Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Поурочные планы по геометрии 7 класса
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Поурочные планы по геометрии 7 класса

библиотека
материалов


7 класс. Геометрия

Урок 1.

Прямая и отрезок

Цель урока: изложить сведения о возникновении и развитии геометрии; систематизировать знания учащихся о взаимном расположении точек и прямых; рассмотреть свойство прямой: через любые две точки можно провести прямую, и притом

только одну; ввести понятие отрезка.

Ход урока:


1. Организационный момент.

2. Объяснение материала.

Геометрия — раздел математики, в котором изучаются пространственные и плоскостные отношения (например, взаимное расположение) и формы (например, геометрические тела) и их обобщения.

Возникновение геометрии относится к глубокой древности и обусловлено практическими потребностями измерения земельных участков, объемов и др. Строгое построение геометрии как системы предложений (теорем), последовательно выводимых из немногочисленных определений основных понятий и истин, принимаемых без доказательства (аксиом), было дано в Древней Греции. Такое изложение геометрии в «Началах» Евклида (около 300 лет до нашей эры) в течение почти 2 тыс. лет служило образцом применения аксиоматического метода и основой построения так называемой евклидовой геометрии. Возрождение наук и искусств в Европе стимулировало развитие геометрии. Очень многие ученые -математики расширяли и развивали эту науку. Обобщение основного предмета геометрии — пространства — привело к плодотворному применению геометрии в самых различных областях не только математики, но и физики, механики.

Школьный курс геометрии делится на планиметрию и стереометрию. В планиметрии рассматриваются свойства фигур на плоскости, а в стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве.

Изучение планиметрии начинается с рассмотрения начальных геометрических сведений, с которыми учащиеся уже знакомы. Это такие понятия, как точка, прямая, отрезок, луч, угол.

Точка в геометрии лишена измерений, она может служить границей линии.

Прямая линия, лишенная толщины и ширины, проводится по линейке. Прямую линию можно мысленно продолжить безгранично в обе стороны, т.е. не ограничивать ни с одной, ни с другой стороны.

Прямая линия, ограниченная только с одной стороны, называется полупрямой, или лучом.

Прямая линия, ограниченная с обеих сторон, называется отрезком.

Следует обратить внимание на обозначение кочек, прямых, лучей и отрезков. Прямые и лучи можно обозначать по-разному: либо двумя заглавными, либо одной маленькой латинскими буквами. Лучше начертить в тетради все случаи обозначения для точек, прямых, лучей, отрезков. Кроме этого, учащиеся должны знать символы hello_html_m289d78ff.gifпонимать запись Аhello_html_m289d78ff.gifа,

Выполнить следующие упражнения:

1) На рисунке изображены три прямые, и на них отмечены некоторые точки. Найдите и запишите три отрезка, три луча, три прямые.

hello_html_m7db33b40.jpg

Отрезки:___________

Лучи:____________

П рямые :.__________

Сколько всего отрезков на. данном рисунке?

2) Начертите различное взаимное расположение двух прямых на плоскости. Выясните, сколько общих точек имеют прямые в данном случае?

3) Пересекает ли прямую CD луч АВ; луч EF? Обозначьте буквами точки пересечения Используя знаки е и 0. записать, какие точки принадлежат прямой и какие не принадлежат ?

hello_html_m778d6090.jpg

3. Закрепление нового материала.

Выполнить практические задания №1, 2.

4 . Итоги урока.

5. Домашнее задание:

п.1, вопросы 1-4 (стр.25) №4, 6.





















Урок 2. Прямая и отрезок


Знать: сколько прямых можно провести через две данные точки,

сколько общих точек могут иметь две прямые, какая фигура

называется отрезком. Уметь: обозначать точки и прямые на рисунке, изображать возможные

случаи взаимного расположения точек и прямых, двух прямых,

изображать и обозначать отрезки на рисунке.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

Разобрать вопросы для повторения 1-4, показать на их примере, что в тексте учебника содержится ответ на каждый вопрос из списка вопросов для повторения.

Ответить на вопросы с пояснением:

1) Сколько общих точек имеют две непересекающиеся прямые?

2) Сколько общих точек имеют две пересекающиеся прямые?

3) Могут пи две различные прямые иметь две общие точки?

3. Объяснение нового материала.

Провести беседу о провешивании прямой на местности по материалу учебника (стр.7), используя рис. 9. Разобрать решение задачи; с помощью данной линейки построить отрезок более длинный, чем сама линейка (стр в).

4. Закрепление нового

Решить задачи №3, 5.

5. Проверочная самостоятельная работа.

1) Начертите прямую и обозначьте ее буквой Ь. Отметьте точку М, лежащую на прямой Ь. Отметьте точку N, не лежащую на прямой Ь. Используя символы € иhello_html_m289d78ff.gif, запишите предложение: «Точка М лежит на прямой Ь, а точка N не лежит на ней»,

2) Начертите прямые а и Ь, пересекающиеся в точке М На прямой а отметьте точку N, отличную от точки М. Являются ли прямые MN и а различными прямыми? Может ли прямая b проходить через точку N? Ответы обоснуйте.


6. Итоги урока.


7. Домашнее задание:

П.12, №7








Урок 3. Луч и угол

Знать: что такое луч; какая фигура называйся углом.

Уметь: изображать и обозначать лучи на рисунке, обозначать неразвернутые и развернутые углы, называть по рисунку элементы угла, понимать, какой луч разделяет угол на два

угла.

Ход урока:

1. Организационный момент

2. Итоги самостоятельной работы.

3. Объяснение нового материала

С понятием угла и луча учащиеся знакомы, поэтому следует их повторить, заострить внимание на различных обозначениях лучей и углов К уроку полезно подготовить таблицу (кодопозитив) с изображением лучей и углов

hello_html_761758d5.jpg

Решить устно следующие задачи:

1) Назовите все лучи, изображенные на рисунке, исходящие из точек М и D.

2hello_html_23321535.gif) Перечислите углы изображенные на рисунке. Назовите стороны углов CBD и ABD, вершину CBA.

С

hello_html_m63a26a2a.gifД

4, Закрепление нового материала.

Выполнить задания № 8, 9, 16, \ 7, 11.

Решить задачу:

Проведите луч ОС тж., чтобы угол ВОС был меньше угла АОВ, и луч OD так, чтобы угол AOD был больше угла АОВ.

hello_html_m6d3627b6.jpghello_html_54fc64ff.jpg


5. Итоги урока.

6. Домашнее задание:

вопросы 4-6 (стр.25) №12, 13, 15.

Урок 4. Сравнение отрезков и углов

Знать: какие геометрические фигуры называются равными, какая

точка называется серединой отрезка, какой луч называется биссектрисой угла. Уметь: сравнивать отрезки и углы и записывать результат сравнения,

отмечать с помощью линейки середину отрезка, с помощью

транспортира проводить биссектрису угла.

Ход урока;

1. Организационный момент.

2 . Объяснение нового материала

Лучше начать с устной задачи;

По рисунку перечислить лучи, прямые, отрезки, угпы. Повторить определения этих понятий. Найти развернутые углы.


hello_html_10af5530.gif


При введении понятия равенства фигур процесс наложения одной фигуры на другую можно показать непосредственно на моделях плоских геометрических фигур или использовать плакат (аналогичный рис Л 9 из учебника) с изображением фигур и кальку.

Далее рассмотреть, как сравниваются отрезки, какая точки называется серединой отрезка, как сравниваются углы и что такое биссектриса угла. Начертить в тетради два различных отрезка и записать результат их сравнения, отметить середины этих отрезков.

Начертить два угла, имеющих общую вершину и сторону, записать результат их сравнения, показать биссектрису любого из этих углов.

3. Закрепление нового материала.

Решить задачи № 19, 20, 21, 22. Можно выполнить дополнительные задачи.

1) Постройте на прямой а отрезок АВ, равный отрезку КО

2) Постройте отрезок КМ, который длиннее стречка АВ на 3 см. и отрезок ОР, который короче отрезка АВ на 1 см

3) Дан отрезок МЫ Постройте отрезок КО, который в три раза больше отрезка МN, и отрезок LS. который в два раза меньше отрезка МN.

4) Даны отрезки АВ и СК. Постройте отрезок, равный

а) сумме отрезков АВ и С К,

б) разности этих отрезков.

5) Найдите наибольший и наименьший углы, запишите результат сравнения.

6 На луче h с началом в точке О отметьте точки А и В так, чтобы точка А лежала между точками О и В Сравните отрезки ОА и ОВ и запишите результат сравнения

7) Изобразите неразвернутый угол ABC и проведите какой-нибудь луч BD, делящий это угол на два угла. Сравните углы ABC и ABD; ABC и DBC и запишите результаты сравнения.

4. Итоги урока.

5. Домашнее задание:

п.5 6: вопросы 7-11 (стр.25), №18, 23.



Урок 5. Измерение отрезков


Цель урока: ввести. понятие длины отрезка, рассмотреть свойства

длин отрезков и инструменты для измерения расстояний на

практике. Уметь: измерить данный отрезок и выразить его длину в сантиметрах, миллиметрах, метрах; уметь находить длину отрезка, когда

точка делит его на два отрезка, длины которых известны.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

Ответить на вопросы 4-11 (стр.25).

3. Объяснение нового материала. Провести лекцию по материалу учебника (стр. 13-15).

Важно подчеркнуть, что процедура измерения отрезков основана на сравнении их с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения. Следует сформировать у учащихся, опираясь на их опыт, четкое представление о том, что при выбранной единице измерения каждому отрезку соответствует некоторое положительное число, которое и выражает его длину. Следует записать в тетради соотношения между единицами измерения длины:

1км = 1000м

= 10дм = 100см

1дм = 10см - 100мм

1см = 10мм

4. Закрепление нового материала. Выполнить следующие задания:

1)Дан луч h с началом в точке О, B hello_html_m289d78ff.gifh, Ahello_html_m289d78ff.gifh, О-В-А.

(Эта запись означает, что точка В лежит между точками О и А) Какой из отрезков АВ и ОА имеет большую длину? Найдите АВ, если АО = 72дм и ОВ = 4,2 дм.

2) Начертите прямую а и отметьте точку А, не лежащую на прямой а. С помощью масштабной линейки и циркуля отметьте на прямой а точку М, удаленную от точки А на расстоянии 3 см (Следует обратить внимание учащихся на то, что задача может иметь одно или два решения, а может не иметь решений)

3) Начертите отрезок CD равный 5 см С помощью масштабной линейки отметьте на прямой CD точку М такую, что СМ = 2см

Сколько таких точек можно отметить на прямой CD?

Какова длина отрезка MD?

Рассмотрите все возможные случаи.

Выполните практические задания №26, 27. .

5 . Итоги урока .

6. Домашнее задание:

7, 8, вопросы 12-13 (стр.25)} практические задания 24, 25, 28.






Урок 6. Измерение отрезков

Уметь: находить длину отрезков, измерять отрезки, используя различные единицы измерения.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Математический диктант,

1) Точка С лежит на отрезке АВ. Пусть АС = 4см, АВ = 9см. Какова длина отрезка ВС?

2) Может ли длина отрезка выражаться дробным положительным числом?

3) Могут ли совместиться наложением отрезок длиной 5 см и отрезок, длина которого равна половине дециметра?

4) Может ли длина отрезка равняться нулю?

5) Может ли длина отрезка выражаться отрицательным числом?

6) Отметьте точки М} Р и К так. чтобы МК+РК = МР.

Проверку работы можно провести на этом же уроке с помощью кодоскопа,

3. Решение задач.

Выполнить письменно а тетради № 30, 32, 34. разобрать решение № Зб.

4 Проверочная самостоятельная работа ,

1) На прямой h отмечены точки С, D, Е, причем CD =6см, DE = 8см. Какой может быть длина отрезка СЕ?

2)Точка М - середина отрезка АВ, MB = 4,3 дм. Найдите длину отрезка АВ в миллиметрах.

3) Отрезки PQ и EF пересекаются, точка К лежит на отрезке EF, причем PQ = 21см РК = 14см QK = 8см. Может пи точка К быть точкой пересечения отрезков PQ и EF?

Решение последней задачи:

hello_html_25eb0c94.jpg

Если точка К будет точкой пересечения PQ и EF, тогда точки Р, К и Q должны лежать на одной прямой. И если точки Р, К, Q лежат на одной прямой, то больший из данных отрезков PQ, РК и KQ равен сумме двух других. По условию больший из данных отрезков (отрезок PQ) равен 21см, а сумма двух других (PK+KQ) равна 22 см. Поэтому почки Р, К и Q не лежат на одной прямой. Следовательно, точка К не может быть точкой пересечения PQ и EF.

5. Итоги урока.

6. Домашнее задание:

/7.7, 8, вопросы 12-13 (стр.25) №31, 33, 3J>, 37,








Урок 7. Измерение углов

Знать: что такое градусная мера угла.

Уметь: находить градусные меры данных углов, используя

транспортир, изображать прямой, острый, тупой и

развернутый угл ы.

Ход урока:

1. Организационный момент..

2. Итоги самостоятельной работы.

3. Устная работа.

1) Проверить ответы на вопросы 12, 13 (стр.25).

решить задачу.

hello_html_57429d6c.jpg

Сколько углов изображено на рисунке

Перечислить углы, изображенные на рисунке Назвать неразвернутые углы.

3) Повторить определение угла и биссектрисы угла.


4. Объяснение нового материала.

Вывести понятие градуса, градусной меры угла, минуты, секунды, рассмотреть свойстаа градусных мер углов

I) Равные углы: имеют равные градусные меры, меньший угол имеет менъшую градусную меру.

2) Развернутый угол равен 180°. Неразвернутый угол меньше 180°.

3) Если луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

Ввести понятия острого, прямого и тупого углов, обязательно начертив их и записав неравенством значения в градусах.

Учащиеся знакомы со способом измерения углов транспортиром, следует это повторить, используя демонстрационный транспортир.

Следует подчеркнуть, что в отличие от длины отрезка, которая

может выражаться как угодно большим числом, градусная мера угла

не превосходит 180°.

Кроме этого, нужно ознакомить учащихся с приборами, используя рис.36 учебника.


3. Закрепление нового материала.

Выполнить практические задания № 41, 42, 43,

решить задачи №47(а), 48. 51.

6 . Итоги урока .

7. Домашнее задание:

п.9-10, вопросы 14-16 (стр.25) №47(6}, № 50





Урок 8. Измерение углов


Знать: что такое градусная мера угла, градус, минуса, секунда. уметь: находить градусные меры данных углов, используя транспортир, изображать прямой, острый, тупой, разверстый углы.


Ход урока:


1. Организационный момент .

2. Устная работа.

Решить №45, 46

Ответить на вопросы с пояснением;

1)Какава градусная мера развернутого угла?

2) Может ли величина угла выражаться отрицательным числом ?

3) Луч ОК проходит между лучами ОА и ОР. Пусть hello_html_7707454f.gifАОР равен 85°, hello_html_7707454f.gifАОК равен 40° Чему равен угол КОР?

4) Могут ли совместиться при наложении угол ABC, равный 45° и угол МРЕ, равный половине прямого угла?

5) Может ли величина угла выражаться дробным положительным числом ?

6) Начертите лучи AM, АР и АК так, чтобы выполнялось равенство hello_html_7707454f.gifМАК = hello_html_7707454f.gifМАР+hello_html_7707454f.gifРАК..

7) Луч ОВ проходит между лучами ОК и ОМ. Угол КОМ равен 120°, угол КОВ равен 30" Чему равен угол MOB


3. Самостоятельная работа

1)Развернутый угол ABC разделен лучем на два угла, один из которых на 34'

Больше другого. Найти образовавщиеся углы. 2) 2) Прямой угол АВС разделен лучом ВД на два угла. Один из которых в 4 раза больше другого. Найдите образовавшиеся углы.'

3} Прямой угол ABC разделен лучим BD в отношении 2:3, Найдите угол межсу лучом ВО и биссектрисой угла ABC.

4) Развернутый угол ABC разделен лучом ВО на два угла, разность которых равна 44° Найдите образовавшиеся углы.

Данные задачи лучше решать, составляя уравнения. Задачи дать для самостоятельного решения, но потом обязательно проверить на уроке .


4 . Итоги урока.


5. Домашнее задание:

п.9-10, вопросы 14-16 (стр. 25), задачи №52, 53.








Урок 9 Смежные и вертикальные углы


Знать: какие углы называются смежными, вертикальными и какими

свойствами они обладают. Уметь: строить угол, смежным с данным углом, строить вертикальные углы, находить на рисунке смежные и вертикальные углы.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

Выполнить задания:

1) Найти величину каждого из углов, образовавшихся при пересечении прямых а и Ь.

hello_html_43adb968.jpghello_html_m59436ec0.gifhello_html_m3ded7190.gifhello_html_70c9c36b.gif

hello_html_40862967.gif

2hello_html_70d43fd2.gif) Найти величины всех неизвестных углов, образовавшихся при пересечении прямыхhello_html_59c77bbd.gif

3. Объяснение нового материала.

Ввести понятие смежных углов, вертикальных углов.

Рассмотреть их свойства, используя рисунки. Подобные рис. 40 и 41 из учебника.

4. Закрепление нового материала.

Устно:

  1. Найдите углы, смежные с углами30°, 45°. 60°, 90°, 130°.

  2. Могут ли быть два смежных угла быть оба:

А) острыми, б) тупыми, в) прямыми?

3) Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равен 30°. Чему равны остальные углы?


Решить задачи на доске № 58, 61 (б, г), 62, 64(а)






Урок 10. Перпендикулярные прямые

Знать; какие углы называются смежными, вертикальными и какими свойствами они обладают; какие прямые называются перпендикулярными.

Уметь: строить угол, смежный с данным углом; строить вертикальные углы; находить на рисунке смежные и вертикальные углы; объяснить, почему две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

Вызвать к доске четырех человек для решения № 61 (а, б). № 64 (б)

За это время устно решить с классом следующие задания:

1) Острым, тупым или прямым будет угол, смежный с углом в 30°, 130° ?

2)Сумма двух углов равна 200° Смежные ли это углы?

3)Сумма двух углов равна 180° Обязательно ли эти углы смежные?

4) Дан угол АОВ, меньше развернутого. Из точки О провели луч ОС, составляющий с лучом ОВ прямую пинию Получились ли при этом смежные углы? Если да. то назовите их.

5)Чему равен угол, если вертикальный с ним угол равен 34°?

6) У двух углов общая вершина, каждый из этих углов равен 60° Обязательно ли эти углы вертикальные?

7)Один из четырех углов, получившихся при пересечении двух прямых, равен 140° Чему равны остальныв углы?

8) Два угла с общей вершиной равны. Обязательно ли они вертикальные9

Можно решить также устно № 59, 60, 63


3. Объяснение нового материала.

Понятие перпендикулярных прямых можно ввести, используя заранее заготовленный плакат по рис.42 из учебника. Желательно подвести учащихся к самостоятельному обоснованию того факта, что если при пересечении двух прямых один из образовавшихся углов прямой, то и остсшьные углы также прямые.

Для обоснования утверждения о том. что две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются, полезно сделать специальное наглядное пособие. (Нарисовать на картоне рисунок 43 из учебника и на его верхнюю часть приклеить по прямой PQ кусок кальки так. чтобы кальку можно было перегнуть на глазах у учащихся.)

Завершить тему целесообразно небольшой беседой о построении прямых углов на местности (п. 13) с демонстрацией изготовленного учащимися простейшего прибора – экера.


4. Закрепление нового материала.

Выполнить практическое задание №57, решить задачи №69, 70.

5. Итоги урока.

6. Домашнее задание:

п.11-13, вопросы 11-21 (стр.25), задачи №67, 68.



Урок 11. Перпендикулярные прямые

Знать: какие углы называются смежными, вертикальными и какими свойствами они обладают, какие прямые называются перпендикулярными.

Уметь: решать задачи о нахождении градусной меры смежных и вертикальных углов.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

Ответить на вопросы:

1) Один из углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, равен 70° Перпендикулярны ли эти прямые?

2) При пересечении двух прямых образовалось четыре равных угла. Перпендикулярны ли эти прямые?

3) При пересечении прямых а и b образовались углы. Что можно сказать об этих углах, если прямые а и в перпендикулярны?

4)Найти величину каждого из углов, образовавшихся при пересечении прямых а и в

5hello_html_mec9317b.gifhello_html_m75498e95.gifhello_html_4bb2f9bb.gifhello_html_m2fb83a6a.gif) Найти величины всех неизвестных образовавшихся при пересечении прямых. 4 6

5



1 7

hello_html_m6e574180.gif30° 3 9 8


3. Решение задач.

Разобрать решение следующих задач:

1) Найдите смежные углы, если:

а)один из них на 30° больше другого;

б) их разность равна 40°;

в)один из них в 3 раза меньше другого;

г)они равны;

д) их градусные меры относятся как 3:7.

2)Сумма двух углов, которые получаются пересечении двух прямых, равна 50° Найдите углы образованные этими прямыми.

4. Проверочная самостоятельная работа.

I вариант _1) Один из смежных углов на 27° меньше другого. Найдите оба смежных угла.

2)Найдите все неразвернутые углы, образованные пр пересечении двух прямых, если сумма двух из них равна 226 °

II вариант

1) Один из смежных углов в 11 раз больше другого. Найдите оба смежных угла.

2)Найдите все неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если сумма двух из них равна 296 °

5. Итоги урока.

6. Домашнее задание: вопросы на стр. 25, задачи №65, 66



Урок 12. Решение задач по теме «Измерение отрезков и углов».

Цель урока: повторить и закрепить пройденный материал и подготовить учащихся к предстоящей контрольной работе.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2 . Итоги самостоятельной работы.

3. Устная работа.

Провести опрос по вопросам для повторения к главе I (стр. 25). Это можно сделать письменно, разделив вопросы выборочно по вариантам.

Устно решить следующие задачи:

1) Найти величины неизвестных углов, образованных пересечением прямых а и Ь.

а) hello_html_7707454f.gif1 =29°, б) hello_html_7707454f.gif4 = 137°


hello_html_7b8041.jpg

2) Прямые АВ, CD, KM пересекаются е точке О, причем hello_html_7707454f.gifAOM = 47° , hello_html_7707454f.gifAOC = 32° Найдите hello_html_7707454f.gifCOK, hello_html_7707454f.gif КОВ, hello_html_7707454f.gifBOD, hello_html_7707454f.gifДOM


Вhello_html_3732a46c.jpg

3) hello_html_7707454f.gifАОС=142° hello_html_7707454f.gifАОВ=91°. Найти углы 1,2,3,4


hello_html_m6697cee5.jpg

4. Решение задач,

1) Точки Д, В, С лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка ВС,, если АВ = 2,7м, АС = 332м Сколько решений имеет задача?

Располагаем точки на прямой так, чтобы В и С лежали по одну сторону

от точки А.

Тогда ВС =АО - АВ.

ВС = 3,2-2,7 = 0,5м.

Если точки В и С будут расположены по разные стороны от А, то

ВС = AВ+AC.

ВС = 3,24-2,7 = 5,9м.

Ответ: 0.5м или 5,9м (2 решения).

2) Найдите углы, которые получаются при пересечении двух прямых, если сумма трех из этих углов равна 270°

hello_html_3f1338a0.jpg

Пусть hello_html_7707454f.gif 1+hello_html_7707454f.gif2+hello_html_7707454f.gif3 = 270° Найдем сначала сумму всех четырех углов. Она равна сумме двух развернутых, т.е 180 hello_html_7707454f.gif 2 = 360°.

Значит, hello_html_7707454f.gif1+hello_html_7707454f.gif2+hello_html_7707454f.gif3+hello_html_7707454f.gif4 = 360° Отсюда следует, что

hello_html_7707454f.gif4 = 360 - 270° = 90°

/ 1 и / 4 смежные, т.к. у них одна сторона общая, а две другие являются продолжением друг друга, значит, hello_html_7707454f.gif1+hello_html_7707454f.gif4 = 180°.

Отсюда hello_html_7707454f.gif1 = 180°- hello_html_7707454f.gif4 = 180°-90°=90°.

hello_html_7707454f.gif4 и hello_html_7707454f.gif2 - вертикальные, т.к. стороны одного угла являются продолжениями сторон другого, значит, hello_html_7707454f.gif2 = hello_html_7707454f.gif4 = 90°, hello_html_7707454f.gif1 и hello_html_7707454f.gif3-вертикальные, отсюда hello_html_7707454f.gif3 = hello_html_7707454f.gif1 =90°.

Огвет: hello_html_7707454f.gif1 = hello_html_7707454f.gif2 = hello_html_7707454f.gif3=hello_html_7707454f.gif4= 90°.

3) Найдите угол между биссектрисой и продолжением одной из сторон данного угла, равного 50 °

Решение


hello_html_m52e17d5d.jpg

I способ: hello_html_7707454f.gifAOB и hello_html_7707454f.gifBOC- смежные, значит, hello_html_7707454f.gifAOB+hello_html_7707454f.gifBOC = 180°

hello_html_7707454f.gifAOB = 180°-hello_html_7707454f.gifBOC = 180°-50°= 130°

Можно также решить задачи №74, 76(6), 81.

6. Итоги урока.

7. Домашнее задание:

п.1-13. задачи №75, 76(а), 80.

















7 класс Геометрия Урок 13.

Контрольная работа № 1


Цель урока: контроль знаний учащихся.


I вариант

1)Три точки В, С и D лежат на одной прямой. Известно., что BD = 17 см, DC = 25 см Какой может быть длина отрезка ВС?


2)Сумма вертикальных углов МОЕ, DOC; образованных при пересечении прямых МС и DE, равна 204°. Найдите угол MOD


3) С помощью транспортира начертите угол, равный 78 ' и проведите биссектрису смежного с ним угла.



2 вариант

1) Три точки М N и К лежат на одной прямой. Известно, что MN =15см, NK= 13 см. Каким может быть расстояние МК?


2) Сумма вертикальных углов ДОВ и COD образованных при пересечении прямых AD и ВС, равна 108. Найдите угол BOD


3} С помощью транспортира начертите угол, равный 132°, и проведите биссектрису смежного с ним угла























Урок 14. Треугольники


Знать: что такое периметр треугольника, какие треугольники

называются равными. Уметь: объяснить, какая фигура называется треугольником, и назвать его элементы.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2 . Итогам контрольной работы.

Если есть задание в контрольной работе, с которым мало кто справился, то разобрать его решение. Работу над ошибками выполнять дома.

3. Объяснение нового материала.

Ввести понятия: треугольник, его элементы: вершины, стороны, углы; равные треугольники.

Понятие треугольника знакомо учащимся, поэтому изучение темы можно начать с демонстрации различных многоугольников (изготовленных из проволоки или нарисованных на плакатах или классной доске), среди которых учащиеся выделяют треугольники, указывают и называют их стороны, вершины, углы.

Важно добиться четкого представления о тем. какие стороны треугольника каким вершинам противолежат, какие углы к каким сторонам прилегают, какие углы между какими сторонами заключены.

hello_html_m3734c31b.jpg


Выполнить следующие практические задания:

1)Начертите треугольник DEK и проведите отрезок, соединяющий вершину D серединой противолежащей стороны.

2)Начертите треугольник MNP. На стороне МР отметьте произвольную точку К и соедините ее с вершиной, противолежащей стороне МР.

3)Назовите углы: а) треугольника DEK, прилежащие к стороне ЕК; б) треугольника MNP, прилежащие к стороне MN.

4)Назовите угол: а) треугольника DEK, заключенный между сторонами DE и DK; 6) треугольника MNP, заключенный между сторонами NP и РМ.

После решения этих заданий нужно рассмотреть равные треугольники

и их свойство: А1 hello_html_m69956895.jpgС1

В

Аhello_html_105a2f37.jpgС


hello_html_2e85d6ba.gifАВС = hello_html_2e85d6ba.gifА1В1 С1

Против соответственно равных сторон лежат равные углы,

и обратно:

Против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Повторить понятие периметра:

Рмвс =АВ + ВС + СА


4 . Закрепление нового материала.

Выполнить практические задания №87, 88, 89(а), решить задачу №91. Решение задачи №91.

Обозначим за х см меньшую сторону треугольника, тогда другая сторона будет (х + 4,6) см. Периметр треугольника составляет (х+х+4,6+18) см, а по условию задачи он равен 48 см. Составим и решим уравнение:

(х+х + 4,6+18) = 48

=30 - 4,6

х = 12,7

Меньшая сторона треугольника составит 12,7 см, а другая 12,7+4,6 = 17,3см.

Ответ: 12,7 см и 17,3 см.


5. Итоги урока.


6. Домашнее задание:

п. 14, вопросы 1,2 (стр.49), практические задания №89(6, в), задачи №90, 92.

























Урок 15. Первый признак равенства треугольников.


Знать: понятия теоремы и доказательства теоремы, формулировку и

доказательство первого признака равенства треугольников. Уметь: решать задачи на доказательство равенства треугольников.


Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

Выполнить задания:

1) Перечислите вершины, стороны и углы hello_html_2e85d6ba.gifМРК. Как найти периметр hello_html_2e85d6ba.gifМРК?

Р

hello_html_m1aaaba31.jpg

2) Сосчитайте, сколько треугольников изображено на рисунке? (20)

hello_html_15f0218f.jpg

3) Перечислить соответственные стороны и углы равных треугольников.

28

hello_html_76d5ac71.jpg

Назвать равные элементы треугольников, исходя из рисунка

3. Объяснение нового материала.

Изучение первого признака равенства треугольников рекомендуется начать с разъяснения смысла слов «теорема» и «доказательство теоремы», поскольку с этими понятиями учащиеся встречаются впеpвые.

Затем полезно обратить внимание на то, что равенство двух треугольников можно установить, не накладывая один треугольник на другой, а сравнивая только некоторые элементы треугольников, и разъяснить смысл слова «признак». На начальном этапе применения доказанного признака желательно рассмотреть как можно больше задач, решаемых по готовым чертежам. При этом полезно приучать учащихся отмечать на чертеже соответственно равные элементы и делать содержательные ссылки на признаки («треугольники равны по двум сторонам и углу между ними»), а не формальные («треугольники равны по первому признаку»).





4. Закрепление нового материала.

Решить две задачи:

1) Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них Чему равен отрезок ВО, если отрезок АС =10 м?

hello_html_17a1c4f7.jpg

Решение

Рассмотрим hello_html_2e85d6ba.gifДОС и hello_html_2e85d6ba.gifBOD.

АО = ОВ, т.к. точка С - середина отрезка АВ.

СО " OD, т.к.. точка О - середина отрезка CD.

hello_html_7707454f.gifАОС = hello_html_7707454f.gifDOB, т.к. hello_html_2e85d6ba.gif АОС = hello_html_2e85d6ba.gifВOD по двум сторонам и углу между

ними.

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон значит, АС = ВО = 10м.

Ответ: 10м„

2) Через середину О отрезка А В проведена прямая, перпендикулярная прямой АВ Докажите, что каждая точка х этой прямой одинаково удалена от точек А и В.

hello_html_m385ea4f4.jpg

Рассмотрим hello_html_2e85d6ba.gifАОХ и hello_html_2e85d6ba.gif BOX.

АО = ОВ, т.к. точка О - середина отрезка АВ.

ОХ- общая сторона hello_html_2e85d6ba.gif АОХ и hello_html_2e85d6ba.gif BOX.

hello_html_7707454f.gifAOX = hello_html_7707454f.gif BOX = 90°, т.к. OX hello_html_m3369453f.gifAB.

Значит, hello_html_2e85d6ba.gif АОХ =hello_html_2e85d6ba.gifBOX по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных

сторон, значит, АХ = ВХ,

Отсюда следует, что каждая точка X прямой ОХ одинаково удалена от

точек А и В.


Решить задачи из учебника №93, 94.


5. Итоги урока.

6. Домашнее задание;

п 14. 15, вопросы 1-4 (стр.49), решить задачи №95, 97.







Урок 16. Первый признак равенства треугольников


Знать: формулировку и доказательство первого признака равенств

треугольников. Уметь: решать задачи на доказательство равенства треугольников.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Математический диктант.

1) В треугольниках ABC и DEF сторона АВ = Д сторона ВС = EF, угол С равен углу F. Можно ли на основании первого признака равенства треугольников утверждать, что эти треугольники равны?

2)В треугольниках KNO и PQTравны стороны KN и, и углы К и Р. Какое еще условие должно быть выполнено, чтобы эти треугольники оказались равными по признаку?

3) В треугольниках МРК и АОВ сторона МР равна АО сторона МК равна АВ. Какое еще условие должно ~ выполнено, чтобы эти треугольники оказались равными по первому признаку?

4) В треугольниках ABC и DEF стороны АВ и ВС равны соответственно сторонам DE и EF. Треугольники эти не равны. Что можно сказать об углах В и Е?

5) Закончите предложение: «Первый признак равенства треугольников - это признак равенства по ...»..

3. Решение задач.

Решить задачи №96, 98

4. Проверочная самостоятельная работа.

I вариант

Докажите равенство треугольников ABC и ACD на рисунке, если АВ = АС и hello_html_7707454f.gif1 = hello_html_7707454f.gif2. Найдите углы ABD и ADB, если hello_html_7707454f.gifACD = 38°, hello_html_7707454f.gifADC = 102°

hello_html_5c0827dc.jpg

II вариант

Докажите равенство треугольников ABC и ADC на рисунке, если ВС = АО и hello_html_7707454f.gif1 = hello_html_7707454f.gif2.

Найдите ACD и ADC, если hello_html_7707454f.gifABC " 108°, hello_html_7707454f.gif ВАС = 32°

С

hello_html_m1255faf.jpg


5. Итоги урока.

6. Домашнее задание:

п.14, 15, вопросы 1-4 (стр.49), решить задачу №99.



Урок 17. Медианы, биссектрисы и высоты тpeyгольника.

Знать: формулировку теоремы о перпендикуляре к прямой.

Уметь: объяснить, какой отрезок называется перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной прямой, какие отрезки называются медианой, биссектрисой, высотой треугольника.

Ход урока:

1. Организационный момент .

2. Итоги самостоятельной работы.

3, Устная работа.

К задаче 1

к задаче 2

hello_html_4d8ba71c.jpg

1) A BCD - квадрат.

Назовите все пары перпендикулярных прямых, которые вы видите на этом рисунке.

2) Один из углов, образующихся при пересечении прямых АВ и CD равен 40°

Луч ОМ ~ биссектриса hello_html_7707454f.gif СОВ, Луч ON - биссектриса hello_html_7707454f.gifАОС. Чему равен угол между биссектрисами?

3)При пересечении прямых а и b образовались углы. Что можно сказать об этих углах, если а и b перпендикулярны? Если не перпендикулярны?

4. Объяснение нового материала

Выполнить в тетради практическое задание N«400. на основе этого задания дать определение перпендикуляра

Рассмотреть теорему о перпендикуляре, согласно учебнику (стр.31). При доказательстве единственности перпендикуляра, проведенного из данной точки к заданной прямой, фактически используется метод доказательства от противного. Но пока он так не называется. Суть метода будет рассмотрена позже.

Далее следует ввести понятие медианы, обязательно начертить ее в произвольном треугольнике, обратить внимание, как выделяется медиана на чертеже. Затем построить треугольник и провести три его медианы, указав на замечательное свойство медиан: они пересекаются в одной точке в любом треугольнике.

Дать определение биссектрисы треугольника и в произвольном треугольнике провести все биссектрисы

Дать определение высоты треугольника и провести высоты в остроугольном и тупоугольном треугольниках, Учащиеся должны убедиться в замечательном свойстве биссектрис и высот треугольника.

5. Закрепление нового материала. Решить задачу №106.

6. Итоги урока.

7. Домашнее задание:

п. 16, 17, вопросы 5-9 (стр.49), решить задачу №105.


Урок 18. Свойства равнобедренного треугольника

Знать: формулировки теоремы о перпендикуляре к прямой; теорем о свойствах равнобедренного треугольника.

Уметь: объяснить, какой отрезок называется перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной прямой, какие отрезки называются медианой, биссектрисой, высотой треугольника, какой треугольник называется равнобедренным, равносторонним, доказывать теоремы о свойствах равнобедренного треугольника.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

Проверить ответы на вопросы 5-9 (стр.49)

3. Математический диктант*.

1) В треугольнике ВСО провели отрезок ВМ так, что образовался прямой угол ВМО Точка М лежит на прямой СО Как называется отрезок ВМ?

[Середину стороны МК треугольника МКР соединили с вершиной Р отрезком Как называется этот отрезок?]

2)Вершину С треугольника ABC соединили отрезком с серединой стороны А В Как называется этот отрезок?

[В треугольнике ВСМ провели отрезок ВА так, что образовался прямой угол ВАМ. Точка А лежит на стороне СМ. Как называется отрезок В А?]

3)Начертите треугольник ABC Проведите в нем медиану [высоту] из вершины А, высоту [биссектрису] из вершины В, биссектрису [медиану] из вершины С

4)Известно, что МК - высота [медиана] треугольника АМВ. Запишите выводы, которые можно сделать на основании определения высоты [медианы] треугольника.

5)Известно, что ОЕ - биссектриса [высота] треугольника AM О Запишите выводы, которые можно сделать на основании определения биссектрисы [высоты] треугольника.

6)Известно, что СВ - медиана [биссектриса] треугольника СОМ. Запишите выводы, которые можно сделать на основании определения медианы [биссектрисы] треугольника.

4. Объяснение нового материала.

Понятия равнобедренного и равностороннего треугольника знакомы учащимся. Однако при решении задач и доказательстве теорем требуется достаточно быстро указывать боковые стороны, основание, углы при основании, угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника. С целью отработки этих навыков можно предложить следующие задания:

1) Дан равнобедренный треугольник CDE с основанием DE . Назовите боковые стороны, углы при основании, угол, противолежащий основанию этого треугольника.

2) В равнобедренном треугольнике МРК КМ = КР. Назовите боковые стороны, основание, угол, противолежащий основанию, и углы при основании этого треугольника.

Доказательства двух теорем о свойствах равнобедренного треугольника дать для самостоятельного изучения по учебнику (п. 18).

5. Закрепление нового материала. Решить задачи №108, 109, ПО.

6. Итоги урока.

7 . Домашнее задание: п.16, 18, вопросы 5-13, задачи №107, 111, 112.


Урок 19. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

Знать: формулировки теоремы о перпендикуляре к прямой; теорем о свойствах равнобедренного треугольника.

Уметь: объяснить, какой отрезок называется перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной прямой, какие отрезки называются медианой, биссектрисой, высотой треугольника, какой треугольник называется равнобедренным, равносторонним; доказывать теоремы о свойствах равнобедренного треугольника.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

Выполнить упражнения.

1) Отметьте равные:

а) углы; hello_html_m1659f5ff.jpg hello_html_5051d15c.jpg б) отрезки.

2) В каждом треугольнике отмечены равные элементы.

Есть ли в них еще равные элементы? Отметьте их.

hello_html_4046a096.jpghello_html_mf980b3d.jpghello_html_m72d4f934.jpg

hello_html_4382d5dc.jpghello_html_m62325e0b.jpg

3) В треугольнике СОЕ стороны ОЕ и СЕ равны. Как называются эти стороны?

4) Как можно назвать равнобедренный треугольник, у которого основание равно боковой стороне?

5)Всякий ли равносторонний треугольник является равнобедренным ?

6) В равнобедренном треугольнике одна сторона равна Зм а другая 8м. Чему может быть равна третья сторона?

7)В равнобедренном треугольнике две стороны равны соответственно 5 см и 12 см. Может ли третья сторона быть основанием?

8)Периметр равностороннего треугольника равен 2 м. Какова длина каждой из его сторон? 9) Длина одной из сторон равностороннего треугольника 2,5 м. Каков его периметр?

3. Опрос по свойствам равнобедренного треугольника с доказательством теорем.


4. Решение задач.



Решить задачу №119.


Самостоятельная работа обучающего характера.

I вариант

В равнобедренном треугольнике сумма всех углов равна 180° Найдите углы этого треугольника, если известно, что:

а) один из них равен 105°;

б) один из них равен 38 °


II вариант

В равнобедренном треугольнике сумма всех углов равна 180°. Найдите углы этого треугольника, если известно, что:

а) один из них равен 62 °; б) один из них равен 98 °


6. Итоги урока.


7. Домашнее задание:


п 16-18, вопросы 5-13 (стр. 49-50), решить задачи №113, 117.




























Урок 20. Второй признак равенства треугольников


Знать: формулировку и доказательство второго признака равенства треугольников.

Уметь: применять этот признак для решения задач

Ход урока:

1. 0рганизационный момент.

2 Итоги самостоятельной работы.

3. Устная работа.

Провести ее по вопросам 5-13 (стр.49, 50)


4. Объяснение нового материала.

Назначение урока - изучить второй признак равенства треугольников и выработать навыки его использования при решении задач.

Перед изучением второго признака равенства треугольников полезно выполнить следующее практическое задание:

С помощью транспортира и масштабной линейки начертите треугольник ABC так, чтобы hello_html_7707454f.gifА =46°, hello_html_7707454f.gifB = 58°, АВ = 4,8 см.

5 . Закрепление нового материала.

Решить следующие задачи:

1) Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите равенство треугольников АСО и DBO, если известно, что угол АСО равен углу DBO и ВО = СО

С В

hello_html_m6795fe8.jpg

А Д


2) Отрезки АС и ВО пересекаются в точке О Докажите равенство треугольников ВАО и DCO если известно, что угол ВАО равен углу DCO, АО = СО

hello_html_697ac9d2.jpg

Д

Решать по учебнику задачи №121, 123, 126.

6. Итоги урока.

7 . Домашнее задание:

п.19, вопрос 14 (стр. 50), решить задачи №122, 124, 125.




Урок 21. Третий признак равенства треугольников

Знать: формулировки и доказательство трех признаков равенства треугольников.

Уметь: решать задачи, используя все три признака равенства

треугольников.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Математический диктант.

1) В треугольниках ABC и DEF [ABD и MPQ] сторона АВ равна DE [МР], углы А и В равны соответственно D и F [М и Р].

Равны ли эти треугольники по второму признаку равенства7

2) В треугольниках KNM и PQT [ABC и DEF] сторона [углы] KN [А и С] равна [равны] PQ [соответственно углам D и F]. Угол N равен углу Q

Какое еще условие должно быть выполнено, чтобы эти треугольники оказались равными второму признаку?

3) В треугольниках BCD и MPQ [MPQ и KLT] углы В [М] и D [О] равны соответственно углам М [К] и Q [Т]. Треугольники эти не равны.

Что отсюда следует в соответствии со вторым признаком равенства треугольников?

4) Закончите предложение «Второй признак равенства треугольников - это признак равенства по...»?

[ Сколько условий должно выполняться, чтобы треугольники CDE и XYZ оказались равными по определению равных треугольников; сколько - для равенства по первому признаку? Сколько - для равенства по второму признаку?]

5) У треугольников ABC и AiBiCi равны стороны ВС и BiCi и углы С и C1Равенство каких еще сторон или углов надо установить, чтобы сделать вывод о равенстве треугольников на основании второго признака равенства9

[ У треугольников ABC и A1B1C1 равны стороны АС и A 1С 1 и углы А и А 1? Равенство каких сторон или углов надо установить, чтобы сделать вывод о равенстве треугольников на основании второго признака равенства треугольников?]

6) Докажите равенство треугольников ABC и СМК (ВМК)

hello_html_6cc03548.jpg

7) Посмотрите на рисунок Можно ли воспользоваться для установления равенства треугольников одним из известных вам признаков9

hello_html_m5601bafa.jpghello_html_m4afcbc04.jpgс Р hello_html_m4d3f1dd.jpgS


Математический диктант можно выполнять по вариантам, задания для второго варианта даны в квадратных скобках, можно предложить одно задание для всего класса.

  1. Объяснение нового материала.

Доказательство третьего признака равенства треугольников

отличается от доказательств первых двух признаков тем, что здесь не производится наложение одного треугольника на другой.

В процессе изучения теоремы о третьем признаке очень полезна работа с рисунками 70, б и 70, в из учебника, по которым можно показать, что в случае, когда луч CC 1 совпадает с одной из сторон угла А1С1В1 или проходит вне этого угла, доказательство проводится аналогично случаю, когда CC 1 проходит внутри угла A 1C 1 В 1 (рис. 70, а).


4. Закрепление нового материала.

Разобрать следующую задачу:

Треугольники ABC и АВС1 равнобедренные с общим основанием АВ. Докажите равенство треугольников ACС1 и ВСС1

hello_html_3fb02fca.jpg

.

Решать задачи по учебнику №138. 139.


5 . Итоги урока .


6. Домашнее задание:

п.19, 20, вопросы 14-15 (стр.50), решить задачи №136, 137.










Урок 22. Второй и третий признаки равенства треугольников.

Знать: формулировки и доказательства всех трех признаков равенства

треугольников. Уметь: применять эти признаки при решении задач.

Ход урока:

1. Организационный момент .

2 . Математический диктант.

Данные задания можно использовать для устной работы. Разночтения для второго варианта даны в квадратных скобках.

1)Стороны одного треугольника равны 30см, 40см и 0,5м, а другого -- 30см, 40см и 5дм Равны ли эти треугольники?

[В треугольнике АВС стороны равны 20см, 30см и 4дм, а в треугольнике ЕМК стороны равны 20см, 30см и 0,4м Равны ли эти треугольники?]

2) В треугольниках ВОС и МАЕ равны стороны ВО и МА ОС и АЕ

[В треугольниках АСМ и ВЕК стороны АС и СМ равны соответственно сторонам BE и ЕК] Обязательно ли эти треугольники равны?

3)Сколько равных пар сторон надо найти, доказывая равенство двух треугольников: а) по определению; б) по первому признаку; в) по второму признаку; г) по третьему

признаку?

[Закончите предложение «Третий признак равенства треугольников - это признак равенства по ...»]

4)В треугольниках АВС и РОТ [МКЕ] стороны АВ и ВС равны соответственно сторонам РО и ОТ [МК и КЕ]. Какое еще условие должно быть выполнено, чтобы эти треугольники оказались равными по третьему признаку?

5)В неравных треугольниках АВС и МЕК стороны АВ и ВС равны соответственно ME и ЕК. Может ли сторона АС быть равной стороне МК?

[ Стороны треугольника ВСМ равны 8 см, 10 см и 6 см, а две стороны треугольника КОА равны 10см и 6 см. Что можно сказать о третьей стороне этого треугольника, если известно, что треугольники не равны?]

6) Докажите равенство треугольников АВС и АСМ [АМК и АВК]

hello_html_3e63d32e.jpg

7) Докажите равенство треугольников АВС и АМК [ЕСМ и КСМ]

hello_html_m7b62103b.jpg

8) Докажите равенство треугольников СВО и СМО [ОМА и OPC)

hello_html_m4354df73.jpg

3. Решение задач.

№ 127. 130, 140,

4 . Итоги урока.

5. Домашнее задание:

п.19, 20, вопросы 14-15 (стр. 50), решить задачи №128, 129, 141.



Урок 23. Второй и третий признаки равенства треугольников.


Знать: формулировки и доказательства первого, второго и третьего

признаков равенства треугольников. Уметь: решать задачи, используя эти признаки.

Ход урока:


1. Организационный момент .

2. Опрос по теории.

Опросить учащихся о доказательстве второго и третьего признаков равенства треугольников (вопросы 14-15 на стр.48).


3. Решение задач.

Решить несколько задач на использование всех признаков равенства

треугольников.

Задача. 1) Точки А, В, С. D лежат на одной прямой, причем отрезки АВ и CD имеют общую середину. Докажите, что если треугольник ABE - равнобедренный с основанием АВ, то треугольник основанием CD

CDE — тоже равнобедренны*

hello_html_7b08061f.jpg

Задача. 2) Треугольники ABC и BAD равны, причем точки С и D лежат по разные стороны от прямой АВ. Докажите, что треугольники CBD и DAC равны.


hello_html_m7fb417f1.jpg

Решение

Рhello_html_23321535.gifhello_html_23321535.gifассмотрим CBD и ОАС.

АС = ВD (по условию),

СВ = AD (по условию),

CD - общая сторона треугольников, значит, равенству трех сторон.

Chello_html_23321535.gifhello_html_23321535.gifBD = ACD


Задача №131





4. Проверочная самостоятельная работа.

1 вариант

1. Докажите равенство треугольников ABE и ОСЕ на рисунке, если АЕ = ED, hello_html_7707454f.gif А =hello_html_7707454f.gif D.

Найдите стороны треугольника ABE, если DE - Зсм, DC = 4см, ЕС = 5см.

hello_html_mae94306.jpg

2. На рисунке А В = 4D ВС = DC

Докажите, что луч АС - биссектриса угла BAD


hello_html_6e56ce4a.jpg



II вариант

1) Докажите равенство hello_html_2e85d6ba.gifMQN и hello_html_2e85d6ba.gifRON по рисунку, если hello_html_7707454f.gifMON = hello_html_7707454f.gifPON, а луч NO - биссектриса hello_html_7707454f.gifMNP

Найдите углы треугольника NOP, если hello_html_7707454f.gifMNO = 42°, hello_html_7707454f.gifNMO = 28°, hello_html_7707454f.gifNOM =110°

hello_html_155b896f.jpg


2. На рисунке DE = DK, СЕ = СК.

Докажите, что луч CD - биссектриса угла ЕСК.

hello_html_m60bb4a37.jpg



5 . Итоги урока.


6. Домашнее задание:

п. 19-20, вопросы 14-15 (стр.50), решить №135, 132.







Урок 24. Окружность

Знать: определение окружности.

Уметь: объяснить, что такое центр, радиус, хорда, диаметр, дуга кружности.

Ход урока:

1. Организационный момент .

2. Итоги самостоятельной работы.

3. Объяснение нового материала.

Перед рассмотрением окружности и ее элементов вводится понятие определения. Желательно остановиться на этом вопросе и объяснить учащимся, что они фактически уже встречались с определениями некоторых геометрических фигур, например, треугольника, вертикальных углов.

Понятие окружности знакомо учащимся, поэтому нужно систематизировать знания, полученные из курса математики предыдущих классов. Закрепить понятие центра, радиуса, хорды, диаметра и дуги можно, используя рисунки, подобные рис.77, 78, 79 из учебника на стр,43. Организовать работу по заранее заготовленным плакатам или кодопозитивам, уделив особое внимание отработке определения окружности и ее элементов.

По данным рисункам определить радиусы, хорды, диметры, дуги, полуокружности.

hello_html_6795b9a1.jpg

4. Закрепление нового материала.

Решить задачи №143 (устно), 144, 147.

5. Самостоятельная работа.

Работа обучающего характера. Провести лучше в конце урока

I вариант

Отрезки КМ и EF являются диаметрами окружности с центром О. Докажите, что:

а) hello_html_7707454f.gifFEM = hello_html_7707454f.gifKME; б) КЕ и MF равны

II вариант

Отрезки ME и РК являются диаметрами окружности с центром О Докажите, что:

а) hello_html_7707454f.gifЕМР = hello_html_7707454f.gifMPK; б) отрезки МК и РЕ равны.

6. Итоги урока.

7. Домашнее задание:

п.21, вопросы 16 (стр.50), задачи №145, 146,



Урок 25. Задачи на построение.


Цель урока: уметь выполнять с помощью циркуля и линейки простейшие построения: отрезка, равного данному; угла, равного данному; биссектрисы данного утла; прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данной прямой; середины отрезка; применять простейшие построения при решении задач.

Ход урока:


1. Организационный момент.

2. Итоги самостоятельной работы.

3. Актуализация опорных знаний.


1)Дать определение окружности.

2) Как называется точка, равноудаленная от всех точек данной окружности?

3) Как называется расстояние от точки окружности до ее центра?

4) Дать определение круга

5) Какой отрезок называется хордой?

6)Что такое диаметр окружности?

7)Как называются части окружности? Части круга?


4. Изучение нового материала.

Целесообразно начать с напоминания об известных учащим

способах построения геометрических фигур с помощью различных инструментов (линейки с делениями, циркуля, транспортира и др.)

Но, оказывается, многие построения в геометрии могут быть выполнены с помощью только циркуля и линейки без делений.

Задачи на построение - именно такие задачи.

Акцентировать внимание учащихся нужно на том, приступая к решению задачи на построение, следует начертить фигуры, данные в условии.

Необходимо выполнить в тетради все задачи, которые разобраны в учебнике: построение отрезка, равного данном построение биссектрисы угла; построение перпендикулярных прямы построение середины отрезка.


5. Закрепление изученного материала.

Решить задачи №148, разобрать решение №153.


6. Итоги урока.


7. Домашнее задание:

п 21-23, вопросы 16-21 (стр.50), задачи№149, 154.





Урок 26. Задачи на построение.


Знать: определение окружности.

Уметь: объяснить, что такое центр, радиус, хорда, диаметр, дуга! окружности; выполнять с помощью циркуля и линейки! простейшие построения: отрезка, равного данному; угла,! равного данному; биссектрисы данного угла; прямой, I проходящей через данную точку и перпендикулярной к данной | прямой; середины отрезка.


Ход урока:


1. Организационный момент.


2. Решение задач.

Разобрать решение задач № 150, 151.


3. Зачетная работа.

Провести ее письменно по вариантам.

I вариант

1) Ответить на вопрос 7 (стр.49).

2 Ответить на вопрос 9 (стр.49).

3) Дан тупой угол. Постройте его биссектрису

4)Дан треугольник. Постройте его медиану.

5) Постройте треугольник с прямым углом.


II вариант

1)Ответить на вопрос 8 (стр. 49).

2) Ответить на вопрос 16 (стр.50).

3) Дан тупой угол. Постройте его биссектрису.

4)Даны прямая и точка, не лежащая на ней. Постройте прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.

5) Разделите отрезок на две равные части.


4. Итоги урока.


5. Домашнее задание:

п. 21-23\ задачи №152, 155.










Урок 27. Решение задач по теме «Треугольники».


Цель урока: систематизировать знания учащихся по теме

«Треугольники». Знать: основные определения, свойства фигур.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Составление и заполнение кроссвордов.

Урок провести в нестандартной форме, используя кроссворды. При создании кроссворда по математической тематике не

обязательно добиваться симметрии в размещении клеток для вписывания слов. Важно использовать идею этой игры для включения учащихся в активную умственную деятельность.

После того как на доску спроектирована фигура кроссворда, учитель читает поочередно для каждой команды характеристику геометрических терминов по горизонтали, а потом по вертикали.

Задача играющих каждой команды правильно назвать и вписать нужные термины. При этом игрок команды может вписать только один термин. После двух неверных попыток ход считается потерянным

Выигрывает та команда, которая вписала наибольшее число слои и охарактеризовала соответствующие свойства фигур.

По окончании игры можно предложить учащимся самостоятельно составить кроссворд. Приведем пример кроссворда.

/ команда

hello_html_m5b038d24.jpg


Ответы: 1) угол, 2) треугольник, 3) окружность, 4) сантиметр, 5) отрезок, 6) радиус, 7) медиана.

3) Фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки.

5) Часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками.

7) Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

По вертикали:

1) Фигура, состоящая из двух различных полупрямых с общей начальной точкой.

2) Фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

4) Единица измерения длины.

6) Расстояние от точки окружности do ее центра

И команда

......

hello_html_m612ba71e.jpg

1) касательная, 2) диаметр, 3} !теоре.ма, },Ь) высота, 6} хорда, 7) полупрямая.

По горизонтами:

2) Хорда, проходящая через центр окружности.

4) Углы, у которых одна сторона общая, э другие стороны этих углов являются дополнительными лучами.

7) Часть прямой, состоящая из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки.

По вертикали:

1) Прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку.

3) Утверждение, требующее доказательства.

5/ Перпендикуляр, проведенный из данной вершины к прямой, содержащей противоположную сторону треугольника.

6} Отрезок соединяющий две точки окружности.


3. Итоги урока.


4. Домашнее задание:

п 21-23.. вопросы 1-21 (сто 49-50), решить задачу №156 161.



















Урок 28. Решение задач по теме треугольники

Цель урока: закрепить навыки в решении задач на применение признаков равенства треугольников, продолжить работу по выработке навыков решения задач на построение с помощью циркуля и линейки, подготовить учащихся к предстоящей контрольной работе.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2 . Актуализация опорных знаний.


Ответить устно на вопросы: 1)Формулировка первого признака равенства треугольников) 2)Формулировка второго признака равенства треугольников.) 3)Формулировка третьего признака равенства треугольни 4)Какой треугольник называется равнобедренным? Равносторонним ?) 5)Перечислить свойства равнобедренного треугольника.

6) Определение медианы., биссектрисы, высоты треугольника.

7} Определение окружности и ее элементов: радиуса, диаметра, хорды, дуги.


3. Решение задачи

Решить задачу № 169 но учебнику (рис.95)

Решение

I) Рассмотрим hello_html_2e85d6ba.gifВОС и hello_html_2e85d6ba.gif DOE.У них ОС = ОД, ОВ = ОЕ (по условию),

hello_html_7707454f.gifDOE = hello_html_7707454f.gif ВОС, т.к. они вертикальные.

Значит, hello_html_2e85d6ba.gif ВОС = hello_html_2e85d6ba.gifDOE по двум сторонам и углу между ними.

2) У равных треугольников соответственные элементы равны, значит, hello_html_7707454f.gifDEO= hello_html_7707454f.gifOBC,

3) Рассмотрим hello_html_2e85d6ba.gif АВО и hello_html_2e85d6ba.gif EOF. OB = ОЕ (по условию),

hello_html_7707454f.gifEOP = hello_html_7707454f.gifВОА, т.к. они вертикальные,

hello_html_7707454f.gifОВА = hello_html_7707454f.gifOEF, т.к. равны смежные с ними.

Значит, hello_html_2e85d6ba.gif АВО = hello_html_2e85d6ba.gifEOF по стороне и двум прилежащим к ней углам. 4) У равных треугольников соответственные элементы равны, значит, АВ = EF.


4. Проверочная работа. Рассчитана на 25-30 мин.


I вариант

1) На рисунке АВ = AC, hello_html_7707454f.gifАСЕ = hello_html_7707454f.gif ABD.

а) Докажите, что hello_html_2e85d6ba.gifАСЕ = hello_html_2e85d6ba.gifABD.

hello_html_51c4f0b8.jpg

б) Найдите стороны треугольника ABD, если АЕ = 15см, ЕС = 10см, АС = 7см.

2) Известно, что в треугольниках ABC и А1В 1С 1, hello_html_7707454f.gifА = А1, АВ = А 1В 1 . На сторонах ВС и В 1С 1, отмечены точки К и K1, так что СК = С 1К 1.

Докажите, что hello_html_2e85d6ba.gifАВК = hello_html_2e85d6ba.gifA1B1K1.


II вариант

1) На рисунке АО = СО, hello_html_7707454f.gif ВАО = hello_html_7707454f.gifDCO. А) Докажите, что hello_html_2e85d6ba.gifBOA = hello_html_2e85d6ba.gif DOC. 6) Найдите углы треугольника BOA, если hello_html_7707454f.gifOCD =37е, hello_html_7707454f.gifODC =63°, hello_html_7707454f.gifСОД = 80°

hello_html_med4c213.jpg

2) Известно, что в треугольниках ABC и A 1B 1С 1

hello_html_7707454f.gifB = hello_html_7707454f.gifB1 , AB = A 1B 1 и ВС = В 1С 1

На сторонах АС и А1С1 отмечены точки К и К1 так,

Докажите, что hello_html_2e85d6ba.gif ВКС = hello_html_2e85d6ba.gifB 1K 1C 1.


5. Итоги урока


6. Домашнее задание:

вопросы 1-21 (стр. 49-50), решить задачи №159, 162.





























Урок 29. Решение задач по теме «Треугольники».

Цель урока: закрепить навыки в решении задач на применение признаков равенства треугольников, продолжить работу по выработке навыков решения задач на построение с помощью циркуля и линейки, подготовить учащихся к предстоящей контрольной работе.

Ход урока;

1. Организационный момент.

2 . Итоги самостоятельной работы,

3. Решение задач.

1) Задача №164.

Решение

hello_html_7707454f.gifA = hello_html_7707454f.gif В = hello_html_7707454f.gifC, т.к. hello_html_2e85d6ba.gifABC - равносторонний. AD = BE = CF{ по условию).

АЕ = BF = CD, т.к. являются частью сторон равностороннего треугольника.

Значит, hello_html_2e85d6ba.gif ADE = hello_html_2e85d6ba.gif BEF = hello_html_2e85d6ba.gif DCF по равенству двух сторон и углу между ними.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов, т.е. ЕД=ЕFF. Следовательно, hello_html_2e85d6ba.gif DEF - равносторонний.

2) Задача №171 .

с

hello_html_m35af2c7e.jpgРешение

Рассмотрим hello_html_2e85d6ba.gif АСВ и hello_html_2e85d6ba.gif ACD AD = СВ (по условию), ДС - общая сторона, hello_html_7707454f.gifCAD = hello_html_7707454f.gifACB. Значит, hello_html_2e85d6ba.gif АСВ = hello_html_2e85d6ba.gif ДСО по равенству двух сторон и углу между ними. Отсюда следует, что CD = AB, hello_html_7707454f.gifCDA = . hello_html_7707454f.gifABC, hello_html_7707454f.gifDCA = hello_html_7707454f.gifСАВ. hello_html_7707454f.gif DCB = hello_html_7707454f.gifВАД, т.к. являются частью равных углов (результатом разностей равных углов). Значит, hello_html_2e85d6ba.gifCOD = hello_html_2e85d6ba.gifАОВ по равенству стороны и двух прилежащих к ней углов. (CD= AB , hello_html_7707454f.gifADC = hello_html_7707454f.gifCBA, hello_html_7707454f.gifBCD = hello_html_7707454f.gifДАВ)

3) Задача 3.

С помощью циркуля и линейки постройте биссектрису угла равностороннего треугольника.

4) Задача 4.

С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок на четыре равных части

5) Задача №172.

с

hello_html_m6f02eb41.jpgРешение.

Рассмотрим hello_html_2e85d6ba.gif АСО =hello_html_2e85d6ba.gifAOD. АС = AD (по условию).

hello_html_7707454f.gifACD = hello_html_7707454f.gifADC как углы равнобедренного треугольника. АО является высотой hello_html_2e85d6ba.gif ACD, значит, биссектрисой и медианой, т.к. он равнобедренный. Значит, СО = О0. Рассмотрим hello_html_2e85d6ba.gif СОВ и hello_html_2e85d6ba.gif BOD. В них hello_html_7707454f.gifCOB = hello_html_7707454f.gifBOD = 90°, ОВ - общая сторона, СО = OD. Значит, hello_html_2e85d6ba.gifСОВ = hello_html_2e85d6ba.gifDOB по равенству двух сторон и углу между ними.

4. Итоги урока.

5 . Домашнее задание:

п.21, 22, 23, задачи №184, 167.



Урок 30 Контрольная работа №2

Цель урока: проконтролировать знания учащихся.


I вариант


1) Каждый из отрезков АВ и CD на рисунке точкой О делится пополам.

Докажите, что hello_html_7707454f.gifDAO = hello_html_7707454f.gifCBO.

С 1

hello_html_m2f0944d8.jpg

2) Луч AD - биссектриса угла А.

На сторонах угла А отмечены точки ВиС так, что hello_html_7707454f.gifADB = hello_html_7707454f.gifADC

Докажите, что АВ = АС.


  1. Начертите равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС. С помощью циркуля и линейки проведите медиану ВВ1 к боковой стороне АС.



II вариант


1) Каждый из отрезков ME и РК на рисунке точкой О делится пополам.

Докажите, что hello_html_7707454f.gifKMO = hello_html_7707454f.gifPEO.


hello_html_m10c06965.jpg


2)На сторонах угла D отмечены точки М и К так, DM=DK. Известно, что точка Р лежит внутри угла D и РК = РМ. Докажите, что луч DP - биссектриса угла МОК.


3) Начертите hello_html_2e85d6ba.gifABC с основанием АС

С помощью циркуля и линейки проведите высоту АН.





Урок 31. Признаки параллельности двух прямых

Знать: определение параллельных прямых, названия углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, формулировку признака (1) параллельности прямых; понимать, какие отрезки и лучи называются параллельными.

Уметь: показывать на рисунке пары накрест лежащих, соответственных, односторонних углов; доказывать признак параллельности двух прямых и использовать этот признак при решении задач; строить параллельные прямые при помощи чертежного угольника и линейки.


Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Итоги контрольной работы.

В работе над ошибками разобрать задачи, в которых допущено наибольшее количество ошибок. Работу над ошибками выполнить дома.

3. Изучение нового материала — лекция.

Назначение темы ввести понятие параллельных прямых, хотя

учащиеся были знакомы с ними ранее; рассмотреть первый признак параллельности двух прямых, связанный с накрест лежащими углами: показать, как он применяется при решении задач.

Изучение темы полезно начать с повторения случаев взаимного расположения двух прямых на плоскости.

hello_html_7d2f5226.jpghello_html_7fca0c14.jpg


Нет общих точек Одно общая точка

Можно предложить учащимся провести обоснование того факта, что две прямые не могут иметь двух и более общих точек, а затем дать определение параллельных прямых и соответствующее обозначение: а \\ в.

Повторить свойство двух прямых, перпендикулярных третьей по рис. 98.

По рис.99 из учебника можно ввести понятия параллельных отрезков, отрезка и прямой, луча и прямой, отрезка и луча, двух лучей.

'Затем объяснить, как называются пары углов при пересечении двух прямых секущей по рисунку подобному рис.100. При рассмотрении различных пар углов, образованных двумя прямыми секущей, рекомендуется провести работу, используя заранее заготовленные на доске рисунки иди плакаты.

Г) По рисунку назовите пары накрест лежащих углов, односторонних, соответственных

hello_html_m1270a5.jpghello_html_801f8a1.jpg

hello_html_6f4f817.jpg

2) На рисунке (в) hello_html_7707454f.gif4 = hello_html_7707454f.gif6. Докажите, что hello_html_7707454f.gif 5 =hello_html_7707454f.gif 3, hello_html_7707454f.gif 1 = hello_html_7707454f.gif 5, hello_html_7707454f.gif2 = hello_html_7707454f.gif8, hello_html_7707454f.gif1 = hello_html_7707454f.gif7. 3) На рисунке (в) hello_html_7707454f.gif1 = hello_html_7707454f.gif5.

А. Выпишите все пары накрест лежащих углов и докажите, что

в каждой паре углы равны.

Б. Выпишите все пары соответственных углов и докажите, что в

каждой паре углы равны.

В. Выпишите все пары односторонних углов и докажите, что

сумма углов в каждой из этих пар равна 180°.

Перед изучением признака параллельности двух прямых, использующего накрест лежащие углы, желательно повторить признак» равенства треугольников и утверждение о том, что две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются.

Нужно еще раз остановиться на определении параллельных прямых и отметить, что, так как прямые бесконечны, то невозможно непосредственно убедиться в том, что две прямые не имеют общей точки. Поэтому необходимо сделать вывод о параллельности прямых. Уместно напомнить учащимся, что с понятием «признак» уже встречались, когда изучали признаки равенства треугольников.

Теперь же предстоит ознакомиться с признаками параллельности двух прямых.

Доказательство теоремы - признака параллельности двух прямых использующего накрест лежащие углы, - полезно провести по текс учебника. Оно не является традиционным - во многих учебниках геометрии этот признак доказывается методом от противного. В процессе доказательства необходимо акцентировать внимание учащихся на назначении дополнительных построений (рис. 101 в учебника). Теорема важна и сама по себе, но ее значение усиливается тем, что на нее опираются доказательства других признаков параллельности прямых.


4 . Закрепление нового материала.

решить устно задачу №187, решение задачи №191 - записано на доске и в тетрадях учащихся.


4 . Итоги урока.


5. Домашнее задание:

п.24, 25 (1-я теорема), вопросы 1-3 (стр.68), задачи! №188, 190.











Урок 32. Признаки параллельности прямых.


Знать: определение параллельных прямых и название yглов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, формулировки признаков параллельности прямых; понимать, какие отрезки и лучи называются параллельными.

Уметь: показать на рисунке пары накрест лежащих, соответственных! односторонних углов; доказывать признаки параллельности двух прямых и использовать их при решении задач; строить параллельные прямые при помощи чертежного угольника и линейки.


Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация опорных знаний.

Провести опрос учащихся по следующим вопросам: определение прямых,

название и расположение пар углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей; формулировка и доказательство признака параллельности прямых с использованием накрест лежащих углов.

Решить устно упражнения:

1) Найти четыре пары параллельных прямых

hello_html_m28c7e4f0.jpg

2) Определить, параллельны ли прямые, если hello_html_7707454f.gif1 =hello_html_7707454f.gif7 = 45°

3) Определить по рисунку, параллельны ли прямые а и в?

3. Объяснение нового материала.

Два признака, использующих соответственные и Iодносторонние углы, можно предложить учащимся изучить I самостоятельно.

После этого следует рассмотреть практические способы построения параллельных прямых (п.26), обязательно построить их в тетради, используя угольник и линейку.


4. Закрепление нового материала.

В качестве упражнений на закрепление рассмотренных теорем предлагается решить задачи №186(а, в), №192. Для закрепления практического способа построения параллельных прямых учащимся нужно выполнить №195. В качестве повторения можно решить задачу на построение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данной прямой.


5. Итоги урока.


6. Домашнее задание:

п. 24-26, вопросы 1-6, задачи №186(6), 194.


Урок 33. Признаки параллельности прямых

Знать: определение параллельных прямых, названия углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, формулировки признаков параллельности прямых; понимать, какие отрезки и лучи называются параллельными.

Уметь: показать на рисунке пары накрест лежащих, соответственных, односторонних углов, доказывать признаки параллельности двух прямых и использовать их при решении задач, строить параллельные прямые при помощи чертежного угольника и линейки.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

-Выполнить следующие упражнения:

1)Прямые а и b пересечены секущей так, что внутренние накрест лежащие углы оказались равными.Сколько общих точек имеют прямые а и Ь?

2)Могут ли быть параллельными прямые АВ и АК?

3) Прямые р и с пересечены секущей так , что внутренние односторонние углы составили в сумме 200°. Сколько общих точек имею прямые р и с?

4 Посмотрите на рисунок1. Параллельны ли прямые AM и ВК, если известно

чтоhello_html_7707454f.gif2=hello_html_7707454f.gif 3.

Рис.1 hello_html_6d233c28.jpg рис.2 hello_html_m3919a03d.jpg

3. Опрос учащихся у доски.

Вызвать к доске для проверки знаний учащихся по теме «Признаки параллельности двух прямых»; проверить знание формулировок и доказательств теорем.

4. Решение задач.

1) На рисунке 2 СЕ = ED, BE = EF Докажите, что ВС || DF

2) Треугольники ABC и BAD равны. Точки С и D лея по разные стороны от прямой АВ. Докажите, что прямые t и BD параллельны.


5. Обучающая самостоятельная работа.

  1. Пhello_html_m55d4fae9.gifараллельны ли прямые d и I, изображенные рисунке? l

hello_html_m36d2df2a.gifhello_html_m59492c59.gifhello_html_4c951646.jpgd

hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_7707454f.gifl41°

  1. На рисунке точка Р - середина EL и KF. Докажите, что EF ||KL

hello_html_m59492c59.gifhello_html_70c9c36b.gifhello_html_m6aa3523a.jpghello_html_m6e205a68.jpg

hello_html_7d227518.gifК L

3) На рисунке MQ = NP, hello_html_7707454f.gif1 =hello_html_7707454f.gif2. Докажите, что MN || PQ

6. Итоги урока.

7. Домашнее задание:

п.24-26, вопросы 1-6 (стр.68), решить задачу №193.


Урок 34. Аксиомы параллельных прямых.


Знать: аксиому параллельных прямых и следствия из нее. Уметь: применять аксиому и следствия при решении задач.


Ход урока:


1. Организационный момент.

2. Объяснение нового материала - лекция.

Назначение параграфа - дать представление об аксиомах

геометрии, ввести аксиому параллельных прямых.

Учащиеся впервые встречаются с понятием аксиомы, поэтому учителю следует начать изложение нового материала с беседы об аксиомах геометрии, при подготовке которой можно использовать п.27 и приложение 1 и 2 из учебника, а также книгу Г.И.Глейзера «История математики в школе», справочную литературу. Эту беседу можно заменить сообщением, которое лучше поручить ученику, увлекающемуся математикой.

Затем полезно предложить учащемуся задачу (п.28):

Через точку М, не лежащую на прямой а, провести прямую, параллельную прямой а

Построение прямой, проходящей через точку М и параллельной прямой а, доказывает, что, по крайней мере, одна такая прямая существует. Естественно, возникает вопрос: Сколько таких прямых можно провести? Ответ на него дает аксиома параллельных прямых.

В аксиоме утверждается, что через точку, не лежащую на данной примой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Решить задачи №196 (устно) и 197.

При решении задачи №197 полезно показать учащимся на рисунке два возможных случаю расположения прямых:

а) все четыре прямые пересекают прямую/?;

б) одна из четырех прямых параллельна р, а три другие пересекают ее.

Эти два случая иллюстрируют ответ на вопрос задачи.

В этом параграфе впервые вводится понятие следствия, поэтому нужно разъяснить смысл этого понятия, после чего рассмотреть следствие 1 ° и 2° из аксиомы параллельных прямых.


3. Закрепление нового материала. Устно решить задачи №217, 218.

Решать письменно в тетради №198, 200, 213.


4. Итоги урока.


5. Домашнее задание:

п. 27-29, задачи №199, 219.





Урок 35. Свойства параллельных прямых.

Знать: аксиому параллельных прямых и следствия из нее. Уметь: доказывать свойства параллельных прямых и применять их при решении задач.

Ход урока:

1. Организационный момент .

2. Актуализация опорных знаний.

Ответить устно на следующие вопросы:

1) Сформулируйте аксиому параллельных прямых. 2) Сформулируйте следствия из аксиомы параллельных прямых.

3) Что такое аксиома?

4)Как называются углы при пересечении двух прямых секущей? 5)Сформулируйте признаки параллельности двух прямых.

6)Из чего состоит формулировка теоремы?

7)Что означает выражение «обратная теорема»?

3. Объяснение нового материала.

При рассмотрении свойств параллельных прямых желательно добиться того, чтобы учащиеся понимали:

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы можно рассматривать для любых двух прямых и секущей, но только в случае параллельных прямых накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, а сумма односторонних углов составляет 180°.

При доказательстве теоремы о накрест лежащих углах нужно отметить, что она является обратной признаку параллельности двух прямых.

Полезно сравнить условия и заключения этих теорем.

После рассмотрения теоремы следует заострить внимание учащихся на методе доказательства от противного, с помощью которого и доказана теорема.

Важно отметить, что если верно некоторое утверждение, то отсюда еще не следует, что и обратное утверждение верно.

Можно, например, предложить учащимся сформулировать утверждение, обратное теореме о смежных углах, и показать, что оно не имеет места.

Полезно также предложить учащимся подобрать один - два примера прямых и обратных утверждений.

Следствие из доказанной на уроке теоремы можно использовать в качестве задачи для самостоятельного решения с последующей проверкой.

Две другие теоремы учащиеся могут изучить самостоятельно по учебнику.

Для лучшего запоминания материала нужно предложить учащимся работу над составлением таблицы (признаки параллельных прямых и свойства параллельных прямых)

  1. Закрепление нового материала.

220. 202. 203(б).

  1. Итоги урока.

  2. Домашнее задание: № 203 (а), 201



II, I

ИI ;■

Урок 36. Свойства параллельных прямых

Знать: свойства параллельных прямых.

Уметь: доказывать свойства параллельных прямых и применять их при решении задач.

сг~> Ход урока:

1. Организационный момент .

2. Опрос учащихся.

Несколько учащихся должны сформулировать и доказать свойства параллельных прямых,

3. Устная работа: Выполнить следующие упражнения:

1) Назовите одну пару внутренних накрест лежащих углов, образованных прямыми АО и ME и секущей ВО.

S Р.

4) Прямые а и h параллельны.

Какие из обозначенных цифрами углов равны углу 1 ? Какие из обозначенных цифрами углов равны углу 2? с

hello_html_2f7be0e7.jpg

5\6

4. Решение задач. Решить №205, 206, 208.

Желательно разобрать решение задачи №212, обратив внимание на то, что свойство углов с соответственно параллельными сторонами, сформулированное в ней, часто применяется при решении задач, поэтому его полезно запомнить

5. Проверочная самостоятельная работа.

1) На рисунке прямые а и Ь параллельны, угол 2 на 34° больше угла 1. Найдите Z3»

а-

hello_html_m11492b19.jpg

hello_html_4be2c673.jpg

2) По этому же рисунку назовите одну пару внутренних односторонних углов для прямых PR и SQ и секущей ВС.

3) Прямые АВ и CD параллельны. Обязательно ли равны углы 1 и 2; 2 и 3; 1 и 4; 3 и 4?

А/5 В/

hello_html_64d625b0.jpg

2) Через вершину прямого угла С треугольника ABC проведена прямая CDf параллельная стороне АВ Найдите углы А и В треугольника, если ZDCB ~ 37°

Данная самостоятельная работа дана в одном варианте, лучше ее проверить сразу же на уроке с помощью кодоскопа.

6. Итоги урока.

7. Домашнее задание:

п.27-29, вопросы 7-15 (стр.68), №204, 207

Урок 37. Свойства параллельных прямых

Цель урока: привести в систему и углубить знания учащихся по данной теме, добиться четкого понимания того, когда в задаче нужно применить признак, а когда - свойство параллельных прямых, подготовить учащихся к предстоящей контрольной

работе.

Ход урока:

1. Организационный момент

2. Устная работа.

Выполнить упражнения:

1) Прямые а и b параллвпьчы hello_html_7707454f.gif 5 = 40 ° Какие еще углы равны 40 °

2) Прямые т и п параллельны, hello_html_7707454f.gif1 = 142°

Найдите величины остальных углов.

3) Прямые а, в и с параллельны. Известны величины двух углов.

Найдите величины углов, обозначенных цифрами.

hello_html_64b2ae52.jpg


3. Решение задач. Решать задачи такого вида:

1) Разность двух внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей равна 30°

Найдите эти углы.

2) Сумма двух накрест лежащих углов при двух параллельных прямых и секущей равна 150°.

Чему равны эти углы?

3) Один из углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 72°.

Найдите остальные семь углов.

4) Один из углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 30°

Может ли один из остальных семи углов равняться 70°?

Ответ объясните.

5) Один из внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей в 3 раза больше другого.

Найдите эти углы.

4. Итоги урока.

5. Домашнее задание:

п.27-29, вопросы 7-15 (стр.68), решить задачи №209, 210.

Урок 38. Свойства параллельных прямых

-1

Знать: аксиому параллельных прямых и следствия из нее. Уметь: доказывать свойства параллельных прямых и применять их при решении задач.

<У> Ход урока:

1. Организационный момент .

2. Устная работа.

Ответить на вопросы:

1) Какие утверждения называются аксиомами? Приведите примеры аксиом

2) Формулировка аксиомы параллельных прямых.

3) Какое утверждение называется следствием?

774) Сформулируйте следствия из аксиомы параллельных прямых.

5) Из каких двух частей состоит формулировка теоремы?

6) Какая теорема называется обратной данной теореме? Приведите примеры теорем, обратных данным.

7) Сформулируйте следствие из теоремы о прямой, перпендикулярной к одной из двух параллельных прямых.

3. Зачетная работа.

Разделить класс на три группы в зависимости от степени успеваемости по геометрии. Каждой группе дается письменное задание.

I группа

1) Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.

2) По данным рисунка найдите угол 1.

hello_html_m37407c8e.jpg

Л


/ \И2С

Г

hello_html_m23c0700d.jpg

II группа

1) Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей соответственные углы равны.

2) По данным рисунка найдите угол 1.

hello_html_m1611337e.jpg

III группа

1) Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°

2) По рисунку найдите значения неизвестных углов.

Для индивидуальной работы с сильными учащимися можно дополнительно дать №219.

4. Итоги урока.

5. Домашнее задание: п.27-29, задача №211(а, б).

Урок 39. Решение задач по теме «параллельные

прямые»

Цель урока: привести в систему и углубить знания учащихся по данной теме, добиться четкого понимания того, когда в задаче нужно применить признак, а когда - свойство параллельных прямых; подготовить учащихся к контрольной работе.

^з Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Итоги Зачетной работы.

3. Устная работа.

Выполнить следующие упражнения:

1) На плоскости даны три прямые: Ь, с и т. Прямые b и с пересекаются.

Могут ли они обе быть параллельны прямой т?

2) Чему равна сумма внутренних односторонних углов, если внутренние накрест лежащие углы равны?

3) Прямая а параллельна прямой Ь, а прямая b перпендикулярна прямой с. Что можно сказать о взаимном расположении прямых а и с?

4) На рисунке прямые аи b параллельны. Сумма углов 1 и 4 равна 236° Найдите величину угла 2.

78

79V

3\4

hello_html_m7502c3bf.jpg

b

5) По рисунку прочитайте вывод о параллельности прямых, если известно, что Z2-ZZ

hello_html_2858ce9d.jpg

6) По предыдущему рисунку запишите вывод о равенстве обозначенных цифрами углов, если AM \\ BK

4. Решение задач. Разобрать подробно №216 Решение

А

R

hello_html_m650ad7e3.jpg

D

1) z ADC и ZADF- смежные, значит,

ZADF = 180°- 48°= 132°

2) ZADE = ZEDF, так как DE - биссектриса Z ADF ZADE- 132:2 = 66°

3) АЕ и CD параллельны, т.к. сумма внутренних односторонних углов равны 180°, т.е. 78 + 102 = 180°

4) Используем свойство параллельных прямых: накрест лежащие углы равны.

Z CD А и Z EAD - накрест лежащие для прямых АЕ и CD и секущей ДО.

&£д Урок 40, Контрольная работа №3 Цель урока; проконтролировать знания учащихся.

I вариант

1) Отрезки EF и PQ пересекаются в их середине М. Докажите, что РЕ || QF.

2) Отрезок DM ~ биссектриса треугольника CDE Через точку М проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону DE в точке N.

Найдите углы треугольника DMN, если ZCDE -68°

Нвариант

1) Отрезки PN и ED пересекаются в их середине М. Докажите, что EN \\ PD.

2) Отрезок DM - биссектриса треугольника ADC Через точку М проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону DA в точке N.

Найдите углы треугольника DMN, если ZADC = 72°

fl Урок 41. Сумма углов треугольника. Знать: формулировку теоремы о сумме углов треугольника. Уметь: доказывать ее и применять при решении задач.

i Х

Ход урока:

1. Организационный момент. 2 . Итогч* контрольной работы.

Разобрать в классе те задачи, в которых допущено наибольшее количество ошибок, работу над ошибками выполнить дома. 3. Объяснение нового материала. Изучение теоремы полезно начать со следующей задачи: На рисунке прямые BD и АС параллельны. Найдите сумму углов треугольника ABC

82

s

hello_html_3b7e949a.jpg

Затем перед учащимися можно поставить вопрос: «Случайно ли сумма углов данного треугольника ABC

оказалась равной 180°, или этим свойством обладают все

треугольники?»

Поиск ответа, естественно, приводит к формулированию

теоремы о сумме углов треугольника. Доказать теорему о сумме углов

треугольника.

4. Закрепление нового материала. Решить устно задачи №223(а,б,г), 225, 226.

Желательно, чтобы решения задач №227(6), 228(а,в), 229 были записаны на доске и в тетрадях учащихся, причем задачу №228(в) полезно решать сразу же после №226.

5. Итоги урока.

6. Домашнее задание:

п.ЗО, задачи №223(в), 227(а), 22д(в).

Урок 42. Сумма углов треугольника

Знать: формулировку теоремы о сумме углов треугольника и ее следствия; какой угол называется внешним углом треугольника.

Уметь: доказывать теорему о сумме углов треугольника.

<У> Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Опрос учащихся,

Устно повторить формулировку теоремы, у доски учащиеся должны доказать теорему о сумме углов треугольника.

83

3. Устная работа.

Найти неизвестные углы треугольников, изображенных на рисунках.

hello_html_679c1cf7.jpg

4 . Объяснение ковоз?о материала.

Следует ввести понятие внешнего угла треугольника и предложить учащимся самим доказать в качестве следствия из теоремы о сумме

углов треугольника, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

5. Закрепление нового материала. Решить задачи №232, 233,

Ниже приведена примерная запись решения задачи №232. (Ее нужно составить под руководством учителя, так как задача требует дополнительных построений в связи с тем, что признак равнобедренного треугольника изучается позже)

Дано: Z СВЕ ~ внешний угол треугольника ABC,

Доказать: A ABC ~ равнобедренный.

hello_html_m43aff7e8.jpg

Доказательство:

Проведем биссектрисы BF и BD смежных углов СВЕ и ABC; BF 1 ВО (ссылка на задачу №83);

BF || АС, так как Z1-Z2-Z3, а углы 1 и 3 -соответственные при пересечении прямых BF и АС секущей АВ

BD JL АС, так как ВО 1 BF, a BF || АС

Б треугольнике ABC биссектриса ВО является и высотой, следовательно А АВС - равнобедренный (ссылка на задачу №133).

Можно не использовать задачу №133.

Тогда нужно заметить, что Z 2 = Z 4 - накрест лежащие углы для параллельных прямых BF и АС и секущей ВС

A ABD = A BDC по равенству стороны (ВО - общая сторона) и двух прилежащих к ней углов (Z ABD = Z DBC, Z ADB = ZBDC)

85

У paetibtx- треугольников соответственные теменгпы равны, значит АВ - ВС.

Следовательноt Л АЗС - равнобедренный.

Обратное утверждение также верно, а именно: ее и и треугопьник равнобедренный, то внешний угол при вершине, противолежащей основанию, в два раза больше угла при основании Действительно, этот внешний угол равен сумме двух углов при основании равнобедренного треугольника, у которого углы при основании равны.

Поэтому внешний угол в два раза больше угла при основании треугольника.

Решение задачи №233

hello_html_1ded546a.jpg

ZXc

z' DBF - ,■:::" FBC, так как BF - биссектриса ZDBC.

,'•■;'' ВАС ~ ^ ВС А, так как л ABC -~ равнобедренный. z DBC равен сумме двух равных углов Z DBF и ZFBC.

В то же время Z DBC - внешний угол.

Значит] он равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним

Поэтому ...,г DBC = ,.;" ВАС*/" АСВ

Получилось, что .-■:' DBC равен сумме двух одинаковых углов дважды, значит, эти углы равны между собой, то есть

Прямые АС и BF будут параллельны, так как равны накрест лежащие углы при секущей ВС

Значит бчс1екпири< <i BF в*<чшнего углэ при вершине ^ гщу у^о/,ы'//<< •/>. >тиволежащей основанию.

6 Итогм yji^K'J J. Доменное» йз,п

г :>■.: еогоось, < ■? и

. ^эпача №234

Урок 43. Сумма углов треугольника

Знать: какой угол называется внешним углом треугольника, какой треу г о л ь н и к и аз ы ваетс я остроу гол ьн ым, i у i ю у гол ь н ы м, пря м оу гол ь ны м.

Уметь: доказывать теорему о сумме углов треугольника и ее следствия.

4ri Ход урока:

1, Организационный момент.

2. Опрос учащихся.

Вызвать несколько учащихся для доказательства теоремы о сумме углов треугольника и следствия о внешнем угле треугольника.

3. Объяснение нового материала.

Перед введением классификации треугольника по углам полезно задать учащимся такие вопросы: Может ли треугольник иметь

а) два прямых угла, б) два тупых угла; в)один прямой и один тупой угол.

Ответы должны быть обоснованы с помощью теоремы о сумме углов треугольника.

Рассмотрев ответы, класс делает вывод (следствие из теоремы):

В любом треугольнике либо все три угла острые, либо два угла острее, а третий тупой или прямой.

Теперь можно .ввести понятие остроугольного, тупоугольного и прямоугольною треугольников и акцентировать внимание учащихся на названиях сторон прямоугольного треугольника гипотенуза, катеты.

4, Закрепление изученного материала.

Целесообразно создать игр«тую ситуацию с помощью ТСО. проектируя на доску задачи рисунки. ! !рм работе с задачами-рисунками учитель легко определяет степень усвоения учащимися материала выявляв пробелы в знаниях. Каждому ряду предлагаются соответственно задачи-рисунки 1, 2, 3.

Задание состоит в том, чтобы найти величину угла.

Набирает большее количество очков тот ряд, где наибольшее число учащихся правильно ответили на вопрос задачи. Рисунки поочередно предлагаются каждому ряду. Ответы подаются к столу учителя капитанами с указанием фамилии ученика. В конце урока подводится итог.












5. Итоги урока.

6. Домашнее задание: п.30, вопросы 1-5 (стр.89), задачи №230, 231.


Урок 44, Сумма углов треугольника

Знать: формулировку теоремы о сумме углов треугольника и ее следствия; какой угол называется внешним углом треугольника, какой треугольник называется остроугольным, тупоугольным, прямоугольным.

Уметь: доказывать теорему о сумме углов треугольника и ее следствия; применять теорему и следствия при решении задач.

ю Ход урока:

1. Организационный момент ,

2. Дидактическая игра лабиринт».

«Вычислительный

Для проверки умения учащихся решать задач** по данной теме составляются упражнения на карточках так, что каждое следующее задание выполняется с использованием ответа предыдущего.

Наборы карточек готовятся для каждого ученика одной команды (8-10 наборов) и под копирку размножаются в двух-трех экземплярах для остальных команд., только в карточках для других команд вписываются иные значения углов. Последовательность нумерации карточек для одного ученика - 1, 2, 3.

Контрольные числа (ответы к последней задаче) сообщаются капитану каждым учеником команды.

Сумма контрольных чисел всех участников является контрольным числом всей команды.

Правила командной игры накладывают большую ответственность на каждого ученика, ибо ошибка, допущенная одним, отражается на результате всей команды.

Из двух или трех команд побеждает та, которая первая правильно записала контрольное число. Учитель внимательно следит за самостоятельной работой учащихся. Тем из них, кто не обращался за консультацией, и подал правильное контрольное число, выставляется оценка в журнале с учетом домашнего задания. Контрольные числа учитель выписывает на отдельной карточке по вариантам команд.

Пример задания для одного ученика смотрите ниже.

89

3 ZC3A3D3- ZB2C2A2

hello_html_1f2a109d.jpg

3, Обучающая самостоятельная работа (на 15-

20нин).

1) Один из углов равнобедренного треугольника равен

96 °. Найдите два других угла треугольника.

2) В треугольнике СОЕ с углом Е, равным 32°, проведена биссектриса CF, ^'CFD » 72°.

Найдите угол О.

3) Дополнительное задание,

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AM и BN, пересекающиеся в точке К, причем ZAKN = 58°. Найдите ZACB

4. Итоги урока.

5. Домашнее задание:

п.30-31, вопросы 1-5 (стр.89), задача №235.

Урок 45. Соотношения между сторонами и углами треугольника

Знать: формулировку теоремы о соотношениях между сторонами и

углами треугольника. Уметь: доказывать теорему о соотношениях между сторонами и

углами треугольника; применять теорему при решении задач.

90



<У> Ход урока:

1. Организационный момент .

2. Опрос учащихся. Провести опрос по домашнему заданию: Вопросы 1 -5, задача №235.

3. Устная работа. Выполнить упражнения:

1) В треугольнике ABC ZA -37°, ZB~ 109° Найдите величину угла С.

2) Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 32°. Какова величина другого острого угла?

3) Вычислите углы равнобедренного треугольника, если угол при вершине треугольника равен 28°

4) Вычислите углы равнобедренного треугольника,

если угол при основании равен 77°.

5) Вычислите величины острых углов прямоугольного

равнобедренного треугольника.

6) Найдите неизвестный угол

hello_html_m2d008157.jpg

7) Объясните, почему в треугольнике не может быть

больше одного:

а) тупого угла;

б) прямого угла.

4. Объяснение нового материала.

Изучение темы можно начать с решения подготовительной задачи. Дано: Л МОС, М-К-С, КМ = ОМ.

Доказать: a) Z1 < Z 3; б) Z МОС > Z 3.

О

hello_html_9045305.jpg

91

Доказательство:

Z I является частью угла МОС, значит, /Л < Z МОС,

т.е. ZMOC > Z1. '

Z 2 - внешний для А ОКС, Z 2 = Z 3+Z КОС,

Значит, Z 2 > Z 3.

Л MOD - равнобедренный, следовательно, Z1 - Z 2.

Значит, Z 1 > Z 3, Z МОС > Z 3.

Затем следует сформулировать и доказать первое утверждение теоремы (в треугольнике против большей стороны лежит больший угол).

Перед изучением второго утверждения теоремы (в треугольнике против большего угла лежит большая сторона) полезно напомнить учащимся о том, какая теорема называется обратной данной, и предложить привести примеры обратных теорем, изученных ранее.

Целесообразно дать возможность учащимся самостоятельно сформулировать утверждение, обратное первому утверждению теоремы.

На классной доске нужно составить таблицу и попросить учащихся переписать ее в свои тетради.

Теорема

Обратная теорема

Дано (условие): A ABC, AB > АС

Дано: AABC,ZACB > ZABC

Доказать (заключение); ZACB > ZABC

Доказать: АВ > АС

Доказательство обратного утверждения проводится методом от противного.

В связи с этим полезно вспомнить, что при сравнении двух отрезков, например, CD и EF, возможен один из трех случаев: CD > EF, CD = EF, CD < EF.

Поэтому, если мы предполагаем, что CD не больше EF, то возможны два случая: либо CD = EF, либо CD < EF.

После таких предварительных рассуждений учащиеся лучше поймут, почему, предположив, что АВ не больше АС, мы рассматриваем два возможных случая: либо АВ = АС, либо АВ < АС.


5. Закрепление нового материала. Решить устно №236, 237, решить письменно в тетради №238.




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 29.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров2326
Номер материала ДВ-209778
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх