III.
Актуализация знаний
Цель
этапа: подготовка мышления учащихся и организация осознания ими внутренней
потребности к построению нового способа действий. Организует повторение знаний, закрепление умений. По
методу «Ромашка Блума»
Определение системы счисления.
Система счисления — это знаковая система, в которой числа записываются по определенным
правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.
Все системы счисления делятся на две большие
группы:
- позиционные и непозиционные системы
счисления.
Системы счисления
Позиционные
Непозиционные
Позиционные системы:
В позиционных системах счисления значение
цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных — не зависит.
Непозиционные системы счисления.
Как только люди начали считать, у них
появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках
первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество
предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок,
черточек, точек.
Позже, для облегчения счета, эти значки
стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется
единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения
одного знака, символизирующего единицу.
Сами того не осознавая, единичной системой
счисления пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст, или используя
для этого счетные палочки.
Примером непозиционной системы, которая
сохранилась до наших дней, может служить римская система счисления. В основе
римской системы счисления лежат знаки I (один палец) для числа 1, V
(раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для числа 10, а для
обозначения чисел 50, 100, 500 и 1000 используются латинские буквы L, С, D и
М.
В римской системе счисления количественное
значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например, в римском числе
ХХХ (30) цифра Х встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и туже
величину – число 10, три раза по 10 в сумме дают 30.
Пример римской системы счисления.
Величина числа в римской системе счисления
определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит
слева от большей, то она вычитается, если справа - прибавляется. Например,
запись десятичного числа 28 в римской системе счисления будет выглядеть
следующим образом:
XХVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1.
ХСIХ = -10 + 100 – 1 + 10
В настоящее время наиболее распространенными
позиционными системами счисления являются десятичная и двоичная.
Десятичная система счисления имеет алфавит цифр, который состоит из десяти всем известных, так
называемых арабских цифр.
Алфавит двоичной системы – две цифры.
Система счисления
|
Основание
|
Алфавит цифр
|
Десятичная
|
10
|
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
|
Двоичная
|
2
|
0, 1
|
Любое число, записанное в позиционной
системе счисления с произвольным основанием, можно записать в развернутой
форме.
Пример записи чисел в развернутой форме.
В развернутой форме записи числа умножение
цифр числа на основание производится в явной форме. Так, в развернутой форме запись
числа 555 в десятичной системе будет выглядеть следующим образом:
55510 = 5*102 + 5*101
+ 5*10°.
Человек использует десятичную систему
счисления, а компьютер – двоичную. Поэтому часто возникает необходимость
перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную и наоборот.
Перевод чисел в позиционных системах счисления
Человек использует десятичную систему счисления,
а компьютер - двоичную систему счисления. Поэтому часто возникает
необходимость перевода чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот.
Перевод чисел из двоичной системы счисления в
десятичную систему счисления.
Преобразование чисел из двоичной системы счисления в десятичную выполнить
довольно легко. Для этого необходимо записать двоичное число в развернутой
форме и вычислить его значение.
Возьмем любое двоичное число, например 10,112.
Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления:
10,112 = 1 21 + 0 20
+ 1 2-1 + 1 2-2 = 1 2 + 0 1 + 1 1/2 + 1 1/4
= 2,7510.
Перевод целых чисел из десятичной системы счисления
в двоичную систему счисления.
Алгоритм перевода целого десятичного числа в двоичное следующий:
1) последовательно выполнять деление исходного
целого десятичного числа и получаемых целых частных на основание системы
счисления (на 2) до тех пор, пока частное от деления не окажется равным нулю;
2) получить искомое двоичное число, для чего
записать полученные остатки в обратной последовательности.
В качестве примера рассмотрим перевод десятичного
числа 1910 в двоичную систему счисления, записывая результаты в
таблицу (табл. 4.2).
Таблица 4.2. Перевод целого числа из десятичной системы
счисления в двоичную
|
|
В результате получаем двоичное число:
А2 = 100112.
Перевод десятичных дробей в двоичную систему счисления.
Алгоритм перевода десятичной дроби в двоичную следующий:
1) последовательно выполнять умножение исходной
десятичной дроби и получаемых дробей на основание системы (на 2) до тех пор,
пока не получим нулевую дробную часть или не будет достигнута требуемая
точность вычислений;
2) получить искомую двоичную дробь, записав
полученные целые части произведений в прямой последовательности.
В качестве примера рассмотрим перевод десятичной
дроби 0,7510 в двоичную систему, записывая результаты в таблицу
(табл. 4.3).
Таблица 4.3. Перевод дробного числа из десятичной
системы счисления в двоичную
|
|
В результате получаем двоичную дробь:
А2 = 0,112.
Перевод чисел, содержащих и целую, и дробную
часть, производится в два этапа. Отдельно переводится по соответствующему
алгоритму целая часть и отдельно - дробная. В итоговой записи полученного
числа целая часть от дробной отделяется запятой.
Задания для самостоятельного выполнения
4.6. Задание с развернутым ответом. Переведите в
десятичную систему двоичные числа: 1012, 1102, 1112
4.7. Задание с развернутым ответом. Переведите
целое десятичное число 102 в двоичную систему счисления.
4.8. Задание с развернутым ответом. Переведите
десятичную дробь 0,252 в двоичную систему счисления.
4.9. Задание с развернутым ответом. Переведите
десятичное число 10,252 в двоичную систему счисления.
Арифметические операции в позиционных системах счисления
Арифметические операции во всех позиционных
системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным вам правилам.
Сложение. Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления.
В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1,
1 + 0 = 1,
1 + 1 = 10.
Важно обратить внимание на то, что при сложении
двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший
разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем
становится равной или большей основания системы счисления, для двоичной
системы счисления - большей или равной 2.
Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит
в соответствии с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных
переносов из младших разрядов в старшие. В качестве примера сложим в столбик
двоичные числа 1102 и 112.
Проверим правильность вычислений сложением в
десятичной системе счисления. Переведем двоичные числа в десятичную систему
счисления и затем их сложим.
1102 = 1 22 + 1 21
+ 0 20 = 610
112 = 1 21 + 1 20
= 310
610 + 310 = 910
Теперь переведем результат двоичного сложения в десятичное
число.
10012 = 1 23 + 0 22
+ 0 21 + 1 20 = 910
Сравнение результатов показывает, что сложение
выполнено правильно.
Вычитание. Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит
таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего
числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем
обозначен 1 с чертой.
Вычитание многоразрядных двоичных чисел
происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей вычитания с учетом
возможных заемов из старших разрядов. В качестве примера произведем вычитание
двоичных чисел 1102 и 112.
Умножение. В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных
двоичных чисел:
Умножение многоразрядных двоичных чисел
происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей умножения по обычной
схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным
умножением множимого на очередную цифру множителя. В качестве примера
произведем умножение двоичных чисел 1102 и 112.
Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному
алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. В
качестве примера произведем деление двоичного числа 1102 на 112.
Для проведения арифметических операций над
числами, выраженными в различных системах счисления, необходимо
предварительно перевести их в одну и ту же систему.
Контрольные вопросы
1. Чем отличаются позиционные системы счисления
от непозиционных?
2. Каково основание десятичной системы счисления?
Двоичной системы счисления?
3. Какие цифры входят в алфавит десятичной
системы счисления? Двоичной системы счисления?
4. На какую величину в позиционных системах
счисления различаются одинаковые цифры, стоящие в соседних разрядах числа?
5. Может ли в качестве цифры использоваться
символ буквы?
Задания для самостоятельного выполнения для группы
4.1. Задание с кратким ответом. Запишите числа
3,1410 и 10,12 в развернутой форме.
4.2. Задание с кратким ответом. Во сколько раз
увеличатся числа 10,110 и 10,12 при переносе запятой на
один знак вправо?
4.3. Задание с кратким ответом. При переносе
запятой на два знака вправо число 11,11x увеличилось в 4 раза.
Чему равно основание системы счисления x?
4.4. Задание с кратким ответом. Какое минимальное
основание может иметь система счисления, если в ней записано число 11? Число
99?
4.5. Задание с кратким ответом. Запишите год,
месяц и число своего рождения с помощью римских цифр.
Задание для группы
1 группа: Иформация.
2 группа: Кодирование.
3 группа: Числовые информации
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.