Поурочные планы по алгебре 9 класс Макарычев 3часа в неделю

ГЛАВА 1 КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ 23 ЧАСА

У р о к 1 .
функция. Область определения и область значения функции.ё

Цели: обобщить имеющиеся у учащихся знания о функциях; выделить ключевые задачи на функцию.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Найдите значение выражения: 1 – 3а² при а = 0; а = 1; а = –1; а = –.

III. Объяснение нового материала.

На этом уроке целесообразно повторить те сведения о функциях, которые уже известны учащимся, обобщить и систематизировать эти сведения, выделить ключевые задачи на функцию. Вопросы о нахождении области определения и области значений функции лучше разобрать на следующем уроке.

После объяснения материала у учащихся в тетрадях должны быть записаны следующие сведения о функциях:

1. Определение функции.

2. Смысл записи у = f (x).

3. Определение графика функции.

4. Формулы ранее изученных функций и их графики.

Далее необходимо выделить основные задачи, связанные с функциями:

№ 1. По данному значению аргумента найти значение функции.

№ 2. Найти те значения аргумента, которые соответствуют данному значению функции.

№ 3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

№ 4. Найти точки пересечения графиков данных функций.

№ 5. Найти все значения аргумента, при каждом из которых график одной функции лежит выше (ниже) графика другой функции.

Эти задачи учащиеся должны уметь решать без построения графиков функций.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 1, № 2, № 4 – нахождение значений функции при заданных значениях аргумента.

2. № 5, № 6 (а), № 7 – нахождение значений аргумента при заданных значениях функции.

3. № 13.

4. Даны функции: f (x) = 2х + 1 и g (х) = 3– х. Найдите:

а) f (–5); g (7); f (g (3)); g (f (2)).

б) Значение х, при которых g (х) = 5.

в) Точки пересечения графиков данных функций с осями координат.

г) Координаты точки, в которой пересекаются графики данных функций.

д) Все точки, в которых график функции у = f (x) лежит ниже графика функции у = g (x).

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что такое функция?

– Что называется графиком функции?

– Как найти точки пересечения графиков двух функций, не строя эти графики?

– Как найти точки пересечения графика функции с осями координат?

– Как найти все точки, в которых график одной функции лежит выше или ниже графика другой функции?

Домашнее задание.

1. № 3, № 6 (б), № 8, № 12.

2. Даны функции: f (x) = х² – 2х и g (x) = 3х – 4. Найдите:

а) f (–2); g (–10); f (g (–1)).

б) Значения х, при которых f (x) = 3.

в) Точки пересечения графиков данных функций с осями координат.

г) Координаты точек, в которых пересекаются графики данных функций.

д) Все точки, в которых график функции у = f (x) лежит выше графика функции у = g (x).

У р о к 2.
Область определения
и область значений функции

Цели: ввести понятия области определения и области значений функции; формировать умение их находить.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Дана функция: у = .

а) Найдите значение этой функции в точке –3; 1; –2.

б) Может ли данная функция принимать значение, равное 2; 0?

III. Объяснение нового материала.

При проведении устной работы у учителя есть возможность коснуться вопроса об области определения, области значений функции и их нахождения.

Важно, чтобы учащиеся осознали с л е д у ю щ е е:

1) Существуют функции, у которых независимая переменная может принимать не любые значения. Все значения независимой переменной называют областью определения функции.

2) При подстановке допустимых значений независимой переменной некоторые функции могут принимать не любые значения. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

Известно, что понятия области определения и области значений функции зачастую тяжело воспринимаются учащимися. Поэтому необходимо привести как можно больше примеров, причем в них должны присутствовать функции, у которых областями определения и значений является множество всех чисел, а также функции с ограниченной областью определения или областью значений.

у = 2х + 5 у =

у = 4х² – 3х у = х² + 1

у = х³ – 1 у =

у = у =

у = 2у =

После нахождения области определения данных функций необходимо, чтобы учащиеся сделали в ы в о д: область определения функции может быть представлена не всем множествам чисел только в том случае, если функция содержит дробное выражение или квадратный корень. Этот вывод поможет им в дальнейшем без труда находить область определения любой функции.

Чтобы отыскивать область значений функции, учащиеся, во-первых, должны знать области значений всех элементарных функций, а во-вторых, понимать, как изменяется область значений выражения при различных ее преобразованиях.

Желательно, чтобы учащиеся занесли себе в тетради таблицу с графиками элементарных функций, в которой будут указаны области определения и области значений этих функций.

1. Линейная функция у = kx + b

при k ≠ 0;

область определения
(–∞; +∞);

область значений (–∞; +∞).

2. Обратная пропорциональность ;

область определения
(–∞; 0) (0; +∞);

область значений
(–∞; 0) (0; +∞).

3. Функция у = х^2;

область определения (–∞; +∞);

область значений [0; +∞).

4. Функция у = х^3;

область определения (–∞; +∞);

область значений (–∞; +∞).

5. Функция у = ;

область определения [0; +∞);

область значений [0; +∞).

6. Функция у = | х |;

область определения (–∞; +∞);

область значений [0; +∞).

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. Нахождение области определения функции.

1) № 9, № 10.

2) № 14 – это задание следует выполнить в классе с высоким уровнем подготовки.

Р е ш е н и е

а) ;

| х | – 1 ≥ 0;

| х | ≥ 1;

х (–∞; –1] [1; +∞).

б) ;

| 2 – х | – 3х ≥ 0.

Если 2 – х ≥ 0, то есть х ≤ 2, значит,

2 – х – 3х ≥ 0;

–4х ≥ –2;

х ≤ .

Если 2 – х < 0, то есть х > 2, значит,

х – 2 – 3х ≥ 0;

–2х ≥ 2;

х ≤ –1.

Таким образом, х (–∞; ].

2. Нахождение области значений функции.

1) № 18 (а).

2) Найдите область значений функции:

а) f (х) = х³ – 2, где –1 ≤ х ≤ 2;

б) g (х) = 2, где 1 ≤ х ≤ 16;

в) γ (х) = , где 2 ≤ х ≤ 6.

3) Найдите область значений функции:

а) у = х² + 2; б) у = – 4; в) у = | x | + 10.

Д о п о л н и т е л ь н о: № 20.

Р е ш е н и е

Очевидно, что областью определения функции являются все числа, поскольку выражение х² + 1, стоящее в знаменателе, не обращается в нуль ни при каких значениях х.

Для нахождения области значений нужно преобразовать формулу, задающую функцию:

.

Далее рассуждаем пошагово. Выражение х² + 1 может принимать значения из промежутка [1; +∞), тогда выражение принимает значения из промежутка (0; 1], выражение – – из промежутка [–1; 0). Значит, областью значений данной функции является промежуток [0; 1).

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется областью определения функции?

– Что называется областью значений функции?

– Назовите области определения и значений всех элементарных функций.

– Какие выражения должны входить в формулу записи функции, чтобы областью ее определения не являлось множество всех чисел?

– Найдите область определения функции:

у = 2х – 9 у =

у = х² – 6 у =

Домашнее задание:

1) № 11, № 18 (б).

2) № 30 (а, в, д), № 31 (а, в).

Д о п о л н и т е л ь н о: № 21.

У р о к 3 .
Графики функций

Цели: формировать у учащихся умение «читать» и строить графики функций, находить по графику область определения и область значений функции.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Найдите g (–2) и g (2), если g (х) = .

2. Найдите значение х, при котором функция, заданная формулой
f (х) = –х + 2, принимает значение, равное 1.

3. Найдите область определения функции, заданной формулой:

а) f (х) = 19 – 2х; в) γ (х) = ;

б) g (х) = ; г) у = х² – 4.

4. Укажите область значений функции:

а) у = 37х + 1; в) у = ;

б) у = –23; г) у = | х |.

В а р и а н т 2

1. Найдите g (8) и g (–3), если g (х) = х² – 10х.

2. Найдите значение х, при котором функция, заданная формулой
f (х) = х + 9, принимает значение, равное 10.

3. Найдите область определения функции, заданной формулой:

а) f (х) = 5х – 7; в) g (х) = ;

б) у = –; г) γ (х) = 5 – х².

4. Укажите область значений функции:

а) у = –24х + 5; в) у = ;

б) у = 41; г) у = –.

III. Формирование умений и навыков.

Все задания, которые должны выполнить учащиеся на этом уроке, можно разбить на 3 группы:

1-я г р у п п а – задания на «чтение» графика функции.

2-я г р у п п а – задания на различие графиков элементарных функций.

3-я г р у п п а – задания на построение графиков функций.

После выполнения каждой группы заданий необходимо, чтобы учащиеся вместе с учителем сформулировали соответствующие выводы. В первом случае – это вывод о том, на какие вопросы можно ответить, имея график функции. Во втором случае нужно вспомнить роль параметров, входящих в формулы элементарных функций. В третьем случае учащиеся еще раз проговаривают, что является графиком той или иной функции и как он строится.

Упражнения:

1-я г р у п п а.

№ 15, № 24, № 26.

2-я г р у п п а.

1) На рисунке изображены графики линейных функций. Для каждой функции найдите соответствующий график. Ответ обоснуйте.

у = –3х;

у = 2х – 1;

у = –0,5х + 1;

у = х + 2.

2) № 23.

3-я г р у п п а:

№ 17 (а, в), № 25 (а).

В классе с высоким уровнем подготовки желательно выполнить № 27 на построение графика кусочно заданной функции. Важно, чтобы учащиеся поняли, что значения функции зависят от того промежутка, из которого взято значение аргумента.

р (20) = 2 · 20 + 20 = 60;

р (40) = 100;

р (50) = 100;

р (60) = 100;

р (90) = – · 90 + 140 = –60 + 140 = 80.

График будет выглядеть следующим образом:

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется областью определения и областью значений функции?

– На какие вопросы можно ответить, имея график функции?

– Что является графиком линейной функции? Как зависит расположение графика от параметров k и b, входящих в формулу функции
у = kх + b?

– Как называется график функции у = ? Как располагается график в зависимости от k?

Домашнее задание: № 16, № 22, № 17 (б, г), № 25 (б).

Д о п о л н и т е л ь н о: № 28.

У р о к 4.
Нахождение свойств функции по ее графику

Цели: познакомить учащихся с основными свойствами функций; формировать умение находить свойства функции по ее графику.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

На рисунке изображен график функции у = f (х).

Н а й д и т е:

а) область определения функции;

б) f (–2), f (2);

в) значения аргумента х, при которых f (х) = 0, f (х) = 2;

г) наибольшее и наименьшее значения функции;

д) область значений функции.

В а р и а н т 2

На рисунке изображен график функции у = f (х).

Н а й д и т е:

а) область определения функции;

б) f (1), f (3);

в) значения аргумента х, при которых f (х) = 3, f (х) = 1;

г) наибольшее и наименьшее значения функции;

д) область значений функции.

III. Объяснение нового материала.

На этом уроке необходимо познакомить учащихся с основными свойствами функций и выполнять задания на нахождение этих свойств по графикам функций. Вопрос о свойствах элементарных функций целесообразно разобрать на следующем уроке.

Объяснение нового материала нужно строить таким образом, чтобы все свойства функции были выявлены из конкретной практической ситуации, которая понятна учащимся. Такой ситуацией может быть наблюдение за изменением температуры воздуха с течением времени. График зависимости заранее вынести на доску:

Попросить учащихся о т в е т и т ь н а в о п р о с ы:

1) В течение какого промежутка времени шло наблюдение?

2) В каких пределах изменялась за это время температура?

3) В какое время температура воздуха была равна 0?

4) В какие промежутки времени температура была выше нуля? ниже нуля?

5) В какие промежутки температура повышалась? понижалась?

Отвечая на эти вопросы, учащиеся, по сути, перечисляют основные свойства функции. После выполнения этого задания учитель дает четкую формулировку каждого свойства функции и предлагает с л е д у ю щ у ю
с х е м у для исследования любой функции:

1) Найти область определения функции, D (у).

2) Найти область значений функции, Е (у).

3) Найти нули функции.

4) Найти промежутки знакопостоянства функции.

5) Найти промежутки возрастания и убывания функции.

Согласно этой схеме разобрать с учащимися пример на исследование функции по ее графику (при этом можно договориться об условном обозначении некоторых свойств).

1) D (у): [–5; 4];

2) Е (у): [–4; 3];

3) нули: –3; –1; 2;

4) «+»: [–5; –3) (–1; 2);

«–»: (–3; –1) (2; 4];

5) : [–2; 1];

: [–5; 2], [1; 4].

Так учащиеся должны уметь перечислять свойства функции, заданной своим графиком.

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. № 32, № 33 – устно.

2. № 35, № 36.

3. № 38 (а), № 39 (а, б).

4. Начертите график какой-либо функции с областью определения
[–5; 4] так, чтобы эта функция убывала на промежутках [–5; –1] и [2; 4], возрастала на промежутке [–1; 2] и имела нули: –3, 1 и 3.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– По какой схеме можно исследовать любую функцию?

– Что называется областью определения и областью значений функции?

– Что такое нули функции? Как по графику функции найти ее нули?

– Что такое промежутки знакопостояноства функции? Как по графику функции определить эти промежутки?

– Какая функция называется возрастающей на промежутке? убывающей на промежутке?

Домашнее задание: № 34, № 37, № 38 (б), № 39 (в).

У р о к 5.
Свойства элементарных функций

Цели: провести исследование элементарных функций, перечислив их основные свойства; продолжить формирование умения находить свойства функции по ее графику.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Найдите на рисунках графики, соответствующие функциям, заданным формулами:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Перечислите свойства функции, график которой изображен на рисунке.

В а р и а н т 2

Перечислите свойства функции, график которой изображен на рисунке.

В а р и а н т 1

Перечислите свойства функции, график которой изображен на рисунке.

В а р и а н т 2

Перечислите свойства функции, график которой изображен на рисунке.

IV. Объяснение нового материала.

Учащиеся уже знакомы с шестью элементарными функциями. На этом уроке они должны с высокой степенью самостоятельности описать свойства этих функций, законспектировав данный материал. При этом желательно, чтобы в их конспектах сначала были перечислены свойства функций у = х², у = х³, у = и у = | х |, то есть тех функций, запись которых не содержит параметров, а затем уже исследовать функции у = kx + b и у = .

Справочный материал, который учащиеся изучат на этом уроке, можно составить в соответствии со следующей схемой:

1) Название функции; формула, задающая функцию.

2) Название графика функции.

3) Свойства функции.

Приведем п р и м е р н ы й к о н с п е к т материала.

1. Функция у = х^2.

График – парабола.

Свойства функции:

1) D (у): (–∞; +∞);

2) Е (у): [0; +∞];

3) у = 0, если х = 0;

4) «+»: (–∞; 0) (0; +∞);

5) : [0; +∞];

: (–∞; 0].

2. Функция у = х^3.

График – кубическая парабола.

Свойства функции:

1) D (у): (–∞; +∞);

2) Е (у): (–∞; +∞);

3) у = 0, если х = 0;

4) «+»: (0; +∞);

«–»: (–∞; 0);

5) функция возрастающая.

3. Функция у = .

Свойства функции:

1) D (у): [0; +∞);

2) Е (у): [0; +∞);

3) у = 0, если х = 0;

4) «+»: (0; +∞);

«–»: (–∞; 0);

5) функция возрастающая.

4. Функция у = | х |.

Свойства функции:

1) D (у): (–∞; +∞);

2) Е (у): [0; +∞];

3) у = 0, если х = 0;

4) «+»: (–∞; 0) (0; +∞);

5) : [0; +∞];

: (–∞; 0].

5. Линейная функция у = kx + b.

График – прямая.

Свойства функции:

1) D (у): (–∞; +∞);

2) Е (у): (–∞; +∞), если k ≠ 0;

3) у = 0, если kx + b = 0,

х = ;

4) у > 0, если kx + b > 0,

y < 0, если kx + b < 0;

5) при k > 0 функция возрастающая,

при k< 0 – убывающая.

6. Функция обратная пропорциональность
y = .

График – гипербола.

1) D (у): (–∞; 0) (0; +∞);

2) Е (у): (–∞; 0) (0; +∞);

3) нулей нет;

4) при k > 0: «+»: (0; +∞);

«–»: (–∞; 0);

при k < 0: «+»: (–∞; 0);

«–»: (0; +∞);

5) при k < 0 функция возрастающая,

при k > 0 – убывающая.

V. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. Разделите функции у = 2х + 3, у = –5х + 4, у = + 1, у = 4, у = 3 – х, у = –5 + 0,7х, у = ; у = –10х на три группы:

а) возрастающие;

б) убывающие;

в) ни возрастающие, ни убывающие.

2. № 47, № 50.

3. При каких значениях а функция у =

а) является возрастающей;

б) является убывающей?

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Назовите области определения и области значений всех элементарных функций.

– Есть ли среди элементарных функций те, которые не имеют нулей? имеют два нуля?

– Назовите элементарные функции, которые не принимают отрицательных значений.

– Какие из элементарных функций являются возрастающими? убывающими?

– При каких значениях k функции у = kx + b и у = являются возрастающими? убывающими?

Домашнее задание: № 44, № 45, № 46, № 50 (б).

У р о к 6.
Нахождение свойств функции
по формуле и по графику

Цели: обобщить и систематизировать знания учащихся о свойствах функции; продолжить формирование умения находить свойства функции по их формуле или графику.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Определите, какие из функций, изображенных на рисунках, обладают следующими свойствами:

а) имеют область определения [–3; 3];

б) имеют область значений [–2; 2];

в) имеют два нуля;

г) принимают только отрицательные значения;

д) являются возрастающими;

е) являются убывающими.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

III. Формирование умений и навыков.

Все задания, которые будут выполнять учащиеся на этом уроке, можно разбить на две группы. В первую группу войдут задания на перечисление свойств функции по ее графику. Во второй группе будут задания на нахождение свойств функции по задающим их формулам. После выполнения каждой группы заданий необходимо, чтобы учащиеся сделали выводы: как найти свойства функции в том или ином случае, то есть по графику или по формуле.

Упражнения:

1-я г р у п п а.

Функции у = f (х) и у = g (х) заданы своими графиками:

Перечислите свойства функций и сформулируйте вывод о том, как могут быть найдены свойства любой функции по ее графику.

2-я г р у п п а.

1. Найдите нули функции (если они существуют):

а) у = –3х + 1,8; в) у = ;

б) у = ; г) у = 16 х².

2. № 43 (а).

3. Какие из следующих функций: у = 5х – 1, у = х², у = , у = ,
у = –x , у = | х |, у = –, у = 7, у = х³ –

а) являются возрастающими;

б) являются убывающими?

Учащиеся уже формулировали выводы о том, как по формуле можно найти область определения и область значений функции. Теперь они должны сделать выводы о нахождении других свойств функций.

В ы в о д 1. Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции, заданной формулой, необходимо сравнить эту формулу с нулем и решить полученные неравенства.

Важно, чтобы учащиеся поняли, что имеющихся у них сейчас знаний недостаточно для определения промежутков возрастания и убывания произвольной функции. Следует сообщить им, что в десятом классе они смогут делать это. Пока же учащиеся должны уметь находить промежутки возрастания и убывания элементарных функций.

Однако следует показать учащимся, как с помощью логических рассуждений можно доказать, что заданная функция является возрастающей или убывающей. Для этого нужно выполнить № 51.

а) у = 5x + .

Областью определения функции служат все неотрицательные числа. Чем больше мы будем брать значение аргумента, тем больше будут значения выражений 5х и , значит, больше будет их сумма. Таким образом, функция у = 5x + является возрастающей.

б) у = –x + .

Аналогично показывается, что данная функция является убывающей.

В классе с высоким уровнем подготовки можно выполнить № 42.

а) у = .

Найдем область определения функции:

Значит, D (у): [–6; –5) (–5; +∞).

Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение:

;

;

х + 6 = х²;

х² – х – 6 = 0, откуда х = –2, х = 3.

Проверкой убеждаемся, что х = –2 не является корнем уравнения. Число 3 является корнем уравнения и входит в область определения функции, значит, х = 3 – нуль данной функции.

IV. Итоги урока.

П и с ь м е н н ы й т е с т.

«+» – согласен с утверждением,

«–» – не согласен с утверждением.

1) Если какая-то функция задана формулой, содержащей х в знаменателе дроби, то областью определения этой функции не может быть множество всех чисел.

2) Областью определения функции у = | х | являются все неотрицательные числа.

3) Существуют функции, областью значений которых являются все отрицательные числа.

4) Областью значений любой линейной функции является множество всех чисел.

5) Чтобы найти нули функции у = f (х), нужно найти f (0).

6) Функция обратная пропорциональность не имеет нулей.

7) Существуют линейные функции, которые принимают только положительные значения.

8) Для нахождения отрицательных значений функции нужно найти все ее значения при х < 0.

9) Если k > 0, то линейная функция у = kx + b является возрастающей.

10) Если k < 0, то функция у = является убывающей.

Ключ: – – + – – + + – + – .

Домашнее задание: № 40, № 43 (б), № 48.

Д о п о л н и т е л ь н о: № 42 (б), № 51 (в).

У р о к 7.
Нахождение корней квадратного трехчлена

Цели: ввести понятие квадратичного трехчлена и его корней; формировать умение находить корни квадратного трехчлена.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Какие из чисел: –2; –1; 1; 2 – являются корнями уравнений?

а) 8х + 16 = 0; в) х² + 3х – 4 = 0;

б) 5х² – 5 = 0; г) х³ – 3х – 2 = 0.

III. Объяснение нового материала.

Объяснение нового материала проводить по следующей с х е м е:

1) Ввести понятие корня многочлена.

2) Ввести понятие квадратного трехчлена и его корней.

3) Разобрать вопрос о возможном количестве корней квадратного трехчлена.

Вопрос о выделении квадрата двучлена из квадратного трехчлена лучше разобрать на следующем уроке.

На каждом этапе объяснения нового материала необходимо предлагать учащимся устное задание на проверку усвоения основных моментов теории.

З а д а н и е 1. Какие из чисел: –1; 1; ; 0 – являются корнями многочлена х⁴ + 2х² – 3?

З а д а н и е 2. Какие из следующих многочленов являются квадратными трехчленами?

1) 2х² + 5х – 1; 6) х² – х – ;

2) 2х – ; 7) 3 – 4х + х²;

3) 4х² + 2х + х³; 8) х + 4х²;

4) 3х² – ; 9) + 3х – 6;

5) 5х² – 3х; 10) 7х².

Какие из квадратных трёхчленов имеют корень 0?

З а д а н и е 3. Может ли квадратный трехчлен иметь три корня? Почему? Сколько корней имеет квадратный трехчлен х² + х – 5?

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. № 55, № 56, № 58.

2. № 59 (а, в, д), № 60 (а, в).

3. № 61.

В этом задании не нужно искать корни квадратных трехчленов. Достаточно найти их дискриминант и ответить на поставленный вопрос.

а) 5х² – 8х + 3 = 0;

D₁ = 16 – 15 = 1;

D₁ > 0, значит, данный квадратный трехчлен имеет два корня.

б) 9х² + 6х + 1 = 0;

D₁ = 9 – 9 = 0;

D₁ = 0, значит, квадратный трехчлен имеет один корень.

в) –7х² + 6х – 2 = 0;

7х² – 6х + 2 = 0;

D₁ = 9 – 14 = –5;

D₁ < 0, значит, квадратный трехчлен не имеет корней.

Если останется время, можно выполнить № 63.

Р е ш е н и е

Пусть ax² + bx + c – данный квадратный трехчлен. Поскольку a + b +
+ c = 0, то один из корней этого трехчлена равен 1. По теореме Виета второй корень равен . Согласно условию, с = 4а, поэтому второй корень данного квадратного трехчлена равен .

О т в е т: 1 и 4.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что такое корень многочлена?

– Какой многочлен называют квадратным трехчленом?

– Как найти корни квадратного трехчлена?

– Что такое дискриминант квадратного трехчлена?

– Сколько корней может иметь квадратный трехчлен? От чего это зависит?

Домашнее задание: № 57, № 59 (б, г, е), № 60 (б, г), № 62.

У р о к 8.
Выделение квадрата двучлена
из квадратного трехчлена

Цели: формировать у учащихся умение выделять квадрат двучлена из квадратного трехчлена и решать задачи с помощью этого преобразования.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Какие из чисел: –2; –1; 0; 1; 2 – являются корнями квадратных трехчленов х² + 4х + 3 и 5х – 2х²?

III. Объяснение нового материала.

В 8 классе учащиеся уже решали квадратные уравнения с помощью выделения квадрата двучлена из квадратного трехчлена, то есть данный прием им знаком. Однако следует еще раз разобрать несколько примеров и записать алгоритм, по которому выполняется это преобразование.

Сначала лучше привести несложный пример, где коэффициент а квадратного трехчлена равен 1, а коэффициент b – четный:

х² – 6х + 4 = х² – 2 · 3 · х + 3² – 3² + 4 = (х – 3)² – 5.

Затем нужно разобрать сложный пример. При этом учащиеся записывают в тетрадях проводимые преобразования и их словесное описание в общем виде, то есть составляют алгоритм выделения квадрата двучлена из квадратного трехчлена.

ax² + bx + c 2х² + 16х + 5

1) Вынести за скобки коэффициент а:

2) Представить выражение в виде удвоенного произведения двух множителей:

8х = 2 · 4 · х

3) К выражению в скобках прибавить и вычесть :

4) Представить часть выражения в скобках в виде полного квадрата:

5) Раскрыть скобки:

; 2 (х + 4)² – 27;

2х² + 16х + 5 = 2 (х + 4)² – 27.

Далее следует разобрать пример 3 из учебника, который показывает, как прием выделения квадрата двучлена из квадратного трехчлена может быть использован при решении геометрической задачи.

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. № 64, № 66.

2. № 68.

Р е ш е н и е

Выделим квадрат двучлена из данного квадратного трехчлена:

2х² – 4х + 6 = 2 (х² – 2х + 3) = 2 (х² – 2 · 1 · х + 1² – 1² + 3) = 2 ((х – 1)² +
+ 2) = 2 (х – 1)² + 4.

Выражение 2 (х – 1)² положительно при любом х ≠ 1, поэтому сумма 2 (х – 1)² + 4 принимает наименьшее значение при х = 1 и это значение равно 4.

О т в е т: при х = 1 наименьшее значение равно 4.

3. № 70.

Р е ш е н и е

Пусть один катет треугольника равен х см. Тогда второй катет равен (6 – х) см, а площадь треугольника равна x (6 – x) см².

Раскрыв скобки в выражении x (6 – x), получим 3х – x². Выражение –x² + 3х является квадратным трехчленом. Выделим из него квадрат двучлена:

–x² + 3х = –(х² – 6х) = –(х² – 2 · 3 · х + 3² – 3²) = –((х – 3)² – 9) =
= –((х – 3)² + .

Выражение –(х – 3)² отрицательно при любом х ≠ 3, поэтому сумма –(х – 3)² + принимает наибольшее значение при х = 3. Таким образом, площадь будет наибольшей, когда один катет треугольника равен 3 см, тогда второй катет тоже равен 3 см, то есть треугольник является равнобедренным.

4. № 71.

Р е ш е н и е

Чтобы выяснить, какой наибольшей высоты достигнет стрела, нужно найти наибольшее значение квадратного трехчлена –5t² + 50t + 20. Для этого выделим из него квадрат двучлена:

–5t² + 50t + 20 = –5 (t² – 10t – 4) = –5 (t² – 2 · 5 · t + 5² – 5² – 4) =
= –5 ((t – 5)² – 29) = –5 (t – 5)² + 145.

Данное выражение достигает наибольшего значения при t = 5, значит, наибольшая высота равна 145 м.

О т в е т: 145 м.

Сильным в учебе учащимся дополнительно можно дать карточки.

К а р т о ч к а № 1

Имеется прямоугольник со сторонами 3 и 5 см. Большую его сторону уменьшили на а см, а меньшую увеличили на такое же число сантиметров. При каком значении а площадь полученного прямоугольника окажется наибольшей?

Р е ш е н и е

После увеличения и уменьшения сторон прямоугольника они стали равны (5 – а) см и (3 + а) см. Площадь полученного прямоугольника будет равна (5 – а) (3 + а) см².

Раскрыв скобки в этом выражении, получим квадратный трехчлен –а² + 2а + 15. Выделим из него квадрат двучлена:

–а² + 2а + 15 = –(а² – 2а – 15) = –(а² – 2 · 1 · а + 1² – 1² – 15) =
= –((а – 1)² – 16) = –(а – 1)² + 16.

Данное выражение принимает наибольшее значение при а = 1.

О т в е т: а = 1.

К а р т о ч к а № 2

Имеется прямоугольник со сторонами 8 и 12 см. Большую его сторону уменьшили на b см, а меньшую увеличили на такое же число сантиметров. При каком значении b площадь полученного прямоугольника окажется наибольшей?

Р е ш е н и е аналогично предыдущей задаче.

О т в е т: b = 2.

V. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Найдите корни квадратного трехчлена:

а) х² – 8х + 15; б) 2а² – а; в) 7х² – 28.

2. Выделите квадрат двучлена из квадратного трехчлена:

а) х² + 4х + 1; б) y² – y + 2.

В а р и а н т 2

1. Найдите корни квадратного трехчлена:

а) х² – 5х + 6; б) 2b² – 18; в) 0,3х² + 0,1х.

2. Выделите квадрат двучлена из квадратного трехчлена:

а) х² – 6х + 11; б) x² – 2x + 5.

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется квадратным трехчленом?

– Что такое корни квадратного трехчлена? Как их найти?

– Сколько корней может иметь квадратный трехчлен?

– Как выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена?

– Как найти наибольшее или наименьшее значение квадратного трехчлена?

Домашнее задание: № 65, № 67, № 69.

У р о к 9.
Теорема о разложении квадратного трехчлена
на множители

Цели: изучить теорему о разложении квадратного трехчлена на множители и формировать умение ее применять.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Какие из чисел: 1; 2; 3; –3 – являются корнями трехчлена х² + х – 6?

2. Сколько корней имеет квадратный трехчлен:

а) х² – 7; г) 5х² + 10;

б) 5х – 6х²; д) х² + 2х – 7;

в) х² + 2х + 1; е) х² + 2х + 10?

III. Объяснение нового материала.

Сначала необходимо актуализировать знания учащихся и создать у них мотивацию. Поэтому следует разобрать, как разложить на множители квадратный трехчлен методом группировки, рассмотрев несколько примеров:

а) х² + 3х – 4 = х² + 4х – х – 4 = х (х + 4) – (х + 4) = (х + 4) (х – 1);

б) –х² + 3х + 10 = –(х² – 3х – 10) = –(х² – 5х + 2х – 10) = –(х (х – 5) +
+ 2 (х – 5)) = – (х – 5) (х + 2) = (5 – х) (х + 2);

в) 2х² + 6х + 4 = 2 (х² + 3х + 2) = 2 (х² + х + 2х + 2) = 2 (х (х + 1) +
+ 2 (х + 1)) = 2 (х + 1) (х + 2).

Выполнение этих заданий позволит учащимся повторить метод группировки разложения многочлена на множители, а также убедиться в том, что этот метод не является достаточно удобным в данной ситуации. Учитель сообщает, что существует теорема, позволяющая разложить на множители квадратный трехчлен более простым способом.

Далее следует разобрать теорему, после чего предложить учащимся применить ее к тем трехчленам, которые были разложены на множители методом группировки в начале урока. Учащиеся убеждаются, что результаты получаются одинаковые.

На доску выносится запись:

которая сохраняется до конца урока.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащиеся выполняют задания на непосредственное применение изученной теоремы. Использование теоремы для упрощения выражений лучше рассмотреть на следующем уроке.

Упражнения:

1. № 76, № 77 (а, б).

2. № 79 (а), № 80.

В классе с высоким уровнем подготовки можно выполнить № 82.

Р е ш е н и е

Учащиеся могут подобрать такой трехчлен с конкретными коэффициентами и разложить его на множители. Н а п р и м е р: х² + 3х + 2 =
= (х + 1) (х + 2). Однако доказательство факта, данного в задаче, необходимо провести в общем виде.

Пусть а = п, b = 2п, с = 3п. Тогда получим квадратный трехчлен пх² +
+ 2пх + 3п. Его дискриминант равен –8п², то есть трехчлен такого вида корней не имеет, значит, не удовлетворяет условию задачи. Замечаем, что дискриминант будет отрицательным в тех трехчленах, в которых а = 3п или с = 3п.

Условию будут удовлетворять только два трехчлена:

пх² + 3пх + 2п и 2пх² + 3пх + п. Разложим их на множители:

пх² + 3пх + 2п = 0;

D = 9п² – 8п² = п^2;

х₁ = ; ;

пх² + 3пх + 2п = п (х + 1) (х + 2);

2пх² + 3пх + п = 0;

D = 9п² – 8п² = п^2;

х₁ = ; ;

2пх² + 3пх + п = 2п (х + 1) = п (2х + 1) (х + 1).

Подставляя конкретные значения п, можно получить бесконечно много квадратных трехчленов указанного вида: х² + 3х + 2, 2х² + 3х + 1, 2х² + 6х + 4, 4х² + 6х + 2 и т. п.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что такое квадратный трехчлен?

– Как найти корни квадратного трехчлена?

– Сформулируйте теорему о разложении квадратного трехчлена на множители.

– Любой ли квадратный трехчлен можно разложить на множители? От чего это зависит?

Домашнее задание: № 77 (в, г), № 78, № 79 (б).

Д о п о л н и т е л ь н о: № 81.

У р о к 10.
Применение теоремы о разложении
квадратного трехчлена на множители
для преобразования выражений

Цель: продолжить формирование умения раскладывать на множители квадратный трехчлен, применяя это разложение для сокращения дробей и упрощения выражений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Определите, можно ли представить квадратный трехчлен в виде произведения многочленов первой степени:

а) 2х² + х – 5; г) х² – 2х + 8;

б) 2х² + х + 5; д) х² – 2х – 8;

в) х² – 4х + 4; е) 9х² + 6х + 1.

III. Формирование умений и навыков.

На этом уроке следует обобщить знания учащихся о различных способах разложения многочленов на множители. Особое внимание нужно уделить двум вопросам:

1) Сколько существует способов разложения многочленов на множители и в чем они заключаются?

2) При решении каких задач пригодится умение раскладывать многочлен на множители?

Поскольку для сокращения дробей и упрощения выражений учащимся потребуется знание всех способов разложения многочленов на множители, то для начала необходимо актуализировать эти знания.

Учитель сообщает учащимся, что теперь им известны все основные способы разложения многочленов на множители и просит перечислить эти способы. В тетрадях у учащихся должны быть записаны названия всех четырех способов и приведены примеры.

1. Вынос общего множителя за скобки:

а) 2х³ + 5х² – х = х (2х² + 5х – 1);

б) 9х⁵ + 15х³ = 3х³ (3х² + 5).

2. Применение формул сокращенного умножения:

а) 4х² – у² = (2х – у) (2х + у);

б) х² – 6х + 9 = (х – 3)²;

в) х³ + 8 = (х + 2) (х² – 2х + 4).

3. Метод группировки:

а) 6х³ – 8х² + 3х – 4 = 2х² (3х – 4) + (3х – 4) = (3х – 4) (2х² + 1);

б) 2х + у + у² – 4х² = 2х + у + (у – 2х) (у + 2х) = (у + 2х) (1 + у – 2х).

4. Разложение на множители квадратного трехчлена:

а) х² – 4х – 5 = (х + 1) (х + 5);

б) 3х² + х – 4 = 3 (x – 1) = (х – 1) (3х + 4).

Далее выделяются две основные группы заданий, при выполнении которых необходимо умение раскладывать многочлен на множители:

– сокращение дробей;

– упрощение выражений.

Упражнения:

1-я г р у п п а.

1. № 83 (а, в, д), № 85 (а).

2. Сократите дробь:

а) ; б) .

Р е ш е н и е

а)

б) .

2-я г р у п п а.

Упростите выражение:

а) ;

б) .

Р е ш е н и е

а)

б)

Если останется время, то можно предложить учащимся задание на построение графика функции .

Р е ш е н и е

Данная функция не является элементарной, и по точкам ее строить неудобно. Сократим дробь, задающую функцию:

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции у = х – 4, но точка х = 2 не входит в область определения данной функции, поэтому на графике эта точка будет выколотой.

IV. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

а) х² – 7х + 12; б) 6х² + 5х – 4.

2. Сократите дробь:

а) ; б) .

3*. Упростите выражение:

.

В а р и а н т 2

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

а) х² + х – 72; б) 7х² + 20х – 3.

2. Сократите дробь:

а) ; б) .

3*. Упростите выражение:

.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте теорему о разложении квадратного трехчлена на множители.

– Всегда ли можно разложить на множители квадратный трехчлен? От чего это зависит?

– Какие существуют способы разложения многочлена на множители?

– При выполнении каких заданий пригодится умение раскладывать многочлен на множители?

– Как сократить алгебраическую дробь?

Домашнее задание:

1. № 83 (б, г, е), № 84, № 85 (б).

2. Упростите выражение:

а) ;

б) .

У р о к 11.
Исследование функции у = ах²

Цель: формировать умение описывать свойства функции у = ах² и строить ее график.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Дана функция: у = х^2.

1) Найдите значения функции в точках –1; 0; .

2) В каких точках значение функции равно 4; ?

3) Входят ли в область значений функции числа 2; ; –4?

4) Найдите наибольшее значение функции на отрезке [; 7].

5) Найдите наименьшее значение функции на отрезке [–3; ].

III. Объяснение нового материала.

Объяснение проводить согласно пункту учебника, увеличив степень самостоятельности учащихся.

Предложить учащимся построить графики функций у = 2х² и у = х² и ответить на следующие в о п р о с ы:

– Чем отличаются графики этих функций от графика функции у = х²?

– Чем отличаются друг от друга графики этих функций?

– Как может быть получен график каждой из этих функций из графика функции у = х²?

– Как будет изменяться график функции у = ах², если брать значения а, равные 2; 3; 4 и т. д.?

– Как будет изменяться график функции у = ах², если брать значения а, равные и т. д.?

Затем предложить учащимся построить графики функций у = –2х² и у = –х² и ответить на подобные вопросы.

В конце объяснения учитель просит учащихся сформулировать свойства функции у = ах² по известной схеме

1. D (у): (–∞; +∞).

2. Если а > 0, то Е (у): [0; +∞).

Если а < 0, то Е (у): (–∞; 0].

3. у = 0 при х = 0.

4. Если а > 0, то «+»: (–∞; 0) (0; +∞).

Если а < 0, то «–»:(–∞; 0) (0; +∞).

5. Если а > 0, то : [0; +∞);

: (–∞; 0].

Если а < 0, то : (–∞; 0];

: [0; +∞).

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке нужно стремиться к тому, чтобы учащиеся научились свободно строить график функции у = ах² и перечисляли свойства этой функции.

Упражнения:

1. № 90, № 92, № 94.

2. Определите, график какой функции изображен на рисунке:

у = 3х²

у = х²

у = –3х²

у = –х²

3. Графики каких из перечисленных функций изображены на рисунках?

а) б)

в)

у = 2,1х² у =

у = у = –2,4х²

Постройте недостающий график функции и перечислите ее свойства.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Как называется график функции у = ах²?

– Куда направлены ветви параболы, если а > 0 (а < 0)?

– Как может быть получен график функции у = 5х² из графика функции у = х²?

– Как может быть получен график функции у = из графика функции у = х²?

– Как может быть получен график функции у = –4х² из графика функции у = 4х²?

– Перечислите свойства функции у = ах² при а < 0.

Домашнее задание: № 91, № 93, № 95.

У р о к 12.
Разные задачи на функцию у = ах²

Цели: продолжить формирование умения строить график функции у = ах² и перечислять ее свойства; использовать данное умение при решении различных задач.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Определите, график какой функции изображен на рисунке:

а)

у = 3,1х

у =

у =

у = –2,9х²

б)

у = х²

у = –х²

у = 4х²

у = –4х²

III. Формирование умения и навыков.

Упражнения:

1. Какие из следующих точек принадлежат графику функции у = –20х²?

а) А (0; 0); в) С (–2; –80);

б) В (–1; 20); г) D .

2. № 96.

Данное задание не должно вызывать затруднений у учащихся, поскольку им известно решение одной из основных задач на функцию: чтобы найти координаты точек пересечения графиков двух функций, заданных своими формулами, нужно приравнять эти формулы и решить полученное уравнение.

г) 2х² = 14х – 20;

2х² – 14х + 20 = 0;

х² – 7х + 10 = 0;

х₁ = 2 и х₂ = 5.

А (2; 8), В (5; 50).

3. № 101.

4. Для каждой из данных функций найдите ее график.

у = х² у = 2х²

у = 5х² у = 0,3х²

у = –х² у = –2х²

Д о п о л н и т е л ь н ы е з а д а н и я:

5. № 100.

Р е ш е н и е

Чтобы парабола у = х² и прямая у = kx – 4 имели только одну общую точку, уравнение х² = kx – 4 должно иметь единственное решение.

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

х² – kx + 4 = 0;

D = k² – 16.

Уравнение будет иметь единственное решение в том случае, если дискриминант равен нулю:

k² – 16 = 0;

k² = 16;

k = ± 4.

О т в е т: при k = ± 4.

6. На рисунке изображены графики функций у = х² и у = х – 2.

а) Замените в формуле, задающей линейную функцию, коэффициент k так, чтобы графики функций имели две точки пересечения.

б) Замените в формуле, задающей линейную функцию, коэффициент b так, чтобы графики функций имели две точки пересечения.

в) Можно ли в квадратичной функции у = х² заменить коэффициент так, чтобы графики функций имели две точки пересечения. Ответ объясните.

Р е ш е н и е

Учащиеся могут искать коэффициент подбором, используя изображенные графики. Однако после нахождения нужного числа следует предложить учащимся аналитически проверить полученный ответ.

а) Чтобы прямая пересекала параболу, она должна идти круче, то есть коэффициент k должен быть как можно больше, например: k = 5. Проверим это предположение. Чтобы графики функций имели две общие точки, уравнение х² = 5х – 2 должно иметь два корня, то есть дискриминант должен быть больше нуля:

х² – 5х + 2 = 0;

х² – 10х + 4 = 0;

D₁ = 25 – 4 = 19.

Таким образом, при k = 5 графики функций у = х² и у = kх – 2 пересекаются в двух точках.

б) Чтобы прямая пересекала параболу, ее нужно «поднять вверх», то есть увеличить коэффициент b. Пусть, например, b = 1. По рисунку ясно, что это число удовлетворяет условию, однако можно привести аналитическое подтверждение:

х² = х + 14;

х² – 2х – 2 = 0;

D₁ = 1 + 2 = 3.

D₁ > 0, следовательно, график функций у = х² и у = х + 1 имеют две общие точки.

в) Очевидно, что если коэффициент а в функции у = ах² будет отрицательным, то графики будут пересекаться в двух точках.

Наибольший интерес представляет вопрос о том, можно ли подобрать положительное число а, удовлетворяющее условию задачи. Парабола пересечет данную прямую, если она будет как можно шире, то есть число а будет как можно ближе к нулю, например: а = 0,01.

Проверим это предположение.

0,01х² = х – 2;

0,01х² – х + 2 = 0;

х² – 100х + 200 = 0;

D₁ = 100 – 200 = –100.

Получаем, что взятое число не достаточно мало. Возьмем а = 0,001 и снова вычислим дискриминант:

0,001х² = х – 2;

0,001х² – х + 2 = 0;

х² – 1000х + 2000 = 0;

D₁ = 2500 – 2000 = 500;

D₁ > 0, то есть при а = 0,001 прямая у = х – 2 будет пересекать параболу у = ах² в двух точках.

IV. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Постройте график функции у = х² и перечислите свойства этой функции.

2. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции у = 2х² и прямой у = 50х.

3. Принадлежит ли графику функции у = –25х² точка:

а) А (–2; –100); б) В .

В а р и а н т 2

1. Постройте график функции у = –х² и перечислите свойства этой функции.

2. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции у = –2х² и прямой у = 40х.

3. Принадлежит ли графику функции у = 40х² точка:

а) А (2; 160); б) В .

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что является графиком функции у = ах²?

– Перечислите свойства функции у = ах² при а >0.

– Как может быть получен график функции у = из графика функции у = х²?

– Сколько общих точек могут иметь графики линейной функции и функции у = ах²?

– Могут ли пересекаться графики функций у = ах² и у = kx + b, если а < 0, k > 0 и b > 0?

Домашнее задание: № 97, № 98, № 102.

У р о к 13.
Правила построения графиков функций
у = ах² + п и у = а (х – т)²

Цели: изучить правила построения графиков функций у = ах² + п и у = а (х – т)²; формировать умение схематически изображать графики этих функций.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Для каждого из графиков, изображенных на рисунке, найдите соответствующую функцию.

у = 1,7х²; у = ;

у = ; у = 0,3х².

III. Объяснение нового материала.

Объяснение проводить согласно пункту учебника. При выводе правил построения графиков функций у = ах² + п и у = а (х – т)² особое внимание обратить на то, почему графики этих функций получаются путем параллельного переноса графика функции у = ах².

Так, если сопоставить графики функции у = ах² и у = ах² + п, то замечаем, что при одних и тех же значениях аргумента значения функции у = ах² + п на п больше соответствующих значений функции у = ах². Именно поэтому график функции у = ах² + п может быть получен из графика функции у = ах² с помощью параллельного переноса вдоль оси ОУ.

Если сравнивать функции у = ах² и у = а (х – т)², то можно заметить следующее: чтобы значение функции у = а (х – т)² было равно значению функции у = ах², нужно для первой функции взять значение аргумента на т больше, чем для второй. Поэтому график функции у = а (х – т)² может быть получен из графика функции у = ах² с помощью параллельного переноса вдоль оси ОХ.

Рассуждая подобным образом, можно сделать вывод о том, что полученные правила справедливы и для построения графиков произвольных функций у = f (х) + п и у = f (х – т) из графика функции у = f (х).

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке основное внимание следует уделить схематическому построению графика функции у = а (х – т)² + п. Построение каждого графика учащиеся должны осуществлять по следующей схеме:

– нахождение вершины параболы;

– вывод о направлении ветвей параболы;

– вывод о внешней форме параболы (более «широкая» или «узкая» по сравнению с у = х²).

Упражнения:

1. № 106.

2. По данной формуле квадратичной функции ответьте на вопросы:

– каковы вершины параболы;

– куда направлены ветви параболы;

– шире или ýже будет эта парабола по сравнению с у = х²?

а) у = ; д) у = 6 (х + 1,7)² – 4;

б) у = 3х² – 2; е) у = ;

в) у = (х + 4)² + 5; ж) у = ;

г) у = ; е) у = –1,8 (х – 4)² – 3.

3. Изобразите схематически график функции:

а) у = –3 (х + 1)² – 2;

в) у = ;

б) у = ;

г) у = 2,1 (х – 5)² – 1.

4. На рисунке изображены графики функций:

а) у = –(х – 2)²;

г) у = (х + 1)² – 3;

в) у = х² + 1;

г) у = –(х + 2)² + 3.

Для каждой из функций укажите номер соответствующего графика.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что является графиком функций у = ах² + п и у = а (х – т)²?

– Как может быть получен график функции у = ах² + п из графика функции у = ах²?

– Как может быть получен график функции у = а (х – т)² из графика функции у = ах²?

– Найдите координаты вершины параболы у = 2(х + 3)² – 1.

– Каковы координаты вершины параболы у = а (х – т)² + п?

Домашнее задание:

1. № 110, № 111, № 116.

2. Сделать из картона шаблоны парабол у = х², у = 2х² и у = х².

У р о к 14.
Использование шаблонов парабол
для построения графика функции у = а (х – т)² + п

Цель: продолжить формирование умения строить график функции у = а (х – т)² + п, используя при этом шаблоны парабол.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Для каждого из графиков, изображенных на рисунке, найдите соответствующую функцию:

а) у = ; г) у = х² + 1;

б) у = –2х² + 1; д) у = ;

в) у = (х – 1)² – 2; е) у = (х + 1)² – 2.

III. Формирование умений и навыков.

Учащиеся выполняют з а д а н и я двух групп:

– построение графика функции у = а (х – т)² + п с использованием шаблонов;

– построение графика функции у = а (х – т)² + п с помощью преобразований.

Упражнения:

1-я г р у п п а.

1. № 107, № 112.

2. Используя шаблон параболы у = 2х², постройте график функций:

а) у = 2 (х + 1)² – 4; б) у = –2 (х – 3)² + 2.

3. Используя шаблон параболы у = х², постройте график функции:

а) у = ;

б) у = .

2-я г р у п п а.

1. Постройте графики функции:

а) у = ;

б) у = –3(х – 1)² + 4;

в) у =

2. Задайте формулой функцию, график которой изображен на рисунке:

IV. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Изобразите схематически графики функций:

а) у = –(х – 3)²;

б) у = х² + 1;

в) у = 2 (х + 1)² – 3.

2. Используя шаблон параболы у = х², постройте график функций:

а) у = (х + 2)² – 3;

б) у = –(х – 1)² + 4.

3*. Задайте формулой функцию, график которой изображен на рисунке:

В а р и а н т 2

1. Изобразите схематически графики функций:

а) у = –2х² + 3;

б) у = (х + 2)²;

в) у = –(х – 1)² – 2.

2. Используя шаблон параболы у = х², постройте графики функций:

а) у = (х – 3)² – 2;

б) у = –(х + 1)² + 5.

3*. Задайте формулой функцию, график которой изображен на рисунке:

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что является графиком функции у = а (х – т)² + п?

– Как может быть получен график функции у = а (х – т)² + п из графика функции у = ах²?

– Какие координаты имеют вершины парабол:

у = 2 (х – 3)² + 4, у = (х + 1)² – 5?

Домашнее задание:

1. № 108, № 113.

2. Постройте графики функций:

а) у = –2 (х – 1)² + 3; б) у = (х + 2)² – 4.

У р о к 15.
Алгоритм построения графика функции
у = ах² + bх + с

Цель: вывести алгоритм построения графика квадратичной функции и формировать умение его применять.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Укажите координаты вершины параболы и направление ее ветвей:

а) у = –2х² + 3; в) у = –(х – 1)² + 5;

б) у = (х + 4)²; г) у = 1,6 (х + 3)² – 10.

2. Парабола, изображенная на рисунке, получена сдвигами вдоль оси координат параболы у = 2х². Назовите ее формулу:

III. Объяснение нового материала.

Объяснение целесообразно начать с постановки задачи: построить график функции у = х² + 2х + 3. Учащиеся уже умеют строить график функции у = а (х – т)² + п, а также выделять квадрат двучлена из квадратного трехчлена. Поэтому некоторые из них могут догадаться преобразовать формулу, задающую данную функцию, получив функцию у = (х + 1)² +2.

Важно, чтобы учащиеся осознали, что таким образом можно преобразовать любую функцию и построить ее график. Учитель приводит доказательство данного утверждения на доске, обращая внимание учащихся на то, что в процессе доказательства появилась формула для нахождения координаты вершины параболы. Это дает возможность упростить построение графика квадратичной функции, не прибегая к выделению квадрата двучлена из квадратного трехчлена.

Далее учитель записывает на доске, учащиеся – в тетрадях алгоритм построения графика квадратичной функции.

Алгоритм построения графика функции у = ах² + bх + с

1. Найти координаты вершины параболы (т; п), где т = , и отметить ее на координатной плоскости.

2. Определить направление ветвей параболы.

3. Изобразить ось симметрии параболы.

4. Построить несколько точек, принадлежащих одной из ветвей параболы (справа или слева от ее вершины).

5. Построить симметрично точки, принадлежащие другой ветви параболы.

6. Соединить отмеченные точки плавной линией.

Параллельно записи алгоритма учитель должен демонстрировать на конкретном примере использование каждого его пункта. Затем разобрать еще один пример (график строит учитель на доске, а учащиеся комментируют применение алгоритма с места).

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. № 120, № 121.

2. № 125.

На первых порах требовать от учащихся проговаривания вслух всех шагов построения.

3. Определите, график какой функции изображен на рисунке:

а)

у = х² – 1;

у = х² – 2х – 1;

у = х² – 4х + 3;

у = –х² + 2х – 1;

б)

у = –х² + 1;

у = х² – х + 1;

у = –х² + 2х + 1;

у = –х² – 2х.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что является графиком квадратичной функции?

– Как найти координаты вершины параболы?

– От чего зависит направление ветвей параболы?

– Всякая ли парабола имеет ось симметрии?

– Опишите алгоритм построения графика квадратичной функции.

Домашнее задание: № 126.

У р о к 16.
Свойства функции у = ах² + bх + с

Цель: продолжить формирование умения строить график квадратичной функции и перечислять ее свойства.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Парабола, изображенная на рисунке, получена сдвигами вдоль осей координат параболы у = х². Назовите ее формулу.

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Постройте график функции:

а) у = х² – 6х + 4; б) у = –2х² – 4х + 3.

2. Определите, график какой функции изображен на рисунке:

а) у = х² + х – 1;

б) у = х² – 2х;

в) у = –х² + 2х;

г) у = х² – 2х – 1.

В а р и а н т 2

1. Постройте график функции:

а) у = х² + 4х + 2; б) у = –2х² + 4х + 1.

2. Определите, график какой функции изображен на рисунке:

а) у = –х² – 2х + 1;

б) у = х² + 4х – 3;

в) у = –х² – 4х – 3;

г) у = –х² + 2х.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащиеся продолжают выполнять задания на построение графика квадратичной функции, при этом перечисляя по графику свойства функций. Затем в качестве обобщения следует предложить учащимся перечислить свойства квадратичной функции у = ах² + bх + с в общем виде.

Упражнения:

1. № 123, № 124 (б, в).

2. Перечислите свойства функции у = ах² + bх + с.

Учащиеся перечисляют свойства согласно изученной ранее схеме и записывают их в тетрадь.

Свойства функции у = ах² + bх + с.

1) D (у): (–∞; +∞).

2) Если а > 0, то Е (у): [п; +∞).

Если а < 0, то Е (у): (–∞; п], где п – ордината вершины параболы.

3) у = 0, если ах² + bх + с = 0.

4) Если функция не имеет нулей, то она принимает либо только положительные значения (при а > 0), либо только отрицательные значения (при а < 0).

Пусть х₁ и х₂ – нули функции, тогда:

 при а > 0: у > 0, если х (–∞; х₁) (х₂; +∞),

у < 0, если х (х₁; х₂);

 при а < 0: у > 0, если х (х₁; х₂),

у < 0, если х (–∞;х₁) (х₂; +∞).

5) При а > 0: при х (–∞; т],

при х [т; +∞).

При а < 0: при х (–∞; т],

при х [т; +∞), где т – абсцисса вершины параболы.

После проведенного исследования учащиеся смогут перечислять свойства квадратичной функции без построения ее графика.

3. Найдите область значений функции:

а) у = х² + 3х + 1; б) у = –2х² + 8х – 11.

4. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

а) у = х² – 2х + 5; б) у = –х² + 4х + 7.

Д о п о л н и т е л ь н о:

5. Перечислите свойства функции, не строя ее график:

а) у = х² + 2х – 2; б) у = –х² + х + .

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Как найти координаты вершины параболы?

– От чего зависит направление ветвей параболы?

– Опишите алгоритм построения графика квадратичной функции.

– Как без построения графика найти область значения квадратичной функции?

– Как найти промежутки возрастания и убывания функции у = ах² +
+ bх + с при а > 0 и при а < 0?

Домашнее задание: № 122, № 124 (а), № 244 (б, в).

Д о п о л н и т е л ь н о: перечислите свойства функции у = –2х² + 4х + 4 без построения ее графика.

У р о к 17.
Влияние коэффициентов а, b и с на расположение
графика квадратичной функции

Цели: продолжить формирование умения строить график квадратичной функции и перечислять ее свойства; выявить влияние коэффициентов а, b и с на расположение графика квадратичной функции.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Определите, график какой функции изображен на рисунке:

а)

у = х² – 2х – 1;

у = –2х² – 8х;

у = х² – 4х – 1;

у = 2х² + 8х + 7;

у = 2х² – 1.

б)

у = х² – 2х;

у = –х² + 4х + 1;

у = –х² – 4х + 1;

у = –х² + 4х – 1;

у = –х² + 2х – 1.

III. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. № 127 (а).

2. № 129.

Р е ш е н и е

Прямая у = 6х + b касается параболы у = х² + 8, то есть имеет с ней только одну общую точку в том случае, когда уравнение 6х + b = х² + 8 будет иметь единственное решение.

Это уравнение является квадратным, найдем его дискриминант:

х² – 6х + 8 + b = 0;

D₁ = 9 – (8 – b) = 1 + b;

D₁ = 0, если 1 + b = 0, то есть b = –1.

О т в е т: b = –1.

3. Выявить влияние коэффициентов а, b и с на расположение графика функции у = ах² + bх + с.

Учащиеся обладают достаточными знаниями, чтобы выполнить это задание самостоятельно. Следует предложить им все полученные выводы занести в тетрадь, при этом выделив «основную» роль каждого из коэффициентов.

1) Коэффициент а влияет на направление ветвей параболы: при а > 0 – ветви направлены вверх, при а < 0 – вниз.

2) Коэффициент b влияет на расположение вершины параболы. При b = 0 вершина лежит на оси оу.

3) Коэффициент с показывает точку пересечения параболы с осью ОУ.

После этого можно привести пример, показывающий, что можно сказать о коэффициентах а, b и с по графику функции.

Значение с можно назвать точно: поскольку график пересекает ось ОУ в точке (0; 1), то с = 1.

Коэффициент а можно сравнить с нулем: так как ветви параболы направлены вниз, то а < 0.

Знак коэффициента b можно узнать из формулы, определяющей абсциссу вершины параболы: т = , так как а < 0 и т = 1, то b> 0.

4. Определите, график какой функции изображен на рисунке, опираясь на значение коэффициентов а, b и с.

а)

у = –х² + 2х;

у = х² + 2х + 2;

у = 2х² – 3х – 2;

у = х² – 2.

Р е ш е н и е

По изображенному графику делаем следующие выводы о коэффициентах а, b и с:

а > 0, так как ветви параболы направлены вверх;

b ≠ 0, так как вершина параболы не лежит на оси ОУ;

с = –2, так как парабола пересекает ось ординат в точке (0; –2).

Всем этим условиям удовлетворяет только функция у = 2х² – 3х – 2.

б)

у = х² – 2х;

у = –2х² + х + 3;

у = –3х² – х – 1;

у = –2,7х² – 2х.

Р е ш е н и е

По изображенному графику делаем следующие выводы о коэффициентах а, b и с:

а < 0, так как ветви параболы направлены вниз;

b ≠ 0, так как вершина параболы не лежит на оси ОУ;

с = 0, так как парабола пересекает ось ОУ в точке (0; 0).

Всем этим условиям удовлетворяет только функция у = –2,7х² – 2х.

5. По графику функции у = ах² + bх + с определите знаки коэффициентов а, b и с:

а) б)

Р е ш е н и е

а) Ветви параболы направлены вверх, поэтому а > 0.

Парабола пересекает ось ординат в нижней полуплоскости, поэтому с < 0. Чтобы узнать знак коэффициента b воспользуемся формулой для нахождения абсциссы вершины параболы: т = . По графику видно, что т < 0, и мы определим, что а > 0. Поэтому b > 0.

б) Аналогично определяем знаки коэффициентов а, b и с:

а < 0, с > 0, b < 0.

Сильным в учебе учащимся можно дать дополнительно выполнить № 247.

Р е ш е н и е

у = х² + рх + q.

а) По теореме Виета, известно, что если х₁ и х₂ – корни уравнения х² +
+ рх + q = 0 (то есть нули данной функции), то х₁ · х₂ = q и х₁ + х₂ = –р. Получаем, что q = 3 · 4 = 12 и р = –(3 + 4) = –7.

б) Точка пересечения параболы с осью ОУ даст значение параметра q, то есть q = 6. Если график функции пересекает ось ОХ в точке (2; 0), то число 2 является корнем уравнения х² + рх + q = 0. Подставляя значение х = 2 в это уравнение, получим, что р = –5.

в) Своего наименьшего значения данная квадратичная функция достигает в вершине параболы, поэтому , откуда р = –12. По условию значение функции у = х² – 12х + q в точке x = 6 равно 24. Подставляя x = 6 и у = 24 в данную функцию, находим, что q = 60.

IV. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Постройте график функции у = 2х² + 4х – 6 и найдите, используя график:

а) нули функции;

б) промежутки, в которых у > 0 и y < 0;

в) промежутки возрастания и убывания функции;

г) наименьшее значение функции;

д) область значения функции.

2. Не строя график функции у = –х² + 4х, найдите:

а) нули функции;

б) промежутки возрастания и убывания функции;

в) область значения функции.

3. По графику функции у = ах² + bх + с определите знаки коэффициентов а, b и с:

В а р и а н т 2

1. Постройте график функции у = –х² + 2х + 3 и найдите, используя график:

а) нули функции;

б) промежутки, в которых у > 0 и y < 0;

в) промежутки возрастания и убывания функции;

г) наибольшее значение функции;

д) область значения функции.

2. Не строя график функции у = 2х² + 8х, найдите:

а) нули функции;

б) промежутки возрастания и убывания функции;

в) область значения функции.

3. По графику функции у = ах² + bх + с определите знаки коэффициентов а, b и с:

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Опишите алгоритм построения квадратичной функции.

– Перечислите свойства функции у = ах² + bх + с при а > 0 и при а < 0.

– Как влияют коэффициенты а, b и с на расположение графика квадратичной функции?

Домашнее задание: № 127 (б), № 128, № 248.

Д о п о л н и т е л ь н о: № 130.

У р о к 18 Дата:
Свойства и график степенной функции

Цели: изучить свойства и график степенной функции; формировать умение строить и различать графики степенных функций с четными и нечетными показателями.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

По графику функции у = ах² + bх + с определите знаки коэффициентов а, b и с:

а) б)

III. Объяснение нового материала.

При изучении степенной функции следует больше внимания уделить самостоятельной работе учащихся, предложив им сделать основные выводы и перечислить свойства новой функции.

О б ъ я с н е н и е может быть построено по следующей схеме:

1. Предложить учащимся построить в одной системе координат графики функций у = х², у = х⁴ и у = х⁶, заполнив таблицы значений этих функций.

Затем задать учащимся в о п р о с ы:

– В чем состоит сходство построенных графиков?

– Чем отличаются графики функций?

– Как будут выглядеть графики функций у = х⁸ и у = х¹⁰?

– Может ли функция у = х¹⁸ принимать отрицательные значения?

2. Предложить учащимся в одной системе координат построить графики функций у = х³ и у = х⁵, а затем ответить на следующие в о п р о с ы:

– В чем состоит сходство построенных графиков?

– Чем отличаются графики функций?

– Как будет выглядеть график функции у = х⁷?

– Может ли функция у = х⁹ принимать отрицательные значения?

3. Сообщить учащимся, что функции, графики которых они строили, называются степенными функциями с натуральным показателем и записываются в общем виде:

Далее спросить учащихся, на какие две группы можно разбить все степенные функции, и предложить им перечислить свойства каждой из выделенных групп. 1) D (у) = R;

2) Е (у): [0; +∞);

3) у = 0 при х = 0;

4) если х ≠ 0, то у > 0;

5) : [0; +∞),

: (–∞; 0].

1) D (у) = R;

2) Е (у) = R;

3) у = 0 при х = 0;

4) у > 0, если х (0; +∞),

у < 0, если х (–∞; 0);

5) Функция возрастающая.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке основное внимание следует уделить заданиям на изображение и различение графиков степенных функций, а также на использование их свойств.

Упражнения:

1-я г р у п п а.

1. Определите, график какой функции изображен на рисунке:

а)

у = х¹⁶

у = –2х¹⁰

у = х¹¹

у = х² + 2х

б)

у = х² – 4х

у = х³

у = х⁹

у = х¹²

2. № 142.

3. № 145 (в, г), № 146.

2-я г р у п п а.

1. № 136, № 137.

2. Функция задана формулой f (х) = х³². Сравните:

а) f (1,7) и f (4); в) f (–5) и f ;

б) f (–2,1) и f ; г) f (20) и f (–17).

3. Функция задана формулой g (х) = х³⁷. Сравните:

а) f (3,6) и f (4,7); в) f (50) и f (–40);

б) f и f (–2); г) f (25) и f (–25).

V. Итог урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какая функция называется степенной функцией с натуральным показателем?

– На какие две группы можно разделить степенные функции?

– Перечислите свойства степенной функции с четным показателем.

– Перечислите свойства степенной функции с нечетным показателем.

Домашнее задание: № 138, № 139, № 143, № 145 (а, б).

У р о к 19. Дата:
Использование свойств степенной функции
при решении различных задач

Цели: формировать умение использовать график и свойства степенной функции при решении различных задач.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Для каждого из графиков, изображенных на рисунке, найдите соответствующую функцию:

у = 2х + 1; у = ;

у = х⁶; у = –х² + 2х;

у = х² – 2х; у = х⁵.

а) б)

в)

III. Формирование умений и навыков.

Свойства и график степенной функции могут быть использованы при решении двух основных типов задач: при сравнении степенных выражений и при графическом решении уравнений и неравенств. Необходимо, чтобы учащиеся умели выполнять такие задания.

Упражнения:

1. № 140, № 250.

2. № 147, № 149 (а).

3. Решите графически уравнение:

а) х⁵ = 3;

б) х⁵ = 5;

в) х⁵ = –2;

г) х⁵ = –6.

4. № 151, № 152.

Целесообразно дополнительно дать учащимся выполнить № 255, так как необходимо уже сейчас формировать у них умение преобразовывать графики элементарных функций.

Р е ш е н и е

В задании предложены три типа преобразований:

– параллельный перенос вдоль оси абсцисс;

– параллельный перенос вдоль оси ординат;

– зеркальное отображение графика относительно оси ординат.

На рисунке показано, как будут выглядеть графики данных функций:

IV. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Изобразите схематически график функции:

а) у = х¹¹; б) у = х¹⁶.

2. Сравните:

а) 1,7⁵ и 2⁵; г) 1,2⁶ и ;

б) и ; д) (–9)⁸ и (–7,5)⁸;

в) 0,9¹⁵ и ; е) (–3)¹⁰ и (4,2)¹⁰.

3. Сколько корней имеет уравнение:

а) х⁴ = 5; г) х¹³ = – 9;

б) х⁵ = 7; д) х¹⁴ = 0;

в) х¹⁰ = – 4; е) х²² = 11?

В а р и а н т 2

1. Изобразите схематически график функции:

а) у = х¹⁴; б) у = х⁹.

2. Сравните:

а) 0,7⁴ и 1,3⁴; г) и 0,9³;

б) и (–1,1)¹²; д) (–11)⁹ и (–15,2)⁹;

в) 0,2⁸ и ; е) (–7,1)¹⁷ и 6,3¹⁷.

3. Сколько корней имеет уравнение:

а) х³ = 7; г) х¹² = –3;

б) х⁶ = 8; д) х²¹ = –10;

в) х¹⁸ = 0; е) х⁴⁰ = 1,2?

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Перечислите свойства степенной функции у = х^п при п – четном и п – нечетном.

– Какая из степеней с одинаковым нечетным показателем больше? Ответ объясните.

– Как сравнить две степени с одинаковыми четными показателями?

– Сколько корней имеет уравнение х^п = а, если п – нечетное число?

– Сколько корней имеет уравнение х^п = а, если п – четное число?

Домашнее задание: № 141, № 256, № 149 б), № 150.

У р о к 20. Дата:
Понятие корня п-й степени
и арифметического корня п-й степени

Цели: ввести понятия корня п-й степени и арифметического корня п-й степени; формировать умение вычислять эти корни.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Вычислите:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

III. Объяснение нового материала.

Объяснение проводить в соответствии с пунктом учебника, придерживаясь следующей схемы:

1. В в е д е н и е п о н я т и я корня п-й степени.

Необходимо добиться от учащихся четкой формулировки определения корня п-й степени. На доску следует вынести запись:

Учащиеся часто путаются в терминологии новых понятий, поэтому нужно предложить им выполнить устное задание.

З а д а н и е. Прочитайте корень п-й степени и назовите, чему равен показатель корня и подкоренное выражение.

а) ; в) ; д) ;

б) ; г) ; е) .

На доску следует вынести запись:

корня

– корень п-й степени из числа а

Подкоренное выражение

2. Р а с с м о т р е н и е примеров вычисления корней п-й степени.

Примеры должны быть различны: варьировать показатели корня (четные и нечетные) и подкоренные выражения (отрицательные и положительные).

Важно, чтобы учащиеся осознали следующее: если п – нечетное число, то выражение имеет смысл при любом а, если же п – четное число, то выражение имеет смысл лишь при а ≥ 0. Это позволит подойти к понятию арифметического корня п-й степени.

3. В в е д е н и е п о н я т и я арифметического корня п-й степени.

После того, как будет разобрано определение арифметического корня п-й степени, необходимо на доску вынести равенства, которые помогут учащимся при вычислении выражений с корнями.

= а при всех а, при которых выражение имеет смысл.

= – при нечетном п и положительном а.

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. Заполните таблицу.

корня

3

9

4

10

2

Подкоренное
выражение

7

–12

5

0,6

Корень
п-й степени

2. № 158, № 159 (а, в, д, ж).

3. № 160.

4. № 162, № 164.

5. № 166 (а, в).

6. Имеет ли смысл выражение:

а) ; г) ; ж) ;

б) ; д) ; з) .

в) ; е) ;

Д о п о л н и т е л ь н о учащимся можно дать выполнить № 259.

Р е ш е н и е

а) ,

б) ,

в) ,

х – 2 ≥ 0,

х ≥ 2,

х [2; +∞).

≥ 0,

9 – х ≥ 0,

х ≤ 9,

х (–∞; 9].

х (–∞; +∞).

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется корнем п-й степени из числа а?

– Приведите пример корня, у которого показатель является нечетным числом, а подкоренное выражение отрицательно.

– Имеет ли смысл выражение ? Почему?

– Дайте определение арифметического корня п-й степени.

Домашнее задание: № 159 (б, г, е, з), № 161, № 163, № 166 (б, г).

Д о п о л н и т е л ь н о: № 262.

У р о к 21. Дата:
Нахождение значений выражений,
содержащих корни п-й степени

Цели: продолжить формирование умения вычислять корни п-й степени и находить значения выражений, содержащих корни п-й степени.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Прочитайте корень и назовите, чему равен его показатель и подкоренное выражение:

а) ; в) ; д) ;

б) ; г) ; е) .

2. Имеет ли смысл выражение:

а) ; в) ; д) ;

б) ; г) ; е) ?

III. Формирование умений и навыков.

На этом уроке нужно добиться от учащихся автоматизма при вычислении корней п-й степени, а также формировать у них умение применять следующие равенства: = – и = а.

Упражнения:

1. № 168, № 169.

2. Вычислите:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

3. № 171.

4. Вычислите:

а) ; б) ; в) ; г) .

5. № 173.

Д о п о л н и т е л ь н ы е з а д а н и я:

1. № 263 (а).

Р е ш е н и е

В одной системе координат построим графики функций у = х и
у = .

Графики этих функций пересекаются в точках с абсциссами 0 и 1, то есть данные числа являются решениями уравнения = x.

По графику находим решение неравенства < х: х (1; +∞) и неравенства > х: х (0; 1).

2. № 264.

Р е ш е н и е

При построении графиков используется зеркальное отображение относительно оси абсцисс и оси ординат. На рисунке изображены графики заданных функций:

Мы видим, что графики функций у = – и у = не отличаются друг от друга, поскольку верно равенство = –.

IV. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Вычислите:

а) ; в) ; д) ;

б) ; г) ; е) .

2. Найдите значение выражения:

а) ; б) ; в) .

3. Вычислите:

а) ; в) ; д) ;

б) ; г) ; е) .

В а р и а н т 2

1. Вычислите:

а) ; в) ; д) ;

б) ; г) ; е) .

2. Найдите значение выражения:

а) ; б) ; в) 2,5 · .

3. Вычислите:

а) ; в) ; д) ;

б) ; г) ; е) .

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется корнем п-й степени из числа а?

– Что называется арифметическим корнем п-й степени из положительного числа а?

– При каких значениях а выражение имеет смысл, если п – четное число; п – нечетное число?

– Верно ли, что = –7; = –7? Почему?

Домашнее задание: № 167, № 170, № 172.

Д о п о л н и т е л ь н о: № 263 (б).

У р о к 22. Дата:
Итоговый урок по теме «Квадратичная функция»

Цели: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Квадратичная функция»; подготовить их к написанию контрольной работы.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

Т е с т с п о с л е д у ю щ е й п р о в е р к о й.

«+» – согласен с утверждением;

«–» – не согласен с утверждением.

1) Областью определения функции у = х² являются все неотрицательные числа.

2) Областью значений функции у = являются все неотрицательные числа.

3) Чтобы найти нули функции, нужно узнать точки пересечения графика этой функции с осью абсцисс.

4) Для нахождения положительных значений функции нужно найти все ее значения при х > 0.

5) Если k > 0, то функция у = является убывающей.

6) Квадратный трехчлен может иметь один корень.

7) Любой квадратный трехчлен можно разложить на множители.

8) Существуют всего два способа разложения многочлена на множители.

9) График функции у = (х + 2)² может быть получен из графика функции у = х² с помощью параллельного переноса вдоль оси абсцисс на 2 единицы влево.

10) Вершина параболы у = (х – 1)² – 3 имеет координаты (–1; –3).

11) Направление ветвей параболы зависит от координат ее вершины.

12) Областью значений квадратичной функции является множество всех чисел.

13) Чтобы найти точки пересечения графиков двух функций, нужно приравнять формулы, задающие эти функции, и решить полученное уравнение.

14) Если п – четное число, то уравнение х^п = а всегда имеет два корня.

15) Выражение не имеет смысла.

К л ю ч: – + + – + + – – + – – – + – –.

Учащиеся обмениваются тетрадями и проверяют работы друг друга. При этом учитель вновь зачитывает каждое утверждение и обсуждает их с учащимися.

III. Формирование умений и навыков.

Перед тем как учащиеся приступят к выполнению заданий, необходимо создать у них четкое представление о тех знаниях и умениях, которые они приобрели при изучении темы «Квадратичная функция».

В соответствии с этими знаниями и умениями учащиеся выполняют пять групп заданий.

Упражнения:

1-я г р у п п а.

1. На рисунке изображен
график функции у = f (х).

Перечислите ее свойства.

2. Для каждого из графиков, изображенных на рисунке, найдите соответствующую функцию.

у = х³; у = х²;

у = ; у = | х |;

у = х + 1; у = –;

у = ; у = –3х – 1.

2-я г р у п п а.

1. Постройте график функции у = –х² + 2х + 4 и перечислите ее свойства.

2. Определите, график какой функции изображен на рисунке:

у = –х² – 2х + 1

у = х² + х + 1

у = 2х² + 4х + 1

у = 3х² + 6х

3. Найдите область значений функции у = х² + 4х – 7.

3-я г р у п п а.

1. Сократите дробь:

а) ; б) .

4-я г р у п п а.

1. Сколько корней имеет уравнение:

а) х⁷ = 9; в) х⁵ = –; д) х¹⁵ = 0;

б) х⁶ = 5; г) х¹⁰ = –; е) х²⁰ = 0?

2. Сравните:

а) 5,2⁵ и 7,1⁵; г) и (–1,3)⁶;

б) и ; д) (–1,8)⁹ и 0,6;

в) 0 и (–6,2)⁸; е) (–6,1)¹² и .

5-я г р у п п а.

Вычислите:

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что такое область определения и область значений функции?

– Перечислите области определения и области значений всех элементарных функций.

– Как построить график квадратичной функции?

– Как влияют коэффициенты а, b и с на расположение графика квадратичной функции?

– Как разложить квадратный трехчлен на множители?

– Какие существуют способы разложения многочлена на множители?

– Перечислите свойства функции у = х⁴³.

– Имеет ли смысл выражение: ?

Домашнее задание: № 214 (а, в), № 222, № 227, № 243 (д, е), № 257.

У р о к 23. Дата:
Контрольная работа № 1

В а р и а н т 1

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

а) х² – 14х + 45; б) 3у² + 7у – 6.

2. Постройте график функции у = х² – 2х – 8. Найдите с помощью графика:

а) значение у при х = –1,5;

б) значения х, при которых у = 3;

в) нули функции;

г) промежутки, в которых у > 0 и в которых у < 0;

д) промежуток, в котором функция возрастает.

3. Сравните:

а) и ; в) (–4,1)¹¹ и (–3,9)¹¹;

б) (–1,3)⁶ и (–2,1)⁶; г) и 0,01¹⁴.

4. Вычислите:

а) ; б) ; в) .

5. Сократите дробь .

6. Найдите наименьшее значение квадратного трехчлена х² – 6х + 11.

В а р и а н т 2

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

а) х² – 10х + 21; б) 5у² + 9у – 2.

2. Постройте график функции у = х² – 4х – 5. Найдите с помощью графика:

а) значение у при х = 0,5;

б) значения х, при которых у = 3;

в) нули функции;

г) промежутки, в которых у > 0 и в которых у < 0;

д) промежуток, в котором функция убывает.

3. Сравните:

а) (–1,7)⁵ и (–2,1)⁵; в) 4,7⁹ и ;

б) и ; г) 5,7¹² и (–6,3)¹².

4. Вычислите:

а) ; б) ; в) .

5. Сократите дробь .

6. Найдите наибольшее значение квадратного трехчлена –х² + 4х + 3.

Домашнее задание: Решить другой вариант

В а р и а н т 3

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

а) х² – 12х + 35; б) 7у² + 19у – 6.

2. Постройте график функции у = х² – 6х + 5. Найдите с помощью графика:

а) значение у при х = 0,5;

б) значения х, при которых у = –1;

в) нули функции;

г) промежутки, в которых у > 0 и в которых у < 0;

д) промежуток, в котором функция возрастает.

3. Сравните:

а) и ; в) (–2,3)⁶ и (–4,1)⁶;

б) (–1,7)³ и (0,4)³; г) и (–1,4)¹⁰.

4. Вычислите:

а) ; б) ; в) .

5. Сократите дробь .

6. Найдите наименьшее значение квадратного трехчлена х² – 8х + 7.

В а р и а н т 4

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

а) х² – 18х + 45; б) 9х² + 25х – 6.

2. Постройте график функции у = х² – 8х + 13. Найдите с помощью графика:

а) значение у при х = 1,5;

б) значения х, при которых у = 2;

в) нули функции;

г) промежутки, в которых у > 0 и в которых у < 0;

д) промежуток, в котором функция возрастает.

3. Сравните:

а) 3,4¹¹ и 4,2¹¹; в) и (–0,7)⁹;

б) и (–1,2)⁸; г) (–2,4)⁴ и 1,2⁴.

4. Вычислите:

а) ; б) ; в) .

5. Сократите дробь .

6. Найдите наибольшее значение квадратного трехчлена –х² + 6х – 4.

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т 1

1. а) х² – 14х + 45 = (х – 5) (х – 9);

х² – 14х + 45 = 0;

х₁ = 5, х₂ = 9.

б) 3у² + 7у – 6 = 3 (у – ) (у + 3) = (3у – 2) (у + 3);

3у² + 7у – 6 = 0;

D = 49 + 72 = 121;

у_{1, 2} = ;

у₁ = , у₂ = –3.

2. у = х² – 2х – 8 – квадратичная функция, графиком является парабола.

Так как а > 0, то ветви направлены вверх. Найдем координаты (т; п) вершины параболы:

m = = 1; п = 1 – 2 – 8 = –9;

А (1; –9) – вершина параболы.

а) у ≈ –3;

б) х ≈ –2,6; 4,4;

в) у = 0 при х = –2 и х = 4;

г) у > 0 при х (–∞; –2) (4; +∞);

у < 0 при х (–2; 4);

д) [1; +∞).

3. а) > ; в) (–4,1)¹¹ < (–3,9)¹¹;

б) (–1,3)⁶ < (–2,1)⁶; г) > 0,01¹⁴.

4. а) ;

б) ;

в) .

5. ;

3р² + р – 2 = 0;

D = 1 + 24 = 25;

р_{1, 2} = ;

р₁ = , р₂ = –1.

6. х² – 6х + 11.

1-й с п о с о б.

Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена:

х² – 6х + 11 = х² –2 · 3 · х + 9 – 9 + 11 = (х – 3)² + 2.

Это выражение принимает наименьшее значение при х = 3, и оно равно 2.

2-й с п о с о б.

у = х² – 6х + 11 – квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены верх. Наименьшее значение квадратного трехчлена х² – 6х + 11 – это ордината вершины этой параболы:

т = = 3; п = 9 – 18 + 11 = 2;

2 – наименьшее значение квадратного трехчлена х² – 6х + 11.

В а р и а н т 2

1. а) х² – 10х + 21 = (х – 3) (х – 7);

х² – 10х + 21 = 0;

х₁ = 3, х₂ = 7.

б) 5у² + 9у – 2 = 5 (у – ) (у + 2) = (5у – 1) (у + 2);

5у² + 9у – 2 = 0;

D = 81 + 40 = 121;

у_{1, 2} = ;

у₁ = , у₂ = –2.

2. у = х² – 4х – 5 – квадратичная функция, графиком является парабола.

Так как а > 0, то ветви направлены вверх. Найдем координаты (т; п) вершины параболы:

m = = 2; п = 4 – 8 – 5 = –9;

А (2; –9) – вершина параболы.

а) у ≈ –6;

б) х ≈ –1,5; 5,3;

в) у = 0 при х = –1 и х = 5;

г) у > 0 при х (–∞; –1)
(5; +∞);

у < 0 при х (–1; 5);

д) (–∞; 2].

3. а) (–1,7)⁵ > (–2,1)⁵; в) 4,7⁹ > ;

б) > ; г) 5,7¹² < (–6,3)¹².

4. а) ;

б) ;

в) .

5. ;

4с² + 7с – 2 = 0;

D = 49 + 32 = 81;

с_{1, 2} = ;

с₁ = , с₂ = –2.

6. –х² + 4х + 3.

1-й с п о с о б.

Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена:

–х² + 4х + 3 = –(х² – 4х – 3) = –(х² –2 · 2 · х + 4 – 4 –3) = –((х – 2)² – 7) =
= –(х – 2)² + 7.

Это выражение принимает наибольшее значение при х = 2, и оно равно 7.

2-й с п о с о б.

у = –х² + 4х + 3 – квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Наибольшее значение квадратного трехчлена –х² + 4х + 3 – это ордината вершины этой параболы:

т = = 2; п = –4 + 8 + 3 = 7;

7 – наибольшее значение квадратного трехчлена –х² + 4х + 3.

В а р и а н т 3

1. а) х² – 12х + 35 = (х – 5) (х – 7);

х² – 12х + 35 = 0;

х₁ = 5, х₂ = 7.

б) 7у² + 19у – 6 = 7 (у – ) (у + 3) = (7у – 2) (у + 3);

7у² + 19у – 6 = 0;

D = 361 + 168 = 529;

у_{1, 2} = ;

у₁ = , у₂ = –3.

2. у = х² – 6х + 5 – квадратичная функция, графиком является парабола.

Так как а > 0, то ветви направлены вверх. Найдем координаты (т; п) вершины параболы:

т = = 3; п = 9 – 18 + 5 = –4;

А (3; –4) – вершины параболы.

а) у ≈ 2,5;

б) х ≈ 1,1; 4,9;

в) у = 0 при х = 1 и х = 5;

г) у > 0 при х (–∞; –1) (5; +∞);

у < 0 при х (1; 5);

д) [3; +∞).

3. а) < ; в) (–2,3)⁶ < (–4,1)⁶;

б) (–1,7)³ < (0,4)³; г) < (–1,4)¹⁰.

4. а) ;

б) ;

в) .

5. ;

5а² + 19а – 4 = 0;

D = 361 + 80 = 441;

а_{1, 2} = ;

а₁ = , а₂ = –4.

6. х² – 8х + 7.

1-й с п о с о б.

Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена:

х² – 8х + 7 = х² –2 · 4 · х + 16 – 16 + 7 = (х – 4)² – 9.

Это выражение принимает наименьшее значение при х = 4, и оно равно –9.

2-й с п о с о б.

у = х² – 8х + 7 – квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Наименьшее значение квадратного трехчлена х² – 8х + 7 – это ордината вершины этой параболы:

т = = 4; п = 16 – 32 + 7 = –9;

–9 – наименьшее значение квадратного трехчлена х² – 8х + 7.

В а р и а н т 4

1. а) х² – 18х + 45 = (х – 3) (х – 15);

х² – 18х + 45 = 0;

х₁ = 3, х₂ = 15.

б) 9х² + 25х – 6 = 9 (х – ) (х + 3) = (9х – 2) (х + 3);

9х² + 25х – 6 = 0;

D = 625 + 216 = 841;

х_{1, 2} = ;

х₁ = , х₂ = –23.

2. у = х² – 8х + 13 – квадратичная функция, графиком является парабола.

Так как а > 0, то ветви направлены вверх. Найдем координаты (т; п) вершины параболы:

т = = 4; п = 16 – 32 + 13 = –3;

А (4; –3) – вершины параболы.

а) у ≈ 3,4;

б) х ≈ 1,7; 6,3;

в) у = 0 при х ≈ 2,3 и х ≈ 5,7;

г) у > 0 при х (–∞; 2,3) (5,7; +∞);

у < 0 при х (2,3; 5,7);

д) [4; +∞).

3. а) 3,4¹¹ < 4,2¹¹; в) < (–0,7)⁹;

б) < (–1,2)⁸; г) (–2,4)⁴ > 1,2⁴.

4. а) ;

б) ;

в) .

5. ;

7b² + 11b –6 = 0;

D = 121 + 168 = 289;

b_{1, 2} = ;

b₁ = , b₂ = –2.

6. –х² + 6х – 4.

1-й с п о с о б.

Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена:

–х² + 6х – 4 = –(х² –2 · 3 · х + 9 – 9 + 4) = –((х – 3)² – 5) = –(х – 3)² + 5.

Это выражение принимает наибольшее значение при х = 3, и оно равно 5.

2-й с п о с о б.

у = –х² + 6х – 4 – квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Наибольшее значение квадратного трехчлена –х² + 6х – 4 – это ордината вершины этой параболы:

т = = 3; п = –9 + 18 – 4 = 5;

5 – наибольшее значение квадратного трехчлена –х² + 6х – 4.

ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

У р о к 24 Дата:
Понятие целого уравнения и его степени

Цели: ввести понятие целого уравнения и его степени; формировать умение определять степень целого уравнения и решать целые уравнения не выше второй степени.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Определите, сколько корней имеет уравнение:

а) 2х + 1 = 0; д) 3х + 1 = 5 + 3х;

б) х² – 5 = 0; е) х² + 2х + 1 = 0;

в) х⁵ + 1 = 0; ж) х² + х + 10 = 0;

г) х⁶ + 2 = 0; з) 1 – 4х = 1 – 4х.

III. Объяснение нового материала.

На этом уроке достаточно ввести понятие целого уравнения и его степени; рассмотреть примеры приведения целого уравнения к виду Р (х) = 0, где Р (х) – многочлен; обратиться к решению целых уравнений первой и второй степени. Вопрос о методах решения целых уравнений выше второй степени целесообразно изучить на следующем уроке.

Объяснение проводится по следующей с х е м е:

1. В в е д е н и е п о н я т и я целого уравнения.

После формирования определения данного понятия необходимо дать учащимся задание на распознавание целых уравнений.

З а д а н и е. Какие из следующих уравнений являются целыми? Ответ объясните.

а) х⁴ + 2х³ – 7 = 0; г) – 5х³ = 0;

б) 4х¹⁰ = 0,7х⁸; д) ;

в) (х – 1) (3х² + 5) = х⁴ + 2; е) = 0.

2. В в е д е н и е п о н я т и я степени целого уравнения.

После введения данного понятия дать учащимся задание на определение степени целого уравнения.

З а д а н и е. Какова степень уравнения:

а) 2х⁵ + 4х – 3 = 0; г) – 5х = 7;

б) х⁷ + 5х = 0; д) (2х + 1) (х – 7) – х = 0;

в) х¹¹ = х³; е) 5х² – 4х² (1 – х) = 0?

3. Р а с с м о т р е н и е р е ш е н и я линейных и квадратных уравнений как целых уравнений первой и второй степени соответственно.

Необходимо, чтобы учащиеся осознали следующее:

1) изученные ранее линейные и квадратные уравнения являются целыми уравнениями первой и второй степени соответственно;

2) уравнение первой степени может иметь не более одного корня;

3) уравнение второй степени может иметь не более двух корней.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащиеся выполняют задания на определение степени целого уравнения и приведение целых уравнений к виду Р (х) = 0. Для решения нужно предлагать им уравнения не выше второй степени.

Упражнения:

1. Приведите уравнение к виду Р (х) = 0 и определите его степень:

а) 2х (1 – 3х) + (х + 4) (х² – 1) = 0;

б) (х³ – 2) (1 + 3х²) – 3 (х⁴ – 1) = 5;

в) (х – 1) (х + 2) (х – 3) = х – 4х² (2 – х⁵).

2. Какие из следующих чисел –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3 являются корнями уравнения:

а) х³ – 4х = 0;

б) х² (х + 1) + (х + 4) = 4;

в) х⁴ – 5х² + 4 = 0?

3. № 266 (а, в), № 267 (б, г).

4. № 268.

Р е ш е н и е

5х⁶ + 6х⁴ + х² + 4 = 0.

Выражения 5х⁶, 6х⁴ и х² могут принимать только неотрицательные значения при любых значениях х. Поэтому выражение 5х⁶ + 6х⁴ + х² + 4 при любых значениях х принимает только положительные значения, а значит, не может быть равно нулю, то есть уравнение 5х⁶ + 6х⁴ + х² + 4 = 0 не имеет решений.

Д о п о л н и т е л ь н о: № 270.

Р е ш е н и е

Пусть ребро куба равно х см, тогда его объем равен х³ см³. Если увеличить ребро куба на 3 см, то оно станет равно (х + 3) см, а объем куба будет равен (х + 3)³ см³.

Составим и решим уравнение:

(х + 3)³ = х³ + 513;

х³ + 9х² + 27х + 27 = х³ + 513;

9х² + 27х – 486 = 0;

х² + 3х – 54 = 0;

х = 6;

х = – 9 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 6 см.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какое уравнение называется целым?

– Что такое степень целого уравнения?

– Какова степень уравнения 2х³ – 5 + х⁶ = 0?

– Сколько корней может иметь целое уравнение первой степени? второй степени?

Домашнее задание: № 266 (б, г), № 267 (а, в), № 269.

Д о п о л н и т е л ь н о: № 271.

У р о к 25 Дата:
Основные методы решения целых уравнений

Цели: изучить основные методы решения целых уравнений; формировать умение применять эти методы.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

№ 265.

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Какие из чисел: –3; –1; 0; 2; 3 – являются корнями уравнения

2х³ + х² – 13х + 6 = 0?

2. Решите уравнение:

а) ; б) .

3*. Составьте какое-либо уравнение третьей степени, имеющее корни –2; 2 и 5.

В а р и а н т 2

1. Какие из чисел: –2; –1; 0; 2; 3 – являются корнями уравнения 3х³ –
– 5х² – 11х – 3 = 0?

2. Решите уравнение:

а) = 1; б) – 1 = 0.

3*. Составьте какое-либо уравнение третьей степени, имеющее корни 0; –3 и 5.

IV. Объяснение нового материала.

На этом уроке необходимо рассмотреть два основных метода решения целых уравнений и сделать ряд важных выводов.

1. А к т у а л и з а ц и я з н а н и й.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какое уравнение называется целым?

– Что такое степень целого уравнения?

– Как решаются целые уравнения первой и второй степени?

2. В ы д е л е н и е м е т о д о в решения целых уравнений.

Необходимо, чтобы учащиеся осознали, что им уже известны приемы решения целых уравнений первой и второй степени. Сообщить учащимся, что существуют также формулы корней целых уравнений третьей и четвертой степени, но их использование на практике неудобно.

Существуют два основных метода решения целых уравнений выше второй степени:

Метод разложения
на множители

П р и м е р:

х⁵ – 4х³ = 0;

х³ (х² – 4) = 0;

х³ = 0; или х² – 4 = 0;

х = 0. х² = 4;

х = ± 2.

О т в е т: –2; 0; 2.

Метод введения
новой переменной

П р и м е р:

9х⁴ – 10х² + 1 = 0.

Пусть х² = а, тогда

9а² – 10а + 1 = 0;

а₁ = 1 и а₂ = ;

х² = 1 и х² = ;

х = ± 1 и х = ±.

О т в е т: ± 1, ±.

Желательно, чтобы учащиеся занесли себе в тетради изображенную схему. Необходимо также обратить внимание учащихся, что уравнение п-й степени может иметь не более п корней.

V. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащиеся только начинают осваивать методы решения целых уравнений выше второй степени. Поэтому задания должны быть несложными и разбиты на две группы в соответствии с методами решения.

Упражнения:

1-я г р у п п а. Метод разложения на множители.

№ 272 (а, в, д, ж).

2-я г р у п п а. Метод введения новой переменной.

1. № 278 (а, в, д).

2. № 276 (а, в).

Р е ш е н и е

а) (2х² + 3)² – 12 (2х² + 3) + 11 = 0.

З а м е н а: 2х² + 3 = а;

а² – 12а + 11 = 0;

а₁ = 1 а₂ = 11.

В е р н е м с я к з а м е н е:

х² + 3 = 1; или

2х² = –2.

Решений нет.

2х² + 3 = 11;

2х² = 8;

х² = 4;

х = ± 2.

О т в е т: ± 2.

в) (х² + х – 1) (х² + х + 2) = 40.

З а м е н а: х² + х – 1 = а;

а (а + 3) = 40;

а² + 3а – 40 = 0;

а₁ = –8, а₂ = 5.

В е р н е м с я к з а м е н е:

х² + х – 1 = –8; или

х² + х + 7 = 0;

D = 1 – 28 = –27.

Решений нет.

х² + х – 1 = 5;

х² + х – 6 = 0;

х₁ = –3, х₂ = 2.

О т в е т: –3; 2.

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется степенью целого уравнения?

– Как решаются целые уравнения первой степени? второй степени?

– Существуют ли формулы для решения целых уравнений третьей и четвертой степени? Почему они редко применяются на практике?

– Какими методами могут быть решены целые уравнения выше второй степени?

– Опишите сущность каждого из методов решения целых уравнений.

Домашнее задание: № 272 (б, г, е, з), № 278 (б, г, е), № 276 (б, г).

У р о к 26 Дата:
Решение целых уравнений различными методами

Цель: продолжить формирование умения применять различные методы при решении целых уравнений выше второй степени.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Определите, каким методом может быть решено каждое из данных целых уравнений:

а) 7х⁵ + 3х⁴ = 0; г) ;

б) х⁴ + 3х² – 4 = 0; д) (х² – 5)² + 2(х² – 5)² + 1 = 0;

в) х³ + х² + х + 1 = 0; е) (х² – 2х) (х² + 4 – 2х) = 3.

III. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащиеся продолжают применять разные методы решения целых уравнений. При этом внимание уделяется не только грамотному их использованию, но и умению распознавать по внешнему виду уравнения тот метод, который целесообразно применить в данной ситуации.

Упражнения:

1. № 273 (в. д), № 279 (д), № 282 (а), № 277 (а, в), № 282 (а).

2. № 283 (а).

Р е ш е н и е

х⁵ + х⁴ – 6х³ – 6х² + 5х + 5 = 0.

Разложим выражение, стоящее слева, на множители методом группировки. Получим:

х⁴ (х + 1) – 6х² (х + 1) + 5 (х + 1) = 0;

(х + 1) (х⁴ – 6х² + 5) = 0;

х + 1 = 0; или

х = –1.

х⁴ – 6х² + 5 = 0;

х² = t;

t² – 6t + 5 = 0;

t₁ = 1, t₂ = 5;

х² = 1, х² = 5;

х = ±1, х = ±.

О т в е т: ±1, ±.

Некоторым сильным в учебе учащимся можно дополнительно дать карточки-задания.

К а р т о ч к а № 1

1. Решите уравнение: (х + 1) (х + 2) (х + 3) (х + 4) = 360.

2. При каких значениях параметра а не имеет корней уравнение

х⁴ – 6х² + а = 0?

К а р т о ч к а № 2

1. Решите уравнение: (х – 1) (х – 3) (х – 5) (х – 7) = 105.

2. При каких значениях параметра а не имеет корней уравнение

х⁴ + ах² + 9 = 0?

Р е ш е н и е задач карточки № 1.

1. Найдем произведение крайних и средних множителей, заменив их трехчленами. Получим:

(х² + 5х + 4) (х² + 5х + 6) = 360.

С д е л а е м з а м е н у: х² + 5х + 4 = t. Получим:

t (t + 2) = 360;

t² + 2t – 360 = 0;

t₁ = –20, t₂ = 18.

В е р н е м с я к з а м е н е:

х² + 5х + 4 = –20; или

х² + 5х +24 = 0;

D = 25 – 96 = –71.

Корней нет.

х² + 5х + 4 = 18;

х² + 5х – 14 = 0;

х₁ = –7, х₂ = 2.

О т в е т: –7; 2.

2. Биквадратное уравнение не имеет корней в двух случаях: если дискриминант полученного после замены квадратного уравнения отрицателен или если это квадратное уравнение имеет только отрицательные корни.

С д е л а е м з а м е н у: х² = t. Получим уравнение:

t² – 6t – а = 0;

D₁ = 9 – а;

D₁ < 0, если 9 – а < 0, то есть а > 9.

Значит, при а > 9 данное биквадратное уравнение корней не имеет. При а ≤ 9 уравнение имеет корни х₁ и х₂. Предположим, что они отрицательные. Однако, по теореме Виета, имеем: х₁ + х₂ = = 6. Таким образом, полученное квадратное уравнение не может иметь одновременно двух отрицательных корней. Значит, исходное биквадратное уравнение не имеет корней только при а > 9.

О т в е т: (9; +∞).

Р е ш е н и е задач карточки 2.

1. Так же, как и при решении уравнения из карточки 1, выполним преобразование и получим уравнение:

(х² – 8х + 7) (х² – 8х + 15) = 105.

С д е л а е м з а м е н у: х² – 8х + 7 = t. Получим:

t (t + 8) = 105;

t² + 8t – 105 = 0;

t₁ = –15, t₂ = 7.

В е р н е м с я к з а м е н е:

х² – 8х + 7 = –15; или

х² – 8х +22 = 0;

D₁ = 16 – 22 = –6.

Корней нет.

х² – 8х + 7 = 7;

х² – 8х = 0;

х (х – 8) = 0;

х₁ = 0, х₂ = 8.

О т в е т: 0; 8.

2. С д е л а е м з а м е н у: х² = t. Получим уравнение:

t² + аt + 9 = 0;

D₁ = а² – 36;

D₁ < 0, если а² – 36 < 0, то есть а (–6; 6).

Значит, при таких значениях а данное биквадратное уравнение корней не имеет.

Если а (–∞; –6) (6; +∞), то квадратное уравнение t² + аt + 9 = 0 имеет два корня: х₁ и х₂. По теореме Виета, х₁ · х₂ = 9, значит, эти корни одинаковых знаков.

Чтобы данное биквадратное уравнение не имело корней, числа х₁ и х₂ должны быть отрицательными, то есть х₁ + х₂ < 0, а по теореме Виета х₁ + х₂ = –а. Имеем:

х₁ + х₂ < 0, если –а < 0, то есть а > 0.

О т в е т: (–6; 6) (6; +∞).

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какие существуют методы решения целых уравнений?

– В чем состоит суть метода введения новой переменной при решении целого уравнения?

– В чем состоит метод разложения на множители решения целого уравнения?

Домашнее задание: № 273, № 277 (б), № 279 (е), № 282 (б), № 283 (б).

У р о к 27 Дата:
Решение более сложных целых уравнений

Цели: продолжить формирование умения решать целые уравнения; обобщить и углубить знания учащихся по этому вопросу.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Решите уравнение:

а) х³ – 4х² – 9х + 36 = 0;

б) х⁴ + 7х² – 44 = 0;

в) (х² – х + 1) (х² – х – 7) = 65.

В а р и а н т 2

Решите уравнение:

а) 16х³ – 32х² – х + 2 = 0;

б) х⁴ + 6х² – 27 = 0;

в) (х² + х + 6) (х² + х – 4) = 144.

III. Формирование умений и навыков.

Все задания можно разбить на две группы. В первую группу войдут задания на решение целых уравнений, при этом учащимся в полной мере потребуются полученные ранее знания, а также умения анализировать, рассуждать, делать выводы. Во вторую группу войдут задания на решение целых уравнений с параметром. В классе с невысоким уровнем подготовки вторую группу заданий можно не выполнять.

Упражнения:

1-я г р у п п а.

1. № 284 (а).

Р е ш е н и е

у⁷ – у⁶ + 8у = 8;

у⁷ – у⁶ + 8у – 8 = 0;

у⁶ (у – 1) + 8 (у – 1) = 0;

(у – 1) = 0; или

у – 1 = 0;

у = 1.

у⁶ + 8 = 0;

у⁶ = –8.

Корней нет.

О т в е т: 1.

2. № 274 (а).

Р е ш е н и е

х³ + 7х² – 6 = 0;

х³ + х² + 6х² – 6 = 0;

х² (х + 1) + 6 (х² – 1) = 0;

х² (х + 1) + 6 (х + 1) (х – 1) = 0;

(х + 1) (х² + 6х – 6) = 0;

х + 1 = 0; или

х = –1.

х² + 6х – 6 = 0;

D₁ = 9 + 6 = 15;

х_{1, 2} = –3 ±.

О т в е т: –1; –3 ±.

3. Решите уравнение: х⁴ – 25х² + 60х – 36 = 0.

Р е ш е н и е

х⁴ – (25х² – 60х + 36) = 0;

х⁴ – (5х – 6)² = 0;

(х² – 5х + 6) (х² + 5х – 6) = 0;

х² – 5х + 6 = 0; или

х₁ = 2, х₂ = 3

х² + 5х – 6 = 0;

х₁ = 1, х₂ = –6

О т в е т: –6; 1; 2; 3.

4. № 275.

Р е ш е н и е

Чтобы найти точку пересечения графика функции у = х³ – 6х² + 11х – 6 с осью ОУ, нужно подставить х = 0:

у = 0 – 6 = –6, то есть с осью ОУ график пересекается в точке (0; –6).

Чтобы найти точки пересечения графика с осью ОХ нужно решить уравнение:

х³ – 6х² + 11х – 6 = 0;

х³ – 6х² + 12х – 6 – х = 0;

х³ – х – 6 (х² – 2х + 1) = 0;

х (х² – 1) – 6 (х – 1)² = 0;

х (х – 1) (х + 1) – 6 (х – 1)² = 0;

(х – 1) (х² + х – 6х + 6) = 0;

(х – 1) (х² – 5х + 6) = 0;

х – 1 = 0; или

х = 1.

х² – 5х + 6 = 0;

х₁ = 2, х₂ = 3.

Значит, ось ОХ график данной функции пересекает в трех точках: (1; 0), (2; 0), (3; 0).

О т в е т: (0; –6), (1; 0), (2; 0), (3; 0).

5. Решите уравнение: (2х² – х + 1)² + 6х = 1 + 9х².

Р е ш е н и е

(2х² – х + 1)² – (9х² – 6х + 1) = 0;

(2х² – х + 1)² – (3х – 1)² = 0;

(2х² – х + 1 – 3х + 1) (2х² – х + 1 + 3х – 1) = 0;

(2х² – 4х + 2) (2х² + 2х) = 0;

х² – 2х + 1 = 0; или

(х – 1)² = 0;

х = 1.

2х² + 2х = 0;

2х (х + 1) = 0;

х = 0 или х = –1.

О т в е т: –1; 0; 1.

6. Решите уравнение: (х² – 4) (х² + 2х – 3) = 60.

Р е ш е н и е

Разложим выражения, стоящие в скобках, на множители. Получим:

(х – 2) (х + 2) (х – 1) (х + 3) = 60.

Найдем произведение крайних и средних множителей:

(х² + х – 6) (х² + х – 2) = 60.

С д е л а е м з а м е н у: х² + х – 6 = а. Получим:

а (а + 4) = 60;

а² + 4а – 60 = 0;

а₁ = –10, а₂ = 6.

В е р н е м с я к з а м е н е:

х² + х – 6 = –10; или

х² + х + 4 = 0;

D = 1 – 16 = –15.

Корней нет.

х² + х – 6 = 6;

х² + х – 12 = 0;

х₁ = –4, х₂ = 3.

О т в е т: –4; 3.

2-я г р у п п а.

1. Докажите, что уравнение (х² – 2х + 3) (х² – 6х + 10) = 2 не имеет корней.

Р е ш е н и е

Выделим из каждого трехчлена, стоящего в скобках, квадрат двучлена:

((х – 1)² + 2) ((х – 3)² + 1) = 2.

Получаем, что первый множитель принимает значения, не меньшие двух, а второй множитель – не меньшие единицы.

Тогда произведение может быть равно 2 только в том случае, если первый множитель равен 2, а второй при этом равен 1. Первый множитель равен 2 при х = 1. Второй множитель при х = 1 равен 5. Значит, исходное уравнение корней не имеет.

2. При каких значениях а уравнение х⁴ + ах² + 25 = 0 не имеет корней?

Р е ш е н и е

Биквадратное уравнение не имеет корней в двух случаях: если дискриминант полученного после замены квадратного уравнения отрицателен или если это квадратное уравнение имеет только отрицательные корни.

С д е л а е м з а м е н у: х² = t. Получим уравнение:

t² + аt + 25 = 0;

D = а² – 100;

D < 0, если а² – 100 < 0, то есть а (–10; 10).

Значит, при а (–10; 10) данное биквадратное уравнение корней не имеет.

Пусть а (–∞; 10) (10; +∞), х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения t² + аt + 25 = 0. По теореме Виета, х₁ · х₂ = 25, то есть эти корни одинаковых знаков.

Если х₁ и х₂ – отрицательны, то х₁ + х₂ < 0, а по теореме Виета, х₁ + х₂ =
= –а. Имеем:

х₁ + х₂ < 0, если –а < 0, то есть а > 0.

О т в е т: (–10; 10) (10; +∞).

3. При каком значении т сумма квадратов корней уравнения х² +
+ (2 – т) х – т – 3 = 0 минимальна?

Р е ш е н и е

Данное уравнение должно иметь два корня, то есть дискриминант должен быть положительным:

D = (2 – т)² + 4 (т + 3) = 4 – 4т + т² + 4т + 12 = т² + 16.

Выражение т² + 16 положительно при любом значении т, то есть данное уравнение имеет два корня: х₁ и х₂. По условию сумма х₁ + х₂ должна быть минимальна.

Справедливо следующее равенство:

х₁²+ х₂² = (х₁ + х₂)² – 2х₁ · х₂.

По теореме Виета, х₁ + х₂ = т – 2, х₁ · х₂ = –т – 3.

Подставим полученные выражения в это равенство:

х₁²+ х₂² = (т – 2)² + 2(т + 3) = т² – 4т + 4 + 2т + 6 = т² – 2т + 10.

Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена т² – 2т + 10:

т² – 2т + 10 = (т – 1)² + 9.

Таким образом, имеем:

х₁²+ х₂² = (т – 1)² + 9.

Выражение (т – 1)² + 9 принимает наименьшее значение при т = 1.

О т в е т: т = 1.

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какое наибольшее количество корней может иметь целое уравнение пятой степени?

– Какие существуют методы решения целых уравнений? Опишите каждый из них.

– Как решаются биквадратные уравнения? Сколько корней они могут иметь? Опишите все возможные случаи.

Домашнее задание:

1. № 358 (г, е), № 284 (б), № 274 (б).

2. Решите уравнение:

а) (х – 2)² (х² – 4х + 3) = 12;

б) х (х + 1) (х + 2) (х + 3) = 120.

Д о п о л н и те л ь н о: Докажите, что число 1 является корнем уравнения (2х² – 4х + 3) (х² – 2х + 2) = 1 и других корней у этого уравнения нет.

У р о к 28 Дата:
Решение дробно-рациональных уравнений
по алгоритму

Цели: продолжить формирование умения решать дробно-рациональные уравнения, используя алгоритм, известный учащимся из курса 8 класса.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Верно ли, что выражение обращается в нуль:

а) при х = 2;

б) при х = –5;

в) при х = 1.

III. Объяснение нового материала.

В 8 классе учащиеся уже изучали данную тему. Сейчас необходимо расширить их знания. Отличия дробно-рациональных уравнений, изучаемых в 9 классе, состоят в следующем:

1) получаемое в процессе решения целое уравнение имеет степень, большую двух;

2) некоторые дробно-рациональные уравнения возможно решить, только используя метод введения новой переменной.

На этом уроке целесообразно актуализировать знания учащихся о решении дробно-рациональных уравнений по алгоритму. Вопрос о других приемах и методах решения дробно-рациональных уравнений лучше рассмотреть на следующем уроке.

Объяснение материала проводится в несколько э т а п о в.

1. И з у ч е н и е п о н я т и я дробно-рационального уравнения. Усвоение данного понятия проверяется при решении упражнения на распознавание этого вида уравнений.

З а д а н и е. Какие из следующих уравнений являются дробно-рациональными? Ответ объясните.

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

2. В ы в о д а л г о р и т м а решения дробно-рациональных уравнений. Алгоритм приведен на с. 78 учебника. Желательно, чтобы учащиеся занесли его в тетрадь.

3. Р а с с м о т р е н и е п р и м е р о в решения дробно-рациональных уравнений по изученному алгоритму (пример 1 и пример 3 из учебника).

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. № 288 (а, в), № 289 (а).

2. № 290 (а), № 292 (б).

3. № 291 (в).

Р е ш е н и е

;

;

;

х (х – 2) = 4 (х + 2) – 16;

х² – 2х – 4х – 8 + 16 = 0;

х² – 6х + 8 = 0;

х₁ = 2, х₂ = 4;

х₁ = 2 – не является корнем уравнения.

О т в е т: 4.

4. № 296 (а).

Р е ш е н и е

;

5а + 7 – 28а² = 20а³;

5а + 7 – 4а² (7 + 5а) = 0;

(5а + 7) (1 – 4а²) = 0;

5а + 7 = 0; или

5а = –7;

а = –1,4.

1 – 4а² = 0;

а² = ;

а = ±.

О т в е т: –1,4; ±0,5.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какие уравнения называются дробно-рациональными?

– Являются ли следующие уравнения дробно-рациональными:

?

– Опишите алгоритм решения дробно-рациональных уравнений.

Домашнее задание: № 289 (б), № 290 (б), № 291 (б), № 295 (б).

У р о к 29 Дата:
Использование различных приемов и методов
при решении дробно-рациональных уравнений

Цели: продолжить формирование умения решать дробно-рациональные уравнения, используя при этом различные приемы и методы.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Какие из чисел –1; 0; 2; 3 являются корнями уравнения:

а) = 0; б) = 0.

III. Объяснение нового материала.

1. Сначала необходимо актуализировать знания учащихся, попросив их рассказать алгоритм решения дробно-рациональных уравнений. После этого предложить учащимся использовать этот алгоритм при решении уравнения.

(пример 2 из учебника).

Далее делается в ы в о д, что решение данного уравнения по алгоритму является громоздким, поэтому целесообразно применить ряд преобразований.

2. Рассмотреть пример 4 из учебника. Здесь возникает такая же ситуация: решение данного дробно-рационального уравнения приводит к целому уравнению четвертой степени, корни которого известными методами найти очень сложно. Зато после введения новой переменной полученное уравнение решается довольно просто.

3. На основании рассмотренных примеров делаются следующие
в ы в о д ы:

1) Не всякое дробно-рациональное уравнение целесообразно решать по алгоритму.

2) Довольно эффективным методом решения дробно-рациональных уравнений является метод введения новой переменной.

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. № 293 (а), № 294 (а).

2. № 297 (а, б), № 298 (б).

В классе с высоким уровнем подготовки можно решить еще несколько дробно-рациональных уравнений.

3. № 299 (а).

Р е ш е н и е

.

С д е л а е м з а м е н у: , тогда

Получим уравнение:

;

;

2а² – а – 3 = 0;

а₁ = –1, а₂ = .

В е р н е м с я к з а м е н е:

; или

х² + х – 1 = 0;

D = 1 + 4 = 5;

х_{1, 2} = .

;

2х² – 3х – 2 = 0;

D = 9 + 16 = 25;

х₁ = = 2;

х₂ = .

О т в е т: .

4. = –1,5.

Р е ш е н и е

Проверим, что х ≠ 0, и разделим числитель и знаменатель каждой дроби на х:

= –1,5.

С д е л а е м з а м е н у: . Получим:

;

8 (а – 5) + 10 (а + 1) + 3 (а + 1) (а – 5) = 0;

8а – 40 + 10а + 10 + 3а² – 15а + 3а – 15 = 0;

3а² + 6а – 45 = 0;

а² + 2а – 15 = 0;

а₁ = –5, а₂ = 3.

В е р н е м с я к з а м е н е:

; или

х² + 5х + 3 = 0;

D = 25 – 12 = 13;

х_{1, 2} = .

;

х² – 3х + 3 = 0;

D = 9 – 12 = –3.

Решений нет.

О т в е т: .

5. = 3.

Р е ш е н и е

Вычтем и прибавим к выражению, стоящему в левой части уравнения, выражение , чтобы получить полный квадрат:

;

;

;

.

С д е л а е м з а м е н у: = t. Получим:

t² + 2t – 3 = 0;

t₁ = 1, t₂ = –3.

В е р н е м с я к з а м е н е:

= 1; или

х² – х – 1 = 0;

D = 1 + 4 = 5;

х_{1, 2} = .

= –3;

х² + 3х + 3 = 0;

D = 9 – 12 = –3.

Решений нет.

О т в е т: .

V. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Решите уравнение:

а) ;

б) .

В а р и а н т 2

Решите уравнение:

а) ;

б) .

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какими приемами и методами можно решать дробно-рациональные уравнения?

– Опишите решение дробно-рационального уравнения по алгоритму.

– В каких случаях при решении дробно-рациональных уравнений целесообразно использовать метод введения новой переменной?

Домашнее задание: № 296 (б), № 294 (б), № 297 (в), № 298 (б).

Д о п о л н и т е л ь н о: № 299 (б).

У р о к 30 Дата:
Алгоритм решения неравенств
второй степени с одной переменной

Цели: ввести понятие неравенства второй степени с одной переменной и изучить алгоритм решения таких неравенств.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Определите количество корней уравнения ах² + bx + c = 0 и знак коэффициента а, если на рисунке изображен график функции у = ах² +
+ bx + c.

а) б)

в)

2. Назовите промежутки знакопостоянства функции у = ах² + bx + c, если ее график изображен на рисунке:

а) б)

в)

III. Объяснение нового материала.

1. В в е д е н и е п о н я т и я неравенства второй степени с одной переменной.

З а д а н и е. Какие из следующих неравенств являются неравенствами второй степени с одной переменной?

а) 2х² + 3х – 1 > 0; г) 2х² – х + 1 < х⁴;

б) 4х² – х ≤ 0; д) х² ≥ 1;

в) 5х – 1 > 3х²; е) х² – 4x < .

2. С о с т а в л е н и е а л г о р и т м а решения неравенств второй степени с одной переменной.

Поставить перед учащимися проблему: как может быть решено неравенство подобного вида? Если учащиеся не догадаются, то можно вернуться к заданиям устной работы и наводящими вопросами помочь им сделать в ы в о д: неравенства второй степени с одной переменной решаются графически.

Желательно, чтобы учащиеся самостоятельно вывели алгоритм решения этих неравенств.

3. Р а с с м о т р е н и е п р и м е р о в решения неравенств второй степени с одной переменной.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке необходимо рассмотреть разные ситуации, возникающие при решении неравенств второй степени с одной переменной. Нужно, чтобы учащиеся запомнили алгоритм и применяли его без помощи учителя.

В соответствии с количеством корней трехчлена, получаемых в процессе решения неравенств, все задания можно разбить на три группы. В первую группу войдут неравенства, у которых квадратный трехчлен имеет два корня, во вторую – один корень, и в третьей группе будут неравенства, квадратный трехчлен которых не имеет корней.

Упражнения:

1-я г р у п п а.

№ 304 (а, в, ж), № 308 (а, в, д).

2-я г р у п п а.

1. № 304 (д).

2. 9х² + 6х + 1 ≤ 0

3-я г р у п п а.

а) х² + 2х + 4 > 0;

б) 2х² – х + 3 ≤ 0;

в) –х² + 3х – 7 < 0.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какие неравенства называются неравенствами второй степени с одной переменной?

– Опишите алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной.

– Какие решения может иметь неравенство второй степени с одной переменной, если соответствующий квадратный трехчлен не имеет корней?

Домашнее задание: № 304 (б, г, е, з), № 306 (б, в), № 308 (б, г).

У р о к 31 Дата:
Применение алгоритма решения неравенств
второй степени с одной переменной

Цели: продолжить формирование умения решать неравенства второй степени с одной переменной.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Решите неравенства ах² + bx + c > 0 и ах² + bx + c ≤ 0, если на рисунке изображен график соответствующей квадратичной функции:

а) б)

в)

III. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. № 307, № 309 (а, в, д).

2. № 312 (а, в).

3. № 315 (а, в, е), № 316.

IV. Математический диктант.

«+» – согласен с утверждением; «–» – не согласен с утверждением.

1) Неравенства второй степени с одной переменной решаются с помощью графика квадратичной функции.

2) Для решения неравенств второй степени с одной переменной нужно знать координату вершины соответствующей параболы.

3) Для решения неравенств второй степени с одной переменной достаточно знать направление ветвей соответствующей параболы.

4) Если квадратный трехчлен имеет корни, то соответствующее неравенство обязательно имеет решения.

5) Если квадратный трехчлен не имеет корней, то соответствующее неравенство не имеет решений.

6) Если вершина параболы лежит на оси абсцисс, то соответствующее неравенство не имеет решений.

7) Неравенства второй степени с одной переменной может иметь решение, состоящее из единственного числа.

8) Решением неравенства второй степени с одной переменной может быть множество всех чисел.

9) Если а < 0, х₁ и х₂ – корни квадратного трехчлена ах² + bx + c, то решением неравенства ах² + bx + c > 0 будет промежуток (–∞; х₁) (х₂; +∞).

10) Если а > 0 и х₀ – единственный корень квадратного трехчлена ах² + bx + c, то решением неравенства ах² + bx + c > 0 будет промежуток (–∞; х₀)(х₀; +∞).

К л ю ч: + – – + – – + + – +.

V. Итоги урока.

Учащиеся обмениваются тетрадями, учитель вновь зачитывает вопросы математического диктанта. Происходит обсуждение ответов и учащиеся выставляют друг другу оценки по следующей шкале:

«5» – не менее 9 правильных ответов;

«4» – 7, 8 правильных ответов;

«3» – 5, 6 правильных ответов;

«2» – менее 5 правильных ответов.

Домашнее задание: № 309 (г, е), № 313, № 317.

У р о к 32 Дата:
Более сложные задачи, требующие применения
алгоритма решения неравенств второй степени
с одной переменной

Цели: продолжить формирование умения применять алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Решите неравенство ах² + bx + c ≤ 0 и ах² + bx + c > 0, если на рисунке изображен график соответствующей квадратичной функции:

а) б)

в)

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Решите неравенство:

а) х² – 8х + 15 > 0; в) 4х² + 4х + 1 ≤ 0;

б) 2х – х² ≥ 0; г) х² + 2х + 3 > 0.

В а р и а н т 2

Решите неравенство:

а) х² – 10х + 21 ≤ 0; в) х² – 10х + 25 > 0;

б) 9 – х² < 0; г) –х² + х – 4 ≤ 0.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащиеся должны решать более сложные задания, которые потребуют от них осознанного владения алгоритмом решения неравенств второй степени с одной переменной.

Все задания можно разбить на 2 группы. Если класс невысокого уровня подготовки, то вторую группу заданий решать не нужно. Кроме того, сильным в учебе учащимся можно дать дополнительные задания на решение уравнений и неравенств с параметрами.

Упражнения:

1-я г р у п п а.

1. № 310 (а), № 311 (а).

2. № 314 (а).

3. № 318.

Р е ш е н и е

Пусть одна сторона прямоугольника равна а см, тогда другая сторона равна (а + 7) см. Значит, площадь прямоугольника равна а (а + 7) см², а по условию она не превосходит 60 см². Получим неравенство:

а (а + 7) ≤ 60;

а (а + 7) – 60 ≤ 0.

Решая его, находим, что а [–12; 5], то есть меньшая сторона прямоугольника не должна превосходить 5 см.

О т в е т: не превосходит 5 см.

2-я г р у п п а.

1. № 320 (а, в, д).

Р е ш е н и е

а)

Найдем корни квадратных трехчленов и изобразим схематически параболы на одной числовой прямой:

х² – 2х – 8 = 0

х = –2 х = 4

х² – 9 = 0

х = –3 х = 3

По рисунку видим, что решением данной системы будет промежуток (–2; 3).

О т в е т: (–2; 3).

2. № 321 (а).

Р е ш е н и е

Для нахождения области определения данной функции достаточно решить систему неравенств:

Так же, как в предыдущем задании, наносим на числовую прямую параболы и заштриховываем искомые промежутки:

Получаем, что х [2; 5].

О т в е т: 2; 3; 4; 5.

Д о п о л н и т е л ь н ы е з а д а н и я.

1. № 379.

Р е ш е н и е

(а + 2) х² + 8х + а – 4 = 0.

Чтобы данное уравнение имело 2 решения, необходимо выполнение следующих условий:

– уравнение должно быть квадратным, то есть а + 2 ≠ 0;

– дискриминант этого квадратного уравнения должен быть положителен.

Согласно этим условиям получим систему:

Решением второго неравенства системы является промежуток (–6; 4). С учетом того, что а ≠ –2, получим: а (–6; –2) (–2; 4).

О т в е т: (–6; –2) (–2; 4).

2. При каких значениях параметра а неравенство ах² + 2ах + 4 > 0 выполняется на всей числовой оси?

Р е ш е н и е

Чтобы данное неравенство выполнялось на всей числовой оси, необходимо, чтобы ветви параболы были направлены вверх, и квадратный трехчлен не имел корней, то есть D₁ = а² – 4а < 0.

Решая это неравенство, получим, что а (0; 4). Этот промежуток удовлетворяет обоим условиям. Однако нужно рассмотреть еще случай, когда а = 0. Подставляя это значение в исходное неравенство, получим: 4 > 0.

Это неравенство верно, поэтому при а = 0 исходное неравенство будет выполняться на всей числовой оси.

О т в е т: [0; 4).

3. При каких значениях т область определения функции

f (х) = состоит из одной точки?

Р е ш е н и е

Чтобы найти область определения данной функции, нужно решить систему неравенств:

Эта система будет иметь единственное решение в двух случаях:

– если квадратный трехчлен х² –2тх + 5 будет иметь единственный корень, не превосходящий 1:

– если квадратный трехчлен х² –2тх + 5 будет иметь два корня, меньший из которых равен 1:

Первое условие будет выполнено, если дискриминант квадратного трехчлена х² – 2тх + 5 равен нулю, а корень

х₀ = ≤ 1. Имеем:

D₁ = т² – 5;

х₀ = = m.

Получим систему:

Ее решением является m = –.

Второе условие будет выполнено, если f (1) = 0, то есть 1 – 2т + 5 = 0, откуда т = 3. Подставляя это значение т, получим трехчлен х² – 6х + 5; вторым его корнем будет число 5. Значит, т = 3 удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: –; 3.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Опишите алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной.

– Когда решение неравенства второй степени с одной переменной будет состоять из единственного числа? из бесконечного множества чисел?

– Какие решения может иметь неравенство ах² + bx + c > 0, если

а) а > 0 и х₁, х₂ – корни квадратного трехчлена ах² + bx + c;

б) а < 0 и квадратный трехчлен имеет единственный корень х₀;

в) а > 0 и квадратный трехчлен ах² + bx + c не имеет корней?

Домашнее задание: № 311 (б), № 314 (б), № 319, № 320 (б, г, е).

Д о п о л н и т е л ь н о: № 321 (б), № 380.

У р о к 33 Дата:
Решение целых рациональных неравенств
методом интервалов

Цели: изучить метод интервалов; формировать умение его применять при решении целых рациональных неравенств.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Назовите промежутки знакопостоянства функции у = f (х), если ее график изображен на рисунке.

III. Объяснение нового материала.

На этом уроке целесообразно изучить суть метода интервалов и рассмотреть его применение при решении целых рациональных неравенств. Как метод интервалов используются при решении дробно-рациональных неравенств лучше разобрать на следующем уроке.

Начать изучение новой темы лучше с постановки перед учащимися конкретной задачи: решить неравенство (х² – 4) (х + 1) > 0. Это неравенство они должны решить, исходя из логических рассуждений, то есть отвечая на вопрос: когда произведение двух выражений положительно?

При ответе на этот вопрос возникают два случая: оба сомножителя одновременно положительны или одновременно отрицательны. Значит, нужно решить две системы неравенств:

1. 2.

Решением первой системы будет промежуток (2; +∞), а решением второй – промежуток (–2; –1). Таким образом, получаем, что решением исходного неравенства будет объединение этих промежутков, то есть х (–2; –1) (2; +∞).

Исходя из результата, делается вывод, что такой способ решения неравенств подобного вида приемлем. Тогда учитель предлагает учащимся решить другое неравенство: (х² – 4) (х + 1) (х – 7) > 0. Учащиеся осознают, что рассуждения о возможных знаках каждого из трех множителей будут громоздкими, поэтому лучше искать другой способ решения данного неравенства.

После этого следует разобрать суть метода интервалов и сделать вывод о том, что этот метод приемлем к целым неравенствам с любым количеством множителей, то есть он более универсален.

Затем можно вернуться к первому неравенству и решить его методом интервалов, разложив предварительно на множители выражение х² – 4.

(х + 2) (х – 2) (х + 1) > 0;

х₁ = –2, х₂ = 2, х₃ = –1.

х (–2; –1) (2; +∞).

Необходимо обязательно добиться того, чтобы учащиеся осознали, что решение этого неравенства методом интервалов гораздо рациональнее.

Далее нужно рассмотреть случаи, когда до применения метода интервалов необходимо привести неравенство к стандартному виду:

(х – х₁) (х – х₂) … (х – х_п) > < 0 (пример 2 и пример 3 из учебника).

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. № 325, № 327, № 328 (а).

2. Решите неравенство:

а) –(х – 3) (х + 5) > 0;

б) (4 – х) (х – 2) ≤ 0;

в) (2 + х) > 0.

В этой группе собраны неравенства, записанные не в том виде, к которому непосредственно применяется метод интервалов. Важно, чтобы у учащихся вырабатывался навык приведения неравенств к стандартному виду, иначе в дальнейшем могут возникать ошибки при расстановке знаков на интервалах.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– На каком свойстве функции основан метод интервалов?

– Неравенства какого вида могут быть решены методом интервалов?

– В чем состоит метод интервалов решения неравенств?

Домашнее задание: № 326, № 328 (б), № 329.

У р о к 34 Дата:
Решение целых и дробных неравенств
методом интервалов

Цели: продолжить формирование умения решать целые неравенства методом интервалов; разобрать, как этим методом могут решаться дробные неравенства.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на отрезке [–5; 4]. Решите неравенство f (х) ≥ 0.

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Решите неравенство:

а) (х – 3) (х + 5) > 0; в) х(х + 2) > 0;

б) (х – 1,7) ≤ 0; г) (х + 3) (х – 5) (1 – х) ≥ 0.

В а р и а н т 2

Решите неравенство:

а) (х + 2) (х – 6) < 0; в) (х + 1) (х – 5) < 0;

б) (х + 0,3) ≥ 0; г) х (4 – х) (1 + х) ≤ 0.

IV. Формирование умений и навыков.

Все упражнения можно разбить на 2 группы. В первую группу войдут целые неравенства, которые учащиеся уже умеют решать. Во второй группе будут дробно-рациональные неравенства. Перед тем как приступать к их решению, необходимо объяснить учащимся особенности применения метода интервалов к неравенствам такого вида.

Упражнения:

1-я г р у п п а.

1. № 330, № 332.

2. Решите неравенство:

а) (2 – х) (6 – х) < 0;

б) –х(5 – х) ≥ 0;

в) –(х – 4) (1 + х) < 0.

2-я г р у п п а.

1. № 334.

2. № 336 (а, б).

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Опишите суть метода интервалов решения неравенств.

– Как метод интервалов может быть использован при решении дробно-рациональных неравенств?

– В чем состоят особенности решения методом интервалов строгих и нестрогих дробно-рациональных неравенств?

Домашнее задание: № 331, № 333, № 335, № 336 (в, г).

У р о к 35 Дата:
Применение метода интервалов
при решении более сложных неравенств

Цели: продолжить формирование умения решать неравенства методом интервалов; рассмотреть, как может быть применен метод при решении более сложных неравенств.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Решите неравенство:

а) (х + 1) (х – 3) > 0; в) (х – 10) < 0;

б) (х – 5) (х – 2) ≤ 0; г) (х – 4) ≥ 0.

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Решите неравенство:

а) < 0; б) ≥ 0.

2. Найдите область определения функции:

а) y = ; б) y = .

В а р и а н т 2

1. Решите неравенство:

а) > 0; б) ≤ 0.

2. Найдите область определения функции:

а) y = ; б) y = .

IV. Формирование умений и навыков.

Все задания, выполняемые на уроке, можно разбить на две группы. В первую группу войдут дробные неравенства и неравенства, которые до применения метода интервалов предварительно нужно преобразовать, разложив на множители их левую часть. Во вторую группу войдут более сложные неравенства. Чтобы применить к ним метод интервалов, необходимо сначала перейти к равносильной системе.

Вторую группу заданий следует решать в классе с высоким уровнем подготовки.

Упражнения:

1-я г р у п п а.

1. № 338.

Р е ш е н и е

в) ≥ 2.

Перенесем число 2 в левую часть неравенства и приведем его к виду ≥ 0:

– 2 ≥ 0;

≥ 0;

≥ 0;

≤ 0;

Решая эту систему, получим, что х (1; 2].

О т в е т: (1; 2].

2. Решите неравенство, разложив его левую часть на множители:

а) (4 – х²) < 0; г) х³ – 5х + 6х  0;

б) х³ – 16х  0; д) (х² + 3х) < 0;

в) (х² – 25) > 0; е) 8х³ + 12х² – 2х – 3 > 0.

2-я г р у п п а.

Решите неравенство:

а) (3х² + 5) (х + 7) > 0.

Р е ш е н и е

Поскольку выражение 3х² + 5 положительно при всех значениях х, то обе части неравенства можно разделить на него. Получим неравенство:

(х + 7) > 0 или (х + 7) < 0.

Решая его, находим, что х .

О т в е т: .

б) (х + 2)² (х – 6) < 0.

Р е ш е н и е

Выражение (х + 2)² неотрицательно при всех значениях х, поэтому данное неравенство равносильно системе:

Решая систему, находим, что х (–∞; –2) (–2; 6).

О т в е т: (–∞; –2) (–2; 6).

в) (х –3)² (х – 10) ≥ 0

Р е ш е н и е

Выражение (х –3)² неотрицательно при всех значениях х, и если оно равно нулю, то и произведение (х –3)² (х – 10) равно нулю. Поэтому данное равносильно системе:

Получаем, что х {3} [10; +∞).

О т в е т: {3} [10; +∞).

г) < 0.

Р е ш е н и е

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:

< 0.

Данное неравенство равносильно системе:

Решая систему, находим, что х (–4; 3) (3; 10).

О т в е т: (–4; 3) (3; 10).

д) ≤ 0.

Р е ш е н и е

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:

≤ 0.

Это неравенство равносильно системе:

Решая его находим, что х (–∞; –3) (–3; –1] [1; 3].

О т в е т: (–∞; –3) (–3; –1] [1; 3].

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– В чем состоит метод интервалов решения неравенств?

– Любое ли неравенство можно решить методом интервалов?

– Как применяется метод интервалов к решению дробных неравенств?

– Как решается неравенство, содержащее целое выражение выше второй степени?

Домашнее задание: № 389, № 394.

Д о п о л н и т е л ь н о: № 390.

В а р и а н т 1

1. Решите неравенство:

а) < 0; б) ≥ 0.

2. Найдите область определения функции:

а) y = ; б) y = .

В а р и а н т 2

1. Решите неравенство:

а) > 0; б) ≤ 0.

2. Найдите область определения функции:

а) y = ; б) y = .

В а р и а н т 1

1. Решите неравенство:

а) < 0; б) ≥ 0.

2. Найдите область определения функции:

а) y = ; б) y = .

В а р и а н т 2

1. Решите неравенство:

а) > 0; б) ≤ 0.

2. Найдите область определения функции:

а) y = ; б) y = .

У р о к 36 Дата:
Итоговый урок по теме
«Уравнения и неравенства с одной переменной»

Цели: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме; подготовить учащихся к написанию контрольной работы.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

Необходимо обобщить и систематизировать знания учащихся о видах уравнений и неравенств и методах их решения. Для этого нужно со-ставить классификацию уравнений и неравенств, изобразив ее на плакате или на доске. Учащиеся должны занести в тетрадь соответствующие схемы.

1-й степени
(линейные)

Р е ш е н и е:

привести

к виду ах = b

х =

2-й степени

(квадратные)

Р е ш е н и е:

D = b² – 4ac

x_{1, 2} =

Выше 2-й
степени

Решаемые

по алгоритму

Решаемые

методом

замены

Решаемые

методом

замены

Решаемые

разложением
на множители

1-й степени
(линейные)

Р е ш е н и е:

привести

к виду

ах < > b

2-й степени

(квадратные)

Р е ш е н и е:

графически

с помощью

параболы

Выше 2-й
степени

Р е ш е н и е:

метод

интервалов

Решаются методом
интервалов

III. Формирование умений и навыков.

Все задания можно разбить на три группы. Каждая группа будет содержать упражнения на решение всех изученных видов уравнений и неравенств. Отличие групп друг от друга состоит в уровне сложности, входящих в них уравнений и неравенств. В классе с невысоким уровнем подготовки третью группу заданий можно не выполнять.

Упражнения:

1-я г р у п п а.

1. Решите уравнение:

а) ; в) х⁴ + 3х² – 4 = 0;

б) х³ – 25х = 0; г) = 1.

2. Решите неравенство:

а) 2х – ≤ ; в) 1 – х²  0;

б) х² + 2х > 0; г) (х – 3) (х + 5) < 0.

2-я г р у п п а.

1. Решите уравнение:

а) х = ;

б) х⁶ – х⁴ + 5х² – 5 = 0;

в) (х² + х)² – 5х² – 5х + 6 = 0;

г) .

2. Найдите область определения функции:

а) y = ; б) y = .

3. Решите неравенство:

а) х (7 – х) (1 + х) ≥ 0; б) ≤ 0.

3-я г р у п п а.

1. Решите уравнение:

а) (х² – 7х + 13)² – (х – 3) (х – 4) = 1;

б) х² + 1 = (3х² – х – 2)² – 2х;

в) = 0.

2. Решите неравенство:

а) < 0; б) ≤ 0.

3. При каких значениях параметра а корни уравнения х² – 2ах +
+ (а + 1) (а – 1) = 0 принадлежат промежутку [–5; 5]?

Р е ш е н и е

Данное квадратное уравнение согласно условию должно иметь корни, значит, его дискриминант не может быть отрицательным. Найдем его:

D₁ = а² – (а + 1) (а – 1) = 1.

Получаем, что уравнение при любом а имеет два корня: х₁ = а + 1 и х₂ = а – 1.

Чтобы эти корни принадлежали указанному промежутку, меньший из них должен быть не меньше –5, а больший – не больше 5. Получим систему:

О т в е т: [–4; 4].

4. При каких значениях параметра а уравнение х² + 2(а + 1) х + 9 = 0 имеет два различных положительных корня?

Р е ш е н и е

Чтобы данное квадратное уравнение имело два различных корня, его дискриминант должен быть положительным:

D₁ = (а + 1)² – 9 = а² + 2а – 8;

а² + 2а – 8 > 0.

Решая это неравенство, получим, что а (–∞; –4) (2; +∞).

По теореме Виета, произведение корней данного уравнения равно 9. Это означает, что корни имеют одинаковые знаки.

Пусть х₁ и х₂ – корни уравнения, тогда, по теореме Виета, х₁ + х₂ =
= –2 (а + 1). Чтобы эти корни были положительны, должно выполняться следующее условие:

–2 (а + 1) > 0;

а + 1 < 0;

а < –1.

С учетом выявленного выше условия получим, что а (–∞; –4).

О т в е т: (–∞; –4).

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– На какие два вида делятся рациональные уравнения?

– Какими методами решаются целые уравнения выше второй степени?

– Как решаются дробно-рациональные уравнения?

– На какие два вида делятся неравенства?

– Как решаются целые неравенства с одной переменной?

– Как решаются дробно-рациональные неравенства?

Домашнее задание: № 353 (а), № 354 (в), № 364 (б), № 377 (а), № 393 (в, д).

У р о к 37 Дата:
Контрольная работа № 2

В а р и а н т 1

1. Решите уравнение:

а) х³ – 81х = 0; б) = 2.

2. Решите биквадратное уравнение: х⁴ – 19х² + 48 = 0.

3. Решите неравенство:

а) 2х² – 13х + 6 < 0; б) х² – 9 > 0; в) 3х² – 6х + 32 > 0.

4. Решите неравенство, используя метод интервалов:

а) (х + 8) (х – 4) > 0; б) < 0.

5. При каких значениях t уравнение 3х² + tх + 3 = 0 имеет два корня?

6.* Решите уравнение:

+ 4 = 0.

В а р и а н т 2

1. Решите уравнение:

а) х³ – 25х = 0; б) = 1.

2. Решите биквадратное уравнение: х⁴ – 4х² – 45 = 0.

3. Решите неравенство:

а) 2х² – х – 15 > 0; б) х² – 16 < 0; в) х² + 12х + 80 < 0.

4. Решите неравенство, используя метод интервалов:

а) (х + 11) (х –9) < 0; б) > 0.

5. При каких значениях t уравнение 2х² + tх + 8 = 0 не имеет корней?

6.* Решите уравнение:

= 3.

В а р и а н т 3

1. Решите уравнение:

а) х³ – 36х = 0; б) = 1.

2. Решите биквадратное уравнение: х⁴ – 13х² + 36 = 0.

3. Решите неравенство:

а) 2х² + 5х – 7 < 0; б) х² – 25 > 0; в) 5х² – 4х + 21 > 0.

4. Решите неравенство, используя метод интервалов:

а) (х + 9) (х – 5) > 0; б) < 0.

5. При каких значениях t уравнение 2х² + tх + 2 = 0 имеет два корня?

6.* Решите уравнение:

= 2.

В а р и а н т 4

1. Решите уравнение:

а) х³ – 49х = 0; б) = 2.

2. Решите биквадратное уравнение: х⁴ – 17х² + 16 = 0.

3. Решите неравенство:

а) 5х² + 3х – 8 > 0; б) х² – 49 < 0; в) 4х² – 2х + 13 < 0.

4. Решите неравенство, используя метод интервалов:

а) (х + 12) (х –7) < 0; б) > 0.

5. При каких значениях t уравнение 25х² + tх + 1 = 0 не имеет корней?

6.* Решите уравнение:

= –1.

Домашнее задание : Решить другой вариант

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т 1

1. а) х³ – 81х = 0;

б) = 2;

х (х² – 81) = 0;

2(х² – 1) – (3х – 1) = 2 · 4;

х = 0 или

О т в е т: –9; 0; 9.

х² – 81 = 0;

х² = 81;

х = ±9.

2х² – 2 – 3х + 1 – 8 = 0;

2х² – 3х – 9 = 0;

D = 9 + 72 = 81;

х₁ = = –1,5;

х₂ = = 3.

О т в е т: –1,5; 3.

2. х⁴ – 19х² + 48 = 0.

Пусть х² = t, тогда получим:

t² – 19t + 48 = 0;

D = 361 – 192 = 169;

t₁ = = 3, t₂ = = 16.

В е р н е м с я к з а м е н е:

х² = 3; или

х = ±.

х² = 16;

х = ±4.

О т в е т: –4; –; ; 4.

3. а) 2х² – 13х + 6 < 0;

у = 2х² – 13х + 6.

Ветви параболы направлены вверх.

2х² – 13х + 6 = 0;

D = 169 – 48 = 121;

х₁ = , х₂ = = 6.

О т в е т: .

б) х² – 9 > 0;

у = х² – 9.

Ветви параболы направлены вверх.

х² – 9 = 0;

х² = 9;

х = ±3.

О т в е т: (–∞; –3) (3; +∞).

в) 3х² – 6х + 32 > 0;

у =3х² – 6х + 32.

Ветви параболы направлены вверх.

3х² – 6х + 32 = 0;

D = 9 – 96 = –87 < 0.

Парабола не пересекает ось х.

О т в е т: (–∞; +∞).

4. а) (х + 8) (х – 4) > 0;

б) < 0;

х = –8; 4 – нули функции

у = (х + 8) (х – 4).

(х – 5) (х + 7) < 0;

х = –7; 5 – нули функции

у = (х – 5) (х + 7).

О т в е т: (–∞;–8) (4; +∞).

О т в е т: (–7; 5).

5. 3х² + tх + 3 = 0;

D = t² – 36.

Уравнение имеет два корня, если D > 0,

t² – 36 > 0;

t² (–∞;–6) (6; +∞).

О т в е т: (–∞;–6) (6; +∞).

6.* + 4 = 0.

Пусть = t, тогда получим:

t + + 4 = 0;

t² + 4t + 3 = 0;

t₁ = –1, t₂ = –3.

В е р н е м с я к з а м е н е:

= –1; или

х² + 2х – 5 = 0;

D₁ = 1 + 5 = 6;

х_{1, 2} = –1 ± .

= –3;

х² + 4х – 5 = 0;

х₁ = 1, х₂ = –5.

О т в е т: –5; 1; –1 ± .

В а р и а н т 2

1. а) х³ – 25х = 0;

б) = 1;

х (х² – 25) = 0;

2(х² + 6) – (8 – х) = 1 · 10;

х = 0 или

О т в е т: –5; 0; 5.

х² – 25 = 0;

х² = 25;

х = ±5.

2х² + 12 – 8 + х – 10 = 0;

2х² + х – 6 = 0;

D = 1 + 48 = 49;

х₁ = = –2;

х₂ = = 1,5.

О т в е т: –2; 1,5.

2. х⁴ – 4х² – 45 = 0.

Пусть х² = t, тогда получим:

t² – 4t – 45 = 0;

t₁ = –5, t₂ = 9.

В е р н е м с я к з а м е н е:

х² = –5 . или

Нет решений.

х² = 9;

х = ±3.

О т в е т: ±3.

3. а) 2х² – х – 15 > 0;

у = 2х² – х – 15 > 0.

Ветви параболы направлены вверх.

2х² – х – 15 = 0;

D = 1 + 120 = 121;

x₁ = –2,5, x₂ = = 3.

О т в е т: (–∞;–2,5) (3; +∞).

б) х² – 16 < 0;

у = х² – 16.

Ветви параболы направлены вверх.

х² – 16 = 0;

х² = 16;

х = ±4.

О т в е т: (–4; 4).

в) х² + 12х + 80 < 0;

у = х² + 12х + 80 < 0.

Ветви параболы направлены вверх.

х² + 12х + 80 = 0;

D = 36 – 80 = –44 < 0.

Парабола не пересекает ось х.

О т в е т: нет решений.

4. а) (х + 11) (х –9) < 0;

б) > 0;

х = –11; 9 – нули функции

у = (х + 11) (х – 9).

(х + 3) (х – 8) > 0;

х = –3; 8 – нули функции

у = (х + 3) (х – 8).

О т в е т: (–11; 9).

О т в е т: (–∞;–3) (8; +∞).

5. 2х² + tх + 8 = 0;

D = t² – 64.

Уравнение не имеет корней, если D < 0,

t² – 64 < 0;

t = ±8.

О т в е т: (–8; 8).

6.* = 3.

Пусть = t, тогда получим:

t – = 3;

t² – 3t – 10 = 0;

t₁ = –2, t₂ = 5.

В е р н е м с я к з а м е н е:

= –2 ; или

х² + 2х – 14 = 0;

D₁ = 1 + 14 = 15;

х_{1, 2} = –1 ± .

= 5;

х² – 5х – 14 = 0;

х₁ = –2, х₂ = 7.

О т в е т: –2; 7; –1 ± .

В а р и а н т 3

1. а) х³ – 36х = 0;

б) = 1;

х (х² – 36) = 0;

2(х² – 4) – (5х – 2) = 1 · 6;

х = 0 или

О т в е т: –6; 0; 6.

х² – 36 = 0;

х² = 36;

х = ±6.

2х² – 8 – 5х + 2 – 6 = 0;

2х² – 5х – 12 = 0;

D = 25 + 96 = 121;

х₁ = = –1,5;

х₂ = = 4.

О т в е т: –1,5; 4.

2. х⁴ – 13х² + 36 = 0.

Пусть х² = t, тогда получим:

t² – 13t + 36 = 0;

t₁ = 4, t₂ = 9.

В е р н е м с я к з а м е н е:

х² = 4; или

х = ±2.

х² = 9;

х = ±3.

О т в е т: –3; –2; 2; 3.

3. а) 2х² + 5х – 7 < 0;

у = 2х² + 5х – 7.

Ветви параболы направлены вверх.

2х² + 5х – 7 = 0;

D = 25 + 56 = 81;

x₁ = = –3,5, x₂ = = 1.

О т в е т: (–3,5; 1).

б) х² – 25 > 0;

у = х² – 25.

Ветви параболы направлены вверх.

х² – 25 = 0;

х² = 25;

х = ±5.

О т в е т: (–∞; –5) (5; +∞).

в) 5х² – 4х + 21 > 0;

у = 5х² – 4х + 21.

Ветви параболы направлены вверх.

5х² – 4х + 21 = 0;

D = 4 – 105 = –101 < 0.

Парабола не пересекает ось х.

О т в е т: (–∞; +∞).

4. а) (х + 9) (х – 5) > 0;

б) < 0;

х = –9; 5 – нули функции

у = (х + 9) (х – 5).

(х – 3) (х + 6) < 0;

х = –6; 3 – нули функции

у = (х – 3) (х + 6).

О т в е т: (–∞;–9) (5; +∞).

О т в е т: (–6; 3).

5. 2х² + tх + 2 = 0;

D = t² – 16.

Уравнение имеет два корня, если D > 0,

t² – 16 > 0;

t = ±4.

О т в е т: (–∞;–4) (4; +∞).

6.* = 2;

= 2.

Пусть х² + 6х + 5 = t, тогда получим:

= 2;

12 (t + 3) + 15t = 2t (t + 3);

12t + 36 + 15t = 2t² + 6t;

2t² – 21t – 36 = 0;

D = 441 + 288 = 729;

t₁ = = 12, t₂ = = .

В е р н е м с я к з а м е н е:

х² + 6х + 5 = 12; или

х² + 6х + 5 = ;

х² + 6х – 7 = 0;

х₁ = 1, х₂ = –7.

2х² + 12х + 13 = 0;

D₁ = 36 – 26 = 10;

х_{1, 2} = .

О т в е т: –7; 1; .

В а р и а н т 4

1. а) х³ – 49х = 0;

б) = 2;

х (х² – 49) = 0;

2(х² + 3) – (17 – 3х) = 2 · 8;

х = 0 или

О т в е т: –7; 0; 7.

х² – 49 = 0;

х² = 49;

х = ±7.

2х² + 6 – 17 + 3х = 16;

2х² + 3х – 27 = 0;

D = 9 + 216 = 225;

х₁ = = 3;

х₂ = = –4,5.

О т в е т: –4,5; 3.

2. х⁴ – 17х² + 16 = 0.

Пусть х² = t, тогда получим:

t² – 17t + 16 = 0;

t₁ = 1, t₂ = 16.

В е р н е м с я к з а м е н е:

х² = 1; или

х = ±1.

х² = 16;

х = ±4.

О т в е т: –4; –1; 1; 4.

3. а) 5х² + 3х – 8 > 0;

у = 5х² + 3х – 8.

Ветви параболы направлены вверх.

5х² + 3х – 8 = 0;

D = 9 + 160 = 169;

x₁ = = 1, x₂ = = –1,6.

О т в е т: (–∞;–1,6) (1; +∞).

б) х² – 49 < 0;

у = х² – 49.

Ветви параболы направлены вверх.

х² – 49 = 0;

х² = 49;

х = ±7.

О т в е т: (–7; 7).

в) 4х² – 2х + 13 < 0;

у = 4х² – 2х + 13.

Ветви параболы направлены вверх.

4х² – 2х + 13 = 0;

D = 1 – 52 = –51 < 0.

Парабола не пересекает ось х.

О т в е т: нет решений.

4. а) (х + 12) (х –7) < 0;

б) > 0;

х = –12; 7 – нули функции

у = (х + 12) (х – 7).

(х + 5) (х – 10) > 0;

х = –5; 10 – нули функции

у = (х + 5) (х – 10).

О т в е т: (–12; 7).

О т в е т: (–∞;–5) (10; +∞).

5. 25х² + tх + 1 = 0;

D = t² – 100.

Уравнение не имеет корней, если D < 0,

t² – 100 < 0,

t = ±10.

О т в е т: (–10; 10).

6.* = –1;

= –1.

Пусть х² + 4х = а, тогда получим:

= –1;

а – 5 + 9 (а + 3) + (а + 3) (а – 5) = 0;

а – 5 + 9а + 27 + а² – 2а – 15 = 0;

а² + 8а + 7 = 0;

а₁ = –1, а₂ = –7.

В е р н е м с я к з а м е н е:

х² + 4х = –1; или

х² + 4х = –7;

х² + 4х + 1 = 0;

D = 4 – 1 = 3;

х_{1, 2} = –2 ± .

х² + 4х + 7 = 0;

D = 4 – 7 = –3 < 0.

Решений нет.

О т в е т: –2 ± .

ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

У р о к 38 Дата:
Понятие уравнения с двумя переменными

Цели: ввести понятие уравнения с двумя переменными, его степени, корней и графика; формировать умение использовать данные понятия

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Назовите степень многочлена:

а) 3х⁷ + 2х³ – х + 1; в) ab³ – a²b + a³b⁴;

б) 3х⁵ + 2х³у³ – у²; г) 2m⁴n² + 3m³n⁴ – 6n⁵.

2. Подберите три пары чисел a и b таких, чтобы выполнялось равенство 2a – b = 5.

III. Объяснение нового материала.

Объяснение проводить согласно пункту учебника, включая устные задания, проверяющие степень усвоения материала.

1. В в е д е н и е п о н я т и я уравнения с двумя переменными.

З а д а н и е. Какие из следующих уравнений являются уравнениями с двумя переменными:

а) 2х³ + = 5х²; г) х² + 2у + 7 = z;

б) 2х + 3у³ = 7; д) + 5 = х – у;

в) ab + 3а = b⁴;

е) 2n + 4m² = ?

2. Р е ш е н и е у р а в н е н и я с двумя переменными.

З а д а н и е. Проверить, какие из следующих пар являются решениями уравнения х + 2у = 1.

а) ; б) (2; –1); в) (3; –1); г) .

3. С т е п е н ь у р а в н е н и я с двумя переменными.

З а д а н и е № 397.

4. Г р а ф и к у р а в н е н и я с двумя переменными.

Необходимо актуализировать знания учащихся о графиках известных им элементарных функций. Рассмотреть вопрос о том, как может быть построен график уравнения с двумя переменными.

Вопрос о графике уравнения х² + у² = r² целесообразно рассмотреть на следующем уроке.

IV. Формирование умений и навыков.

Основное внимание на этом уроке следует уделить понятию уравнения с двумя переменными и нахождению его корней подбором. На формирование этого умения направлена первая группа заданий. Во вторую группу войдут задания, связанные с графиком уравнений с двумя переменными. Более сложные задания на построение графиков лучше рассмотреть на следующем уроке.

Упражнения:

1-я г р у п п а.

1. № 395.

2. Найдите несколько решений уравнения:

а) 2х + у = 5; в) х² – ху = 1;

б) х – у = ; г) (х + 1) (у – 3) = 12.

2-я г р у п п а.

1. № 399 (а, в, д, ж), № 402 (а, б).

2. № 400.

В классе с высоким уровнем подготовки можно дополнительно выполнить № 411.

Р е ш е н и е

а) ху = 2.

Выразим переменную х через у: х = .

Чтобы х было целым числом, выражение должно принимать целые значения, то есть число 2 должно нацело делиться на у. Это условие будет выполнено, если у = ±1 и у = ±2. В этом случае х = ±2 и х = ±1 соответственно.

О т в е т: (2; 1), (–2; –1), (1; 2), (–1; –2).

б) х² – у² = 3.

Преобразуем выражение х² – у² по формуле разности квадратов:

(х – у) (х + у) = 3.

Если х и у – целые числа, то х – у и х + у – целые числа. Целые числа дают в произведении 3 в четырех случаях: 1 · 3; 3 · 1; –1 · (–3); –3 · (–1). Получим четыре системы уравнений:

Решая эти системы, находим нужные пары чисел.

О т в е т: (2; 1), (2; –1), (–2; –1), (–2; 1).

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какое уравнение называется уравнением с двумя переменными?

– Что называется степенью уравнения с двумя переменными?

– Что называется решением уравнения с двумя переменными?

– Сколько может иметь решений уравнение с двумя переменными?

– Графики каких уравнений с двумя переменными вы умеете строить?

Домашнее задание: № 396, № 399 (б, г, е, з), № 401.

У р о к 39 Дата:
Уравнение окружности

Цели: изучить уравнение окружности; формировать умение составлять это уравнение.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Является ли пара чисел (2; –1) решением уравнения:

а) х + 3у = 1; в) х² – у² = ;

б) – 2у = 3; г) 2ху + у = –3.

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Найдите два каких-нибудь решения уравнения:

а) 2х – у = 3; б) (у + 2) = 0.

2. Постройте график уравнения:

а) – у = 1; б) (х + 1) (у – 3) = 0.

В а р и а н т 2

1. Найдите два каких-нибудь решения уравнения:

а) х² + у = 7; б) (х – 1) = 0.

2. Постройте график уравнения:

а) 2х + у = ; б) (х – 2) (у + 1) = 0.

IV. Объяснение нового материала.

Сначала следует актуализировать знания учащихся об известных им графиках уравнений с двумя переменными. Затем разобрать, что является графиком уравнения х² + у² = r², и вывести общее уравнение окружности с центром в точке (a; b) и радиусом r:

(х – а)² + (у – b)² = r².

V. Формирование умений и навыков.

Задания можно разбить на две группы. Сначала учащиеся по данному уравнению окружности строят ее, а затем выполняют задания на составление уравнения окружности.

Упражнения:

1-я г р у п п а.

1. № 403 (устно).

2. Постройте график уравнения:

а) х² + у² = 4;

б) (х – 1)² + у² = 9;

в) (х + 2)² + (у – 3)² = 1.

2-я г р у п п а.

1. № 404 (а, б), № 405 (а, б).

2. № 407.

3. № 410.

В классе с высоким уровнем подготовки можно выполнить несколько дополнительных заданий.

1. № 406.

Р е ш е н и е

х² + у² – 6 (х – у) = 7.

Для того чтобы доказать, что графиком этого уравнения является окружность, его нужно привести к виду

(х – а)² + (у – b)² = r².

Выполним ряд преобразований:

х² + у² – 6х + 6у = 7;

х² – 6х + 9 – 9 + у² + 6у + 9 – 9 = 7;

(х – 3)² – 9 + (у + 3)² – 9 = 7;

(х – 3)² + (у + 3)² = 25.

Таким образом, графиком данного уравнения является окружность с центром в точке (3; –3) и радиусом 5.

2. № 409.

Р е ш е н и е

Центром окружности (х – 5)² + (у – 7)² = r² является точка с координатами (5; 7), то есть центр этой окружности находится в первой координатной четверти на расстоянии 5 от оси у и 7 – от оси х.

Чтобы данная окружность касалась оси х, ее радиус должен совпадать с расстоянием между центром и осью х, то есть r = 7. А чтобы окружность касалась оси у, ее радиус должен совпадать с расстоянием между центром и осью у, то есть r = 5.

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется решением уравнения с двумя переменными?

– Сколько решений имеет уравнение с двумя переменными?

– Что является графиком уравнения х² + у² = r²?

– Назовите координаты центра окружности и ее радиус, если она задана уравнением (х + 1)² + (у – 5)² = 49.

Домашнее задание: № 402 (в, г), № 404 (в), № 405 (в).

Д о п о л н и т е л ь н о: № 408.

У р о к 40 Дата:
Суть графического способа решения
систем уравнений

Цели: познакомить учащихся с системами уравнений, в которых хотя бы одно из них является уравнением второй степени; формировать умение решать такие системы графически.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Является ли пара чисел (–1; 3) решением системы уравнений:

2. На рисунке изображены графики функций у = 2х + 4 и у = –х + 1. Решите систему уравнений:

III. Объяснение нового материала.

1. Сначала необходимо актуализировать знания учащихся по следующим вопросам:

– понятие системы уравнений;

– решение системы уравнений;

– способы решения систем линейных уравнений.

2. Показать учащимся, что в некоторых ситуациях необходимо уметь решать не только системы линейных уравнений, но и системы, в которых хотя бы одно из уравнений имеет вторую степень.

3. Продемонстрировать графический способ решения систем уравнений (пример из учебника).

IV. Формирование умений и навыков.

Задания лучше разбить на две группы. Первая группа подготавливает учащихся к применению графического способа решения систем уравнений. А во вторую группу будут входить задания на непосредственное решение систем уравнений графически.

Упражнения:

1-я г р у п п а.

1. № 415.

2. На рисунке изображены графики функций у = –х² + 2 и у = . Решите систему уравнений:

3. Постройте график функции у = х² – 4. С помощью этого графика решите систему уравнений:

а) б)

2-я г р у п п а.

№ 416, № 417.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется решением системы уравнений?

– В чем состоит суть графического способа решения системы уравнений?

– Сколько решений имели системы уравнений, которые были рассмотрены на этом уроке?

– Может ли система уравнений не иметь решений?

Домашнее задание: № 417, № 523 (а, г, е).

У р о к 41 Дата:
Решение систем уравнений графически

Цели: продолжить формирование умения решать графически системы уравнений; дать наглядные представления о возможном количестве решений систем уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Сколько решений имеет система уравнений, если графики уравнений, входящих в нее, изображены ниже на рисунке?

а) б)

в)

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Решите графически систему уравнений:

а) б)

В а р и а н т 2

Решите графически систему уравнений:

а) б)

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. № 420, № 422.

2. № 421.

После выполнения № 421 можно поставить перед учащимися вопрос: сколько решений может иметь система уравнений? При поиске ответа на этот вопрос предложить им использовать графические представления.

В итоге, учащиеся должны прийти к выводу, что система уравнений может иметь одно, два, три, четыре решения, а может не иметь решений. К каждой из этих ситуаций учащиеся в тетрадях должны изобразить по несколько примеров.

О д н о р е ш е н и е:

Д в а р е ш е н и я:

Т р и р е ш е н и я:

Ч е т ы р е р е ш е н и я:

Н е т р е ш е н и й:

В классе с высоким уровнем подготовки можно дополнительно выполнить еще несколько номеров.

1. № 423.

Р е ш е н и е

Графиком уравнения х² – 4 = 0 будут две прямые: х = 2 и х = –2, а графиком уравнения у² – 9 = 0 – прямые у = 3 и у = –3.

Таким образом, данная система имеет 4 решения.

О т в е т: (–2; 3), (–2; –3), (2; 3), (2; –3).

2. № 525.

Р е ш е н и е

Графиком уравнения х² + у² = r² является окружность с центром в начале координат и радиусом r. Графиком уравнения у = – х² + 4 является парабола.

Для нахождения возможного количества решений этой системы нужно построить параболу и рассмотреть варианты расположения окружности х² + у² = r² относительно этой параболы.

В результате получаем следующие графические иллюстрации:

Таким образом, данная система уравнений может иметь два, три, четыре решения, а может не иметь решений.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– В чем состоит суть графического способа решения систем уравнений?

– Что такое решение системы уравнений?

– Сколько может иметь решений система уравнений?

Домашнее задание: № 419, № 524.

Д о п о л н и т е л ь н о: № 526.

У р о к 42 Дата:
Суть способа подстановки решения
систем уравнений второй степени

Цели: изучить способ подстановки решения систем уравнений второй степени; формировать умение применять этот способ.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Является ли пара чисел (–2; 3) решением системы уравнений?

а) б)

III. Объяснение нового материала.

Сначала необходимо актуализировать знания учащихся, предложив им решить способом подстановки систему линейных уравнений:

Можно разбить учащихся на два варианта и к доске вызвать двоих учеников. Один вариант решает эту систему, выражая переменную х через у, а другой – переменную у через х.

х – 12 + 6х = –5;

7х = 7;

х = 1;

у = 4 – 2 · 1 = 2.

О т в е т: (1; 2).

6у – 10 + у = 4;

7у = 14;

у = 2;

х = 3 · 2 – 5 = 1.

О т в е т: (1; 2).

После того как учащиеся вспомнили, в чем состоит способ подстановки решения систем линейных уравнений, сообщить им, что этот способ может применяться и для решения систем уравнений второй степени.

Разобрав примеры из учебника, учащиеся должны заметить, что в системе линейных уравнений можно выражать переменную из любого уравнения, а в системе уравнений второй степени это не всегда удается.

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. № 429 (а, в), № 431 (а, в).

2. № 433 (а, в, д).

Перед решением каждой из систем можно спрашивать учащихся о возможном количестве ее корней. Ответ на этот вопрос учащиеся могут получить, исходя из графических представлений. Затем свои предположения они проверяют аналитически.

Н а п р и м е р, система (№ 433 (а)) состоит из уравнений, задающих прямую и параболу. Графики этих уравнений могут пересекаться в одной и двух точках, а могут и не пересекаться. Значит, данная система может иметь либо один, либо два корня, а может не иметь корней.

После таких рассуждений решаем эту систему уравнений:

у = 2х + 2;

5х² – (2х + 2) = 1;

5х² – 2х – 3 = 0;

D₁ = 1 + 15 = 16;

x₁ = = 1 y₁ = 2 ∙ 1 + 2 = 4;

x₂ = = –y₂ = 2 ∙ + 2 = .

Получаем, что данная система имеет два решения.

О т в е т: (1; 4), .

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сколько решений может иметь система линейных уравнений?

– Сколько решений может иметь система уравнений второй степени?

– Опишите, какие действия нужно совершить, чтобы решить систему уравнений второй степени способом подстановки.

Домашнее задание: № 430, № 431 (б, г), № 433 (б, г, е).

У р о к 43 Дата:
Решение систем уравнений второй степени
способом подстановки

Цели: продолжить формирование умения решать системы уравнений второй степени способом подстановки.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Какие из пар чисел (–2; 1), (3; 6), (1; –2) являются решением системы уравнений

III. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. № 434 (а, д), № 435 (а), № 436 (а), № 437 (а).

2. № 440.

3. № 441.

Р е ш е н и е

б)

Выразим из второго уравнения переменную у и подставим в первое уравнение:

2у = –3х – 1;

у = ;

х² + х ∙ + 3 ∙ = 9;

2х² – 3х² – х + 9х + 3 = 18;

–х² + 8х – 15 = 0;

х² – 8х + 15 = 0;

x₁ = 3 y₁ = = 5;

x₂ = 5 y₂ = = –8.

О т в е т: (3; –5), (5; –8).

Сильным в учебе учащимся можно дополнительно дать карточки.

К а р т о ч к а № 1

1. Решите систему уравнений:

2. При каких значениях а система уравнений имеет единственное решение?

К а р т о ч к а № 2

1. Решите систему уравнений:

2. При каких значениях р система уравнений не имеет решений?

Р е ш е н и е заданий карточки № 1

1. При решении этой системы можно воспользоваться методом замены.

Пусть = n и = m. Получим систему:

п = 5 – т;

(5 – т)² + т² = 13;

25 – 10т + т² + т² = 13;

2т² – 10т + 12 = 0;

т² – 5т + 6 = 0;

т₁ = 2 п₁ = 3;

т₂ = 3 п₂ = 2.

В е р н е м с я к з а м е н е:

= 3, то есть х = ; = 2, то есть у = ;

= 2, то есть х = ; = 3, то есть у = .

О т в е т: .

2. Выразим из второго уравнения системы переменную х и подставим в первое уравнение:

х = а – у;

(а – у)² + у² = 9;

а² – 2ау + у² + у² = 9;

2у² – 2ау + а² – 9 = 0.

Чтобы система имела единственное решение, это уравнение должно иметь единственный корень, то есть дискриминант должен быть равен нулю.

D₁ = а² – 2 (а² – 9) = 18 – а²;

18 – а² = 0;

а² = 18;

а = ±.

О т в е т: ±.

Р е ш е н и е заданий карточки № 2

1. Из первого уравнения выразим переменную х и подставим во второе уравнение системы:

x = ;

= 2.

Пусть = t, тогда получим уравнение:

t + = 2;

t² – 2t + 1 = 0;

t = 1.

В е р н е м с я к з а м е н е:

= 1;

10 – 3у = 2у;

5у = 10;

у = 2 х = = 2.

О т в е т: (2; 2).

2. Выразим из первого уравнения переменную у и подставим во второе уравнение системы:

у = р – х;

4 (р – х) = х²;

х² + 4х – 4р = 0.

Чтобы система не имела решений, это уравнение не должно иметь корней, то есть дискриминант должен быть меньше нуля:

D₁ = 4 + 4р;

4 + 4р < 0;

4р < –4;

р < –1.

О т в е т: (–∞; –1).

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется решением системы уравнений?

– Сколько решений может иметь система уравнений второй степени?

– В чем состоит способ подстановки решения систем уравнений второй степени?

Домашнее задание: № 434 (б, г), № 435 (б), № 437 (б), № 439,
№ 442 (а).

У р о к 44 Дата:
Использование способа сложения
при решении систем уравнений второй степени

Цели: изучить способ сложения решения систем уравнений второй степени; формировать умение применять этот способ.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Является ли пара чисел х = 6, у = –8 решением системы уравнений

2. Решите систему уравнений:

а) б)

В а р и а н т 2

1. Является ли пара чисел х = 7, у = –6 решением системы уравнений:

2. Решите систему уравнений:

а) б)

III. Объяснение нового материала.

Сначала необходимо актуализировать знания учащихся о способе сложения при решении систем линейных уравнений. Предложить им решить данным способом систему, проговаривая все действия, которые они при этом совершают.

Умножим правую и левую части первого уравнения на –3. Получим систему:

Сложим почленно левые и правые части уравнений полученной системы:

–14у = –14;

у = 1.

Подставим найденное значение переменной у в одно из уравнений исходной системы, например, в первое:

2х + 3 · 1 = 1;

2х = –2;

х = –1.

О т в е т: (–1; –1).

Затем сообщить учащимся, что способ сложения иногда можно применять и при решении систем уравнений второй степени. Показать это на конкретном примере:

Умножим правую и левую части первого уравнения на –2. Получим систему:

Сложим почленно левые и правые части уравнений полученной системы:

–8х² + 3х = –5;

8х² – 3х – 5 = 0;

х₁ = 1, х₂ = .

Подставим найденные значения переменной х во второе уравнение исходной системы:

3 · 1 – 2у = –1;

2у = 4;

у = 2.

О т в е т: (1; 2), .

IV. Формирование умений и навыков.

1. Решите систему уравнений сначала способом подстановки, а затем способом сложения, сравните результаты.

Какой способ в данном случае рациональнее?

2. Решите систему уравнений, используя способ сложения:

а) б)

Можно ли решить эти системы способом подстановки?

3. № 449 (а).

4. Решите систему уравнений:

Р е ш е н и е

Сложим почленно левые и правые части уравнений данной системы. Получим уравнение:

2х + 2у = –12;

х + у = –6.

Данная система уравнений будет равносильна системе, составленной из полученного уравнения и любого уравнения исходной системы:

Эту систему уравнений можно решить способом подстановки:

– 6 – у² – 6у = 2;

у² + 6у +8 = 0;

у₁ = –2 х₁ = 2 – 6 = –4;

у₂ = –4 х₂ = 4 – 6 = –2.

О т в е т: (–4; –2), (–2; –4).

Сильным в учебе учащимся можно предложить дополнительно решить № 534.

Р е ш е н и е

Чтобы данная система уравнений имела решение, нужно, чтобы решения системы, составленной из первых двух уравнений, являлись решениями третьего уравнения.

Сложим почленно левые и правые части уравнений данной системы. Получим уравнение:

у² + 4у – 12 = 0;

у₁ = 2, у₂ = –6.

Подставим найденные значения переменной у в первое уравнение системы. Получим:

3х – 4 · 2 = –2;

3х = 6;

х = 2.

3х + 24 = –2;

3х = –26;

х = .

Подставляя полученное решение (2; 2) в третье уравнение исходной системы, убеждаемся, что она не имеет решений.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Опишите алгоритм решения систем уравнений второй степени способом сложения.

– Любую ли систему уравнений второй степени можно решить способом сложения?

Домашнее задание: № 445, № 448, № 449 (б).

У р ок 45 Дата:
Решение систем уравнений второй степени
различными способами

Цели: обобщить и систематизировать знания учащихся о способах решения систем уравнений второй степени.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Решите систему уравнений способом сложения:

а) б)

III. Формирование умений и навыков.

Все задания можно разбить на две группы. В классе с невысоким уровнем подготовки задания второй группы решать не обязательно.

Упражнения:

1-я г р у п п а.

1. № 443 (а, в).

2. № 444.

3. № 447 (а).

Р е ш е н и е

Из второго уравнения выразим переменную х и подставим в первое уравнение системы:

Пусть у² = а, тогда получим уравнение:

+ а – 12 = 0;

а² – 12а + 36 = 0;

(а – 6)² = 0;

а = 6, то есть у² = 6;

у = ±.

Тогда соответствующие значения х будут равны .

О т в е т: (; –), (–; ).

После решения этой системы предложить учащимся найти другой способ. Если они не догадаются, то помочь им.

Умножим обе части второго уравнения на 2 и сложим почленно левые и правые части уравнений полученной системы:

х² + 2ху + у² = 0;

(х + у)² = 0;

х + у = 0;

х = –у.

Подставим найденное значение х во второе уравнение:

–у² = –6;

у² = 6;

у₁ = х₁ = –;

у₂ = –х₂ = .

Заметим, что этот способ является более рациональным и интересным.

2-я г р у п п а.

1. № 451.

Р е ш е н и е

Известно, что прямая у = kx проходит через точку М (1; 2). Найдем значение k:

2 = k · 1 k = 2.

Таким образом, нужно найти точки пересечения графиков уравнений (х – 4)² + (у – 6)² = 25 и у = 2х. Для этого нужно решить систему:

(х – 4)² + (2х – 6)² = 25;

х² – 8х + 16 + 4х² – 24х + 36 – 25 = 0;

5х² – 32х + 27 = 0;

х₁ = 1 у₁ = 2 · 1 = 2;

х₂ = 5,4 у₂ = 2 · 5,4 = 10,8.

Ответ: (1; 2), (5,4; 10,8).

2. № 450.

Р е ш е н и е

Парабола у = х² + 1 и прямая у = kx имеют только одну общую точку, если система имеет единственное решение.

Подставим значение у = kx в первое уравнение:

kx = х² + 1;

х² – kx + 1 = 0.

Составленная система будет иметь единственное решение, если это квадратное уравнение имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю.

D = k² – 4;

k² – 4 = 0;

k² = 4;

k = ±2.

О т в е т: k = 2 и k = –2.

3. Решите систему уравнений:

Р е ш е н и е

Сложим почленно правые и левые части уравнений системы. Получим:

х² + у² + 2ху + х + у = 12;

(х + у)² + х + у = 12.

С д е л а е м з а м е н у: х + у = а – и решим полученное уравнение:

а² + а – 12 = 0;

а₁ = –4, а₂ = 3.

В е р н е м с я к з а м е н е:

х + у = –4 х = –у – 4;

х + у = 3 х = 3 – у.

Подставляя поочередно данные выражения во второе уравнение исходной системы, получим:

у – 4 + у – у (у + 4) = 5;

– 4 – у² – 4у = 5;

у² + 4у + 9 = 0;

D₁ = 4 – 9 = –5.

Нет решений.

3 – у + у + у (3 – у) = 5;

3 + 3у – у² = 5;

у² – 3у + 2 = 0;

у₁ = 1, у₂ = 2.

Тогда х₁ = 3 – 1 = 2,

х₂ = 3 – 2 = 1.

О т в е т: (2; 1), (1; 2).

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется решением системы уравнений?

– Опишите способ подстановки решения систем уравнений второй степени.

– Опишите алгоритм решения систем уравнений второй степени способом сложения.

– Любое ли уравнение второй степени можно решить способом подстановки? способом сложения?

Домашнее задание: № 443 (б, г), № 446, № 447 (б).

Д о п о л н и т е л ь н о: № 438.

У р о к 46 Дата:
Суть способа решения задач
с помощью систем уравнений

Цели: рассмотреть, как могут решаться текстовые задачи с помощью систем уравнений второй степени; формировать умение решать такие задачи.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Решите систему уравнений:

а) б)

III. Объяснение нового материала.

Учащиеся уже умеют применять системы линейных уравнений для решения текстовых задач. Поэтому главным при изучении данного материала будет обобщение и систематизация их знаний о решении таких задач, а также закрепление методов решения систем уравнений второй степени.

Для демонстрации принципа решения задач с помощью систем уравнений второй степени достаточно привести пример из учебника.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке главное, чтобы учащиеся усвоили схему решения задач с помощью систем уравнений второй степени. Необходимо дать им под запись примерный план, согласно которому можно осуществлять решение таких задач.

1. Прочитать условие задачи и понять его.

2. Указать объекты, о которых идет речь в задаче.

3. Одну из величин обозначить за х, а другую – за у.

4. Составить систему уравнений по условию задачи.

5. Решить эту систему уравнений.

6. Интерпретировать полученные результаты.

На первых порах необходимо, чтобы учащиеся вслух комментировали решение задач согласно записанному плану.

Упражнения:

1. № 455, № 457.

2. № 460.

Покажем, как может быть решена эта задача по плану, приведенному выше.

Р е ш е н и е

1) В условии речь идет о прямоугольном треугольнике. Требуется найти его площадь.

2) Известна гипотенуза треугольника и его периметр. Для нахождения площади нужно знать его катеты.

3) Обозначим один катет треугольника через х см, а другой – через у см.

4) Зная периметр треугольника, составим уравнение:

х + у +37 = 84.

По теореме Пифагора составим второе уравнение:

х² + у² = 37².

Получим систему уравнений:

5) Решим эту систему уравнений способом подстановки:

47² – 94у + у² + у² – 37² = 0;

2у² – 94у + (47 – 37) (47 + 37) = 0;

2у² – 94у + 10 · 84 = 0;

у² – 47у + 420 = 0;

у₁ = 35 х₁ = 12;

у₂ = 12 х₂ = 35.

6) Получаем, что катеты треугольника равны 12 см и 35 см. Найдем его площадь:

S = · 12 · 35 = 210 (см²).

О т в е т: 210 см².

3. № 463.

При решении этой задачи учащимся поможет рисунок, сделанный согласно ее условию.

S = 30 см²

2S₁ + 2S₂ = 122 см²

Пусть стороны прямоугольника равны х см и у см. Учитывая, что его площадь равна 30 см², получим уравнение: ху = 30.

S₁ = х² см², S₂ = у² см².

Получим уравнение 2х² + 2у² = 122 или х² + у² = 61.

Составим систему уравнений:

Находим ее решения: (–6; –5), (6; 5), (–5; –6), (5; 6).

Первое и третье решения не подходят по условию задачи. Значит, стороны прямоугольника равны 5 см и 6 см.

О т в е т: 5 и 6 см.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какие существуют способы решения систем уравнений второй степени?

– В чем заключается каждый из этих способов?

– Опишите план решения текстовой задачи с помощью системы уравнений.

Домашнее задание: № 456, № 458, № 459.

У р о к 47 Дата:
Решение задач на движение с помощью
систем уравнений второй степени

Цели: формировать умение решать задачи на движение с помощью систем уравнений второй степени.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Периметр прямоугольника равен 20 см, а его площадь равна 21 см². Пусть х и у – стороны этого прямоугольника. Какая из систем соответствует условию задачи?

а) б) в)

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа.

2. Прямоугольный участок земли площадью 2080 м² обнесен изгородью, длина которой равна 184 м. Найдите длину и ширину участка.

В а р и а н т 2

1. Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 144. Найдите эти числа.

2. Прямоугольный участок земли площадью 3250 м² обнесен изгородью, длина которой равна 230 м. Найдите длину и ширину участка.

IV. Формирование умений и навыков.

Сначала необходимо актуализировать знания учащихся о решении задач на движение, выделив р я д э т а п о в.

1) Анализ условия:

– Какие объекты рассматриваются в задаче?

– Какое движение описано в задаче (однонаправленное, движение навстречу, по кругу и т. д.)?

– Значения каких величин известны?

2) Выделение процессов, которые описаны в задаче.

3) Выбор неизвестных величин и заполнение таблицы.

4) Составление системы уравнений.

5) Решение системы уравнений.

6) Интерпретация и проверка полученного решения.

Как реализуются описанные этапы, можно разобрать на примере задачи № 472.

Р е ш е н и е

1) В задаче описано движение двух пешеходов навстречу друг другу. Известно расстояние между пунктами и расстояние, которое прошли пешеходы за 4 часа.

2) Выделим два процесса:

– реальное движение пешеходов;

– движение при условии выхода одного из пешеходов на 1 ч раньше.

3) Пусть х км/ч – скорость первого пешехода и у км/ч – скорость второго пешехода.

Заполним две таблицы:

4) Известно, что расстояние от А до В равно 40 км, поэтому получим уравнение: 4х + 4у = 36. Известно, что при движении с заданным условием первый пешеход был в пути на 1 ч дольше, то есть получим уравнение: = 1.

Составим систему уравнений:

5) Решим ее способом подстановки:

20у – 20 (9 – у) – у (9 – у) = 0;

20у – 180 + 20у – 9у + у² = 0;

у² + 31у – 180 = 0;

у₁ = 5 х₁ = 9 – 5 = 4;

у₂ = – 36 (не подходит по смыслу задачи).

6) Получаем скорости пешеходов: 4 км/ч и 5 км/ч.

О т в е т: 4 и 5 км/ч.

Упражнения:

1. № 473, № 547.

2. № 461.

Р е ш е н и е

Пусть х км/ч – скорость первого отряда и у км/ч – скорость второго отряда.

Заполним таблицу:

4х – 4у = 4,8.

На рисунке ОА = 4х и ОВ = 4у. По теореме Пифагора, получим уравнение:

(4х)² + (4у)² = 24².

Составим систему уравнений:

Решая систему способом подстановки, находим, что х = 4,8 и у = 3,6 (другое решение является отрицательным).

О т в е т: 4,8 и 3,6 км/ч.

Сильным в учебе учащимся можно дополнительно дать выполнить № 548.

Р е ш е н и е

Пусть х км/ч – скорость первого автомобиля, а у км/ч – скорость второго.

В первую таблицу занесем данные о прохождении каждым автомобилем всего пути, а во вторую – об их движении после встречи.

N через 1,25 ч, а второй в М через 0,8 ч, то первый на весь путь тратит на 1,25 – 0,8 = 0,45 ч больше. Получим уравнение:

= 0,45.

После встречи первый автомобиль проходит 1,25х км, а второй – 0,8у км. Получим уравнение:

1,25х + 0,8у = 90.

Составим систему:

Решая эту систему, находим, что х = 40 и у = 50.

О т в е т: 40 км/ч и 50 км/ч.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Опишите различные способы решения систем уравнений второй степени.

– Перечислите этапы решения задач на движение.

– Какие виды движения могут описываться в задаче?

– В чем заключается интерпретация полученного решения?

Домашнее задание: № 462, № 474.

Д о п о л н и т е л ь н о: № 549.

У р о к 48 Дата:
Решение задач на работу с помощью
систем уравнений второй степени

Цель: формировать умение решать задачи на работу с помощью систем уравнений второй степени.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Объясните, почему данные системы уравнений не имеют решений.

а) б)

III. Актуализация знаний.

Текстовые задачи на работу вызывают значительные затруднения у учащихся. Поэтому необходимо вспомнить основной принцип их решения и важные теоретические положения, которые пригодятся при решении таких задач.

Задачи на работу, как и задачи на движение, можно решать при помощи таблицы, выделяя предварительно все описанные процессы.

О б о з н а ч е н и я: А – работа (часто принимается за единицу);

k – производительность;

t – время.

Учащиеся должны осознать и запомнить следующее:

– k = (провести аналогию со скоростью при движении);

– если k₁ – производительность первого рабочего, а k₂ – производительность второго рабочего, то при их совместной работе производительность равна k₁ + k₂.

Затем можно выделить этапы решения задач на работу:

1) Анализ условия.

2) Выделение процессов, о которых идет речь в задаче.

3) Выбор неизвестных величин и заполнение таблицы.

4) Составление системы уравнений.

5) Решение системы уравнений.

6) Интерпретация полученных решений.

Как используется все вышеизложенное, необходимо продемонстрировать учащимся при решении конкретной задачи, например № 467.

Р е ш е н и е

В задаче можно выделить три процесса:

– отдельная работа первого комбайнера;

– отдельная работа второго комбайнера;

– совместная работа двух комбайнеров.

Обозначим за х и у производительности первого и второго комбайнеров соответственно.

Заполним таблицу:

Известно, что первый комбайнер делает всю работу на 24 ч быстрее, поэтому получим уравнение:

= 24.

Всю работу мы приняли за единицу и нашли ее выражение при совместной работе комбайнеров:

35 (х + у) = 1.

Составим систему уравнений:

1 – 35у – 35у = 24у (1 – 35у);

1 – 70у – 24у + 24 · 35у² = 0;

24 · 35у² – 94у + 1 = 0;

D₁ = 47² – 24 · 35 = 1369;

y₁ = x₁ = ;

y₂ = x₂ = .

Первое решение не подходит по смыслу задачи.

Из второго решения получаем, что первый комбайнер может убрать весь урожай за 60 ч, а второй – за 84 ч.

О т в е т: 60 ч и 84 ч.

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. № 468.

2. № 545.

3. Два строителя выложили стену из кирпичей за 14 дней, причем второй присоединился к первому через 3 дня после начала работы. Известно, что первому строителю на выполнение всей работы потребовалось бы на 6 дней больше, чем второму. За сколько дней мог бы выложить эту стену каждый строитель, работая отдельно?

Р е ш е н и е

Выделим четыре процесса:

– выполнение всей работы одним первым строителем;

– выполнение всей работы одним вторым строителем;

– трехдневная работа одного первого строителя;

– совместная работа строителей в течение 11 дней.

Заполним таблицу:

Известно, что первый строитель всю работу делает на 6 дней дольше. Получим уравнение:

= 6.

За три дня первый строитель сделал 3х всей работы, а затем они совместно сделали 11 (х + у) всей работы, закончив ее. Получим уравнение:

3х + 11 (х + у) = 1.

Составим систему:

= 6;

1 – 14х – х = 6х (1 – 14х);

84х² – 31х + 1 = 0;

D = 961 – 336 = 625;

х₁ = y₁ = ;

х₂ = (не подходит по смыслу задачи).

О т в е т: 28 дней и 22 дня.

V. Итоги урока.

– Перечислите этапы решения задачи на работу.

– Что такое производительность? Как она вычисляется?

– Чему равна производительность при совместной работе?

Домашнее задание: № 466, № 546.

У р о к 49 Дата:
Решение различных задач с помощью
систем уравнений второй степени

Цель: продолжить формировать умения решать задачи с помощью систем уравнений второй степени.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Расстояние от пункта А до пункта В равно 60 км. Один пешеход проходит его на 2 ч быстрее, чем другой. Если пешеходы выйдут одновременно навстречу друг другу, то встретятся через 5 ч.

Пусть х км/ч – скорость первого пешехода и у км/ч – скорость второго пешехода. Какая из систем уравнений соответствует условию задачи?

а) б) в)

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 18 км, вышли одновременно навстречу друг другу две группы туристов и встретились через 2 ч. Определите, с какой скоростью шла каждая группа, если известно, что на прохождение всего пути одной из них потребовалось на 54 мин больше, чем другой.

2. Один из двух подъемных кранов равной мощности может разгрузить баржу на 3 ч быстрее, чем другой. При совместной работе им потребовалось бы затратить на разгрузку баржи 6 ч 40 мин. Сколько времени требуется каждому крану, чтобы разгрузить баржу?

В а р и а н т 2

1. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 360 км, выехали одновременно два автомобиля. Через 3 ч оказалось, что первый из них прошел на 30 км больше, чем второй. Найдите скорость каждого автомобиля, если известно, что на весь путь первый автомобиль затратил на полчаса меньше, чем второй.

2. Два тракториста, работая совместно, могут вспахать поле за 2 ч 40 мин. Сколько времени потребуется каждому трактористу в отдельности для выполнения этой работы, если известно, что первый из них может выполнить ее на 4 ч быстрее второго?

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 464, № 470.

2. № 469.

Р е ш е н и е

Пусть х р. вкладчик положил в банк под у % годовых. Через год ему было начислено х · 0,01у р. Получим уравнение:

0,01ху = 400.

Через два года до начисления процентов на счету будет (х + 400) р., а после начисления процентов стало (х + 400) + (х + 400) · 0,01у р. Получим уравнение:

х + 400 + 0,01у (х + 400) = 5832.

Составим систему уравнений:

О т в е т: 5000 р., 8 %.

3. № 475.

4. № 477.

Р е ш е н и е

Пусть первоначальный раствор содержал х г воды и у него была у %-ная концентрация.

Весь раствор имел массу (50 + х) г и в нем было у % соли. Получим уравнение:

(50 + х) · 0,01у = 50.

После добавления воды масса раствора будет (200 + х) г и у него станет (у – 7,5) %-ная концентрация. Соли в этом растворе останется 50 г. Получим уравнение:

(200 + х) · 0,01 (у – 7,5) = 50.

Составим систему уравнений:

О т в е т: 200 г; 20 %.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какие существуют способы решения систем уравнений? Опишите их.

– Перечислите этапы решения задач на движение и задач на работу.

Домашнее задание: № 465, № 471, № 476

У р о к 51 Дата:

Решение линейных неравенств
с двумя переменными

Цели: ввести понятие неравенства с двумя переменными и его решения; формировать умение решать линейные неравенства с двумя переменными.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Какие из следующих чисел: –2; –1; 0; 2; 3 – являются решением неравенства х³ – 2х ≥ 1?

2. Подберите два каких-нибудь числа разных знаков, чтобы их сумма была больше 5.

III. Объяснение нового материала.

Объяснение нового материала проводить согласно пункту учебника. Сначала ввести понятие неравенства с двумя переменными и его решения, а затем разобрать, как решается линейное неравенство с двумя переменными.

Вопрос о решении неравенств второй степени с двумя переменными целесообразно рассмотреть на следующем уроке.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 482, № 483 (а, в).

2. № 484 (а, г), № 485.

3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемое неравенством:

а) х < 2; в) –1 ≤ х ≤ 4;

б) у ≥ –3; г) –2 < у < 2.

4. № 492 (а).

Р е ш е н и е

ху ≥ 0.

Произведение двух чисел является неотрицательным в том случае, если эти числа имеют одинаковые знаки. Значит, когда

Первой системе соответствует первая координатная четверть, а другой системе – третья координатная четверть.

Сильным в учебе учащимся можно предложить дополнительно выполнить № 556.

Р е ш е н и е

| х | + | у | ≤ 1;

| у | ≤ 1 – | х |.

Построим график уравнения | у | = 1 – | х |. Для этого нужно раскрыть знаки модуля.

Получим четыре случая:

1) х ≥ 0, у ≥ 0;

у = 1 – х.

2) х ≥ 0, у < 0;

–у = 1 – х;

у = х – 1.

3) х < 0, у ≥ 0;

у = 1 + x.

4) x < 0, y < 0;

–у = 1 + х;

у = –х – 1.

Объединяя все эти случаи, получим фигуру:

Данному неравенству удовлетворяет множество точек внутренней области этой фигуры.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется решением неравенства с двумя переменными?

– Сколько решений может иметь неравенство с двумя переменными?

– Как найти множество решений линейного неравенства с двумя переменными?

Домашнее задание: № 483 (б, г), № 484 (б, в), № 486.

У р о к 52 Дата:
Решение неравенств второй степени
с двумя переменными

Цель: формировать умение решать неравенства второй степени с двумя переменными.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Является ли пара чисел (–1; 2) решением неравенства:

а) 3х + 2у – 1 > 0;

б) 2х² + 4у < 12;

в) х² + у² – 2х ≥ 7?

2. Найдите два каких-нибудь решения неравенства:

а) у ≥ х² – 3;

б) х² + у² < 7.

III. Объяснение нового материала.

Разобрать примеры из учебника.

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:

а) у ≤ х² + 2; г) ху < 8;

б) у > (х + 1)² – 3; д) х² + у² ≥ 4;

в) ху ≥ 2; е) (х – 2)² + (у + 1)² < 16.

2. № 490 (а), № 491 (б).

3. № 489.

Р е ш е н и е

а) х² + у² – 6х – 4у + 13 ≤ 0.

Преобразуем выражение, стоящее в левой части неравенства, выделив в нем квадраты двучленов:

х² – 6х + 9 – 9 + у² – 4у + 4 – 4 + 13 ≤ 0;

(х – 3)² + (у – 2)² ≤ 0.

Сумма квадратов двух выражений не может быть отрицательна. Поэтому данное неравенство выполняется только в том случае, если выражение (х – 3)² + (у – 2)² равно нулю, то есть при х = 3 и у = 2. Значит, данным неравенством задается всего одна точка с координатами (3; 2).

б) х² – 4х – у + 5 ≥ 0;

у ≤ х² – 4х + 5;

у ≤ х² – 4х + 4 – 4 + 5;

у ≤ (х – 2)² + 1.

Значит, данным неравенством задается множество точек, принадлежащих параболе у = (х – 2)² + 1, и множество точек, расположенных ниже ее.

В классе с высоким уровнем подготовки можно дополнительно выполнить № 554.

Р е ш е н и е

V. Итоги урока.

– Что называется решением неравенства с двумя переменными?

– Как решаются линейные неравенства с двумя переменными?

– Как задается неравенством множество точек координатной плоскости, расположенных:

а) выше (ниже) параболы у = 2х² – 3х;

б) внутри окружности с центром в начале координат и радиусом 7?

Домашнее задание: № 487, № 488, № 490 (б), № 491 (а).

У р о к 53 Дата:
Решение систем линейных неравенств
с двумя переменными

Цели: ввести понятие решения системы неравенств с двумя переменными; формировать умение решать системы линейных неравенств с двумя переменными.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:

а) у > 2х – 3; б) у ≤ (х + 2)².

2. Задайте неравенством с двумя переменными множество точек заштрихованной области, изображенной на рисунке.

В а р и а н т 2

1. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства:

а) у ≤ 1 – х; б) (х – 1)² + у² > 4.

2. Задайте неравенством с двумя переменными множество точек заштрихованной области, изображенной на рисунке.

III. Объяснение нового материала.

На этом уроке следует изучить только решение систем линейных неравенств с двумя переменными, поскольку данная тема зачастую оказывается трудна для восприятия учащихся.

1. Рассмотреть несколько различных систем неравенств:

Взять пару чисел (1; 2) и проверить, является ли она решением этих систем.

2. Ввести понятие решения системы неравенств с двумя переменными.

3. Рассмотреть второй и третий примеры из учебника.

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. № 496.

2. № 497 (а, в).

3. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

а) б) в)

4. № 499 (а).

Сильным в учебе учащимся можно предложить дополнительно выполнить № 558.

Р е ш е н и е

Сначала изобразим множество решений первого неравенства системы:

Чтобы система неравенств задавала на координатной плоскости полосу, необходимо выполнение двух условий:

1) прямая у = kх + b должна быть параллельна прямой у = 2х + 3, то есть k = 2;

2) прямая у = kх + b должна располагаться ниже прямой у = 2х + 3, то есть коэффициент b должен быть меньше 3, например: b = 0 или b = –2.

Чтобы данная система неравенств задавала на координатной плоскости угол, достаточно, чтобы прямая у = kх + b была непараллельна прямой у = 2х + 3, то есть k ≠ 2.

V. Итоги урока.

– Что называется решением системы неравенств с двумя переменными?

– Как решаются системы линейных неравенств с двумя переменными?

Домашнее задание: № 497 (б, г), № 498, № 499 (б).

У р о к 54 Дата:
Решение систем неравенств второй степени
с двумя переменными

Цель: формировать умение решать системы неравенств второй степени с двумя переменными.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Является ли решением системы неравенств пара чисел:

а) (5; –3); б) (3; 1); в) (–1; 2)?

III. Объяснение нового материала.

Сначала необходимо актуализировать знания учащихся о решении систем линейных неравенств с двумя переменными, а затем разобрать пример 1 из учебника.

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы:

а) в)

б) г)

Р е ш е н и е

а) б)

в) г)

2. № 501 (а).

Р е ш е н и е

Изобразим на координатной плоскости множество решений этой системы, предварительно преобразовав ее:

Таким образом, множество решений этой системы неравенств задает треугольник ОАВ. Для нахождения его площади нужно знать высоту ВН, то есть абсциссу точки В. Точка В является точкой пересечения прямых у = х и у = 5 – х. Решим уравнение:

х = 5 – х;

2х = 5;

х = 2,5.

Значит, в треугольнике ОАВ АО = 5 и ВН = 2,5.

S = ∙ AO ∙ BH;

S = ∙ 5 ∙ 2,5 = 6,25.

О т в е т: 6,25 ед².

3. № 502 (б).

4. № 503.

Р е ш е н и е

Построим искомый угол:

Получим систему неравенств:

Сильным в учебе учащимся можно предложить дополнительно выполнить несколько номеров.

1. № 577 (а).

Р е ш е н и е

Неравенство х² + у² ≤ 25 задает круг с центром в начале координат и радиусом 5. Неравенство ху ≤ 0 задает вторую и четвертую координатные четверти.

На рисунке показано множество решений этой системы неравенств:

2. № 559 (б).

Р е ш е н и е

х (х² – у) ≤ 0.

Произведение двух выражений будет отрицательным, если эти выражения имеют разные знаки. То есть это неравенство равносильно совокупности двух систем:

Изобразим на координатной плоскости множества решений каждой из систем:

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется решением неравенства с двумя переменными?

– Что называется решением системы неравенств с двумя переменными?

– Как решаются неравенства с двумя переменными?

– Как решаются системы неравенств с двумя переменными?

Домашнее задание: № 500 (б, г), № 501 (б), № 502 (а).

У р о к 55 Дата:
Итоговый урок по теме «Уравнения
и неравенства с двумя переменными»

Цели: обобщить и систематизировать знания учащихся по данной теме; закрепить умения решать уравнения, неравенства и их системы с двумя переменными.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Какие из пар чисел (0; 3), (1; –2), (–1; 1) являются решениями данных систем?

а) в)

б) г)

III. Формирование умений и навыков.

Предложить учащимся карточки-задания разного уровня сложности. Учащиеся выполняют решения самостоятельно, а учитель осуществляет контроль и в случае необходимости дает им консультации.

К а р т о ч к а № 1

1. Докажите, что пара чисел (–5; 2) не является решением системы уравнений

2. Решите систему уравнений:

а) б)

3. Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 144. Найдите эти числа.

4. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

а) б)

К а р т о ч к а № 2

1. Решите систему уравнений:

а) б)

2. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы у = 4х² – 2 и прямой 3х – 2у = –1.

3. Произведение двух чисел на 13 больше их суммы. Если из первого числа вычесть утроенное второе число, то получится 9. Найдите эти числа.

4. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

а) б)

К а р т о ч к а № 2

1. Решите систему уравнений:

а) б)

2. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы у = 4х² – 2 и прямой 3х – 2у = –1.

3. Произведение двух чисел на 13 больше их суммы. Если из первого числа вычесть утроенное второе число, то получится 9. Найдите эти числа.

4. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

а) б)

К а р т о ч к а № 3*

1. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению | у + 1 | = 2 – х.

2. Решите систему уравнений:

а) б)

3. При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20 %, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50 %, получили раствор, содержащий 30 % кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

4. При каких значения параметра а система уравнений:

имеет два решения?

5. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

Р е ш е н и е заданий карточки № 1

1. Подставим х = –5 и у = 2 в каждое из уравнений системы:

2 · (–5) + 7 · 2 = 4;

–10 + 14 = 4;

4 = 4 – верно.

–5 · 2 + 2² = 12;

–10 + 4 = 12;

–6 = 12 – неверно.

Значит, пара чисел (–5; 2) не является решением данной системы.

2.

а)

х² – 2х + 6 = 54;

х² – 2х – 48 = 0;

х₁ = –6 у₁ = –6 – 3 = –9;

х₂ = 8 у₂ = 8 – 3 = 5.

О т в е т: (–6; –9), (8; 5).

б)

2 – 4у + у² = –1;

у² – 4у + 3 = 0;

у₁ = 1 х₁ = 1 – 2 · 1 = –1;

у₂ = 3 х₂ = 1 – 2 · 3 = –5.

О т в е т: (–1; 1), (–5; 3).

3. Обозначим первое число за х, а второе – за у. Согласно условию задачи получим систему уравнений:

25у – у² = 144;

у² – 25у + 144 = 0;

D = 625 – 4 · 144 = 49;

у₁ = = 16 х₁ = 25 – 16 = 9;

у₂ = = 9 х₂ = 25 – 9 = 16.

О т в е т: 9 и 16.

4.

а) б)

Р е ш е н и е заданий карточки № 2

1. а)

25 + 10у + у² + 10у + 2у² – у² = –7;

2у² + 20у + 32 = 0;

у² + 10у + 16 = 0;

у₁ = –2 х₁ = 5 + (–2) = 3;

у₂ = –8 х₂ = 5 + (–8) = –3.

О т в е т: (3; –2), (–3; –8).

б)

10х² = 50;

х² = 5;

х₁ = у₁ = 3;

х₂ = –у₂ = –3.

О т в е т: (; 3), (–; –3).

2. Чтобы найти координаты точек пересечения данных параболы и прямой, нужно решить систему уравнений:

3х – 8х² + 4 = –1;

8х² – 3х – 5 = 0;

х₁ = 1 у₁ = 4 · 1 – 2 = 2;

х₂ = у₂ = 4 · – 2 = .

О т в е т: (1; 2), .

3. Обозначим первое число за х, а второе – за у. Согласно условию задачи получим систему уравнений:

3у² + 9у = 4у + 22;

3у² + 5у – 22 = 0;

D = 25 + 264 = 289;

у₁ = = 2 х₁ = 3 · 2 + 9 = 15;

у₂ = х₂ = 3 · + 9 = –2.

О т в е т: (15; 2), .

4.

а) б)

Р е ш е н и е заданий карточки № 3*

1. Раскрывая модуль, получим совокупность двух уравнений:

1) если у ≥ –1, то у + 1 = 2 – х,

у = 1 – х;

2) если у < –1, то –у – 1 = 2 – х,

у = х – 3.

Изобразим на координатной плоскости оба этих случая:

2.

а)

Сделаем замену: = а, = b. Получим систему:

Складывая почленно левые и правые части уравнений этой системы, получим равенство:

0 = 0.

Значит, система имеет бесконечное множество решений.

Выразим из второго уравнения переменную а через переменную b:

6a – 4b = 7;

6a = 4b + 7;

a = .

Возвращаясь к замене, получим:

Получаем, что исходная система имеет бесконечное множество решений вида , где у ≠ 0 и у ≠ .

Например, это могут быть такие пары, как , (2; –1), (1,2; –2). И т. д.

б)

Обозначим х + у = т, а ху = п. Тогда имеем:

х² + у² = (х + у)² – 2ху = т² – 2п. Получим систему:

т² – 2т – 58 = т + 72;

т² – 3т – 130 = 0;

т₁ = –10 п₁ = –10 + 29 = 19;

т₂ = 13 п₂ = 13 + 29 = 42.

Возвращаясь к замене, получим системы:

Решая эти системы, получаем ответ.

О т в е т: (6; 7), (7; 6), (–5 + ; –5 – ), (–5 – ; –5 + ).

3. Пусть было взято x г первого раствора и y г – второго раствора. По условию в первом растворе было 0,2x г кислоты, а во втором – 0,5y г кислоты.

После смешивания получили 30 %-ный раствор, то есть в нем было 0,3 (x + y) г кислоты. Масса кислоты после смешивания двух растворов равна сумме масс исходных растворов.

Получим уравнение:

0,2x + 0,5y = 0,3(x + y);

0,2x + 0,5y = 0,3x + 0,3y;

0,2y = 0,1x;

2y = x.

Получаем, что первый и второй растворы были взяты в отношении 2 : 1.

О т в е т: 2 : 1.

4.

Вычтем почленно из второго уравнения системы первое:

2ху = 14 – 2 – 2а;

ху = 6 – а.

Тогда данную систему уравнений можно представить как совокупность двух систем:

1) 2)

Исходная система будет иметь два решения в трех случаях:

– если каждая из систем имеет по одному решению;

– если первая система имеет два решения, а вторая – решений не имеет;

– если вторая система имеет два решения, а первая – решений не имеет.

Если в каждой из полученных систем выразить одну переменную через другую и найти дискриминант, то в обоих случаях получим:

D = 4а – 10.

Выражение 4а – 10 не может быть одновременно больше и меньше нуля, поэтому подходит тот случай, когда каждая из систем имеет единственное решение, то есть, когда D = 0:

4а – 10 = 0;

а = 2,5.

О т в е т: 2,5.

5.

Для построения графика уравнения х² – у² = 0 воспользуемся формулой разности квадратов. Получим:

(х – у) (х + у) = 0

Для построения графика уравнения у = | х + 2 | необходимо раскрыть знак модуля и рассмотреть два случая.

Домашнее задание: № 527 (а, г), № 528 (а), № 529 (а), № 542, № 555.

У р о к 56 Дата:
Контрольная работа № 3

В а р и а н т 1

1. Решите систему уравнений:

2. Периметр прямоугольника равен 28 м, а его площадь равна 40 м². Найдите стороны прямоугольника.

3. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы у = х² + 4 и прямой х + у = 6.

4. Решите систему уравнений:

5. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

В а р и а н т 2

1. Решите систему уравнений:

2. Одна из сторон прямоугольника на 2 см больше другой стороны. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 120 см².

3. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения окружности х² + у² = 10 и прямой х + 2у = 5.

4. Решите систему уравнений:

5. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

Домашнее задание: решить другой вариант

В а р и а н т 3

1. Решите систему уравнений:

2. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь равна 42 см². Найдите стороны прямоугольника.

3. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы у = х² – 8 и прямой х + у = 4.

4. Решите систему уравнений:

5. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

В а р и а н т 4

1. Решите систему уравнений:

2. Одна из сторон прямоугольника на 4 м больше другой стороны. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 45 м².

3. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения окружности х² + у² = 17 и прямой 5х – 3у = 17.

4. Решите систему уравнений:

5. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т 1

1.

х² – 7 + 2х = 1;

х² + 2х – 8 = 0;

х₁ = –4 у₁ = 7 – 2 · (–4) = 15;

х₂ = 2 у₂ = 7 – 2 · 2 = 3.

О т в е т: (–4; 15), (2; 3).

2. Пусть х м – одна сторона, а у м – другая сторона прямоугольника. Так как периметр прямоугольника равен 28 м, то получим уравнение:

2(х + у) = 28.

Площадь прямоугольника равна 40 м², поэтому ху = 40.

Составим и решим систему уравнений:

14у – у² = 40;

у² – 14у + 40 = 0;

у₁ = 4 х₁ = 14 – 4 = 10;

у₂ = 10 х₂ = 14 – 10 = 4.

О т в е т: 4 м и 10 м.

3. Согласно условию составим и решим систему уравнений:

х² + х – 2 = 0;

х₁ = 1 у₁ = 1 + 4 = 5;

х₂ = –2 у₂ = (–2)² + 4 = 8.

О т в е т: (1; 5), (–2; 8).

4.

4у² – 28у + 49 – 2у² + 7у – у² = 29;

у² – 21у + 20 = 0;

у₁ = 1 х₁ = 2 · 1 – 7 = –5;

у₂ = 20 х₂ = 2 · 20 – 7 = 33.

О т в е т: (–5; 1), (33; 20).

5.

В а р и а н т 2

1.

3у² + 2у + у = 6;

3у² + 3у – 6 = 0;

у² + у – 2 = 0;

у₁ = 1 х ₁ = 3 · 1 + 2 = 5;

у₂ = –2 х ₂ = 3 · (–2) + 2 = –4.

О т в е т: (5; 1), (–4; –2).

2. Пусть х см – одна сторона, а у см – другая сторона прямоугольника. Так как одна из сторон прямоугольника на 2 см больше другой, то имеем уравнение х = у + 2. Так как площадь прямоугольника равна 120 см², то имеем уравнение ху = 120.

Составим и решим систему уравнений:

у² + 2у – 120 = 0;

у₁ = 10 х₁ = 10 + 2 = 12;

у₂ = –12 х₂ = –12 + 2 = –10 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 10 см и 12 см.

3. Согласно условию составим и решим систему уравнений:

25 – 20у + 4у² + у ² = 10;

5у² – 20у + 15 = 0;

у² – 4у + 3 = 0;

у₁ = 1 х₁ = 5 – 2 · 1 = 3;

у₂ = 3 х₂ = 5 – 2 · 3 = –1.

О т в е т: (3; 1), (–1; 3).

4.

х² – 6х² – 2х + 9х² + 6х + 1 = 9;

4х² + 4х – 8 = 0;

х² + х – 2 = 0;

х₁ = 1 у₁ = 3 · 1 + 1 = 4;

х₂ = –2 у₂ = 3 · (–2) + 1 = –5.

О т в е т: (1; 4), (–2; –5).

5.

В а р и а н т 3

1.

х – 5х² + 50 = 2;

5х² – х – 48 = 0;

D = 1 + 4 · 5 · 48 = 961;

х₁ = = 3,2 у₁ = 3,2² – 10 = 0,24;

х₂ = = –3 у₂ = 3² – 10 = –1.

О т в е т: (3,2; 0,24), (–3; –1).

2. Пусть х см – одна сторона, а у см – другая сторона прямоугольника. Согласно условию задачи составим и решим систему уравнений:

13у – у² = 42;

у² – 13у + 42 = 0;

у₁ = 6 х₁ = 13 – 6 = 7;

у₂ = 7 х₂ = 13 – 7 = 6.

О т в е т: 6 см и 7 см.

3.

х² + х – 12 = 0;

х₁ = 3 у₁ = 3² – 8 = 1;

х₂ = –4 у₂ = (–4)² – 8 = 8.

О т в е т: (3; 1), (–4; 8).

4.

81 + 90у + 25у² + 27у + 15у² – у² = 3;

39у² + 117у + 78 = 0;

у² + 3у + 2 = 0;

у₁ = –1 х₁ = 9 + 5 · (–1) = 4;

у₂ = –2 х₂ = 9 + 5 · (–2) = –1.

О т в е т: (4; –1), (–1; 2).

5.

В а р и а н т 4

1.

х + 3х² + х = 8;

3х² + 2х – 8 = 0;

D₁ = 1 + 2 4 = 25;

х₁ = у₁ = –3 ∙ – 1 = –5;

х₂ = = –2 у₂ = –3 ∙ (–2) – 1 = 5.

О т в е т: , (–2; 5).

2. Пусть х м – одна сторона, а у м – другая сторона прямоугольника. Согласно условию задачи составим и решим систему уравнений:

у² + 4у – 45 = 0;

у₁ = –9 х₁ = 4 – 9 = –5 – не удовлетворяет условию задачи;

у₂ = 5 х₂ = 4 + 5 = 9.

О т в е т: 5 м и 9 м.

3.

289 + 102у + 9у² + 25у² = 17 · 25;

34у² + 102у – 136 = 0;

у² + 3у – 4 = 0;

у₁ = 1 х₁ = = 4;

у₂ = –4 х₂ = = 1.

О т в е т: (4; 1), (1; –4).

4.

1 – 4у + 4у² – у + 2у² – 2у² = 1;

4у² – 5у = 0;

у₁ = 0 х₁ = 1;

у₂ = х₂ = 1 – 2 ∙ = –1,5.

О т в е т: (1; 0) (–1,5; 1,25).

5.

У р о к 57 Дата:
Понятие последовательности, словесный
и аналитический способы ее задания

Цели: ввести понятие последовательности, конечной и бесконечной; рассмотреть последовательности, заданные словесно и с помощью формулы п-го члена; формировать умение находить п-й член последовательности по заданной формуле.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Объяснение нового материала.

Учение о последовательностях и их частном случае – прогрессиях – является существенной, хотя и несколько изолированной, частью курса алгебры. Для создания представления о последовательностях следует начать с рассмотрения конкретных примеров:

П р и м е р 1.

2; 4; 6; 8; …

Сразу обращаем внимание учащихся, что числа записаны в определенном порядке. Словесно эту последовательность можно описать (задать) так: «последовательность четных положительных чисел». Просим назвать число, которое будет стоять в этой последовательности на пятом месте, на восьмом, на сотом. Замечаем, что если «место» числа в последовательности обозначить натуральным числом п, то вычислить это число можно, оно равно 2п.

П р и м е р 2.

Последовательность правильных дробей с числителем равным 1. Для любого натурального числа п можно указать соответствующую дробь, стоящую в этой последовательности на п-ом месте – она равна . Теперь легко вычислить, что на седьмом месте должна стоять дробь , на тридцатом – дробь , на тысячном – дробь .

Числа, образующие последовательности, называются членами последовательности и обозначаются буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена, например: а₁; а₂; а₃; а₄; …; а_п; … а_п – общий или п-й член последовательности.

Сама последовательность обозначается (а_п).

Таким образом, последовательность считается заданной, если указан закон, по которому каждому натуральному числу п ставится в соответствие член последовательности а_п. Обращаем внимание учащихся, что мы использовали два способа задания последовательности: словесный и аналитический (с помощью формулы п-го числа).

П р и м е р 3.

Последовательность двузначных чисел: 10; 11; 12; 13; …; 97; 98; 99.

В о п р о с у ч а щ и м с я: чем отличается эта последовательность от двух предыдущих? Она содержит конечное число членов и называется конечной – в отличие от предыдущих последовательностей, которые содержат бесконечно много членов и называются бесконечными.

III. Формирование умений и навыков.

Все задания, выполняемые учащимися на этом уроке, можно условно разбить на три группы:

1. Выписать первые несколько членов последовательности по ее словесному описанию.

2. Выписать первые несколько членов и вычислить некоторый (любой) член последовательности по формуле п-го члена.

3. По заданным первым членам последовательности составить формулу п-го члена последовательности.

Упражнения:

№ 560, № 562.

При выполнении первых заданий внимание следует уделить правильной записи членов последовательности, чтобы не забывали указывать индексы.

№ 563, № 564 (а, в).

При решении этих упражнений следует еще раз обратить внимание учащихся, что индексы – это натуральные числа и порядковые номера членов последовательности. Возможно устное выполнение этого задания.

№ 565 (а, в, д).

Решение у доски, с объяснениями.

№ 566.

Самостоятельное решение с устной проверкой.

№ 671.

Это задание, «обратное» предыдущим, носит развивающий характер.

IV. Итоги урока.

– Как называются числа, образующие последовательность?

– Что значит «задать последовательность»?

– Какие способы задания последовательности вы знаете?

Домашнее задание: № 561, № 564 (б, г), № 565 (б, г, е), № 572 (а).

У р о к 58 Дата:
Рекуррентный способ задания
последовательности

Цели: рассмотреть последовательности, заданные рекуррентными формулами; формировать умения задавать последовательности различными способами; закрепить навыки использования индексных обозначений и нахождения п-го члена последовательности по его формуле.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Назовите пропущенный член последовательности:

а) 1; 3; 5; *; 9; …

б) –10; 10; –10; 10; *; …

в) а₁; …; а_{п – 2}; *; а_п; …

Последовательность задана формулой п-го члена, найти ее член с заданным индексом:

г) х_п = 5п – 2, х₅ = *

д) у_п = п³ – п, у₃ = *

е) b_n = (–1)ⁿ · n, b₆ = *.

Последовательность задана несколькими первыми членами, задайте формулу п-го члена:

ж) 4; 8; 12; 16; … х_п = * (О т в е т: х_п = 4п.)

з) 7; 7; 7; … а_п = * (О т в е т: а_п = 7.)

и) 1; … с_п = * (О т в е т: с_п = .)

к) 3; 7; 11; 15; … х_п = *.

Последний пример оказывается проблемным. Ученики не могут придумать формулу, выражающую через п ее п-й член. Но можно заметить, что определенная закономерность все же есть – каждый член последовательности, начиная со второго, можно получить прибавлением к предыдущему числа 4. Можно ввести новый способ задания последовательности – рекуррентный.

III. Объяснение нового материала.

Помимо словесного и аналитического, существует еще один способ задания последовательности. Он состоит в том, что указывают ее первый член или первые несколько членов и формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько). Такую формулу называют рекуррентной (от латинского слова reccuro – возвращаться), а соответствующий способ задания последовательности – рекуррентным способом.

Возвращаемся к устному последнему примеру. Последовательность можно задать рекуррентно:

х₁ = 3; х_{п + 1} = х_п + 4.

Как уже говорилось, рекуррентно последовательность можно задать через несколько предыдущих членов. Пусть (и_п) – последовательность, в которой и₁ = 1; и₂ = 1; и_{п + 1} = и_п + и_{п – 1} при п > 2. Члены этой последовательности называют числами Фибоначчи. Выписываем первые ее несколько членов:

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; …

Здесь возможно привести небольшую справку из истории математики, либо предложить учащимся подготовить реферат или доклад на тему «Числа Фибоначчи и золотое сечение».

IV. Формирование умений и навыков.

При решении следующих примеров следует требовать от учащихся не только «подставлять» числовые значения в рекуррентную формулу, но и проговаривать словесную формулировку задания последовательности.

Упражнения:

1. Выпишите пять первых членов последовательности (с_п), если:

а) с₁ = 3, с_{п + 1} = с_п + 4;

б) с₁ = 4, с_{п + 1} = 2 · с_п.

2. № 568, 569 (а, б) – самостоятельное решение, одновременно решение на откидных досках и последующая проверка.

3. № 672 (а, б). Это задание повышенного уровня сложности, которое заключается в том, что формула задания последовательности записана в «непривычном» виде:

у₁ = –3; у_{п + 1} – у_п = 10.

Прежде чем применять ее, нужно записать ее в таком виде, чтобы последующий член явно выражался через предыдущий:

у_{п + 1} = у_п + 10.

Дальше ученики могут продолжить работу самостоятельно с последующей устной проверкой результатов.

V. Диктант.

Работа выполняется по вариантам (в квадратных скобках задание, относящееся ко второму варианту).

1) Является ли конечной или бесконечной последовательность делителей [кратных] числа 1200 [8]?

2) Является ли конечной или бесконечной последовательность кратных [делителей] числа 6 [2400]?

3) Последовательность задана формулой а_п = 5п + 2 [b_n = n² – 3]. Запишите, чему равен ее 3-й член.

4) Запишите последний член последовательности всех трехзначных
[двухзначных] чисел.

5) Запишите рекуррентную формулу а_{п + 1} = а_п – 4, где а₁ = 5 [b_{n + 1} =
= , где b₁ = 8]. Найдите а₂ [b₂].

О т в е т ы: 1) Конечной [Бесконечной].

2) Бесконечной [Конечной].

3) 17 [6].

4) 999 [99].

5) 1 [2].

V. Развивающие задания.

Задайте формулой п-го члена последовательность (b_n), если известно, что:

а) b₁ = 4; b_{n + 1} = b_n+ 4;

б) b₁ = 1, b_{n + 1} = 5b_n.

Это задание направлено на формирование умения задавать последовательности различными способами, что требует от учащихся умения анализировать, сопоставлять. Для решения этого задания сперва следует записать по рекуррентной формуле несколько первых членов последовательности, проанализировать ее, «увидеть» выражение каждого члена не через предыдущий, а через порядковый номер п и записать формулу:

4;

^{п = 1}

8;

^{п = 2}

12;

^{п = 3}

16;

^{п = 4}

20;

^{п = 5}

…

b_n = 4 · n

VII. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какие способы задания последовательности существуют?

– В чем сущность рекуррентного способа задания последовательности?

– Можно ли одну и ту же последовательность задать различными способами? Приведите примеры.

Домашнее задание: № 569 (в; г), № 570, № 671, № 573 (а).

У р о к 59 Дата:
Арифметическая прогрессия.
Формула (рекуррентная) п-го члена
арифметической прогрессии

Цели: ввести понятия арифметической прогрессии и разности арифметической прогрессии; вывести рекуррентную формулу п-го члена арифметической прогрессии; формировать умения нахождения разности и нескольких первых членов арифметической прогрессии по первому члену и разности, а также п-го члена по формуле.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1-й б л о к. Актуализация знаний.

Назовите первые три члена последовательности:

а) a_n = ; б) b_n = 3n – 1; в) с_п = п² + 1.

Для последовательности, заданной первым членом и рекуррентной формулой, найдите второй и третий члены:

г) x₁ = 2, x_{п + 1} = ;

д) у₁ = 3, у_{п + 1} = у_п² – 5.

2-й б л о к. Актуализация знаний и создание проблемной ситуации.

Задать последовательность с помощью формулы п-го члена или рекуррентной формулы.

После заполнения таблицы анализируем полученные результаты и замечаем, что последовательности а), в), е) и ж) – одинакового вида, а именно: задаются рекуррентным способом и каждый член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему числа (2; 0,5; 10; 3).

Учащиеся «открыли» определенный вид последовательности. Следует сказать, что такие последовательности называются «арифметическая прогрессия», и попросить учащихся попробовать самостоятельно сформулировать определение такой прогрессии на основе выделенных ими характеристических свойств.

III. Объяснение нового материала.

1. Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

(а_п) – арифметическая прогрессия, если для любого п N выполняется условие а_{п + 1} = а_п + d, где d – некоторое число. Число d называется «разностью арифметической прогрессии», так как из определения следует, что а_{п + 1} – а_п = d.

Далее следует привести примеры арифметических прогрессий, причем следует варьировать значение d (положительные числа; отрицательные; нуль; дробные).

П р и м е р ы арифметических прогрессий:

1) а₁ = 1, d = 1.

1; 2; 3; 4; … (последовательные натуральные числа).

2) а₁ = 1, d = 2.

1; 3; 5; 6; … (последовательность положительных

нечетных чисел).

3) а₁ = –2, d = –2.

–2; –4; –6; –8; –10; … (последовательность отрицательных

четных чисел).

4) а₁ = 7, d = 0.

7; 7; 7; 7; … (постоянная последовательность).

5) а₁ = 1, d = 0,3.

1; 1,3; 1,6; 1,9; 2,2; …

Обращаем внимание, что если d > 0, то арифметическая прогрессия возрастающая, если d < 0 – убывающая, если d = 0 – постоянная.

2. Итак, учащиеся знают, что для того чтобы найти любой член арифметической прогрессии (или задать ее), достаточно знать ее первый член и разность. Следует подвести их к мысли, что это очень трудоемко, например:

(а_п) – арифметическая прогрессия, где а₁ = 2, d = 27. Найти сотый член.

Пользуясь определением, нам нужно сделать 100 шагов. Это громоздко. Хотелось бы знать формулу для нахождения любого члена арифметической прогрессии только по первому члену, разности и порядковому номеру искомого члена.

Для вывода формулы пользуемся определением арифметической прогрессии:

а₁

а₂ = а₁ + d

а₃ = а₂ + d = (а₁ + d) + d = а₁ + 2d

а₄ = а₃ + d = (а₁ + 2d) + d = а₁ + 3d

а₅ = а₄ + d = (а₁ + 3d) + d = а₁ + 4d

а₆ = … = а₁ + 5d

… …

формула п-го члена

арифметической прогрессии.

П р и м е р 1. (с_п) – арифметическая прогрессия,

с₁ = 0,62, d = 0,24; с₅₀ –?

с₅₀ = с₁ + d (50 – 1) = 0,62 + 0,24 · 49 = 12,38.

Этот пример на «прямое» использование формулы п-го члена арифметической прогрессии.

П р и м е р 2. Выяснить, является ли число –122 членом арифметической прогрессии (х_п):

23; 17,2; 11,4; 5,6; …

При рассмотрении этого примера пояснить, что для решения надо доказать, что существует п N, при котором будет верна формула п-го члена:

–122 = 23 + (п – 1) · (–5,8), где

–5,8 = 17,2 – 23 – разность арифметической прогрессии.

IV. Формирование умений и навыков.

Все задания, выполняемые учащимися на этом уроке, можно разбить на 3 типа:

1) На «узнавание» арифметической прогрессии, определение ее первого члена и разности.

2) На нахождение п-го члена арифметической прогрессии по определению и по формуле.

3) На запись формулы п-го члена по первому члену и разности, решение задач на «косвенное» использование формулы п-го члена (например, нахождение п).

Упражнения:

1. Решить устно:

а) Является ли последовательность арифметической прогрессией:

–3,5; –7; –10,5; –14; –17,5; … (Да.)

5; 5; 5; 5; … (Да.)

2; 12; 22; 23; 32; … ? (Нет.)

б) Найти члены арифметической прогрессии, обозначенные буквами:

–10; –7; с₃; с₄; с₅; с₆

–3,4; –1,4; а₃; а₄

12; у₂; 20; у₄.

в) (а_п) – арифметическая прогрессия. Является ли арифметической прогрессией последовательность:

12а₁; 12а₂; …; 12а_п; …

3а₁ + 1; 3а₂ + 1; …; 12а_п + 1; … ?

2. № 575 (а, б), № 576 (а, в, д). Самостоятельное решение с последующей проверкой.

№ 577. Решение у доски с объяснением.

№ 579. Самостоятельное решение и одновременно на скрытых досках с проверкой.

3. № 584. Задание на «не прямое» применение формулы. Еще раз подчеркнуть, что с помощью этой формулы можно находить следующие величины: а_п; а₁; d; п.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется арифметической прогрессией?

– Как задается арифметическая прогрессия?

– Назовите формулу п-го члена арифметической прогрессии.

Домашнее задание: № 575 (в, г); № 576 (б, г, е); № 586; № 599.

У р о к 60 Дата:
Свойство арифметической прогрессии

Цели: вывести и доказать характеристическое свойство арифметической прогрессии; формировать умения применять свойство арифметической прогрессии при решении задач; продолжить формирование навыков применения определения арифметической прогрессии и формулы п-го члена.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Математический диктант.

Работа выполняется по вариантам (в квадратных скобках задание, относящееся ко второму варианту).

1) У арифметической прогрессии первый член 4 [6], второй член 6 [2]. Найдите разность d.

2) У арифметической прогрессии первый член 6 [4], второй член 2 [6]. Найдите третий член.

3) Найдите десятый [восьмой] член арифметической прогрессии, если ее первый член равен 1, а разность 4 [5].

4) Является ли последовательность четных [нечетных] чисел арифметической прогрессией?

5) а_п – арифметическая прогрессия. Выразите через а₁ и d:

а₁₀; а_2k; a_{k + 3} [a₂₀; a_k; a_{2k + 1}].

О т в е т ы: 1) 2 [–4];

2) –2 [8];

3) 37 [36];

4) Да [Да];

5) а₁₀ = а₁ + 9d [а₂₀ = а₁ + 19d];

а_2k = а₁ + d (2k – 1) [а_k = а₁ + d (k – 1)];

a_{k + 3} = а₁ + d (k + 2) [a_{2k + 1} = а₁ + 2dk].

III. Объяснение нового материала.

У с т н о е з а д а н и е:

Дана арифметическая прогрессия (х_п): 2; 5; 8; 11; 14.

Вычислить: = (5.)

= (8.)

= (11.)

Замечаем интересное свойство и формируем его – «Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов».

Так как мы это предположили исходя из рассмотрения конкретной последовательности, данное утверждение следует доказать:

Пусть (х_п) – арифметическая прогрессия, тогда

х_п – х_{п – 1} = х_{п + 1} – х_п, то есть

2х_п = х_{п – 1} + х_{п + 1},

свойство арифметической прогрессии. А если мы сформулируем обратное утверждение и сможем его доказать, то как будет оно называться? Это будет признак арифметической прогрессии: «Если в последовательности (х_п) каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией».

Пусть х_п = , где п ≥ 2, тогда 2х_п = х_{п – 1} + х_{п + 1,}

х_п – х_{п – 1} = х_{п + 1} – х_п, то есть разность между последующим и предыдущим членами последовательности (х_п) остается постоянной. Значит, (х_п) – арифметическая прогрессия .

IV. Формирование умений и навыков.

Задачи, решаемые на этом уроке, более разнообразны по сравнению с предыдущим уроком. Теперь мы можем использовать определение арифметической прогрессии, ее свойство и признак, формулу п-го члена.

Кроме того, появляются задачи, в тексте которых не задана арифметическая прогрессия в явном виде. Нужно «перевести» условие на математический язык, «увидеть» арифметическую прогрессию, решить задачу и формулировку ответа опять «перевести» на язык условия.

Упражнения:

1. № 580, № 585. Самостоятельное решение заданий на «прямое» применение формулы п-го члена и нахождения разности.

№ 582. Решение у доски с объяснениями. Необходимо самостоятельно задать арифметическую прогрессию (х_п), где

х₁ = 50 (м/мин) – скорость поезда в конце первой минуты;

d = 50 (м/мин) – увеличение скорости;

х₂₀ –?

х₂₀ = х₁ + d (20 – 1);

х₂₀ = 50 + 50 · 19 = 50 · 20 = 1000 (м/мин).

Обращаем внимание, что скорость принято выражать в км/ч, значит, ответ · 60 = 60 (км/ч).

№ 587.

2. № 589, № 593. Эти упражнения на неоднократное применение формулы п-го члена арифметической прогрессии, сводящиеся к решению системы уравнений либо неравенства.

Особое внимание следует уделить анализу условия. Решение полученной системы уравнений и неравенства ученики могут осуществить самостоятельно.

3. Упражнение на применение свойства арифметической прогрессии носит развивающий характер.

Первый член арифметической прогрессии равен 7. Найдите второй и третий ее члены, если известно, что они являются квадратами двух последовательных натуральных чисел.

Р е ш е н и е

Пусть (а_п) – арифметическая прогрессия, где

а₁ = 7;

а₂ = п²;

а₃ = (п + 1)², п N.

По свойству арифметической прогрессии:

а₂ = ;

а₁ + а₃ = 2а₂;

7 + (п + 1)² = 2п²;

п² – 2п – 8 = 0;

п = 4 или п = –2. Так как п N, то –2 – не удовлетворяет условию.

а₂ = 4² = 16;

а₃ = 5² = 25.

V. Итоги урока.

– Сформулируйте свойство арифметической прогрессии.

– Сформулируйте признак арифметической прогрессии.

Домашнее задание: № 581, № 588, № 591; 594

У р о к 61 Дата:
Формула п-го члена арифметической прогрессии
(аналитическая)

Цели: вывести аналитическую формулу п-го члена арифметической прогрессии; формировать умения задавать арифметическую прогрессию аналитической и рекуррентной формулами; закрепить умения и навыки применения формул п-го члена и свойства арифметической прогрессии.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверка домашней работы.

1. № 594. У доски – решение с комментариями ученика.

Р е ш е н и е

d = –18,7 – (–20,3) = 1,6;

а_п = –20,3 + 1,6 (п – 1);

а_п = –21,9 + 1,6п.

Пусть а_п > 0, тогда –21,9 + 1,6п > 0;

п > ;

п > 13,6875.

Значит, п = 14 – порядковый номер первого положительного члена арифметической прогрессии.

а₁₄ = –21,9 + 1,6 · 14 = 0,5.

2. Ответы учащихся на вопросы по домашней работе.

III. Объяснение нового материала.

1. а_п = а₁ + d (п – 1) – формула п-го члена арифметической прогрессии. Запишем ее в виде а_п = d · п + (а₁ – d), так как (а₁ – d) – некоторое число, то обозначим его b = а₁ – d и k = d, тогда получаем, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида , где k и b – некоторые числа. Такие формулы мы встречали при изучении последовательностей. Делаем вывод, что арифметическую прогрессию можно задать не только рекуррентной, но и аналитической формулой.

Более того, верно и обратное утверждение: последовательность (а_п), заданная формулой вида а_п = k · п + b, где k и b – некоторые числа, является арифметической прогрессией.

Найдем разность (п + 1)-го и п-го членов последовательности (а_п):

а_{п + 1} – а_п = k (п + 1) + b – (kп + b) = kп + k + b – kп – b = k. Значит, при любом п справедливо а_{п + 1} = а_п + k и по определению (а_п) – арифметическая прогрессия с разностью k.

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

№ 597. Можно решать устно.

№ 583. При решении этой задачи необходимо использовать сведения из курса геометрии (подобие треугольников). Обозначив А₁В₁ = х, получим А₂В₂ = 2х; А₃В₃ = 3х; … А_пВ_п = п · х, где х = 1,5 (см), получим последовательность, заданную формулой А_пВ_п = 1,5 · п, то есть формула имеет вид а_п = kп + b, где k = 1,5; b = 0. Дальнейшие вычисления проводим, используя формулу п-го члена арифметической прогрессии.

V. Самостоятельная работа.

В а р и а н т 1

1. Зная первые два члена арифметической прогрессии 3,4; –0,2; …, найдите следующие за ними четыре ее члена.

2. В арифметической прогрессии (b_п) известны b₁ = –0,8, d = 4. Найдите b₃; b₂₄.

3. В арифметической прогрессии (х_п) известны х₁ = 14 и d = 0,5. Найдите номер члена прогрессии, равного 34.

4.* Мастерская изготовила в январе 106 изделий, а в каждый следующий месяц изготовляла на 12 изделий больше, чем в предыдущий. Сколько изделий изготовила мастерская в июне?

В а р и а н т 2

1. Зная первые два члена арифметической прогрессии 2,8; –0,4; …, найдите следующие за ними четыре ее члена.

2. В арифметической прогрессии (а_п) известны а₁ = –1,2, d = 3. Найдите а₄; а₂₁.

3. В арифметической прогрессии (b_п) известны b₁ = 12 и d = 3. Найдите номер члена прогрессии, равного 27.

4.* Бригада стеклодувов изготовила в январе 80 изделий, а в каждый следующий месяц изготовляла на 17 изделий больше, чем в предыдущий. Сколько изделий изготовила мастерская в августе?

Упражнения под звездочкой не обязательны для выполнения.

О т в е т ы:

VI. Итоги урока.

Анализ результатов самостоятельной работы.

Домашнее задание: № 590, № 592, № 594; № 598.

У р о к 62 Дата:
Нахождение суммы первых п членов
арифметической прогрессии

Цели: вывести формулу суммы первых п членов арифметической прогрессии; формировать умение применять эту формулу при решении задач.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

У с т н о:

1. Сформулируйте определение арифметической прогрессии.

2. Приведите пример арифметической прогрессии.

3. Сформулируйте определение разности арифметической прогрессии.

4. Назовите формулу п-го члена арифметической прогрессии.

П и с ь м е н н о:

В а р и а н т 1.

№ 578 (а).

В а р и а н т 2.

№ 578 (б).

III. Объяснение нового материала.

1. Создание проблемной ситуации.

З а д а ч а. Ученик мастера изготовил в первую неделю работы 15 гончарных изделий, а в каждую следующую неделю изготовлял на 5 изделий больше, чем в предыдущую. Сколько изделий ученик изготовил за восьмую неделю? Сколько изделий ученик изготовил всего в течение десяти недель?

Ответ на первый вопрос ученики знают, как получить, такие задачи решались ими на прошлых занятиях. Количество изготовленных изделий в первую, вторую и т. д. недели можно обозначить а₁, а₂,… а_п, …, причем (а_п) – арифметическая прогрессия с разностью d = 5 и первым членом а₁ = 15. За восьмую неделю ученик изготовил гончарных изделий:

а₈ = 15 + 5 (8 – 1) = 50.

Для ответа на второй вопрос ученики могут предложить только такой способ решения: подсчитать количество изделий, выполненных за 2-ю, 3-ю, …, 10-ю неделю, и сложить. Это очень долго. А если в задаче нужно будет найти сумму ста членов арифметической прогрессии, тысячи? Возникает проблема – нужна общая формула.

2. Пример из истории математики.

С формулой суммы п первых членов арифметической прогрессии связан эпизод из жизни немецкого математика Карла Гаусса (1777–1855). Маленькому Карлу было 9 лет, когда учитель, занятый проверкой работ учеников, предложил классу сложить все натуральные числа от 1 до 100, рассчитывая надолго занять детей. Каково же было удивление преподавателя, когда через несколько минут Гаусс подошел к нему с верным ответом! Он подошел к решению творчески, заметив, что можно складывать числа не подряд, а парами: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 … и т. д. Легко увидеть, что сумма чисел в каждой паре равна 101, а таких пар 50, значит общая сумма равна 101 · 50 = 5050.

А можно ли с помощью рассуждений, аналогичных тем, что проводил маленький Гаусс, найти сумму первых п членов любой арифметической прогрессии?

3. Вывод формулы.

Пусть (а_п) – арифметическая прогрессия.

Обозначим S_n сумму п первых членов арифметической прогрессии.

S_n = а₁ + а₂ + а₃ + а₄ + … + а_{п – 1} + а_п (1)

S_n = а_п + а_{п – 1} + а_{п – 2} + а_{п – 3} + … + а₂ + а₁ (2)

Докажем, что сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом, равна а₁ + а_п.

a₂ + a_{n – 1} = (a₁ + d) + (a_n – d) = a₁ + a_n;

a₃ + a_{n – 2} = (a₂ + d) + (a_{n – 1} – d) = a₂ + a_{n – 1} = a₁ + a_n;

a₄ + a_{n – 3} = (a₃ + d) + (a_{n – 2} – d) = a₃ + a_{n – 2} = a₁ + a_n и т. д.

Число таких пар равно п. Складываем почленно (1) и (2) и получаем

2S_n = (a₁ + a_n) · n.

формула суммы п первых членов

арифметической прогрессии.

Обычно арифметическая прогрессия задается первым членом и разностью, поэтому удобно иметь еще формулу суммы п первых членов, выраженную через а₁ и d арифметической прогрессии.

S_n = · n, а_п = а₁ + d (п – 1);

S_n = · n;

– формула суммы п первых членов

арифметической прогрессии.

4. Пример.

Вернемся к задаче про ученика мастера. В течение 10 недель ученик мастера изготовил

S₁₀ = · 10 = 375 изделий.

IV. Формирование умений и навыков.

Так как формул суммы п первых членов арифметической прогрессии две, то необходимо сперва выяснить, в заданиях какого вида лучше использовать каждую из них, а затем при решении упражнений анализировать условие и выбирать формулу.

Упражнения:

1) Найти сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии 4; 5,5; …

Р е ш е н и е

а₁ = 4, d = 1,5, значит, по формуле II:

а₃₀ = · 30 = 772,5.

2) Найти сумму первых сорока членов последовательности (а_п), заданной формулой а_п = 5 · п – 4.

Последовательность (а_п) задана формулой вида а_п = kn + b, где k = 5 и b = –4, значит, (а_п) – арифметическая прогрессия. Если применять формулу II, то для этого сперва надо найти а₁, а₂ , затем d как разность а₁ – а₂. Это неудобно, проще сразу найти а₁, а₄₀ и подставить в формулу I.

а₁ = 5 · 1 – 4 = 1; а₄ = 5 · 40 – 4 = 196;

S₄₀ = = 3940.

3) № 603, № 604. На «прямое» применение формул I и II. Самостоятельное решение с последующей проверкой.

№ 606.

№ 608 (а). У доски с объяснением. Здесь необходимо «увидеть», что последовательность слагаемых – арифметическая прогрессия, где а₁ = 2, d = 2 и количество слагаемых равно п, можно применить формулу II. А можно задать эту прогрессию формулой а_п = 2п и применить формулу I.

V. Итоги урока.

– Назовите формулу суммы первых п членов арифметической прогрессии (2 вида).

– В каких случаях удобнее применять формулу I, II?

Домашнее задание: № 605, № 607, № 608 (б), № 621 (а).

У р о к 63 Дата:
Применение формулы суммы первых п членов
арифметической прогрессии

Цели: закреплять умения и навыки применения формулы суммы первых п членов арифметической прогрессии при решении задач; провести подготовку к контрольной работе.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Является ли арифметической прогрессией последовательность, заданная формулой:

а) х_п = 2п + 1;

б) у_п = п² – п;

в) z_n = –64?

2. Найдите разность арифметической прогрессии:

г) 17; 13; 9; …

д) (х_п), если х₁₀ = 4, х₁₂ = 14;

е) (у_п), если у_п = 3п – 0,5.

3. (а_п) – арифметическая прогрессия, вычислите:

ж) а₇, если а₁ = 1, d = –2;

з) а₁₀, если а_п = 17 · п – 100;

и) а₁₂, если а₁ = 0, а₂ = 3.

III. Проверочная работа.

Работа проводится по вариантом, задания на «прямое» применение формулы суммы п первых членов арифметической прогрессии.

В а р и а н т 1

1) Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии, если а₁ = 16,5; d = –1,5.

2) Найдите сумму первых сорока членов последовательности, заданной формулой а_п = 3п + 2.

3) Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии (а_п), если а₁ = 8, а₇ = 26.

В а р и а н т 2

1) Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, если а₁ = 18,5; d = –2,5.

2) Найдите сумму первых двадцати членов последовательности, заданной формулой х_п = 4п + 5.

3) Найдите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии (а_п), если а₁ = 6, а₁₁ = 46.

О т в е т ы:

IV. Формирование умений и навыков.

Все упражнения, решаемые на этом уроке, можно условно разделить на следующие виды:

1) На вычисление суммы первых п членов арифметической прогрессии по двум формулам (требует выбора формулы в зависимости от условия задачи).

2) На вычисление отдельных членов, числа членов, разности арифметической прогрессии по формулам суммы первых п членов.

3) На нахождение вышеперечисленных величин при наличии дополнительных условий и ограничений, сводящиеся к решению систем уравнений, неравенств.

Задания первого вида были выполнены в ходе проверочной работы.

Упражнения:

№ 609 (в), № 610, № 612, № 614, № 616. Решение у доски с комментариями.

Р е ш е н и е

№ 609 (в).

(а_п) – арифметическая прогрессия;

а_п = 4п, а_п ≤ 300;

4п ≤ 300;

п ≤ 75, значит, п = 75 – количество таких чисел.

а₁ = 4; а₇₅ = 4 · 75 = 300;

S₇₅ = · 75 = 11400.

О т в е т: 11400.

№ 610.

В этом упражнении задана арифметическая прогрессия (а_п), где
а₁ = 10; d = 3. Наши формулы позволяют находить сумму с первого по п-й член включительно, а требуется найти с 15-го по 30-й включительно. Заметим, что мы можем найти суммы членов арифметической прогрессии с 1-го по 30-й и с 1-го по 14-й включительно, их разность и даст искомый результат.

S₃₀ = · 30; S₃₀ = · 30 = 1605.

S₁₄ = · 14; S₁₄ = · 14 = 413.

S₃₀ – S₁₄ = 1192.

О т в е т: 1192.

№ 612.

(с_п) – арифметическая прогрессия;

с₇ = 18,5; с₁₇ = –26,5.

S₂₀ = · 20; S₂₀ = · 20 = 55.

О т в е т: 55.

№ 616.

Количество шаров в каждом ряду можно представить в виде арифметической прогрессии (а_п), где а₁ = 1; d = 1.

1. S_n = 120. Найти п.

S_n = · п; 120 = · п;

240 = (п + 1) · п;

п² + п – 240 = 0;

п = 15 или п = –16, так как п N, то выбираем п = 15.

2. п = 30. Найти S₃₀.

S₃₀ = · 30; S₃₀ = · 30 = 465.

О т в е т: 15 рядов, 465 шаров.

V. Итоги урока.

Ответить на контрольные вопросы (учебник, с. 153).

Домашнее задание: № 609 (б; г), № 611, № 613

У р о к 64 Дата:
Контрольная работа № 4

В а р и а н т 1

1. Найдите двадцать третий член арифметической прогрессии (а_п), если а₁ = –15 и d = 3.

2. Найдите сумму шестнадцати первых членов арифметической прогрессии: 8; 4; 0; …

3. Найдите сумму шестидесяти первых членов последовательности (b_п), заданной формулой b_п = 3п – 1.

4. Является ли число 54,5 членом арифметической прогрессии (а_п), в которой а₁ = 25,5 и а₉ = 5,5?

5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 100.

В а р и а н т 2

1. Найдите восемнадцатый член арифметической прогрессии (а_п), если а₁ = 70 и d = –3.

2. Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии: –21; –18; –15; …

3. Найдите сумму сорока первых членов последовательности (b_п), заданной формулой b_п = 4п – 2.

4. Является ли число 30,4 членом арифметической прогрессии (а_п), в которой а₁ = 11,6 и а₁₅ = 17,2?

5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 150.

В а р и а н т 3

1. Найдите тридцать второй член арифметической прогрессии (а_п), если а₁ = 65 и d = –2.

2. Найдите сумму двадцати четырех первых членов арифметической прогрессии: 42; 34; 26; …

3. Найдите сумму восьмидесяти первых членов последовательности (b_п), заданной формулой b_п = 2п – 5.

4. Является ли число 6,5 членом арифметической прогрессии (а_п), в которой а₁ = –2,25 и а₁₁ = 10,25?

5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 9 и не превосходящих 80.

В а р и а н т 4

1. Найдите сорок третий член арифметической прогрессии (а_п), если а₁ = –9 и d = 4.

2. Найдите сумму четырнадцати первых членов арифметической прогрессии: –63; –58; –53; …

3. Найдите сумму ста двадцати первых членов последовательности (b_п), заданной формулой b_п = 3п – 2.

4. Является ли число 35,8 членом арифметической прогрессии (а_п), в которой а₁ = –23,6 и а₂₂ = 11?

5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 6 и не превосходящих 150.

В контрольной работе задания 1 и 2 обязательного уровня.

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т 1

1. (а_п) – арифметическая прогрессия; а₁ = –15, d = 3.

а₂₃ = а₁ + 22d; а₂₃ = –15 + 22 · 3 = –15 + 66 = 51.

О т в е т: 51.

2. 8; 4; 0; … – арифметическая прогрессия;

а₁ = 8, d = – 4.

S_n = · п; S₁₆ = · 16 = (16 – 60) · 8 =
= –44 · 8 = –352.

О т в е т: –352.

3. b_п = 3п – 1, значит, (b_п) – арифметическая прогрессия.

b₁ = 3 · 1 – 1 = 2; b₆₀ = 3 · 60 – 1 = 179;

S_n = · п; S₆₀ = · 60 = 181 · 30 = 5430.

О т в е т: 5430.

4. (а_п) – арифметическая прогрессия; а₁ = 25,5; а₉ = 5,5.

Пусть а_п = 54,5.

d = ; d = = = –2,5;

а_п = а₁ + d (п – 1); 54,5 = 25,5 – 2,5 (п – 1); 2,5 (п – 1) = –29;

п – 1 = –11,6; п = –10,6, п N, значит, 54,5 не является членом арифметической прогрессии (а_п).

О т в е т: нет.

5. (а_п) – арифметическая прогрессия; а_п = 3п; а_п ≤ 100;

3п ≤ 100; п ≤ 33, так как п N,то п = 33.

S_n = · п; а₁ = 3; а₃₃ = 99, тогда

S₃₃ = · 33 = 1683.

О т в е т: 1683.

В а р и а н т 2

1. (а_п) – арифметическая прогрессия; а₁ = 70, d = –3.

а₁₈ = а₁ + 17d; а₁₈ = 70 + 17 · (–3) = 70 – 51 = 19.

О т в е т: 19.

2. –21; –18; –15; … – арифметическая прогрессия;

а₁ = –21, d = 3.

S_n = · п; S₂₀ = · 20 = · 20 =
= 15 · 10 = 150.

О т в е т: 150.

3. b_п = 4п – 2, значит, (b_п) – арифметическая прогрессия.

b₁ = 2; b₄₀ = 4 · 40 – 2 = 160 – 2 = 158;

S_n = · п; S₄₀ = · 40 = 160 · 20 = 3200.

О т в е т: 3200.

4. (а_п) – арифметическая прогрессия; а₁ = 11,6; а₁₅ = 17,2.

Пусть а_п = 30,4.

d = ; d = = = 0,4;

а_п = а₁ + d (п – 1); 30,4 = 11,6 + 0,4 (п – 1); 0,4 (п – 1) = 18,8;

п – 1 = 47; п = 48, п N, значит, 30,4 является членом арифметической прогрессии (а_п).

О т в е т: да.

5. (а_п) – арифметическая прогрессия; а_п = 7п; а_п ≤ 150;

7п ≤ 150; п ≤ 21, так как п N,то п = 21.

S_n = · п; а₁ = 7; а₂₁ = 147, тогда

S₂₁ = · 21 = 77 · 21 = 1617.

О т в е т: 1617.

В а р и а н т 3

1. (а_п) – арифметическая прогрессия; а₁ = 65, d = –2.

а₃₂ = а₁ + 31d; а₃₂ = 65 + 31 · (–2) = 65 – 62 = 3.

О т в е т: 3.

2. 42; 34; 26; … – арифметическая прогрессия;

а₁ = 42, d = –8.

S_n = · п; S₂₄ = · 24 = · 24 =
= –100 · 12 = –1200.

О т в е т: –1200.

3. b_п = 2п – 5, значит (b_п) – арифметическая прогрессия.

b₁ = –3; b₈₀ = 2 · 80 – 5 = 160 – 5 = 155

S_n = · п; S₃₀ = · 80 = 152 · 40 = 6080.

О т в е т: 6080.

4. (а_п) – арифметическая прогрессия; а₁ = –2,25; а₁₁ = 10,25.

Пусть а_п = 6,5.

d = ; d = = 1,25.

а_п = а₁ + d (п – 1); 6,5 = –2,25 + 1,25 (п – 1);

1,25 (п – 1) = 8,75;

п – 1 = 7; п = 8, п N, значит, число 6,5 является членом арифметической прогрессии (а_п).

О т в е т: да.

5. (а_п) – арифметическая прогрессия, а_п = 9п; а_п ≤ 80;

9п ≤ 80; п ≤ 8, так как п N,то п = 8.

а₁ = 9; а₈ = 72, S_n = · п; S₈ = · 8 = 324.

О т в е т: 324.

В а р и а н т 4

1. (а_п) – арифметическая прогрессия; а₁ = –9, d = 4.

а₄₃ = а₁ + 42d; а₄₃ = –9 + 42 · 4 = –9 + 168 = 159.

О т в е т: 159.

2. –63; –58; –53; … – арифметическая прогрессия;

а₁ = –63, d = 5.

S_n = · п; S₁₄ = · 14 = · 14 =
= –61 · 7 = –427.

О т в е т: –427.

3. b_п = 3п – 2, значит (b_п) – арифметическая прогрессия.

b₁ = 1; b₁₂₀ = 3 · 120 – 2 = 358

S_n = · п; S₁₂₀ = · 120 = 359 · 60 = 21540

О т в е т: 21540.

4. (а_п) – арифметическая прогрессия, а₁ = –23,6; а₂₂ = 11.

Пусть а_п = 35,8.

d = ; d = = = 1;

а_п = а₁ + d (п – 1); 35,8 = –23,6 + (п – 1);

(п – 1) = –59,4; п – 1 = ; п – 1 = 36;

п = 37, п N, значит, число 35,8 не является членом арифметической прогрессии (а_п).

О т в е т: нет.

5. (а_п) – арифметическая прогрессия; а_п = 6п; а_п ≤ 150;

6п ≤ 150; п ≤ 25, так как п N, то п = 25.

S_n = · п;а₁ = 6; а₂₅ = 150, тогда

S₂₅ = · 25 = 78 · 25 = 1950.

У р о к 65 Дата:

Геометрическая прогрессия. Формула
п-го члена геометрической прогрессии

Цели: ввести понятия геометрической прогрессии и знаменателя геометрической прогрессии; вывести формулу п-го члена геометрической прогрессии; формировать умения нахождения знаменателя и нескольких первых членов геометрической прогрессии по первому члену и знаменателю, а также п-го члена по формуле.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ результатов контрольной работы.

Разбор типичных ошибок, допущенных учащимися в контрольной работе, консультация учителя.

III. Устная работа.

Подставьте в квадратик пропущенный элемент, назовите формулу для арифметической прогрессии (а_п).

а) а_{п + 1} = а₁ + ;

б) а_п = а₁ + d · ;

в) 2а_п =  + а_{п + 1};

г)  = kn + b;

д) ;

е) .

IV. Объяснение нового материала.

1. Для мотивации изучения геометрической прогрессии целесообразно начать с решения задачи практического характера, например по расчету банковских процентов.

З а д а ч а. Родители девятиклассника положили на его имя в банк 10000 рублей на счет, по которому сумма вклада ежегодно возрастает на 9 %. Какая сумма будет на счету к его совершеннолетию через три года? Через шесть лет?

Р е ш е н и е

Начальная сумма вклада составляет 10000 р. Через год эта сумма возрастает на 9 % и составит 109 % от 10000 р. Обозначим b₁ сумму на счету к концу первого года, тогда b₁ = 10000 · 1,09 (р.). К концу второго года уже сумма b₁ увеличится на 9 % и составит b₂ = b₁ · 1,09. К концу третьего года сумма составит b₃ = b₂ · 1,09. И так далее.

Рассмотрим последовательность b₁, b₂, b₃, … b₆, … b_п, в ней каждый член, начиная со второго, получен умножением предыдущего члена на 1,09. Эта последовательность является примером геометрической прогрессии.

2. Определение. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

(b_п) – геометрическая прогрессия, если для любого n N выполняются условия b_п ≠ 0 и b_{п + 1} = b_п · q, где q – некоторое число. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии, так как из определения следует, что = q.

Напоминаем ученикам, что геометрическая прогрессия – частный вид последовательности, заданной рекуррентным способом.

3. Характер поведения геометрической прогрессии в зависимости от значений q следует разобрать с учащимися более детально, например по такому плану:

а) Пусть q > 1, тогда члены геометрической прогрессии таковы, что их значения имеют один и тот же знак и возрастают по модулю.

П р и м е р: 1; 3; 9; 27; 81; … (то есть b₁ = 1, q = 3) или

–2; –8; –32; … (то есть b₁ = –2, q = 4).

б) Если 0 < q < 1, то члены геометрической прогрессии таковы, что их значения имеют один и тот же знак и убывают по модулю.

П р и м е р: (то есть b₁ = 1, q = ) или

(то есть b₁ = –1, q = ).

в) Пусть q < –1, тогда члены геометрической прогрессии принимают знакочередующиеся значения, убывающие по модулю.

П р и м е р: (то есть b₁ = –8, q = ).

д) При q = 1 все члены геометрической прогрессии одинаковы, то есть b₁; b₁; b₁; …; b₁; …, а при q = –1 все члены геометрической прогрессии отличаются друг от друга лишь знаками, то есть: а₁; –а₁; а₁; –а₁; …

4. Вывод формулы п-го члена не вызывает затруднений у учащихся, действуем по аналогии с арифметической прогрессией. Сильному в учебе классу можно предложить провести доказательство самостоятельно.

Пусть (b_п) – геометрическая прогрессия и b₁ – первый член, q – знаменатель, тогда

b₂ = b₁ · q

b₃ = b₂ · q = (b₁ · q) · q = b₁ · q²

b₄ = b₃ · q = (b₁ · q²) · q = b₁ · q³

b₅ = b₄ · q = (b₁ · q³) · q = b₁ · q⁴

… …

– формула п-го члена геометрической прогрессии

V. Формирование умений и навыков.

1. Вернемся к решению задачи с банковскими процентами. Мы имеем геометрическую прогрессию (b_п), где b₁ = 10000, q = 1,09. Сумма, накопленная вкладчиком, через три года будет равняться четвертому члену этой прогрессии, а через шесть лет – седьмому.

В ы ч и с л и м: b₄ = 10000 · (1,09)³ ≈ 12950;

b₇ = 10000 · (1,09)⁶ ≈ 16771.

О т в е т: на счету у вкладчика через три года окажется сумма, приближенно равная 12950 р.; через шесть лет – 16771 р.

2. Упражнения:

№ 623 (а, в), № 624 (а, в, д). Самостоятельное решение с последующей проверкой.

№ 627 (а, б), № 628 (б, в). Решение у доски с объяснениями.

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте определение геометрической прогрессии.

– Сформулируйте определение знаменателя геометрической прогрессии.

– Назовите формулу п-го члена геометрической прогрессии.

Домашнее задание: № 623 (б, г), № 624 (б, г, е), № 627 (в, г), № 628 (а, г),

У р о к 66 Дата:
Свойство геометрической прогрессии

Цели: вывести и доказать характеристическое свойство геометрической прогрессии; формировать умение применять свойство геометрической прогрессии при решении задач; закрепить умения и навыки применения определения и формулы п-го члена геометрической прогрессии.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Математический диктант.

Работа выполняется по вариантам (в квадратных скобках дано задание, относящееся ко второму варианту).

1) У геометрической прогрессии первый член 8 [9], второй член 4 [3]. Найдите знаменатель q.

2) У геометрической прогрессии первый член 9 [8], второй член 3 [4]. Найдите третий член.

3) Найдите четвертый [шестой] член геометрической прогрессии, если ее первый член равен 1, а знаменатель q равен –2.

4) Является ли последовательность степеней числа 2 [3] геометрической прогрессией?

5) Является ли последовательность четных [нечетных] чисел геометрической прогрессией?

О т в е т ы: 1)

2) 1 [2];

3) –8 [–32];

4) да [да];

5) нет [нет].

III. Объяснение нового материала.

1. Создание проблемной ситуации, востребование умения действовать «по аналогии».

(а_п)

Геометрическая прогрессия

(b_n)

a_{n – 1} = a_n – d

b_{n – 1} =

a_n

b_n

a_{n + 1} = a_n + d

b_{n + 1} = b_n · q

a_{n – 1} + a_{n + 1} = a_n – d + a_n + d

a_{n – 1} + a_{n + 1} = 2a_n

b_{n – 1} · b_{n + 1} = · b_n · q

b_{n – 1} · b_{n + 1} =

Здесь следует обратить внимание учащихся, что при выводе соответствующего свойства для арифметической прогрессии в равенствах у нас были слагаемые d и – d, поэтому для их сокращения требовалось почленно складывать неравенства. Для геометрической прогрессии в равенствах сомножители q и , поэтому следует перемножить равенства.

2. Теперь можно сформулировать с в о й с т в о геометрической прогрессии: «Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов».

Доказательство приведено выше.

Как и в случае с арифметической прогрессией, можно доказать обратную теорему, которая будет являться п р и з н а к о м геометрической прогрессии: «Если в последовательности чисел, отличных от нуля, квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является геометрической прогрессией».

Пусть = b_{n – 1} · b_{n + 1}, для любого п ≥ 2, так как все числа отличны от нуля, разделим обе части равенства на b_n · b_{n – 1}, получим . Это означает, что отношение последующего члена к предыдущему – постоянное число, значит, (b_n) – геометрическая прогрессия.

3. Продолжаем действовать по аналогии. Характеристическое свойство геометрической прогрессии можно переписать и сформулировать по-другому:

= b_{n – 1} · b_{n + 1},

, то есть модуль любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, является средним геометрическим предыдущего и последующего членов (для арифметической прогрессии речь шла о среднем арифметическом).

IV. Формирование умений и навыков.

В соответствии с поставленными целями на этом уроке следует выполнить следующие группы заданий:

1) Вычисление п-го члена геометрической прогрессии по формуле
(«прямое» применение).

2) Нахождение знаменателя и первого члена прогрессии по формуле п-го члена геометрической прогрессии («не прямое» применение).

3) Использование характеристического свойства геометрической прогрессии для нахождения членов и знаменателя геометрической прогрессии.

4) Комбинированные задания.

Кроме того, в некоторых заданиях не указана явно геометрическая прогрессия – ее необходимо «увидеть», задать, обосновать и только затем решать, используя соответствующие формулы.

Упражнения:

№ 625 (а, б), № 626 (а). «Прямое» применение формулы п-го члена геометрической прогрессии.

№ 630, № 631. «Не прямое» применение формулы п-го члена геометрической прогрессии, либо на использование характеристического свойства геометрической прогрессии.

№ 631 (а).

Р е ш е н и е

(с_п) – геометрическая прогрессия;

с₅ = –6, с₇ = –54.

с₅ = с₁ · q⁴

с₇ = с₁ · q⁶

q² = , q² = 9, q = 3 или q = –3.

II с п о с о б. | с₆ | = = 18; значит,

с₆ = 18 или с₆ = –18, тогда

q = ; q = = –3 или q = = 3.

О т в е т: 3; –3.

Обычно удобнее решать первым способом, но можно и вторым, способы равносильны.

№ 632 (а), № 633 (б).

№ 629. В этой задаче используются межпредметные связи с геометрией.

А₁ВС₁ подобен АВС, и коэффициент подобия равен .

Площади этих треугольников относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров, значит, , то есть .

Аналогично докажем, что . И т. д.

Значения площадей треугольников образуют геометрическую прогрессию (х_п), где х₁ = 768 и q = . Площадь А₉ВС₉ равна десятому члену этой прогрессии. Вычислим его:

О т в е т: см².

№ 638. Задача аналогична той, которую решали перед введением понятия геометрической прогрессии.

№ 643. Задание повышенной сложности можно прорешать с учащимися, чтобы закрепить не только навыки применения свойств арифметической и геометрической прогрессии, но и умение действовать по аналогии.

Р е ш е н и е

Пусть a; b; c – арифметическая прогрессия.

По условию a + b + c = 21 (*) и a; (b – 1); (c + 1) – геометрическая прогрессия. По свойству арифметической прогрессии 2b = а + с, значит, из (*) 3b = 21, b = 7.

а + с = 21 – 7 = 14;

с = 14 – а.

По свойству геометрической прогрессии

(b – 1)² = a · (с + 1);

36 = а (15 – а);

а² – 15а + 36 = 0;

а = 3 или а = 12, тогда

с = 14 – 3 = 11 или с = 14 – 12 = 2.

О т в е т: 3; 7; 11 или 12; 7; 2.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: № 625 (в, г), № 626 (б), № 634, № 639.

У р о к 67 Дата:
Нахождение суммы первых п членов
геометрической прогрессии

Цели: вывести формулу суммы первых п членов геометрической прогрессии; формировать умение применять эту формулу при решении задач.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1) Выпишите формулу п члена геометрической прогрессии.

2) В геометрической прогрессии (b_п) известны b₁ = 1,6 и q = 2. Найдите b₅; b_k.

3) Найдите первый член геометрической прогрессии (b_п), в которой b₆ = , q = .

4) Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если известно, что b₄ = 25, b₆ = 16.

В а р и а н т 2

1) Выпишите характеристическое свойство геометрической прогрессии.

2) В геометрической прогрессии (а_п) известны а₁ = 3,2 и q = . Найдите а₄; а_{k + 1}.

3) Найдите первый член геометрической прогрессии (а_п), в которой а₅ = , q = .

4) Найдите знаменатель геометрической прогрессии (b_n), в которой b₆ = 100, b₈ = 9.

О т в е т ы:

b_n² = b_{n – 1} · b_{n + 1}

1

2

3

2

25,6; 0,8 · 2k

0,4; 1,6 ·

3

9

4

или –

0,3 или –0,3

III. Объяснение нового материала.

1. У с т н а я р а б о т а (актуализация знаний).

Упростить выражение:

а) ; б) ; в) 3^{п + 1} – 3^{п – 1}.

2. Привести легенду об индийском принце и изобретателе шахмат, который в награду за изобретение попросил столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на 1-ю клетку положить одно зерно, на вторую – в два раза больше, на третью – в два раза больше, чем на вторую, и т. д. до 64-й клетки.

Количество зерен в клетках составляет геометрическую прогрессию 1; 2; 2²; 2³; … 2⁶³. Если мы сумму обозначим через S, то

S = 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶³. Домножим обе части на знаменатель геометрической прогрессии:

2S = 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶³ + 2⁶⁴;

2S – S = (2 + 2² + 2³ + … + 2⁶³ + 2⁶⁴) – (1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶³);

S = 2⁶⁴ – 1.

Если подсчитать это число и перевести на килограммы, то масса превысит триллион тонн.

3. Решая предыдущую задачу, мы уже определим принцип вывода формулы суммы первых п членов геометрической прогрессии.

Повторим эти рассуждения для произвольных b₁ и q.

S_п = b₁ + b₂ + b₃ + … b_{п – 1} + b_п; (1)

, так как b₁q = b₂,

, получаем

. (2)

Вычитаем почленно из (2) равенство (1) и получаем

S_n (q – 1) = b_nq – b₁, тогда

формула суммы первых

п членов геометрической

прогрессии.

Задать учащимся вопрос: а как быть в случае, когда q =1?

4. Также можно дать задание самостоятельно преобразовать формулу, чтобы выражать сумму только через b₁, q и п.

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

№ 648, № 649 (а, г). Самостоятельное решение упражнений на «прямое» применение формулы II.

№ 651 (а, б), № 653. Решение у доски с комментариями.

№ 654.

Р е ш е н и е

а) (х_п) – геометрическая прогрессия; х₅ = 1 = ; q = .

х₅ = х₁ · q⁴; = х₁ · ; = · х₁; х₁ = 90.

S₅ = ; S₅ = = 134.

О т в е т: 134.

При решении этого примера можно использовать обе формулы нахождения суммы первых п членов геометрической прогрессии, и учащиеся должны уметь выбирать формулу в зависимости от задачной ситуации.

№ 655. Это задание повышенной трудности, для решения которого следует не только подставлять значения в формулу, но и оценивать результат, исключать посторонние решения.

Р е ш е н и е

а₁ > 0, a₃ > 0, a₅ > 0

а₂ < 0, а₄ < 0

q < 0

а₁ = 2, a₅ = 162;

a₅ = а₁ · q⁴; 162 = 2 · q⁴;

q⁴ = 81;

q = –3, так как q < 0.

S₆ = ; S₆ = = = –364.

О т в е т: –364.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– По каким формулам находят сумму первых п членов геометрической прогрессии?

– Какие ограничения накладываются на выражения в формулах?

– Как находится сумма первых п членов геометрической прогрессии со знаменателем, равным 1?

Домашнее задание: № 649 (б, в), № 650, № 652 (а, г), № 656, № 659 (а).

У р о к 68 Дата:
Применение формулы суммы первых п членов
геометрической прогрессии

Цели: закреплять умения и навыки применения формулы суммы первых п членов геометрической прогрессии при решении задач; провести подготовку к контрольной работе.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Вычислить:

а) 3^2п : 9^{п – 1}; (9.)

б) 4^п · 2^{6 – 2п}; (64.)

в) 16 : 4^{1 + 2п} · 8^п. (2^{2 – п}.)

2. Является ли геометрической прогрессией последовательность (х_п), если:

а) х_п = 2^п; (Да.)

б) х_п = 3^–п; (Да.)

в) х_п = п²; (Нет.)

г) х_п = a · bⁿ, если а  0, b  0. (Да.)

3. Существуют ли три числа, которые составляют одновременно арифметическую и геометрическую прогрессию? (Да, любые три равных числа.)

III. Формирование умений и навыков.

На этом уроке предлагаются для решения упражнения на нахождение суммы первых п членов геометрической прогрессии по двум формулам, а также задания на применение формулы п-го члена и характеристического свойства геометрической прогрессии, в том числе повышенной сложности. Перед решением следует вспомнить определение геометрической прогрессии и все формулы, относящиеся к ней.

Упражнения:

1. № 635.

Р е ш е н и е

(х_п) – геометрическая прогрессия.

(х_п) : 2; а; b; ;

;

;

.

О т в е т: а = 1; b = .

№ 640.

Р е ш е н и е

(х_п) – геометрическая прогрессия.

х₁ = 760;

q = 0,8, так как после каждого движения поршня удаляется 20 % воздуха, значит, остается 80 %. Давление после шести движений поршня равно х₇ = х₁ · q⁶; х₇ = 760 · (0,8)⁶ ≈ 199,23.

О т в е т: ≈ 199,23 мм рт. ст.

2. С а м о с т о я т е л ь н а я р а б о т а (с последующей проверкой на этом же уроке).

В а р и а н т 1

1) Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии (b_n), в которой .

2) Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии 5; –2,5; … .

3) (а_п) – геометрическая прогрессия. Найдите S₄, если а₁ = 3, q = –2.

4) Найдите первый член геометрической прогрессии, в которой q = , S₄ = 65.

В а р и а н т 2

1) Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии (b_n), в которой .

2) Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии 1,5; –3; … .

3) (a_п) – геометрическая прогрессия. Найдите S₅, если а₁ = 18, q = –.

4) Найдите первый член геометрической прогрессии, в которой q = 2, S₈ = 765.

Р е ш е н и я самостоятельной работы

В а р и а н т 1

1)

2) ;

3)

4)

В а р и а н т 2

1)

2)

3)

4)

3. З а д а н и я п о в ы ш е н н о й с л о ж н о с т и.

№ 657.

Д а н о: (х_п) – геометрическая прогрессия.

х_п > 0 для любого n N;

х₁ + х₂ = 8; х₃ + х₄ = 72; S_k = 242.

Н а й т и: k.

Р е ш е н и е

Пусть q – знаменатель прогрессии и q > 0 (так как х_п > 0), тогда по определению х_п = х₁ · q^{п – 1}. По условию

Получаем

(так как q > 0).

Находим

3^k = 243; 3^k = 3⁵; k = 5.

О т в е т: 5 членов.

З а д а ч а. Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 13, а сумма их квадратов равна 91. Найдите первый член прогрессии, ее знаменатель и сумму пяти первых членов.

Р е ш е н и е

Пусть a, b, c – первые члены геометрической прогрессии. По свойству геометрической прогрессии имеем b² = ac. Учитывая условия задачи, запишем следующую систему уравнений с тремя неизвестными:

Из первого уравнения a + c = 13 – b. Возведем обе части уравнения в квадрат, получим:

a² + 2ac + c² = 169 – 26b + b² (1);

из второго уравнения a² + c² = 91 – b². Подставляем в уравнение (1) и получаем:

91 – b² + 2b² = 169 – 26b + b²,

26b = 78,

b = 3.

Подставляем значение b = 3 в исходную систему и получаем:

Таким образом, первые три члена последовательности 1; 3; 9 (q = 3) или 9; 3; 1 .

О т в е т: 1; 3; 121 или 9;

Задачи повышенной сложности можно решать следующим образом: разобрать идею решения, составить исходную систему уравнений, а ее решение предложить выполнить самостоятельно дома. Или сильным в учебе ученикам предложить решить в классе, а с более слабыми учениками продолжить отрабатывать основные формулы по стандартным упражнениям из сборника самостоятельных работ.

IV. Итоги урока.

Ответить на контрольные вопросы (учебник, с. 163).

Домашнее задание: № 636, № 658, № 710.

У р о к 69 Дата:
Контрольная работа № 5

В а р и а н т 1

1. Найдите седьмой член геометрической прогрессии (b_п), если b₁ = –32 и q = .

2. Первый член геометрической прогрессии (b_п) равен 2, а знаменатель равен 3. Найдите сумму шести первых членов этой прогрессии.

3. Между числами и 3 вставьте три числа, которые вместе с данными числами образуют геометрическую прогрессию.

4. Найдите сумму девяти первых членов геометрической прогрессии (b_п) с положительными членами, зная, что b₂ = 0,04 и b₄ = 0,16.

5. Найдите первый член геометрической прогрессии (а_п), в которой q = 3, S₄ = 560.

В а р и а н т 2

1. Найдите шестой член геометрической прогрессии (b_п), если b₁ = 0,81 и q = .

2. Первый член геометрической прогрессии (b_п) равен 6, а знаменатель равен 2. Найдите сумму семи первых членов этой прогрессии.

3. Между числами и 196 вставьте три числа так, чтобы они вместе с данными числами составили геометрическую прогрессию.

4. Найдите сумму восьми первых членов геометрической прогрессии (b_п) с положительными членами, зная, что b₂ = 1,2 и b₄ = 4,8.

5. Найдите первый член геометрической прогрессии (а_п), в которой q = –2, S₅ = 330.

В а р и а н т 3

1. Найдите пятый член геометрической прогрессии (b_п), если b₁ = –125 и q = .

2. Первый член геометрической прогрессии (b_п) равен 4, а знаменатель равен 2. Найдите сумму восьми первых членов этой прогрессии.

3. Между числами 48 и вставьте три числа так, чтобы вместе с данными они составили геометрическую прогрессию.

4. Найдите сумму восьми первых членов геометрической прогрессии (b_п) с положительными членами, зная, что b₃ = 0,05 и b₅ = 0,45.

5. Найдите первый член геометрической прогрессии (а_п), в которой q = –3, S₄ = 400.

В а р и а н т 4

1. Найдите девятый член геометрической прогрессии (b_п), если
b₁ = 100000 и q = .

2. Первый член геометрической прогрессии (b_п) равен 6, а знаменатель равен 4. Найдите сумму пяти первых членов этой прогрессии.

3. Между числами 35 и вставьте три числа так, чтобы вместе с данными они образовывали геометрическую прогрессию.

4. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии (b_п) с положительными членами, зная, что b₃ = 3,6 и b₅ = 32,4.

5. Найдите первый член геометрической прогрессии (а_п), в которой q = 2, S₅ = 403.

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т 1

1. (b_п) – геометрическая прогрессия, b₁ = –32, q = .

b₇ = b₁ · q⁶,

О т в е т: –0,5.

2. (b_п) – геометрическая прогрессия, b₁ = 2, q = 3.

.

О т в е т: 728.

3. ; а₂; а₃; а₄; 3 – геометрическая прогрессия,

1)

2)

О т в е т: 1) ; 2) .

4. (b_п) – геометрическая прогрессия, b_п > 0, b₂ = 0,04, b₄ = 0,16.

b₂ = b₁ · q;

;

0,16 = 0,04 · q²; q² = 4; q = 2 (так как b_п > 0)

О т в е т: 10,22.

5. (а_п) – геометрическая прогрессия, q = 3, S₄ = 560.

О т в е т: 14.

Домашнее задание : Решить другой вариант

В а р и а н т 2

1. (b_п) – геометрическая прогрессия, b₁ = 0,81, q = .

b₆ = b₁ · q⁵,

О т в е т: .

2. (b_п) – геометрическая прогрессия, b₁ = 6, q = 2.

О т в е т: 762.

3. ; а₂; а₃; а₄; 196 – геометрическая прогрессия,

1)

2)

О т в е т: 1) ; 2) .

4. (b_п) – геометрическая прогрессия, b_п > 0, b₂ = 1,2, b₄ = 4,8.

b₂ = b₁ · q;

;

4,8 = 1,2 · q²; q² = 4; q = 2 (так как b_п > 0);

О т в е т: 153.

5. (а_п) – геометрическая прогрессия, q = –2, S₄ = 330.

О т в е т: 30.

В а р и а н т 3

1. (b_п) – геометрическая прогрессия, b₁ = –125, q = .

b₅ = b₁ · q⁴,

О т в е т: –0,2.

2. (b_п) – геометрическая прогрессия, b₁ = 4, q = 2.

О т в е т: 1020.

3. 48; а₂; а₃; а₄; – геометрическая прогрессия,

1)

2)

О т в е т: 1) ; 2) .

4. (b_п) – геометрическая прогрессия, b_п > 0, b₃ = 0,05, b₅ = 0,45.

b₃ = b₁ · q²;

;

0,45 = 0,05 · q²; q² = 9; q = 3 (так как b_п > 0);

О т в е т: 18.

5. (а_п) – геометрическая прогрессия, q = –3, S₄ = 400.

О т в е т: –20.

В а р и а н т 4

1. (b_п) – геометрическая прогрессия, b₁ = 100000, q = .

b₉ = b₁ · q⁸,

О т в е т: 0,256.

2. (b_п) – геометрическая прогрессия, b₁ = 6, q = 4.

О т в е т: 2046.

3. 35; а₂; а₃; а₄; – геометрическая прогрессия,

1)

2)

О т в е т: 1) ; 2) .

4. (b_п) – геометрическая прогрессия, b_п > 0, b₃ = 3,6, b₅ = 32,4.

b₃ = b₁ · q²;

;

32,4 = 3,6 · q²; q² = 9; q = 3 (так как b_п > 0);

О т в е т: 48,4.

5. (а_п) – геометрическая прогрессия, q = 2, S₅ = 403.

О т в е т: 13.

У р о к 70 Дата:
Обощающий урок по теме
«Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Цель: систематизировать знания и умения по изученной теме.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ результатов контрольной работы.

1. Учащиеся, выполнившие задания контрольной работы на «хорошо» и «отлично», получают карточки-задания повышенной сложности.

К а р т о ч к а № 1.

1. Найдите число членов арифметической прогрессии а₁;а₂; …; а_2п, если а₂ + а₄ + а₆ + … + а_2п = 126 и а_{п – 2} + а_{п + 4} = 42.

1) 6; 2) 8; 3) 10; 4) 16; 5) 12.

2. Найдите 1 – 3 + 5 – 7 + 9 – 11 + … + 97 – 99.

1) –46; 2) –48; 3) –50; 4) –52; 5) –54.

3. Вычислите сумму первых п членов последовательности 1; 3; 7; 15; 31; …; 2^п – 1.

1) 4^п + 3п; 2) 2 (2^п –1) – п; 3) 2^п + п + 1;

4) 2^2п – 4п; 5) определить нельзя.

К а р т о ч к а № 2.

1. Сколько бы ни взять первых членов арифметической прогрессии, сумма их равна утроенному произведению квадрата числа этих членов. Найдите седьмой член этой прогрессии.

1) 8; 2) 9; 3) 11; 4) 10; 5) 7.

2. На сколько уменьшится сумма 1 · 4 + 2 · 8 + 3 · 12 + … + 20 · 80, если второй множитель в каждом слагаемом уменьшить на единицу?

1) 60; 2) 120; 3) 210; 4) 375; 5) 465.

3. Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 75 включительно, при делении квадратов которых на 3, получается остаток, равный 1.

1) 1875; 2) 925; 3) 1900; 4) 2850; 5) 2125.

К а р т о ч к а № 3.

1. Сумма четырех первых членов арифметической прогрессии равна 124, а сумма четырех последних ее членов равна 156. Сколько членов в этой прогрессии, если известно, что сумма их равна 350?

1) 8; 2) 9; 3) 11; 4) 10; 5) 7.

2. На сколько уменьшится сумма 1 · 4 + 2 · 6 + 3 · 8 + … + 10 · 22, если второй множитель в каждом слагаемом уменьшить на 3?

1) 165; 2) 30; 3) 180; 4) 90; 5) 330.

3. Вычислите сумму (а₃ – а₁) + (а₅ – а₃)² + … + (а₁₉ – а₁₇)² для арифметической прогрессии с членами а₁, а₂, … а_п и разностью d = 1.

1) 1022; 2) 8192; 3) 4094; 4) 8194; 5) 4096.

К а р т о ч к а № 4.

1. Сумма первых четырех членов возрастающей геометрической прогрессии равна 15, а сумма последующих четырех членов равна 240. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.

1) 31; 2) 48; 3) 63; 4) 127; 5) 144.

2. Найдите сумму первых 20 чисел, которые при делении на 5 дают остаток 1.

1) 950; 2) 1070; 3) 1090; 4) 1030; 5) 1100.

3. Сколько арифметических прогрессий (х_п) удовлетворяют условию (| х_п | – 1)² + (| х_п | – 1)² + … + (| х_п | – 1)² + ... = 0?

1) 2; 2) 1; 3) n; 4) 2n; 5) n – 1.

К а р т о ч к а № 5.

1. На сколько меньше десяти корень уравнения:

?

1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) 5.

2. Найдите сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 9 дают в остатке 4.

1) 527; 2) 535; 3) 536; 4) 542; 5) 545.

3. Чему равен знаменатель геометрической прогрессии, состоящей из четного числа членов, если сумма всех ее членов в три раза больше суммы членов, стоящих на нечетных местах?

1) 3; 2) ; 3) ; 4) 2; 5) 3.

К а р т о ч к а № 6.

1. Начиная с какого номера, члены геометрической прогрессии –8; 4; –2; … будут по модулю меньше 0,001?

1) 16; 2) 12; 3) 15; 4) 14; 5) 13.

2. Не равные нулю числа x, y, z образуют в указанном порядке знакопеременную геометрическую прогрессию, а числа x + y; y + z; z + x – арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

1) –2; 2) –1; 3) –3; 4) –5; 5) –4.

3. Числовая последовательность 1; 8; 22; 43; … обладает таким свойством, что разности двух соседних членов составляют арифметическую прогрессию 7; 14; 21; … . Какой член данной последовательности равен 35351?

1) 97; 2) 99; 3) 101; 4) 103; 5) 107.

К а р т о ч к а № 7.

1. Укажите натуральное число, равное суммы всех предшествующих ему натуральных нечетных чисел.

1) 18; 2) 30; 3) 24; 4) 36; 5) 48.

2. Если к первым четырем членам геометрической прогрессии прибавить соответственно 1, 1, 4 и 18, то получится арифметическая прогрессия. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.

1) 2; 2) –2; 3) 3; 4) –3; 5) 4.

3. В последовательности, состоящей из натуральных чисел, второй член больше первого, а каждый член последовательности, начиная с третьего, является произведением двух предыдущих. Если четвертый член равен 18, то чему равна разность между вторым и первым членами последовательности?

1) 1; 2) 5; 3) 17; 4) 1 или 17; 5) 7.

К а р т о ч к а № 8.

1. Укажите натуральное число, равное суммы всех предшествующих ему натуральных нечетных чисел.

1) 68; 2) 24; 3) 32; 4) 64; 5) 40.

2. Последовательность (а_п) задана рекуррентной формулой а₁ = 0,
а₂ = 1, … а_{п + 2} = а_{п + 1} – а_п. Найдите 885-й член этой последовательности.

1) 1; 2) 0; 3) –1; 4) 2; 5) 3.

3. В последовательности, состоящей из натуральных чисел, первый член выбирается случайным образом, а каждый последующий член последовательности получается возведением предыдущего в квадрат и вычитанием из результата 5. Если третий член равен 116, то чему равен первый член последовательности?

1) 3; 2) 4; 3) 5; 4) 7; 5) 8.

О т в е т ы:

III. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что такое последовательность? Какие способы задания последовательности существуют?

– Сформулируйте определение арифметической прогрессии. Какое число называется разностью арифметической прогрессии?

– Сформулируйте определение геометрической прогрессии. Какое число называется знаменателем геометрической прогрессии?

– Запишите формулы п-го члена и суммы первых п членов для арифметической и геометрической прогрессий.

Домашнее задание: № 675, № 686, № 709, № 660.

У р о к 71 Дата:

Комбинаторные задачи.
Комбинации с учетом и без учета порядка

Цели: ввести понятие комбинаторной задачи, рассмотреть задачи с учетом и без учета порядка; формировать умения решать комбинаторные задачи полным перебором вариантов, а также с помощью графов.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Решить старинную задачу VIII века:

Волк, коза и капуста

Некий человек должен был перевезти в лодке через реку волка, козу и капусту. В лодке мог поместиться только один человек, а с ним или волк, или коза, или капуста. Но если оставить волка с козой без человека, то волк съест козу, если оставить козу с капустой, то коза съест капусту, а в присутствии человека никто никого не ест. Как перевезти груз через реку?

При решении этой задачи учащиеся комбинируют разные сочетания, оценивают варианты, получают следующее решение:

III. Объяснение нового материала.

1. В математике существует немало задач, в которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному правилу. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающейся решением этих задач, называется комбинаторикой (от лат. combinare, которое означает «соединять, сочетать»).

С комбинаторными задачами люди имели дело еще в глубокой древности, когда, например, они выбирали наилучшее расположение воинов во время охоты, придумывали узоры на одежде или посуде. Позже появились нарды, шахматы. Как ветвь математики комбинаторика возникла только в XVII в. В дальнейшем полем для приложения комбинаторных методов оказались биология, химия, физика. И, наконец, роль комбинаторики коренным образом изменилась с применением компьютеров: она превратилась в область, находящуюся на магистральном пути развития науки.

2. П р и м е р ы к о м б и н а т о р н ы х з а д а ч.

Рассмотрим примеры, разобранные на с. 171–172 учебника. При этом обратим внимание учащихся, что в первой задаче в комбинациях нам не важен порядок элементов, а во второй задаче порядок элементов следует учитывать.

Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении этих задач, называется перебором возможных вариантов. Смысл этих упражнений в том, чтобы показать учащимся преимущества организованного, систематического перебора вариантов. Не нужно перечислять числа произвольно, по принципу «что придет на ум». Нужна система: фиксируем один элемент и начинаем перебирать оставшиеся, анализируем и т. д.

Демонстрируем ученикам преимущества наглядного представления комбинаций с помощью графов – полных либо графа-дерева.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке при решении задач следует особое внимание уделить анализу условий: является ли задача на комбинацию с учетом или без учета порядка элементов, как удобнее изобразить решение: с помощью графа или простым перечислением (полным перебором).

№ 715.

В этой задаче не учитывается порядок элементов. Можно осуществлять перебор как в примере 1, а можно наглядно переставить в виде графа:

В – Вера

З – Зоя

М – Марина

П – Полина

С – Светлана

Ребра графа показывают связь в парах, таких ребер 10, значит, всего 10 вариантов выбора подруг.

З а д а ч а. В столовой предлагают два первых блюда: щи и борщ; три вторых блюда: рыба, гуляш и плов; два третьих: компот и чай. Перечислите все возможные варианты обедов из трех блюд. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.

Р е ш е н и е

щ – п – к (5)

щ – п – ч (6)

б – р – к (7)

б – р – ч (8)

б – г – к (9)

б – г – ч (10)

б – п – к (11)

б – п – ч (12)

О т в е т: 12 вариантов.

№ 716.

В этой задаче при выборе пар входов порядок выбора имеет значение: АВ означает, что посетитель вошел через А, а вышел через В, а ВА означает, что вошел через В, а вышел через А.

Фиксируем каждый вход по очереди и дописываем к нему в пару оставшиеся:

А: АВ, АС, АD;

В: ВА, ВС, ВD;

С: СА, СВ, СD;

D: DA, DB, DC.

Итого – 12 вариантов.

№. 718, № 720. При решении этих задач следует обратить внимание учащихся, что если мы из цифр составляем двузначное (трехзначное) число, то нуль не может стоять на первом месте.

№ 717. Заметим, что для указания способа раскладки яблок в две вазы достаточно указать способ заполнения одной вазы, поскольку все, что не попадает в первую вазу, попадает во вторую.

Вообще, во всех случаях, когда п элементов нужно разбить на 2 группы, при подсчете количества способов разбиения достаточно подсчитать число способов формирования одной половины.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какие задачи называются комбинаторными?

– Приведите примеры ситуаций выбора комбинаций с учетом и без учета порядка элементов.

– В чем сущность способа полного перебора вариантов?

– Из чего состоит граф (граф-дерево) возможных вариантов?

Домашнее задание: № 714, № 719, № 721, № 729

У р о к 72 Дата:
Комбинаторное правило умножения

Цели: изучить комбинаторное правило умножения; формировать умения решать комбинаторные задачи с помощью правила умножения и составления таблиц возможных вариантов.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Три друга при встрече обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий? (3.)

2. Есть помидоры, огурцы и лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый из них должны входить в равных долях 2 различных вида овощей? (3.)

3. Перечислить все возможные способы разложения по двум вазам одного яблока и одной груши. (4.)

4. Сколькими способами Петя и Вова могут занять 2 места за одной двухместной партой? (2.)

5. Сколько подарочных наборов можно составить:

1) из одного предмета; (1.)

2) из двух предметов, если в наличии имеются одна ваза и одна ветка сирени? (3.)

III. Объяснение нового материала.

1. Чтобы подвести учащихся к «открытию» комбинаторного правила умножения, целесообразно начать объяснение нового материала с проверки решения задачи № 714 (домашнее задание) с выносом графа-дерева решения на доску:

Замечаем, что можно было решить эту задачу даже устно. Рассуждаем так. Первое блюдо можно выбрать двумя способами. Для каждого первого блюда можно подобрать второе четырьмя способами. Эти выборы независимы друг от друга, так как каждый осуществляется из своего множества вариантов. Значит, общее число вариантов обеда равно произведению 2 · 4, то есть 8.

В о п р о с у ч а щ и м с я: а если бы на обед было предложено выбрать еще одно третье блюдо из пяти: чай, кофе, сок, компот, кисель? Тогда для каждого варианта обеда мы могли бы предложить пять вариантов третьего блюда и получили бы 8 · 5 или 40 вариантов обеда из трех блюд.

2. Решая эту задачу, мы использовали так называемое комбинаторное правило умножения.

Формулируем его в общем виде, обращая особое внимание на условие его применения – выбор из независимых наборов вариантов:

Пусть имеется п элементов и требуется выбрать из них один за другим k элементов. Если первый элемент можно выбрать п₁ способами, после чего второй элемент можно выбрать п₂ способами из оставшихся, затем третий элемент можно выбрать п₃ способами из оставшихся и т. д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению п₁ · п₂ · п₂ · … · п_k.

3. П р и м е р 3 рассматриваем из учебника со с. 173.

IV. Формирование умений и навыков.

На прошлом уроке мы рассмотрели два способа решения комбинаторных задач:

1. Перечисление (полный перебор) вариантов.

2. Подсчет вариантов с помощью графов.

2.1. Полные графы.

2.2. Дерево возможных вариантов (граф-дерево).

На этом уроке добавляются еще два способа:

3. Составление таблицы возможных вариантов.

4. Непосредственное применение комбинаторного правила умножения.

Упражнения:

№ 727, № 728. На непосредственное применение комбинаторного правила умножения.

О б р а з е ц о ф о р м л е н и я решения задачи.

№ 728.

В задаче 4 последовательных выбора, каждый из своего множества вариантов. Общее количество различных карнавальных костюмов равно:

5 · 6 · 3 · 2 = 180.

О т в е т: 180 различных костюмов.

№ 722.

Выбирая команды для игры, мы не учитываем порядок в паре, так как если первая команда играла со второй, то это одновременно означает, что вторая команда играла с первой.

Составим таблицу возможных вариантов, отмечая крестиком игру между командами.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Можно просто посчитать количество крестиков, но это не рационально. Заметим, что количество игр представляет собой арифметическую прогрессию (а_п), где а₁ = 1, d = 1, п = 11. Значит, нам надо найти S₁₁.

.

Это мы посчитали количество игр, проведенных командами на своем поле. Значит, столько же игр сыграно на поле противника. Итого – 132 игры.

№ 723.

На прошлом уроке мы решали такую же задачу, но с меньшим количеством участников, с помощью графа. В этой задаче этот способ применять нецелесообразно, так как очень большое количество ребер графа может только запутать учеников. Покажем два других способа решения этой задачи.

I с п о с о б. Составление таблицы возможных вариантов.

а_п) – арифметическая прогрессия.

а₁ = 1, d = 1, п = 7;

О т в е т: 28 рукопожатий.

II с п о с о б. Применение комбинаторного правила умножения.

Каждый человек пожимает руку семи оставшимся. Но так как порядок выбора не имеет значения (если Иванов пожимает руку Петрову, то одновременно и Петров пожимает руку Иванову), то общее число рукопожатий равно = 28.

О т в е т: 28 рукопожатий.

№ 725. Применение комбинаторного правила умножения.

Всего 10 цифр, каждая цифра комбинируется с оставшимися девятью (причем важен порядок, так как 2–3 и 3–2 разные коды) и с самой собой (возможен код 1–1, 3–3 и т. д.). Значит, вариантов 10 · 10 = 100. Так как в доме 96 квартир, то кодов хватит для всех.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какие способы решения комбинаторных задач вы знаете?

– Охарактеризуйте каждый способ решения.

– Сформулируйте комбинаторное правило умножения.

Домашняя работа: № 724, № 726, № 834, № 730 (а), № 731 (в).

У р о к 73 Дата:
Перестановка из п элементов
конечного множества

Цели: ввести понятие перестановки из п элементов конечного множества, понятие п!; вывести формулу нахождения числа перестановок с помощью комбинаторного правила умножения и формировать умение ее применения при решении задач.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Подсчитать число однобуквенных слов русского языка.

Р е ш е н и е

б – сокращенное частицы «бы»

в – предлог

ж – сокращенное частицы «же»

и – союз

к – предлог

о – предлог

с – предлог

у – предлог и междометие

э – междометие

я – местоимение

З а м е ч а н и е: смысл упражнения в том, чтобы напомнить учащимся преимущества организованного, систематического перебора вариантов. Не перечисляем произвольно однобуквенные слова, а берем алфавит, просматриваем буквы и анализируем, употребляется ли эта буква как самостоятельное слово или нет.

2. Важен или нет порядок в следующих выборах:

а) капитан волейбольной команды и его заместитель (да);

б) три ноты в аккорде (нет);

в) «шесть человек останутся убирать класс!» (нет);

г) две серии для просмотра из нового многосерийного фильма (да)?

3. Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр:

1) 1 и 2 (8);

2) 0 и 1 (4)?

4. У Светланы 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Светланы? (15.)

III. Объяснение нового материала.

Решая на предыдущих уроках комбинаторные задачи, ученики обратили внимание, что различные варианты составляемой комбинации элементов могут отличаться один от другого: только порядком расположения выбранных элементов; только составом входящих в комбинацию элементов, без учета порядка их расположения; как составом, так и порядком расположения элементов в комбинации. Чтобы не решать каждую задачу как «в первый раз», необходимо их систематизировать и для каждого типа выделить алгоритм и формулу.

Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества, являются перестановки.

З а д а ч а. В комнате вдоль стены стоят шкаф (ш), стол (с), кресло (к). Мама решила сделать перестановку мебели. Сколько вариантов расположения этих трех предметов мебели существует?

Опять нацеливаем ребят на то, что надо не произвольно называть варианты, а выработать стратегию, алгоритм перечисления, перестановок:

1-й ш а г. Фиксируем первый элемент – шкаф, дописываем к нему два возможных выбора из двух оставшихся элементов:

ш – с – к; ш – к – с.

2-й ш а г. Фиксируем второй элемент – стол, дописываем к нему два возможных выбора из двух оставшихся элементов:

с – ш – к; с – к – ш.

3-й ш а г. Фиксируем третий элемент – кресло, дописываем к нему два возможных выбора из двух оставшихся элементов:

к – ш – с; к – с – ш.

И т о г о – 6 вариантов расположения мебели (один из которых является исходным).

Каждое из возможных таких расположений трех элементов называют перестановкой из трех элементов.

Далее формулируем определение:

Перестановкой из п элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.

Обозначение: Р_п (читается «Р из п»).

Затем замечаем, что для подсчета количества перестановок можно воспользоваться комбинаторным правилом умножения, тогда

Р_п = п (п – 1) (п – 2) · … · 3 · 2 · 1

или Р_п = 1 · 2 · 3 · … (п – 2) (п – 1) · п

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащимся предлагаются для решения з а д а н и я трех типов:

1) На непосредственное применение формулы для вычисления количества перестановок.

2) На выделение фиксированных элементов и вычисление количества перестановок из оставшихся элементов.

3) На преобразование выражений, содержащих факториалы.

Упражнения:

№ 732, № 735. Несмотря на то, что эти упражнения очень просты, важно не допустить формального применения учащимися формулы! Обязательно проводить анализ условия и обосновывать, что речь в задаче идет именно о числе перестановок.

№ 732.

Р е ш е н и е

Количество человек равно количеству мест на скамейке, поэтому количество способов размещения равно числу перестановок из 4 элементов:

Р₄ = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

О т в е т: 24 способами.

В № 735 важно правильно понять вопрос задачи, тогда всего перестановок Р₅ = 5! = 120, но выражений 119, так как исходное выражение не рассматриваем.

№ 736.

Р е ш е н и е

Три последние цифры телефонного номера могут быть расположены в одном из Р₃ = 3! = 6 возможных порядков, из которых только один верный. Наибольшее число вариантов Ольге придется набрать, если правильный ответ окажется последним, то есть шестым.

О т в е т: 6 вариантов.

№ 737 (б).

Р е ш е н и е

Так как число шестизначное, следовательно, нуль не может стоять на первом месте. Задачу можно решить двумя способами:

I с п о с о б. Применим комбинаторное правило умножения: на первое место можно выбрать любую цифру из пяти (кроме нуля); на второе – любую из пяти оставшихся (нуль входит); на третье – любую из четырех оставшихся после первых двух выборов цифр и т. д. Общее количество вариантов равно:

5 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 600.

II с п о с о б. Метод исключения лишних вариантов.

Из 6 цифр можно сделать перестановок Р₆ = 6! = 720, но в этом случае будут варианты с нулем на первом месте, их и надо исключить.

Если нуль на первом месте (фиксирован), то количество способов размещения оставшихся пяти цифр на пяти местах равно Р₅ = 5! = 120.

Искомое количество шестизначных чисел в этом случае равно
Р₆ – Р₅ = 720 – 120 = 600.

О т в е т: 600 чисел.

№ 738.

Р е ш е н и е

Фиксируем цифру 3 на первом месте; тогда на трех оставшихся местах в произвольном порядке могут располагаться цифры 5, 7, 9. Число вариантов равно Р₃ = 3! = 6.

О т в е т: 6.

№ 746 (а, в).

Р е ш е н и е

а) Чтобы 30! делилось на 90, необходимо, чтобы все множители, на которые делится 90, содержались в 30!

90 = 3 · 30, поэтому 30! делится на 90.

в) 94 = 2 · 47, где 47 – простое число, его нет среди сомножителей 30!, поэтому 30! не делится на 94.

№ 748 (а, в, г).

Р е ш е н и е

а) = 15;

г) = 40.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что означает запись п!?

– Что называется перестановкой из п элементов?

– Запишите формулу для вычисления числа перестановок из п элементов.

Домашняя работа: № 733, № 734, № 738 (б), № 746 (б, г), № 748 (б, д, е).

У р о к 74 Дата:
Комбинаторные задачи на нахождение числа
перестановок из п элементов

Цели: продолжить формирование умений применять формулу числа перестановок из п элементов при решении задач.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Вычислить:

а) 3!; б) 5!; в) 1!; г) ; д) ;

е) 6! – 5!; ж) Р₄; з) ; и) Р₂ + Р₃.

III. Самостоятельная работа.

В а р и а н т 1

1. Сколько существует вариантов рассаживания вокруг стола 6 гостей на шести стульях?

2. У Вовы на обед первое, второе, третье блюда и салат. Он обязательно начнет с салата, а остальное съест в произвольном порядке. Найдите число возможных вариантов обеда.

3. Игральный кубик бросили трижды и записали выпавшие очки. Найдите число всех возможных результатов.

В а р и а н т 2

1. Сколько существует вариантов рассаживания вокруг дачного домика 8 различных деревьев в восемь подготовленных ям?

2. Маше необходимо сшить пяти куклам 5 платьев. Любимой кукле Алине в первую очередь, а остальным в произвольном порядке. Найдите число возможных вариантов пошива кукольной одежды.

3. В ларьке продается 5 видов мороженого в брикетах. Оля и Таня покупают по одному брикету. Сколько существует вариантов такой покупки?

Р е ш е н и е

В а р и а н т 1

1. Будем считать, что стулья пронумерованы. Тогда варианты расположения шести людей на шести стульях будут отличаться один от другого только порядком расположения людей на местах, то есть будут являться перестановками из 6 элементов:

Р₆ = 6! = 720.

О т в е т: 720 способов.

2. После салата Вова может выбрать любое из трех блюд, затем – из двух, а закончить оставшимся. Общее число вариантов:

Р₃ = 3! = 6.

О т в е т: 6 вариантов.

3. Первое бросание кубика может закончиться одним из шести исходов. Каждый исход первого бросания может сочетаться с каждым из шести исходов второго. По комбинаторному правилу умножения таких исходов:

6 · 6 = 36.

О т в е т: 36 результатов.

В а р и а н т 2

1. Будем считать, что деревья пронумерованы. Тогда варианты расположения восьми деревьев в восьми ямах будут отличаться один от другого только порядком расположения деревьев в ямах, то есть будут являться перестановками из 8 элементов:

Р₈ = 8! = 40320.

О т в е т: 40320.

2. После пошива платья кукле Алине Маша может шить одежду в произвольном порядке четырем оставшимся куклам. Число таких вариантов равно числу перестановок из 4 элементов:

Р₄ = 4! = 24.

О т в е т: 24 варианта.

3. Оля может выбрать брикет любого из 5 видов, Таня также может выбрать брикет любого из 5 видов, в том числе и такой, какой купила Оля. Общее число вариантов покупки равно по комбинаторному правилу умножения:

5 · 5 = 25.

О т в е т: 25 вариантов.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке задания имеют качественно иной уровень – необходимо проанализировать условие задачи, составить алгоритм перебора вариантов и только затем применять формулу подсчета числа перестановок из п элементов.

Упражнения:

№ 739.

Р е ш е н и е

Каждое четырехзначное число, составленное из цифр 1; 3; 5; 7 (без повторения), имеет сумму цифр, равную 1 + 3 + 5 + 7 = 16. Из этих цифр можно составить Р₄ = 4! = 24 различных числа, отличающихся только порядком цифр. Сумма цифр всех этих чисел равна 16 · 24 = 384.

О т в е т: 384.

№ 740 (а).

Р е ш е н и е

Среди чисел, составленных из цифр 1; 2; 3; 4 (без повторения), больше 3000 будут четырехзначные числа, начинающиеся с цифр 3 или 4.

Фиксируем цифру 3, тогда из оставшихся трех можно получить
Р₃ = 3! = 6 перестановок.

Фиксируем цифру 4, тогда из оставшихся трех чисел можно получить Р₃ = 6 перестановок. Значит, всего таких чисел 6 + 6 = 12.

О т в е т: 12 чисел.

№ 741.

Р е ш е н и е

а) Всего 7 мальчиков на 7 местах, но один элемент фиксирован, не переставляется (Олег находится в конце ряда). Число комбинаций равно числу перестановок 6 мальчиков, стоящих перед Олегом:

Р₆ = 6! = 720.

б) Два элемента фиксированы. Число возможных комбинаций равно числу перестановок 5 мальчиков, стоящих между Олегом и Игорем:

Р₅ = 5! = 120.

в) Пусть Олег и Игорь стоят рядом. Возможны два варианта их расположения в паре (Олег – Игорь, Игорь – Олег). Будем рассматривать эту пару как единый элемент, переставляемый с другими пятью элементами. Число таких комбинаций для каждого из двух случаев равно Р₆ = 6! = 720. Значит, всего вариантов 720 + 720 = 1440.

З а м е ч а н и е: Такой прием называется «склеиванием» элементов.

О т в е т: а) 720; б) 120; в) 1440.

Также на уроке можно предложить для решения задачи повышенной сложности.

№ 744.

Р е ш е н и е

Применяем прием «склеивания» элементов. Пять сборников стихов можно «склеить» между собой Р₅ = 5! = 120 различными способами.

Теперь имеем множество, состоящее из 8 элементов (7 элементов +
+ «склейка»). Для каждой из 120 «склеек» существует Р₈ = 8! = 40320 перестановок в группе из 8 элементов. Значит, общее число способов расставить 12 книг, из которых 5 должны стоять рядом, равно 120 · 40320 =
= 4 838 400.

О т в е т: 4 838 400 способов.

№ 745.

Р е ш е н и е

а) 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1 по 10-е:

Р₁₀ = 10! = 3 628 800 различными способами.

б) Если мальчики могут сидеть только на нечетных местах, а девочки – только на четных, то мы можем менять местами только мальчиков с мальчиками и девочек с девочками. Для мальчиков это Р₅ = 5! = 120 вариантов и Р₅ = 120 вариантов – для девочек. Каждый вариант расположения мальчиков может сочетаться с каждым из вариантов расположения девочек, поэтому по комбинаторному правилу умножения общее число способов рассадить детей в этом случае равно 120 · 120 = 14400.

О т в е т: 3 628 800, 14400.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется перестановкой из п элементов? Запишите формулу для вычисления числа перестановок из п элементов.

– Каким способом решаются комбинаторные задачи на перестановки при фиксированных элементах?

– В чем суть приема «склеивания» элементов?

Домашнее задание: № 740 (б), № 742, № 743, № 750.

У р о к 75 Дата:
Размещение из п элементов по k (k ≤ n)

Цели: ввести понятие размещения из п элементов по k, где k ≤ n; вывести формулу нахождения числа размещений с помощью комбинаторного правила умножения; формировать умение решать комбинаторные задачи с применением данной формулы.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Составить всевозможные двухбуквенные слова, используя буквы:

а) ы, т, в (ты; вы); б) н, о, а (но, на, он, ан).

3. Анна (А), Белла (Б) и Вера (В) купили билеты в кинотеатр на 1-е, 2-е и 3-е места первого ряда. Перечислить все возможные способы, которыми девочки могут занять эти три места.

(Р₃ = 3! = 6: АБВ, АВБ; БАВ, БВА; ВАБ, ВБА.)

III. Проверка домашнего задания.

С обязательным вынесением на доску решения.

№ 750 (б).

Р е ш е н и е

(п + 1)! · п = п! (п + 1) · п > п! (п + 1) в п раз.

IV. Объяснение нового материала.

1. Для актуализации знаний предложить для решения № 839 (а, б).

Р е ш е н и е

а) = n + 1;

б) .

2. З а д а ч а. Из четырех конфет – ириска (и), леденец (л), карамель (к), шоколадная (ш) – Марина решила последовательно съесть три. Перечислите все варианты, которыми это можно сделать.

Это задача о выборе трех элементов из четырех с учетом порядка выбора.

Начинаем перечисление с анализа условия: первую конфету можно выбрать одним из четырех способов; для каждой первой конфеты вторую можно выбрать тремя способами из трех оставшихся; для каждой второй третью конфету можно выбрать двумя способами из двух оставшихся. Мы сразу видим количество вариантов – по правилу умножения их 4 · 3 · 2 = 24 – и алгоритм записи в таблицу (в первой строке комбинации, начинающиеся с «и», во второй – с «л» и т. д.).

3. Определение. Размещением из п элементов по k (k  n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определенном порядке из данных п элементов.

О б о з н а ч е н и е. (читается «А из п по k»).

Подчеркиваем, что в этом определении важен не только выбор, но и порядок элементов в выборе.

4. Формулу можно вывести по правилу умножения, причем, для частного случая, мы уже знаем алгоритм. Можно сильному классу попробовать вывести самостоятельно:

– формула вычисления числа размещений из п по k.

Очень важный момент при изучении этой формулы – рассмотреть случай, когда п = k. Тогда получается размещения из п элементов по п отличаются друг от друга только порядком элементов, то есть представляют собой перестановки из п элементов.

Будем считать по определению 0! = 1, в этом случае

, то есть .

5. Рассмотрим примеры 1 и 2 со с. 181–182 учебника.

V. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

№ 754.

Р е ш е н и е

Пронумеруем места в купе (с 1 по 4) и будем «выдавать» каждому из трех членов семьи номер места. Из 4 элементов (номеров мест) будут делаться выборки по 3 элемента, при этом важен не только состав выборки, но и порядок расположения в ней элементов. Число способов равно числу размещений из 4 по 3:

= 2 · 3 · 4 = 24.

О т в е т: 24 способа.

№ 756, № 757. Самостоятельное решение с последующей проверкой.

При решении этих заданий следует уделять внимание обоснованию выбора формулы для подсчета числа размещений, не допуская формализма.

Ученики могут решить эти задания не только по формуле, но и применяя комбинаторное правило умножения. Следует поощрять и этот способ решения, так как он позволяет осознать структуру самой формулы и лучше ее запомнить.

№ 760.

Р е ш е н и е

а) Выбираем 2 места для фотографий из 6 свободных мест в альбоме:

.

б) Выбираем 4 места для фотографий из 6:

.

в) Выбираем 6 мест из 6 (делаем всевозможные перестановки из 6 фотографий):

= Р₆ = 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720.

О т в е т: а) 30 способов; б) 360 способов; в) 720 способов.

№ 762.

Р е ш е н и е

а) Выбираем 4 цифры из 5 данных, порядок выбора имеет значение:

= 2 · 3 · 4 · 5 = 120.

б) Выбираем 4 цифры из 5, но на первое место нельзя выбирать ноль. Используем метод исключения лишних элементов: если на первое место выбран ноль, то после этого выбираем еще на 3 места цифры из 4 оставшихся, получаем = 2 · 3 · 4 = 24 «нулевых» комбинаций, которые недопустимы.

Количество всех четырехзначных чисел, которые можно составить из данных 5 чисел, равно: = 2 · 3 · 4 · 5 = 120.

Значит, допустимых – = 120 – 24 = 96.

О т в е т: а) 120 чисел; б) 96 чисел.

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется размещением из п элементов по k?

– Запишите формулу для вычисления числа размещений из п элементов по k.

– Чему равно 0!? 1!?

Домашнее задание: № 755, № 758, № 759, № 767.

У р о к 76 Дата:
Комбинаторные задачи на нахождение числа
размещений из п элементов по k (k ≤ п)

Цель: продолжить формирование умений применять формулу нахождения числа размещений из п элементов по k при решении задач.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Вычислить:

а) ; б) ; в) .

2. Делится ли 50!:

а) на 75; б) 77; в) 159.

3. Имеются три книги трех различных авторов: Толстого Л. Н. (Т); Пушкина А. С. (П); Достоевского Ф. М. (Д). Сколькими способами из этих книг можно расположить на полке:

а) одну книгу; б) две книги; в) три книги?

III. Формирование умений и навыков.

На этом уроке следует решать упражнения не только на прямое применение формулы нахождения числа размещений, но и задачи повышенной сложности, а также задачи, имеющие несколько способов решения.

№ 761.

Р е ш е н и е

Выбираем 5 букв для обозначения точек из 26 букв в алфавите; порядок выбора имеет значение (какую точку какой буквой обозначим):

.

О т в е т: 7 893 600 способов.

№ 763.

Р е ш е н и е

Выбираем из 10 цифр семь, причем первый выбор делается из 9 цифр (без нуля). Используя метод исключения лишних вариантов, получаем:

1· 2 · 3 · 4 · 5 · 7 · 8 · 9 · 9 = 544320.

О т в е т: 544320.

№ 764.

Р е ш е н и е

Выбираем 3 цифры из 5 данных, причем:

а) последней цифрой должна быть 2 или 4; количество вариантов (фиксирована 2) + (фиксирована 4) = 2 · = 2 · 3 · 4 = = 24.

б) последней цифрой должна быть 5; количество вариантов равно (фиксирована 5) = = 3 · 4 = 12.

О т в е т: а) 24 числа; б) 12 чисел.

Прежде чем приступить к самостоятельной работе, можно решить два задания повышенной сложности с факториалами.

№ 837.

Р е ш е н и е

Число оканчивается одним нулем, если среди множителей, на которые оно разлагается, есть одно число 10; оканчивается двумя нулями, если есть два множителя 10; и тремя нулями – если есть три множителя 10.

Поскольку п! есть произведение п последовательных натуральных чисел, то в нем каждый второй множитель четный, то есть содержит в разложении число 2, а каждый пятый множитель кратен 5. Поэтому каждый пятый множитель в п! добавляет в разложение этого числа одно число 10.

Таким образом,

а) 5! содержит двойки и одну 5, что дает один множитель 10, то есть 5! заканчивается одним нулем;

б) 10! содержит двойки и две 5, что дает два множителя 10, то есть 10! оканчивается двумя нулями;

в) 15! содержит двойки и три 5, что дает три множителя 10, то есть 15! оканчивается тремя нулями.

О т в е т: а) 5!; б) 10!; в) 15!

№ 840.

Р е ш е н и е

а) = 42; = 42;

п · (п + 1) = 42; п = 6.

З а м е ч а н и е: квадратное уравнение можно не решать, так как второй корень не будет натуральным числом.

б)

О т в е т: а) п = 6; б) п = 5.

IV. Самостоятельная работа.

В а р и а н т 1

1. Сколькими способами пять школьников, сдающих экзамен, могут занять места в классе, в котором стоят 20 одноместных столов?

2. Решить уравнение:

п! = 7 (п – 1)!.

3. Сколькими нулями оканчивается число 12!?

В а р и а н т 2

1. Сколькими способами семь малышей могут занять места в комнате детского сада, в которой стоит 18 детских стульчиков?

2. Решить уравнение:

п! = 12 (п – 1)!.

3. Сколькими нулями оканчивается число 16!?

Р е ш е н и е

В а р и а н т 1

1. Выбираем пять столов для школьников из 20 имеющихся (порядок выбора учитывается):

= 16 · 17 · 18 · 19 · 20 = 1 860 480.

О т в е т: 1 860 480 способов.

2. п! = 7 (п – 1)!;

п (п – 1)! = 7 (п – 1)!;

п = 7.

О т в е т: п = 7.

3. В числе 12! содержится две пятерки и двойки, что дает два множителя 10. Значит, 12! заканчивается двумя нулями.

О т в е т: двумя нулями.

В а р и а н т 2

1. Выбираем семь стульчиков из 18 имеющихся (порядок выбора имеет значение):

= 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 = 160 392 960.

О т в е т: 160 392 960 способов.

2. п! = 12 (п – 1)!;

п (п – 1)! = 12 (п – 1)!;

п = 12.

О т в е т: п = 12.

3. В числе 16! содержится три пятерки и двойки, что дает три множителя 10. Значит, 16! заканчивается тремя нулями.

О т в е т: тремя нулями.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется размещением из п элементов по k?

– Запишите формулу нахождения через факториалы.

– Запишите по комбинаторному правилу умножения.

Домашнее задание: № 835, № 836.

З а д а ч а. Из трехзначных чисел, записанных с помощью цифр 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 (без повторения цифр), сколько таких, в которых:

а) не встречаются цифры 6 и 7;

б) цифра 8 является последней?

У р о к 77 Дата:
Сочетание из п элементов по k (k ≤ п)

Цели: ввести понятие сочетания из п элементов по k (k ≤ п); вывести формулу нахождения числа сочетаний из п элементов по k; формировать умения решать комбинаторные задачи с применением данной формулы.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. З а д а ч а. В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они для трусов и футболок использовали белый, красный, синий, зеленый или желтый цвета, причем были представлены все возможные варианты.

а) Сколько команд участвовали в турнире?

б) Сколько команд играли в зеленых футболках?

в) У скольких команд футболки и трусы были разного цвета?

г) У скольких команд футболки и трусы были разного цвета, причем трусы были не красные?

2. Найти значение выражения:

а) Р₄ + Р₃; б) Р₆ – Р₅; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

III. Объяснение нового материала.

1. Объяснение нового материала целесообразно начать с решения практической задачи:

«Сколькими способами можно смешать по три краски из имеющихся пяти?».

Р е ш е н и е

Обозначим имеющиеся краски буквами латинского алфавита a, b, c, d, e. Выпишем возможные варианты смешивания красок, учитывая, что от порядка расположения красок результат не зависит:

abc, abd, abe, ace, ade

bcd, bce, bde

cde

Мы указали различные способы смешивания красок, в которых по-разному сочетаются три краски из данных пяти. Говорят, что мы составили все возможные сочетания из 5 элементов по 3.

2. Определение. Сочетанием из п элементов по k называют любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных п элементов.

П о д ч е р к и в а е м, что, в отличие от размещений, в сочетаниях не имеет значения, в каком порядке указаны элементы. Два сочетания из п элементов по k отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

3. Обозначение. (читается «С из п по k»).

В рассмотренном примере мы нашли, что = 10.

4. Вывод формулы числа сочетаний из п по k, где k ≤ п.

В отличие от предыдущих тем, при доказательстве мы опираемся не напрямую на комбинаторное правило умножения, а на ранее выведенные формулы числа перестановок и размещений.

Сперва замечаем, что (по комбинаторному правилу умножения), значит, .

И затем проводим аналогичные рассуждения для общего случая:

Учитывая, что , где п ≤ k, получаем, что

из п по k, где k ≤ п.

5. Рассматриваем примеры задач на нахождение числа сочетаний из учебника на с. 184–185.

IV. Формирование умений и навыков.

Рассматриваем задачи на применение формулы нахождения числа сочетаний из п по k. Для предотвращения формального применения формулы требуем обоснования ее выбора.

Упражнения:

№ 768.

Р е ш е н и е

Выбираем 2 учащихся из 7, порядок выбора не имеет значения (оба выбранных пойдут на олимпиаду как полностью равноправные); количество способов выбора равно числу сочетаний из 7 по 2:

.

О т в е т: 21 способ.

№ 770.

Р е ш е н и е

Выбор 6 из 10 без учета порядка:

.

О т в е т: 210 способов.

№ 772.

Р е ш е н и е

Из 11 человек 5 должны поехать в командировку:

а) Заведующий едет, нужно выбрать еще 4 из 10 оставшихся:

б) Заведующий остается, нужно выбрать 5 из 10 сотрудников:

О т в е т: а) 210 способов; б) 252 способа.

Следующие три задачи – повышенной сложности.

№ 773.

Р е ш е н и е

а) Словарь выбирается, нужно выбрать еще 2 книги из 11:

.

б) Словарь не выбирается, выбираем 3 книги из 11:

.

О т в е т: а) 55 способов; б) 165 способов.

№ 774.

Эту задачу следует разобрать у доски. При решении используется не только формула числа сочетаний, но и комбинаторное правило умножения.

Р е ш е н и е

Сперва выбираем 4 маляров из 12:

способов.

Затем выбираем 2 плотников из 5:

способов.

Каждый из способов выбора маляров можно скомбинировать с каждым выбором плотников, следовательно, всего способов (по комбинаторному правилу умножения): 495 · 10 = 4950.

О т в е т: 4950 способов.

№ 775.

Р е ш е н и е

Нужно сделать два выбора: 3 книги из 10 ( способов) и 2 журнала из 4 ( способов) – порядок выбора значения не имеет. Каждый выбор книг может сочетаться с каждым выбором журналов, поэтому общее число способов выбора по правилу произведения равно:

О т в е т: 720 способов.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется сочетанием из п элементов по k?

– Запишите формулу вычисления числа сочетаний из п элементов по k.

– В чем отличие сочетания из п элементов по k от размещения из п элементов по k.

Домашнее задание: № 769, № 771, № 783.

У р о к 78 Дата:
Комбинаторные задачи на нахождение числа
перестановок из п элементов, сочетаний
и размещений из п элементов по k (k ≤ п)

Цель: продолжить формирование умений находить число перестановок, сочетаний и размещений из п элементов по k.

Ход урока

I. Организационный урок.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Найдите значение выражения:

а) ; б) ; в) .

В а р и а н т 2

а) ; б) ; в) .

Р е ш е н и е

В а р и а н т 1

а) ;

б) ;

в)

.

В а р и а н т 2

а) ;

б) ;

в) .

III. Формирование умений и навыков.

1. В сильном классе можно предложить учащимся доказать два свойства сочетания из п элементов по k (п ≥ k) (или в качестве дополнительного задания интересующимся математикой учащимся):

– первое свойство;

:

П р и м е р: .

– второе свойство;

:

П р и м е р: .

2. Следующие задачи решаются с применением формул нахождения числа перестановок, сочетаний и размещений.

№ 776. Р е ш е н и е

а) Фиксируем один элемент «в». Количество перестановок из пяти оставшихся элементов: Р₅ = 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120.

б) Фиксируем два элемента «а» и «т». Количество перестановок из 4 оставшихся элементов: Р₄ = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

О т в е т: а) 120 анаграмм; б) 24 анаграммы.

№ 777. Р е ш е н и е

Мальчики и девочки должны чередоваться, то есть девочки могут сидеть только на четных местах, а мальчики только на нечетных. Поэтому девочки могут меняться местами только с девочками, а мальчики – только с мальчиками. Четырех девочек можно рассадить: Р₄ = 4! = 24 способами, а пятерых мальчиков Р₅ = 5! = 120 способами.

Каждый способ размещения девочек может сочетаться с каждым способом размещения мальчиков, поэтому по правилу произведения общее число способов равно: Р₄ · Р₅ = 24 · 120 = 2880.

О т в е т: 2880 способов.

№ 778 (а; в). Р е ш е н и е

Выбираем три элемента из 12, порядок выбора не имеет значения (все трое идут в наряд).

а) Иванов и Петров идут в наряд, еще одного нужно выбрать из других 10 солдат; количество способов выбора: = 10.

в) Иванов идет в наряд, а Петров остается. Еще двоих, идущих в наряд с Ивановым, нужно выбрать из других 10 солдат (Иванова и Петрова не считаем); количество способов:

.

О т в е т: а) 10 способов; в) 45 способов.

№ 779. Р е ш е н и е

а) Выбираем 4 шахматистов из 16 без указания порядка; количество способов:

.

б) Выбираем 4 шахматистов из 16 с указанием порядка их расположения в команде; количество способов:

= 13 · 14 · 15 · 16 = 43680.

О т в е т: а) 1820 способов; б) 43680 способов.

№ 780. Р е ш е н и е

Выбираем (без повторений) 2 буквы из 5 и 3 цифры из 10; порядок выбора учитывается (например: 213 кт и 321 тк – разные).

Количество способов выбора:

(для букв);

(для цифр).

Каждый вариант выбора букв может сочетаться с каждым вариантом выбора цифр, поэтому, по комбинаторному правилу умножения, общее число способов равно:

О т в е т: 14400 способов.

№ 782. Р е ш е н и е

Выбираем из группы туристов в п человек четырех дежурных (порядок выбора значения не имеет); число способов . Затем выбираем из группы туристов в п человек двух дежурных – число способов . Так как число способов выбора четырех дежурных в 13 раз больше, чем двух, получаем уравнение:

= 13 · ;

;

;

;

п² – 5п – 150 = 0;

п₁ = 15, п₂ = –10. Так как п , то п₂ = –10 – не удовлетворяет условию, значит, п = 15.

О т в е т: 15 туристов.

IV. Итоги урока.

Ответить на контрольные вопросы на с. 187 учебника.

Домашнее задание: № 778 (б), № 781, № 844

У р о к 79 Дата:
Относительная частота случайного события

Цели: ввести понятия случайного события, относительной частоты случайного события; формировать умение вычислять относительную частоту случайного события.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Назовите комбинаторную формулу для решения задачи.

Учитель записывает на доске формулу, вычисления производить не надо.

1. Даны три лекарства А, В, С. Сколькими способами можно выписать назначение? (Р₃ = 3!.)

2. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных, если в классе 30 человек?

3. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 5, 6, 7, 8, 9 при условии, что ни одна цифра в числе не повторяется? (Р₅ = 5!.)

4. Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест, если в предметной олимпиаде участвует семь человек?

5. Даны четыре буквы А, В, С, Д. Сколько комбинаций по две буквы можно из них составить?

III. Объяснение нового материала.

Сперва необходимо создать у учащихся представление о «событии» и «случайном событии». Целесообразно опираться на личный опыт учащихся, поощрять их приводить примеры различных событий. Обращаем внимание на то, что есть обусловленные события, то есть наступающие тогда, когда выполнены некоторые условия. Например, увидев молнию, мы позже обязательно услышим гром. В других случаях в процессе наблюдения, опыта, эксперимента мы либо не знаем этих условий (обстоятельств), либо не умеем их учитывать, устранять. В этом случае речь идет о случайных событиях, которые могут произойти или не произойти.

Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики – теория вероятностей. Проводим небольшой экскурс в историю возникновения и развития этой науки.

В учебнике нет определения понятия «исход случайного события». Можно оперировать таким: исход – возможный результат опыта (эксперимента).

Следует хорошо отличать события от исходов, что в дальнейшем позволит избежать многих трудностей при введении понятия вероятности случайного события.

Далее рассматриваем пример из учебника со с. 188.

И с х о д ы и с п ы т а н и я: 1. Выпадает одно очко.

2. Выпадает два очка.

3. Выпадает три очка.

4. Выпадает четыре очка.

5. Выпадает пять очков.

6. Выпадает шесть очков.

С л у ч а й н о е с о б ы т и е: 1. Выпадет шесть очков.

На этом примере наглядно демонстрируем, что исход испытания – значение наблюдаемого признака (количество очков), непосредственно полученное по окончании эксперимента (каждый эксперимент заканчивается одним и только одним исходом). Событие – появление исхода, обладающего заранее указанным свойством (шесть очков).

Затем вводим понятия «частота события» и «относительная частота события».

В в о д и м ы е о б о з н а ч е н и я:

А – событие;

т – число испытаний, при которых произошло событие А;

п – общее число испытаний;

W(A) = – относительная частота случайного события.

П р о б л е м н ы й в о п р о с: Почему важна относительная частота события? Приведите пример. (Иван попал в мишень три раза, Петр – четыре. Кто из них лучше стреляет? Можно ответить, что Петр – лучше, так как больше число попаданий. Но мы не знаем, сколько у каждого было попыток. Например, Иван сделал всего три выстрела и попал все три раза, относительная частота попадания W(A) = = 1. А Петр сделал серию из 20 выстрелов и попал всего четыре раза: W(A) = = 0,2.)

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

№ 787.

Р е ш е н и е

Событие А – появление нестандартной детали;

т = 12 – число нестандартных деталей;

п = 1000 – общее число деталей;

W(A) = = = 0,012 – относительная частота появления нестандартных деталей.

О т в е т: 0,012.

№ 788.

Р е ш е н и е

Событие А – солнечный день;

т = 46 – число солнечных дней за указанный период;

п = 31 + 31 = 62 – общее число дней в указанном периоде;

W(A) = = = – относительная частота солнечных дней в указанный период времени.

О т в е т: .

При решении первых двух упражнений особое внимание следует уделить грамотной формулировке самого события, возможных исходов испытания, характера испытания, относительной частоты события.

№ 791.

Р е ш е н и е

а) Событие А – появление в тексте буквы «в»;

т = 6 – количество букв «в» в тексте;

п = 164 – общее количество букв в тексте;

W(A) = = ≈ 0,037 – относительная частота появления буквы «в» в тексте.

б) Событие А – появление буквы «м» в тексте;

т = 6 – количество букв в тексте;

п = 164 – общее количество букв в тексте;

W(A) = = ≈ 0,037 – относительная частота появления буквы «м» в тексте.

О т в е т: а) 0,037; б) 0,037.

При выполнении этого упражнения можно обсудить, почему результаты отличаются от данных, приведенных в учебнике (маленький отрывок, только один вид текста – стихотворение, один автор и т. п.).

№ 856 (по вариантам, подсчет не для всех десятков).

а) Событие А – появление простого числа в первом десятке натуральных чисел от 1 до 99;

т = 4 – число простых чисел в первом десятке (2, 3, 5, 7) – частота появления;

п = 10 – количество чисел в первом десятке;

W(A) = = 0,4 – относительная частота события А.

Событие В – появление простого числа в третьем десятке;

т = 2 – число простых чисел в третьем десятке (23, 29) – частота появления;

п = 10 – количество чисел в третьем десятке;

W(B) = = 0,2 – относительная частота события В.

0,4 > 0,2.

б) Событие А – появление простого числа во втором десятке натуральных чисел от 1 до 99;

т = 4 – число простых чисел в втором десятке (11, 13, 17, 19) – частота появления;

п = 10 – количество чисел во втором десятке;

W(A) = = 0,4 – относительная частота события А.

Событие В – появление простого числа в десятом десятке;

т = 1 – число простых чисел в десятом десятке (91) – частота появления;

п = 10 – количество чисел в десятом десятке;

W(B) = = 0,1 – относительная частота события В.

0,4 > 0,1.

О т в е т: а) 0,4 > 0,2; б) 0,4 > 0,1.

V. Итоги урока.

– Что называется случайным событием?

– Что называется исходом эксперимента?

– Что называется относительной частотой случайного события? Приведите примеры.

Домашнее задание: № 789, № 790 (а, в), № 792, № 797 (б, в).

У р о к 80 Дата:
Вероятность случайного события

Цели: ввести понятие вероятности случайного события (статистический подход); формировать умение оценивать вероятность случайного события.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Стрелок делает 20 выстрелов и при этом 17 раз попадает в цель. Определите относительную частоту промахов стрелка. (0,15.)

2. В ящике 36 яблок, из них половина красных, 6 зеленых, а остальные – желтые. Определите относительную частоту появления желтого яблока.

3. У Марины 3 блузки (синяя, голубая, белая) и 4 юбки разных цветов. Она комбинировала блузки и юбки всеми возможными способами. Какова относительная частота надевания синей блузки? (Всего 3 · 4 = 12 комплектов, синяя блузка входит в 4 комплекта, относительная частота .)

III. Объяснение нового материала.

Начинаем с проверки домашнего задания № 792. Суммируем количество опытов по подбрасыванию монеты, проведенных учениками:

N = 50 · n, где п – число учеников в классе. Затем определяем общее число выпадений орла: М = т₁ + т₂ + … + т_п, где т_п – число выпадений орла у п-го ученика. И вычисляем относительную частоту выпадения орла при бросании монеты .

Замечаем, что при большом количестве бросков орел выпадает примерно в половине случаев. Значит, результат бросания монеты обладает некоторой закономерностью, хотя итог каждого броска заранее неизвестен.

Числовая оценка шансов на успех стара как мир. Французский естествоиспытатель Жорж Бюссон (1707–1788) бросал монету 4040 раз, и «орел» выпал в 2048 случаях. Английский математик Чарльз Пирсон (1857–1936) 24000 раз подбросил монету, «орел» выпал 12012 раз.

Вообще, одним из вопросов, из которого родилась теория вероятностей, был вопрос о том, как часто наступает то или иное случайное событие в длинной серии опытов, проходящих в одинаковых условиях.

Если в длинной серии одинаковых экспериментов со случайными исходами значения относительных частот появления одного и того же события близки к некоторому определенному числу, то это число принимают за вероятность данного случайного события.

О б о з н а ч е н и е: Р (А).

Подчеркиваем, что это статистическое определение вероятности. То есть специалисты-практики (статистики), интересующиеся вероятностями конкретных событий, проверяют расчеты на практике, в экспериментах. Анализируют относительную частоту наступления этого события при многократном повторении в одних и тех же условиях эксперимента или наблюдения и оценивают вероятность случайного события.

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

№ 793.

Р е ш е н и е

п = 50

= 0,8;

= 0,84;

= 0,8;

= 0,78;

= 0,84;

= 0,86;

= 0,9;

= 0,8.

Можно предположить, что вероятность попадания в цель для этого стрелка 0,8.

О т в е т: Р(А) = 0,8.

№ 794.

Р е ш е н и е

п = 16; т = 9; W(A) = – относительная частота, но мы не можем утверждать, что и вероятность попадания равна , так как не было многократного повторения наблюдения.

О т в е т: нельзя.

V. Индивидуальная работа на местах.

З а д а ч и.

1. Чтобы определить, как часто встречаются в лесопарке деревья разных пород, ребята провели следующие эксперименты. Каждый выбрал свою тропинку и по пути следования записывал породу каждого десятого дерева. Результаты были занесены в таблицу:

а) сосной;

б) хвойным;

в) лиственным.

Указание. Ответ запишите в виде десятичной дроби с тремя знаками после запятой.

Р е ш е н и е

а) P(A) = ≈ 0,416, где А – выбрана сосна;

б) P(B) = ≈ 0,505, где В – выбрано хвойное дерево;

в) P(C) = ≈ 0,495, где С – выбрано лиственное дерево.

О т в е т: а) 0,416; б) 0,505; с) 0,495.

2. По статистике, на каждые 1000 лампочек приходится 3 бракованные. Какова вероятность купить исправную лампочку?

Р е ш е н и е

P(A) = = 0,997, где А – покупка исправной лампочки.

О т в е т: 0,997.

3. Демографы утверждают, что вероятность рождения близнецов равна 0,012. В скольких случаях из 10000 рождений можно ожидать появления близнецов?

Р е ш е н и е

А – рождение близнецов;

Р(А) = 0,012, т – количество случаев рождения близнецов;

P(A) = ; 0,012 = ;

т = 0,012 · 10000 = 120.

О т в е т: в 120 случаях.

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что такое относительная частота случайного события?

– Как относительная частота связана с вероятностью?

– Запишите формулу вычисления вероятности случайного события
(статистический подход). Поясните, что означает каждая буква в этой формуле?

Домашнее задание: № 795, № 796.

З а д а ч а 1. По статистике в городе Новинске за год из каждой 1000 автомобилистов два попадают в аварию. Какова вероятность того, что автомобилист в этом городе весь год проездит без аварий? (0,998.)

З а д а ч а 2. Чтобы определить, какой цвет волос встречается в городе чаще, а какой реже, студенты за полчаса провели следующий эксперимент. Каждый выбрал свой маршрут и записывал по пути следования цвет волос каждого пятого встречного. Результаты были занесены в следующую таблицу:

а) шатеном;

б) рыжим;

в) не рыжим.

Указание. Ответ запишите в виде десятичной дроби с двумя знаками после запятой.

( а) ≈ 0,430; б) ≈ 0,096; в) ≈ 0,904.)

У р о к 81 Дата:
Классическое определение вероятности

Цели: ввести классическое определение понятия вероятности события; формировать умение непосредственно применять классическое определение вероятности.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Определить, какие из следующих чисел:

7; 14; 25; 36; 41; 50; 62; 73; 75; 81; 87; 93 –

а) являются четными (нечетными);

б) кратны 5;

в) делятся на 3;

г) являются простыми;

д) являются квадратами целых чисел.

III. Объяснение нового материала.

Объяснение проводить согласно пункту учебника в несколько этапов.

1. М о т и в а ц и я и з у ч е н и я.

Для оценки вероятности интересующего нас события путем статистического исследования необходимо провести большое количество опытов или наблюдений, только после этого возможно приближенно оценить вероятность этого события. Мы не всегда в реальной действительности имеем для этого возможности. Теория вероятностей располагает методами определения вероятности событий (в ряде случаев) непосредственно из условий опыта или наблюдений путем рассуждений, не прибегая к испытаниям.

2. В в е д е н и е п о н я т и я равновозможных исходов.

В учебнике нет однозначного определения понятия равновозможных исходов, оно вводится на интуитивном уровне. Поэтому следует привести как можно больше примеров различных событий, имеющих равновозможные и неравновозможные исходы, чтобы у учащихся сложилось четкое представление о данном понятии.

Целесообразно выполнить следующее упражнение, обращая внимание на грамотность обоснования учащимися своих ответов:

1) Перечислить все равновозможные события, которые могут произойти в результате:

а) подбрасывания 1 монеты;

б) подбрасывания игрального кубика;

в) подбрасывания тетраэдра с гранями, занумерованными числами 1, 2, 3, 4;

г) раскручивания стрелки рулетки, поверхность которой разделена на 5 одинаковых секторов A, B, C, D и Е.

О т в е т: а) 2 исхода; б) 6 исходов; в) 4 исхода; г) 5 исходов.

2) Имеется правильная треугольная пирамида. Одна из ее граней белая, а 3 другие – серые. Тетраэдр бросают на стол и наблюдают за гранью, которой он соприкасается со столом. Являются ли равновозможными события «тетраэдр упал на серую грань» и «тетраэдр упал на белую грань»?

О т в е т: неравновозможные.

3. В в е д е н и е классического определения вероятности.

Необходимо напомнить учащимся, как они раньше оценивали вероятность случайного события по относительной частоте его появления в серии одинаковых опытов. Обратить их внимание на то, что в случае, если все исходы случайного эксперимента равновозможны, то вероятность каждого исхода подсчитывается более простым способом.

Далее продемонстрировать учащимся этот способ, рассмотрев примеры 1–4 из учебника. На доску выносится формула вычисления вероятности события В:

P(В) = , где п – число всех исходов, т – число благоприятных исходов.

4. А л г о р и т м р е ш е н и я з а д а ч на классическое определение вероятности.

После рассмотрения примеров и введения классического определения вероятности можно вместе с учащимися составить алгоритмы решения соответствующих задач.

1) Убедиться, что события, рассматриваемые в задаче, равновозможны.

2) Найти п – число всех возможных исходов эксперимента.

3) Найти т – число всех благоприятных исходов.

4) Найти вероятность события по формуле P(В) = .

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

№ 798.

Р е ш е н и е

Если продажа билетов будет организована так, что покупка любого из 1500 билетов будет равновозможна, то можно применить формулу классической вероятности.

Событие А – «купленный билет – выигрышный»;

п = 1500 – число равновозможных исходов;

т = 120 – число благоприятных исходов;

P(А) = = = 0,08.

О т в е т: 0,08.

П р и м е ч а н и е. Можно отметить, что вероятность события можно выразить в процентах: 0,08 означает, что вероятность составляет 8 %.

З а д а ч а:

Наудачу выбрано двузначное число. Какова вероятность того, что оно окажется:

а) четным;

б) кратным 3;

в) меньшим 12?

Р е ш е н и е

Двузначных чисел всего 90 – это общее количество равновозможных исходов.

а) Среди двузначных чисел имеется 45 четных, то есть количество благоприятных исходов равно 45. По классическому определению вероятности:

P = = 0,5.

б) Среди двузначных чисел имеется 30, кратных 3: 3; 12; 15; 18; …; 93; 96; 99. Получаем, что количество благоприятных исходов равно 30. По определению вероятности:

P = = .

П р и м е ч а н и е. Для подсчета количества чисел, кратных 3, целесообразно воспользоваться формулой п-го члена арифметической прогрессии ((а_п) – арифметическая прогрессия, а₁ = 3; а_п = 99; d = 3).

в) Двузначными числами, меньшими 12, являются числа 10 и 11, то есть количество благоприятных исходов равно 2. По определению вероятности: P = = .

О т в е т: а) 0,5; б) ; в) .

№ 801.

Р е ш е н и е

Общее число равновозможных исходов п = 93.

1-й с п о с о б. Событие А – «жильцу не достанется квартира, расположенная на первом или на последнем этаже» совпадает с событием «жильцу достанется квартира, расположенная со второго по предпоследний этаж включительно».

Таких квартир т = 93 – 3 – 6 = 84. По определению вероятности:

P(А) = .

2-й с п о с о б. Для сильного класса можно дать теорему о вероятности противоположного события (см. п. 36), тогда В – «жильцу досталась квартира на первом или последнем этажах»:

.

№ 802.

Р е ш е н и е

Общее число возможных исходов п = 6 · 6 = 36. Количество благоприятных исходов т = 2 (это пары (1; 2) и (2; 1)). По определению вероятности: P = = .

П р и м е ч а н и е. При решении этой задачи используется комбинаторное правило умножения.

№ 804.

Р е ш е н и е

Общее число возможных вариантов набора трех последних цифр равно Р₃ = 3! = 6 (так как порядок цифр важен). Так как только один из наборов является верным, то по определению вероятности: P = .

О т в е т: .

V. Итоги урока.

– Приведите примеры равновозможных событий, неравновозможных событий.

– Определите, равновозможны ли следующие события: «наудачу выбранная цифра окажется цифрой 7» и «наудачу выбранная цифра окажется отличной от цифры 7».

– Как вычислить вероятность какого-либо события?

Домашнее задание: № 799, № 800, № 803.

У р о к 82
Геометрическое определение вероятности

Цели: ввести понятия достоверного, невозможного события; ввести понятие геометрической вероятности и формировать умение его применять при решении задач.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Ответьте, равновероятны ли следующие события:

а) 1 июля 2015 г. температура в Москве будет –50° С;

1 июля 2015 г. температура в Москве будет выше –50° С.

б) Наудачу выбранная цифра окажется цифрой 5;

наудачу выбранная цифра окажется отличной от цифры 5.

в) При бросании трех монеток выпало три «герба»;

при бросании трех монеток выпало три «решки».

г) При бросании игрального кубика выпала «шестерка»;

при бросании игрального кубика выпала не «шестерка».

д) При бросании двух игральных кубиков сумма выпавших очков оказалась равной 2;

при бросании двух игральных кубиков сумма выпавших очков оказалась равной 5.

III. Объяснение нового материала.

1. Уже при проведении устной работы (п. а)) учащиеся обнаружили, что некоторые события происходят всегда (достоверное событие) либо не могут произойти ни при каком исходе опыта или наблюдения (невозможное событие). Целесообразно привести достаточное количество достоверных и невозможных событий и вывести формулы:

Р(А) = 1, где А – достоверное событие;

Р(В) = 0, где В – невозможное событие.

2. Вводится простейшая геометрическая интерпретация в виде вероятностной шкалы:

Точкой 0 изображается вероятность невозможного события;

точкой 1 изображается вероятность достоверного события;

точкой Р(С) изображается вероятность некоторого случайного события С.

Вместе с учащимися нужно проанализировать расположение точки Р(А) на прямой, ответив на в о п р о с ы:

1) Что означает, если точка Р(А) расположена правее точки Р(В)? (Событие А более вероятно, чем событие В.)

2) Что означает совпадение точек Р(А) и Р(В)? (События А и В – равновероятны.)

3) Может ли точка Р(А) выйти за пределы отрезка [0; 1]? (Нет.
Р(А) = , где т ≤ п, значит, ≤ 1 и Р(А) ≥ 0, значит, 0 ≤ Р (А) ≤ 1.)

Затем устно выполняем № 807 и № 808.

3. Формировать представление о понятии геометрической вероятности на конкретном примере согласно пункту учебника. Обратить внимание учащихся, что в ряде случаев размерами некоторых объектов (фишки, пули, шайбы) можно пренебречь.

После введения понятия геометрической вероятности целесообразно дать учащимся под запись правило.

П р а в и л о (нахождения геометрической вероятности).

Пусть фигура F₁ содержится в F. Тогда вероятность попадания в фигуру F₁, при условии попадания в фигуру F, равна отношению площадей .

IV. Формирование умений и навыков.

Все задания, которые должны выполнить учащиеся на этом уроке, можно разбить на три группы. В первую группу войдут достаточно простые задания на непосредственное применение понятия геометрической вероятности (желательно заранее на доске заготовить необходимые рисунки). Во вторую группу войдут более сложные задания, в которых учащимся придется применять некоторые дополнительные знания. Задания 3-й группы предназначены для сильных в учебе учащихся.

Упражнения:

1-я г р у п п а.

1. На рисунке изображена квадратная мишень ABCD, разбитая на 9 равных квадратиков. Стрелок, не целясь, стреляет в мишень и попадает. Сравните вероятности попадания в правый верхний, центральный и левый квадратики.

2. На рисунке изображена квадратная мишень ABCD. Стрелок, не целясь, стреляет и попадает в нее. Какова вероятность того, что он попал в треугольник ABC? В треугольник AОB?

3. На рисунке изображена мишень ABCDEF. Стрелок, не целясь, стреляет в нее и попадает. Какова вероятность того, что он попадет в квадрат BCEF? В равносторонний треугольник BAF? В равносторонний треугольник CDE?

2-я г р у п п а.

№ 814.

Р е ш е н и е

Треугольник CDE гомотетичен треугольнику ABC с коэффициентом гомотетии . Площади гомотетичных фигур относятся друг к другу как k², где k – коэффициент гомотетии. Вероятность того, что случайным образом выбранная точка попадает в CDE, равна отношению площади CDE к площади ABC, то есть равна или .

О т в е т: .

№ 815.

Р е ш е н и е

Точка разрыва телефонной линии удалена от точки А не более чем на 500 м. Графически это можно представить так, что точка разрыва находится на отрезке АМ (причем точка разрыва может совпадать и с точкой А и с точкой М). Вероятность того, что точка лежит на отрезке АМ, равна отношению длины отрезка АМ к длине отрезка АВ и равна = 0,2.

О т в е т: 0,2.

П р и м е ч а н и е. Обращаем внимание учащихся на то, что длины отрезков должны выражаться в одинаковых единицах измерения.

3-я г р у п п а.

1. Рассматривается квадратная мишень ABCD. Отметьте на ней две такие фигуры, что:

а) вероятность попадания хотя бы в одну из них, при условии попадания в мишень, равна 1;

б) вероятность попадания в обе фигуры одновременно, при условии попадания в мишень, равна нулю;

в) при условии попадания в мишень вероятность попадания хотя бы в одну фигуру равна 1, а вероятность одновременного попадания в обе фигуры равна .

2. На рисунке изображен квадрат ABCD, М – середина стороны AB. Случайным образом выбирают точку Х квадрата и проводят луч СХ. Какова вероятность того, что построенный так луч пересечет отрезок МВ?

V. Самостоятельная работа.

В а р и а н т 1

1. В классе 12 мальчиков, шестерых из них зовут Сережами, четверых – Алешами, а остальных – Сашами. Новый учитель, еще не знающий имен мальчиков, вызывает их к доске.

а) Вызывается один мальчик. Какова вероятность того, что вызванного зовут Сережей?

б) Вызывается один мальчик. Какова вероятность того, что вызванного зовут Алешей?

в) Какое наименьшее количество мальчиков нужно вызвать, чтобы с вероятностью, равной 1, среди них был Саша?

2. Объясните, равновероятны ли следующие события:

а) Сумма цифр наугад написанного двузначного числа равна 1.

б) Сумма цифр наугад написанного двузначного числа равна 5.

В а р и а н т 2

1. В классе 15 девочек, восьмерых из них зовут Ленами, пятерых – Анями, а остальных – Наташами. Новый учитель, еще не знающий имен учащихся, вызывает их к доске.

а) Вызывается одна девочка. Какова вероятность того, что вызванную зовут Наташей?

б) Вызывается одна девочка. Какова вероятность того, что вызванную зовут Леной?

в) Какое наименьшее количество девочек нужно вызвать, чтобы с вероятностью 1 среди них была Аня?

2. Объясните, равновероятны ли следующие события:

а) Сумма цифр наугад написанного трехзначного числа равна 1.

б) Сумма цифр наугад написанного трехзначного числа равна 6.

VI. Итоги урока.

– Какие события называются достоверными? Невозможными? Равновероятными? Приведите примеры.

– В каких ситуациях используется понятие геометрической вероятности?

– Сформулируйте правило нахождения вероятности попадания в фигуру, содержащуюся в другой фигуре.

Домашнее задание.

З а д а ч а. Внутри квадрата со стороной 10 см выделен круг радиусом 2 см. Случайным образом внутри квадрата отмечается точка. Какова вероятность того, что она попадет в выделенный круг?

№ 816, № 859, № 860.

У р о к 83
Комбинаторные методы решения
вероятностных задач

Цель: формировать умения решать задачи на нахождение вероятности случайного события с использованием формул комбинаторики.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

а) Из 25 учащихся класса двое справляют день рождения 30 января. (Случайное.)

б) Из 25 учащихся класса двое справляют день рождения 30 февраля. (Невозможное.)

в) Измерены длины сторон треугольника. Оказалось, что длина каждой стороны меньше суммы длин двух других сторон. (Достоверное.)

г) Бросают две игральные кости, сумма выпавших на двух костях очков меньше 15. (Достоверное.)

д) Бросают четыре игральные кости, на всех четырех костях выпало по 3 очка. (Случайное.)

е) На уроке математики ученики решали математические задачи. (Достоверное.)

ж) Из интервала (1; 2) наугад взяли какое-то число, оно оказалось натуральным. (Невозможное.)

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

На рисунке изображена мишень АВС, имеющая форму равностороннего треугольника; K, М, N – середины его сторон.

а) Стрелок, стрелявший в мишень не целясь, попал в нее. Какова вероятность, что он попал в четырехугольник АМNK? В треугольник AMK?

б)* Перерисуйте мишень и заштрихуйте на своем рисунке такую область, что вероятность попадания в нее при случайном попадании в мишень равна .

В а р и а н т 2

На рисунке изображена мишень АВС, имеющая форму равностороннего треугольника; K, М, N – середины его сторон.

а) Стрелок, стрелявший в мишень не целясь, попал в нее. Какова вероятность, что он попал в четырехугольник KМВN? В треугольник ВMN?

б)* Перерисуйте мишень и заштрихуйте на своем рисунке такую область, что вероятность попадания в нее при случайном попадании в мишень равна .

IV. Актуализация знаний.

Повторение основных комбинаторных формул следует организовать на примере простейших комбинаторных задач, которые может предложить как учитель, так и сами учащиеся. В результате целесообразно составить опорный конспект:

т элементов

в комбинации

V. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

№ 805.

Р е ш е н и е

Исходы – все возможные перестановки из 5 цифр; общее число исходов п = Р₅ = 5! = 120.

Событие А – «после набора цифр сейф откроется», т = 1 (есть только один правильный набор) – число благоприятных исходов.

Р(А) = = .

О т в е т: .

№ 809.

Р е ш е н и е

Исходы – все возможные пары деталей из 10, находящихся в ящике. Общее число исходов n = = 45 (порядок деталей в паре не учитывается).

Событие А – «обе детали оказались стандартными»,

m = = 36 – число благоприятных исходов.

Искомая вероятность: Р(А) = = = 0,8.

О т в е т: 0,8.

№ 858.

Р е ш е н и е

Исходами опыта являются все возможные размещения четырех карточек на трех местах (порядок расположения карточек нам важен). Общее число исходов равно n = = 2· 3 · 4 = 24.

Рассмотрим события и их вероятности:

а) Событие А – «из трех карточек образовано число 123»; т = 1 (единственный вариант) – число благоприятных исходов; Р(А) = = .

б) Событие В – «из трех карточек образовано число 312 или 321»; т = 2 (два варианта размещения) – число благоприятных исходов; .

в) Событие С – «из трех карточек образовано число, первая цифра которого 2». Если цифра фиксирована, то на оставшихся двух местах можно разместить любую из оставшихся трех цифр (с учетом порядка), то есть – число благоприятных исходов; .

О т в е т: а) ; б) ; в) .

2. Р е ш е н и е з а д а ч повышенной сложности.

№ 810.

Р е ш е н и е

Исходы – все возможные группы из 4 человек – обладателей билетов на елку – составлены из 27 желающих. Порядок выбора значения не имеет (каждый из четверых получает одинаковый билет). Общее число возможных исходов 25 · 26 · 27 = 17550.

Событие А – «билеты достанутся 2 мальчикам и двум девочкам»; – число благоприятных исходов ( – выбор двух мальчиков, – выбор двух девочек).

Искомая вероятность: .

О т в е т: ≈ 0,39.

П р и м е ч а н и е. При решении этой задачи используется также комбинаторное правило умножения.

№ 811.

Р е ш е н и е

Исходы – наборы из 5 карандашей без учета порядка; общее число исходов .

Событие А – «среди вынутых карандашей оказалось 3 красных и 2 синих»; – число благоприятных исходов ( – выбор трех карандашей из 8 красных, – выбор двух карандашей из 4 синих).

Искомая вероятность: .

О т в е т: .

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте классическое правило вычисления вероятности события.

– В чем суть комбинаторного метода решения вероятностных задач?

– Какие формулы и правила комбинаторики используются при решении вероятностных задач?

Домашнее задание: № 806, № 862, № 865

У р о к 84
Обобщающий урок по теме «Элементы
комбинаторики и теории вероятностей»

Цели: обобщить и систематизировать знания по теме; подготовиться к контрольной работе.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Из слова «математика» выбирается наугад одна буква.

а) Какова вероятность, что эта буква будет гласной?

б) Какова вероятность, что эта буква будет буквой «у»?

2. Выбирается наугад одно из чисел 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

а) Какова вероятность, что это число будет четным?

б) Какова вероятность, что оно будет четным и будет делиться на 3?

3. Лотерея состоит из 10000 билетов, среди них 1250 выигрышных. Какова вероятность, что наудачу купленный билет окажется выигрышным?

4. Из колоды в 36 карт выбирается наугад одна карта. Какова вероятность, что это будет карта:

а) черной масти;

б) картинка;

в) картинка червонной масти?

5. На рисунке изображена квадратная мишень ABCD, М – середина стороны BC. Стрелок, не целясь, стреляет в мишень и попадает. Какова вероятность того, что он попадает:

а) в треугольник AМD;

б) в треугольник МСD?

III. Повторение и систематизация знаний.

На данном этапе приводятся в систему следующие знания учащихся:

1. Основные методы решения комбинаторных задач (перебор возможных вариантов, использование комбинаторного правила умножения).

2. Основные формулы комбинаторики (перестановки, размещения, сочетания).

3. Умение применять эти методы и формулы для вычисления возможных исходов опыта.

4. Умение описывать и подсчитывать возможные и благоприятные исходы опыта.

5. Умение вычислять вероятность события, используя статистическое, классическое и геометрическое определения. Знание основных свойств вероятности (Р (А) = 1; Р (В) = 0; 0 ≤ Р (С) ≤ 1, где А – достоверное событие, В – невозможное событие, С – случайное событие).

Опорный конспект по комбинаторике учащиеся составили на прошлом занятии при отработке решения вероятностных задач комбинаторными методами. По элементам теории вероятностей также целесообразно иметь о п о р н ы й к о н с п е к т:

конечным числом неравновозможных исходов, когда возможно проведение серии реальных экспериментов.

Относительная частота появления события А – отношение числа испытаний т, в кото-

W(А) = ;

0 ≤ W(А) ≤ 1

Окончание табл.

А появилось, к общему числу всех испытаний п.

Статистическая вероятность случайного события А – численное значение постоянной, около которой колеблется W(A)

Классический

Имеет место для испытаний с конечным числом равновозможных исходов.

Вероятность события А равна отношению числа т благоприятных исходов испытания к общему числу п всех равновозможных
исходов

P(А) = ;

0 ≤ P(А) ≤ 1

Геометрический

Имеет место для бесконечного числа равновозможных исходов.

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.)

P(А) = ;

0 ≤ P(А) ≤ 1

В целях экономии времени желательно подготовить опорный конспект в виде презентации либо раздаточного материала.

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. Вычислить (использовать при повторении):

а) ; б) 8! – 6!; в) ; г) Р₄ + Р₃; д) ;

е) ; ж) ; з) ; и) .

2. З а д а ч а. Из 12 девушек и 10 юношей выбирают команду, состоящую из 5 человек. Сколькими способами можно выбрать эту команду, чтобы в нее вошло не более трех юношей?

Р е ш е н и е

Так как в команду входит не более трех юношей, то возможны такие составы команды: только девушки; 1 юноша и 4 девушки; 2 юноши и 3 девушки; 3 юноши и 2 девушки. Определим возможное число комбинаций для каждого состава.

а) Возможностей выбора 1-го юноши из 10 равно , а выбора 4 девушек из 12 равно (порядок элементов не важен, так как все члены команды равноправны).

Каждый из вариантов выбора юношей сочетается с каждым вариантом выбора девушек, значит, по комбинаторному правилу умножения, число комбинаций равно · = = = 4950 способов.

б) Аналогично для команды из 2 юношей и 3 девушек число вариантов выбора равно:

· = = 9900.

в) Аналогично для команды из 3 юношей и 2 девушек число вариантов выбора равно:

· = = 7920.

г) Если команда состоит только из девушек, то число вариантов выбора равно:

= 792.

Значит, всего вариантов: 4950 + 9900 + 7920 + 792 = 23562.

О т в е т: 23562.

3. З а д а ч а. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов.

Р е ш е н и е

Число всевозможных исходов п равно 120. По формуле относительной частоты: , где А – «произошло попадание в цель». Значит, т = 120 · 0,85; т = 102.

О т в е т: 102 попадания.

4. З а д а ч а. Вы находитесь в круглом зале с 10 дверьми, из которых какие-то 4 заперты. Вы случайным образом выбираете две двери. Найдите вероятность того, что:

а) вы не сможете выйти из зала;

б) вы можете выйти из зала, но вернуться через другую дверь уже не сможете;

в) вы сможете выйти через одну, вернуться в зал через другую;

г) хотя бы через одну дверь вы сможете выйти из зала.

Р е ш е н и е

Исходы – все возможные пары дверей из 10 имеющихся без учета порядка выбора; общее число исходов п = = 45.

Найдем вероятности событий:

а) А – «вы не сможете выйти из зала»;

.

б) В – «вы сможете выйти, но не сможете вернуться через другую дверь» – это значит, что одна дверь открыта, а другая заперта.

.

в) С – «вы сможете выйти через одну, а вернуться через другую дверь», это значит, что обе двери открыты.

.

г) D – «хотя бы через одну дверь вы сможете выйти из зала» – это значит, что открыта одна дверь или обе.

= 6 · 4 + 15 = 39; Р(D) = .

О т в е т: а) ; б) ; в) ; г) .

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте основные комбинаторные правила, формулы.

– Какие определения вероятности вы знаете? Сформулируйте, приведите примеры.

Домашнее задание: № 841, № 861, № 868.

У р о к 15 (84).
Контрольная работа № 6

В а р и а н т 1

1. На стол бросают два игральных тетраэдра (серый и белый), на гранях каждого из которых точками обозначены числа от 1 до 4. Сколько различных пар чисел может появиться на гранях этих тетраэдров, соприкасающихся с поверхностью стола?

2. Сколько существует шестизначных чисел (без повторения цифр), у которых цифра 5 является последней?

3. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчины?

4. На каждой карточке написана одна из букв к, л, м, н, о, п. Четыре карточки наугад выкладывают одну за другой в ряд. Какова вероятность, что при выкладывании получится слово «клоп»?

5. Найдите вероятность того, что случайным образом выбранное двузначное число при делении на 11 дает в остатке 10.

В а р и а н т 2

1. Из коробки, содержащей 8 мелков различных цветов, Гена и Таня берут по одному мелку. Сколько существует различных вариантов такого выбора двух мелков?

2. Сколько существует пятизначных чисел (без повторения цифр), у которых вторая цифра в записи 4?

3. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 5 шаров. Какова вероятность того, что 2 из них белые, а 3 черные?

4. На каждой карточке написана одна из букв р, с, т, у, ф, х. Четыре карточки наугад выкладывают одну за другой в ряд. Какова вероятность, что при выкладывании получится слово «хруст»?

5. Найдите вероятность того, что случайным образом выбранное двузначное число при делении на 13 дает в остатке 5.

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т 1

1. Первый тетраэдр может лечь на стол одной из четырех своих граней; второй тетраэдр – также одной из четырех своих граней; всего 4 ∙ 4 = 16 различных пар граней (чисел).

О т в е т: 16.

2. Фиксируем цифру 5 на последнем месте, на остальные пять перед ней выбираем любые пять цифр из 9 оставшихся (с учетом порядка выбора).

Количество вариантов = 5 · 6 · 7 · 8 · 9 = 15120 чисел. Но мы знаем, что цифра 0 не может стоять на первом месте. Мы должны «отбросить» из этих чисел те, у которых 0 на первом месте (и 5 на последнем).

Таких чисел = 5 · 6 · 7 · 8 = 1680 чисел.

Значит, всего 15120 – 1680 = 13440 вариантов.

О т в е т: 13440.

3. Исходы – все возможные четверки людей, выбираемые из членов бригады; порядок выбора не учитывается, так как все билеты равнозначные.

Общее число исходов: = 35.

Событие А – «выбраны 2 мужчины и 2 женщины», m = =
= = 18 – количество благоприятных исходов;

.

О т в е т: .

4. Исходами опыта будут расположения выбранных карточек в определенном порядке, то есть размещения = 3 · 4 · 5 · 6 = 360 – общее число исходов.

Благоприятный исход – один (слово «клоп»).

Вероятность .

О т в е т: .

5. Общее число двузначных чисел п = 90.

Событие А – «случайным образом выбранное двузначное число при делении на 11 дает в остатке 10».

Количество благоприятных исходов т равно числу значений k, при которых число 11k + 10 – двузначное. Это будет при k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, то есть т = 9.

Искомая вероятность .

О т в е т: 0,1.

В а р и а н т 2

1. В данном случае порядок выбора имеет значение (один цвет может попасться Гене или Тане). Гена может выбрать один из 8 мелков, а Таня – один из 7 оставшихся. Общее число вариантов выбора по правилу умножения равно 8 · 7 = 56.

О т в е т: 56.

2. Фиксируем цифру 4 на втором месте, на остальные четыре выбираем любые четыре цифры из 9оставшихся (с учетом порядка выбора). Количество вариантов = 6 · 7 · 8 · 9 = 3024 чисел. Но мы знаем, что цифра 0 не может стоять на первом месте. Мы должны «отбросить» из этих чисел те, у которых 0 на первом месте (и 4 на втором). Таких чисел = 6 · 7 · 8 = 336 чисел. Значит, всего 3024 – 336 = 2688 вариантов.

О т в е т: 2688.

3. Исходы – все возможные пятерки шаров, вынимаемые из урны; порядок выбора не учитывается.

Общее число исходов: .

Событие А – «выбраны 2 белых и 3 черных шара», m = =
= = 60 – количество благоприятных исходов;

.

О т в е т: .

4. Исходами опыта будут расположения выбранных карточек в определенном порядке, то есть размещения = 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720 – общее число исходов.

Благоприятный исход – один (слово «хруст»).

Вероятность .

О т в е т: .

5. Общее число двузначных чисел п = 90.

Событие А – «случайным образом выбранное двузначное число при делении на 13 дает в остатке 5».

Количество благоприятных исходов т равно числу значений k, при которых число 13k + 5 – двузначное. Это будет при k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, то есть т = 7.

Искомая вероятность .

О т в е т: .

ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ

У р о к 1 (85).
Нахождение значения числового
выражения. Проценты

Цели: систематизировать знания учащихся; обобщить умения нахождения значения числового выражения, процента от числа и числа по его проценту.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Какие из приведенных чисел являются рациональными:

0,3; ; ; 1,(31); ; ; –4,2(51)?

2. Представьте в виде десятичной дроби число:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

3. Вычислите: .

4. Найдите:

а) 3 % от 60; б) 25 % от 360.

5. Сколько процентов составляет:

а) 26 от 200; б) 50 от 250?

III. Формирование умений и навыков.

1. Начинаем с актуализации знаний, предлагая несложное задание на нахождение значения числового выражения.

Упражнения:

В а р и а н т 1

Вычислите:

а) 4 (1,22 : 0,4 – 3,7) + ;

б) + (0,4 · 3,25 – 3,15) : 0,2;

в) .

В а р и а н т 2

Вычислите:

а) + 1,2 (2,3 – 0,061 : 0,2);

б) 5,07 : (0,6 · 3,25 – 2,25) – 3;

в) .

Р е ш е н и е

В а р и а н т 1

а) 4 (1,22 : 0,4 – 3,7) + = 4(3,05 – 3,7) + = 4 (–0,65) + = –2,6 +
+ = –.

б) + (0,4 · 3,25 – 3,15) : 0,2 = 1,5 + (1,3 – 3,15) : 0,2 = 1,5 + (–1,85) :
: 0,2 = 1,5 – 9,25 = –7,75.

в) .

О т в е т: а) –1; б) –7,75; в) 68,4.

В а р и а н т 2

а) + 1,2 (2,3 – 0,061 : 0,2) = + 1,2 (2,3 – 0,305) = + 1,2 · 1,995 =
= + 2,394 = .

б) 5,07 : (0,6 · 3,25 – 2,25) – 3 = 5,07 : (1,95 – 2,25) – 3,25 = 5,07 :
: (–0,3) – 3,25 = –16,9 – 3,25 = –20,15.

в)

О т в е т: а) ; б) –20,15; в) –18,6.

При выполнении этих заданий обращаем внимание на порядок выполнения действий, на переход от десятичных дробей к обыкновенным и наоборот.

2. Решение упражнений на нахождение значения алгебраического выражения при конкретных значениях входящих в его запись букв.

Упражнения:

В а р и а н т 1

Найдите значение выражения:

1) , при а = , b = .

2) , при а = 0,3 b = –0,4.

3) , при х = ; у = .

В а р и а н т 2

Найдите значение выражения:

1) , при х = ; у = .

2) , при х = 1,2; у = –0,6.

3) , при a = ; b = .

3. Решение текстовых задач на нахождение значения выражения, составленного по заданным процентным соотношениям.

№ 877 (а).

Р е ш е н и е

I с п о с о б.

Пусть а – стоимость телевизора (в рублях), тогда в апреле его стоимость составляла 1,3а. В декабре телевизор стоил (1,3а) · 0,6 = 0,78а. Так как а = 10000 (р.), то 0,78 · 10000 = 7800(р.) – стоимость телевизора в декабре.

II с п о с о б (не вводя буквенных значений).

10000 (р.) – стоимость телевизора.

1,3 · 10000 = 13000 (р.) – стоимость телевизора в апреле.

13000 · 0,6 = 78000 (р.) – стоимость телевизора в декабре.

О т в е т: 7800 р.

№ 877 (б).

Р е ш е н и е

а – цена товара первоначальная;

1,3а – цена товара после повышения на 30 %;

0,6 (1,3а) = 0,78а – цена товара после снижения на 40 %.

Значит, цена снизилась на 22 %.

О т в е т: 22 %.

П р и м е ч а н и е. Если пункт а) решать первым способом, то есть с введением буквенного выражения, то пункт б) можно решить устно.

№ 879 (б).

Р е ш е н и е

Пусть а – количество первого раствора соли, тогда 0,3а – количество соли в нем.

Пусть 2а – количество второго раствора соли, тогда 0,15 · 2а = 0,3а – количество соли в нем.

3а – количество смеси, а соли в ней 0,3а + 0,3а = 0,6а. Концентрация получившегося раствора равна = 0,2 или 20 %.

О т в е т: 20 %.

№ 881 (а).

Р е ш е н и е

8000 р. – первоначальный вклад.

1,05 · 8000 = 8400 р. – на счету через год.

1,05 · 8400 = 8820 р. – на счету через два года.

О т в е т: 8820 р.

№ 881 (б).

Р е ш е н и е

8000 р. – первоначальная сумма.

1,05 · 8000 = 8400 р. – на счету через год.

8400 + 2000 = 10400 р. – на счету на начало второго года.

1,05 · 10400 = 10920 р. – на счету через два года.

О т в е т: 10920 р.

4. № 876.

Р е ш е н и е

18, 18, 19, 20, 23, 24, 24, 25, 25, 25.

Среднее арифметическое:

= 22,1.

Мода 25.

Медиана = 23,5.

Размах 25 – 18 = 7.

О т в е т: 22,1; 25; 23,5; 7.

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– В чем заключается основное свойство дроби?

– Правило изменения закона дроби.

– Правила сложения (вычитания) дробей с одинаковыми и разными знаменателями.

– Правила умножения и деления дробей.

– Правило нахождения процента от числа и числа по его проценту.

Домашнее задание: № 875 (а, в), № 878, № 879 (а).

У р о к 2 (86).
Значение выражения, содержащего степень
и арифметический корень. Прогрессии

Цели: систематизировать знания учащихся по теме; обобщить умение нахождения значения выражения, содержащего степень и арифметический корень; повторить основные формулы для вычисления элементов прогрессий.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Вычислите:

а) 5^–3; б) ; в) (–11)^–2;

г) ; д) ; е) (–2)⁰.

2. Вычислите:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

III. Формирование умений и навыков.

1. Начинаем с актуализации знаний, повторяем свойства степени с целым показателем, определение и свойства арифметического квадратного корня.

Задания в форме теста:

а) Представьте выражение (х^–2)³ · (х⁴)² в виде степени с основанием х:

1) х; 2) х⁶; 3) х⁷; 4) х².

б) Найдите значение выражения: (2,9 · 10³) · (2 · 10^–6):

1) 0,58; 2) 5800; 3) 0,0058; 4) 0,058.

в) Найдите частное от деления 4,8 · 10⁷ на 1,6 · 10⁴:

1) 3; 2) 30; 3) 300; 4) 3000.

г) Упростите выражение: :

1) п^–4; 2) п^–23; 3) п⁷; 4) п¹⁰.

№ 887 (а).

Р е ш е н и е

.

О т в е т: .

№ 882 (а, г).

Р е ш е н и е

а)
.

О т в е т: .

г)
= 14.

О т в е т: 14.

№ 883.

Р е ш е н и е

.

О т в е т: 73 – 36.

№ 884 (а).

Р е ш е н и е

Преобразуем левую часть равенства.

– верное равенство.

№ 885 (а).

;

;

;

;

.

Так как , то .

Имеем: = – верное равенство.

2. Актуализация знаний по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте определение арифметической прогрессии. Приведите примеры числовой последовательности, которая является арифметической прогрессией.

– Запишите формулу п-го члена арифметической прогрессии.

– Запишите формулу суммы п первых членов арифметической прогрессии.

– Ответьте на аналогичные вопросы для геометрической прогрессии.

Упражнения:

№ 888.

Р е ш е н и е

(а_п) – арифметическая прогрессия, а₂ = –6, а₃ = –2.

a_n = a₁ + d (n – 1); d = a₃ – a₂; d = –2 – (–6) = 4;

a₁ = a₂ – d; a₁ = –6 – 4= –10;

a₁₅ = a₁ + 14d; a₁₅ = –10 + 14 · 4 = 46.

О т в е т: 46.

№ 889.

Р е ш е н и е

(х_п) – арифметическая прогрессия; х₂ = –2,4; d = 1,2.

S_n = · n; х₁ = х₂ – d; х₁ = –2,4 – 1,2 = –3,6;

;

S₁₀ = (2 · (–3,6) + 9 · 1,2) · 5 = (–7,2 + 10,8) · 5 = 18.

О т в е т: 18.

№ 890.

Р е ш е н и е

(b_n) – геометрическая прогрессия, .

;

;

.

О т в е т: –32.

№ 891.

Р е ш е н и е

(х_п) – геометрическая прогрессия, х₂ = –32, ;

О т в е т: 42.

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием.

– Сформулируйте определение и свойства арифметического корня.

Домашнее задание: № 882 (б), № 884 (б), № 886, № 705 (а).

У р о к 3 (87).
Вычисления по формулам комбинаторики
и теории вероятностей

Цели: систематизировать знания учащихся по теме; обобщить умения применять формулы комбинаторики и теории вероятностей при решении задач.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Найдите значение выражения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

В а р и а н т 2

Найдите значение выражения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Р е ш е н и е

В а р и а н т 1

1)

2)

3) .

4)
.

В а р и а н т 2

1)

2)

3)

4)

III. Формирование умений и навыков.

Актуализация знаний по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей». Можно воспользоваться опорными конспектами, составленными на уроке обобщения темы.

№ 892 (а, д).

Р е ш е н и е

а) ;

д)

О т в е т: а) 380; д) 220.

№ 893 (б).

Р е ш е н и е

10⁵ = 10 · 10 · 10 · 10 · 10.

Первое число представлено в виде произведения пяти положительных сомножителей, каждый из которых больше 10. Значит, > 10⁵.

О т в е т: > 10⁵.

№ 895.

Р е ш е н и е

Так как Алла дежурит в субботу, а Света в четверг, то остальные 4 школьника могут работать в любой из оставшихся четырех дней. Порядок имеет значение. Число комбинаций равно числу перестановок из 4 элементов: Р₄ = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

О т в е т: 24 способа.

№ 896 (б).

Р е ш е н и е

В эстафете 4 100 м принимают участие четыре человека, по одному на каждом этапе. Так как тренеру важен порядок заплыва спортсменов, то число способов отбора спортсменов равно числу размещений из 12 элементов по 4:

О т в е т: 11880 способов.

№ 897.

Р е ш е н и е

Число вариантов 3 научно-фантастических романов из 10 равно числу сочетаний из 10 по 3: (порядок выбора значения не имеет, так как Петя берет все три книги сразу, порядок прочтения не оговаривается). Аналогично число вариантов выбора 2 исторических романов из 8 равно . Так как каждый выбор научно-фантастических книг сочетается с каждым выбором исторических романов, то по комбинаторному правилу умножения общее число вариантов равно:

· = .

О т в е т: 3360 способов.

№ 898.

Р е ш е н и е

Общее число билетов п = 150; извлечение каждого из них является равновозможным. Рассмотрим событие А – «полученный билет оказался выигрышным». Количество благоприятных исходов равно т = 30. Искомая вероятность:

.

Событие В – «полученный билет оказался невыигрышным». Количество благоприятных исходов т = 150 – 30 = 120.

.

П р и м е ч а н и е. Если в классе были пройдены понятия «противоположные события» и «вероятность противоположных событий», то можно заметить, что , тогда .

О т в е т: ; .

№ 900.

Р е ш е н и е

Число вариантов расстановки 5 фотоальбомов равно числу размещений из 5 элементов (порядок нам важен). Значит, общее число исходов равно п = Р₅ = 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120.

Событие А – «альбомы на полке оказались в том же порядке, что и прежде». Число благоприятных исходов т = 1 (только один вариант верный). Искомая вероятность:

.

О т в е т: .

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Назовите основные формулы комбинаторики.

– В чем отличие сочетаний из п элементов по k от размещений из п элементов по k?

– Назовите формулу вычисления вероятности случайного события при классическом подходе.

Домашнее задание: № 894; № 896 (а), № 899, № 901.

У р о к 4 (88).
Тождественные преобразования
рациональных алгебраических выражений

Цели: систематизировать знания учащихся по теме; актуализировать умения и навыки приведения многочленов к стандартному виду, разложения многочлена на множители, использования формул сокращенного умножения, преобразования дробно-рациональных выражений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Повторение учебного материала.

1. Правила раскрытия скобок, если перед ними стоит знак «плюс» («минус»).

2. Правило умножения одночлена на многочлен. Правило умножения многочлена на многочлен.

3. Формулы сокращенного умножения:

а) разность квадратов двух выражений;

б) квадрат суммы (разности) двух выражений;

в) сумма (разность) кубов двух выражений.

4. Что называют разложением многочлена на множители? Методы разложения многочлена на множители.

5. Действия над рациональными дробями.

III. Устная работа.

1. Преобразуйте в многочлен:

а) (5a – b) (5a + b); в) (2х + у)²;

б) (3a – 2b) (2b + 3a); г) (3х² – 5у)².

2. Вставьте вместо пропусков такие одночлены, чтобы полученное равенство было тождеством:

а) (15а – …)² = … … + 144х²;

б) (… + 3ху)² = … + 24ху + …;

в) (… – b²) (b² + …) = 25 – b²;

г) (17 – …) (17 + …) = 289 – 9а².

3. Укажите выражение, тождественно равное единице при условии, что х ≠ 3.

а) ; б) ; в) ; г) .

IV. Формирование умений и навыков.

№ 902 (а, в, д, ж).

Р е ш е н и е

а) (х – 2у) (х + 2у) + 4у² = х² – 4у² + 4у² = х²;

в) (5х – 1)² + 10х = 25х² – 10х + 1 + 10х = 25х² + 1;

д) ;

ж)
.

О т в е т: а) х²; в) 25х² + 1; д) т³ – 2п³; ж) х² + 30у².

№ 904 (а, в).

Р е ш е н и е

а) Преобразуем левую часть равенства:

;

a⁴ – 16b⁴ = a⁴ – 16b⁴ – верное равенство.

в) Преобразуем левую часть равенства:

а⁶ – 64 = а⁶ – 64 – верное равенство.

№ 905 (а, в).

Р е ш е н и е

а) 12х³ – 3х²у – 18ху² = 3х (4х² – ху – 6у²);

в) 8ab – 14a – 12b + 21 = 4b(2a – 3) – 7(2a – 3) = (2a – 3)(4b – 7).

№ 906 (б, г, е).

Р е ш е н и е

б) 4b² – 0,01c⁶ = (2b)² – (0,1c³)² = (2b – 0,1c³)(2b + 0,1c³).

г) х⁹ – 27 = (х³)³ – 3³ = (х³ – 3)((х³)² + 3 · х³ + 3²) = (х³ – 3)(х⁶ + 3х³ + 9).

е) –20xy³ + 45x³y = 5xy(9x² – 4y²) = 5xy((3x)² – (2y)²) =
= 5xy(3x – 2y)(3x + 2y).

№ 907 (а, в).

Р е ш е н и е

а) Найдем корни квадратного трехчлена, решив уравнение:

х² – х – 42 = 0. По теореме Виета, х₁ · х₂ = –42, х₁ + х₂ = 1.

Значит, х₁ = 7; х₂ = –6. По теореме о разложении квадратного трехчлена на множители:

х² – х – 42 = (х – 7) (х + 6).

в) 81х² + 18х + 1 = (9х)² – 2 · 9 · х + 1² = (9х – 1)².

П р и м е ч а н и е. При решении этих упражнений следует обращать внимание учащихся на методы разложения многочлена на множители:

– вынесение общего множителя (одночлена) за скобки;

– группировка и последующее вынесение общих множителей;

– разложение по формулам сокращенного умножения;

– разложение на множители квадратного трехчлена, имеющего корни.

При решении следующих упражнений используем:

а) Основное свойство алгебраической дроби – алгебраическую дробь можно сократить на ненулевой многочлен.

б) Арифметические действия над алгебраическими дробями:

в) Свойства алгебраических дробей:

1) Если В – ненулевой многочлен, то = 0.

2) .

3) .

№ 908 (г, д, и).

Р е ш е н и е

г)
;

д)
;

и) .

О т в е т: г) ; д) ; и) .

№ 910 (а, в).

Р е ш е н и е

а)

;

в)


.

О т в е т: а) ; в) .

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какие методы применяются для разложения многочленов на множители?

– Основное свойство алгебраической дроби?

– Что значит привести алгебраические дроби к общему знаменателю?

Домашнее задание: № 903 (а, в), № 905 (б, г), № 907 (б, г), № 910 (б, г).

У р о к 5 (89).
Тождественные преобразования
дробно-рациональных
и иррациональных выражений

Цели: систематизировать знания учащихся по теме; актуализировать умения и навыки упрощения и преобразования дробно-рациональных, иррациональных выражений и выражений со степенью.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

а) Какие из следующих выражений тождественно равно произведению (х – 2) (5 – х)?

1) (х + 2) (5 + х); 2) –(х + 2) (5 + х);

3) (х – 2) (х – 5); 4) (2 – х) (х – 5).

б) Упростите произведение: .

в) В каком случае выражение преобразовано в тождественно равное?

1) (2х – 5) у = 2х – 5у; 2) (х + у) (у – х) = х² – у²;

3) (х – у)² = х² – у²; 4) (2 – х)² = х² – 4х + 4.

г) Разложите на множители многочлен х² + 10х + 16.

д) Вычислите: ; ; .

III. Формирование умений и навыков.

1. Продолжаем выполнение упражнений на преобразование алгебраических дробей.

№ 911 (б).

.

О т в е т: .

№ 912 (в).

Р е ш е н и е

.

О т в е т: .

№ 914 (а, б).

Р е ш е н и е

а)

.

б)

.

О т в е т: а) ; б) .

№ 915 (б).

Р е ш е н и е

. Возведем обе части равенства в квадрат.

; ;

; ; = 4,25.

О т в е т: 4,25.

2. А к т у а л и з а ц и я з н а н и й – повторить определение арифметического корня и его основные свойства, методы освобождения от иррациональности в знаменателе дроби.

№ 919 (б, д, з). Устно.

№ 920 (а, в, д). Устно.

№ 921 (в).

Р е ш е н и е

О т в е т: .

№ 922 (б, е).

Р е ш е н и е

б)

е)

О т в е т: б) ; е) .

№ 924 (а).

Р е ш е н и е

;

;

;

– верное равенство.

3. А к т у а л и з а ц и я з н а н и й – повторить свойства степени.

№ 917 (в).

Р е ш е н и е

.

О т в е т: .

№ 918 (а).

Р е ш е н и е

– 5 ∙ 3^{n + 1 – (n – 1)} = 2 ∙ 3³ – 5 ∙ 3² = 3²(6 – 5) = 9.

О т в е т: 9.

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Назовите правила сложения, умножения и деления алгебраических дробей.

– Назовите определение арифметического корня и его свойства. Какие методы освобождения от иррациональности в знаменателе существуют?

– Сформулируйте определение и свойства степени с целым показателем.

Домашнее задание: № 913 (в, г), № 914 (г, д), № 918 (г), № 923 (в, г).

У р о к 6 (90).
Линейные, квадратные, биквадратные
и дробно-рациональные уравнения

Цели: систематизировать знания учащихся по теме; актуализировать умения и навыки решения уравнений с одной переменной перечисленных видов.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Упростите выражение: 2у (у + 5) – 3у (у – 3).

2. Разложите на множители: 6тп – 3т²п + 3тп².

3. Упростите выражение: .

4. Вычислите: (10³)² · 10^–8.

5. Упростите выражение: .

В а р и а н т 2

1. Упростите выражение: (а – 3) (а + 3) –2а (4 – а).

2. Разложите на множители: 4ас² – 8ас + 4а²с.

3. Упростите выражение: .

4. Вычислите: (2¹³ · 2^–11)^–1.

5. Упростите выражение: .

Р е ш е н и е

В а р и а н т 1

1. 2у(у + 5) – 3у(у – 3) = 2у² + 10у – 3у² + 9у = –у² + 19у.

О т в е т: –у² + 19у.

2. 6тп – 3т²п + 3тп² = 3тп(2 – т + п) = 3тп (п – т + 2).

О т в е т: 3тп(п – т+ 2).

3.

.

О т в е т: .

4. (10³)² · 10^–8 = 10⁶ · 10^–8 = 10^{6 – 8} = 10^–2 = = 0,01.

О т в е т: 0,01.

5. .

О т в е т: .

В а р и а н т 2

1. (а – 3) (а + 3) –2а (4 – а) = а² – 9 – 8а + 2а² = 3а² – 8а – 9.

О т в е т: 3а² – 8а – 9.

2. 4ас² – 8ас + 4а²с = 4ас (с – 2 + а) = 4ас (а + с – 2).

О т в е т: 4ас (а + с – 2).

3.

.

О т в е т: .

4. (2¹³ · 2^–11)^–1 = (2²)^–1 = = = 0,25.

О т в е т: 0,25.

5. .

О т в е т: .

III. Повторение учебного материала.

А к т у а л и з а ц и я з н а н и й (определение и методы решения уравнений) по опорному конспекту или таблице (заранее заготовить).

ах = b,

х – переменная,

а, b – числа

1) а ≠ 0, х = ;

2) а = 0, b ≠ 0, корней нет;

3) а = 0, b = 0, х – любое

2. Квадратное

ах² + bх + с = 0,

х – переменная,

а, b, с– числа,

а ≠ 0

1) с = 0, ах² + bх = 0, х (ах + b) = 0,

х = 0 или х = –

2) b = 0, ах² + с = 0; х² = –;

– ≥ 0, x_{1, 2} = ; – < 0, корней нет

3) D = b² – 4ac;

D > 0, x_{1, 2} = ;

D = 0, x = –;

D < 0, корней нет

4) ax² + 2kx + c = 0,

D₁ = k² – ac,

D₁ > 0, x_{1, 2} = ;

D₁ = 0, x = –;

D < 0, корней нет

5) x² + px + q = 0, по теореме Виета, если х₁, х₂ –

корни уравнения, то х₁ + х₂ = –р, х₁ · х₂ = q

Окончание табл.

ах⁴ + bх² + с = 0,

а ≠ 0

Метод введения новой переменной.

Пусть х² = t, t ≥ 0, тогда решаем

аt² + bt + c = 0 относительно переменной t, а затем из уравнения х² = t находим значение х

4. Дробно-рациональное.

Обе части уравнения являются рациональными выражениями, причем хотя бы одно из них – дробное

А л г о р и т м р е ш е н и я:

1) найти общий знаменатель дробей, входящих
в уравнение;

2) умножить обе части уравнения на общий знаме-
натель;

3) решить получившееся целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые обращают
в нуль общий знаменатель дробей

IV. Формирование умений и навыков.

Все упражнения, решаемые на этом занятии, можно разбить на
г р у п п ы:

– решение уравнений, сводящихся к линейным;

– решение квадратных уравнений;

– решение биквадратных уравнений;

– решение дробно-рациональных уравнений;

– решение уравнений комбинированными методами.

Упражнения:

№ 925 (а, г).

Р е ш е н и е

а) 3х (х – 1) – 17 = х (1 + 3х) + 1;

3х² – 3х – 17 = х + 3х² + 1;

–4х = 16;

х = –4.

г) ; · 6

х – 3 + 6х = 4х – 2 – 12 + 3х;

0 = –11 – неверное, значит, нет корней.

О т в е т: а) –4; г) нет корней.

№ 931 (б, г).

Р е ш е н и е

б) 6у² – 0,24 = 0;

у² = ;

у² = 0,04; у = ±; у = ±0,2.

г) ; · 3;

10и² + 9и – 9 = 0;

D = 9² – 4 · 10 · (–9) = 81 + 360 = 441;

и₁ = = 0,6;

и₂ = = –1,5.

О т в е т: б) ±0,2; г) 0,6; –1,5.

№ 951 (а).

Р е ш е н и е

4х⁴ – 17х² + 4 = 0.

Пусть х² = t, t ≥ 0, тогда 4t² – 17t + 4 = 0.

D = (–17)² – 4 · 4 · 4 = 289 – 64 = 225;

t₁ = = 4;

t₂ = ;

х² = 4 или

х² = ;

х_{1, 2} = ±2;

х_{3, 4} = ±.

О т в е т: ±2; ±.

№ 940 (б).

Р е ш е н и е

;

;

;

х ≠ 4, х ≠ –4; 70 – 17х – 68 – 3х² + 12х = 0;

3х² + 5х – 2 = 0;

D = 5² – 4 · 3 · (–2) = 25 + 24 = 49;

х₁ = ;

х₂ = = –2.

О т в е т: ; –2.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется уравнением? Что означает «решить уравнение»?

– Какие виды уравнений с одной переменной вы знаете?

– Назовите основные методы решения квадратных уравнений.

– Сформулируйте алгоритм решения дробно-рационального уравнения.

Домашнее задание: № 925 (б, в), № 935 (а, в, е), № 940 (д, ж), № 951 (в).

У р о к 7 (91).
Решение текстовых задач
на составление уравнений

Цель: актуализировать умения и навыки решения текстовых задач алгебраическим методом: составлять уравнение по условию задачи и решать его.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Решите уравнение:

а) х² – 4 = 0; б) 2t – 4t = 0; в) z² + 5z + 6 = 0.

2. Составьте уравнение для решения задачи:

а) Одно число больше другого на 5, а их произведение равно 126. Найдите эти числа.

б) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см. Найдите катеты треугольника, если один из них на 2 см меньше другого.

в) Какую часть числа составляют 3 %, 10 %, 15 %, 26 %, 50 %, 98 %, а % этого числа?

III. Формирование умений и навыков.

1. А к т у а л и з а ц и я з н а н и й.

При решении текстовых задач алгебраическим методом основное внимание следует уделять процессу перевода условия задачи на математический язык. Напомним еще раз учащимся основные этапы решения текстовой задачи алгебраическим методом:

1-й э т а п. Анализ условия задачи и введение переменной.

2-й э т а п. Перевод условия задачи на математический язык (составление уравнения).

3-й э т а п. Решение полученного уравнения.

4-й э т а п. Интерпретация полученного результата.

Самым важным и сложным для учащихся являются первые два этапа. Чтобы преодолеть эти трудности, необходима наглядность в представлении условия. С этой целью напоминаем, что данные условия можно заносить в таблицы, составлять схемы, графы.

Также следует уделить внимание 4-му этапу. Учащиеся должны понимать, какие результаты удовлетворяют условию задачи, а какие нет (определение правдоподобности).

2. Т е к с т о в ы е з а д а ч и можно условно разбить на группы по типу уравнения:

а) сводящиеся к линейному уравнению;

б) сводящиеся к квадратному уравнению;

в) сводящиеся к дробно-рациональному уравнению.

Также задачи можно классифицировать по фабуле:

а) задачи «на движение»;

б) задачи «на работу»;

в) задачи «на проценты и концентрацию».

Упражнения:

№ 928.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

Пусть х км/ч – скорость пешехода, тогда (х + 8) км/ч – скорость велосипедиста. Велосипедист ехал 1,5 ч, а пешеход шел 2 ч, так как вышел на 0,5 ч раньше велосипедиста. Зная, что суммарно до встречи они преодолели 26 км, составим уравнение:

2 · х + 1,5 (х + 8) = 26;

2х + 1,5х + 12 = 26;

3,5х = 14;

х = 4.

4 (км/ч) – скорость пешехода, следовательно, скорость велосипедиста равна 4 + 8 = 12 (км/ч).

О т в е т: 4 км/ч; 12 км/ч.

№ 930.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

В 300 г 20 %-го раствора соли содержится 0,2 · 300 = 60 г соли.

Пусть в раствор добавили х г воды, тогда общая масса раствора стала (300 + х) г. Абсолютное содержание соли в растворе не изменилось и составляет 60 г. Зная, что относительное содержание соли в растворе составило теперь 8 %, получим уравнение:

0,08 · (300 + х) = 60;

24 + 0,08х = 60;

0,08х = 36;

х = 450.

О т в е т: 450 г.

№ 936.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

Пусть х м – ширина участка, тогда (х + 15) м – его длина. Зная, что площадь участка составляет 700 м², получаем уравнение:

х (х + 15) = 700;

х² + 15х – 700 = 0;

D = (15)² – 4 · 1 · (–700) = 225 + 2800 = 3025;

x₁ = = 20;

x₁ = = –35 – не имеет смысла.

И м е е м: 20 м – ширина участка, 35 м – его длина.

Длина изгороди равна 2 · (35 + 20) м, что составляет 110 м.

О т в е т: 110 м.

№ 937.

Р е ш е н и е

Пусть в классе п учеников. Так как каждый раздал свое фото оставшимся (п – 1) ученикам, то всего было роздано фотографий п(п – 1). Зная, что всего передано 600 фотокарточек, составим уравнение:

п(п – 1) = 600;

п² – п – 600 = 0;

D = (–1)² – 4 · 1 · (–600) = 2401;

n₁ = = 25;

n₁ = = –24 – не имеет смысла.

О т в е т: 25 учеников.

№ 941.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

Пусть х – производительность первой бригады, тогда – производительность второй бригады. Первая бригада выполнит всю работу за ч, а вторая бригада – за ч, что составляет ч. Зная, что первая бригада затратит на 5 ч больше, составим уравнение:

+ 5;

= 0;

х ≠ 0, х ≠ ; 1 – 12х – 5х + 30х² = 0;

30х² – 17х + 1 = 0;

D = (–17)² – 4 · 30 · 1 = 289 – 120 = 169;

x₁ = ;

x₂ = .

x = – не удовлетворяет условию задачи, иначе обе бригады выполнили бы работу за одинаковое время. Так как t = , то первая бригада выполнит работу за 15 ч, а вторая за 10 ч.

О т в е т: 15 ч, 10 ч.

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– В чем суть алгебраического метода решения текстовой задачи?

– Охарактеризуйте основные этапы решения текстовой задачи.

– Как интерпретируются полученные результаты? Приведите примеры неправдоподобных результатов для задач «на движение», «на работу», «на смеси и концентрацию».

Домашнее задание: № 929, № 939, № 944, № 950.

У р о к 8 (92).
Решение систем уравнений

Цели: систематизировать знания учащихся по теме; актуализировать умения и навыки решения систем уравнений с двумя неизвестными первой и второй степени.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Выразите одну переменную через другую из уравнения:

а) 5х + 2у = –6; б) ху – 3 = 0.

2. Определите, из какого уравнения системы какую переменную удобнее выразить:

а) б) в)

3. Решите систему уравнений:

а) б)

III. Формирование умений и навыков.

Перед решением упражнений следует повторить основные способы решения систем уравнений с двумя неизвестными:

1) способ подстановки;

2) способ сложения;

3) графический.

Упражнения:

№ 957 (а).

Р е ш е н и е

О т в е т: (4; –1).

№ 958 (б).

Р е ш е н и е

Обозначим х – у + 1 = а, х + у – 1 = b.

И м е е м:

О т в е т: (13; 8).

№ 961.

Р е ш е н и е

а) Чтобы система не имела решений, приравняем значения у:

kx + b = 2,5x – 3;

(k – 2,5) х = –3 – b.

Если k – 2,5 = 0, а –3 – b ≠ 0, то нет решений.

Пусть k = 2,5, b = 1.

б) Чтобы система имела бесконечно много решений, необходимо, чтобы k = 2,5, b = –3.

в) Если х = 4 – входит в решение, то у = 2,5 · 4 – 3;

у = 7, тогда 7 = k · 4 + b, например, k = 1, b = 3.

О т в е т: а) k = 2,5, b = 1; б) k = 2,5, b = –3; в) k = 1, b = 3.

№ 963 (а).

Р е ш е н и е

Прямая задается уравнением у = kx + b. Так как точки (0; 30) и (6; 0) принадлежат этой прямой, то

Уравнение прямой: у = –5х + 30.

О т в е т: у = –5х + 30.

№ 972 (а).

Р е ш е н и е

Построим графики функций у = –х² + 5х и у = х – 2,5 и найдем координаты их точек пересечения.

1) у = –х² + 5х. Графиком является парабола, проходящая через точки (0; 0), (5; 0), вершина параболы (2,5; 6,25), ветви направлены вниз.

2) у = х – 2,5. Графиком является прямая, проходящая через точки (0; –2,5),(5; 0).

А (5; 0), В (–0,5; –2,75).

О т в е т: (5; 0), (–0,5; –2,75).

№ 973 (б).

Р е ш е н и е

О т в е т: (5; 3).

№ 974 (а).

Р е ш е н и е

О т в е т: (5; 1), (1; 5).

№ 975 (а, б).

Р е ш е н и е

а)

А (1; 3); В (4; 0)

б)

А (1; 3); В (3; 1)

О т в е т: а) (4; 0); (1; 3); б) (1; 3); (3; 1).

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Как найти координаты точек пересечения графиков уравнений?

– В чем состоит способ сложения при решении систем уравнений?

– Каков алгоритм решения систем уравнений способом подстановки?

– Любую ли систему линейных уравнений можно решить способом сложения? Способом подстановки?

– Можно ли решить способом сложения систему, содержащую нелинейные уравнения? Когда это возможно?

Домашнее задание: № 958 (а), № 962 (а), № 972 (б), № 973 (д),
№ 976*.

У р о к 9 (93).
Решение текстовых задач
на составление систем уравнений

Цели: актуализировать умения и навыки решения текстовых задач алгебраическим методом: составлять систему уравнений по условию задачи и решать ее.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Решите систему уравнений:

1. 2.

В а р и а н т 2

Решите систему уравнений:

1. 2.

Р е ш е н и е

В а р и а н т 1

1.

О т в е т: (3; –1).

2.

D = (–25)² – 4 · 7 · 12 = 625 – 336 = 289 = (17)²;

y₁ = = 3; y₂ = .

О т в е т: (1; 3); .

В а р и а н т 2

1.

О т в е т: (–2; 5).

2.

О т в е т: (2; 3); (–3; –2).

III. Формирование умений и навыков.

Все задания условно можно разбить на г р у п п ы:

– Текстовые задачи на составление системы линейных уравнений с двумя неизвестными.

– Текстовые задачи на составление системы уравнений второй степени.

– Текстовые задачи на составление систем уравнений с использованием формул из различных разделов математики.

Как и в случае с задачами на составление уравнений, следует особое внимание уделять анализу условия задачи и его переводу на математический язык.

Упражнения:

№ 966.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

Пусть х и у – количество деталей, которые мастер и ученик изготовили в первый день соответственно. Во второй день мастер изготовил на 20 % больше, чем в первый день, что составило 1,2х деталей, а ученик во второй день изготовил на 10 % больше, что составило 1,1у. Зная, что всего в первый день было изготовлено 100 деталей, а во второй – 116 деталей, составим систему уравнений:

О т в е т: 60; 40.

№ 970.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

Пусть х и у – количество первого и второго сплава соответственно.

Первый сплав содержит 0,67х меди, второй – 0,87у. Масса нового сплава (х + у), и меди в нем 79 %, то есть 0,79 (х + у). Зная, что абсолютная масса меди в новом сплаве составляет 0,67х + 0,87у, составим уравнение с двумя неизвестными:

0,79 (х + у) = 0,67х + 0,87у;

0,79х – 0,67х = 0,87у – 0,79у;

0,12х = 0,08у;

;

.

О т в е т: 2 : 3.

П р и м е ч а н и е. При решении этой задачи система уравнений не составляется, так как требуется установить только соотношение сплавов. Можно предложить учащимся самостоятельно дополнить условие задачи, чтобы она сводилась к решению системы уравнений, имеющей единственное решение.

№ 982.

Р е ш е н и е

Пусть х и у (см) – катеты прямоугольного треугольника, тогда его площадь равна · х · у (см²) и составляет 44 (см²). Если один из катетов уменьшить на 1 см, а другой увеличить на 2 см, то его площадь будет равна (х – 1)(у + 2). Зная, что эта площадь равна 50 см², составим систему уравнений:

О т в е т: 11; 8.

№ 989.

Р е ш е н и е

А н а л и з: (а_п) – арифметическая прогрессия.

а₂₅ – ?

Пусть а – первый член арифметической прогрессии, d – ее разность, тогда а₆ = а + 5d, а₁₀ = а + 9d и а₆ + а₁₀ = 2а + 14d; а₁₂ = а + 11d; а₄ = а +
+ 3d и а₁₂ – а₄ = 8d. Зная, что а₆ + а₁₀ = 5,9 и а₁₂ – а₄ = 2, составим систему уравнений:

а₂₅ = а + 24d; а₂₅ = 1,2 + 24 · 0,25 = 7,2.

О т в е т: 7,2.

№ 996.

А н а л и з: (b_n) – геометрическая прогрессия.

S₇ – ?

Пусть b₁ > 0 – первый член геометрической прогрессии, q > 0 – ее знаменатель, тогда b₃ = b₁ · q² и b₅ = b₁ · q⁴. Зная, что b₃ = 20 и b₅ = 80, составим систему уравнений:

П р и м е ч а н и е. Решение q = –2 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 635.

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Каковы этапы решения задач на составление систем уравнений?

– В чем состоит способ сложения и способ подстановки при решении систем уравнений?

Домашнее задание: № 967, № 980, № 984, № 997.

У р о к 10 (94).
Линейные неравенства с одной переменной
и системы линейных неравенств
с одной переменной

Цели: систематизировать знания учащихся по теме; актуализировать умения и навыки решения неравенств и систем неравенств с одной переменной.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Повторение учебного материала.

1. Свойства числовых неравенств.

2. Неравенство первой степени kx + b > 0, где х – переменная, k, b – числа, k ≠ 0.

3. Решение неравенства с одной переменной, число х₀ – такое, что k · x₀ + b > 0 – верное.

4. Решить неравенство – найти все его решения или доказать, что их нет.

5. Два неравенства называются равносильными, если любое решение первого неравенства является решением второго и наоборот.

6. Свойства неравенств с одной переменной:

– Члены неравенства можно переносить с противоположными знаками из одной части неравенства в другую.

– В неравенстве можно приводить подобные члены.

– При умножении (или делении) неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется.

– При умножении (или делении) неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

III. Математический диктант.

В а р и а н т 1 [В а р и а н т 2]

1. Запишите числовой промежуток, служащий множеством решений неравенства х ≤ 3 [у > –8].

2. Запишите неравенство, множеством решений которого служит промежуток (–3; +∞) [(–∞; 7)].

3. Изобразите на координатной прямой промежуток (–2; 3] [[–1; 4)] и запишите неравенство, множеством решений которого он служит.

4. Решите неравенство: 2х – 1 ≤ 2 (х – 1) [3(х – 1) ≥ 3х + 1].

5. Решите неравенство: 5у – 10 > 10у – 5 [3x – 6 < 6x – 3].

6. Решите неравенство: .

О т в е т ы:

В а р и а н т 1 [В а р и а н т 2]

1. (–∞; 3] [(–8; +∞)].

2. х > –3 [x < 7].

3. –2 < х ≤ 3 [–1 ≤ х < 4].

4. Нет решений [х – любое].

5. (–∞; –1) [(–1; +∞)].

6. х – любое [нет решений].

IV. Формирование умений и навыков.

Особое внимание обращаем на верное использование свойств неравенства, а также на возможность графической интерпретации полученных решений.

Упражнения:

№ 1000.

Р е ш е н и е

а) 2,6 < < 2,7;

2,2 < < 2,3;

4,8 < + < 5.

б) 2,2 < < 2,3;

–2,3 < – < –2,2;

2,6 < < 2,7;

0,3 < – < 0,5.

в) 2,6 < < 2,7;

2,2 < < 2,3;

5,72 < < 6,21.

№ 1001 (а, в, з).

Р е ш е н и е

а) 0,3 (2т – 3) < 3 (0,6т + 1,3);

0,6т – 0,9 < 1,8т + 3,9;

–1,2т < 4,8;

т > –4.

(–4; +∞).

в) 10 – 5 (0,3а – 0,2) ≥ 5 – 10 (0,1а + 0,2);

10 – 1,5а + 1 ≥ 5 – а – 2;

–0,5а ≥ –8;

а ≤ 16.

(–∞; 16].

з) (1 –3,6а) (0,2а+ 3) + (4+ 0,9а) (0,8а + 10) ≤ 42,2;

0,2а + 3 – 0,72а² – 10,8а + 3,2а + 40 + 0,72а² + 9а ≤ 42,2;

1,6а ≤ –0,8;

а ≤ –0,5.

(–∞; –0,5].

О т в е т: а) (–4; +∞); в) (–∞; 16]; з) (–∞; –0,5].

№ 1002 (в, е).

Р е ш е н и е

в) ;

2 (0,5 – 5у) ≥ 3 (0,6 – 5у);

1 – 10у ≥ 1,8 – 15у;

5у ≥ 0,8;

у ≥ 0,16.

е) < –4,05у;

5 (1,6 – 0,3у) + 2 (4,4 + 1,5у) + 10 · 4,05 · у < 0;

8 – 1,5у + 8,8 + 3у + 40,5у < 0;

42у < –16,8;

у < –0,4.

О т в е т: в) у ≥ 0,16; е) у < –0,4.

№ 1004 (а, в).

Р е ш е н и е

а) (5 – 2х) ( – 3) < 0;

2,4 < < 2,5;

–0,6 < – 3 < –0,5, значит, – 3 < 0.

Разделим обе части неравенства на ( – 3), получим:

5 – 2х > 0; –2х > –5; х < 2,5.

в) < 0; 1,4 < < 1,5;

–1,5< – < 1,4;

1,7 < < 1,8;

0,2 < – < 0,4, значит, – > 0.

Разделим обе части неравенства на ( – ): < 0. Дробь меньше нуля, если знаменатель меньше нуля:

2 + 7х < 0;

7х < –2;

х < –.

О т в е т: а) (–∞; 2,5); в) (–∞; –).

№ 1005 (в, г).

Р е ш е н и е

в)

г)

О т в е т: в) (–∞; ); г) нет решений.

№ 1008 (б).

Р е ш е н и е

В этот интервал входят целые числа 2; 3; 4; 5; 6; 7.

О т в е т: 2; 3; 4; 5; 6; 7.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется линейным неравенством с одним неизвестным?

– Какие есть утверждения о равносильности неравенств?

– Каким способом можно решить систему линейных неравенств?

Домашнее задание: № 1001 (б, г, е), № 1003, № 1004 (б), № 1007 (б).

У р о к 11 (95).
Неравенства и системы неравенств
с одной переменной второй степени

Цели: систематизировать знания учащихся по теме; актуализировать умения и навыки решения неравенств и систем неравенств с одной переменной второй степени.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Математический диктант.

В а р и а н т 1 [В а р и а н т 2]

1. Является ли число –3 решением системы неравенств?

2. Запишите решение системы неравенств:

3. Запишите решение системы неравенств:

4. Запишите решение системы неравенств:

5. Решите систему неравенств:

О т в е т ы:

В а р и а н т 1 [В а р и а н т 2]

1. Нет [нет].

2. (5; 6] [(5;9]].

3. (20;+∞) [{2}].

4. Нет решений [(–∞;1)].

5. [2;+∞) [[7;+∞)].

III. Повторение учебного материала.

Неравенства вида ах² + bx + c > 0 и ах² + bx + c < 0, где х – переменная, а, b, c – некоторые числа и а ≠ 0, называют неравенствами второй степени с одной переменной.

А л г о р и т м р е ш е н и я:

1. Найти дискриминант трехчлена ах² + bx + c и определить, имеет ли трехчлен корни.

2. Схематически изобразить параболу в зависимости от знака коэффициента при х² и наличия корней.

3. Найти на оси х промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси х или ниже оси х, в зависимости от знака решаемого уравнения.

Данный материал целесообразно представить в виде опорного конспекта или таблицы. Следует заполнить только «шапку» таблицы, содержимое заполнить либо при устном фронтальном опросе, либо организовав работу по вариантам.

Окончание табл. IV. Формирование умений и навыков.

При решении упражнений следует побуждать учащихся иллюстрировать полученные решения на числовой оси. Если корни квадратного трехчлена не удовлетворяют неравенству, изображаем их «выколотыми» точками.

Упражнения:

№ 1011 (а, в).

Р е ш е н и е

а) х² + 2х – 15 < 0;

х² + 2х – 15 = 0.

По теореме Виета, х₁ · х₂ = –15, х₁ + х₂ = –2, значит, х₁ = 3; х₂ = –5. Ветви параболы направлены вверх.

(–5; 3).

в) 10 – 3х² ≤ 5х – 2;

– 3х² – 5х + 12 ≤ 0;

3х² + 5х – 12 ≥ 0;

3х² + 5х – 12 = 0;

D = 5² – 4 · 3 · (–12) = 25 + 144 = 169 = (13)²;

х₁ = ;

х₂ = = –3. Ветви параболы направлены вверх.

(–∞; –3] [; +∞).

О т в е т: а) (–5; 3); в) (–∞; –3] .

№ 1012 (б, г).

Р е ш е н и е

б) (3х – 2)² – 4х (2х – 3) > 0;

9х² – 12х + 4 – 8х² + 12х > 0;

х² + 4 > 0; х² ≥ 0.

х² + 4 > 4, значит, х² + 4 > 0 для любых х.

(–∞;+∞).

г) (5х + 2) (х – 1) – (2х + 1) (2х – 1) < 27;

5х² – 5х + 2х – 2 – 4х² + 1 – 27 < 0;

х² – 3х – 28 < 0;

х² – 3х – 28 = 0.

По теореме Виета, х₁ · х₂ = –28, х₁ + х₂ = 3, значит, х₁ = –4; х₂ = 7. Ветви параболы направлены вверх.

(–4; 7).

О т в е т: б) (–∞; +∞); г) (–4; 7).

№ 1013 (а).

Р е ш е н и е

Докажем, что х² – 3х + 200 > 0 для любых х.

х² – 3х + 200 = 0;

D = (–3)² – 4 · 1 · 200 = –791.

D < 0, значит, корней нет. Так как ветви параболы направлены вверх, то парабола расположена выше оси х на всей числовой прямой, то есть трехчлен х² – 3х + 200 принимает только положительные значения.

№ 1014 (а, г).

Р е ш е н и е

а)

х² – 2х – 3 = 0, по теореме Виета, х₁ · х₂ = –3, х₁ + х₂ = 2, значит, х₁ = –1;
х₂ = 3. Ветви параболы направлены вверх.

[–1; 2,5].

г)

[0; +∞).

О т в е т: а) [–1; 2,5]; г) [0; +∞).

№ 1015 (а).

Р е ш е н и е

х² – 7х + 6 = 0, по теореме Виета, х₁ · х₂ = 6, х₁ + х₂ = 7, значит, х₁ = 1;
х₂ = 6. Ветви параболы направлены вверх.

1 ≤ х ≤ 6.

х² – 8х + 15 = 0, по теореме Виета, х₁ · х₂ = 15, х₁ + х₂ = 8, значит, х₁ = 3;
х₂ = 5. Ветви параболы направлены вверх.

х ≤ 3 или х ≥ 5.

И м е е м:

[1; 3] [5; 6].

Объединению данных отрезков принадлежат целые решения 1; 2; 3; 5; 6.

О т в е т: 1; 2; 3; 5; 6.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какое неравенство называется неравенством второй степени с одной переменной?

– Сформулируйте алгоритм решения неравенства второй степени с одной переменной.

– Охарактеризуйте способ решения системы неравенств с одной переменной.

Домашнее задание: № 1012 (а, в), № 1014 (б, в), № 1015 (б), № 1016 (г, е).

У р о к 12 (96).
Решение неравенств методом интервалов

Цель: актуализировать умения и навыки решения рациональных неравенств и систем рациональных неравенств методом интервалов.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Решите неравенство:

а) х² > 9; б) х² + 10х + 25 > 0; в) (х – 3) (х + 2) < 0.

2. При каких значениях х имеет смысл выражение:

а) ; б) ; в) ?

III. Повторение учебного материала.

На примере неравенства (х – 6) (х + 5) (х + 8) < 0 повторяем, как решаются неравенства методом интервалов.

(–∞; –8) (–5; 6).

Также необходимо вспомнить влияние кратности корня на смену знака неравенства при переходе через него.

П р и м е р. (х + 1) (х – 2) (х² – 6х + 9) ≤ 0;

(х + 1) (х – 2) (х – 3) (х – 3) ≤ 0.

[–1; 2] {3}.

На этом примере учащиеся видят, что при нестрогом неравенстве можно случайно «потерять» отдельно стоящие корни неравенства, в нашем случае это 3.

IV. Формирование умений и навыков.

Предлагаем для решения рациональные и дробно-рациональные неравенства. Задания разбиты на группы по уровню сложности.

Упражнения:

I г р у п п а.

1. (х – 3) (х² – 3х + 2) > 0.

Р е ш е н и е

х² – 3х + 2 = 0, по теореме Виета, х₁ · х₂ = 2, х₁ + х₂ = 3, значит, х₁ = 2; х₂ = 1.

(х – 3) (х – 2) (х – 1) > 0.

О т в е т: (0; 2) (2; 3).

2. (х² – 1) (х – 2) (х + 3) ≤ 0.

Р е ш е н и е

(х – 1) (х + 1) (х – 2) (х + 3) ≤ 0.

О т в е т: [–3; –1] [1; 2].

3. (х² – 3х – 4) (х² + х – 2) < 0.

Р е ш е н и е

(х – 4) (х + 1) (х + 2) (х – 1) < 0.

О т в е т: (–2; –1) (1; 4).

II г р у п п а.

1. (х – 1)² + х² – 4х + 3 ≥ 0.

Р е ш е н и е

(х – 1)² + (х – 1) (х – 3) ≥ 0;

(х – 1) (х – 1 + х – 3) ≥ 0;

(х – 1) (2х – 4) ≥ 0;

2 (х – 1) (х – 2) ≥ 0;

(х – 1) (х – 2) ≥ 0.

О т в е т: (–∞; 1] [2; +∞).

2. х² + 5х – 24 – (х – 3) (2 – х² + 6х) ≤ 0.

Р е ш е н и е

(х – 3) (х + 8) + (х – 3) (х² – 6х – 2) ≤ 0;

(х – 3) (х + 8 + х² – 6х – 2) ≤ 0;

(х – 3) (х² – 5х + 6) ≤ 0;

(х – 3) (х – 3) (х – 2) ≤ 0;

О т в е т: (–∞; 2] {3}.

III г р у п п а.

1. < 0.

Р е ш е н и е

> 0; < 0.

О т в е т: (–∞; –1) (2; 4).

2. ≥ 0.

Р е ш е н и е

≤ 0; ≤ 0.

О т в е т: (–2; 1) [2; 3].

V. Проверочная работа (тестирование).

1. Решите неравенства и изобразите множество
его решений на координатной прямой

3 (3х – 1) > 2 (5х – 7).

5 (х + 4) < 2 (4х – 5).

1) (11; +∞)

;

1) (10; +∞)

;

2) (–∞; 11)

;

2) [10; +∞)

;

3) (–∞; 11]

;

3) (–∞; –10)

;

4) (–∞; –11)

.

4) (–10; +∞)

.

2. Решите неравенства

3 (1 – х) – 2 (1 – 0,5х ) ≤ 2.

4 (х – 1) – 9 ≥ 3.

1) (–∞; –0,5];

2) [0,5; +∞);

3) (–∞; 0,5];

4) [–0,5; +∞).

1) [–0,4; +∞);

2) (–∞; 0,4];

3) (–∞; –0,4];

4) [0,4; +∞).

3. Решите систему неравенств

1) (0,5; +∞);

2) (–∞; 5);

3) (0,5; 5);

4) [0,5; 5].

1) (0,6; +∞);

2) (–∞; 2);

3) (0,6; 2);

4) [0,6; 2].

4. Решите неравенство

–4 < 2х – 1 < 2.

1) (–1,5; 1,5);

2) (–∞; 1,5);

3) (–1,5; +∞);

4) [–1,5; 1,5].

–6 < 5х – 1 < 4.

1) [–1; 1];

2) (–1; 1);

3) (–1; +∞);

4) (–∞; 1).

5. Решите неравенство

≤ 0.

≥ 0.

1) (–1; 0] [2; +∞);

2) (–∞; –2) (–1; 0];

3) (–∞; –1) [0; 2];

4) (–2; –1] [0; +∞).

1) (–∞; –5) [1; 4];

2) (–∞; –5] [1; 4];

3) (–5; 1] [4; +∞);

4) (–5; 1) (4; +∞).

6. Решите неравенство

≥ 0.

≤ 0.

1) (–3; –2] (2; +∞);

2) [–3; –2) [2; +∞);

3) (–∞; –3) [–2; 2);

4) (–∞; –3] (–2; 2).

1) (–∞; –6] (–1; 1,5);

2) (–∞; –1) (0; 1,5);

3) (–∞; –6] (–1,5; 1);

4) [–6; –1) (1,5; +∞).

О т в е т ы:

1. 2)

2. 4)

3. 3)

4. 1)

5. 3)

6. 3)

1. 1)

2. 3)

3. 3)

4. 2)

5. 1)

6. 1)

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– В чем сущность метода интересов при решении неравенств?

– Какие виды неравенств целесообразно решать методом интервалов?

Домашнее задание: № 386 (б, г), № 390 (б, г), № 393 (б, г, е).

У р о к 13 (97).
Функция, ее свойства и график

Цели: систематизировать знания учащихся по теме; актуализировать умения и навыки исследования основных видов функций.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Повторение учебного материала.

1. А к т у а л и з и р о в а т ь з н а н и я:

1) определение понятия «функция»;

2) область определения функции;

3) область значений функции;

4) график функции;

5) свойства функции:

а) нули функции;

б) промежутки знакопостоянства;

в) возрастание (убывание) функции.

2. А к т у а л и з и р о в а т ь з н а н и я об основных видах функций, изученных в курсе математики.

Обобщенный материал представить в виде опорного конспекта (таблицы):

у = kx + b

D (f) = R

k > 0, b ≠ 0

k < 0, b ≠ 0

k = 0

b = 0, k ≠ 0

Прямая пропор-
циональность

Графиком линейной функции является прямая.

Для построения графика достаточно построить две точки и соединить прямой
линией

Окончание табл.

пропорциональность

y =

D (f) = R \ {0}

k > 0

k < 0

Графиком функции y = является гипербола. Строим одну ветвь гиперболы по точкам, вторую получаем «отражением» относительно начала координат

Квадратичная

у = аx² + bх + с, а ≠ 0

D (f) = R

а > 0

а < 0

Графиком квадратичной функции является парабола, ветви которой направлены вверх при а > 0 и вниз при а < 0.

Д л я п о с т р о е н и я п а р а б о л ы н у ж н о:

1) Найти координаты вершины параболы и отметить ее в координатной плоскости.

2) Построить еще несколько точек, принадлежащих параболе.

3) Соединить отмеченные точки плавной линией

III. Формирование умений и навыков.

При выполнении упражнений на уроке актуализируются у м е н и я:

– чтение графика функции на чертеже;

– построение графика функции;

– алгебраическая и геометрическая интерпретация свойств функции.

Упражнения:

№ 1018, № 1019, № 1020 (устно).

№ 1021 (д, е).

Р е ш е н и е

д) у = x + 3 – линейная функция, график – прямая:

е) у = ; у = x + – линейная функция, график – прямая:

№ 1022, № 1024 (устно). При решении этих упражнений вспоминаем о «механическом» преобразовании графиков функций.

№ 1026.

Р е ш е н и е

у = –0,5х² + х + 1,5 – квадратичная функция, график – парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы и точек ее пересечения с осью х и осью у.

А (х₀, у₀); х₀ = = 1; у₀ = –0,5 · 1² + 1 + 1,5 = 2.

А (1; 2) – вершина параболы.

–0,5х² + х + 1,5 = 0;

5х² – 10х – 15 = 0;

х₁ = –1; х₂ = 3;

(–1; 0); (3; 0) – точки пересечения с осью х.

Если х = 0, то у = 1,5. (0; 1,5) – точка пересечения с осью у.

О т в е т:

у = 0, если х = –1 или х = 3;

у > 0, если х (–1; 3);

у < 0, если х (–∞; –1) (3; +∞).

Функция возрастает на (–∞; 1].

Наибольшее значение функции равно 2.

№ 1030 (а).

Р е ш е н и е

у = – обратная пропорциональность, графиком является гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях.

D (у) = (–∞; 0) (0; +∞).

Построим ветвь гиперболы для х > 0.

О т в е т: у > 0, если х > 0; у < 0, если х < 0.

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какая зависимость называется функцией?

– Назовите основные свойства линейной функции, квадратичной, обратной пропорциональности.

– Приведите алгебраическую и геометрическую интерпретацию указанных свойств.

Домашнее задание: № 1021 (г), № 1025, № 1027, № 1028 (а, д).

У р о к 14 (98).
Соотношение алгебраической
и геометрической моделей функции

Цели: актуализировать умения решать задачи на связь функций и их графиков (определять путем вычисления взаимное расположение графиков функций, вычислять наибольшее (наименьшее) значение функции и прочее).

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Найти область определения функции:

а) у = ; б) у = ; в) ; г) ;

д) у = ; е) ; ж) у = ; з) у = .

III. Формирование умений и навыков.

Суть заданий состоит в том, чтобы, не прибегая к построению графиков, аналитическим путем выявлять основные свойства функции: промежутки знакопостоянства, точки пересечения с осями координат, взаимное расположение графиков функций. График изображаем либо схематически, либо после преобразования аналитической модели функции.

Упражнения:

№ 1029 (а; г).

Р е ш е н и е

а) у = 2х² + 10х – 7 – квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вверх. Пусть х₀ – абсцисса вершины параболы, тогда функция убывает на (–∞; х₀] и возрастает на [х₀; +∞).

Вычислим: х₀ = ; х₀ = = –2,5.

Значит, на (–∞; –2,5] функция убывает; на [2,5; +∞) – функция возрастает.

г) у = 3х – 5х² – квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вниз. Пусть х₀ – абсцисса вершины параболы, тогда функция возрастает на (–∞; х₀] и убывает на [х₀; +∞).

Вычислим: х₀ = ; х₀ = = 0,3.

Значит, на (–∞; 0,3] функция возрастает; на [0,3; +∞) – функция убывает.

О т в е т: а) на (–∞; –2,5] убывает; на [2,5; +∞) – возрастает; г) на (–∞; 0,3] – возрастает; на [0,3; +∞) – убывает.

№ 1032 (б, г).

Р е ш е н и е

б) у = –3х – 10 и у = х² – 13х + 6 пересекаются в точках, абсциссы которых являются решением уравнения:

–3х – 10 = х² – 13х + 6;

х² – 10х + 16 = 0;

по теореме Виета, х₁ = 2; х₂ = 8.

Для нахождения ординат точек подставим значение х в любую из формул (удобнее в формулу линейной функции):

у₁ = у (х₁) = –3 · 2 – 10; у₁ = –16;

у₂ = у (х₂) = –3 · 8 – 10; у₂ = –34.

(2; –16), (8; –34).

г) у = 4х² + 3х + 6 и у = 3х² – 3х – 3;

4х² + 3х + 6 = 3х² – 3х – 3;

х² + 6х + 9 = 0;

(х + 3)² = 0;

х + 3 = 0;

х = –3.

у (–3) = 4 · (–3)² + 3 (–3) + 6 = 36 – 9 + 6 = 33;

(–3; 33).

О т в е т: б) (2; –16), (8; –34); г) (–3; 33).

№ 1034 (в).

Р е ш е н и е

у = ; D (у) = (–∞; 2) (2; +∞).

х² – 3х + 2 = (х – 2) (х – 1).

При х ≠ 2 = 1 – х.

у = 1 – х – линейная функция, график – прямая.

№ 1035 (в).

Р е ш е н и е

у =

у = 2х² – графиком является парабола, полученная из графика у = х² «растяжением» вдоль оси у в 2 раза.

у = –х² + 1, графиком является парабола, полученная из графика у = х² «отражением» относительно оси х и смещением вверх на 1 единицу.

IV. Проверочная работа (тестирование).

В а р и а н т 1

1. Функция задана графиком. Укажите область определения этой функции.

1) [–2; 4);

2) [–2; 4];

3) [–2; –1) (–1; 4];

4) [–2; –1) (–1; 2].

2. Функция задана графиком. Укажите множество значений этой функции.

1) (–4; 1];

2) [–2; 2];

3) (–4; 2];

4) (–3; 2].

3. Укажите промежутки убывания функции у = f (х), заданной графиком на интервале (–5; 7).

1) (–5; 1]; [3; 5];

2) [–1; 3]; [5; 7);

3) (–5; –1]; [3; 6];

4) [–2; 3]; [5; 7).

4. Укажите наибольшее значение функции у = g (х), заданной на отрезке [–4; 4].

1) –4;

2) 2;

3) 3;

4) 4.

5. Какая из парабол проходит через начало координат?

1) у = х² – 2х;

2) у = х² – 2;

3) у = –х² – 2;

4) у = (х – 2)².

В а р и а н т 2

1. Найдите область определения функции, график которой изображен на рисунке.

1) (–3; 5);

2) (–3; 4];

3) [–3; 3) (3; 4];

4) (–3; 5].

2. Функция задана графиком. Найдите область значений этой функции.

1) [–4; 4];

2) [–4; 4);

3) [–3; 3);

4) [–4; 3).

3. Найдите промежутки возрастания функции у = g (х), заданной графиком на полуинтервале [–4; 4).

1) [–4; –3]; [–2; 1];

2) [–3; –2]; [0; 4];

3) [–3; –2]; [1; 4);

4) [–4; –3]; [–2; 0].

4. Укажите наименьшее значение функции у = f (х), заданной на отрезке [–4; 4].

1) –3;

2) –4;

3) –5;

4) 4.

5. Какая из парабол проходит через начало координат?

1) у = х² + 2;

2) у = х² + 2х;

3) у = –х² + 2;

4) у = (х + 2)².

О т в е т ы:

В а р и а н т 1

1. 1)

2. 3)

3. 2)

4. 3)

5. 1)

В а р и а н т 2

1. 4)

2. 4)

3. 4)

4. 2)

5. 2)

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Задайте аналитически следующие условия:

а) график функции f (х) расположен выше оси абсцисс на всей ОДЗ.

б) Графики функций f (х) и g (х) пересекаются в точке А (х₀; у₀).

в) Вершина параболы расположена в точке (1; –2).

– Как расположен график функции f (х), если:

а) f (х) ≥ 0, для х (0; 18];

б) f (х₀) = g (х₀), где х₀ = 2;

в) f (х) = 4.

Домашнее задание: № 1032 (а, в), № 1033, № 1034 (а), № 1035 (б). Подготовка к итоговой контрольной работе.

У р о к и 15–16 (99–100).
Итоговая контрольная работа

В а р и а н т I

1. Упростите выражение: .

2. Решите систему уравнений:

3. Решите неравенство 5х – 1,5 (2х + 3) < 4х + 1,5.

4. Найдите значение выражения при p = .

5. Постройте график функции у = х² – 4. Укажите, при каких значениях х функция принимает положительные значения.

6. В школьном хоре поют 7 мальчиков и 3 девочки. По жребию отбирают 4 человека для участия в гала-концерте. Какова вероятность, что среди отобранных певцов окажется 2 мальчика и 2 девочки?

7. В фермерском хозяйстве под гречиху было отведено два участка. С первого собрали 105 ц гречихи, а со второго, площадь которого на 3 га больше, собрали 152 ц. Найдите площадь каждого участка, если известно, что урожайность гречихи на первом участке была на 2 ц с 1 га больше, чем на втором.

В а р и а н т II

1. Упростите выражение: .

2. Решите систему уравнений:

3. Решите неравенство: 2х – 4,5 > 6х – 0,5 (4х – 3).

4. Найдите значение выражения при m = .

5. Постройте график функции у = –х² + 1. Укажите, при каких значениях х функция принимает отрицательные значения.

6. В коробке находятся 6 конфет со сливочной начинкой и 4 с шоколадной. Из нее наугад берут 4 конфеты. Какова вероятность, что среди выбранных конфет окажется 2 со сливочной начинкой и 2 с шоколадной?

7. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 45 км, выехал велосипедист. Через 30 мин вслед за ним выехал второй велосипедист, который прибыл в п. В на 15 мин раньше первого. Какова скорость первого велосипедиста, если она на 3 км/ч меньше скорости второго?

В а р и а н т III

1. Упростите выражение: .

2. Решите систему уравнений:

3. Решите неравенство: 5х – 3 (х – 1,5) < 4х + 1,5.

4. Найдите значение выражения при n = .

5. Постройте график функции у = х² – 2х. Укажите, при каких значениях х функция принимает отрицательные значения.

6. В корзине находятся 10 маслят и 3 подосиновика. Из нее наугад берут 5 грибов. Какова вероятность, что среди выбранных грибов окажется 3 масленка и 2 подосиновика?

7. В фермерском хозяйстве благодаря применению новых технологий урожайность пшеницы возросла на 3 ц с га. В результате было собрано не 190 ц пшеницы, как в предшествующем году, а 198 ц, хотя под пшеницу отвели на 1 га меньше. Какая площадь была отведена в хозяйстве под пшеницу в эти годы?

В а р и а н т IV

1. Упростите выражение: .

2. Решите систему уравнений:

3. Решите неравенство: х – 2,5 (2х – 1) > х – 1,5.

4. Найдите значение выражения при с = .

5. Постройте график функции у = х² + 2х. Укажите, при каких значениях х функция принимает положительные значения.

6. На полке находятся 8 приключенческих романов и 4 сборника стихотворений. Из них наугад выбирают 5 книг. Какова вероятность, что среди выбранных книг окажется 3 приключенческих романа и 2 сборника стихотворений?

7. Расстояние от пункта А до пункта В автобус должен был проехать со скоростью 60 км/ч. Однако на середине пути он задержался на 30 мин и, чтобы прибыть в пункт В без опоздания, увеличил скорость на 15 км/ч. Каково расстояние между пунктами А и В?

Р е к о м е н д а ц и и п о о ц е н и в а н и ю.

Для получения отметки «3» достаточно выполнить верно любые три из первых четырех заданий; для получения отметки «5» – любые шесть заданий.

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т I

1.

.

О т в е т: .

2.

О т в е т: (–2; –8), (8; 2).

3. 5х – 1,5 (2х + 3) < 4х + 1,5;

5х – 3х – 4,5 < 4х + 1,5;

5х – 3х – 4х < 1,5 + 4,5;

–2х < 6;

х > –3.

О т в е т: х > –3.

4. ;

;

.

О т в е т: 81.

5. у = х² – 4. Графиком является парабола, полученная из графика функции у = х² сдвигом вниз на 4 единицы. Значит, вершина параболы находится в точке (0; –4).

Точки пересечения параболы с осью х находим из уравнения:

х² – 4 = 0;

х = ± 2.

(–2; 0); (2; 0).

Функция принимает положительные значения, если х (–∞; –2)
(2; +∞).

6. Общее число певцов 7 + 3 = 10. Исходами опыта являются все возможные сочетания из 4 человек (порядок значения не имеет).

Общее число исходов: n = = 210.

Событие А – «из выбранных певцов два мальчика и две девочки». Количество благоприятных исходов:

т_А = = 63.

Искомая вероятность: .

О т в е т: 0,3.

7. Пусть х га – площадь I участка, тогда (х + 3) га – площадь второго участка. Урожайность на I участке составляет ц/га, а на втором ц/га. Зная, что урожайность на I участке на 2 ц/га больше, чем на втором, составим уравнение:

– = 2;

= 0;

при х ≠ 0, х ≠ –3 105х + 315 – 152х – 2х² – 6х = 0;

2х² + 53х – 315 = 0;

D = (53)² – 4 · 2 · (–315) = 5329;

x₁ = = 5;

x₂ = = –31,5 – не удовлетворяет условию (х > 0).

5 (га) – площадь I участка.

5 + 3 = 8 (га) – площадь II участка.

О т в е т: 5 га; 8 га.

В а р и а н т II

1.

.

О т в е т: .

2.

О т в е т: (5; 3); (–3; –5).

3. 2х – 4,5 > 6х – 0,5 (4х – 3);

2х – 4,5 > 6х – 2х + 1,5;

–2х > 6;

х < –3.

О т в е т: х < –3.

4. ;

;

.

О т в е т: 0,04.

5. у = –х² + 1. Графиком является парабола, полученная из графика
у = х² отражением относительно оси х и сдвигом вверх на 1 единицу. Значит, вершина параболы находится в очке (0; 1).

Точки пересечения параболы с осью х находим из уравнения:

х² + 1 = 0;

х² = 1;

х = ±1.

(–1; 0); (1; 0).

Функция принимает отрицательные значения, если х (–∞; –1)
(1; +∞).

6. Общее число конфет 6 + 4 = 10. Исходами опыта являются все возможные сочетания из 4 конфет (порядок значения не имеет).

Общее число исходов: .

Событие А – «из выбранных конфет две со сливочной начинкой и две с шоколадной». Количество благоприятных исходов:

Искомая вероятность: .

О т в е т: .

7. Пусть х км/ч – скорость 1-го велосипедиста, тогда (х + 3) км/ч – скорость второго велосипедиста. На весь путь 1-й и 2-й велосипедисты затратили соответственно ч и ч. Зная, что 1-й велосипедист был в пути на ч дольше второго, составим уравнение:

;

= 0;

при х ≠ 0, х ≠ –3 540 –3х² – 9х = 0;

х² + 3х – 180 = 0.

D = 9 – 4 · 1 · (–180) = 729;

x₁ = = 12;

x₂ = = –15 – не удовлетворяет условию задачи (х > 0).

О т в е т: 12 км/ч.

В а р и а н т III

1.

.

О т в е т: .

2.

2у² – 11у + 14 = 0;

D = 121 – 4 · 2 · 14 = 9;

y₁ = = 3,5; х₁ = 11 – 2 · 3,5 = 4;

y₂ = = 2; х₂ = 11 – 2 · 2 = 7.

О т в е т: (4; 3,5), (7; 2).

3. 5х – 3 (х – 1,5) < 4х + 1,5;

5х – 3х + 4,5 < 4х + 1,5;

5х – 3х – 4х < 1,5 – 4,5

–2х < –3;

х > 1,5.

О т в е т: х > 1,5.

4. ;

.

О т в е т: 36.

5. у = х² – 2х. Графиком является парабола, вершина в точке (х₀, у₀), где х₀ = = 1, у₀ = –1. Точки пересечения с осями координат находим из уравнения х² – 2х = 0; х (х – 2) = 0;

х₁ = 0, х₂ = 2.

(0; 0), (2; 0).

Функция принимает отрицательные значения, если х (0; 2).

6. Общее число грибов 10 + 3 = 13. Исходами опыта являются все возможные сочетания из 5 грибов (порядок значения не имеет).

Общее число исходов: .

Событие А – «из выбранных грибов 3 масленка и 2 подосиновика». Количество благоприятных исходов:

.

Искомая вероятность: .

О т в е т: .

7. Пусть х га было отведено под пшеницу в прошлом году, тогда (х – 1) га отвели под нее в этом году. Урожайность пшеницы в этом и прошлом году составляла соответственно ц/га и ц/га. Зная, что урожайность пшеницы повысилась на 3 ц/га, составим уравнение:

– = 3;

= 0;

при х ≠ 0, х ≠ 1 198х – 190х + 190 – 3х² + 3х = 0;

3х² – 11х – 190 = 0;

D = 11² – 4 · 3 · (–190) = 121 + 2280 = 2401;

х₁ = = 10;

х₂ = – не удовлетворяет условию задачи (х > 0).

10 (га) – отвели под пшеницу в прошлом году;

10 – 1= 9 (га) – в этом году.

О т в е т: 10 га; 9 га.

В а р и а н т IV

1.

.

О т в е т: .

2.

О т в е т: (7; –2), (4; 1).

3. х – 2,5 (2х – 1) > х – 1,5;

х – 5х + 2,5 > х – 1,5;

– 5х > –4;

х < ;

х < 0,8.

О т в е т: х < 0,8.

4. ;

.

О т в е т: 0,25.

5. у = х² + 2х. Графиком является парабола, вершина в точке (х₀; у₀), где х₀ = = –1; у₀ = –1. Точки пересечения с осями координат находим из уравнения х² + 2х = 0;

х (х + 2) = 0;

х₁ = 0, х₂ = –2.

(0; 0); (–2; 0).

Функция принимает положительные значения, если х (–∞; –2)
(0; +∞).

6. Общее число книг 8 + 4 = 12. Исходами опыта являются все возможные сочетания из 5 книг (порядок значения не имеет).

Общее число исходов: .

Событие А – «из выбранных книг – 3 приключенческих романа и 2 сборника стихотворений».

Количество благоприятных исходов:

.

Искомая вероятность: .

О т в е т: .

7. Пусть х км – расстояние между пунктами А и В, тогда (ч) – время, которое автобус должен был быть в пути. Половину пути автобус проехал за (ч), а вторую половину за (ч). Зная, что он еще и простоял ч, но приехал в пункт В вовремя, составим уравнение:

;

75х + 4500 + 60х – 150х = 0;

15х = 4500;

х = 300.

О т в е т: 300 км.

У р о к 17 (101).
Анализ итоговой контрольной работы

Цели: рассмотреть, проанализировать типичные ошибки, допущенные большинством учащихся; выполнить работу над ошибками.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Выполнение работы над ошибками.

Осуществляем поиск ошибок, анализируем, повторяем теоретический материал и решаем заново упражнения, в которых допущены ошибки.

III. Формирование умений и навыков.

Учащиеся, получившие отметку «отлично» или выполнившие работу над ошибками, приступают к решению заданий, соответствующих перечню контролируемых на государственной итоговой аттестации вопросов.

Задания представлены в двух частях. Часть I направлена на проверку достижения уровня базовой подготовки учащихся по алгебре. Часть II предназначена для дифференцированной проверки повышенного уровня алгебраической подготовки учащихся.

Сильные в учебе учащиеся могут решать только вторую часть.

Упражнения:

Ч а с т ь I

1. Вычислите: 4,5 + 2 · 5^–2.

1) –45,5; 2) –15,5; 3) 4,58; 4) 4,42.

2. Премию в 26 тыс. р. было решено распределить между тремя рабочими в отношении 2 : 4 : 7. Сколько составляет наибольшая премия?

1) 8 тыс. р.; 2) 14 тыс. р.; 3) 16 тыс. р.; 4) 18 тыс. р.

3. Упростите выражение: .

1) х + 8; 2) ; 3) ; 4) .

4. Разложите на множители: 81x⁶y⁴ – 0,36z².

1) (9x³y² – 0,6z)²;

2) (9x⁴y² – 0,6z)²;

3) (9x³y² – 0,6z) (9x³y² + 0,6z);

4) (9x⁴y² – 0,6z) (9x⁴y² + 0,6z).

5. Найдите количество корней уравнения:

= 0.

О т в е т: _______.

6. Решите неравенство: 2х – х² < 0.

1) (0; 2); 3) (–∞; 0) (2; +∞);

2) (2; +∞); 4) (–∞; 2).

7. Решите систему уравнений:

О т в е т: ______.

8. Арифметическая прогрессия задана формулой а_п = 37,3 – 0,3п. Найдите номер наибольшего отрицательного члена прогрессии.

О т в е т: ______.

О т в е т ы:

(4; –3)

125

Ч а с т ь II

1. Решить неравенство: х³ – х² – 6х < 0.

Р е ш е н и е

х³ – х² – 6х < 0;

х (х² – х – 6) < 0;

х (х – 3) (х + 2) < 0.

(–∞; –2) (0; 3).

О т в е т: (–∞; –2) (0; 3).

2. Две машинистки, работая вместе, могут напечатать 22 страницы текста за 1 ч. Чтобы напечатать 120 страниц текста, первая машинистка потратит на 2 ч больше, чем вторая. За сколько часов первая машинистка сможет напечатать 300 страниц текста?

Р е ш е н и е

А н а л и з:

А = р · t

Пусть х с./ч – производительность первой машинистки, тогда (22 – х) с./ч – производительность второй машинистки. На печать 120 страниц первая машинистка затратит ч, а вторая ч. Зная, что первая машинистка затратила на 2 ч больше, составим уравнение:

– = 2;

= 0;

при х ≠ 0, х ≠ 22 2640 – 120х – 120х – 44х + 2х² = 0;

х² – 142х + 1320 = 0;

D₁ = (71)² – 1320 = 3721;

х₁ = 71 + 61 = 132 – не удовлетворяет условию задачи (х < 22);

х₂ = 71 – 61 = 10;

= 30 (ч) – затратит первая машинистка.

О т в е т: 30 ч.

3. Найдите сумму всех положительных трехзначных чисел, не делящихся на 13.

Р е ш е н и е

Количество трехзначных чисел равно 900 (100 ≤ х ≤ 999). Найдем сумму всех этих чисел и вычтем из нее сумму чисел, делящихся на 13.

1) (а_п) – арифметическая прогрессия, где а₁ = 100, а_п = 999, d = 1.

.

2) (b_n) – арифметическая прогрессия, b₁ = 104, d = 13, b_n ≤ 999.

b_n = 104 + 13 (п – 1) = 91 + 13п;

91 + 13п ≤ 999;

13п ≤ 908;

п ≤ 69,8, п = 69;

;

.

3) 494550 – 37674 = 456876.

О т в е т: 456876.

4. Упростите выражение: .

Р е ш е н и е

О т в е т: .

5. При каких значениях т уравнение х² + 2 (т – 1) х + т + 5 = 0 имеет хотя бы один положительный корень?

Р е ш е н и е

D₁ = (т – 1)² – 1 · (т + 5) = т² – 2т + 1 – т – 5 = т² – 3т – 4 =
= (т + 1) (т – 4);

D₁ ≥ 0, если (т + 1) (т – 4) ≥ 0;

;

.

Хотя бы один корень положительный, если

1)

2)

Объединением двух решений будет полуинтервал (–∞; –1].

О т в е т: (–∞; –1].

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: из сборника [ГИА] на с. 39: Вариант 11, Часть 1, № 1–10.

У р о к 18 (102).
Заключительный урок

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Подведение итогов четверти года.

III. Подготовка к государственной итоговой аттестации. Решение Вариантов 4, 5 из сборника [ГИА]. Индивидуальные консультации.