

                6. Решите уравнение (x+4)³=16(x+4).

                7. Решите уравнение (x+9)³=81(x+9).

                8. Решите уравнение (x+6)³=36(x+6).

                9. Решите уравнение (x+3)³=81(x+3).

                10. Решите уравнение (x+7)³=49(x+7).

                11. Решите уравнение x³+5x²x−5=0.

                12. Решите уравнение x³+2x²x−2=0.

                13. Решите уравнение x³+5x²−9x−45=0.

                14. Решите уравнение x³+4x²x−4=0.

                15. Решите уравнение x³+4x²−9x−36=0.

                16. Решите уравнение x³+2x²−9x−18=0.

                17. Решите уравнение x³+4x²−4x−16=0.

                18. Решите уравнение x³+3x²x−3=0.

                19. Решите уравнение x³+5x²−4x−20=0.

                20. Решите уравнение x³+3x²−4x−12=0.

                21. Решите уравнение (x−3)(x−4)(x−5)=(x−2)(x−4)(x−5).

                22. Решите уравнение (x−2)(x−4)(x−6)=(x−4)(x−5)(x−6).

                23. Решите уравнение (x−4)(x−5)(x−6)=(x−2)(x−5)(x−6).

                24. Решите уравнение (x−2)(x−3)(x−5)=(x−2)(x−4)(x−5).

                25. Решите уравнение (x−3)(x−4)(x−5)=(x−2)(x−3)(x−5).

                26. Решите уравнение (x−2)(x−4)(x−6)=(x−2)(x−3)(x−6).

                27. Решите уравнение (x−2)(x−3)(x−4)=(x−2)(x−3)(x−5).

                28. Решите уравнение (x−2)(x−3)(x−4)=(x−2)(x−4)(x−5).

                29. Решите уравнение (x−2)(x−3)(x−6)=(x−3)(x−5)(x−6).

                30. Решите уравнение (x−2)(x−3)(x−4)=(x−3)(x−4)(x−5).

                31. Решите уравнение (4x−8)²(x−8)=(4x−8)(x−8)².

                32. Решите уравнение (2x−4)²(x−4)=(2x−4)(x−4)².

                33. Решите уравнение (2x−5)²(x−5)=(2x−5)(x−5)².

                34. Решите уравнение (2x−6)²(x−6)=(2x−6)(x−6)².

                35. Решите уравнение (3x−6)²(x−6)=(3x−6)(x−6)².

                36. Решите уравнение (2x−7)²(x−7)=(2x−7)(x−7)².

                37. Решите уравнение (2x−2)²(x−2)=(2x−2)(x−2)².

                38. Решите уравнение (2x−3)²(x−3)=(2x−3)(x−3)².

                39. Решите уравнение (2x−8)²(x−8)=(2x−8)(x−8)².

                40. Решите уравнение (2x−9)²(x−9)=(2x−9)(x−9)².

                  Начало формы x−2)2(x−3)=12(x−2).

                  Конец формы


                41. Начало формы x−2)2(x−3)=20(x−2).

                  Конец формы


                42. Начало формы x−3)2(x−5)=35(x−3).

                  Конец формы


                43. Начало формы x−2)2(x−4)=24(x−2).

                  Конец формы


                44. Начало формы x−2)2(x−5)=18(x−2).

                  Конец формы


                45. Начало формы x−2)2(x−5)=28(x−2).

                  Конец формы


                46. Начало формы x−2)2(x−4)=3(x−2).

                  Конец формы


                47. Начало формы x−3)2(x−4)=2(x−3).

                  Конец формы


                  Начало формы

                  x−3)2(x−4)=30(x−3).

                  Конец формы

                48. Начало формы x−3)2(x−5)=35(x−3).

                  Конец формы

                49. Решите уравнение (x²−36)²+(x²+4x−12)²=0.

                50. Решите уравнение (x²9)²+(x²2x15)²=0.

                51. Решите уравнение (x²49)²+(x²+4x21)²=0.

                52. Решите уравнение (x²4)²+(x²3x10)²=0.

                53. Решите уравнение (x²25)²+(x²+2x15)²=0.

                54. Решите уравнение (x²16)²+(x²+x12)²=0.

                55. Решите уравнение (x²9)²+(x²+x6)²=0.

                56. Решите уравнение (x²25)²+(x²+3x10)²=0.

                57. Решите уравнение (x²1)²+(x²6x7)²=0

                58. Решите уравнение (x²4)+(x²6x16)²=0.

                59. Решите уравнение (x²25)²+(x²+3x10)²=0.







                60. Начало формы 4 =(x−20)2.

                  Конец формы


                  1. Начало формы 4 =(2x−15)2.

                    Конец формы


                  2. Начало формы 4 =(3x−10)2.

                    Конец формы


                  3. Начало формы 4 =(4x−5)2.

                    Конец формы


                  4. Начало формы 4 =(x−12)2.

                    Конец формы


                    Начало формы 4 =(2x−8)2.

                    Конец формы


                  5. Начало формы 4 =(3x−4)2.

                    Конец формы


                  6. Начало формы 4 =(x−6)2.

                    Конец формы


                  7. Начало формы 4 =(2x−3)2.

                    Конец формы


                  8. Начало формы 4 =(x−2)2.

                    Конец формы


                    Начало формы 6=(6x−5)3.

                    Конец формы


                  9. Начало формы 6=(5x−6)3.

                    Конец формы


                  10. Начало формы 6=(6x−8)3.

                    Конец формы


                  11. Начало формы 6=(7x−12)3.

                    Конец формы


                  12. Начало формы 6=(8x−15)3.

                    Конец формы


                  13. Начало формы 6=(7x−10)3.

                    Конец формы


                  14. Начало формы 6=(9x−20)3.

                    Конец формы


                  15. Начало формы 6=(7x−6)3.

                    Конец формы


                    Начало формы 6=(4x−3)3.

                    Конец формы


                  16. Начало формы 6=(8x−12)3.

                    Конец формы




                    1. Решите уравнение x²2x+ = +24.

                    2. Решите уравнение x²2x+= +15.

                    3. Решите уравнение x6x+ = +7.

                    4. Решите уравнение x2x+ = +8.

                    5. Решите уравнение x3x+ = +10.

                    6. Решите уравнение x3x+ = +18.

                    7. Решите уравнение x2x+ = +15.

                    8. Решите уравнение x3x+ = +28.

                    9. Решите уравнение x2x+ = +24.

                    10. Решите уравнение x2x+ = +35.

                    11. Решите уравнение x3x+ = +40.

                      Начало формы ² −2x+= 3.

                      Конец формы







                      1. Решите уравнение .

                      2. Решите уравнение

                      3. Решите уравнение

                      4. Решите уравнение

                      5. Решите уравнение

                      6. Решите уравнение

                      7. Решите уравнение

                      8. Решите уравнение

                      9. Решите уравнение

                      10. Решите уравнение













                      1/.

                      Начало формы На рисунке изображены графики функций y=6−x2 и y=5x. Вычислите абсциссу точки B.

                      hello_html_m9b00c55.png

                      Конец формы



                      Начало формы На рисунке изображены графики функций y=6−x2 и y=− x. Вычислите абсциссу точки B.

                      hello_html_m29b12da8.png

                      Конец формы



                      Начало формы На рисунке изображены графики функций y=5−x2 и y=4x. Вычислите абсциссу точки B.

                      hello_html_m747a123.png

                      Конец формы



                      Начало формы На рисунке изображены графики функций y=4−x2 и y=− 3x. Вычислите абсциссу точки B.

                      hello_html_67c3cf9c.png

                      Конец формы




                      Начало формы Две прямые пересекаются в точке C (см. рис.). Найдите абсциссу точки C.

                      hello_html_m3f83e7a1.png

                      Конец формы



                      Начало формы На рисунке изображены графики функций y=3−x2 и y=− 2x. Вычислите координаты точки B.

                      hello_html_m1d658392.png

                      Конец формы



                      Начало формы На рисунке изображены графики функций y=3−x2 и y=2x. Вычислите координаты точки B.

                      hello_html_4746bc1c.png

                      Конец формы



                      Начало формы На рисунке изображены графики функций y=2−x2 и y=− x. Вычислите координаты точки B.

                      hello_html_m70a81c9b.png

                      Конец формы



                      Начало формы На рисунке изображены графики функций y=2−x2 и y=x. Вычислите координаты точки B.

                      hello_html_m1593c61e.png

                      Конец формы


                      +6,25 ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

                      Конец формы




                    Начало формы Найдите все значения k, при каждом из которых прямая y=kx имеет с графиком функции y=x2+9 ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

                     

                    Конец формы




                Начало формы

                Найдите все значения k, при каждом из которых прямая y=kx имеет с графиком функции y=x2+0,25 ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

                 

                Конец формы




              Начало формы

              Найдите все значения k, при каждом из которых прямая y=kx имеет с графиком функции y=x2+2,25 ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

               

              Конец формы



            Начало формы Найдите все значения k, при каждом из которых прямая y=kx имеет с графиком функции y=x2+1 ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

             

            Конец формы



            Начало формы Найдите все значения k, при каждом из которых прямая y=kx имеет с графиком функции y=x2+4 ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

             

            Конец формы



            Начало формы Найдите все значения k, при каждом из которых прямая y=kx имеет с графиком функции y=−x2−6,25 ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

             

            Конец формы



            Начало формы Найдите все значения k, при каждом из которых прямая y=kx имеет с графиком функции y=−x2−9 ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

             

            Конец формы



            Начало формы Найдите все значения k, при каждом из которых прямая y=kx имеет с графиком функции y=−x2−0,25 ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

             

            Конец формы



            Начало формы Найдите все значения k, при каждом из которых прямая y=kx имеет с графиком функции y=−x2−2,25 ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

             

            Конец формы



            Начало формы Найдите все значения k, при каждом из которых прямая y=kx имеет с графиком функции y=−x2−1 ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

             

            Конец формы



            Начало формы Найдите все значения k, при каждом из которых прямая y=kx имеет с графиком функции y=−x2−4 ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

             

            Конец формы



            Начало формы  и постройте график функции y=x2+p, если известно, что прямая y=−2x имеет с графиком ровно одну общую точку.

            Конец формы



            Начало формы  и постройте график функции y=x2+p, если известно, что прямая y=4x имеет с графиком ровно одну общую точку.

            Конец формы


            Начало формы  и постройте график функции y=x2+p, если известно, что прямая y=5x имеет с графиком ровно одну общую точку.

            Конец формы



            Начало формы  и постройте график функции y=x2+p, если известно, что прямая y=x имеет с графиком ровно одну общую точку.

            Конец формы



            Начало формы  и постройте график функции y=x2+p, если известно, что прямая y=−5x имеет с графиком ровно одну общую точку.

            Конец формы



            Начало формы  и постройте график функции y=x2+p, если известно, что прямая y=−3x имеет с графиком ровно одну общую точку.

            Конец формы



            Начало формы  и постройте график функции y=x2+p, если известно, что прямая y=3x имеет с графиком ровно одну общую точку.

            Конец формы



            Начало формы  и постройте график функции y=x2+p, если известно, что прямая y=−6x имеет с графиком ровно одну общую точку.

            Конец формы



            Начало формы  и постройте график функции y=x2+p, если известно, что прямая y=6x имеет с графиком ровно одну общую точку.

            Конец формы



            Начало формы  и постройте график функции y=x2+p, если известно, что прямая y=−x имеет с графиком ровно одну общую точку.

            Конец формы


            Список литературы

            1. Башмаков М.И. Алгебра, 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

            2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

            3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

            4. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.

            5. Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 14-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2012. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.

            6. Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.





Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 09.04.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров340
Номер материала ДБ-018232
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх