Инфоурок / Математика / Конспекты / Поурочные планы по геометрии 8 класс по Атанасяну
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Поурочные планы по геометрии 8 класс по Атанасяну

библиотека
материалов

Урок 3
МНОГОУГОЛЬНИКИ

Цели: ввести понятия многоугольника и выпуклого многоугольника и рассмотреть четырехугольник как частный вид многоугольника; научить объяснять, какая фигура называется многоугольником, и называть его элементы; повторить в ходе решения задач признаки равенства треугольников.

Ход урока

I. Объяснение нового материала.

1. Напомнить учащимся определение треугольника. Вспомнить элементы треугольника (сторона, вершина, угол).

2.

hello_html_m50223e96.pnghello_html_58142d42.pnghello_html_245c876f.png

Что общего у этих геометрических фигур?

3. Вводится понятие многоугольника.

4. Рассматриваются элементы многоугольника (вершины, стороны, диагонали, углы).

5. Отмечается, что каждый многоугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю.

6. Дается понятие выпуклого многоугольника.

II. Закрепление изученного материала.

1. Ответить на вопросы (устно):

hello_html_m706399b7.png

а)

hello_html_2c71ae49.png

б)

hello_html_17b6609c.png

в)

hello_html_e97241f.png

г)

hello_html_m76cc9fd5.png

д)

hello_html_m98a2fbd.png

е)

Какие фигуры, изображенные на доске, являются многоугольниками?

Учитель после обсуждения убирает те рисунки, на которых изображены фигуры, не являющиеся многоугольниками.

Какие многоугольники являются выпуклыми?

2. Задание для каждого ряда:

Начертите выпуклый семиугольник, восьмиугольник, девятиугольник и проведите все диагонали из какой-нибудь его вершины. Сколько получилось треугольников?

III. Повторение.

Найти пары равных треугольников и доказать их равенство: на рис. 1–9.





1

hello_html_m653d95fd.png

2

hello_html_662b432e.png

3

hello_html_m511a6e5b.png


4

hello_html_m5ba752fd.png

5

hello_html_m43686971.png

6

hello_html_m6d636f9f.png

7

hello_html_m75f9b9e5.png

8

hello_html_m4305e236.png

9 Дано: АD = BF

hello_html_16c30a7f.png

10 Дано: АС = ВС

hello_html_m2618c4d2.png

11

hello_html_m6a43e03.png

12

hello_html_m23e1fc5c.png

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 1, 2, с. 114; №№ 364а,б, 365а,б,г,368; найти пары равных треугольников и доказать их равенство на рис. 10–12.



Урок4
МНОГОУГОЛЬНИКИ

Цели: вывести формулу суммы углов выпуклого многоугольника; научить решать задачи с помощью этой формулы; при решении задач повторить признаки параллельности прямых и свойства углов при параллельных прямых и секущей.

Ход урока

I. Устные упражнения.

1. Назовите многоугольник, все виды которого являются выпуклыми многоугольниками. (Треугольник.)

2. Сколько диагоналей можно провести из одной вершины n-угольника, если n = 4, n = 5, n = 6, n – произвольное число, больше 2?

3. Из одной вершины выпуклого n-угольника проводятся все его диагонали.

Сколько при этом образуется треугольников, если n = 4, n = 5, n = 6, n – произвольное натуральное число, больше 2?

4. С помощью разбивки на треугольники найдите суммы углов выпуклых девятиугольника и одиннадцатиугольника.

II. Объяснение нового материала.

Сформулировать и доказать теорему о сумме углов выпуклого n-угольника.

III. Закрепление изученного материала.

решить задачи №№ 364 (а), 365 (а, г), 370.

IV. Повторение.

Параллельны ли прямые а и b?

1

hello_html_13292951.png

2

hello_html_m52df355e.png







3

hello_html_m251ce568.png

4

hello_html_m302406a4.png

5

hello_html_m777004b6.png

6

hello_html_6a23d8c9.png

7

hello_html_7ae6ea40.png

8 Дано: АВ = ВС

hello_html_m663a9c94.png

























V. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 3–5, с. 114; №№ 366, 370, 369.

Урок 5
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ И ТРАПЕЦИЯ

Цели: ввести определение параллелограмма, рассмотреть его свойства.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Обсудить решения домашних задач, ответить на вопросы учащихся.

II. Самостоятельная работа.

Вариант I

1. Найдите сумму углов выпуклого тринадцатиугольника.

2. Каждый угол выпуклого многоугольника равен 135°. Найдите число сторон этого многоугольника.

Вариант II

1. Найдите сумму углов выпуклого двенадцатиугольника.

2. Сумма углов выпуклого многоугольника с равными друг другу углами равна 1260°. Найдите число сторон этого многоугольника.

Вариант III
(для более подготовленных учащихся)

Каждый угол данного выпуклого многоугольника равен 150°. Найдите сумму углов выпуклого многоугольника, число сторон которого в два раза меньше, чем число сторон данного многоугольника.

III. Изучение нового материала.

1. Дать определение параллелограмма. Воспроизвести рисунок 157 из учебного пособия на доске (учащиеся – в тетрадях) и записать: «Параллелограмм АВСD». Предложить учащимся записать пары параллельных сторон: АВ || CD, BC || AD.

Обратить внимание учащихся на то, что определение параллелограмма позволяет сделать два вывода:

1) Если известно, что некоторый четырехугольник является параллелограммом, то можно сделать вывод о том, что его противоположные стороны параллельны.

2) Если известно, что у некоторого четырехугольника противоположные стороны попарно параллельны, то он является параллелограммом.

2. На закрепление определения параллелограмма можно предложить учащимся устные задания:

hello_html_m7118d7da.png

1) Дан hello_html_1ab116aa.gifАВС. Параллельно сторонам АВ и АС проведены прямые ЕF и. Определите вид четырехугольника АDЕF.

2) В параллелограмме АВСD проведена диагональ ВD. Докажите, чтоhello_html_7fbabcd7.gifАВD = hello_html_7fbabcd7.gifСDВ.

3) Прямая EF параллельна стороне АВ параллелограмма АВСD. Докажите, что АВЕF – параллелограмм.

3. Рассмотреть свойства параллелограмма.

4. Доказать, что в параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

IV. Закрепление изученного материала.

Решить задачи № 376 (а) – устно; № 376 (б), № 372 (а).

V. Итоги урока.

Если в условии задачи дано, что АВСD – параллелограмм, то можно использовать его свойства:


hello_html_3480b9c4.png

АВ || CD, ВС || АD

АВ = CD, ВС = АD

hello_html_7fbabcd7.gifА = hello_html_7fbabcd7.gifC, hello_html_7fbabcd7.gifВ = hello_html_7fbabcd7.gifD

hello_html_7fbabcd7.gifА + hello_html_7fbabcd7.gifВ = 180° и т. д.

АО = ОC, ВО = ОD

АВСD
параллелограмм


hello_html_m16a2feb1.png

Домашнее задание: вопросы 6–8, с. 114; №№ 372 (в), 376 (в, г), 371а.

Для желающих можно выдать индивидуальное задание:

1. В параллелограмме АВСD на сторонах АD и ВС взяты точки К и Е соответственно так, что hello_html_7fbabcd7.gifKВЕ = 90° и отрезок ЕK проходит через точку О пересечения диагоналей. Докажите, что ВО = ОЕ.

2. На сторонах АС и ВС треугольника АВС отмечены точки D и Е соответственно, а внутри треугольника – точка М так, что четырехугольник DСЕМ является параллелограммом и DЕ || АВ. Прямая пересекает отрезок АВ в точке K, а прямая ЕМ – в точке Н. Докажите, что АK = НВ.

Указания к решению задач.

1. Последовательно доказываем, что hello_html_1ab116aa.gifВОЕ = hello_html_1ab116aa.gifKОD, hello_html_1ab116aa.gifВDЕ =
= hello_html_1ab116aa.gifВKЕ
, ЕD || ВK, ЕD = ВK, hello_html_1ab116aa.gifВKЕ = hello_html_1ab116aa.gifВЕD, hello_html_7fbabcd7.gifВKЕ = hello_html_7fbabcd7.gifВDЕ,
hello_html_7fbabcd7.gifKЕВ = hello_html_7fbabcd7.gifDВЕ. Значит, ОВ = ОЕ.

2. В параллелограммах АDЕН и KDЕВ, АН = DЕ и KВ = DЕ. Значит, АН = KВ. Следовательно, АK = НВ.
































Урок 6
ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

Цели: доказать признаки параллелограмма и рассмотреть решение задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию.

2. Выполнить задания (устно):

1) На рисунке а) hello_html_7fbabcd7.gif1 = hello_html_7fbabcd7.gif4, hello_html_7fbabcd7.gif2 = hello_html_7fbabcd7.gif3. является ли четырехугольник АВСD параллелограммом?

2) На рисунке б) hello_html_7fbabcd7.gif1 = hello_html_7fbabcd7.gif2 = hello_html_7fbabcd7.gif3. Докажите, что четырехугольник АВСD – параллелограмм.

3) На рисунке в) ММ || РQ, hello_html_7fbabcd7.gifМ = hello_html_7fbabcd7.gifР. Докажите, что МNPO – параллелограмм.

4) Является ли четырехугольник АВСD, изображенный на рисунке г), параллелограммом, если а) hello_html_7fbabcd7.gif1 = 70°; hello_html_7fbabcd7.gif3 = 110°; hello_html_7fbabcd7.gif2 + hello_html_7fbabcd7.gif3 = 180°;
б) hello_html_7fbabcd7.gif1 = hello_html_7fbabcd7.gif2, hello_html_7fbabcd7.gif2 ≠hello_html_7fbabcd7.gif4?

hello_html_69ca368b.pnghello_html_2e0da86b.png

а) б)

hello_html_358acc5d.pnghello_html_m7b689c00.png

в) г)

3. Анализ самостоятельной работы.

II. Изучение нового материала.

1. Перед тем как приступить к изучению признаков параллелограмма, следует напомнить учащимся, что означает слово «признак» и что такое обратная теорема.

2. Предложить учащимся самим сформулировать теоремы, обратные утверждениям о свойствах параллелограмма.

3. Подчеркнуть, что некоторое утверждение верно, но отсюда еще не следует, что верно и обратное ему утверждение.

4. Доказательство признаков можно провести силами учащихся.

III. Закрепление изученного материала.

Решить задачи №№ 379, 382.

379.

Решение

hello_html_m4f9f43e1.png

1) Так как ВK hello_html_288e00d2.gifАС и hello_html_288e00d2.gifАС, то ВK || DМ.

2) Прямоугольные треугольники АВK и СDМ равны по острому углу и гипотенузе (hello_html_7fbabcd7.gifВАK = hello_html_7fbabcd7.gifDСМ как внутренние накрест лежащие при АВ || СD и секущей АС, АВ = по свойству параллелограмма).

3) Тогда ВK = DМ.

4) Четырехугольник ВМDK является параллелограммом, так как
ВK || , ВK = .

382.

Решение

hello_html_3e0013b1.png

1) По свойству параллелограмма АО = ОС, ВО = ОD.

2) По условию ВВ1 = В1О = ОD1 =
= D1D и АА1 = А1О = ОС1 = С1С.

3) Четырехугольник А1В1С1D1 – параллелограмм, так как его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

IV. Итоги урока.

Если в задаче необходимо доказать, что АВСD – параллелограмм, то применяют один из признаков:

АВ || СD и ВС || СD

hello_html_59b203d2.png

АВСD – параллелограмм

АВ || СD и АВ = СD

hello_html_59b203d2.png

АВСD – параллелограмм

АВ = СD и АD = ВС

hello_html_59b203d2.png

АВСD – параллелограмм

АО = ОС и ВО = ОD

hello_html_59b203d2.png

АВСD – параллелограмм

Домашнее задание: вопросы 6–9, с. 114; №№ 383, 373, 378.




















Урок 7
ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

Цели: закрепить навыки в решении задач на применение признаков и свойств параллелограмма; проверить знания учащихся по этой теме.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

hello_html_m108a05f0.png

АВСD – параллелограмм:

а) Найти все углы АВD, если hello_html_7fbabcd7.gifА = 42°.

б) Сумма двух из них равна 112°.

в) Найти периметр треугольника ВОА, если = 10 см, ВD = 18 см, АС = 20 см.

г) В окружности проведены диаметры АВ и СD. Докажите, что АВСD – параллелограмм.

II. Решение задач.

372 (б).

Решение

Пусть АВ = х см, а ВС = (х + 7) см.

Так как периметр параллелограмма 48 см, имеем уравнение:

х + х + 7 = hello_html_m1525b8f.gif,

2х + 7 = 24,

2х = 14,

х = 7.

Ответ: АВ = 7 см, ВС = 14 см.

373.

Решение

hello_html_m21091584.png

1) hello_html_7fbabcd7.gifА = hello_html_7fbabcd7.gifС по свойству параллелограмма.

2) hello_html_1ab116aa.gifАВН – прямоугольный; катет ВН лежит против угла в 30°, поэтому гипотенуза АВ в два раза больше него. Итак, АВ = 13 см.

ВС = (50 – 13 · 2) : 2 = 12 см.

Ответ: 12, 13 см.

374.

Решение

hello_html_22cf2745.png

1) hello_html_7fbabcd7.gif1 = hello_html_7fbabcd7.gif2, так как АК – биссектриса, hello_html_7fbabcd7.gif2 = hello_html_7fbabcd7.gif3 как внутренние накрест лежащие углы при ВС || АD и секущей АK.

Имеем hello_html_7fbabcd7.gif1 = hello_html_7fbabcd7.gif2 = hello_html_7fbabcd7.gif3.

2) hello_html_1ab116aa.gifАВK – равнобедренный, так как hello_html_7fbabcd7.gif1 = hello_html_7fbabcd7.gif3. Получили АВ = ВK = 15 см.

3) ВС = ВK + KС = 15 + 9 = 24 (см).

4) РАВСD = (15 + 24) · 2 = 78 (см).

Ответ: 78 см.

III. Самостоятельная работа.

Вариант I

1. В параллелограмме АВСD диагонали равны 8 см и 5 см, сторона ВС равна 3 см, О – точка пересечения диагоналей. Чему равен периметр треугольника АОD?

2. В параллелограмме АВСD проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке Е. Докажите, что hello_html_1ab116aa.gifDЕС равнобедренный.

3. АС и ВD – диаметры окружности с центром О. Докажите, что А, В, С и D – вершины параллелограмма.

Вариант II

1. Определите стороны параллелограмма, если его периметр равен 38 дм, а одна из сторон на 11 дм больше другой.

2. В параллелограмме ВСDЕ диагонали пересекаются в точке М. Найдите периметр hello_html_1ab116aa.gifВМС, если = 7 см, ВD = 12 см, СЕ = 16 см.

3. В параллелограмме ВDЕF на сторонах ВF и отложены равные отрезки ВО и DN. Докажите, что четырехугольник ONEF также является параллелограммом.

Домашнее задание: вопросы 6–9, с. 114; №№ 375,380,384; повторить п. 25, 29.














































Урок 8
ТРАПЕЦИЯ

Цели: ввести понятия «трапеция», «равнобокая трапеция», «прямоугольная трапеция»; рассмотреть решение задач, в которых раскрываются свойства трапеции.

Ход урока

I. Анализ ошибок, сделанных в самостоятельной работе.

Устно: определите х, у, z.

1)

hello_html_6784d2b3.png

110° + 70° = 180° hello_html_m7646c166.gifа || b,

тогда х + х + 20° = 180°, х = 80°.

2)

hello_html_60af86ab.png

у = 100°.

3)

hello_html_8b2f7d4.png

140° + 40° = 180° hello_html_m7646c166.gif a || b,

тогда 120° + hello_html_7fbabcd7.gif1 + hello_html_7fbabcd7.gif2 = 180°

hello_html_7fbabcd7.gif1 + hello_html_7fbabcd7.gif2 = 60°

hello_html_7fbabcd7.gif1 = hello_html_7fbabcd7.gif2 = 30°

hello_html_7fbabcd7.gif1 = z = 30°, так как a || b.

II. Изучение нового материала.

1. Вспомнить с учащимися определение параллелограмма.

2. Рассмотреть такой четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие – непараллельны.

hello_html_6adbccf7.pnghello_html_m2c45c89e.png

3. Определение трапеции и ее элементов (рис. 161 из учебника).

4. Виды трапеции (рис. 162 из учебника).

5. На закрепление понятия можно предложить учащимся следующие вопросы:

Какие четырехугольники на рисунке являются трапециями? Назовите их основания и боковые стороны.

hello_html_11eaeba4.pnghello_html_6c093e18.pnghello_html_31c0865e.png

а) б) в)



III. Решение задач.

385 (решена в учебнике), № 386 (по теореме Фалеса). Можно после решения этой задачи дать определение средней линии трапеции.

IV. Итоги урока.

hello_html_m56ffb469.pnghello_html_10cd6720.png

1. АВСD, ВЕFC – трапеции.

2. Частные виды трапеции:

hello_html_79646884.png

Прямоугольная трапеция

hello_html_m5bb7ac6f.png

Равнобокая трапеция
(равнобедренная)

3. В решении задач на трапецию можно использовать свойства углов при параллельных прямых и секущей hello_html_7fbabcd7.gif1 = hello_html_7fbabcd7.gif2 (как внутренние накрест лежащие при ВС || АD и секущей ВD).

hello_html_4e48392a.png

hello_html_7fbabcd7.gif3 + hello_html_7fbabcd7.gif4 = 180° (как внутренние односторонние при СD || ВЕ и секущей ВС).

hello_html_10f792e0.png

hello_html_7fbabcd7.gif5 + hello_html_7fbabcd7.gif6 (как соответственные при ОР || MR и секущей ОМ).

hello_html_m5a36e5be.png

4. Применение теоремы Фалеса в трапеции:

а) ВС || MN || KР || QS || АD

и МВ = МK = KQ = QA,

то CN = NP = PS = SD;

б) МВ = МK = KQ = QA

и CN = NP = PS = SD,

то ВС || MN || KP || QS || AD.

hello_html_m1aa47f6a.png

Домашнее задание: вопросы 10, 11, с. 114; № 386, 387,390.

Дана трапеция MPOK с основаниями МK и ОР.

1) Найти углы трапеции, если hello_html_7fbabcd7.gifМ = 72°, hello_html_7fbabcd7.gifО = 105°.

2) Найти hello_html_7fbabcd7.gifОРK и hello_html_7fbabcd7.gifРОМ, если hello_html_7fbabcd7.gifОМK = 38°, hello_html_7fbabcd7.gifРKM = 48°.

3) углы hello_html_1ab116aa.gifМKN (N – точка пересечения диагоналей трапеции), если hello_html_7fbabcd7.gifОРK = 72°, hello_html_7fbabcd7.gifРОМ = 48°.

Урок 7

ТЕОРЕМА ФАЛЕСА. ТРАПЕЦИЯ

Цель: рассмотреть теорему ФАЛЕСА; свойства и признаки равнобокой трапеции при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию.

2. Выполнить задание (устно).

hello_html_m7769a6ad.png

АВСD – квадрат.

Вид четырехугольника АОKВ определить.

Найти его углы.

Решение

hello_html_7fbabcd7.gifОАВ = 45° по свойству квадрата,

hello_html_7fbabcd7.gifАОK = 180° – 45° = 135°,

hello_html_7fbabcd7.gifОKВ = hello_html_7fbabcd7.gifKВА = 90°.

3. hello_html_1ab116aa.gifАВС – равносторонний. Определить вид четырехугольника МNCA. Найти его углы.

Решение

hello_html_7fbabcd7.gifА = hello_html_7fbabcd7.gifС = 60°,

hello_html_7fbabcd7.gifМ = hello_html_7fbabcd7.gifN = 180° – 60° = 120°.

hello_html_50b05cd7.png

4. АВ – ?

hello_html_536ca5ae.png

II. Решение задач.

388 (а). План решения.

I способ:

1) Проведем СЕ || АВ.

2) Докажем, что АВСЕ – параллелограмм, тогда АВ = СЕ.

3) Докажем, что hello_html_1ab116aa.gifСDЕ – равнобедренный, тогда hello_html_7fbabcd7.gif1 = hello_html_7fbabcd7.gif2.

hello_html_a1d72c6.png

4) Докажем, что hello_html_7fbabcd7.gifА = hello_html_7fbabcd7.gif2. (Используя, что АВ || CЕ, hello_html_7fbabcd7.gifА и hello_html_7fbabcd7.gif1 – соответственные.)

5) Докажем, что hello_html_7fbabcd7.gifВ = hello_html_7fbabcd7.gifВСD
(используя, что АD || ВС, hello_html_7fbabcd7.gifВ и hello_html_7fbabcd7.gifА,
hello_html_7fbabcd7.gifВСD и hello_html_7fbabcd7.gif2 – пары внутренних одно-сторонних углов).

II способ:

hello_html_m2a8b0155.png

1) Проведем ВМ hello_html_288e00d2.gif АD и СН hello_html_288e00d2.gifАD.

2) Докажем, что ВСНМ – параллелограмм, тогда ВМ = ЕН.

3) Докажем, что hello_html_1ab116aa.gifАВМ = hello_html_1ab116aa.gifDСН
(по катету и гипотенузе), тогда
hello_html_7fbabcd7.gifА = hello_html_7fbabcd7.gifD.

4) Аналогично I способу докажем, что hello_html_7fbabcd7.gifАВС = hello_html_7fbabcd7.gifВСD.

388 (б) – устно.

hello_html_m1be70fde.png

hello_html_7fbabcd7.gifА = hello_html_7fbabcd7.gifD по свойству равнобокой трапеции АВ = СD.

АD – общая.

hello_html_1ab116aa.gifАВD = hello_html_1ab116aa.gifDСА по I признаку
равенства треугольников, тогда
АС = ВD.

389 (признаки равнобокой трапеции; обратная теорема № 388 (а; б).

а)

hello_html_m6df99180.png

Проведем СЕ || АВ, тогда hello_html_7fbabcd7.gifА =
= hello_html_7fbabcd7.gifЕ = hello_html_7fbabcd7.gifD
.

hello_html_1ab116aa.gifСЕD – равнобедренный, поэтому СD = СЕ, а так как АВСZ – параллелограмм, то АВ = СЕ. Имеем АВ = СЕ =
= СD
.

АВСD – равнобокая трапеция.

б)

hello_html_m5a3e2643.png

hello_html_1ab116aa.gifАСD = hello_html_1ab116aa.gifDВА по I признаку
равенства треугольников, тогда
АВ = СD.

389. Можно решить устно (если класс является более подготовленным).

390 (устно).

III. Самостоятельная работа.

Вариант I

Найдите боковые стороны равнобедренной трапеции, основания которой равны 14 см и 8 см, а один из углов равен 120°.

Вариант II

Найдите меньшее основание равнобедренной трапеции, если ее большее основание равно 16 см, боковая сторона – 10 см, а один из углов равен 60°.

Вариант III

Диагональ АС равнобедренной трапеции АВСD делит пополам угол ВАD. Найти периметр трапеции, если основание АD равно 12 см, а угол АDС равен 60°.

Проверить самостоятельную работу можно на этом же уроке с помощью закрытой доски (устно):

Вариант I

hello_html_f83a71d.png

СD = 2ND = 6 см.


Вариант II

hello_html_7a5ea6c1.png

ND = hello_html_43a7d4d3.gifCD = 5 см.


Вариант III

hello_html_m25a4011.png

СD = hello_html_43a7d4d3.gifАD = 6 см.

ВС = 6 см.


IV. Итоги урока.

hello_html_m5f131314.pnghello_html_2bcca5d5.png

Свойства равнобокой трапеции.

АВСD
равнобокая трапеция

hello_html_3480b9c4.png

1) hello_html_7fbabcd7.gifА = hello_html_7fbabcd7.gifD, hello_html_7fbabcd7.gifВ = hello_html_7fbabcd7.gifС

2) АС = ВD

3) hello_html_1ab116aa.gifАВМ = hello_html_1ab116aa.gifDСN

Признаки равнобокой трапеции. АВСD – трапеция.

hello_html_7fbabcd7.gifА = hello_html_7fbabcd7.gifD

или

hello_html_7fbabcd7.gifВ = hello_html_7fbabcd7.gifС

hello_html_3480b9c4.png

АВСD
равнобокая трапеция

АС = ВD

hello_html_3480b9c4.png

АВСD
равнобокая трапеция

Домашнее задание: вопросы 10, 11, с. 114–115; №№ 392, 391; повторить § 4 и № 222, п. 38, задача 1; принести циркуль.

Для желающих.

В равнобокой трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, а другой – полуразности оснований.

Урок 10

ЗАДАЧИ Н А ПОСТРОЕНИЕ

Цели: продолжить знакомить учащихся с задачами на построение. Научить делить отрезок на n равных частей.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Трое учащихся на доске готовят решение домашних задач.

392 (а).

hello_html_m64027986.png

АN = 7 – 4 = 3 (cм)

АВ = 2АN = 6 (cм)


392 (б).

hello_html_240497ce.png

KD = АD – АK = 15 – 10 = 5 (см)

KD = KС = 5 (см)



hello_html_52749fda.png

1) АD = АK + МD + ВС, так как АK = МD

АD – ВС = 2МD

МD = hello_html_43a7d4d3.gif(АD – ВС)

2) АD + ВС = АМ + МD + ВС

АD + ВС = АМ + KD, так как
АМ = KD

АD + ВС = 2АМ

АМ = hello_html_43a7d4d3.gif(АD + ВС).

В это время остальные решают устно задачу:

hello_html_7607d505.png

Меньшее основание равнобокой трапеции равно боковой стороне и в 2 раза меньше другого основания.

Найти углы трапеции.

Решение

АЕ = ЕD, проведем СЕ.

1) АВСЕ – параллелограмм, так как ВС || АЕ и ВС = АЕ. Имеем АВ =
= СЕ = ЕD = СD
.

2) hello_html_1ab116aa.gifСЕD равносторонний hello_html_m7646c166.gifhello_html_7fbabcd7.gifD = 60°.

3) hello_html_7fbabcd7.gifА = 60°, hello_html_7fbabcd7.gifВ = hello_html_7fbabcd7.gifС = 180° – 60° = 120°.

II. Решение задач.

Напомнить основные этапы решения задач на построение:

1) Анализ задачи.

2) Выполнение построения по намеченному плану.

3) Доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.

4) Исследование задачи.

393 (в) (решение в учебнике).

394. пусть А, В, С – данные точки.

hello_html_m7152da7.png

Соединим попарно эти точки и через каждую вершину треугольника АВС проведем прямую, параллельную противолежащей стороне.

Четырехугольники В1ВАС, С1АСВ, В1АВС – параллелограммы по определению.

Задача имеет только эти три решения, так как не существует других прямых, проходящих через точки А, В, С и параллельных прямых ВС, АС, АВ соответственно.

395.

Дано:

hello_html_m76f6738a.png

hello_html_4b88b861.png

hello_html_m68902e3c.png

Построить АВСD – параллелограмм.

Построение

hello_html_m2852a4b4.png

hello_html_7fbabcd7.gifА = kh, АВ = Р1Q1

P2Q – расстояние между АВ и СD.

Устно провести анализ, доказательство и исследование, в тетрадях – только построение:

1) построить hello_html_7fbabcd7.gifА, равный данному hello_html_7fbabcd7.gifhk;

2) отложить на его стороне отрезок Р1Q = АВ и отметить точку В;

3) через точку В провести прямую, перпендикулярную прямой АВ и отложить отрезок ВK = Р2Q2;

4) через точку В провести прямую, параллельную другой стороне угла;

5) через точку K провести прямую, параллельную стороне АВ;

6) АВСD – параллелограмм по определению.

397 (а).

Дано:

hello_html_65cc0a68.png

hello_html_m494a8711.png

hello_html_40b57507.png

Построить трапецию АВСD: АD || ВС, АВ = СD, АD = MN, АВ = М1N1, hello_html_7fbabcd7.gifА = hk.

Построение

1) Строим hello_html_1ab116aa.gifАВD так, чтобы АD = МN, АВ = М1N1, hello_html_7fbabcd7.gifА = hk.

2) Через точку В проведем прямую, параллельную прямой АD. Для этого проведем две окружности: окружность ω1 с центром В радиуса ВD и окружность ω2 с центром D радиуса АВ. Пусть С′ – точка пересечения этих окружностей, лежащая по ту сторону от прямой АD, что и точка В. Тогда ВС|| АD.

3) Окружность ω2 пересекает прямую ВС еще в одной точке – точке С. Соединив эту точку с точкой D, получаем искомую трапецию АВСD. Если hello_html_7fbabcd7.gifhk = 90°, то задача не имеет решения.

hello_html_m372a89f7.png

III. Итоги урока.

Домашнее задание: №№ 393 (в), 396. повторить свойства и признаки параллелограмма.

Найти углы трапеции.

hello_html_404feb09.png




















Урок 11
ПРЯМОУГОЛЬНИК.

Цели: дать определение прямоугольника, изучить свойства прямоугольника.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Ответить на вопросы учащихся.

hello_html_m5c34b212.png

hello_html_1ab116aa.gifАВС – равнобедренный.

hello_html_7fbabcd7.gifВАС = hello_html_7fbabcd7.gifВСА = х°,

hello_html_7fbabcd7.gifВСА = hello_html_7fbabcd7.gifDАС = х°, как внутренние накрест лежащие при ВС || АD и секущей АС, hello_html_7fbabcd7.gifВАD = hello_html_7fbabcd7.gifСDА = 2х°.

Из прямоугольного hello_html_1ab116aa.gifАСD hello_html_7fbabcd7.gifСАD + hello_html_7fbabcd7.gifСDА = 90°, х + 2х = 90°,
х = 30°.

В трапеции hello_html_7fbabcd7.gifА = hello_html_7fbabcd7.gifD = 60°, hello_html_7fbabcd7.gifВ = hello_html_7fbabcd7.gifС = 120°.

2. Выполнить задания (устно):

1) Найдите углы выпуклого четырехугольника, если их градусные меры пропорциональны числам 1, 2, 3, 4.

2) Докажите, что расстояния АМ и СN от вершин А и С параллелограмма АВСD до прямой ВD равны.

3) Найдите углы параллелограмма АВСD, если hello_html_7fbabcd7.gifА = 3hello_html_7fbabcd7.gifВ.

hello_html_m6b5635d5.png

II. Изучение нового материала.

1. Определение прямоугольника.

2. Так как прямоугольник – параллелограмм, то какими свойствами он обладает?

3. Каким особенным свойством обладает прямоугольник?

hello_html_m40cc3821.pnghello_html_m1a91eadd.png

4. Доказательство теоремы о равенстве диагоналей прямоугольника.

5. Будет ли верно обратное утверждение? Докажите.

6. В параллелограмме АВСD hello_html_7fbabcd7.gifА = 90°. Докажите, что АВСD – прямоугольник.

7. АС – диагональ прямоугольника АВСD, hello_html_7fbabcd7.gifСАD = 35°. Чему равен hello_html_7fbabcd7.gifАСD?

8. Определите периметр прямоугольника, если две его стороны 5 см и 8 см.

9. АВСD – прямоугольник. Докажите, что hello_html_1ab116aa.gifАОВ равнобедренный.

III. Решение задач.

400.

1. В прямоугольнике АВСD биссектриса угла D пересекает сторону АВ в точке М.

1) Докажите, что hello_html_1ab116aa.gifАDМ – равнобедренный.

2) Найдите периметр прямоугольника, если сторона АВ оказалась разбита на отрезки длиной 3 см и 5 см. Сколько решений имеет задача?

Решение

hello_html_7a3976dc.pnghello_html_m5f655c03.png

АD = 3, РАВСD = 22 АD = 5, РАВСD = 26

IV. Итоги урока.

Свойства прямоугольника

Любой прямоугольник является параллелограммом, значит, обладает всеми его свойствами:

АВСD
прямоугольник

hello_html_188fe608.png

АВ || CD, ВC || АD,

АВ = СD, ВС = АD,

АО = ОС, ВО = ОD

hello_html_m7c735bf9.png

Кроме того, у прямоугольника имеются свои свойства:

АВСD
прямоугольник

hello_html_188fe608.png

а) hello_html_7fbabcd7.gifА = hello_html_7fbabcd7.gifВ = hello_html_7fbabcd7.gifC = hello_html_7fbabcd7.gifD = 90°

(все углы прямые)

б) АС = ВD (диагонали равны)

Признаки прямоугольника

АВСD – параллелограмм

hello_html_7fbabcd7.gifА = hello_html_7fbabcd7.gifВ = hello_html_7fbabcd7.gifC = hello_html_7fbabcd7.gifD = 90°

hello_html_188fe608.png

АВСD
прямоугольник

АВСD – параллелограмм
и АС = ВD

hello_html_188fe608.png

АВСD
прямоугольник

Домашнее задание: вопросы 12, 13, с. 115; задачи №№ 399, 404, 401 (а).

Доказать признак прямоугольника: четырехугольник, у которого есть три прямых угла, является прямоугольником.


















Урок 12
РОМБ. КВАДРАТ


Цели: ввести понятие ромба и квадрата; изучить их свойства.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

hello_html_m456eab0d.png

1. АD hello_html_288e00d2.gifАВ, ВС hello_html_288e00d2.gifАВ (по условию), тогда АD || ВС (как два перпендикуляра к одной прямой).

2. АВ hello_html_288e00d2.gifВС, СD hello_html_288e00d2.gifВС (по условию), тогда АВ || СD (как два перпендикуляра к одной прямой).

3. Так как АD || ВС и АВ || СD, тогда АВСD – параллелограмм (по определению).

4. hello_html_7fbabcd7.gifD = hello_html_7fbabcd7.gifВ (как противолежащие углы параллелограмма).

5. В параллелограмме АВСD: hello_html_7fbabcd7.gifА = hello_html_7fbabcd7.gifВ = hello_html_7fbabcd7.gifС = hello_html_7fbabcd7.gifD = 90°, значит, АВСD – прямоугольник (по определению).

Выполнить задания (устно):

1) Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, высота которого равна 6 см, а угол при вершине равен 120°.

hello_html_meb7b752.png

hello_html_7fbabcd7.gifА = 30°, АВ = 2ВD = 12 (см).

2) Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны.

Докажите, что все его стороны равны.

hello_html_16206fb6.png

hello_html_1ab116aa.gifВОС = hello_html_1ab116aa.gifDОС = hello_html_1ab116aa.gifВОА =
= hello_html_1ab116aa.gifDОА
по двум катетам.

Имеем АВ = ВС = DС = АD.

II. Изучение нового материала.

1. Определение ромба.

2. Так как ромб – параллелограмм, то какими свойствами он обладает?

3. Какими особыми свойствами обладает ромб?

hello_html_2994a648.pnghello_html_9341510.png

4. Доказательство свойств ромба:

а) диагонали ромба взаимно перпендикулярны;

б) диагонали являются биссектрисами углов.

5. Будут ли верны обратные утверждения? Докажите.

6. Определение квадрата как прямоугольника, у которого все стороны равны.

7. Определение квадрата как ромба, у которого все углы прямые.

8. Так как квадрат является ромбом и прямоугольником, то он обладает их свойствами. Перечислите их.

III. Решение задач.

405 (а).

а) АВ = ВС = АС, hello_html_1ab116aa.gifАВС – равносторонний, hello_html_7fbabcd7.gifА = hello_html_7fbabcd7.gifВ = hello_html_7fbabcd7.gifС = 60° в ромбе hello_html_7fbabcd7.gifАВС = 60°, hello_html_7fbabcd7.gifВАD = 120°.

hello_html_m566cf50b.png

410 (а, б) признаки квадрата.

IV. Итоги урока.

Свойства ромба

АВСD
ромб

hello_html_188fe608.png

АВ || CD, ВC || АD,

hello_html_7fbabcd7.gifА = hello_html_7fbabcd7.gifС, hello_html_7fbabcd7.gifВ = hello_html_7fbabcd7.gifD,

АО = ОС, ВО = ОD

свойства
параллелограмма



АВ = ВC = CД = АD

АС hello_html_288e00d2.gifВD

АС – биссектриса hello_html_7fbabcd7.gifА

ВD – биссектриса hello_html_7fbabcd7.gifВ

все стороны равны

диагонали перпен-

дикулярны

каждая диагональ –

биссектриса
углов ромба

АВСD
ромб

hello_html_188fe608.png



hello_html_62d6c6d1.png

Признаки ромба

АВ = ВС = СD = АD

hello_html_188fe608.png

АВСD – ромб

АВСD – параллелограмм

АС hello_html_288e00d2.gifВD

hello_html_188fe608.png

АВСD – ромб

АВСD – параллелограмм

и АС – биссектриса hello_html_7fbabcd7.gifА

hello_html_188fe608.png

АВСD – ромб

Свойства квадрата


hello_html_m5adf4339.png


АВСD
квадрат




АВ || CD, ВC || АD

АВ = ВC = CD = АD

hello_html_7fbabcd7.gifА = hello_html_7fbabcd7.gifВ = hello_html_7fbabcd7.gifC = hello_html_7fbabcd7.gifD = 90°

АО = ВО = CО =

АС hello_html_288e00d2.gif ВD

АС, ВD, СА, – биссектриса угла


все стороны равны

все углы прямые

отрезки диагоналей равны

диагонали перпендикулярны

каждая диагональ является

биссектрисой угла

Признаки квадрата

Для того чтобы доказать, что данный четырехугольник является квадратом, можно:

џ доказать, что четырехугольник является прямоугольником с равными сторонами;

џ доказать, что четырехугольник является ромбом с прямыми углами.

Домашнее задание: вопросы 14–15, с. 115; №№ 405 (б), 409.,411

hello_html_53e62bfd.png

АВСD – ромб.

Найти: hello_html_7fbabcd7.gifВАD.

hello_html_m6b4d3e34.png

Дано: АВСD – квадрат.

Доказать: А1В1С1D1 – прямоугольник.


Урок 13
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Цель: закрепить изученный материал о прямоугольнике, ромбе, квадрате в процессе решения задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Математический диктант

1. I. Является ли прямоугольником параллелограмм, у которого есть прямой угол?

II. Обязательно ли является прямоугольником четырехугольник, у которого есть прямой угол?

2. I. Верно ли, что каждый прямоугольник является параллелограммом?

II. Верно ли, что каждый параллелограмм является прямоугольником?

3. I. Диагонали прямоугольника АЕKМ пересекаются в точке О. Отрезок АО = 3. Найдите длину диагонали ЕМ.

II. Диагонали параллелограмма равны 3 и 5 дм. Является ли этот параллелограмм прямоугольником?

4. I. Диагонали четырехугольника равны. Обязательно ли этот четырехугольник является прямоугольником?

II. Сумма длин диагоналей прямоугольника 13 см. Найдите длину каждой диагонали.

5. I. Периметр ромба равен 12 см. Найдите длины его сторон.

II. Верно ли, что каждый ромб является параллелограммом?

6. I. Верно ли, что каждый параллелограмм является ромбом?

II. Периметр ромба равен 30 см. Найдите его стороны.

7. I. Диагонали ромба делят его на четыре треугольника. Найдите углы каждого треугольника, если один из углов ромба 30°.

II. Ромб АВСD имеет прямой угол. Является ли этот ромб квадратом?

8. I. Две соседние стороны параллелограмма равны и образуют прямой угол. Как называется такой параллелограмм?

II. Диагонали квадрата делят его на четыре треугольника. Найдите углы каждого треугольника.

II. Решение задач. №№ 404, 407 (устно).

412.

hello_html_m32e57924.png

1. hello_html_1ab116aa.gifАВС – прямоугольный и равнобедренный hello_html_m7646c166.gifhello_html_7fbabcd7.gif1 = hello_html_7fbabcd7.gif4 = 45°.

2. hello_html_1ab116aa.gifАFE – прямоугольный.

hello_html_7fbabcd7.gif1 = 45° hello_html_m7646c166.gifhello_html_7fbabcd7.gif3 = 45° hello_html_m7646c166.gifDВ = DE.

3. hello_html_1ab116aa.gifDВЕ – прямоугольный.

hello_html_7fbabcd7.gif4 = 45° hello_html_m7646c166.gifhello_html_7fbabcd7.gif2 = 45° hello_html_m7646c166.gifAF = FE.

4. СDЕF – квадрат hello_html_m7646c166.gif СD = DE =
= EF = CF
.

5. АC = 12 cм. AF = CF = 6 cм.

414 (а) наметить план решения.

III. Самостоятельная работа обучающего характера с проверкой в классе.

Вариант I

1. Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на 30° меньше другого.

2. № 413 (б).

Вариант II

1. Угол между диагоналями прямоугольника равен 80°. Найдите углы между диагональю прямоугольника и его сторонами.

2. № 414 (б).

Вариант III
(для более подготовленных учащихся)

1. В ромбе АВСD биссектриса угла ВАС пересекает сторону ВС и диагональ ВD соответственно в точках M и N. Найдите hello_html_7fbabcd7.gifАNВ, если hello_html_7fbabcd7.gifАМС = 120°.

2. Постройте прямоугольник АВСD по стороне АВ и углу АОВ, где О – точка пересечения диагоналей.

Решение на закрытой доске:

Вариант I

hello_html_785ddd6f.png

1. hello_html_7fbabcd7.gifАВО на 30° больше hello_html_7fbabcd7.gifВАО.

hello_html_1ab116aa.gifАВО – прямоугольный;

hello_html_7fbabcd7.gifВАО = х°, hello_html_7fbabcd7.gifАВО = х + 30°;

hello_html_7fbabcd7.gifВАО + hello_html_7fbabcd7.gifАВО = 90°;

х + х + 30 = 90°;

х = 30°.

2. Дано:

hello_html_m59399b51.pnghello_html_6cdcc460.png

Построить прямоугольник АВСD.

Решение

1) Разделить АС пополам, отметить середину – точку О.

2) От луча ОС отложить угол, равный углу О.

3) На его другой стороне отложить отрезок ОD = АО.

4) На дополнительном луче к лучу ОD отложить отрезок ОВ = ОD.

5) АВСD – прямоугольник (его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам).

Вариант II

hello_html_403f88d0.png

1. ОС = ОВ hello_html_m7646c166.gifhello_html_1ab116aa.gifDОС – равнобедренный hello_html_7fbabcd7.gifОСD = hello_html_7fbabcd7.gifСDО = 50°.

2. Дано:

hello_html_m31f59f03.pnghello_html_ma2622db.png

Построить: ромб АВСD.

Решение

1) Отложим угол, равный углу В.

2) На сторонах угла отложим отрезки, равные MN, получим точки А и С.

3) Через точки А и С проведем прямые, параллельные прямым АВ и ВС, получим точку D.

4) АВСD – ромб. (Если у параллелограмма смежные стороны равны, то он является ромбом.)

Вариант III

hello_html_m5421b945.png

1. hello_html_7fbabcd7.gifВСО = hello_html_7fbabcd7.gifВАО.

Пусть hello_html_7fbabcd7.gifВАN = hello_html_7fbabcd7.gifСАМ = х°;

hello_html_7fbabcd7.gifВСА = 2х°;

hello_html_1ab116aa.gifАМС: 2х + х + 120° = 180°;

х = 20°.

hello_html_1ab116aa.gifВОА: hello_html_7fbabcd7.gifАВО = 90° – 40° = 50°;

hello_html_1ab116aa.gifВNА: hello_html_7fbabcd7.gifВNА = 180°50° – 20°;

hello_html_7fbabcd7.gifВNА = 110°.

2. Дано:

hello_html_m6c992af4.pnghello_html_1317d312.png

Построить: АВСD – прямоугольник.

Решение

1) Построим угол, смежный с углом О и его биссектрису, получаем углы 1 и 2.

2) Откладываем АВ и строим в одну полуплоскость от лучей АВ и ВА углы, равные hello_html_7fbabcd7.gif1 и hello_html_7fbabcd7.gif2.

3) Получили hello_html_1ab116aa.gifАВО.

4) На дополнительных лучах лучам ОВ и ОА откладываем отрезки ОС = АО и ОD = ОВ.

5) АВСD – прямоугольник. (Диагонали его точкой пересечения делятся пополам и равны.)

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 14–15, с. 115; №№ 410, 413 (а), 415 (б).

По желанию.

АВСD – ромб. hello_html_7fbabcd7.gifDВЕ = 20°

Найти: hello_html_7fbabcd7.gifВАD.

Решение

1) hello_html_7fbabcd7.gifВDЕ = 70° из прямоугольного ВЕD.

2) hello_html_1ab116aa.gifВАD – равнобедренный.

hello_html_3b22cf91.png

hello_html_7fbabcd7.gifАВD = hello_html_7fbabcd7.gifАDВ.

3) hello_html_7fbabcd7.gifВDЕ = hello_html_7fbabcd7.gifАВD = 70° как внутренние накрест лежащие при
АВ || СD и секущей ВD.

4) hello_html_7fbabcd7.gifАВD = hello_html_7fbabcd7.gifАDВ = 70°.

5) hello_html_7fbabcd7.gifВАD = 180° – 70° – 70° = 40°.

Готовиться к проверочной работе по теме § 1–3 главы V.










Урок 14

ОСЕВАЯ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИИ

Цели: дать определение симметричных точек и фигур относительно точки и прямой, научить строить симметричные точки; рассмотреть осевую и центральную симметрии как свойства некоторых геометрических фигур.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию.

II. Изучение нового материала.

Объяснение нового материала по теме «Осевая и центральная симметрии» целесообразно построить в виде лекции, сопровождающейся показом большого иллюстративного материала: чертежей, рисунков, орнаментов и т. п.

III. Решение задач.

№№ 416, 417, 418 (устно).

420.

Решение

Пусть АВС – данный равнобедренный треугольник с основанием АС и ВD – его биссектриса.

hello_html_m607999ba.png

1. По теореме о биссектрисе равнобедренного треугольника ВD hello_html_288e00d2.gifАС и АD =
= DС
. Следовательно, точки А и С симметричны относительно прямой ВD.

2. Возьмем произвольную точку М на основании АС. Пусть, например, точка М лежит между точками А и D. Отметим точку М1 между точками D и С так, что
1 = .

Точка М1 симметрична точке М относительно прямой ВD. Имеем для каждой точки на основании АС симметричную ей относительно ВD точку.

3. Возьмем теперь произвольную точку N на одной из боковых сторонhello_html_1ab116aa.gifАВС, например на стороне АВ. Отложим от вершины В на луче ВС отрезок ВN1, равный ВN. Так как BN < АВ, то ВN1 < N1 лежит на стороне ВС. Треугольник BNN1 равнобедренный, ВК – его биссектриса, следовательно, NN1hello_html_288e00d2.gifВК, = N1К, а поэтому точки и N и N1 симметричны относительно прямой ВD.

Мы доказали, что для каждой точки hello_html_1ab116aa.gifАВС точка, симметричная ей относительно прямой ВD, также принадлежит этому треугольнику. Это означает, что прямая ВD – ось симметрии треугольника АВС.

422 (устно).

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 16–20, с. 115; №№ 421, 419, 423; предложить учащимся приготовить свои примеры осевой и центральной симметрии.














Урок 15
Решение задач

Цели: закрепить в процессе решения задач полученные знания и навыки, подготовить учащихся к контрольной работе.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Учащимся гораздо труднее дается применение признаков фигур, чем использование их свойств. Поэтому необходимо не только повторить рассматривавшиеся в определениях, теоремах и задачах признаки параллелограмма, прямоугольника, ромба и квадрата, но и обратить внимание учащихся на различие в применении свойств и признаков.

Устно:

1. Определите вид четырехугольника АВСD, если АС и ВD – диаметры одной окружности.

Ответ: АВСD – параллелограмм, так как его диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Из равенства диагоналей делаем вывод о том, что он является прямоугольником.

hello_html_34c2fe0c.png

2. Верно ли, что четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Ответ: нет. Посмотрите на чертеж. Какое еще условие должно выполняться?

hello_html_37e014cb.png

3. Дан четырехугольник, у которого два противоположных угла прямые. можно ли утверждать, что такой четырехугольник всегда будет прямоугольником?

Ответ: Нет. Смотрите на рисунок. Какое еще условие должно выполняться?

Вывод:

Если по условию задачи дано, что четырехугольник является параллелограммом (или прямоугольником, или ромбом, или квадратом), то можно использовать в решении любое его свойство;

Признаки используются, когда нужно доказать, что данный четырехугольник является параллелограммом (прямоугольником, квадратом или ромбом). При этом нужно привести определенный набор фактов, достаточный для того, чтобы сделать вывод о виде четырехугольника.

4. Всякий ли четырехугольник, у которого есть две параллельные стороны, является трапецией?

Ответ: Нет. Параллелограмм, у которого есть две параллельные стороны, не является трапецией.

hello_html_m159b64be.png

5. Является ли данный четырехугольник трапецией?

Ответ: Да, ВС || АD, АВhello_html_m6a914c1b.gifCD.

II. Решение задач.

№№ 428, 434, 438.

428.

Решение

hello_html_5d0f0a30.png

1) РD – биссектриса hello_html_7fbabcd7.gif1 = hello_html_7fbabcd7.gif2.

2) hello_html_7fbabcd7.gif1 = hello_html_7fbabcd7.gif3, как внутренние накрест лежащие при ВС || АD и секущей РD. Имеем hello_html_7fbabcd7.gif1 = hello_html_7fbabcd7.gif2 = hello_html_7fbabcd7.gif3.

3) Аналогично для биссектрисы угла В имеем hello_html_7fbabcd7.gif4 = hello_html_7fbabcd7.gif5 = hello_html_7fbabcd7.gif6.

4) Но hello_html_7fbabcd7.gifАВС = hello_html_7fbabcd7.gifАDС, поэтому hello_html_7fbabcd7.gif1 = hello_html_7fbabcd7.gif2 = hello_html_7fbabcd7.gif3 = hello_html_7fbabcd7.gif4 = hello_html_7fbabcd7.gif5 = hello_html_7fbabcd7.gif6.

hello_html_7fbabcd7.gif5 и hello_html_7fbabcd7.gif3 соответственные при прямых РD и ВК и секущей ВС hello_html_m7646c166.gifhello_html_m7646c166.gifВD || ВК.

5) Аналогично доказывается, что АМ || NC.

6) STQR – параллелограмм по определению.

7) hello_html_1ab116aa.gifРСD – равнобедренный, так как hello_html_7fbabcd7.gif3 =hello_html_7fbabcd7.gif2, CQ – биссектриса и высота.

8) В параллелограмме STQK один угол прямой он является прямоугольником.

438.

Решение

hello_html_46f2ea86.png

1) hello_html_7fbabcd7.gif2 =hello_html_7fbabcd7.gif3 как накрест лежащие при ВС || АD и секущей АС.

2) hello_html_7fbabcd7.gif1 =hello_html_7fbabcd7.gif2 = hello_html_7fbabcd7.gif3 = 30°,

hello_html_7fbabcd7.gif1 + hello_html_7fbabcd7.gif2 = 60° hello_html_m7646c166.gifАВСD – равнобокая трапеция.

3) hello_html_1ab116aa.gifАВС – равнобедренный треугольник, так как hello_html_7fbabcd7.gif1 = hello_html_7fbabcd7.gif3.

4) СD против угла 30°, поэтому АD = 2СD.

5) По условию АВ + ВС + СD + АD = 20

3СD + 2СD = 20

СD = 4

АD = 2СD = 8 (см).

III. Самостоятельная работа.

Вариант I

1. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма АВСD проведена прямая, пересекающая стороны АD и ВС соответственно в точках Е и F. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 28 см. АЕ = 5 см, BF = 3 см.

Ответ: 6 и 8 см.

2. Найдите меньшую боковую сторону прямоугольной трапеции, основания которой равны 10 см и 6 см, а один из углов равен 45°.

Ответ: 4 см.

3. Разделите данный отрезок на 5 равных частей.

Вариант II

1. Биссектрисы углов А и D параллелограмма АВСD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен 36 см.

Ответ: 6 и 12 см.

2. Найдите боковую сторону равнобедренной трапеции, основания которой равны 12 см и 6 см, а один из углов равен 120°.

Ответ: 6 см.

3. Разделите данный отрезок на 6 равных частей.

Вариант III

1. В равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ вписан прямоугольник КMNP, как показано на рисунке.

hello_html_3b53c897.png

Периметр этого прямоугольника равен 30 см, а смежные стороны КМ и КР пропорциональны числам 2 и 3, то есть КМ : КР = 2 : 3. Найдите гипотенузу треугольника.

Ответ: 21 см.

2. Один из углов равнобедренной трапеции равен 60°, а диагональ трапеции делит этот угол пополам. Найдите периметр трапеции, если ее большее основание равно 14 см.

Ответ: 35 см.

3. Данный отрезок разделить на 7 равных частей.

Домашнее задание: вопросы 1–20, с. 114–115; готовиться к контрольной работе.

1. В ромбе АВСD hello_html_7fbabcd7.gifD = 140°. Определите углы треугольника АОD (О – точка пересечения диагоналей).

2. На диагонали MP прямоугольника MNPQ отложены равные отрезки МА и РВ. Докажите, что ANBQ – параллелограмм.

3hello_html_7e05bc1c.png. Найти ВС.




Урок 16
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1


Цель: проверить знания, умения и навыки учащихся по усвоению и применению изученного материала.

Ход урока

I. Организация учащихся на выполнение работы.

II. Выполнение работы по вариантам.

Вариант I

1. Диагонали прямоугольника АВСD пересекаются в точке О. Найдите угол между диагоналями, если hello_html_7fbabcd7.gifАВО = 30°.

2. В параллелограмме KМNP проведена биссектриса угла МKР, которая пересекает сторону MN в точке Е.

а) Докажите, что треугольник KМЕ равнобедренный.

б) Найдите сторону , если МЕ = 10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см.

Вариант II

1. Диагонали ромба KМNP пересекаются в точке О. Найдите углы треугольника KОМ, если угол МNP равен 80°.

2. На стороне ВС параллелограмма АВСD взята точка М так, что АВ = ВМ.

а) Докажите, что АМ – биссектриса угла ВАD.

б) Найдите периметр параллелограмма, если СD = 8 см, СМ = 4 см.

Вариант III

1. Через вершину с прямоугольника АВСD проведена прямая, параллельная диагонали ВD и пересекающая прямую АВ в точке М. Через точку М проведена прямая, параллельная диагонали АС и пересекающая прямую ВС в точке N. Найдите периметр четырехугольника АСМN, если диагональ ВD равна 8 см.

2. Биссектрисы углов А и D параллелограмма АВСD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Луч пересекает прямую АВ в точке N. Найдите периметр параллелограмма АВСD, если АN = 10 см.

III. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал гл. I, § 4, с. 13–16.





























Урок 17
ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА


Цели: дать представление об измерении площадей многоугольников, рассмотреть основные свойства площадей и вывести формулу для вычисления площади квадрата.

Ход урока

I. Анализ ошибок, допущенных в контрольной работе.

II. Выполнить задания (устно).

1. Через точку во внутренней области равностороннего треугольника проведены две прямые, параллельные двум сторонам треугольника. На какие фигуры разбивается этими прямыми данный треугольник?

2. АВСD – параллелограмм, АD = 2АВ, АМ – биссектриса угла ВАD. Докажите, что часть отрезка АМ, лежащая во внутренней области параллелограмма АВСD, равна части, лежащей во внешней области.

3. Точка D между точками А и С на прямой АС. Найти длину АС, если АD = 5 см, = 5,6 см.

Вспомнить способы измерения отрезков.

III. Изучение нового материала.

Ввести понятие площади многоугольника и основные свойства площадей можно в форме короткой лекции с использованием иллюстративного материала. При этом полезно отметить, что вывод формул для вычисления площадей различных многоугольников будет основан на двух свойствах площадей, аналогичных свойствам длин отрезков:

1. Равные многоугольники имеют равные площади.

2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Эти свойства принимаются на основе наглядных представлений об измерении площадей.

3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Материал этого пункта не является обязательным. Следует на конкретных примерах разъяснить свойство 3, а более подготовленным учащимся можно предложить изучить доказательство самостоятельно по учебнику.

Полезно привести ряд примеров, связанных с практической необходимостью измерения площадей. Так, площадь зеркала водохранилища нужно знать его проектировщикам, в частности, чтобы определить, как станет испаряться из заполненного водохранилища вода. Площадь поверхности стен в помещении нужно знать, например, для того, чтобы рассчитать необходимое для их покрытия количество краски, обоев или кафеля. Площадь поверхности дороги нужно знать, например, при расчете необходимого для ее покрытия количества асфальта.

IV. Закрепление изученного материала.

1. №№ 445, 449 (а, в), 450 (а, б), 451 (устно).

2. РАВСD = 40. Найти SАВСD.

3. SАВСD = 64. Найти РАВСD.

4. ВЕ = ЕС. Найти SАВСD : SАВЕ.

5. ВЕ = ЕС. Найти SАВЕ : SАВСD.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 1, 2, с. 133; №№ 448, 449 (б), 450 (в), 446; привести свои примеры необходимости вычисления площадей многоугольников.









Урок18 ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА

Цели: вывести формулу площади прямоугольника, научить находить площадь прямоугольника.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Ответить на вопросы учащихся.

2. Выполнить задания (устно):

1) Площадь параллелограмма АВСD равна S. Найдите площади треугольников АВС и АВD.

2) Площадь прямоугольника АВСD равна Q. найдите площадь треугольника АМD.

hello_html_m6dcfa2f1.png

hello_html_m60dcdc8.png

3) АВСD – прямоугольник, точки Е и F – середины его сторон АD и ВС. Заштрихованный квадрат представляет собой единицу измерения площадей. Найдите площадь трапеции KМNP.

II. Изучение нового материала.

Выполнить задание:

1. Докажите, что два прямоугольника равны, если равны их смежные стороны.

hello_html_6427a84e.png

2. АВСD – квадрат, MN || АВ, ЕF || ВС. Найдите площадь четырехугольника АFКМ, если АМ = СЕ = 3 см. = 6 см.

3. Доказать теорему о площади прямоугольника. (Заготовить чертеж заранее из учебного пособия, рис. 181.)

III. Закрепление изученного материала.

452 (а, в), № 453 (а, б).

hello_html_m29f081cf.png

1) РАВСD = 40, АD = 3СD.

Найти: SАВСD.

2) АD = 20, SDOC = 60.

Найти: СD.

Решение

Проведем через точку О прямые, параллельные сторонам прямоугольника, и получим 8 равных прямоугольных треугольников, с площадью hello_html_43a7d4d3.gifSДОС.

SАВСD = 8 · 30 = 240; = hello_html_m17b811fd.gif = 12.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: вопрос 3, с. 133; №№ 454, 455, 456.

1. Периметр прямоугольника равен 44 см, а : АD = 7 : 4. Найдите площадь треугольника АВK, если DЕ = FC = hello_html_43a7d4d3.gifЕF.

2hello_html_5927137.pnghello_html_m15578817.png. SАСD = 28, АВ = АD + 1. Найти РАВСD.

3. Вырезать из бумаги два равных прямоугольных треугольника и составить из них:

1) равнобедренный треугольник;

2) прямоугольник;

3) параллелограмм, не являющийся прямоугольником.

Урок 19
ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА.


Цели: вывести формулу для вычисления площади параллелограмма; научить применять формулы при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Выполнить задания (устно):

1. SАВСD?

hello_html_1b3bb017.png

2. hello_html_7fbabcd7.gif1 = hello_html_7fbabcd7.gif2,

ВМ = 5,

МС = 4

SАВСD – ?

hello_html_5b0a2129.png

3. hello_html_145e7ee9.png

Площадь прямоугольника АВСD = 20 см2. Найти площадь параллелограмма МВСK.

II. Изучение нового материала.

1. Ввести понятие «высота параллелограмма к данной стороне».

2. При выведении формулы площади параллелограмма целесообразно написать на доске формулу S = а · ha и продемонстрировать соответствующий рисунок, а затем провести силами учащихся доказательство формулы.

III. Закрепление изученного материала.

№№ 459 (а) (устно), 459 (б, в), 464 (в).

hello_html_m7d70307d.png

АВ : ВС = 3 : 7, РАВСD = 120, hello_html_7fbabcd7.gifА = 45°.

Найти: SАВСD.

IV. Самостоятельная работа (обучающего характера).

Вариант I

Стороны параллелограмма 10 см и 6 см, а угол между этими сторонами 150°. Найдите площадь этого параллелограмма.

Вариант II

Острый угол параллелограмма равен 30°, а высоты, проведенные из вершины тупого угла, равны 4 см и 3 см. Найти площадь параллелограмма.

Вариант III

Найдите площадь ромба, диагонали которого равны 8 см и 6 см. Проверить решение с помощью закрытой доски:

Вариант I

hello_html_m43543da8.png

1. hello_html_7fbabcd7.gifВ = 180° – 150° = 30°.

2. Катет АЕ лежит против угла 30°, поэтому АЕ = hello_html_43a7d4d3.gifАВ = 3 см.

3. SАВСD = ВС · АЕ = 10 · 3 = 30 см2.

Вариант II

hello_html_m23b61f16.png

1. Катет ВМ лежит против угла в 30°, поэтому АВ = 2ВМ = 6 см.

2. SАВСD = ВK · = 8 · 6 = 48 см2.

Вариант III

Использовать задание 3 из домашней работы. ВО = ОD = 4 см,
АО = ОС = 3 см.

SАЕВО = 3 · 4 = 12.

SАВСD = 12 · 2 = 24.

Подвести учащихся к выводу, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

hello_html_2fecd91a.png

V. Итоги урока.

hello_html_m2c961364.png

hello_html_m704ccad1.png

hello_html_m70f6b201.png

S = а · b



S = а · ha



S = hello_html_43a7d4d3.gifd1 · d2

S = а · h

S = а2

Дhello_html_719bd6f9.pngомашнее задание: § 2, вопрос 4, с. 133; №№ 459 (в,г), 460,462, 464 (б).

Для желающих.

Найдите углы параллелограмма, если его площадь равна 20 см2, а высота, проведенная из вершины тупого угла, делит одну из сторон на отрезки 2 см и 8 см, считая от вершины острого угла.

Ответ: 45°; 135°.

2. Сравните площади параллелограмма и прямоугольника, если они имеют одинаковые основания и одинаковые периметры.

Ответ: площадь прямоугольника больше площади параллелограмма.

Урок 20
ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

Цели: вывести формулу для вычисления площади треугольника; познакомить учащихся с методами решения задач по этой теме.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Дан параллелограмм АВСD с основанием АD и высотой ВD. Постройте другой параллелограмм с тем же основанием АD, равновеликий заданному параллелограмму. Сколько таких параллелограммов можно построить? (Две другие вершины такого параллелограмма будут лежать на прямой ВС. Бесконечное множество.)

hello_html_m7fc7e192.png

2. Найдите углы параллелограмма, если его площадь равна 40 см2, а стороны 10 см, 8 см.

hello_html_m184c7a70.png

ha = hello_html_2db15f77.gif

ha = hello_html_43c52a58.gif = 4 (см)

hello_html_7fbabcd7.gifA = 30°, так как hello_html_m1f1b69eb.gif = 2

hello_html_7fbabcd7.gifB = 150°.

II. Изучение нового материала.

1. Нарисовать параллелограмм АВСD.

hello_html_24ca26ee.png

АВСD – параллелограмм.

АВ = 8 см, АD = 12 см, hello_html_7fbabcd7.gifА = 30.

Найти: SАВС, SАDС.

Решение

SАВСD = 4 · 12 = 48 (см2).

Так как hello_html_1ab116aa.gifАВС равен hello_html_1ab116aa.gifАDС, то SАВС = SАDС = 24 см2.

2. Доказательство теоремы о площади треугольника и следствий из нее можно предложить учащимся провести самостоятельно.

III. Закрепление изученного материала.

Решить №№ 468 (а, б), 471 (а), 475.

475.

hello_html_m34e8bbb5.png

АD = DЕ = ЕС,

SАВD = hello_html_3dd076a7.gif,

SВDЕ = hello_html_ef39e7e.gif,

SВСЕ = hello_html_mdff6e24.gif,

SВСЕ = SАВD = SВЕD.

Дано: hello_html_1ab116aa.gifАВС, SАВС = 49 см2,

АD : = 4 : 3.

hello_html_m7dfb38a2.png

Найти: SАВD и SВСD.

Решение

Если АD : = 4 : 3,

то SАВD : SВСD = 4 : 3.

Имеем 4х + 3х = 49,

SАВD = 28 см2, SВСD = 21 см2.

IV. Итоги урока.

hello_html_2caa44d0.png

S = hello_html_43a7d4d3.gifhaa.

hello_html_m3be19c96.png

S = hello_html_7995b8ab.gif.

hello_html_m1c067c4b.png

SАВD : SВСD = m : n.

Домашнее задание: § 2, вопрос 5, с. 133; №№ 468 (г, в), 469, 473 .

Для желающих.

1. Внутри параллелограмма АВСD отмечена точка М. Докажите, что сумма площадей треугольников АМD и ВМС равна половине площади параллелограмма.

Решение

hello_html_m1ff20ce2.png

SВМС = hello_html_43a7d4d3.gifh1BC,

SАМD = hello_html_43a7d4d3.gifh2 AD, AD = BC,

SВМС + SАМD = hello_html_43a7d4d3.gifAD (h1 + h2) =

= hello_html_43a7d4d3.gifAD h,

SВМС + SАМD = hello_html_43a7d4d3.gifSABCD.

2. В треугольнике АВС hello_html_7fbabcd7.gifС = 90. На сторонах АС, АВ, ВС соответственно взяты точки М, Р, K так, что четырехугольник СМРK является квадратом АС = 6 см, ВС = 14 см.

Найдите сторону МС.

Решение

hello_html_m6e896ed3.png

1) SАВС = hello_html_43a7d4d3.gifACCB = hello_html_43a7d4d3.gif∙ 6 ∙ 14 = 42 (см2).

2) SАМР = hello_html_43a7d4d3.gifAMMP = hello_html_43a7d4d3.gif(6 – x) ∙ x (см2).

3) SРВК = hello_html_43a7d4d3.gifPKKB = hello_html_43a7d4d3.gif(14 – x) ∙ x (см2).

4) SМРСК = МС2 = х2.

5) SАВС = SАВР + SРВК + SМРСК.

42 = hello_html_43a7d4d3.gif(6 – х) · х + hello_html_43a7d4d3.gif(14 – х) · х + х2

2х2 + 6хх2 + 14хх2 = 84

6х + 14х = 84

х = 4,2.

Ответ: МС = 4,2 см.






























Урок 21
ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

Цели: доказать теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу; познакомить учащихся с решением задач по этой теме.

Ход урока

  1. Проверка домашнего задания.

469


hello_html_m308e06a4.png

SАВС = hello_html_43a7d4d3.gifABCD,

SАВС = hello_html_43a7d4d3.gif16 ∙ 11 = 88 (см2),

SАВС = hello_html_43a7d4d3.gifBCh,

88 = hello_html_43a7d4d3.gif ∙ 22 ∙ h,

h = 8 (cм).




Выполнить устно:

1) SАВС – ?

2) SАВС – ?

hello_html_m73cec0c.png

hello_html_3496b40a.png

3)

hello_html_540136f9.png

СМ – медиана hello_html_1ab116aa.gifАСВ.

Найти отношение площадей

hello_html_3b4e689b.gif

Ответ: hello_html_m13881271.gif

4)

hello_html_m79db62fe.png

Докажите, что SMBKD = hello_html_43a7d4d3.gifSABCD.

Решение

hello_html_57df2610.gif

SАВСD = SАDВ + SDВС

SМDKВ = SМDВ + SDКВ

hello_html_m1aad779b.gif.

II. Объяснение нового материала.

Доказательство теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, рекомендуется провести самому учителю.

III. Закрепление изученного материала.

1. Дано: hello_html_7fbabcd7.gifА = hello_html_7fbabcd7.gifK, АС = 5 см, АВ = 3 см, KN = 7 см, = 2 см.

Найти: hello_html_m1a1a2e79.gif.

hello_html_4d6ae317.pnghello_html_507da8e3.png

Решение

hello_html_m4567b811.gif

2. hello_html_21741f55.png

Дано: АО = 8 см;

ОВ = 6 см;

ОС = 5 см;

ОD = 2 см;

SАОВ = 20 см2.

Найти: SСОD.

Решение

hello_html_5ff45ef1.gif. hello_html_71cfb677.gif. hello_html_m3e2f4415.gif

3. Площадь одного равностороннего треугольника в три раза больше, чем площадь другого равностороннего треугольника. Найдите сторону второго треугольника, если сторона первого равна 1.

Решение

hello_html_m43ea6450.gif

479 (б).

Решение

hello_html_m2222b0fd.png

hello_html_7fbabcd7.gifА – общий hello_html_m7646c166.gif

hello_html_m6b25c76e.gif

hello_html_m6b62e3e8.gif

hello_html_4d514f1e.gif

IV. Самостоятельная работа обучающего характера.

Вариант I

hello_html_m3626859d.png

АО = ОВ, ОС = 2 · ОD

SАОС = 12 см2.

Найти: SВОD.

Вариант II

hello_html_m57fd9d8.png

ОВ = ОС; ОD = 3ОА

SАОС = 16 см2.

Найти: SВОD.

Вариант III

hello_html_495cb761.png

АО = АВ; АС || ВD.

Докажите, что

SОВС = SОАD.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: § 2, вопрос 6, с. 134; №№ 477, 476а, 479 (а).

Для желающих.

1. В четырехугольнике диагонали равны 8 см и 12 см и пересекаются под углом 30° друг к другу. Найдите площадь этого четырехугольника.

Решение

hello_html_ec712e3.png

SАВСD = SАВС + SАDС =

hello_html_m57adc99f.gifhello_html_6f957552.gif

hello_html_m33fd50af.gif,

SАВСD = hello_html_m70158a6b.gif = 24 (см2).

2. В треугольнике точка пересечения биссектрис удалена от прямой, содержащей одну из сторон на 1,5 см. Периметр треугольника равен 16 см. Найдите его площадь.

Решение

hello_html_m2fc0e862.png

1. Расстояние от точки пересечения биссектрис до прямых, содержащих стороны треугольника, равны как радиусы вписанной окружности.

SАВС = SАВО + SВОС + SАОС=

hello_html_fb4dace.gif

= hello_html_43a7d4d3.gifr (AB + BC + AC) = hello_html_43a7d4d3.gif ∙ 1,5 ∙ 16 = 12 (см2).

Урок 22
ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ


Цели: доказать теорему о площади трапеции; познакомить учащихся с методами решения задач по этой теме.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.


472.

hello_html_1732ec43.png

SАВС = hello_html_2e0d3db4.gif, так как hello_html_m3d5bd492.gif.

АС = hello_html_m56e44589.gif, 168 = hello_html_43927edd.gif,

ВС2 = hello_html_2f551457.gif , ВС2 = 24 · 24,

ВС = 24 см, АС = 14 см.

479 (а).

hello_html_192d85bd.png

hello_html_5ee87401.gif,

hello_html_m7bb00e31.gif,

SАDE = hello_html_m234df93c.gif = 2 (см2).

II. Объяснение нового материала.

Доказательство теоремы о площади трапеции можно предложить учащимся разобрать самостоятельно.

III. Закрепление изученного материала.

Решить задачу.

Дано: S = 18 см2, а = 2 см, b = 7 см.

Найти: h.

Ответ: h = 4 cм.

480 (в).

Решение

hello_html_6d44f382.png

SАВСD = hello_html_22d1d66a.gifBC,

SАВСD = hello_html_79eea69d.gif ∙ 8,

SАВСD = 72 (см2).

481.

Решение

hello_html_m615ab539.png

hello_html_7fbabcd7.gifВСD = 135°, hello_html_7fbabcd7.gifВСЕ = 90°,

hello_html_7fbabcd7.gifЕСD = 45°, hello_html_7fbabcd7.gifСDЕ = 45°.

Имеем hello_html_1ab116aa.gifСDЕ – равнобедренный, то есть СЕ = ЕD.

Четырехугольник АВСЕ – квадрат, поэтому АВ = СЕ = ВС = АЕ.

SАВСD = hello_html_m1078e358.gifAB = hello_html_6c08e96b.gif ∙ 6 = 36 (см2).

482.

Решение

hello_html_m4ac231c0.png

hello_html_7fbabcd7.gifВСD = 135°, hello_html_7fbabcd7.gifNСL = 45°,

hello_html_7fbabcd7.gifNСD = hello_html_7fbabcd7.gifСDN = 45° hello_html_m7646c166.gif

= ND = 1,4 см;

МN = AN – MN = 3,4 – 1,4 = 2 (см);

МN = ВС.

SАВСD = hello_html_m1078e358.gifNC = hello_html_642b536d.gif ∙ 1,4 = 4,76 (см2).

IV. Итоги урока.

hello_html_m208dbbbc.png

Sтрапеции = hello_html_m2ee9b28d.gif

Домашнее задание: § 2, вопрос 7, с. 134; №№ 480 (8), 481,478,476.

Для желающих.

В трапеции АВСD, АD – большее основание, hello_html_7fbabcd7.gifD = 60°. Биссектрисы углов С и D пересекаются в точке 0, ОD = а, ВС = b, АD = с. Найдите площадь трапеции.

Решение

hello_html_m6adf1946.png

hello_html_1ab116aa.gifСDЕ – равносторонний, так как hello_html_7fbabcd7.gifМСD = hello_html_7fbabcd7.gifСDМ =
= hello_html_7fbabcd7.gifСМD = 60°.

СМ = ОD, то есть ОD – высотаhello_html_1ab116aa.gifМСD.

В равностороннем треугольнике высоты равны.

SАВСD = hello_html_m1078e358.gifOD = hello_html_m540d2a64.gifa.



Уроки 23-24
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ФИГУР

Цель: познакомить учащихся с методами решения задач по теме «Площадь многоугольников».

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Обсудить решение домашних задач.

2. Выполнить задания (устно):

hello_html_m6d76688d.png

1) АВСD – ромб.

ВD = 18 см, АС = 10 см.

Найти: SАВСD.

hello_html_m371d044.png

2) АВСD – равнобокая трапеция.

Найти: SАВСD.

II. Решение задач.

477.

Решение

hello_html_c0e9ed1.png

Пусть АС = х, тогда ВD = 1,5х,

SАВСD = hello_html_43a7d4d3.gifАС · ВD,

27 = hello_html_43a7d4d3.gifxhello_html_m7153b43a.gifx; 27 = hello_html_m1796a8d9.gifx2.

х2 = 36; х = 6.

АС = 6 см, ВD = 9 см.

478.

Решение

hello_html_m73622b4a.png

1) SАВСD = SАВС + SАDС.

2) ВО – высота hello_html_1ab116aa.gifАВС, а высота hello_html_1ab116aa.gifАDС, поэтому SАВС = hello_html_43a7d4d3.gifАС · ВО,

SАDС = hello_html_43a7d4d3.gifАС · ОD.

Следовательно

SАВСD = hello_html_43a7d4d3.gifАС · ВО + hello_html_43a7d4d3.gifАС · ОD = hello_html_43a7d4d3.gifАС (ВО + ОD);

SАВСD = hello_html_43a7d4d3.gifАС · ВD.

Задача 1. В трапеции АВСD АD – большее основание, hello_html_7fbabcd7.gifD = 60. Биссектрисы углов С и D пересекаются в точке О, ОD = а, ВС = b, АD = с. Найдите площадь трапеции.

Решение

hello_html_m389f53c7.png

1) Проведем ОМ hello_html_288e00d2.gifВС, ОK hello_html_288e00d2.gifСD и ОР hello_html_288e00d2.gif АD.

2) Из равенства прямоугольных треугольников МСО и KСО следует, что ОМ = ОK.

3) из равенства прямоугольных треугольников ОРD и ОKD следует, что ОK = ОР.

4) Имеем ОМ = ОР = ОK.

5) В прямоугольном треугольнике KОD катет ОK лежит против угла в 30 и равен половине гипотенузы, то есть ОK = hello_html_m40b32e55.gif.

6) SАВСD = hello_html_43a7d4d3.gif(ВС · АD) · МР; SАВСD = hello_html_43a7d4d3.gif(b + с).

Задача 2. Четырехугольник, у которого диагонали пересекаются под прямым углом, имеет площадь 250 см2. Найдите его диагонали, если известно, что одна больше другой в 5 раз.

Ответ: 10 и 50 см.

III. Итоги урока.

hello_html_424c0de9.png

SАВСD = hello_html_43a7d4d3.gifd1 · d2 – площадь
четырехугольника, где d1 и d2
диагонали.

Домашнее задание: вопросы 1–7, с. 133–134; №№ 476 (б), 467, 466.























Урок 25
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Цели: доказать теорему Пифагора и обратную ей теорему, рассмотреть решение задач с применением этих теорем.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

466.

Решение

hello_html_m3135dda2.png

1) ВЕ – высота в равнобедренном треугольнике и медиана АЕ = ЕD = 7,6 см.

2) hello_html_1ab116aa.gifАВЕ – прямоугольный и равнобедренный АЕ = ВЕ = 7,6 см.

3) SАВСD = (15,2 · 7,6) = 115,52 см2.

Решить задачи (устно):

1. α = 3β. Найти β.

hello_html_598317ca.png

2. α + γ = β. Найти β.

hello_html_47fa1569.png

3. Найти площадь четырехугольника ВDАС.

hello_html_m3c10cf2a.png

II. Изучение нового материала.

1. Доказательство теоремы провести с помощью учащихся.

2. Для закрепления теоремы можно предложить учащимся устные задачи на вычисление:

hello_html_m163a8769.png

а) а = 6 см; b = 8 см.

Найти: с.

б) с = 5 см, b = 3 см.

Найти: а.

3. Напомнить учащимся понятие обратной теоремы. Всегда ли она верна? Разобрать вопросы из домашнего задания.

4. Сформулировать с помощью учащихся теорему, обратную теореме Пифагора.

5. Доказательство теоремы Пифагора.

6. Рассказать учащимся о том, что хотя эта теорема и связана с именем Пифагора, она была известна задолго до него.

III. Закрепление изученного материала.

Решить задачи: №№ 483 (г), 484 (а, в), 498 (в, д).

IV. Итоги урока.

hello_html_79994875.png

1) если hello_html_7fbabcd7.gifС = 90°, то с2 = а2 + b2;

2) если с2 = а2 + b2, то hello_html_7fbabcd7.gifС = 90°.

Домашнее задание: § 3, п. 54, 55, вопросы 8–10, с. 134; №№ 483 (в), 484 (б, г), 498 (б, г, ж). Существует более ста доказательств теоремы Пифагора. По желанию подготовить сообщения с 5–6 доказательствами теоремы Пифагора.

Для желающих.

1. С помощью теоремы Пифагора доказать, что в прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.

Доказательство

hello_html_m11d2700f.png

По теореме Пифагора АВ2 = АС2 + ВС2.

Так как ВС2 > 0, то АС2 < АВ2, то есть АС < АВ.

2. Подготовить сообщения об истории теоремы Пифагора.



































Урок 26
ТЕОРЕМА, ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМЕ ПИФАГОРА


Цель: рассмотреть решение задач с помощью теоремы Пифагора и теореме, обратной Пифагора

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Записать теорему Пифагора для треугольников.

1)

hello_html_f1e151f.png

2)

hello_html_m5f20ed20.png

3) АВСD – ромб.

hello_html_m4a05b762.png

4) АВСD – прямоугольник.

hello_html_55cd5d58.png

5)

hello_html_m6cd59cbb.png

6) – высота.

hello_html_136587c7.png

II. Решение задач.

485.

1) hello_html_7fbabcd7.gifА = 90° – 60° = 30°.

2) св = hello_html_6a747cdf.gif, как катет, лежащий против угла в 30°.

hello_html_m37631c8d.png

3) По теореме Пифагора

АВ2 = АС2 + СВ2, АС2 = АВ2СВ2

АС2 = с2hello_html_m299b23fc.gif = hello_html_40c2550d.gif, АС = hello_html_m54d56a05.gif.

Решить устно:

На какое расстояние надо отодвинуть от стены дома нижний конец лестницы длиною 17 м, чтобы верхний конец ее достал до слухового окна, находящегося на высоте 15 м от поверхности земли.

Решение

hello_html_m56c72417.png

hello_html_1ab116aa.gifАВС прямоугольный.

По теореме Пифагора

АВ2 = АС2 + ВС2,

ВС2 = АВ2АС2,

ВС = hello_html_m55c444c2.gif=
= hello_html_582f640e.gif = 8 (м).

488 (а).

hello_html_1d800f13.png

1) ВD – высота и медиана равностороннего треугольника, поэтому = 3 см.

2) hello_html_1ab116aa.gifВСD – прямоугольный. По теореме Пифагора имеем

ВС2 = ВD2 + 2,

ВD2 = ВС22,

ВD = hello_html_7b2f316c.gif=hello_html_m7b53016a.gif.

493.

Решение

hello_html_abcc7a2.png

1) По свойству диагоналей ромба ВО =
= ОD
= 12 см, АО = ОС = 5 см.

2) По свойству ромба hello_html_7fbabcd7.gifВОС = 90°.

3) По теореме Пифагора в hello_html_1ab116aa.gifВОС имеем ВС2 = ВО2 + ОС2.

ВС = hello_html_m67057136.gif = 13 (см).

4) SАВСD = hello_html_43a7d4d3.gifВD · АС.

SАВСD = hello_html_43a7d4d3.gif · 24 · 10 = 120 (см2).

495 (а).

hello_html_m38999fe.png

1) ВЕ – высота трапеции.

hello_html_1ab116aa.gifВСЕ – прямоугольный.

2) По теореме Пифагора имеем в hello_html_1ab116aa.gifВСЕ:

ВС2 = ЕС2 + ВЕ2, ВЕ2 = ВС2ЕС2.

3) ЕС = hello_html_m4740d505.gifпо свойству равнобокой трапеции ЕС = hello_html_m3e08dd57.gif = 5 (см).

4) ВЕ = hello_html_4da77b60.gif= 12 (см).

III. Итоги урока.

При решении задач с применением теоремы Пифагора нужно:

1) указать прямоугольный треугольник;

2) записать для него теорему Пифагора;

3) выразить неизвестную сторону через две другие;

4) подставив известные значения, вычислить неизвестную сторону.

Домашнее задание: №№ 488, 499Б, 498 (б).

Для желающих.

Задачи древнекитайского ученого Цзинь Киу-чау, 1250 лет до н. э.

1. Бамбуковый ствол 9 футов высотой переломлен бурей так, что если верхнюю часть его нагнуть к земле, то верхушка коснется земли на расстоянии 3 футов от основания ствола. На какой высоте переломлен ствол?

Решение

hello_html_m19a7c34a.png

а + с = 9 футов, b = 3 фута,

с = 9 – а.

hello_html_1ab116aa.gifАВС – прямоугольный.

По теореме Пифагора

с2 = а2 + b2,

(9 – а)2 = а2 + 32,

81 – 18а + а2 = а2 + 9.

18а = 72,

а = 4.

2. В центре квадратного пруда, имеющего 10 футов в длину и ширину, растет тростник, возвышающийся на 1 фут над поверхностью воды. Если его пригнуть к берегу, к середине стороны пруда, то он достигнет своей верхушкой берега. Какова глубина пруда?

hello_html_2a31095c.png

Решение

АО = 5 футоврасстояние от центра квадрата до середины стороны.

hello_html_7879f3a4.png

АВ = О1В

hello_html_1ab116aa.gifОАВ – прямоугольный.

По теореме Пифагора

АВ2 = АО2 + ОВ2.

Пусть Ов = х футов, тогда АВ = (1 + х) футов. Имеем

(1 + х)2 = 52 + х2,

1 + 2х + х2 = 25 + х2,

х = 12,

ОВ = 12 футов.























Урок 27
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Цели: продолжить рассматривать решение задач с помощью теоремы Пифагора и проверить навыки решения задач по этой теме.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Заслушать сообщения о других доказательствах теоремы Пифагора.

2. Ответить на возможные вопросы по домашнему заданию.

II. Решение задач.

517 (разобрать решение без записи в тетрадь).

Решение

hello_html_m429ff6a8.png

1) Рассмотрим hello_html_1ab116aa.gifАВС. Сторона ВС – наибольшая. Проверим, не выполняется ли в нем условие

ВС2 = АВ2 + АС2

132 = 122 + 52

169 = 144 + 25

169 = 169.

hello_html_1ab116aa.gifАВС – прямоугольный по теореме, обратной теореме Пифагора.

2) Аналогично доказывается, что hello_html_1ab116aa.gifАDС – прямоугольный с прямым углом DСА.

3) SАВСD = SАВС+ SDАС = hello_html_43a7d4d3.gifАВ · АС + hello_html_43a7d4d3.gifАС · DС = hello_html_43a7d4d3.gifАС (АВ + DС) =
= hello_html_43a7d4d3.gif · 12 (5 + 9) = 84 (см2).

496.

Решение

1) Пусть АD = ВС = х.

Тогда ВD = 3 – х.

hello_html_27578408.png

2) По теореме Пифагора для треугольника ВСD

х2 = (3 – х)2 + hello_html_m11f14aa1.gif;

х2 = 9 – 6х + х2 + 3;

6х = 12;

х = 2;

ВС = 2 см.

3) По теореме Пифагора для треугольника АСD.

AC = hello_html_m272ea041.gif(см).

497 (без записи в тетрадь).

Решение

hello_html_2abc83e7.png

hello_html_1ab116aa.gifАВD – прямоугольный.

По теореме Пифагора

АВ2 = BD2 + AD2,

BD = hello_html_10b576fa.gif,

BD = hello_html_m438313e.gif,

AD + AB – полупериметр.

AD + AB = 25 (см).

ВD = hello_html_1ed6d440.gif = 5 (см).

489.

hello_html_m32693266.png

1) ВD – высота hello_html_1ab116aa.gifАВС, которая является и медианой.

АD = DС = hello_html_m40b32e55.gif.

2) hello_html_1ab116aa.gifАВD прямоугольный по теореме Пифагора.

ВD = hello_html_19bf45ab.gif

SАВС = hello_html_43a7d4d3.gifВD · АС = hello_html_43a7d4d3.gif· hello_html_3bd00d40.gif · a = hello_html_6252fadd.gif.

III. Самостоятельная работа.

Вариант I

В прямоугольной трапеции основания равны 22 см и 6 см, большая боковая сторона – 20 см. Найдите площадь трапеции.

Вариант II

В прямоугольной трапеции боковые стороны равны 7 см и 25 см, а меньшее основание равно 2 см. Найдите площадь трапеции.

Вариант III
(для более подготовленных учащихся)

Диагональ АС прямоугольной трапеции АВСD перпендикулярна боковой стороне СD и составляет угол 60° с основанием АD. Найдите площадь трапеции, если АD = 24 см.

IV. Итоги урока.

Площадь равностороннего треугольника S = hello_html_6252fadd.gif, где а – сторона треугольника.

Домашнее задание: №№ 493,489а,в, 491 (а).

Для желающих.

Рассмотреть самостоятельно решение № 524 (вывод формулы Герона











Урок 28
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Цели: вывести формулу Герона, рассмотреть применение ее при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

По готовым на доске чертежам проверить решение задач.

490 (б).

hello_html_m3c100820.png

1) ВD – высота, биссектриса и медиана по свойству равнобедренного треугольника, поэтому hello_html_7fbabcd7.gif1 = hello_html_7fbabcd7.gif2 = 60°,
АD = = 9 см.

2) hello_html_1ab116aa.gifАВD прямоугольный,

hello_html_7fbabcd7.gif3 = 90° – 60° = 30°.

3) ВD – катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, то есть АВ = 2ВD.

4) Пусть ВD = х см, тогда АВ = 2х см.

По теореме Пифагора АВ2 = ВD2 + АD2,

(2х)2 = х2 + 92,

4х2 = х2 + 81,

3х2 = 81,

х = 3hello_html_d09bd3f.gif,

АВ = 6hello_html_d09bd3f.gifсм.

5) SАВС = hello_html_43a7d4d3.gifВD · АС = hello_html_43a7d4d3.gif3hello_html_d09bd3f.gif · 18 = 27hello_html_d09bd3f.gif (см2).

490 (в).

hello_html_5e981552.png

1) СD – высота, биссектриса, медиана.

2) hello_html_1ab116aa.gifАDС – равнобедренный и прямоугольный.

По теореме Пифагора

АС2 = СD2 + АD2.

АС = hello_html_40bed70b.gif= 7hello_html_m3df75b49.gif (см).

SАВС = hello_html_43a7d4d3.gifАС · СВ = hello_html_43a7d4d3.gif · 7hello_html_m3df75b49.gif · 7hello_html_m3df75b49.gif = 49 (см2).

491 (а).

hello_html_339fd43f.png

АВ2 = АС2 + СВ2,

АВ = hello_html_md0a0b65.gif= 13 (см).

АD = х, DВ = 13 – х.

hello_html_1ab116aa.gifАСD (hello_html_7fbabcd7.gifD = 90°) : СD2 = АС2АD2 =
= 25–х2.

hello_html_1ab116aa.gifСDВ (hello_html_7fbabcd7.gifD = 90°) : СD2 = СВ22 =
= 144 – (13 – х)2 = 144 – 169 + 26хх2.

Имеем 25 – х2 = 26хх2 – 25.

26х = 50

х = hello_html_6b2c65d1.gif

СD = hello_html_m15cf325.gif=
= hello_html_m36f3bef6.gif (см).

II. Изучение нового материала.

Рассмотреть решение задачи № 524. Во всяком треугольнике по крайней мере два угла острые. Пусть hello_html_7fbabcd7.gifА и hello_html_7fbabcd7.gifВ – острые углы треугольника АВС. Тогда основание высоты СD лежит на стороне АВ.

hello_html_7b7dcc71.png

Положим АD = х, тогда ВD = сх.

Применяя теорему Пифагора к треугольникам АСD и ВСD, получаем уравнения

b2 = h2 + х2; а2 = h2 + (c – x)2

h2 = b2x2; h2 = а2 – (c – x)2

b2x2 = а2 – (c – x)2

b2 = а2c2 + 2сx

x = hello_html_m370c777e.gif

h2 = b2x2 = (bх) (b + х)

h2 = hello_html_m3aab0cd4.gif

h2 = hello_html_m5b231162.gif

h2 = hello_html_m1a88353.gif

h2 = hello_html_m34208d9.gif=

=hello_html_m70ac2ede.gif

h= hello_html_2ec91620.gif, S = hello_html_43a7d4d3.gifhc = hello_html_5b712fd1.gif.

III. Закрепление изученного материала.

Выполнить № 499 (а).

IV. Итоги урока.

hello_html_m4d5f4842.gif

Домашнее задание: №№ 490 (а), 494, 495 (в); подготовиться к самостоятельной работе; выучить формулы площадей многоугольников.

Для желающих.

Задача Леонарда Пизанского, XIII век.

Две башни в равнине находятся на расстоянии 60 локтей одна от другой. Высота первой башни 50 локтей, высота второй 40 локтей. Между башнями находится колодец, одинаково удаленный от вершин башен. Как далеко находится колодец от основания каждой башни.

Решение

hello_html_44e263e2.png

hello_html_1ab116aa.gifАСВ, hello_html_7fbabcd7.gifС = 90

АВ2 = АС2 + СВ2;

hello_html_1ab116aa.gifВЕD, hello_html_7fbabcd7.gifD = 90

ВЕ2 = ВD2 + ЕD2.

Так как АВ2 = ВЕ2, то

502 + х2 = (60 – х)2 + 402

х = 22,5.

СВ = 22,5; ВD = 37,5.

Ответ: 23 и 38 локтей.

Урок 29
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Цель: закрепить умения учащихся в применении формул площадей многоугольников и теоремы Пифагора при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Ответить на возможные вопросы учащихся по домашнему заданию.

2. Фронтально проверить, знают ли учащиеся формулы площадей многоугольников.

В результате на доске должна получиться запись:

Треугольник S = hello_html_43a7d4d3.gifah.

S = hello_html_m5a07f75a.gif, p = hello_html_m519458c0.gif.

Прямоугольный треугольник – S = hello_html_43a7d4d3.gifab; а и b – катеты.

Равносторонний треугольник – S = hello_html_m1f0432e6.gif; а – сторона треугольника.

Прямоугольник – S = аb.

Квадрат – S = a2.

Параллелограмм – S = a · h.

Ромб – S = hello_html_m303c6ea2.gif; d1, d2 – диагонали ромба.

Трапеция – S = hello_html_m511abba8.gif· h; а, b – основания трапеции.

Кроме того, необходимо напомнить учащимся свойства:

1) Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

2) Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

II. Решение задач.

509.

Решение

hello_html_m67bb9637.png

1) Пусть О – произвольная точка, лежащая внутри равностороннего треугольника АВС (АВ = ВС = АС = а) и ОK, ОМ и ОN перпендикуляры к сторонам этого треугольника.

2) SАВС = SАОВ + SВОС + SСОА =
= hello_html_43a7d4d3.gif(OK · AB + OM · BC + ON · AC);


SАВС = hello_html_43a7d4d3.gifa (OK + OM + ON).

ОK + ОМ + ON = hello_html_1605d55c.gif, то есть сумма ОK + ОМ + ОN не зависит от выбора точки О.

516.

Решение

hello_html_73f320df.png

1) ВD – высота.

2) ВD || MN, ВМ = МС, то по теореме Фалеса DN = NC.

3) hello_html_1ab116aa.gifВСD – прямоугольный, по теореме Пифагора ВС2 = ВD2 + 2.

ВD = hello_html_583a832e.gif=
hello_html_33f21431.gif=hello_html_4408e1b8.gif = 16 (см).

SАВС = hello_html_43a7d4d3.gifAC · BD = hello_html_43a7d4d3.gif40 · 16 = 320 (см2).

518 (б) (без записи в тетрадь).

hello_html_4ccbbbcf.png

ВD = АС и ВО = ОС = х; АО = ОD = у.

1) В прямоугольных треугольниках ВОС и АОD имеем по теореме Пифагора

ВС2 = ВО2 +ОС2; 162 = 2х2, х = 8hello_html_m3df75b49.gif,

АD2 = АО2 +ОD2; 302 = 2у2, у = 15hello_html_m3df75b49.gif,

АС = ВD = 23hello_html_m3df75b49.gif.

2) hello_html_1ab116aa.gifВDЕ – прямоугольный, по теореме Пифагора.

ВD2 = ВЕ2 + 2, ВЕ = hello_html_m7eb230d2.gif= 23 (см).

3) SАВСD = hello_html_43a7d4d3.gif(BC + AD) · BE = hello_html_43a7d4d3.gif(16 + 30) · 23 = 529 (см2).

III. Самостоятельная работа.

Вариант I

1. В треугольнике АВС hello_html_7fbabcd7.gifА = 45°, ВС = 13, а высота ВD отсекает на стороне АС отрезок, равный 12 см. Найти площадь hello_html_1ab116aa.gifАВС и высоту, проведенную к стороне ВС.

2. В параллелограмме АВСD ВK делит сторону АD на отрезки АK и KD. Найдите стороны параллелограмма, если ВK = 12, АK = 5, ВD = 15.

Вариант II

1. В треугольнике АВС hello_html_7fbabcd7.gifВ = 45°, высота делит сторону ВС на отрезки BN = 8 см, NC = 6 см. Найдите площадь треугольника АВС и сторону АС.

2. Диагональ прямоугольника равна 52 мм, а стороны относятся как 5 : 12. Найти его периметр.

Вариант III
(для более подготовленных учащихся)

1. В треугольнике АВС hello_html_7fbabcd7.gifА = 30°, hello_html_7fbabcd7.gifВ = 75°, высота ВD равна 6 см. Найдите площадь треугольника АВС.

2. Высота ВK ромба АВСD делит сторону АD на отрезки АK = 6 см, KD = 4 см. Найдите площадь ромба и его диагонали.

Вариант IV
(для очень слабо подготовленных учащихся)

1. Дан прямоугольный треугольник ОМK (hello_html_7fbabcd7.gifK = 90°). Запишите теорему Пифагора для этого треугольника и найдите сторону МK, если ОK = 15 см, ОМ = 17 см.

2. В прямоугольнике проведена диагональ. Найдите длину диагонали, если известны стороны прямоугольника – 8 см и 15 см.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе; №№ 503, 518, 497,490в.

Урок 30
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

Цель: проверить знания, умения и навыки учащихся решать задачи по теме «Площадь. Теорема Пифагора».

Ход урока

I. Организация учащихся на выполнение работы.

II. Выполнение работы по вариантам.

Вариант I

1. Смежные стороны параллелограмма равны 32 см и 26 см, а один из его углов равен 150°. Найдите площадь параллелограмма.

2. Площадь прямоугольной трапеции равна 120 см2, а ее высота равна 8 см. Найдите все стороны трапеции, если одно из оснований больше другого на 6 см.

3. На стороне АС данного треугольника АВС постройте точку D так, чтобы площадь треугольника АВD составила одну треть площади треугольника АВС.

Вариант II

1. Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой и равна 9 см. Найдите стороны этого параллелограмма, если его площадь равна 108 см2.

2. Найдите площадь трапеции АВСD с основаниями АD и ВС, если АВ = 12 см, ВС = 14 см, АD = 30 см, hello_html_7fbabcd7.gifВ = 150°.

3. На продолжении стороны KN данного треугольника KМN постройте точку Р так, чтобы площадь треугольника NMP была в два раза меньше площади треугольника KМN.

Вариант III
(для более подготовленных учащихся)

1. Стороны параллелограмма равны 12 см и 8 см, а угол между высотами, проведенными из вершины тупого угла, равен 30°. Найдите площадь параллелограмма.

2. Середина М боковой стороны CD трапеции АВСD соединена отрезками с вершинами А и В. Докажите, что площадь треугольника АВМ в два раза меньше площади данной трапеции.

3. Точки А1, В1, С1 лежат соответственно на сторонах ВС, АС, АВ треугольника АВС, причем АВ1 = hello_html_m45e004c1.gifAC, CA1 = hello_html_m45e004c1.gifCB, BC1 = hello_html_m45e004c1.gifBA. Найдите площадь треугольника А1В1С1, если площадь треугольника АВС равна 27 см2.

III. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить свойства пропорций.





















Урок 29
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Цели: дать определение пропорциональных отрезков, рассмотреть свойство биссектрисы треугольника и применение этого свойства при решении задач.

Ход урока

I. Анализ контрольной работы.

1. Сообщение итогов контрольной работы.

2. Ошибки, допущенные учащимися в ходе работы.

3. Решение на доске задач, вызвавших затруднения у учащихся.

II. Изучение нового материала.

1. Ввести понятие пропорциональных отрезков.

2. Решить устно №№ 533, 534 (а, б).

3. Разобрать решение задачи № 535 (свойство биссектрисы треугольника).

III. Закрепление изученного материала.

536 а.

Решение

hello_html_m676fce75.png

1) По свойству биссектрисы треугольника

hello_html_m5c7a02d6.gif

АВ = hello_html_m5b9dd4b.gif= 15 (см).

538.

hello_html_32fe4945.png

1) РАВС = АВ + ВС + АС

42 = АВ + АС + 13,5 + 4,5

АВ + АС = 24.

2) Пусть АВ = х, тогда

АС = 24 – х.

3) По свойству биссектрисы треугольника

hello_html_3d46fad5.gif.

4,5х = 13,5 (24 – х)

18х = 324

х = 18.

АВ = 18 см, АС = 6 см.

540.

hello_html_m10616644.png

1) РСDЕ = СD + DЕ + СЕ

55 = СD + DЕ + 20

СD + DЕ = 35.

2) Пусть СD = х, = 35 – х.

3) Диагональ DF является биссектрисой угла СDЕ по свойству ромба.

4) По свойству биссектрисы треугольника

hello_html_2de5bdb.gif

12х = 8 (35 – х)

20х = 8 · 35

х = hello_html_34ca7910.gif= 14.

CD = 14 см, = 21 см.

Задача. Из одной вершины треугольника проведены биссектриса, высота и медиана, причем высота равна 12 см и делит сторону на отрезки, равные 9 см и 16 см. Найдите стороны треугольника и отрезки, на которые данную сторону делят основания биссектрисы и медианы.

Решение

hello_html_686d5ec9.png

1) ВD – высота, BN – медиана и ВЕ – биссектриса.

2) Треугольники СВD, АВD – прямоугольные.

АВ2 = АD2 + ВD2 и ВС2 = ВD2 + 2

АВ = hello_html_14df7c84.gif= 15 (см)

ВС = hello_html_m7d9638de.gif= 20 (см)

3) АС = АD + DС = 9 + 16 = 25.

Пусть АЕ = х, тогда ЕC = 25 – х.

4) По свойству биссектрисы треугольника

hello_html_3e6a4dcd.gif

20х = 15 · 25 – 15х

35х = 15 · 25

х = hello_html_m4596b399.gif

АЕ = 10hello_html_658868b7.gif см, ЕС = 14hello_html_m65c8f3de.gif (см).

5) AN = NC = hello_html_f7633d.gif = 12,5 (cм).

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 1 и 2, с. 160; №№ 534 (в), 535, 536 (б), 538, 542; повторить теорему об отношении площадей треугольников с равным углом.

Для желающих.

Докажите, что биссектриса внешнего угла треугольника АВС обладает аналогичным свойством, что и для внутреннего, то есть если для внешнего угла В провести биссектрису до продолжения с прямой, содержащей противоположную сторону, то: hello_html_4e903bba.gif.

Решение

hello_html_m5d71e224.png

1) Продолжим сторону ВС за точку В на отрезок ВD, равный АВ.

2) hello_html_1ab116aa.gifDВЕ = hello_html_1ab116aa.gifАВЕ по I признаку равенства треугольников, поэтому = АЕ и ЕВ – биссектриса угла DЕС.

3) Тогда для треугольника DЕС имеем hello_html_m1f66276b.gif, поскольку АЕ = DЕ и DВ = АВ, получили hello_html_4e903bba.gif.

Урок 32
ОТНОШЕНИЕПЛОЩАДЕЙ ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Цели: ввести определение подобных треугольников; доказать теорему об отношении площадей подобных треугольников и рассмотреть применение их при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1.

hello_html_mb24343f.png

Устно:

SBMN = 7 см2.

SАBС?

Ответ: hello_html_m2bc65b16.gif.

SАBС = 28 см2.

2.

hello_html_m3ec5391.png

hello_html_2b63552f.gif.

SАОС = 4 см2.

SBОK?

1) hello_html_2dc41293.gifSBОD = 6 см2;

2) hello_html_m250e4030.gifSBОK = 1,5 см2.

II. Изучение нового материала.

1. Ввести определение подобных треугольников.

2. Решить задачи устно:

а) hello_html_1ab116aa.gifАВС hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifА1В1С1, hello_html_7fbabcd7.gifА = 30°, hello_html_7fbabcd7.gifВ = 85°, hello_html_7fbabcd7.gifС = 65°.

Чему равны hello_html_7fbabcd7.gifА1, hello_html_7fbabcd7.gifВ1, hello_html_7fbabcd7.gifС1?

б) hello_html_1ab116aa.gifАВС hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifС1А1В1, АВ = 3 см, ВС = 4 см, АС = 6 см,

А1В1 = 12 см. Вычислите В1С1 и А1С1.

Ответ: В1С1 = 18 см, А1С1 = 9 см.

3. Доказательство теоремы об отношении площадей подобных треугольников.

III. Закрепление изученного материала.

№№ 544, 545, 548.

545.

Решение

hello_html_1ab116aa.gifАВС hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifА1В1С1

hello_html_m14b46107.gif;

Пусть hello_html_76cdeac7.gif= x, тогда SАВС = х + 77.

Имеем hello_html_m38183d0b.gif;

36х = 25х + 77 · 25

11х = 77 · 25

х = 7 · 25

х = 175.

Ответ: hello_html_76cdeac7.gif= 175 см2, SАВС = 252 см2.

548.

Решение

hello_html_1ab116aa.gifАВС hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifА1В1С1, тогда

А1В1 = k АВ, А1С1 = k АС и В1С1 = k ВС, то получим

hello_html_502531c2.gif.

hello_html_6b40bb05.gif= 40.

IV. Итоги урока.

I. hello_html_1ab116aa.gifАВС hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifА1В1С1hello_html_m7646c166.gifhello_html_7fbabcd7.gifВ = hello_html_7fbabcd7.gifВ1 и hello_html_m3015bd1f.gif= k.

II. hello_html_1ab116aa.gifАВС hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifА1В1С1hello_html_m7646c166.gifhello_html_m57f6b615.gif= k2.

III. hello_html_1ab116aa.gifАВС hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifА1В1С1hello_html_m7646c166.gifhello_html_520c8899.gif= k.

Домашнее задание: вопросы 3 и 4, с. 160; №№ 544, 546, 549.

Для желающих.

1. В трапеции АВСD (АD || ВС) АС – биссектриса угла А делит трапецию на два подобных треугольника АВС и АСD, АВ = 9 см, СD = 12 см. Найдите периметр трапеции.

Решение

hello_html_m4484551a.png

1) hello_html_7fbabcd7.gif2 = hello_html_7fbabcd7.gif3, как внутренние накрест лежащие углы при ВС || АD и секущей АС.

2) hello_html_1ab116aa.gifАВС равнобедренный, АВ =
= ВС
.

3) hello_html_1ab116aa.gifАВС hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifАСD hello_html_m7646c166.gif hello_html_md2ec950.gif = k;

k = hello_html_m3504d2d1.gif.

4) hello_html_m59f23f7e.gif = k2; hello_html_7cb6d6e.gif; AD = 18.

5) РАВСD = 8 + 8 + 12 + 18 = 46 (см).

2. Прямая , параллельная стороне АС треугольника АВС, отсекает от него треугольник DВЕ, стороны которого в четыре раза меньше сторон данного треугольника. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь трапеции АDЕС равна 30 см2.

Решение

hello_html_1ab116aa.gifАВС hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifDВЕ, k = 4.

Пусть SDВЕ = х, тогда SАВС = х + 30,

имеем hello_html_9a2a74d.gif = k2; hello_html_m2572efd0.gif; x + 30 = 16x; x = 2.

SАВС = 32 (см2).

Урок 33
ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Цели: доказать первый признак подобия треугольников.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. № 543.

Решение

1) Пусть hello_html_1ab116aa.gifАВС hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifА1В1С1, с коэффициентом подобия k, АН и А1Н1 – высоты.

2) hello_html_m53f2832a.gif.

3) Имеем hello_html_m5f9edc93.gif или hello_html_m687164d.gif.

2. Выполнить устно:

а)

hello_html_7e1e3380.png

СА1 = А1А2 = А2А3 = А3А4

А1В1 || А2В2 || А3В3 || А4В4

СВ4 = 12 см, hello_html_4ef6e363.gif= 32 cм2.

Найдите:

а) В1В2, В2В4;

б) hello_html_56b3058e.gif.

б)

hello_html_6e61a12f.png

ВС = 6 см.

Найти:

а) ВD и СD;

б) SАСD : SАВD.


в) SАВС = 36 см2.

Найти:

а) SCMN; б) SAKN; в) SВMNK.

hello_html_m6950d352.png

II. Изучение нового материала.

Доказательство первого признака подобия треугольников.

III. Закрепление изученного материала.

550.

а)

hello_html_256e535.png

Решение

Данные прямоугольные треугольники подобны (по двум углам).

hello_html_802ac95.gif= 9.



б)

hello_html_4d314627.png

А1В1 = hello_html_m1241e6c4.gif= 6.

hello_html_m48b221cb.gif; 8y = 28 ∙ 6; y = 21.



551 (а).

hello_html_m40247674.png

1) hello_html_1ab116aa.gifFBA hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifFCЕ (по двум углам), так как hello_html_7fbabcd7.gifFCЕ = hello_html_7fbabcd7.gifСВА как соответственные при
СD || АВ и секущей СF.

hello_html_7fbabcd7.gifСFЕ – общий.

2) hello_html_m7a83b9de.gif, СF = x,

hello_html_m5a3417e6.gif; 12x = 4x + 28; х = 3,5.

СF = 3,5 см.

2) СF = y, hello_html_m27d9e082.gif; hello_html_m4525248b.gif;

12у = 4у + 40; у = 5.

EF = 5 см.

553 (а), № 561 – устно.

IV. Итоги урока.

1. Для того чтобы записать пропорциональность сторон подобных треугольников, нужно:

1) выяснить, при каких вершинах углы равны;

2) определить, какие стороны являются сходственными (лежат против равных углов);

3) записать пропорцию, где в числителях – стороны одного треугольника, в знаменателях – сходственные им стороны другого.

2. В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны сходственным высотам.

Домашнее задание: вопросы 1–5, с. 160; №№ 551 (б), 552 (а), 553,550 .

Для желающих.

На чертеже изображен шлагбаум, закрывающий проезд через железнодорожное полотно. На сколько опустится короткий конец шлагбаума, если больший поднимается на 2 м?

hello_html_m5e28617a.png

hello_html_m461cbec3.png

Решение

hello_html_1ab116aa.gifAВО hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifDСО.

hello_html_348c7285.gif; hello_html_m334c2afe.gif;

6AB = 2 ∙ 0,9; AB = 0,3.


Урок 34
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Цели: закрепить знания учащихся в ходе решения задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Устно: найти пары подобных треугольников:

а) hello_html_9f055aa.png

По этому же чертежу можно проверить решение домашней задачи № 552 (а).

АВСD – трапеция.

б)

hello_html_m5aae2eb9.png

Ответ:

1)hello_html_1ab116aa.gifВЕFhello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifCМF, так как
hello_html_7fbabcd7.gifЕFВ=hello_html_7fbabcd7.gifСFМ и hello_html_7fbabcd7.gifЕВF== hello_html_7fbabcd7.gifFCМ.

2) hello_html_1ab116aa.gifFCМ hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifНCМ, так как
hello_html_7fbabcd7.gifFМС=hello_html_7fbabcd7.gifDМН и hello_html_7fbabcd7.gifFСМ== hello_html_7fbabcd7.gifМDН.

3) hello_html_1ab116aa.gifВЕF hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifDМН, так как
hello_html_7fbabcd7.gifЕFВ=hello_html_7fbabcd7.gifМНD и hello_html_7fbabcd7.gifВЕF== hello_html_7fbabcd7.gifDМН.

АВСD – параллелограмм.

в)

hello_html_m430622a0.png

Ответ:

1) hello_html_1ab116aa.gifАВD hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifАCВ.

2) hello_html_1ab116aa.gifАВС hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifВDC.

3) hello_html_1ab116aa.gifАВD hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifВDС.

г) hello_html_2f512755.png



Ответ:

hello_html_1ab116aa.gifАВС hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifDСА.



II. Решение задач.

1. № 556 (решена в учебном пособии).

2. № 557 (а, б).

Решение

а)

hello_html_m50ee08a8.png

hello_html_7fbabcd7.gif1 = hello_html_7fbabcd7.gif2 как соответственные при ВС || DЕ и секущей АD.

hello_html_7fbabcd7.gifА – общий для треугольников АВС и АDЕ.

hello_html_1ab116aa.gifАВС hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifАDЕ (по двум углам)

hello_html_m7dff9c6.gif; AB = AD = BD.

hello_html_m309bb906.gif; 22x = 14x + 140;

x = 17,5. АС = 17,5 см.

б) hello_html_m7dff9c6.gif; BD = x; DE = y,

hello_html_32761b45.gif; x = 5; BD = 5 см.

hello_html_m124e9f5d.gif; hello_html_m29ea3fad.gif; y = 6; BC = 6 см.

III. Самостоятельная работа обучающего характера.

Вариант I

hello_html_6eddec7d.png

BC = 12 cм, = 6 cм, СN = 4 cм.

Найдите АС.

Вариант II

hello_html_16c0ebd.png

BC = 12 cм, АЕ = 10 cм, EF = 6 cм.

Найдите АВ.

Вариант III

hello_html_m5ffdd050.png

hello_html_7fbabcd7.gif3 = hello_html_7fbabcd7.gif1 + hello_html_7fbabcd7.gif2, CD = 4 cм,
ВС = 9 cм.

Найдите АС.

Решение полезно проверить на этом же уроке с помощью закрытой доски.

Вариант I

hello_html_1ab116aa.gifАСВ hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifNCM (hello_html_7fbabcd7.gifС – общий, hello_html_7fbabcd7.gifN = hello_html_7fbabcd7.gifA).

hello_html_m69b1c454.gif; hello_html_692664fd.gif; AC = 8 (см).

Вариант II

hello_html_1ab116aa.gifАСВ hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifAFE (hello_html_7fbabcd7.gifA – общий, hello_html_7fbabcd7.gifF = hello_html_7fbabcd7.gifC).

hello_html_477d9b7d.gif; hello_html_65131959.gif; AB = 20 (см).

Вариант III

hello_html_1ab116aa.gifАСDhello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifВСA(hello_html_7fbabcd7.gifС–общий,hello_html_7fbabcd7.gif3=hello_html_7fbabcd7.gif2+hello_html_7fbabcd7.gifВ,hello_html_7fbabcd7.gif3=hello_html_7fbabcd7.gif2+ hello_html_7fbabcd7.gif1 hello_html_m7646c166.gifhello_html_7fbabcd7.gifВ = hello_html_7fbabcd7.gif1).

hello_html_2c7cf4bf.gif; AC2 = CDBC; AC2 = 36, AC = 6.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 1–5, с. 160; №№ 557 (в), 558,556,552а,б.

для желающих.

hello_html_223b3c4d.png

АМKТ – параллелограмм,

ТK : МK = 6 : 5, АВ = 20; АС = 25.

Найти: АТ.

Решение

hello_html_7fbabcd7.gif1 = hello_html_7fbabcd7.gif2 как соответственные углы при МK || АС и секущей ВС.

hello_html_7fbabcd7.gif4 = hello_html_7fbabcd7.gif3 как соответственные углы при АВ || ТK и секущей ВС.

hello_html_1ab116aa.gifМВK hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifТKС (по двум углам).

Пусть ТK = 6х, МK = 5х.

hello_html_m745c6e43.gif; hello_html_m42c4503c.gif; 30x2 = 500 – 250x + 30x2; x = 2.АТ = 10.

Урок 35

ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Цели: доказать второй признак подобия треугольников, рассмотреть решение задач с применением изученных признаков подобия.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания (и анализ самостоятельной работы, если не успели на предыдущем уроке).

Выполнить устно:

hello_html_m2a373407.png

АВСD – параллелограмм,

= 2, ВЕ : ЕС = 1 : 4.

Найти: ВD.

Решение

ВС = АВ, тогда ВЕ : АD = 1 : 5.

hello_html_1ab116aa.gifВЕМ hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifDМА по двум углам.

hello_html_3b36a529.gif; hello_html_4e539e9e.gif; BM = 0,4.

II. Объяснение нового материала.

Доказательство второго признака подобия треугольников.

III. Закрепление изученного материала.

Решение задач.

1. Докажите, что два прямоугольных треугольника подобны, если катеты одного из них пропорциональны катетам другого.

2. ОА = 6 см, АС = 15 см, ОВ = 9 см, ВD = 5 см, АВ = 12 см. Найдите СD.

hello_html_e22e83e.png

Решение

1) ОD = ОВ + ВD = 9 + 5 = 14 (см).

ОС = ОА + АС = 6 + 15 = 21 (см).

2) Угол О общий для треугольников ВОА и СОD.

hello_html_18d04aa4.gif

hello_html_1ab116aa.gifВОА hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifСОD по II признаку подобия треугольников.

3) hello_html_mc17624e.gif; hello_html_5c1eb728.gif; DC = 28 (см).

hello_html_m7c42dd21.png

ОА = 15 см; ОD = 5 см;

СО : ОВ = 1 : 3, АВ + СD = 24 см.

Найдите: АВ и СD.

Решение

1) В треугольниках DОС и АОВ угол
О – общий и hello_html_5824fc6.gif и hello_html_4642635e.gif.

hello_html_1ab116aa.gifDОС hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifАОВ по II признаку подобия треугольников.

2) Пусть DС = х, тогда АВ = 24 – х.

3) hello_html_m27c1974a.gif; hello_html_57d0b149.gif; 3x = 24 – x, x = 6.

4) = 4 см, АВ = 20 см.

3. В четырехугольниках АВСD и А1В1С1D1 диагонали пересекаются в точках О и О1, причем АО = ОС и А1О1 = О1С1, hello_html_7fbabcd7.gifАОD = hello_html_7fbabcd7.gifА1О1D1. hello_html_7fbabcd7.gifАDО = hello_html_7fbabcd7.gifА1D1О1 и hello_html_7fbabcd7.gifАВО = hello_html_7fbabcd7.gifА1В1О1.

Докажите, что hello_html_1ab116aa.gifАВС hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gif А1В1С1.

hello_html_m1999230.pnghello_html_m60e47cdc.png

Решение

1) Так как hello_html_7fbabcd7.gifАОD = hello_html_7fbabcd7.gifА1О1D1 и hello_html_7fbabcd7.gifАDО = hello_html_7fbabcd7.gifА1D1О1; то hello_html_1ab116aa.gifАОD hello_html_m217d6a54.jpg
hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifА1О1D1hello_html_m7646c166.gifhello_html_319419d8.gif, но по условию ао = ос и а1о1 = о1с1, то hello_html_m5801eac9.gif.

2) Так как hello_html_7fbabcd7.gifАВО = hello_html_7fbabcd7.gifА1В1О1 и hello_html_7fbabcd7.gifАDО = hello_html_7fbabcd7.gifА1D1О1; то hello_html_1ab116aa.gifАВD hello_html_m217d6a54.jpg
hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifА1В1D1 и hello_html_m39a72d2d.gif.

3) Имеем hello_html_6013355c.gif и hello_html_7fbabcd7.gifВАС =
= hello_html_7fbabcd7.gifВ
1А1С1, отсюда hello_html_1ab116aa.gifАВС hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifА1В1С1.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: вопрос 6, с. 160; № 559, 560,561

559.

hello_html_13eec593.png

АВСD – параллелограмм.

hello_html_m497363fb.gif.

Доказать, что hello_html_7fbabcd7.gifВEF = hello_html_7fbabcd7.gifNMD.

Для желающих.

В треугольнике АВС точка D лежит на стороне АС, DС = а, АС = b, ВС = hello_html_18a14160.gif.

Докажите, что hello_html_7fbabcd7.gifВАС =hello_html_7fbabcd7.gifDВС.

hello_html_m5fae84ee.png

Решение

1) Рассмотрим hello_html_1ab116aa.gifВDС и АВС.

hello_html_m29cde035.gif;

hello_html_me32d240.gif;

имеем hello_html_1973fb.gif и угол С общий, то есть по II признаку подобия треугольников hello_html_1ab116aa.gifВDС hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifАВС.

2) hello_html_7fbabcd7.gifВАС =hello_html_7fbabcd7.gifDВС как соответственные в подобных треугольниках




Урок 36

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Цели: доказать третий признак подобия треугольников, рассмотреть решение задач с применением изученных признаков подобия.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

Выполнить устно:

1. Подобны ли треугольники АВС и МРK?

hello_html_m20c3cb09.pnghello_html_m3e52adbd.png

2. Подобны ли треугольники АВС и FEG?

3. Найти подобные треугольники.

hello_html_13ea4b9b.pnghello_html_150acbe1.pnghello_html_45635256.png

Ответ: АВС hello_html_m217d6a54.jpgВDС.

4. Можно ли утверждать:

1) что все равнобедренные треугольники подобны?

2) все прямоугольные равнобедренные треугольники подобны?

3) все равносторонние треугольники подобны?

II. Изучение нового материала.

Доказательство третьего признака подобия треугольников.

III. Закрепление изученного материала.

Выполнить задание (устно).

1. Найти подобные треугольники:

Решение

hello_html_1137eb89.png

Рассмотрим hello_html_1ab116aa.gifАВС и hello_html_1ab116aa.gifАСD.

hello_html_5bc39e04.gif.

hello_html_m56951578.gif.

hello_html_65cd1d76.gif.

hello_html_1ab116aa.gifАВС hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifАСD.

2. В треугольнике АВС АВ = 4, Вс = 6, АС = 9. Точка Е лежит на стороне ВС. Внутри треугольника взята точка М так, что МВ = 1hello_html_m3473d563.gif, МЕ = 2hello_html_m525fe9cb.gif, СЕ = 2. Докажите, что МЕ || АС.

Решение

hello_html_3abdf535.png

1) Рассмотрим hello_html_1ab116aa.gifАВС и hello_html_1ab116aa.gifВМЕ.

hello_html_6d97724f.gif; hello_html_546fb335.gif.

hello_html_mad827a3.gif.

По третьему признаку подобия треугольниковhello_html_1ab116aa.gifАВС hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifВМЕ.

2) hello_html_7fbabcd7.gifВЕМ =hello_html_7fbabcd7.gifВСА как углы подобных треугольников.

3) МЕ || АС, так как соответственные углы hello_html_7fbabcd7.gifВЕМ =hello_html_7fbabcd7.gifВСА при секущей ВС.

3. В треугольнике АВС АВ = 4, ВС = 6, АС = 7. Точка Е лежит на стороне АВ. Внутри треугольника взята точка М так, что МВ = 5hello_html_2562c832.gif, МЕ = 4hello_html_43a7d4d3.gif, АЕ = 1. Прямая ВМ пересекает АС в точке Р. Докажите, что hello_html_1ab116aa.gifАРВ равнобедренный.

Решение

hello_html_177da66.png

1) Рассмотрим hello_html_1ab116aa.gifВАС и hello_html_1ab116aa.gifЕВМ.

hello_html_m6e0c742e.gif.

hello_html_m6032d7ca.gif.

hello_html_2a7c9cbe.gif.

2) hello_html_1ab116aa.gifВАС hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifЕВМ по третьему признаку подобия треугольников.

3) hello_html_7fbabcd7.gifЕВМ = hello_html_7fbabcd7.gifВАС как соответственные углы подобных треугольников.

4) hello_html_1ab116aa.gifАВР равнобедренный.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: вопросы 1–6, с. 160; №№ 562,563,604,605(1-3).

Для желающих.

Сторона СD параллелограмма АВСD продолжена за точку D на отрезок DF, равный стороне СD, и точка F соединена отрезком с серединой Е стороны АВ. Доказать, что отрезок отсекает от диагонали АС пятую часть, а от стороны АD – третью часть.

Решение

hello_html_5fd901dd.png

1) AE = hello_html_43a7d4d3.gifAB, AE = hello_html_2562c832.gifFC.

2) hello_html_1ab116aa.gifАЕN hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifCFN.

hello_html_250b7f6c.gif, то есть AN – пятая часть диагонали АС.

3) hello_html_1ab116aa.gifАЕK hello_html_m217d6a54.jpghello_html_1ab116aa.gifDFK.

hello_html_2c71cb9f.gif, то есть АK – третья часть стороны АD.


Общая информация

Номер материала: ДВ-099712

Похожие материалы