Поурочный план урока по теме "Логарифмы и их свойства" (11кл.)

ТЕМА "ЛогарифмЫ и ИХ свойства".     11 класс

тип урока: формирование новых знаний.

Цели: уч-ся ознакомятся с понятием "логарифм ";

научатся выделять простейшие свойства логарифмов, вычислять  значение логарифма по определению и   с помощью показательного уравнения;

научатся применять полученные знания при решении типовых заданий ЕГЭ.

Ход урока

I. Организационный момент.

Создание  комфортных условий для учебного процесса, настрой на работу.

II. Анализ результатов контрольной работы.

Проанализировать полученные учащимися результаты, выявить типичные ошибки. Вынести на доску решение примеров, в которых было допущено наибольшее число ошибок. Работу над ошибками ученики выполняют дома самостоятельно.

III. Актуализация опорных знаний .

Устная работа.

1. Представьте в виде степени с основанием 5.

а) 125;       б) 0,2;       в) ;       г) 1;       д) ;       е) .

2. Решите уравнение.

а) 3^x = ;                б) х³ = 27;                 в) ;

г) х⁵ = 1;                   д) = 1;            е) х⁶ = 29;

ж) 3^х = 2^х;                 з) x⁵ = ;               и) = 81.

IV. Формирование новых знаний.

Интерактивная беседа. Частично-поисковая работа.

 Решение проблемы (2^х = 6- как решить?!).

1. Мотивация изучения.

Понятие логарифма вводится при помощи графических соображений (как понятие корня п-ой степени). Таким образом, чтобы ввести понятие логарифма, обратимся к решению показательных уравнений графическим методом.

Рассмотрим уравнения 2^х = 4; 2^х = 6; 2^х = 8.

На рисунке  132   со с. 225 учебника показано графическое решение данных уравнений. Как видим, первое и третье уравнения имеют натуральные корни 2 и 3, а для второго уравнения существует единственный корень (в силу монотонности функции у = 2^х), но мы не можем определить его точное числовое значение х₀, мы только с уверенностью можем утверждать, что 2 < х₀ < 3. Возникает необходимость, как и в случае решения степенных уравнений, ввести новый символ математического языка: log ₂ – логарифм по основанию 2.

2. Определение логарифма.

Определение. Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию а называют показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получилось число b.

Символьная запись:

log _a b = x,   b > 0,   a > 0,   a ¹ 1   Û   a^x = b.

Учащимися  усваивается понятие, что логарифм -это показатель степени. Это даст возможность алгоритмизировать решение простейших показательных уравнений методом уравнивания показателей.

Пример: Решить уравнение 3^х = 11.

 Мы должны обе части равенства представить в виде степени с основанием 3.

Запишем: 3^х = 3^c

В  пустом  квадратике  должен  быть  показатель  степени,  значит, там будет логарифм по основанию 3 числа 11 (так как по определению нам нужен показатель степени, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 11).

Значит,  3^х = ;

              x = log ₃ 11.

Отсюда получаем свойство логарифма (выводят свойство вместе с учителем)

3. Простейшие свойства логарифмов.

Кроме того, решать простейшие показательные уравнения можно, опираясь на определение логарифма как показателя степени.

Пример: 5^х = 16. По определению логарифма x = log ₅ 16.

Отсюда вытекают еще три простейших свойства логарифма:

                    

Учитель предлагает  учащимся обосновать эти формулы самостоятельно. Также,  предложить самостоятельно доказать (методом от противного), что log ₂ 6 – иррациональное число( для более подготовленных учащихся).

4.  Учащиеся осознают, что операции логарифмирования и возведения в степень являются взаимообратными (для соответствующих оснований):

Возведение в степень	Логарифмирование
52 = 25	log 5 25 = 2
24 = 16	log 2 16 = 4
3–3 =	log 3  = –3

5. Рассматриваем частные логарифмы, а именно, с основанием 2, е, 10, с обоснованием их важности.

V. Первичное закрепление полученных знаний.

Упражнения, решаемые на этом уроке, можно условно разбить на группы.

I группа. Вычисление значения логарифма по определению либо сведением к решению простейшего показательного уравнения.

II группа. Применение простейших свойств логарифма для преобразования логарифмических выражений.

III группа. Решение простейших логарифмических уравнений.

IV группа. Решение показательных уравнений и неравенств.

 I группа заданий. № 476 (устно), 477, 478 (устно), 479(б,г), 480(в,г).

Решение:

№ 479(б,г).

а) log ₄ 16 = 2, так как 4² = 16;

г) log ₅ 125= 3, так как 5³ = 125.

№ 480(в,г).

в) lg 0,01 = lg 10^–2 = –2.

г) log ₃  = log ₃ 3^–3 = –3;

№ 482 (а,б)- самостоятельно (парная работа ,2 мин).

Для работающих с опережением запись на доске: 

 = 5;

  = –6.

II группа заданий. № 483- устно .

Преобразовать выражения (запись на доске).объясняет учитель :

а)  = 8 · 9 = 72;

б)  = 7 · 4 = 28.

Работа в тетрадях(парная работа с взаимопроверкой)

а)  = 3² = 9;

б) .

III группа заданий. № 484(устно), 485 (а; г) , 486 (а; б).

Решение:

№ 485(а,г)

а) log ₄ x = -3;   x = 4^-3;   x = 1/64.

г) log _0,5 x = -2;   x = 0,5^-2;   x = 4;  

Ответ: а) 1/64; г) 4.

№ 486(а,б)

а) log ₄ x = –;   x = ;   x = ;   x = ;

б) log _0,125 x = –;   x = ;   x = ;   x = 0,5^–2;   x = 2.

Ответ: а) ; б) 2.

 IV группа заданий. № 495 (устно), 497 (а; б) -для более подготовленных уч-ся.

а) 3^{x + 1} = 14;   x + 1 = log ₃ 14;   x = log ₃ 14 – 1;

б) 4^{5x – 4} = 10;   5x – 4 = log ₄ 10;   5x = log ₄ 10 + 4;   x = .

Ответ: а) log ₃ 14 – 1; б).

VI. Формирование умений применять полученные знания.

 Самостоятельная работа-работа в группах(4 группы).

Вариант 1

1. Вычислите log _0,5 0,5 · log ₉ .

2. Решите уравнение( типовое задание №6  ЕГЭ)

а) log ₃ x = –4;                    б) log _x 64 = 6.

Вариант 2

1. Вычислите lg 10 · 125 + .

2. Решите уравнение( типовое задание №6  ЕГЭ).

а) log ₂₅ x = ;                    б) log _x 1000 = 3.

Вариант 3

1. Вычислите log _0,2 .

2. Решите уравнение( типовое задание №6  ЕГЭ).

а) lg x = –1;                        б) log _x 256 = 8.

Вариант 4

1. Вычислите · lg 135 + .

2. Решите уравнение (типовое задание №6  ЕГЭ).

а) log _p x = 0;                      б) log _x 2 = .

VII.  Рефлексия

Вопросы учащимся : Что изучили сегодня на уроке?  Чему научились?

– Сформулируйте определение логарифма числа b по основанию а.

– Чему равно значение log ₃ 9;  log ₂ ;  log ₅ 1?

– Назовите простейшие свойства логарифма.

– Как  соотносятся  операции  возведения  в  степень  и  логарифмирования?

 Подведение итогов урока.

Оценка деятельности уч-ся и выставление отметок.

Домашнее задание: №479(а,в) ; 480 (а;б), 482(в; г), 485 (б;в ),486 (в; г).

Творческое задание:составить синквейн по терминам изученной темы.