Логотип Инфоурока

Получите 30₽ за публикацию своей разработки в библиотеке «Инфоурок»

Добавить материал

и получить бесплатное свидетельство о размещении материала на сайте infourok.ru

Инфоурок География Другие методич. материалыПоурочные разработки по алгебре 7 класс - к учебнику Ю.Н. Макарычева - 2014 год

Поурочные разработки по алгебре 7 класс - к учебнику Ю.Н. Макарычева - 2014 год

125


Урок №65

умножение многочлена на многочлен

Цели: вывести правило умножения многочлена на многочлен и формировать умение применять это правило.

Ход урока

I. Организационный момент

Устная работа.

Выполните умножение.

а) а (ху); б) hello_html_768e6a91.gifp (3 – q); в) –2х (х – 4);

г) 4y hello_html_m68899815.gif; д) hello_html_79c98e7d.gifc2 (c3 + 2); е) –5х (3х2 – 4);

ж) 2a4 hello_html_7aee2264.gif; з) –q7 (q3q5).

II. Объяснение нового материала.

Объяснение проводится в несколько этапов согласно материалу учебника.

1. Вывести правило умножения многочлена на многочлен и наглядно представить его на доске:

hello_html_25a586ea.png

2. Сформулировать полученное правило, попросить нескольких учащихся повторить его.

3. Разобрать примеры применения правила.

Пример 1.

hello_html_m55a993d9.png

Пример 2.

hello_html_m1e15332b.png

Пример 3.

hello_html_m40aa3643.png

Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения алгебраически сложить.

Пример 1

Умножим многочлен А = 3а2 - 2ab + b2 на одночлен В = -2ab.

Получаем А ∙ В = (3а2 - 2ab + b2) ∙ (-2ab) = 3а2 ∙ (-2ab) - 2ab ∙ (-2ab) + b2 ∙ (-2ab) = -6а3b + 4а2b2 - 2ab2.

Заметим, что если многочлен имеет стандартный вид, то в результате такого умножения также получается многочлен стандартного вида, который уже не нуждается в приведении подобных членов.

Пример 2

Умножим одночлен А = -2а2 на многочлен В = 7а3 - 5а2 + 3а - 4.

Получаем А ∙ В = -2а2 ∙ (7а3 - 5а2 + 3а - 4) = -2а2 ∙ 7а3 - 2а2 ∙ (-5а2) - 2а2 ∙ 3а - 2а2 ∙ (-4) = -14а5 + 10а4 - 6а3 + 8а2.

Полученный многочлен имеет стандартный вид. Заметим, что промежуточные результаты можно не записывать. Тогда запись такого умножения выглядит короче: А ∙ В = -2а2 ∙ (7а3 - 5а2 + 3а - 4) = -14а5 + 10а4 - 6а3 + 8а2.

Разумеется, многочлен можно умножить и на несколько одночленов. Сделать это можно двумя способами:

1. Умножить многочлен сначала на первый одночлен. В результате получается новый многочлен, который затем умножается на второй одночлен, и т. д.

2. Перемножить все одночлены. В результате получается новый одночлен, который затем умножается на данный многочлен.

Пример 3

Умножим многочлен А = 3а2 - 2ab + 5b2 на одночлены В = 2а2 и С = ab.

Решим эту задачу двумя перечисленными способами.

1-й способ

Умножим многочлен А на одночлен В. Получаем новый многочлен hello_html_675dc26e.jpg

Теперь умножим многочлен D на одночлен С. Получаем окончательный ответ — многочлен hello_html_m45730415.jpg hello_html_6f946541.jpg

2-й способ

Перемножим одночлены В и С. Получаем новый одночлен hello_html_m4b028b70.jpg

Теперь умножим данный многочлен А на новый одночлен Е. Получаем окончательный ответ — многочлен hello_html_m2bbd6983.jpghello_html_75643ba9.jpg

Разумеется, ответы совпадают в соответствии с сочетательным свойством умножения: hello_html_m89c1449.jpg

Однако даже при двух одночленах второй способ решения является более простым


III. Формирование умений и навыков.

1. № 677, № 678.

2. № 680.

Решение:

а) hello_html_m2de28625.gif;

б) hello_html_m4b3f1ca6.gif;

в) hello_html_7d80acc4.gif12a4a2b2b4;

г) hello_html_19915447.gif;

д) hello_html_4177c691.gif

е) hello_html_m3f1ae815.gif56p3 – 51p2 + 10p.

3. № 682 (а, в).

Решение:

а) (х + 10)2 = (х + 10) (х + 10) = х2 + 10х + 10х + 100 = х2 + 20х + 100;

в) (3а – 1)2 = (3а – 1) (3а – 1) = 9а2 – 3а – 3а – 1 = 9а2 – 6а + 1.

IV. Итоги урока.

Как умножить одночлен на многочлен?

Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен.

Какие знаки будут иметь слагаемые, полученные при умножении многочленов: а) (х + у) (аb); б) (n m) (pq)?

Домашнее задание: № 679; № 681; № 682 (б, г).












Урок №66
умножение многочлена на многочлен

Цели: продолжить формирование умения умножать многочлены; проверить уровень усвоения изучаемого материала.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Выполните умножение.

а) 3х2 · 4х3; в) –0,4а2 · (–2а4); д) –5у2 (2у – 3);

б) –12y · hello_html_907cc50.gify5; г) hello_html_768e6a91.gifx (3x2 + 1); е) 2p5 hello_html_75e24d13.gif.

2. Сколько слагаемых получится со знаком «плюс» (+) и сколько со знаком «минус» (–) при умножении следующих многочленов:

а) (2 + а) (х + 4); в) (с – 8) (1– d);

б) (у – 4) (а2 + 5); г) (–а – 3) (b – 2)?

II. Формирование умений и навыков.

Рассмотреть примеры 1 и 2 из учебника.

1. № 683 (а, в, д, ж).

Решение:

а) hello_html_2a736ea.gifx3 + 2x2yy3;

в) hello_html_m49230a5d.gifa3 – 2ax2x3;

д) (a2 – 2a + 3) (a – 4) = a3 – 4a2 – 2a2 + 8a + 3a – 12 = a3 – 6a2 +
+ 11
a – 12;

ж) hello_html_5d6cb007.gifx3 + 3x2
– 8
x + 10.

2. Представьте в виде многочлена.

а) x2 (x + 3) (x – 2);

б) –2y3 (y – 1) (y + 4);

в) (a + 1) (a – 2) (a + 5).

Решение:

а) hello_html_m38fa9a70.gif
= x4 + x3 – 6x2.

б) hello_html_m6c5b70d6.gif
= –8
y5 – 6y4 + 8y3;

в) (a + 1) (a – 2) (a + 5) = (a2 – 2a + a – 2) (a + 5) = (a2a – 2) (a + 5) =
=
a3 + 5a2a2 – 5a – 2a – 10 = a3 + 4a2 – 7a – 10.

3. № 687 (а, в, д).

Решение:

в) hello_html_25349442.gif+ 9x = 9x;

д) (ab) (a + 2) – (a + b) (a – 2) = a2 + 2aab – 2b – (a2 – 2a +
+ ab – 2b) = a2 + 2aab – 2ba2 + 2aab + 2b = 4a – 2ab.

4. № 689.

Решение:

Согласно условию запишем выражение acbd:

hello_html_7c73512f.gif

hello_html_m15cb3fe.gif

III. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Выполните умножение.

а) (a + 3) (b – 7); в) (x + 2) (x2x – 3);

б) (3x2 – 1) (2x + 1); г) –4 (y – 1) (y + 5).

2. Упростите выражение.

8p – (3p + 8) (2p – 5).

Вариант 2

1. Выполните умножение

а) (x + 4) (y – 5); в) (a – 3) (a2 + a – 2);

б) (5y2 + 1) (3y – 2); г) –3 (x + 4) (x – 1).

2. Упростите выражение

5y2 – (3y – 1) (5y – 2).

IV. Итоги урока.

Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен.

Как перемножить три многочлена?

Сколько слагаемых получится при умножении многочлена, содержащего т членов, на многочлен, содержащий п членов?

Домашнее задание: № 684; № 685; № 686; № 687 (б, г).


Урок68
разложение многочлена на множители способом группировки

Цели: познакомить учащихся со способом группировки разложения многочлена на множители; формировать умение применять этот способ.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Вычислите.а) (–0,1)2 + (–0,2)2; в) – (0,1 – 0,2)2; д) hello_html_72c08db2.gif;

б) (–0,1 – 0,2)2; г) hello_html_411018b4.gif; е) hello_html_2dd05b7a.gif.

2. Разложите многочлен на множители.

а) aba2b; в) 6у5 – 9у2; д) 3 (ab) – x (ab);

б) 2х3 + 4х; г) n2m3 + n3m; е) (у + 2)2х (у + 2).

II. Объяснение нового материала.

(b + 3) (а – 2)

1-й шаг. b (а – 2) + 3(а – 2)

2-й шаг. (аb – 2b) + (3а – 6)

3-й шаг. аb – 2b + 3а – 6

аb – 2b + 3а – 6

1-й шаг. (аb – 2b) + (3а – 6)

2-й шаг. b (а – 2) + 3(а – 2)

3-й шаг. (а – 2) (b + 3)

Затем можно рассмотреть пример 2 из учебника.

1) ху + 4х – 2у – 8 = (ху + 4х) – (2у + 8) = х (у + 4) – 2 (у + 4) =
= (
у + 4) (х – 2).

2) ху + 4х – 2у – 8 = (ху – 2у) + (4х – 8) = у (х – 2) + 4 (х – 2) =
= (
х – 2) (у + 4).

3) ху + 4х – 2у – 8 = (ху – 8) + (4х – 2у) – не даёт результата.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена и полученные произведения алгебраически сложить.

Пример 1

Перемножим многочлены А = 3а – 2b и В = 2а + 3b.

Выполним умножение поэтапно: умножим каждый член, входящий в А, на многочлен В, а затем умножим одночлены на многочлен (в соответствии с указанным правилом). Тогда получаем hello_html_m5bb03f13.jpg hello_html_m566e9c1d.jpg

Теперь осталось только привести подобные члены: А ∙ В = 6а2 + 5ab – 6b2 (здесь учтено, что ba = ab).

Заметим, что результатом умножения многочлена на многочлен также является многочлен. При этом если один множитель состоял из m членов, а второй — из n членов, то в произведении (до приведения подобных членов) будет mn членов. Этим можно пользоваться для контроля преобразований. В рассмотренном примере многочлены А и В состояли из двух членов. Поэтому в многочлене 6а2 + 9ab – 4bа – 6b2 имеется 2 ∙ 2 = 4 члена.

Когда имеется несколько многочленов, умножение выполняется поочередно, при этом после очередного умножения приводятся подобные члены.

Пример 2

Перемножим многочлены А = а – 2b, В = 2а + 3b, С = 3а + b. Перемножим сначала многочлены А и В: hello_html_m242e0845.jpg hello_html_m7a0edcd8.jpg hello_html_6a84cdf9.jpg

Теперь полученный многочлен умножим на С: hello_html_m15d00e4f.jpg hello_html_m4ed8e77f.jpg 

Пример 3

Упростим выражение hello_html_m2974bc0a.jpg Чтобы преобразовать выражение А, перемножим входящие в него многочлены и приведем подобные члены. Получаем

hello_html_75409e72.jpg

Пример 4

Решим уравнение

hello_html_m52d75893.jpg

Преобразуем обе части уравнения, перемножая многочлены и приводя подобные члены. Получаем hello_html_e3edbf4.jpghello_html_m7a5d3c22.jpg или hello_html_m224cafc.jpg или hello_html_m66ebb217.jpg или 14х = -16, откуда hello_html_m1a58741f.jpg

Пример 5

Докажите, что при любом натуральном значении п значение выражения hello_html_m20a9ece9.jpg кратно 3.

Перемножим многочлены и приведем подобные члены. Получаем

hello_html_20e9d1a9.jpg

При любом натуральном n значение выражения n2 + 2n + 4 является натуральным числом. Поэтому значение выражения А кратно 3 при любом натуральном значении n.


III. Формирование умений и навыков.

1. № 708, № 709.

2. № 711 (а, в, д, з).

Решение:

а) х3 + х2 + х + 1 = (х3 + х2) + (х + 1) = х2 (х + 1) + (х + 1) = (х + 1) (х2 + 1).

в) а4 + 2а3а – 2 = (а4 + 2а3) – (а + 2) = а3 (а + 2) – (а + 2) =
= (
а + 2) (а3 – 1).

д) а2ab – 8а + 8b = (а2ab) – (8а – 8b) = а (ab) – 8 (аb) =
= (
ab) (а – 8).

з) knmnn2 + mk = (kn + mk) – (mn + n2) = k (n + m) – n (m + n) =
= (
m + n) (k n).

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: № 710; № 711 (б, г, е); № 712.


Урок №69
разложение многочлена на множители способом группировки

Цели: продолжить формирование умения применять способ группировки при разложении многочлена на множители; проверить уровень усвоения материала.

Ход урока

I. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Вынесите за скобки общий множитель.

а) a (b + c) + p (b + c); в) 3 (x – 2) + y (2 – x)2.

б) 7 (xc) + (cx) xc;

2. Разложите многочлен на множители (проверьте полученный результат умножением).

а) ax + bx + ac + bc; в) 2x2 – 3x + 4ax – 6a.

б) 6x + 7y + 42 + xy;

Вариант 2

1. Вынесите за скобки общий множитель.

а) a (x + c) – b (x + c); в) 2 (x – 7) – p (7 – x)2.

б) 9 (ab) – (ba) ab;

2. Разложите многочлен на множители (проверьте полученный результат умножением).

а) axay + bxby; в) ay – 12bx + 3ax – 4by.

б) 2x + 7y + 14 + xy;

II. Формирование умений и навыков.

В ряде случаев все члены многочлена не имеют общего множителя, однако определенные группы данных членов такой множитель имеют. Этот факт может быть использован для разложения многочлена на множители.

Пример 1

Разложим на множители многочлен hello_html_m6522e6a4.jpg

Сгруппировав члены 3ab, 3ас и b2, bс, т. е. hello_html_382a8edb.jpg hello_html_32072b47.jpg увидим, что в первой группе есть общий множитель 3а, во второй группе — общий множитель b. Вынесем эти множители за скобки и получим hello_html_fa51de2.jpg

Теперь видно, что есть общий множитель b + с, который также можно вынести за скобки: hello_html_m5b0ceec0.jpg

Многочлен А разложен на множители — многочлены b + с и 3а + b.

Заметим, что члены многочлена А можно сгруппировать и по-другому. Например: hello_html_m5a424e88.jpg hello_html_3eaf3ae8.jpg

Разумеется, независимо от способа первоначальной группировки членов многочлена А было получено то же самое разложение на множители: hello_html_m3366dd27.jpg

Из примера видно, что для использования такого способа разложения необходимо сгруппировать члены многочлена, имеющие общий множитель, и вынести этот множитель за скобки.

Часто при использовании такого способа разложения некоторые члены многочлена приходится записывать в виде суммы двух слагаемых.

Пример 2

Разложим на множители многочлен А = а2 + 9а + 20.

Очевидно, что члены многочлена, а также различные группы членов общего множителя не имеют. Поэтому одночлен 9а представим в виде суммы двух членов, т. е. 9а = 4а + 5а. Тогда данный многочлен имеет вид А = а2 + 4а + 5а + 20. Попарно сгруппируем члены, имеющие общий множитель: А = (а2 + 4а) + (5а + 20).

Слагаемые в первых скобках имеют общий множитель а, во вторых скобках — общий множитель 5. Вынесем эти множители за скобки: А = а(а + 4) + 5(а + 4).

Теперь слагаемые имеют общий множитель (а + 4), который вынесем за скобки: А = (а + 4)(а + 5).

Таким образом, данный многочлен А разложен на множители — многочлены а + 4 и а + 5.

Пример 3

Разложим на множители многочлен А = а2 - 5ab + 6b2.

Этот пример аналогичен предыдущему. Поэтому одночлен 5ab представим в виде суммы двух членов, т. е. 5ab = 2ab + 3ab. Тогда данный многочлен имеет вид А = (а2 - 2ab) + (-3ab + 6b2).

Слагаемые в первых скобках имеют общий множитель а, во вторых скобках — общий множитель -3b. Вынесем эти множители за скобки: А = а(а – 2b) – 3b(а – 2b).

Теперь слагаемые имеют общий множитель а – 2b, который вынесем за скобки: А = (а – 2b)(а – 3b).

Итак, данный многочлен А разложен на множители — многочлены а – 2b и а – 3b.

Этот прием разложения многочленов на множители также используется при решении уравнений, в задачах на делимость чисел.

Пример 4

Решим уравнение х2 - х - 2 = 0.

Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого одночлен -х представим в виде -х = х - 2х. Тогда уравнение имеет следующий вид: x2 + x - 2x - 2 = 0, или (х2 + х) + (-2х -2) = 0, или x(x + 1) - 2(х + 1) = 0, или (x + 1)(x - 2) = 0.

Так как произведение двух множителей равно нулю, то хотя бы один из этих множителей равен нулю. Получаем два линейных уравнения x + 1 = 0 (корень x = -1) и x - 2 = 0 (корень x = 2). Итак, данное квадратное уравнение х2 - х - 2 = 0 имеет два корня х = -1 и х = 2.

Пример 5

Докажем, что при любом натуральном значении п значение выражения А = n3 + 3n2 + 2n кратно 6.

Разложим многочлен А на множители. Сначала используем способ вынесения общего множителя за скобки и получаем А = n(n2 + 3n + 2).

Теперь способом группировки разложим квадратный трехчлен n2 + 3n + 2 на множители. Представим одночлен 3n в виде 3n = n + 2n. Тогда получаем n2 + 3n + 2 = n2 + n + 2n + 2 = (n2 + n) + (2n + 2) = n(n + 1) + 2(n + 1) = (n + 1)(n + 2).

Выражение А имеет вид А = n(n + 1)(n + 2). Так как n — натуральное число, то числа n, n + 1, n + 2 — три последовательных натуральных числа. Среди любых трех последовательных натуральных чисел (например, 13, 14, 15) хотя бы одно кратно 2 и хотя бы одно кратно 3. Поэтому произведение таких чисел будет кратно 2 ∙ 3 = 6. Итак, при любом натуральном значении п значение выражения А = n3 + 3n2 + 2n кратно 6.


Все задания можно разбить на две группы. В 1-ю группу войдут задания на применение способа группировки при доказательстве тождеств и нахождении значений выражений. А во 2-ю группу войдут сложные задания, в которых нужно разложить на множители многочлены способом группировки.

1-я группа

1. № 713.

Важно, чтобы учащиеся поняли, что непосредственная подстановка данных значений переменных приведет к громоздким вычислениям.

Решение:

а) p2q2 + pqq3p3 = (p2q2q3) + (pqp3) = q2 (p2q) + p (qp2) =
=
q2 (p2q) – p (p2q) = (p2q) (q2p).

При p = 0,5 и q = –0,5:

(p2q) (q2p) = (0,25 + 0,5) (0,25 – 0,5) = 0,75 · (–0,25) =
=hello_html_31077530.gif.

б) 3х3 – 2у3 – 6х2у2 + ху = (3х3 – 6х2у2) – (2у3 ху) = 3х2 (х – 2у2) –
у (2у2х) = 3х2 (х – 2у2) + у (х – 2у2) = (х – 2у2) (3х2 + у).

При x = hello_html_m7e3aeda9.gif и у = hello_html_6fc2d0b1.gif:

(х – 2у2) (3х2 + у) = hello_html_mff9fed9.gif

hello_html_3e8c65c1.gif

2. № 715.

Заметим, что, исходя из логики доказательства тождеств, можно преобразовать левую часть равенства в правую (для этого многочлен нужно разложить на множители), а можно преобразовать правую часть в левую (для этого нужно перемножить двучлены).

2-я группа

1. № 716.

До этого учащиеся использовали способ группировки для разложения на множители многочленов, состоящих из четырёх членов. Нужно обратить внимание учащихся, что это самый распространенный случай применения данного способа. Но иногда способ группировки может быть использован при разложении на множители многочленов с другим количеством членов.

Решение:

а) hello_html_m924ddad.gif(bdadcd) =

hello_html_m3e063356.gif

hello_html_6b7c75f5.gif

б) hello_html_7bbe780a.gif(bx2 + by2b) =
hello_html_6860cc76.gif

в) hello_html_524c512b.gif(cn2cp + cp2) =

hello_html_m6fadf3d5.gif

г) hello_html_ma245d9c.gif(axab + a) =
hello_html_m440b4c98.gif

III. Итоги урока.

Какие вы знаете способы разложения многочлена на множители?

Опишите алгоритм способа группировки.

Сколько членов содержали многочлены, которые мы раскладывали на множители способом группировки?

Домашнее задание: № 714; № 717; № 718 (б, г).











Урок №70
разложение многочлена на множители способом группировки

Цели: продолжить формирование умения применять способ группировки при разложении многочлена на множители; проверить уровень усвоения материала.

Ход урока

I. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Вынесите за скобки общий множитель.

а) a (b + c) + p (b + c); в) 3 (x – 2) + y (2 – x)2.

б) 7 (xc) + (cx) xc;

2. Разложите многочлен на множители (проверьте полученный результат умножением).

а) ax + bx + ac + bc; в) 2x2 – 3x + 4ax – 6a.

б) 6x + 7y + 42 + xy;

Вариант 2

1. Вынесите за скобки общий множитель.

а) a (x + c) – b (x + c); в) 2 (x – 7) – p (7 – x)2.

б) 9 (ab) – (ba) ab;

2. Разложите многочлен на множители (проверьте полученный результат умножением).

а) axay + bxby; в) ay – 12bx + 3ax – 4by.

б) 2x + 7y + 14 + xy;

II. Формирование умений и навыков.

Все задания можно разбить на две группы. В 1-ю группу войдут задания на применение способа группировки при доказательстве тождеств и нахождении значений выражений. А во 2-ю группу войдут сложные задания, в которых нужно разложить на множители многочлены способом группировки.

1-я группа

1. № 713.

Важно, чтобы учащиеся поняли, что непосредственная подстановка данных значений переменных приведет к громоздким вычислениям.

Решение:

а) p2q2 + pqq3p3 = (p2q2q3) + (pqp3) = q2 (p2q) + p (qp2) =
=
q2 (p2q) – p (p2q) = (p2q) (q2p).

При p = 0,5 и q = –0,5:

(p2q) (q2p) = (0,25 + 0,5) (0,25 – 0,5) = 0,75 · (–0,25) =
=hello_html_31077530.gif.

б) 3х3 – 2у3 – 6х2у2 + ху = (3х3 – 6х2у2) – (2у3 ху) = 3х2 (х – 2у2) –
у (2у2х) = 3х2 (х – 2у2) + у (х – 2у2) = (х – 2у2) (3х2 + у).

При x = hello_html_m7e3aeda9.gif и у = hello_html_6fc2d0b1.gif:

(х – 2у2) (3х2 + у) = hello_html_mff9fed9.gif

hello_html_3e8c65c1.gif

1. № 716.

До этого учащиеся использовали способ группировки для разложения на множители многочленов, состоящих из четырёх членов. Нужно обратить внимание учащихся, что это самый распространенный случай применения данного способа. Но иногда способ группировки может быть использован при разложении на множители многочленов с другим количеством членов.

Решение:

а) hello_html_m924ddad.gif(bdadcd) =

hello_html_m3e063356.gif

hello_html_6b7c75f5.gif

б) hello_html_7bbe780a.gif(bx2 + by2b) =
hello_html_6860cc76.gif

в) hello_html_524c512b.gif(cn2cp + cp2) =

hello_html_m6fadf3d5.gif

г) hello_html_ma245d9c.gif(axab + a) =
hello_html_m440b4c98.gif

III. Итоги урока.

Какие вы знаете способы разложения многочлена на множители?

Опишите алгоритм способа группировки.

Сколько членов содержали многочлены, которые мы раскладывали на множители способом группировки?

Домашнее задание: № 714; № 717; № 718 (б, г).



Урок №71
Доказательство тождеств

Цели: продолжить формирование умения умножать многочлены; применять это умение для доказательства тождеств и некоторых утверждений.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Выполните умножение.

а) hello_html_121c3196.gifx2 · 7x5; г) 2х (х2 – 7х);

б) –8а · 4а4; д) –4p4 hello_html_11870de2.gif;

в) –6y3 · hello_html_m201be259.gif; е) –3п5 (п3 – 2п).

2. Сколько слагаемых получится со знаком «+» и сколько со знаком «–» при умножении многочленов:

а) (a + 2) (b + 5); в) (n2 – 3) (m – 5);

б) (х – 3) (у + 7); г) (–а – 2) (с – 4)?

II. Формирование умений и навыков.

Напомним, что тождеством называется равенство, верное при любых значениях переменных. Чтобы доказать, что некоторое равенство является тождеством (чтобы доказать тождество), используют тождественные преобразования выражений. При этом можно доказать, что:

1) левая часть равенства после преобразования равна правой;

2) правая часть равенства после преобразований равна левой;

3) обе части равенства после преобразований равны одному и тому же выражению.

Пример 1

Докажем тождество hello_html_3bf53e33.jpg Преобразуем левую часть равенства. Для этого раскроем скобки и приведем подобные члены. Получаем hello_html_24316a20.jpg hello_html_603074cb.jpg

Вынесем общий множитель b за скобки: hello_html_m4ac52487.jpg

В результате тождественных преобразований было показано, что левая часть равенства равна правой. Таким образом, тождество доказано.

Пример 2

Докажем тождество hello_html_m7f0d0b44.jpg Преобразуем правую часть равенства. Для этого раскроем скобки, перемножив двучлены, и приведем подобные члены. Получаем hello_html_m3a5f4838.jpghello_html_m15d11983.jpg

В результате тождественных преобразований было показано, что правая часть равенства равна левой. Итак, тождество доказано.

Пример 3

Докажем тождество hello_html_m60007afd.jpghello_html_64657770.jpg

Преобразуем левую часть равенства. Для этого перемножим двучлены и приведем подобные члены. Получаем hello_html_m7cfd49ee.jpghello_html_5a55e9ef.jpg

Преобразуем правую часть равенства, выполнив аналогичные действия. Получаем hello_html_m17920c64.jpghello_html_m28966126.jpg

В результате тождественных преобразований было показано, что и левая, и правая части равенства равны одному и тому же выражению hello_html_m364a4280.jpg Следовательно, тождество доказано.


Все задания можно разбить на две группы. В 1-ю группу войдут задания на доказательство тождеств, а во 2-ю группу – на доказательство утверждений о делимости, кратности и др.

1-я группа

Прежде чем приступить к выполнению заданий этой группы, нужно вспомнить логику доказательства тождеств.

Для наглядности можно вынести на доску схему:

hello_html_1554be9b.png

1) hello_html_636f7478.png 2) hello_html_7ceb96d4.png 3) hello_html_m64949300.png

То есть существует три основных приема доказательства тождеств:

1) преобразовать левую часть тождества в правую или правую часть тождества в левую;

2) показать, что левая и правая части исходного равенства тождественно равны одному и тому же выражению;

3) показать, что разность левой и правой части исходного равенства тождественно равна нулю.

1. № 690 (а), № 691 (а).

При доказательстве этих тождеств используется первый прием, то есть мы будем преобразовывать одну часть равенства до тех пор, пока она не станет тождественно равной другой части равенства.

2. № 692 (а).

При доказательстве этого тождества используется второй прием.

Решение:

а) (x – 3) (x + 7) – 13 = (x + 8) (x – 4) – 2.

Преобразуем левую часть равенства:

hello_html_mebf2cfc.gif

Преобразуем правую часть равенства:

hello_html_m7060330e.gif

Получаем следующее: левая и правая части равенства тождественно равны одному и тому же выражению, значит, исходное равенство является тождеством.

2-я группа

1. № 693.

Решение:

а) Упростим данное выражение:

hello_html_m21fff63a.gif

Получаем, что исходное выражение равно числу –36, значит, не зависит от переменной х.

б) hello_html_4e96a8e0.gif

2. № 699 (а).

Решение:

а) Упростим данное выражение:

hello_html_4c817669.gif

Поскольку каждое слагаемое суммы 6п + 6 кратно 6, то и вся сумма кратна 6.

3. № 696.

Решение:Четыре последовательных нечётных числа можно записать в следующем виде:

а = 2п + 1, b = 2п + 3, с = 2п + 5 и d = 2п + 7.

Составим разность cdab:

(2n + 5) (2n + 7) – (2n + 1) (2n + 3).

Преобразуем это выражение:

hello_html_1c95f54d.gif
– 6
n – 2n – 3 = 16n + 32 = 16 (n + 2).

Очевидно, что полученное выражение кратно 16.

III. Итоги урока. Домашнее задание: № 690 (б); № 691













Урок №72
Доказательство тождеств

Цели: закрепить умение умножать многочлены; рассмотреть применение данного умения при решении уравнений и текстовых задач; проверить уровень усвоения материала.

Ход урока

I. Устная работа.

Выполните умножение.

а) 2a3 · hello_html_6fc2d0b1.gifa5;г) 4а2 (2а – 7);ж) (а + 2) (b – 7);б) –0,7х2 · 5х8; д) hello_html_25e30137.gifx (2x – 5x2); з) (х – 3) (2 – у);

в) hello_html_m3c1eaf05.gify · (–6y4); е) –3р4 (2р2 – 5р3); и) (2х2 – 1) (х4 + 3);к) (–2 – п) (т – 5).

II. Формирование умений и навыков.

697.

Решение:

б) (1 – 2х) (1 – 3х) = (6х – 1) х – 1;

1 – 3х – 2х + 6х2 = 6х2х – 1;

6х2 – 5х + 1 – 6х2 + х + 1 = 0;

4х = –2;

х = hello_html_6fc2d0b1.gif.

Ответ: hello_html_6fc2d0b1.gif.

г) (х + 4) (х + 1) = х – (х – 2) (2 – х);

х2 + х + 4х + 4 = х – 2х + х2 + 4 – 2х;

х2 + 5х + 4 – х2 + 4х – 4 = 0;

9х = 0;

х = 0.

Ответ: 0.

1. № 701.

Решение:

Пусть даны три последовательных нечётных числа: 2п + 1, 2п + 3,
2
п + 5. Найдем произведение двух больших из них: (2п + 3) (2п + 5) и произведение двух меньших: (2п + 1) (2п + 3). По условию разность между этими произведениями равна 76.

Составим и решим уравнение.

(2п + 3) (2п + 5) – (2п + 1) (2п + 3) = 76.

4п2 + 10п + 6п + 15 – 4п2 – 6п – 2п – 3 = 76;

8п + 12 = 76;

8п = 64;

п = 8.

Найдем числа: 2п + 1 = 2 · 8 + 1 = 17.

2п + 3 = 2 · 8 + 3 = 19.

2п + 5 = 2 · 8 + 5 = 21.

Ответ: 17, 19 и 21.

2. № 702.

Решение:

Пусть длина прямоугольника равна х см, тогда его ширина равна
(35 –
х) см. Значит, этот прямоугольник имеет площадь х (35 – х) см2.

Длину уменьшили на 5 см, и она стала равна (х – 5) см, а ширину увеличили на 5 см, и она стала равна (40 – х) см. Тогда площадь нового прямоугольника стала (х – 5) (40 – х) см2. По условию эта площадь на 50 см2 больше, чем площадь данного прямоугольника.

Составим и решим уравнение:

(х – 5) (40 – х) – х (35 – х) = 50;

40хх2 – 200 + 5х – 35х + х2 = 50;

10х – 200 = 50;

10х = 250;

х = 25.

Значит, длина исходного прямоугольника равна 25 см, тогда его ширина равна 10 см.

Ответ: 25 см и 10 см.

В процессе решения задач сильным учащимся дополнительно можно предложить выполнить задания на карточках.

Карточка № 1

1. Преобразуйте произведение в многочлен стандартного вида:

hello_html_344d2727.gif

2. Докажите, что значение выражения (163 – 83) (43 + 23) делится на 63.

3. Докажите, что произведение двух средних из четырех последовательных целых чисел на 2 больше произведения крайних чисел.

Карточка № 2

1. Преобразуйте произведение в многочлен стандартного вида:

hello_html_727ca7de.gif

2. Докажите, что значение выражения (1252 + 252) (52 – 1) делится
на 39.

3. Докажите, что квадрат среднего из трёх последовательных нечётных чисел на 4 больше произведения двух крайних чисел.





Решение заданий на карточках

Карточка № 1

1. hello_html_213de922.gif

+ 56m3 – 7m4 + 12m – 32m2 + 4m3 = 2m5 – 23m4 + 64m3 – 53m2 + 12m.

2. Преобразуем данное выражение и вынесем за скобки общий множитель:

(163 – 83) (43 + 23) = (212 – 29) (26 + 23) = 29(23 – 1) · 23 (23 + 1) =
= 2
12 · 7 · 9 = 212 · 63.

Очевидно, что данное произведение делится на 63.

3. Пусть даны четыре последовательных целых числа: п, п + 1, п + 2, п + 3. Произведение средних чисел равно (п + 1) (п + 2), а произведение крайних чисел равно п (п + 3).

Составим разность и упростим её:

(п + 1) (п + 2) – п (п + 3) = п2 + 2п + п + 2 – п2 – 3п = 2.

Утверждение доказано.

Карточка № 2

1. hello_html_mbebd1f7.gif

hello_html_49092377.gif

2. Преобразуем данное выражение и вынесем за скобки общий множитель:

(1252 + 252) (52 – 1) = (56 + 54) (52 – 1) = 54 (52 + 1) (52 – 1) =
= 5
4 · 26 · 24 = 54 · 2 · 13 · 8 · 3 = 54 · 16 · 39.

Очевидно, что данное произведение делится на 39.

3. Пусть даны три последовательных нечётных числа: 2п + 1, 2п + 3,
2
п + 5. Квадрат среднего из них равен (2п + 3)2, а произведение крайних равно (2п + 1) (2п + 5).

Составим разность и упростим её:

(2п + 3)2 – (2п + 1) (2п + 5) = (2п + 3) (2п + 3) – (2п + 1) (2п + 5) =
= 4
п2 + 6п + 6п + 9 – 4п2 – 10п – 2п – 5 = 4.

Утверждение доказано.

III. Проверочная работа.

Вариант 1

1. При каком значении х равны значения следующих выражений:

(3х + 5) (4х – 1) и (6х – 3) (2х + 7)?

2. Упростите выражение.

а) hello_html_m4cc8e736.gifб) hello_html_meb4b6e9.gif

Вариант 2

1. При каком значении а равны значения следующих выражений:

(5а + 1) (2а – 3) и (10а – 3) (а + 1)?

2. Упростите выражение.

а) hello_html_m68fdf721.gifб) hello_html_26c36db6.gif

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: № 698; № 700; № 703.









Вариант 1

1. При каком значении х равны значения следующих выражений:

(3х + 5) (4х – 1) и (6х – 3) (2х + 7)?

2. Упростите выражение.

а) hello_html_m4cc8e736.gifб) hello_html_meb4b6e9.gif

Вариант 2

1. При каком значении а равны значения следующих выражений:

(5а + 1) (2а – 3) и (10а – 3) (а + 1)?

2. Упростите выражение.

а) hello_html_m68fdf721.gifб) hello_html_26c36db6.gif

Вариант 1

1. При каком значении х равны значения следующих выражений:

(3х + 5) (4х – 1) и (6х – 3) (2х + 7)?

2. Упростите выражение.

а) hello_html_m4cc8e736.gifб) hello_html_meb4b6e9.gif

Вариант 2

1. При каком значении а равны значения следующих выражений:

(5а + 1) (2а – 3) и (10а – 3) (а + 1)?

2. Упростите выражение.

а) hello_html_m68fdf721.gifб) hello_html_26c36db6.gif

Вариант 1

1. При каком значении х равны значения следующих выражений:

(3х + 5) (4х – 1) и (6х – 3) (2х + 7)?

2. Упростите выражение.

а) hello_html_m4cc8e736.gifб) hello_html_meb4b6e9.gif

















Урок73
Контрольная работа № 6 «Произведение многочленов»

Цель: проверить уровень усвоения материала.

Ход урока:

  1. организационный момент

  2. Выполнение работы по вариантам

Вариант 1

1. Выполните умножение.

а) (с + 2) (с – 3); в) (5х – 2у) (4ху);

б) (2а – 1) (3а + 4); г) (а – 2) (а2 – 3а + 6).

2. Разложите на множители.

а) а (а + 3) – 2 (а + 3); б) ахау + 5х – 5у.

3. Упростите выражение –0,1х (2х2 + 6) (5 – 4х2).

4. Представьте многочлен в виде произведения.

а) х2ху – 4х + 4у; б) abacbx + cx + cb.

5. Из прямоугольного листа фанеры вырезали квадратную пластинку, для чего с одной стороны листа отрезали полосу шириной 2 см, а с другой, соседней, – 3 см. Найдите сторону получившегося квадрата, если известно, что его площадь на 51 см2 меньше площади прямоугольника.

Вариант 2

1. Выполните умножение.

а) (а – 5) (а – 3); в) (3р + 2с) (2р + 4с);

б) (5х + 4) (2х – 1); г) (b – 2) (b2 + 2b – 3).

2. Разложите на множители.

а) x (xy) + a (xy); б) 2a – 2b + cacb.

3. Упростите выражение 0,5x (4x2 – 1) (5x2 + 2).

4. Представьте многочлен в виде произведения.

а) 2aac – 2c + c2; б) bx + byxyaxay.

5. Бассейн имеет прямоугольную форму. Одна из его сторон на 6 м больше другой. Он окружен дорожкой, ширина которой 0,5 м. Найдите стороны бассейна, если площадь окружающей его дорожки 15 м2.


Решение заданий контрольной работы

Вариант 1

1. а) (с + 2) (с – 3) = с2 – 3с + 2с – 6 = с2с – 6.

б) (2а – 1) (3а + 4) = 6а2 + 8а – 3а – 4 = 6а2 + 5а – 4.

в) (5х – 2у) (4ху) = 20х2 – 5ху – 8ху + 2у2 = 20х2 – 13ху + 2у2.

г) (а – 2) (а2 – 3а + 6) = а3 – 3а2 + 6а – 2а2 + 6а – 12 =
= а3 – 5а2 + 12а – 12.

2. а) а (а + 3) – 2 (а + 3) = (а + 3) (а – 2).

б) ахау + 5х – 5у = (ахау) + (5х – 5у) = а(ху) + 5(ху) =

= (ху) (а + 5).

3. –0,1х (2х2 + 6) (5 – 4х2) = –0,1х (10х2 – 8х4 + 30 – 24х2) = –х3 +
+ 0,8
х5 – 3х + 2,4х3 = 0,8х5 + 1,4х3 – 3х.

4. а) х2ху – 4х + 4у = (х2ху) – (4х – 4у) = х(ху) – 4(ху) =
= (
ху) (х – 4).

б) abacbx + cx + cb = (abac) – (bxcx) – (bc) =
=
a (bc) – x (bc) – (bc) = (bc) (ax – 1).

5. Пусть сторона получившегося квадрата равна х см, тогда его площадь равна х2 см2. Стороны прямоугольника равны (х + 2) см и (х + 3) см, значит, его площадь равна (х + 2) (х + 3) см2.

hello_html_m2f926d8f.png

Составим и решим уравнение:

(х + 2) (х + 3) – х2 = 51;

х2 + 3х + 2х + 6 – х2 = 51;

5х = 45;

х = 9.

Ответ: 9 см.

Вариант 2

1. а) (а – 5) (а – 3) = а2 – 3а – 5а + 15 = а2 – 8а + 15.

б) (5х + 4) (2х – 1) = 10х2 – 5х + 8х – 4 = 10х2 + 3х – 4.

в) (3р + 2с) (2р + 4с) = 6p2 + 12cp + 4cp + 8c2 = 6p2 + 16cp + 8c2.

г) (b – 2) (b2 + 2b – 3) = b3 + 2b2 – 3b – 2b2 – 4b + 6 = b3 – 7b + 6.

2. а) x (xy) + a (xy) = (xy) (x + a).

б) 2a – 2b + cacb = (2a – 2b) + (cacb) = 2 (ab) + c (ab) =
= (
ab) (2 + c).

3. 0,5x (4x2 – 1) (5x2 + 2) = 0,5x (20x4 + 8x2 – 5x2 – 2) = 10x5 + 4x3
– 2,5
x3x = 10x5 + 1,5x3x.

4. а) 2aac – 2c + c2 = (2a – 2c) – (acc2) = 2 (ac) – c (ac) =
= (
ac) (2 – c).

б) bx + byxyaxay = (bx + by) – (x + y) – (ax + ay) =
=
b (x + y) – (x + y) – a (x + y) = (x + y) (b a – 1).

5. Пусть одна сторона бассейна х м, тогда другая его сторона (х + 6) м. Значит, площадь бассейна х (х + 6) м2.

hello_html_m55476041.png

Найдем площадь бассейна вместе с окружающей его дорожкой. Фигура является прямоугольником, стороны которого равны (х + 1) м и (х + 7) м. Значит, площадь прямоугольника равна (х + 1) (х + 7) м2.

Составим и решим уравнение:

(х + 1) (х + 7) – х (х + 6) = 15;

х2 + 7х + х + 7 – х2 – 6х = 15;

2х = 8;

2х = 4.

Ответ: 4 м и 10 м.

















Урок №74
Возведение в квадрат суммы и разности
двух выражений

Цели: вывести формулы квадрата суммы и разности двух выражений; формировать умение использовать эти формулы.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Выполните возведение в степень.

а) (–2х)2; в) hello_html_357e268d.gif; д) (–7х3у2)2;

б) (5а2)2; г) hello_html_m77d338de.gif; е) (–0,6п4т5)2.

2. Выполните умножение.

а) 2х2 · 3х7; в) 3а (2а2 – 5а); д) (х – 3) (у + 4);

б) hello_html_6fc2d0b1.gify5 · (–4y3); г) –2x4 hello_html_1d1eb15.gif; е) (2a – 1) (b – 5).

II. Объяснение нового материала.

Объяснение нового материала следует производить в несколько этапов. 1.  представить выражение (a + b)2 в виде многочлена.

(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2.

Аналогично возводится в квадрат выражение ab:

(ab)2 = (ab) (ab) = a2abab + b2 = a2 – 2ab + b2.

2 полученные тождества называются формулами квадрата суммы и разности двух выражений. Они нужны, чтобы сделать проще преобразования.

3. Разобрать примеры 1 и 2 из учебника. Остальные примеры приводить пока не нужно.

III. Формирование умений и навыков.

1. № 799.

2. № 803.

решение:

(Во избежание ошибок следует вести подробные записи.)

а) (2x + 3)2 = (2x2) + 2 · 2x · 3 + 32 = 4x2 + 12x + 9;

д) hello_html_c9b9cac.gif

е) hello_html_23b3154f.gif

з) (10с + 0,1у)2 = (10с)2 + 2 · 10с · 0,1у + (0,1у)2 = 100с2 + 2су + 0,01у2.

3. № 812.

Решение:

а) (а2 – 3а)2 = (а2)2 – 2а2 · 3а + (3а)2 = а4 – 6а3 + 9а2;

б) hello_html_5d0dc4aa.gif

в) hello_html_91a8fa5.gif = c4 – 1,4c5 + 0,49c6;

г) hello_html_m37a79907.gif = 16y6 – 4y5 +
+ 0,25
y4;

д) hello_html_5014e759.gif + 24a7 +
+ 64
a4;

е) hello_html_2cfc039b.gif= 0,36b2 – 72b3 +
+ 3600
b4.

IV. Итоги урока.

Как возвести в квадрат сумму двух выражений?

Как возвести в квадрат разность двух выражений?

Зачем нужны формулы квадрата суммы и разности двух выражений?

Выполните возведение в квадрат: а) (3а + 1)2; б) (х – 5)2.

Домашнее задание: № 800; № 804; № 813.









Урок №75
Возведение в квадрат суммы и разности
двух выражений

Цели: продолжить формирование умения возводить в квадрат двучлен; преобразовывать выражения, используя соответствующие формулы; проверить уровень усвоения материала.

Ход урока

I. Устная работа.

Выполните возведение в квадрат.

а) (c + d)2; б) (x + 1)2; в) (a – 2)2; г) (y – 5)2.

II. Формирование умений и навыков.

Сначала необходимо разобрать, как возводить в квадрат выражения вида –a + b и –ab. Затем перейти к упрощению выражений с использованием формул квадрата суммы и разности. В соответствии с этим задания делятся на две группы.

Сначала предложить учащимся преобразовать выражения (–x + 3)2
и (–
y + 7)2. Согласно известным формулам преобразования будут выглядеть следующим образом:

(–x + 3)2 = (–x)2 + 2 ∙ (–x) ∙ 3 + 32 = x2 – 6x + 9;

(–y + 7)2 = (–y)2 + 2 ∙ (–y) ∙ 7 + 72 = y2 – 14y + 49.

Учащиеся должны осознать, что в таком виде возведение в квадрат проводить неудобно, лучше поменять местами выражения:

(3 – x)2 = 32 – 2 ∙ 3 ∙ x + x2 = 9 – 6x + x2;

(7 – y)2 = 72 – 2 ∙ 7 ∙ y + y2 = 49 – 14x + y2.

Затем следует выполнить № 807. После этого сделать соответствующие выводы:

(–a + b)2 = (ba)2;

(ab)2 = (ba)2;

(–ab)2 = (a + b)2.

Нужно объяснить учащимся, что применение этих равенств упрощает возведение в квадрат двучлена и пригодится им при дальнейших преобразованиях выражений.

После этого можно перейти к выполнению заданий.

1. № 805, 806.

2. № 809.

Решение:

а) hello_html_c9c7093.gif

б) hello_html_m1a7cd4.gif

в) hello_html_m597617c4.gif

г) hello_html_5e6f9b27.gif

д) hello_html_m74b1a87c.gif

е) hello_html_m1ae758e.gif

2. № 817 (а, в, д).

Решение:

а) hello_html_m32f61d12.gif

в) hello_html_m173b617b.gif

д) hello_html_m5bb7b8d.gif
= –2
a2 + 4a + 14.

III. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Преобразуйте в многочлен.

а) (у + 4)2; б) (2х – 3у)2; в) (–3а + 5)2; г) (–х2 – 2х)2.

2. Упростите выражение.

а) (8а b)2 – 64а2; б) а (4 – а) + (4 – а)2.

Вариант 2

1. Преобразуйте в многочлен.

а) (х – 6)2; б) (7т + 3п)2; в) (–2у + 3)2; г) (–х3 – 4х)2.

2. Упростите выражение.

а) 81х2 – (9х + 2у)2; б) х (х – 7) + (х + 3)2.

IV. Итоги урока.

Как возвести в квадрат сумму (разность) двух выражений?

Как возвести в квадрат выражения вида –а + b и –аb?

Домашнее задание: № 808; № 816; № 817 (б, г, е).

































Урок №76
Возведение в квадрат суммы и разности
двух выражений

Цели: закрепить умение возводить в квадрат двучлен по формуле; рассмотреть ряд задач, при решении которых применяется это умение.

Ход урока

I. Устная работа.

Выполните возведение в квадрат.

а) (–3х2у3)2; г) hello_html_m3f35a94f.gif; ж) (–п + 3)2;

б) hello_html_m5199ecb9.gif; д) (х – 8)2; з) (–а – 10)2.

в) (–0,7p2q4)2; е) (2у + 5)2.

II. Формирование умений и навыков.

1. № 814 (устно).

2. № 818 (а, в).

3. № 819.

Решение:

а) (х – 6)2х (х + 8) = 2;

х2 – 12х + 36 – х2 – 8х = 2;

20х = –34;

х = hello_html_mf125422.gif;

х = 1,7.

б) 9х (х + 6) – (3х + 1)2 = 1;

9х2 + 54х – 9х2 – 6х – 1 = 1;

48х = 2;

х = hello_html_199e9c98.gif.

Ответ: 1,7.

Ответ: hello_html_199e9c98.gif.

в) у (у – 1) – (у – 5)2 = 2;

у2уу2 + 10у – 25 = 2;

9у = 27;

у = 3.

г) 16у (2 – у) + (4у – 5)2 = 0;

32у – 16у2 + 16у2 – 40у + 25 = 0;

8у = –25;

у = hello_html_m59e90193.gif.

Ответ: 3.

Ответ: 3hello_html_m60a52f9b.gif.

4. № 821.

При решении этого номера учащимся предстоит выполнять более сложные преобразования. Зачастую они делают очень распространенную ошибку: сначала умножают число на выражение в скобках, а потом результат возводят в квадрат.

Необходимо напомнить учащимся, что действие возведения в степень является приоритетным среди всех остальных, поэтому его выполняют в первую очередь.

Решение:

а) 7 (4а – 1)2 = 7 (16а2 – 8а + 1) = 112а2 – 56а + 7;

в) hello_html_m6aedcfd6.gif

д) 9с2 – 4 + 6 (с – 2)2 = 9с2 – 4 + 6 (с2 – 4с + 4) = 9с2 – 4 + 6с2 – 24с +
+ 24 = 15
с2 – 24с + 20.

5. № 823 (а, в).

Решение:

а) hello_html_79b308ab.gif

в) hello_html_6a113b5e.gif+ 2 =
=
a3 – 3a + 2.

III. Итоги урока.

Как возвести в квадрат сумму (разность) двух выражений?

Каким из следующих выражений тождественно равно выражение (х – 2)2: (х + 2)2, (2 – х)2, (–2 – х)2, (–2 + х)2?

Как выполнить следующие преобразования:

а) –2 (х – 4)2; б) (у + 3) (у – 2)2?

Домашнее задание: № 818 (б, г); № 820; № 822; № 823 (б, г).


Вариант 1

1. Преобразуйте в многочлен. а) (у + 4)2; б) (2х – 3у)2; в) (–3а + 5)2; г) (–х2 – 2х)2.

2. Упростите выражение. а) (8а b)2 – 64а2; б) а (4 – а) + (4 – а)2.


Вариант 2

1. Преобразуйте в многочлен. а) (х – 6)2; б) (7т + 3п)2; в) (–2у + 3)2; г) (–х3 – 4х)2.

2. Упростите выражение. а) 81х2 – (9х + 2у)2; б) х (х – 7) + (х + 3)2.


Вариант 1

1. Преобразуйте в многочлен. а) (у + 4)2; б) (2х – 3у)2; в) (–3а + 5)2; г) (–х2 – 2х)2.

2. Упростите выражение. а) (8а b)2 – 64а2; б) а (4 – а) + (4 – а)2.


Вариант 2

1. Преобразуйте в многочлен. а) (х – 6)2; б) (7т + 3п)2; в) (–2у + 3)2; г) (–х3 – 4х)2.

2. Упростите выражение. а) 81х2 – (9х + 2у)2; б) х (х – 7) + (х + 3)2.









Урок № 77
Разложение на множители
с помощью формул квадрата суммы и разности

Цели: показать, как применяются формулы квадрата суммы и квадрата разности при разложении на множители трехчленов; формировать умение выполнять данное действие.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Выполните возведение в квадрат.

а) (х – 2)2; б) (2 + х)2; в) (–х + 2)2; г) (–х – 2)2.

2. Будут ли тождественно равны следующие выражения:

а) (а – 2)2 и (2 – а)2; в) (3 – с)2 и (–с + 3)2;

б) (х – 1)2 и (1 + х)2; г) (–у – 5)2 и (у + 5)2?

3. Представьте выражение в виде квадрата одночлена.

а) 25а2; в) hello_html_1b71289f.gify2; д) 2,25т4;

б) 121х2; г) 0,64с4; е) hello_html_907cc50.gifn6.

II. Объяснение нового материала.

1.– Что значит «разложить на множители многочлен»?

Какие вы знаете способы разложения многочлена на множители?

При решении каких задач пригодится умение раскладывать многочлен на множители?

2. Познакомимся с ещё одним способом разложения многочлена на множители. Этот способ состоит в применении формул квадрата суммы и разности.

3. выводы:

1) с помощью формул квадрата суммы и разности можно раскладывать на множители только трёхчлены;

2) чтобы трёхчлен раскладывался на множители, два его члена должны являться квадратами некоторых одночленов, а третий член должен быть удвоенным произведением этих одночленов.

III. Формирование умений и навыков.

1. № 833, № 834.

Пример: hello_html_77e83714.gif.

Проверка: hello_html_m4b28831.gif

hello_html_m1a50ed8c.gif

Затем проверку можно будет делать устно.

2. № 836, № 837.

836.

Решение:

а) * + 56а + 49.

hello_html_m49e9829e.gif

б) 36 – 12х + * .

hello_html_m2ab737e.gif

в) hello_html_52f792ea.gif

hello_html_m64b32096.gif

г) 0,01b2 + * + 100c2.

hello_html_4b64222d.gif

3. № 839 (а, в, г).

Перед выполнением этого номера следует привести пример.–х2 + 2х – 1 = –(х2 – 2х + 1) = –(х – 1)2.

Решение:

а) –1 + 4а – 4а2 = –(1 – 4а + 4а2) = – (1 – 2а)2;

в) 24 ab – 16a2 – 9b2 = –(16a2 – 24 ab + 9b2) = – (4a – 3b)2;

г) –44ах + 121а2 + 4х2 = (11а – 2х)2.

4. № 840 (б).

Решение:

4х2 – 20х + 25 = (2х – 5)2

при х = 12,5: (2х – 5)2 = (25 – 5)2 = 400;

при х = 0: (2х – 5)2 = (0 – 5)2 = 25;

при х = –2: (2х – 5)2 = (–4 – 5)2 = 81.

IV. Итоги урока.

Какие существуют способы разложения многочлена на множители?

Какие многочлены могут быть разложены на множители с помощью формул квадрата суммы и разности?

Можно ли разложить на множители следующие трёхчлены:

а) х2 – 6х + 9; в) а2 – 2а – 1;

б) х2 + 4х + 6; г) 4т2 – 4т + 1?

Домашнее задание: № 835; № 838; № 839 (б, д, е); 840 (в).

































Урок №78

разложение на множители
с помощью формул квадрата суммы и разности

Цели: продолжить формирование умения раскладывать на множители многочлены с помощью формул квадрата суммы и разности; применять это умение при решении различных задач.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Представить выражение в виде квадрата одночлена.

а) 81т2; в) hello_html_1f917ec1.gify4; д) 0,04х8;

б) hello_html_855a8ea.gifx2; г) 25а6; ж) 144р14.

2. Преобразуйте трёхчлен в квадрат двучлена.

а) х2 + 4х + 4; в) 9у2 + 6у + 1;

б) а2 – 2а + 1; г) п2 – 10п + 25.

II. Формирование умений и навыков.

1. № 841, № 842.

2. Поставьте вместо многоточия один из знаков ≥ или ≤ так, чтобы получившееся неравенство было верно при любом значении х.

а) х2 – 10х + 25 … 0; в) –х2 + 6х – 9 … 0;

б) 4 + 4х + х2 … 0; г) –49 – 14хх2 … 0.

3. № 844.

При выполнении этого номера учащимся можно дать дополнительное задание: исправить один из членов трёхчлена так, чтобы полученный трёхчлен можно было представить в виде квадрата двучлена.

Решение:

а) hello_html_907cc50.gifx2 + 3x + 9.

hello_html_429bda46.gif

б) 25a2 – 30ab + 9b2.

hello_html_ma92d42.gif2 ∙ 5a ∙ 3b = 30ab, то есть

25a2 – 30ab + 9b2 = (5a – 3b)2.

в) p2 – 2p + 4.

hello_html_m4ca495e8.gifнельзя представить; вместо –2p должно стоять –4р.

г) hello_html_m55fe1d48.gif

hello_html_654fd6de.gifxy, то есть

hello_html_792d11e.gif

д) 100b2 + 9c2 – 60bc = (10b – 3c)2.

е) 49x2 + 12xy + 64y2.

hello_html_m27de4e5a.gifнельзя представить;

вместо 12xy должно стоять 112ху.

4. № 845.

Решение:

а) hello_html_37f6fea6.gifб) hello_html_260e546a.gifв) hello_html_79eeb7d7.gif

г) a2x2 – 2abx + b2 = (axb)2.

848 (можно предложить выполнить сильным учащимся дополнительно).

Решение:

а) x2 + 2x + 2 = x2 + 2x + 1 + 1 = (x + 1)2 + 1.

Так как (х + 1)2 ≥ 0 при любом х, то (х + 1)2 + 1 > 0.

б) 4у2 – 4у + 6 = 4у2 – 4у + 1 + 5 = (2у – 1)2 + 5; (2у – 1)2 ≥ 0 (2у – 1)2 + 5 > 0.

в) a2 + b2 – 2ab + 1 = (ab)2 + 1; (ab)2 ≥ 0 (ab)2 + 1 > 0.

г) 9x2 + 4 – 6 + 4у2 = 9x2 – 6 + 1 + 3 + 4у2 = (3x – 1)2 + 3 + 4у2.

hello_html_58b42593.gif(3x – 1)2 + 3 + 4у2 > 0.

III. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Представьте многочлен в виде квадрата двучлена.

а) 4a2 + 4ab + b2; в) a2 + 9c2 + 6ac;

б) 25x2 – 10x + 1; г) hello_html_907cc50.gifa2 + ab + b2.

2. Замените знак * одночленом так, чтобы получившийся трёхчлен можно было представить в виде квадрата двучлена.

а) 16x2 + * + y2; в) a2 + 18a + * ;

б) 49 – * + x2; г) * – 12x + 9x2.

Вариант 2

1. Представьте многочлен в виде квадрата двучлена.

а) 16a2 + 8ab + b2; в) 4x2 + y2 + 4xy;

б) 36x2 – 12x + 1; г) hello_html_907cc50.gifp2 – 2pq + 4q2.

2. Замените знак * одночленом так, чтобы получившийся трёхчлен можно было представить в виде квадрата двучлена.

а) 9a2 + * + b2; в) x2 + 14x + * ;

б) 81 – * + y2; г) * – 24a + 16a2.

IV. Итоги урока.

Какие существуют способы разложения многочлена на множители?

Приведите пример трёхчлена, который можно представить в виде:

а) квадрата суммы;

б) квадрата разности.

Какие значения могут принимать следующие выражения:

а) а2 + 5; в) –3 – х2;

б) х2 – 2х + 1; г) –п2 + 4п – 4?

Домашнее задание: № 843; № 846; № 975 (а, в, д, ж).






















Урок 79
умножение разности двух выражений на их сумму

Цели: вывести формулу умножения разности двух выражений на их сумму; формировать умение применять эту формулу.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Выполните возведение в квадрат.

а) (–3х2у)2; г) hello_html_1b9b4310.gif; ж) (–3m + 2)2;

б) hello_html_30406168.gif; д) (2х – 1)2; з) (–у – 9)2.

в) (0,9p4q10)2; е) (а + 11)2.

2. Выполните умножение.

а) –3a2 (5aa4); в) (y – 3) (x + 4);

б) hello_html_6fc2d0b1.gifx3 (2xx5); г) (a – 1) (2b – 5).

II. Объяснение нового материала.

Объяснение проводить согласно пункту 34 учебника в несколько этапов.

1. Вспомнить формулу

hello_html_2d13dab.gif

2.

hello_html_1bb4371f.gif

3. Сделать выводы, сформулировать правило умножения разности двух выражений на их сумму, разобрать примеры 1 и 2 из учебника.

III. Формирование умений и навыков.

1. № 854.

После преобразования нескольких выражений учащиеся зачастую начинают делать распространенную ошибку: возводят в квадрат выражения в том порядке, в котором они записаны в первой скобке. Например:

е) (7 + 3y) (3y – 7) = 72 – (3y)2 = 49 – 9y2.

1) (x + 2y) (2yx); 3) (4a + 1) (1 – 4a);

2) (6 + 5n) (5n – 6); 4) hello_html_7bd7aeaf.gif.

2. № 859.

Решение:

а) hello_html_2c32d2b4.gif

б) hello_html_m47e3cdcd.gif

в) hello_html_57129ff1.gif

г) hello_html_3d585bfe.gif25a4 – 0,16y6;

д) hello_html_m70b9fc0c.gif1,44c4 – 49a4;

е) hello_html_61bdead7.gif

3. № 858 (устно).

4. № 860.

Решение:

г) 74 · 66 = (70 + 4) (70 – 4) = 702 – 42 = 4900 – 16 = 4884;

е) 1,05 · 0,95 = (1 + 0,5) (1 – 0,5) = 1 – 0,52 = 1 – 0,25 = 0,75.

IV. Итоги урока.

Для чего нужны формулы сокращенного умножения?

С какой формулой вы познакомились на этом уроке?

Выполните умножение:

а) (х + 1) (1 – х);

б) (3у + 1) (1 – 3у);

в) (п + 7) (7 – п).

Домашнее задание: № 855; № 857; № 861 (б, г, е).

Урок 80
Разложение разности квадратов на множители

Цель: изучить формулу разности квадратов и формировать умение её применять при разложении на множители многочленов.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Представьте в виде квадрата двучлена.

а) 81х2; в) 4с10; д) hello_html_2c274237.gifb12;

б) hello_html_855a8ea.gifa4; г) 0,0009п8; е) 1,44а2х6.

2. Выполните умножение.

а) (х – 8) (х + 8); в) (2х2 – 1) (1 + 2х2);

б) hello_html_2c29a23e.gif; г) (c3 + 5) (5 – c3).

II. Проверочная работа.

Вариант 1

Упростите выражение.

а) (а + 11)2 – 20а; в) hello_html_7a647168.gif

б) hello_html_m483a4089.gif г) (х – 1) (х + 1) – (y + 1) (y – 1).

Вариант 2

Упростите выражение.

а) 4х2 – (х – 3y)2; в) hello_html_4b74b885.gif

б) hello_html_m45d4a608.gif г) (a + 2) (a – 2) – (b – 2) (2 + b).

III. Объяснение нового материала.

1. Актуализация знаний.

Что значит «разложить многочлен на множители»?

Какие вы знаете способы разложения многочлена на множители?

Как разложить на множители трёхчлен, используя формулу квадрата суммы или разности?

На доску выносится запись: hello_html_m7c09ae46.gif

2. Вывод формулы разности квадратов.

На доску выносится запись: hello_html_6dcfd99a.gif

3. Рассмотрение примеров.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 883.

К доске вызываются сразу несколько учащихся, остальные выполняют задания в тетрадях.

2. № 885.

Решение:

а) hello_html_7a732e6f.gif

г) hello_html_24b7733f.gif

е) hello_html_29fac333.gif(0,8x – 0,7y) (0,8x + 0,7y);

ж) hello_html_1dc64a48.gif

1. № 886.

Решение:

г) hello_html_3d716c85.gif

е) hello_html_9da6159.gif

2. № 887.

Решение:

а) hello_html_f8f6736.gif

б) hello_html_m213d4b20.gif

в) hello_html_m4dc457df.gif

г) hello_html_m33fdcd09.gif

V. Итоги урока.

Какие существуют способы разложения многочленов на множители?

Как разложить на множители разность квадратов?

Можно ли разложить на множители следующие многочлены:

а) hello_html_907cc50.gifx2; в) –п2 + 121;

б) а2 + 9; г) –x2y2 – 49?

Домашнее задание: № 884, № 888.
























Урок 81
Разложение разности квадратов на множители

Цели: продолжить формирование умения применять формулу разности квадратов для разложения многочлена на множители; проверить уровень усвоения материала.

Ход урока

I. Устная работа.

Какие из следующих многочленов можно разложить на множители:

а) а2 – 16; в) 4у2 – 1; д) hello_html_1cd989c3.gifx2;

б) x2 + hello_html_1f917ec1.gif; г) –25 + п2; е) a2b2 – 9?

Выполните разложение на множители в тех случаях, когда это возможно.

II. Формирование умений и навыков.

1. № 889.

2. № 892.

Решение:

а) hello_html_m565cbb0f.gif

в) hello_html_m7dd7875d.gif

д) hello_html_73bf18ba.gif

ж) hello_html_426b6435.gif

и) hello_html_316dd7c0.gif

hello_html_m6c2d449e.gif

890.

Решение:

а) х2 – 16 = 0.

(х – 4) (х + 4) = 0;

х – 4 = 0 или х + 4 = 0;

х = 4 или х = –4.

Ответ: –4; 4.

в) hello_html_1f917ec1.gifx2 = 0.

hello_html_m7226c7b8.gif= 0;

hello_html_768e6a91.gifx = 0 или hello_html_768e6a91.gif + x = 0;

x = hello_html_768e6a91.gif или x = –hello_html_768e6a91.gif.

Ответ: –hello_html_768e6a91.gif; hello_html_768e6a91.gif.

д) b2 + 36 = 0.

Выражение b2 + 36 > 0
при любом значении
b.

Ответ: решений нет.

ж) 4х2 – 9 = 0.

(2х – 3) (2х + 3) = 0;

2х – 3 = 0 или 2х + 3 = 0;

x = hello_html_m5d36b05c.gif или x = –hello_html_m5d36b05c.gif.

Ответ: –1,5; 1,5.

III. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Разложите на множители.

а) 9х2 – 1; в) –100a2 + b2; д) n4hello_html_49198976.gif; б) hello_html_855a8ea.gif – 16c2; г) x2y2 – 4; е) х6у8.

2. Найдите значение дроби: hello_html_1dadf8cc.gif.

3. Решите уравнение.

а) х2 – 64 = 0;

б) х2 + 9 = 0.

Вариант 2

1. Разложите на множители.

а) 4р2 – 9; в) –121х2 + у2; д) hello_html_m49f4b620.gifc4; б) hello_html_1b71289f.gif – 25у2; г) a2b2 – 49; е) a10b6.

2. Найдите значение дроби: hello_html_m6e4de3aa.gif.

3. Решите уравнение.

а) х2 – 100 = 0;

б) х2 + 25 = 0.

IV. Итоги урока.

Как разложить на множители разность квадратов двух выражений?

Как решить уравнение х2 – 4 = 0?

Можно ли разложить на множители выражения:

а) х2hello_html_855a8ea.gif; в) –у2 + 25;

б) а2 + 36; г) –n2hello_html_907cc50.gif?

Домашнее задание: № 891, № 893.



Вариант 1

1. Разложите на множители. а) 9х2 – 1 в) –100a2 + b2; д) n4hello_html_49198976.gif; б) hello_html_855a8ea.gif – 16c2; г) x2y2 – 4; е) х6у8.

2. Найдите значение дроби: hello_html_1dadf8cc.gif.

3. Решите уравнение. а) х2 – 64 = 0; б) х2 + 9 = 0.

Вариант 2

1. Разложите на множители. а) 4р2 – 9; в) –121х2 + у2; д) hello_html_m49f4b620.gifc4; б) hello_html_1b71289f.gif – 25у2; г) a2b2 – 49; е) a10b6.

2. Найдите значение дроби: hello_html_m6e4de3aa.gif.

3. Решите уравнение. а) х2 – 100 = 0; б) х2 + 25 = 0.

Урок 93
Контрольная работа № 7 «Формулы сокращенного умножения»

Вариант 1

1. Преобразуйте в многочлен:

а) (у – 4)2; в) (5с – 1) (5с + 1);

б) (7х + а)2; г) (3a + 2b) (3a – 2b).

2. Упростите выражение (a – 9)2 – (81 + 2a).

3. Разложите на множители:

а) х2 – 49; б) 25х2 – 10хy + y2.

4. Решите уравнение (2 – х)2х (х + 1,5) = 4.

5. Выполните действия.

а) (y2 – 2a) (2a + y2); б) (3х2 + х)2; в) (2 + m)2 (2 – m)2.

6. Решите уравнение.

а) (2х – 5)2 – (2х – 3) (2х + 3) = 0; б) 9у2 – 25 = 0.

7. Разложите на множители.

а) 4x2y2 – 9a4; б) 25a2 – (a + 3)2.

Вариант 2

1. Преобразуйте в многочлен.

а) (3a + 4)2; в) (b + 3) (b – 3);

б) (2xb)2; г) (5y – 2x) (5y + 2x).

2. Упростите выражение (c + b) (cb) – (5c2b2).

3. Разложите на множители.

а) 25y2a2; б) c2 + 4bc + 4b2.

4. Решите уравнение 12 – (4 – x)2 = x (3 – x).

5. Выполните действия.

а) (3x + y2) (3xy2); б) (a3 – 6a)2; в) (ax)2 (x + a)2.

6. Решите уравнение.

а) (4x – 3) (4x + 3) – (4x – 1)2 = 3x; б) 16с2 – 49 = 0.

7. Разложите на множители.

а) 100a4hello_html_1f917ec1.gifb2; б) 9x2 – (x – 1)2.


Решение заданий контрольной работы

Вариант 1

1. а) (у – 4)2 = у2 – 8у + 16;

б) (7х + а)2 = 49х2 + 14ах + а2;

в) (5с – 1) (5с + 1) = 25с2 – 1;

г) (3a + 2b) (3a – 2b) = 9a2 – 4b2.

2. (a – 9)2 – (81 + 2a) = a2 – 18a + 81 – 81 – 2a = a2 – 20a.

3. а) х2 – 49 = (х – 7)(х + 7);

б) 25х2 – 10хy + y2 = (5хy)2.

4. (2 – х)2х (х + 1,5) = 4.

4 – 4х + х2х2 – 1,5х = 4;

5,5х = 0;

х = 0.

Ответ: 0.

5. а) hello_html_m33557cb0.gif

б) hello_html_738dd031.gif

в) hello_html_m7866ad2a.gif16 – 8m2 + m4.

6. а) (2х – 5)2 – (2х – 3) (2х + 3) = 0.

4х2 – 20х + 25 – 4х2 + 9 = 0;

20х = –34;

х = hello_html_mf125422.gif;

х = hello_html_36264d0b.gif = 1,7.

Ответ: 1,7.

б) 9у2 – 25 = 0.

(3y – 5) (3y + 5) = 0;

3у – 5 = 0 или 3у + 5 = 0;

y = hello_html_m3d994ac1.gif или y = –hello_html_m3d994ac1.gif.

Ответ: –1hello_html_m7e3aeda9.gif; 1hello_html_m7e3aeda9.gif.

7. а) hello_html_mdef568d.gif

б) hello_html_m31a29e35.gif(a + 3)) =
= (5
aa – 3) (5a + a + 3) = (4a – 3) (6a + 3).

Вариант 2

1. а) (3a + 4)2 = 9a2 + 24a + 16;

б) (2xb)2 = 4x2 – 4bx + b2;

в) (b + 3) (b – 3) = b2 – 9;

г) (5y – 2x) (5y + 2x) = 25y2 – 4x2.

2. (c + b) (cb) – (5c2b2) = c2b2 – 5c2 + b2 = –4c2.

3. а) 25y2a2 = (5ya) (5y + a);

б) c2 + 4bc + 4b2 = (c + 2b)2.

4. 12 – (4 – x)2 = x (3 – x).

12 – 16 + 8xx2 = 3xx2;

5х = 4;

х = hello_html_3bc3697e.gif.

Ответ: 0,8.

5. а) hello_html_1c6a1f85.gif

б) hello_html_m75cd1fea.gif

в) hello_html_7b1505ba.gifa4 – 2a2x2 + x4.

6. а) (4x – 3) (4x + 3) – (4x – 1)2 = 3x.

16x2 – 9 – 16x2 + 8x – 1 = 3x;

5х = 10;

х = 2.

Ответ: 2.

б) 16с2 – 49 = 0.

(4с – 7) (4с + 7) = 0;

4с – 7 = 0 или 4с + 7 = 0;

с = hello_html_m5a14e365.gif или с = –hello_html_m5a14e365.gif.

Ответ: –1hello_html_m3bf3acbb.gif; 1hello_html_m3bf3acbb.gif.

7. а) hello_html_m4dab0168.gifhello_html_m669b1bb1.gif

б) hello_html_7bf7e38.gif
= (3
xx + 1) (3x + x – 1) = (2x + 1) (4x – 1).

























Урок 85
Преобразование целого выражения в многочлен

Цели: ввести понятие целого выражения; формировать умение преобразовывать целые выражения.

Ход урока

I. Устная работа.

Преобразуйте в многочлен.

а) hello_html_6fc2d0b1.gifx (2x2 – 4); в) (x + 4)2; б) (x + 3) (x – 3);

г) hello_html_m8087cb7.gif; д) (a – 1) (a2 + a + 1); ж) (x – 3) (y – 2);

е) hello_html_m6f68f920.gif; з) (–1 – 2n)2.

II. Объяснение нового материала.

Объяснение проводить согласно пункту 37 учебника в несколько этапов.

1. Введение понятия целого выражения.

Сначала необходимо напомнить учащимся о том, что такое математическое выражение, а затем дать определение целого выражения. Сделать вывод: математическое выражение может быть целым или нецелым.

После этого привести примеры и выполнить № 918.

2. Целое выражение и многочлен.

На основе изученного учащиеся сами смогут сделать вывод, что любой многочлен является целым выражением. После этого следует задать им вопрос: любое ли целое выражение является многочленом?

Делаются соответствующие выводы, приводятся примеры, показывающие, как целое выражение представляется в виде многочлена.

3. Преобразование целых выражений.

Сообщить учащимся, что преобразование целых выражений является одним из основных действий в математике. Чтобы выполнять такие преобразования, нужно уметь следующее:

выполнять умножение одночлена на многочлен и многочлена на многочлен;

приводить подобные слагаемые;

знать формулы сокращенного умножения.

Далее привести пример 1 из учебника.

III. Формирование умений и навыков.

Для преобразования целых выражений учащиеся выполняют действия, которые уже должны быть у них отработаны в процессе изучения предыдущих тем. По сути, задания, предложенные в учебнике, служат для обобщения и систематизации знаний и умений учащихся.

1. Упростите выражение.

а) (4ab) (a – 6b) + a (25b – 3a);

б) 2c (5c – 3) – (c – 2) (c – 4);

в) (y – 3) (5 – y) – (4 – y) (y + 6).

2. Преобразуйте в многочлен.

а) hello_html_m6e6102a5.gif в) hello_html_4fff1c48.gif

б) 4b (3b + 6) – (3b – 5) (5 + 3b); г) hello_html_m232c432.gif

3. Найдите значение выражения.

а) hello_html_m72052a3d.gif при х = –3,5;

б) hello_html_m55e6b5e.gif при a = 1hello_html_m20e8517d.gif, b = 0,7.

4. Упростите выражение.

а) hello_html_19476911.gif

б) hello_html_mb258b02.gif

Решение:

а) Можно выполнять возведение в квадрат и раскрывать скобки, но это будет нерационально. Заметим, что данное выражение является полным квадратом.

hello_html_m12e65c9b.gif(4a3 – 1))2 =
= (4
a3 + 5 – 4a3 + 1)2 = 62 = 36.

б) hello_html_m2cbf091c.gif
= 4
x3 – 4x2 + x – 2x3 – 2 = 2x3 – 4x2 + x – 2.

IV. Итоги урока.

Какие математические выражения называются целыми?

Приведите примеры целых выражений и выражений, которые не являются целыми.

Являются ли многочлены целыми выражениями?

Любое ли целое выражение можно представить в виде многочлена?

Домашнее задание: № 920, № 921, № 922.




















Урок 86
Преобразование целого выражения в многочлен

Цели: продолжить формирование умения преобразовывать целые выражения; проверить уровень усвоения материала.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Какие из следующих выражений являются целыми:

а) 3x2 – 2a; в) hello_html_51a930e4.gif; д) hello_html_620e697d.gif – 4;

б) hello_html_m5c337af1.gif; г) hello_html_m28f3b385.gif; е) hello_html_230e8e7c.gif?

2. Преобразуйте в многочлен.

а) hello_html_59e3d5a5.gif в) (x – 5) (y – 2);

б) (–x – 4)2; г) hello_html_4b7d54a.gif.

II. Формирование умений и навыков.

1. № 923.

Решение:

Преобразуем данное выражение:

hello_html_m2315b257.gif

hello_html_1a0db516.gif

При любом целом п первое слагаемое полученной суммы делится на 6, а второе слагаемое не делится на 6. Значит, ни при каком целом п сумма 6п + 10 не делится на 6.

2. № 925.

Решение:

а) x (x + 2) (x – 2) – x (x2 – 8) = 16.

x (x2 – 4) – x3 + 8x = 16;

x3 – 4xx3 + 8x = 16;

4х = 16;

х = 4.

Ответ: 4.

б) 2y (4y – 1) – 2 (3 – 2y)2 = 48.

8y2 – 2y – 2 (9 – 12y + 4y)2 = 48;

8y2 – 2y – 18 + 24y – 8y2 = 48;

22у = 66;

у = 3.

Ответ: 3.

3. № 927 (а).

Решение:

а) Упростим данное выражение:

hello_html_4be21ec5.gif
a4 + 2a2 – 1 – 2a2 + 6 = a4 – 1 – a4 + 5 = 4.

Значит, значение выражения не зависит от а.

4*. № 999 (а).

Решение:

а) hello_html_m5333cd1.gif

hello_html_m732d6108.gif

hello_html_m5ce9d717.gifa4 – 4a2 + 11 –
a4a3 + 2,5a2 – 1,5a + 6 = –a3 – 1,5a2 – 1,5a + 17.

III. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Преобразуйте в многочлен.

а) (c + 2) (c – 3) – (c + 1) (c + 3);

б) hello_html_1965ace.gif

в) hello_html_m6ff759df.gif

2. Найдите значение выражения

(3a + b)2 – (3ab)2 при a = 3hello_html_768e6a91.gif, b = –0,3.

3. Упростите выражение 8 (5y + 3)2 + 9 (3y – 1)2.

Вариант 2

1. Преобразуйте в многочлен.

а) (a – 5) (a + 1) – (a – 6) (a – 1);

б) (a – 4) (a + 4) – 2a (3 – a);

в) (p + 3) (p – 11) + (p + 6)2.

2. Найдите значение выражения

(4xy)2 – (4x + y)2 при x = 1hello_html_m60a52f9b.gif, y = –0,2.

3. Упростите выражение (2x – 5)2 – 2 (7x – 1)2.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: № 924; № 926; № 928 (а); № 929 (а).



















Вариант 1

1. Преобразуйте в многочлен. а) (c + 2) (c – 3) – (c + 1) (c + 3); б) hello_html_1965ace.gifв) hello_html_m6ff759df.gif

2. Найдите значение выражения (3a + b)2 – (3ab)2 при a = 3hello_html_768e6a91.gif, b = –0,3.

3. Упростите выражение 8 (5y + 3)2 + 9 (3y – 1)2.

Вариант 2

1. Преобразуйте в многочлен.а) (a – 5) (a + 1) – (a – 6) (a – 1); б) (a – 4) (a + 4) – 2a (3 – a); в) (p + 3) (p – 11) + (p + 6)2.

2. Найдите значение выражения (4xy)2 – (4x + y)2 при x = 1hello_html_m60a52f9b.gif, y = –0,2.

3. Упростите выражение (2x – 5)2 – 2 (7x – 1)2.

Вариант 1

1. Преобразуйте в многочлен. а) (c + 2) (c – 3) – (c + 1) (c + 3); б) hello_html_1965ace.gifв) hello_html_m6ff759df.gif

2. Найдите значение выражения (3a + b)2 – (3ab)2 при a = 3hello_html_768e6a91.gif, b = –0,3.

3. Упростите выражение 8 (5y + 3)2 + 9 (3y – 1)2.

Вариант 2

1. Преобразуйте в многочлен.а) (a – 5) (a + 1) – (a – 6) (a – 1); б) (a – 4) (a + 4) – 2a (3 – a); в) (p + 3) (p – 11) + (p + 6)2.

2. Найдите значение выражения (4xy)2 – (4x + y)2 при x = 1hello_html_m60a52f9b.gif, y = –0,2.

3. Упростите выражение (2x – 5)2 – 2 (7x – 1)2.

Вариант 1

1. Преобразуйте в многочлен. а) (c + 2) (c – 3) – (c + 1) (c + 3); б) hello_html_1965ace.gifв) hello_html_m6ff759df.gif

2. Найдите значение выражения (3a + b)2 – (3ab)2 при a = 3hello_html_768e6a91.gif, b = –0,3.

3. Упростите выражение 8 (5y + 3)2 + 9 (3y – 1)2.

Вариант 2

1. Преобразуйте в многочлен.а) (a – 5) (a + 1) – (a – 6) (a – 1); б) (a – 4) (a + 4) – 2a (3 – a); в) (p + 3) (p – 11) + (p + 6)2.

2. Найдите значение выражения (4xy)2 – (4x + y)2 при x = 1hello_html_m60a52f9b.gif, y = –0,2.

3. Упростите выражение (2x – 5)2 – 2 (7x – 1)2.

Вариант 1

1. Преобразуйте в многочлен. а) (c + 2) (c – 3) – (c + 1) (c + 3); б) hello_html_1965ace.gifв) hello_html_m6ff759df.gif

2. Найдите значение выражения (3a + b)2 – (3ab)2 при a = 3hello_html_768e6a91.gif, b = –0,3.

3. Упростите выражение 8 (5y + 3)2 + 9 (3y – 1)2.

Вариант 2

1. Преобразуйте в многочлен.а) (a – 5) (a + 1) – (a – 6) (a – 1); б) (a – 4) (a + 4) – 2a (3 – a); в) (p + 3) (p – 11) + (p + 6)2.

2. Найдите значение выражения (4xy)2 – (4x + y)2 при x = 1hello_html_m60a52f9b.gif, y = –0,2.

3. Упростите выражение (2x – 5)2 – 2 (7x – 1)2.



























Урок 88
Применение различных способов для разложения
на множители

Цели: повторить известные способы разложения многочлена на множители и закрепить умение их применять.

Ход урока

I. Устная работа.

Разложите многочлен на множители.

а) 5х3 – 10х; г) y2 + 6y + 9; ж) а3 + 1;

б) а2 – 4; д) 4х2 – 4х + 1; з) 49p2q4.

в) hello_html_mc0abf66.gifх2; е) hello_html_4956534f.gif

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Является ли целым выражением сумма одночленов, многочленов? Приведите примеры.

2. Упростите выражение hello_html_m1ac04346.jpg

3. Представьте в виде многочлена выражение hello_html_m1c43c56d.jpg

Вариант 2

1. Является ли целым выражением частное от деления одночленов, многочленов? Приведите примеры.

2. Упростите выражение hello_html_1b139e17.jpg

3. Представьте в виде многочлена выражение hello_html_m5dbe2e88.jpg


III. Формирование умений и навыков.

1. № 934 (а, в, д), № 935.

2. № 937.

Решение:

Это тождество можно доказывать как слева направо, так и справа налево.

Разложим на множители левую часть равенства:

hello_html_34fb1d06.gif

hello_html_90a07ae.gif

Доказано.

3. № 938.

4. № 939 (а, в, д).

Решение:

а) hello_html_mad28078.gif

в) hello_html_1aaae9c6.gif

д) hello_html_m2bad3ebf.gif

5. № 942 (а, в).

Решение:

а) 4xy + 12y – 4x – 12 = (4xy – 4x) + (12y – 12) = 4x (y – 1) + 12 (y – 1) =

= (y – 1) (4x + 12) = 4 (y – 1) (x + 3);

в) –abc – 5ac – 4ab – 20a = –a (bc + 5c + 4b + 20) = –a ((bc + 4b) +

+ (5c + 20)) = –a (b (c + 4) + 5 (c + 4)) = –a (c + 4) (b + 5).

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: № 934 (б, г, е); № 936; № 939 (б, г, е);




Урок 89
Применение различных способов для разложения
на множители

Цели: закрепить умение раскладывать многочлен на множители; рассмотреть особенности применения способа группировки в сочетании с формулами сокращенного умножения; проверить уровень усвоения материала.

Ход урока

I. Устная работа.

Разложите многочлен на множители.

а) 4a2 – 8a; г) n2 + 8n + 16; ж) х3 – 1;

б) х2 – 100; д) 9х2 – 6х + 1; з) 225a2c6.

в) hello_html_m49f4b620.gifa2; е) 25p2hello_html_49198976.gifq2;

II. Формирование умений и навыков.

4. № 1010.

Решение:

а) hello_html_633a23a9.gif

б) hello_html_m2a37cd35.gif

в) hello_html_m1146bdaa.gif

г) hello_html_m395a53b6.gif

Разобрать пример 3 из учебника и сделать вывод о том, что не всегда члены многочлена группируются по два.

1. № 944.

Решение:

а) hello_html_c76f9be.gif
= (
xcd) (xc + d);

б) hello_html_7de6e275.gif
= (
c + 1 – a) (c + 1 + a);

в) hello_html_m62f57960.gif
= (
p – (x – 3)) (p + (x – 3)) = (px + 3) (p + x – 3);

г) hello_html_m218c9993.gif
= (
x – (a + 5)) (x + (a + 5)) = (xa – 5) (x + a + 5).

2. № 946 (а, г).

Решение:

а) hello_html_3c5a9e2c.gif
= (
x + y) (xy – 1);

г) hello_html_m6e58bbf2.gif
= (
k + p) (kp – 1).

III. Проверочная работа.

1. Разложите на множители.

а) 3х2 – 12; в) ax2 + 4ax + 4a;

б) –3a3 + 3ab2; г) –3x2 + 12x – 12.

2. Представьте в виде произведения.

а) hello_html_m1ab05db9.gif б) hello_html_m5ae65aa1.gif

3*. Какой многочлен надо записать вместо *, чтобы получившееся равенство было тождеством:

(x + 1) ∙ * = x2 + 3x + 2?

IV. Итоги урока.

Какие вы знаете способы разложения многочлена на множители?

В чём состоит каждый из этих способов?

Как способ группировки применяется в сочетании с формулами сокращенного умножения?

Домашнее задание: № 945; № 947, 1011







Вариант 1

1. Разложите на множители. а) 3х2 – 12; в) ax2 + 4ax + 4a; б) –3a3 + 3ab2; г) –3x2 + 12x – 12.

2. Представьте в виде произведения. а) hello_html_m1ab05db9.gif б) hello_html_m5ae65aa1.gif

Вариант 2

1. Разложите на множители. а) 5x2 – 45; в) ax2 – 2axy + ay2; б) –2ay2 + 2a3; г) –2x2 – 8x – 8.

2. Представьте в виде произведения. а) hello_html_6e85b5a2.gif б) hello_html_2b81e839.gif

Вариант 1

1. Разложите на множители. а) 3х2 – 12; в) ax2 + 4ax + 4a; б) –3a3 + 3ab2; г) –3x2 + 12x – 12.

2. Представьте в виде произведения. а) hello_html_m1ab05db9.gif б) hello_html_m5ae65aa1.gif

Вариант 2

1. Разложите на множители. а) 5x2 – 45; в) ax2 – 2axy + ay2; б) –2ay2 + 2a3; г) –2x2 – 8x – 8.

2. Представьте в виде произведения. а) hello_html_6e85b5a2.gif б) hello_html_2b81e839.gif

Вариант 1

1. Разложите на множители. а) 3х2 – 12; в) ax2 + 4ax + 4a; б) –3a3 + 3ab2; г) –3x2 + 12x – 12.

2. Представьте в виде произведения. а) hello_html_m1ab05db9.gif б) hello_html_m5ae65aa1.gif

Вариант 2

1. Разложите на множители. а) 5x2 – 45; в) ax2 – 2axy + ay2; б) –2ay2 + 2a3; г) –2x2 – 8x – 8.

2. Представьте в виде произведения. а) hello_html_6e85b5a2.gif б) hello_html_2b81e839.gif

Вариант 1

1. Разложите на множители. а) 3х2 – 12; в) ax2 + 4ax + 4a; б) –3a3 + 3ab2; г) –3x2 + 12x – 12.

2. Представьте в виде произведения. а) hello_html_m1ab05db9.gif б) hello_html_m5ae65aa1.gif

Вариант 2

1. Разложите на множители. а) 5x2 – 45; в) ax2 – 2axy + ay2; б) –2ay2 + 2a3; г) –2x2 – 8x – 8.

2. Представьте в виде произведения. а) hello_html_6e85b5a2.gif б) hello_html_2b81e839.gif

Вариант 1

1. Разложите на множители. а) 3х2 – 12; в) ax2 + 4ax + 4a; б) –3a3 + 3ab2; г) –3x2 + 12x – 12.

2. Представьте в виде произведения. а) hello_html_m1ab05db9.gif б) hello_html_m5ae65aa1.gif

Вариант 2

1. Разложите на множители. а) 5x2 – 45; в) ax2 – 2axy + ay2; б) –2ay2 + 2a3; г) –2x2 – 8x – 8.

2. Представьте в виде произведения. а) hello_html_6e85b5a2.gif б) hello_html_2b81e839.gif

Вариант 1

1. Разложите на множители. а) 3х2 – 12; в) ax2 + 4ax + 4a; б) –3a3 + 3ab2; г) –3x2 + 12x – 12.

2. Представьте в виде произведения. а) hello_html_m1ab05db9.gif б) hello_html_m5ae65aa1.gif

Вариант 2

1. Разложите на множители. а) 5x2 – 45; в) ax2 – 2axy + ay2; б) –2ay2 + 2a3; г) –2x2 – 8x – 8.

2. Представьте в виде произведения. а) hello_html_6e85b5a2.gif б) hello_html_2b81e839.gif


































Урок 90
применение преобразований целых выражений

Цели: закрепить умение использовать различные способы разложения многочлена на множители; рассмотреть решение некоторых задач с применением разложения на множители.

Ход урока

I. Устная работа.

Разложите многочлен на множители.

а) 4y5 – 6y8; б) 4900 – а2; в) x2hello_html_1f917ec1.gif;

г) y2 – 6y + 9; д) 81x2hello_html_mc0abf66.gify2; е) 25a2 – 10a + 1;

ж) у3 + 8; з) 121n2m10.

II. Формирование умений и навыков.

На этом уроке следует рассмотреть, как могут быть применены различные способы разложения на множители при решении задач. Можно выделить три направления такого применения:

1) для упрощения вычислений на калькуляторе;

2) для решения уравнений;

3) для доказательства некоторых утверждений.

В соответствии с этим все задания можно разделить на три группы.

1-я группа

Сначала необходимо рассмотреть пример 4 из учебника, показывающий, как можно рационально выполнить вычисления на калькуляторе, если использовать разложение на множители. Для закрепления следует выполнить № 948.

2-я группа

1. № 949.

Решение:

а) х3х = 0.

х (х2 – 1) = 0;

х (х – 1) (х + 1) = 0;

х = 0, или х – 1 = 0, или х + 1 = 0.

Ответ: 0; –1; 1.

б) 9хх3 = 0.

х (9 – х2) = 0;

х (3 – х) (3 + х) = 0;

х = 0, или 3 – х = 0, или 3 + х = 0.

Ответ: –3; 0; 3.

в) х3 + х2 = 0.

х2 (х + 1) = 0;

х2 = 0 или х + 1 = 0;

х = 0 или х = –1.

Ответ: –1; 0.

г) 5х4 – 20х2 = 0.

5х2 (х2 – 4) = 0;

5х2 (х – 2) (х + 2) = 0;

5х2 = 0, или х – 2 = 0, или х + 2 = 0;

х = 0, или х = 2, или х = –2.

Ответ: –2; 0; 2.

2. Можно предложить учащимся решить более сложные уравнения.

а) 2x3x2 – 18x + 9 = 0; б) 2x3 + 3x2 = 2x + 3.

Решение:

а) 2x3x2 – 18x + 9 = 0.

(2x3x2) – (18x – 9) = 0;

x2 (2x – 1) – 9 (2x – 1) = 0;

(2x – 1) (x2 – 9) = 0;

(2x – 1) (x – 3) (x + 3) = 0;

2х – 1 = 0, или х – 3 = 0, или х + 3 = 0;

х = hello_html_6fc2d0b1.gif, или х = 3, или х = –3.

Ответ: –3; hello_html_6fc2d0b1.gif; 3.

б) 2x3 + 3x2 = 2x + 3.

(2x3 + 3x2) – (2x + 3) = 0;

x2 (2x + 3) – (2x + 3) = 0;

(2x + 3) (x2 – 1) = 0;

2х + 3 = 0, или х – 1 = 0, или х + 1 = 0;

х = hello_html_m7cc40566.gif, или х = 1, или х = –1.

Ответ: –1,5; –1; 1.

3-я группа

1. № 951.

Решение:

Разложим данный многочлен на множители:

hello_html_m16fb1db4.gif

Получили произведение трёх последовательных целых чисел. Так как числа последовательные, то хотя бы одно из них чётно, то есть кратно 2, а другое кратно 3. Это означает, что всё произведение кратно 6.

2. № 952.

Решение:

Пусть 2п + 1 и 2п + 3 – два последовательных нечётных числа. Найдем разность их квадратов.

(2п + 3)2 – (2п + 1)2 = ((2п + 3) – (2п + 1)) ((2п + 3) + (2п + 1)) =

= (2п + 3 – 2п – 1) (2п + 3 + 2п + 1) = 2 (4п + 4) = 8 (п + 1).

Значит, исходное выражение делится на 8.

III. Итоги урока.

Какие вы знаете способы разложения на множители?

Опишите суть каждого способа.

При решении каких задач пригодится умение раскладывать многочлен на множители?

Домашнее задание: № 950; № 953; № 998 (а); № 1012 (а, г).







Урок 100
Контрольная работа № 8

Вариант 1

1. Упростите выражение.

а) (x – 3) (x – 7) – 2x (3x – 5); в) 2 (m + 1)2 – 4m.

б) 4a (a – 2) – (a – 4)2;

2. Разложите на множители.

а) х3 – 9х; б) –5a2 – 10ab – 5b2.

3. Упростите выражение hello_html_m7f994f6.gif

4. Разложите на множители.

а) 16х4 – 81; б) х2хy2y.

5. Докажите, что выражение х2 – 4х + 9 при любых значениях х принимает положительные значения.

Вариант 2

1. Упростите выражение.

а) 2х (х – 3) – 3х (х + 5); в) 3 (y + 5)2 – 3y2.

б) (a + 7) (a – 1) + (a – 3)2;

2. Разложите на множители.

а) с3 – 16с; б) 3a2 – 6ab + 3b2.

3. Упростите выражение hello_html_21faddcc.gif

4. Разложите на множители.

а) 81а4 – 1; б) y2х2 – 6х – 9.

5. Докажите, что выражение –а2 + 4а – 9 может принимать лишь отрицательные значения.

Решение заданий контрольной работы

Вариант 1

1. а) hello_html_3ff84d0.gif
= –5
x2 + 21;

б) hello_html_4d546f54.gif

в) hello_html_m5efebdf5.gif
= 2
m2 + 2.

2. а) х3 – 9х = х (х2 – 9) = х (х – 3) (х + 3);

б) hello_html_52ac2322.gif

3. hello_html_m709a9bf.gif

hello_html_m62411944.gif

4. а) 16х4 – 81 = hello_html_7fdf07ed.gif
× (4x2 + 9);

б) hello_html_m54c9566f.gif
= (
x + y) (xy – 1).

5. Выделим из данного трёхчлена квадрат двучлена:

hello_html_m336a95ba.gif

Выражение (х – 2)2 не может быть отрицательным ни при каких значениях х. Значит, выражение (х – 2)2 + 5 принимает положительные значения при любых х.

Вариант 2

1. а) hello_html_7d8a6692.gif

б) hello_html_55f59dca.gif

в) hello_html_7cad0aec.gif75 – 3y2 =
= 30
y + 75.

2. а) с3 – 16с = с (с2 – 16) = с (с – 4) (с + 4);

б) hello_html_m53fa8618.gif

3. hello_html_44f89ba9.gif

hello_html_m59024954.gif

4. а) 81а4 – 1 = hello_html_3d38e75c.gif

б) hello_html_m57bd5237.gif
= (
y – (x + 3)) (y + (x + 3)) = (yx – 3) (y + x + 3).

5. Выделим из данного трёхчлена квадрат двучлена:

hello_html_m70d069da.gif

hello_html_m5de9d753.gif

Выражение –(а – 2)2 не может принимать положительных значений ни при каком значении а. Значит, выражение –(а – 2)2 – 5 может принимать только отрицательные значения.
































Урок 97

график линейного уравнения
с двумя переменными

Цели: продолжить формирование умения строить графики линейных уравнений с двумя переменными; проверить уровень усвоения материала.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Является ли решением уравнения х – 2у = 3 пара чисел:

а) (3; 1); б) (7; 2); в) (–1; –1); г) (–1; –2)?

Принадлежит ли графику этого уравнения точки с такими координатами?

2. Принадлежит ли графику уравнения 3х + у = 5 точка:

а) А (1; 2); б) В (2; –3); в) С (–1; 8); г) D (–2; 1)?

Являются ли решением этого уравнения данные пары чисел?

II. Формирование умений и навыков.

1. Дан график некоторого линейного уравнения с двумя переменными:

hello_html_m45f5115.png

а) Определите по графику, какие из пар чисел (1; –2), (–2; 0), (–3; –1), (–1; –1) являются решениями этого уравнения.

б) Найдите несколько решений этого уравнения.

2. В одной системе координат постройте графики уравнений:

а) 2x + y = 3; б) hello_html_79c98e7d.gifx = 2; в) 0,7у = 2,1.

3. № 1050 (а, в).

4. № 1051, № 1052.

Сильным учащимся можно предложить выполнить дополнительно № 1154 (а, в).

hello_html_m48421e6a.png

Решение:

а) (x – 2) (y – 3) = 0.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

х – 2 = 0; или у – 3 = 0;

х = 2 у = 3.

Значит, графиком данного уравнения служат две прямые: х = 2 и у = 3.

III. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Принадлежит ли графику уравнения 2х – 5у = 1 точка:

а) А (3; 1);

б) В (–1; –1);

в) С (–2; –1)?

2. Постройте график линейного уравнения –4x + 3y = 6.

3. Известно, что график уравнения x + 2y = 2 проходит через точку А, абсцисса которой равна 2. Найдите ординату этой точки.

Вариант 2

1. Принадлежит ли графику уравнения 3х – 4у = 2 точка:

а) А (3; 1);

б) В (2; 1);

в) С (–2; –2)?

2. Постройте график линейного уравнения –2x + 5y = 10.

3. Известно, что график уравнения y = hello_html_768e6a91.gifx – 5 проходит через точку В, абсцисса которой равна 6. Найдите ординату этой точки.

IV. Итоги урока.

Что называется графиком уравнения с двумя переменными?

Как построить график линейного уравнения с двумя переменными?

Как определить, принадлежит ли точка А (2; –4) графику уравнения 3x + y = 2?

Как найти абсциссу точки, принадлежащей графику какого-либо уравнения, если известна её ордината?

Домашнее задание: № 1049 (б, в, г); № 1050 (б, г); № 1148.



























Вариант 1

1. Принадлежит ли графику уравнения 2х – 5у = 1 точка: а) А (3; 1); б) В (–1; –1); в) С (–2; –1)?

2. Постройте график линейного уравнения –4x + 3y = 6.

3. Известно, что график уравнения x + 2y = 2 проходит через точку А, абсцисса которой равна 2. Найдите ординату этой точки.

Вариант 2

1. Принадлежит ли графику уравнения 3х – 4у = 2 точка: а) А (3; 1); б) В (2; 1); в) С (–2; –2)?

2. Постройте график линейного уравнения –2x + 5y = 10.

3. Известно, что график уравнения y = hello_html_768e6a91.gifx – 5 проходит через точку В, абсцисса которой равна 6. Найдите ординату этой точки.

Вариант 1

1. Принадлежит ли графику уравнения 2х – 5у = 1 точка: а) А (3; 1); б) В (–1; –1); в) С (–2; –1)?

2. Постройте график линейного уравнения –4x + 3y = 6.

3. Известно, что график уравнения x + 2y = 2 проходит через точку А, абсцисса которой равна 2. Найдите ординату этой точки.

Вариант 2

1. Принадлежит ли графику уравнения 3х – 4у = 2 точка: а) А (3; 1); б) В (2; 1); в) С (–2; –2)?

2. Постройте график линейного уравнения –2x + 5y = 10.

3. Известно, что график уравнения y = hello_html_768e6a91.gifx – 5 проходит через точку В, абсцисса которой равна 6. Найдите ординату этой точки.

Вариант 1

1. Принадлежит ли графику уравнения 2х – 5у = 1 точка: а) А (3; 1); б) В (–1; –1); в) С (–2; –1)?

2. Постройте график линейного уравнения –4x + 3y = 6.

3. Известно, что график уравнения x + 2y = 2 проходит через точку А, абсцисса которой равна 2. Найдите ординату этой точки.

Вариант 2

1. Принадлежит ли графику уравнения 3х – 4у = 2 точка: а) А (3; 1); б) В (2; 1); в) С (–2; –2)?

2. Постройте график линейного уравнения –2x + 5y = 10.

3. Известно, что график уравнения y = hello_html_768e6a91.gifx – 5 проходит через точку В, абсцисса которой равна 6. Найдите ординату этой точки.

Вариант 1

1. Принадлежит ли графику уравнения 2х – 5у = 1 точка: а) А (3; 1); б) В (–1; –1); в) С (–2; –1)?

2. Постройте график линейного уравнения –4x + 3y = 6.

3. Известно, что график уравнения x + 2y = 2 проходит через точку А, абсцисса которой равна 2. Найдите ординату этой точки.





Урок 98
системы линейных уравнений с двумя переменными

Цели: ввести понятие системы уравнений с двумя переменными; формировать умение решать графически системы линейных уравнений с двумя переменными.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Какие из пар чисел являются решениями уравнения –ху = 5?

а) (2; 3); б) (–2; 3); в) (–3; –2); г) (1; –6).

2. Даны два уравнения: х + у = 3 и ху = 1. Какие из пар чисел являются одновременно решением каждого из этих уравнений:

а) (1; 2); б) (–1; 2); в) (2; 1); г) (–2; 5)?

II. Объяснение нового материала.

Ввести понятие системы уравнений с двумя переменными и рассмотреть, как графически решаются системы линейных уравнений.

1. Рассмотреть задачу из учебника, подводящую к понятию системы уравнений с двумя переменными. Здесь необходимо добиться чёткого понимания учащимися того, в чём состоит отличие простых уравнений с двумя переменными от их систем.

2. Ввести понятие решения системы уравнений с двумя переменными. Желательно привести примеры, показывающие, что некоторые пары чисел могут быть решением какого-либо одного уравнения системы, но не являться решением всей системы.

Пример. hello_html_m1d722b27.gif

(2; 1) –

является решением 1-го уравнения системы, но не является решением 2-го, значит, не является решением системы
уравнений.

(–1; 1) –

является решением 2-го уравнения системы, но не является решением 1-го, значит, не является решением системы
уравнений.

(1; 3) –

является решением и 1-го, и 2-го уравнений, значит,
является решением всей системы.


III. Формирование умений и навыков.

1. № 1056.

Необходимо показать учащимся, как следует оформлять решение подобных заданий:

hello_html_m69d941c1.gif

а) х = 3, у = 1: hello_html_m6a2a94e7.gifОтвет: не является.

б) х = 2, у = 2: hello_html_787717ee.gifОтвет: является.

2. № 1058 (а).

3. № 1059. Например: hello_html_304d7e45.gif

4. № 1060 (а, б).

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: № 1057; № 1058 (б); № 1060 (в, г)




















Урок 99
системы линейных уравнений с двумя переменными

Цели: продолжить формирование умения решать графически системы линейных уравнений с двумя переменными; рассмотреть вопрос о возможном количестве решений таких систем; проверить уровень усвоения материала.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Является ли пара чисел (2; –5) решением уравнения:

а) 2x + y = 9; в) –x + y = 3;

б) xy = 7; г) y – 2x = –9?

2. Является ли пара чисел (1; 2) решением системы уравнений:

а) hello_html_m45a3449c.gif б) hello_html_df63cc0.gif в) hello_html_m6ed7987a.gif

II. Объяснение нового материала.

1) Если угловые коэффициенты прямых различны, то они пересекаются в одной точке, следовательно, система имеет единственное решение.

2) Если угловые коэффициенты прямых одинаковы, а точки пересечения с осью у различны, то прямые параллельны, следовательно, система не имеет решений.

3) Если уравнения прямых одинаковы, то их графики совпадают, следовательно, система имеет бесконечно много решений.

III. Формирование умений и навыков.

1. Решите графически систему уравнений: hello_html_1e4b05f.gif

2. № 1062.

Решение:

а) hello_html_m2acb683a.gif

hello_html_m1a7ff4b3.gif, значит, система имеет одно решение.

в) hello_html_m3b08224b.gif

1,5x = 1 – прямая, параллельная оси y

3x + 2y = –2 – прямая, непараллельная оси y

система имеет
одно решение

г) hello_html_293113f4.gif

0,5 = –0,5

1,5 0

система не имеет решений.

3. № 1064 (а).

4. Подберите, если возможно, такое значение k, при котором данная система имеет единственное решение; не имеет решений; имеет бесконечное множество решений.

а) hello_html_32783e.gif б) hello_html_3604e706.gif в) hello_html_m205fcf50.gif

Решение:

а) hello_html_m70237d4a.gif

Если k = 3, то прямые будут параллельны, то есть система не будет иметь решений. В остальных случаях прямые пересекаются, значит, система имеет единственное решение.

б) hello_html_2e1642b7.gif

Поскольку коэффициенты при х равны, то прямые будут либо параллельны, либо совпадать, то есть единственное решение система иметь не может.

Если k = –1, то прямые совпадают, значит, система будет иметь бесконечное множество решений. В остальных случаях прямые будут параллельны, то есть система не имеет решений.

в) hello_html_18a62343.gif

Если hello_html_234a58e6.gif, то есть k = 3, то уравнения системы будут одинаковы, значит, прямые совпадают, то есть система имеет бесконечное множество решений. В остальных случаях система будет иметь единственное решение.

IV. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Решите графически систему уравнений: hello_html_27b876e1.gif

2. Не выполняя построений, выясните, сколько решений имеет система уравнений.

а) hello_html_214dbf97.gif б) hello_html_m56498dd1.gif в) hello_html_7cf15074.gif

Вариант 2

1. Решите графически систему уравнений: hello_html_2cfd4f0.gif

2. Не выполняя построений, выясните, сколько решений имеет система уравнений.

а) hello_html_m27d02854.gif б) hello_html_m42ec707e.gif в) hello_html_m12ac97d0.gif

V. Итоги урока.

Домашнее задание: № 1061; № 1063; № 1064 (б).









Вариант 1

1. Решите графически систему уравнений: hello_html_27b876e1.gif

2. Не выполняя построений, выясните, сколько решений имеет система уравнений.

а) hello_html_214dbf97.gif б) hello_html_m56498dd1.gif в) hello_html_7cf15074.gif

Вариант 2

1. Решите графически систему уравнений:hello_html_2cfd4f0.gif

2. Не выполняя построений, выясните, сколько решений имеет система уравнений.

а) hello_html_m27d02854.gif б) hello_html_m42ec707e.gif в) hello_html_m12ac97d0.gif

Вариант 1

1. Решите графически систему уравнений: hello_html_27b876e1.gif

2. Не выполняя построений, выясните, сколько решений имеет система уравнений.

а) hello_html_214dbf97.gif б) hello_html_m56498dd1.gif в) hello_html_7cf15074.gif

Вариант 2

1. Решите графически систему уравнений:hello_html_2cfd4f0.gif

2. Не выполняя построений, выясните, сколько решений имеет система уравнений.

а) hello_html_m27d02854.gif б) hello_html_m42ec707e.gif в) hello_html_m12ac97d0.gif


Вариант 1

1. Решите графически систему уравнений: hello_html_27b876e1.gif

2. Не выполняя построений, выясните, сколько решений имеет система уравнений.

а) hello_html_214dbf97.gif б) hello_html_m56498dd1.gif в) hello_html_7cf15074.gif

Вариант 2

1. Решите графически систему уравнений:hello_html_2cfd4f0.gif

2. Не выполняя построений, выясните, сколько решений имеет система уравнений.

а) hello_html_m27d02854.gif б) hello_html_m42ec707e.gif в) hello_html_m12ac97d0.gif


Урок 100
способ подстановки

Цели: разобрать, в чём состоит способ подстановки решения систем линейных уравнений; вывести алгоритм применения этого способа; формировать умение решать системы уравнений способом подстановки.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Является ли пара чисел (2; 3) решением системы уравнений:

а) hello_html_f0444c9.gif б) hello_html_2f21261.gif в) hello_html_494a0e0f.gif

2. Сколько решений имеет система уравнений:

а) hello_html_m7cd36836.gif б) hello_html_38790e33.gif в) hello_html_1c6bb3ca.gif

II. Объяснение нового материала.

Объяснение проводить согласно пункту 43 учебника.

1. Разобрать пример 1

2. Дать определение равносильных систем уравнений и привести их геометрическую интерпретацию.

3. записать в тетрадях алгоритм решения систем уравнений способом подстановки. При этом каждый шаг алгоритма должен отражаться соответствующим действием в решении системы уравнений.

Алгоритм

1-й шаг.

Выразить из какого-нибудь уравнения системы
одну переменную через другую

hello_html_m1bb501cc.gif

2-й шаг.

Подставить в другое уравнение системы вместо
этой переменной полученное выражение

hello_html_m74cf964a.gif

3-й шаг.

Решить полученное уравнение с одной
переменной

4 (3 + y) + y = 2,

12 + 4у + у = 2,

5у = –10,

у = –2.

4-й шаг.

Найти соответствующее значение второй
переменной

х = 3 + у,

х = 3 + (–2),

х = 1.

Ответ: (1; –2)

III. Формирование умений и навыков.

1. Выразите в уравнениях х через у и у через х.

а) х + у = 5; в) х – 3у = –6; д) 5х – 2у = 0;

б) ух = –2; г) –2х + у = 3; е) 3х + 5у = –7.

2. № 1068.

3. № 1069.

Для решения каждой системы следует вызывать к доске по одному учащемуся. Требовать, чтобы они вслух комментировали все шаги решения.

а) hello_html_2d50e4b5.gif

6х – (2х + 1) = 7;

6х – 2х – 1 = 7;

4х = 8;

х = 2;

у = 2х + 1;

у = 2 · 2 + 1 = 5.

Ответ: (2; 5).

в) hello_html_m4923aa81.gif

3 (6 – у) – 5у = 2;

18 – 3у – 5у = 2;

8у = –16;

у = 2;

х = 6 – у;

х = 6 – 2 = 4.

Ответ: (4; 2).

IV. Итоги урока.

Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

Какие вы знаете способы решения систем уравнений?

Сформулируйте алгоритм решения систем уравнений способом подстановки.

Из какого уравнения системы лучше выражать переменную?

Домашнее задание: № 1070.


















Урок 101
способ подстановки

Цели: продолжить формирование умения решать системы уравнений способом подстановки; проверить первоначальный уровень усвоения материала.

Ход урока

I. Устная работа.

Является ли пара чисел (–3; 1) решением системы уравнений:

а) hello_html_m39cd75d1.gif б) hello_html_38468362.gif в) hello_html_m144e5766.gif

II. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Выразите в уравнении х через у и у через х.

а) x + y = hello_html_6fc2d0b1.gif; б) 2xy = 7; в) –3x + 5y = 1.

2. Решите систему уравнений способом подстановки и сделайте проверку.

а) hello_html_m122dc128.gif б) hello_html_m5c267f9d.gif

Вариант 2

1. Выразите в уравнении х через у и у через х.

а) xy = hello_html_768e6a91.gif; б) x + 3y = 5; в) 4x – 5y = –1.

2. Решите систему уравнений способом подстановки и сделайте проверку.

а) hello_html_3ef8a87e.gif б) hello_html_m2bdc6f1c.gif

III. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащиеся будут решать системы уравнений, в которых ни один коэффициент при переменных не равен ±1. Сначала нужно разобрать пример 2 из учебника, сделать соответствующие выводы, а затем приступить к выполнению заданий.

1. № 1071.

Следует обратить внимание учащихся, что иногда удобнее выражать переменную вместе с её коэффициентом.

Решение:

а) hello_html_79f7cf0c.gif

20v + 15v = 7;

35v = 7;

v = hello_html_m5da051e3.gif;

2u = –5 ∙ hello_html_m5da051e3.gif = –1;

u = hello_html_79c98e7d.gif.

Ответ: hello_html_7d9b3a1b.gif.

б) Здесь не получится сделать, как в предыдущей системе, поскольку коэффициенты при переменных не являются кратными.

hello_html_58f9da0.gif

3p + 4 ∙ hello_html_m3d994ac1.gifp = 29;

3 · 3р + 4 · 5р = 29 · 3;

9р + 20р = 29 · 3;

29р = 29 · 3;

р = 3;

q = hello_html_m3d994ac1.gifp = hello_html_m3d994ac1.gif ∙ 3 = 5.

Ответ: (3; 5).

в) hello_html_586d1a06.gif

5u – (14 – 4u) = 25;

5u – 14 + 4u = 25;

9u = 39;

u = hello_html_m6e5adb45.gif.

3v = 14 – 4 ∙ 4hello_html_768e6a91.gif;

3v = 14 – 17hello_html_768e6a91.gif = –3hello_html_768e6a91.gif;

v = –1hello_html_1f917ec1.gif.

Ответ: hello_html_e86825e.gif.

г) hello_html_17b260e9.gif

5 ∙ (5p + 22) + 7q = –2;

25p + 110 + 7q = –2;

32q = –112;

q = –3,5.

2p = 5 ∙ (–3,5) + 22;

2р = –17,5 + 22 = 4,5;

р = 2,25.

Ответ: (2,25; –3,5).

2. № 1073.

Решение:

Чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, нужно решить соответствующую систему уравнений.

а) hello_html_m10956198.gif

hello_html_m32cd5324.gif

16х – 5 (23 – 7х) = 38;

16х – 115 + 35х = 38;

51х = 153;

х = 3.

hello_html_m2db3972c.gif

Ответ: (3; 0,5).

IV. Итоги урока.

Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

Сформулируйте алгоритм решения систем уравнений способом подстановки.

В каких случаях при решении системы уравнений можно выражать переменную вместе с её коэффициентом?

Домашнее задание: № 1072, № 1074.






























Вариант 1

1. Выразите в уравнении х через у и у через х.

а) x + y = hello_html_6fc2d0b1.gif; б) 2xy = 7; в) –3x + 5y = 1.

2. Решите систему уравнений способом подстановки и сделайте проверку.

а) hello_html_m122dc128.gif б) hello_html_m5c267f9d.gif

Вариант 2

1. Выразите в уравнении х через у и у через х.

а) xy = hello_html_768e6a91.gif; б) x + 3y = 5; в) 4x – 5y = –1.

2. Решите систему уравнений способом подстановки и сделайте проверку.

а) hello_html_3ef8a87e.gif б) hello_html_m2bdc6f1c.gif

Вариант 1

1. Выразите в уравнении х через у и у через х.

а) x + y = hello_html_6fc2d0b1.gif; б) 2xy = 7; в) –3x + 5y = 1.

2. Решите систему уравнений способом подстановки и сделайте проверку.

а) hello_html_m122dc128.gif б) hello_html_m5c267f9d.gif

Вариант 2

1. Выразите в уравнении х через у и у через х.

а) xy = hello_html_768e6a91.gif; б) x + 3y = 5; в) 4x – 5y = –1.

2. Решите систему уравнений способом подстановки и сделайте проверку.

а) hello_html_3ef8a87e.gif б) hello_html_m2bdc6f1c.gif

Вариант 1

1. Выразите в уравнении х через у и у через х.

а) x + y = hello_html_6fc2d0b1.gif; б) 2xy = 7; в) –3x + 5y = 1.

2. Решите систему уравнений способом подстановки и сделайте проверку.

а) hello_html_m122dc128.gif б) hello_html_m5c267f9d.gif

Урок 102
способ подстановки

Цели: закрепить умение учащихся решать системы линейных уравнений способом подстановки; проверить уровень усвоения материала.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Является ли пара чисел (–2; –2) решением системы уравнений:

а) hello_html_39ead48b.gif б) hello_html_40a0e08c.gif в) hello_html_4d449652.gif

2. Из какого уравнения системы и какую переменную выразить «удобнее»? Ответ объясните.

а) hello_html_49e4a7ac.gif б) hello_html_m32e3101a.gif в) hello_html_m7e13dd02.gif

II. Формирование умений и навыков.

1. № 1075.

2. № 1171 (а).

Решение:

hello_html_992d7d7.gifhello_html_5688ee20.gif

2 (1 – 2у) + 1 = –3у;

2 – 4у + 1 = –3у;

у = –3;

у = 3;

х = 1 – 2у;

х = 1 – 2 · 3 = –5.

Ответ: (–5; 3).

3. № 1077.

Решение:

а) hello_html_3a8e5f9f.gif

2 (–у – 2) – 3у = –24;

2у – 4 – 3у = –24;

5у = –20;

у = 4;

х = –у – 2;

х = – 4 – 2 = –6.

Ответ: (–6; 4).

Замечание. Обращаем внимание на опечатку: во втором уравнении системы вместо –2 должно стоять –1.

в) hello_html_m5cca8d89.gif

2 (35п + 120) + 5п = 15;

70п + 240 + 5п = 15;

75п = –225;

п = –3;

3т = 35 · (–3) + 120;

3т = –105 + 120 = 15;

т = 5.

Ответ: т = 5, п = –3.

4*. № 1173.

Решение:

а) hello_html_m24e3eb4.gif

Система содержит три уравнения, а переменных всего две. Такая система имеет решение, если общее решение двух любых её уравнений будет являться решением третьего уравнения.

Сначала нужно решить систему из двух уравнений:

hello_html_e5be0f.gif

Подставим пару чисел hello_html_m201c2e76.gif в третье уравнение:

7 · 4 – 5 · hello_html_1c01e432.gif = 1.

Очевидно, что равенство будет неверным. Поэтому исходная система решений не имеет.

б) hello_html_m223030fe.gif

Решим систему уравнений:

hello_html_5745ed34.gif

11х + 3(3 – 2х) = 1;

11х + 9 – 6х = 1;

5х = –8;

х = –1,6;

у = 3 – 2 · (–1,6);

у = 6,2.

Подставим пару чисел (–1,6; 6,2) в третье уравнение:

5 · (–1,6) + 2 · 6,2 = 4;

8 + 12,4 = 4;

4,4 = 4 – неверно.

Значит, исходная система решений не имеет.

III. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Решите систему уравнений hello_html_m33e5ec3e.gif

2. Не выполняя построений, найдите координаты точки пересечения графиков уравнений 3x + 7y = 2 и 2x – 5y = 1.

3. Решите систему уравнений hello_html_284a537e.gif

Вариант 2

1. Решите систему уравнений hello_html_m69f83bda.gif

2. Не выполняя построений, найдите координаты точки пересечения графиков уравнений 2x – 9y = 1 и 5x + 2y = 3.

3. Решите систему уравнений hello_html_m714c7c9b.gif

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: № 1076; № 1171 (б); № 1078.

Дополнительно: № 1174.


















Вариант 1

1. Решите систему уравнений hello_html_m33e5ec3e.gif

2. Не выполняя построений, найдите координаты точки пересечения графиков уравнений 3x + 7y = 2 и 2x – 5y = 1.

3. Решите систему уравнений hello_html_284a537e.gif


Вариант 2

1. Решите систему уравнений hello_html_m69f83bda.gif

2. Не выполняя построений, найдите координаты точки пересечения графиков уравнений 2x – 9y = 1 и 5x + 2y = 3.

3. Решите систему уравнений hello_html_m714c7c9b.gif


Вариант 1

1. Решите систему уравнений hello_html_m33e5ec3e.gif

2. Не выполняя построений, найдите координаты точки пересечения графиков уравнений 3x + 7y = 2 и 2x – 5y = 1.

3. Решите систему уравнений hello_html_284a537e.gif


Вариант 2

1. Решите систему уравнений hello_html_m69f83bda.gif

2. Не выполняя построений, найдите координаты точки пересечения графиков уравнений 2x – 9y = 1 и 5x + 2y = 3.

3. Решите систему уравнений hello_html_m714c7c9b.gif

Вариант 1

1. Решите систему уравнений hello_html_m33e5ec3e.gif

2. Не выполняя построений, найдите координаты точки пересечения графиков уравнений 3x + 7y = 2 и 2x – 5y = 1.

3. Решите систему



Урок 103
способ сложения

Цели: разобрать, в чём состоит способ сложения решения систем линейных уравнений; вывести алгоритм применения этого способа; формировать умение решать системы уравнений способом сложения.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Является ли пара чисел (4; –1) решением системы уравнений:

а) hello_html_m3b35bcf1.gif б) hello_html_m2dd9f6a9.gif в) hello_html_m7587e14f.gif

2. Являются ли данные системы уравнений равносильными:

hello_html_4733cff9.gifи hello_html_9538d9d.gif

II. Объяснение нового материала.

Объяснение проводить согласно пункту 44 учебника в несколько этапов:

1. На примере 1 выявить суть способа сложения решения систем линейных уравнений.

2. Рассмотреть вопрос о равносильности систем уравнений и его геометрическую интерпретацию.

3. Рассмотреть пример 2 из учебника.

4. Вывести алгоритм решения систем линейных уравнений способом сложения.

Так же, как был записан алгоритм решения систем уравнений способом подстановки, учащиеся должны занести в тетради новый алгоритм вместе с примером.

Алгоритм

1-й шаг.

Умножить почленно уравнения системы на такие множители, чтобы коэффициенты при одной
из переменных стали противоположными

hello_html_16cdf4ba.gif

2-й шаг.

Сложить почленно левые и правые части
уравнений системы

hello_html_327ad123.gif

3-й шаг.

Решить получившееся уравнение с одной
переменной

х = –1,

х = 1.

4-й шаг.

Найти соответствующее значение второй
переменной

3·1+2у=–1,

2у=–4,

у=–2.

Ответ: (1; –2)

Системы, в которых нужно подбирать множители к обоим уравнениям, на этом уроке решать не нужно, поэтому пример 3 также лучше разобрать на следующем уроке.

III. Формирование умений и навыков.

1. Умножьте одно из уравнений системы на какое-нибудь число так, чтобы с помощью сложения можно было исключить одну из переменных.

а) hello_html_5c00bf0a.gif б) hello_html_m693ab6d0.gif в) hello_html_71ea156b.gif

2. № 1082.

Решение:

в) hello_html_me326f2d.gif

2у = 60;

у = 30;

4х – 5 · 30 = 90;

4х = 240;

х = 60.

Ответ: (60; 30).

3. № 1084 (а, б, в).

Решение:

а) hello_html_20b33529.gif

15у = 0;

у = 0;

20х – 7 · 0 = 5;

20х = 5;

х = hello_html_907cc50.gif.

Ответ: hello_html_3b8b122b.gif.

IV. Итоги урока.

Какие существуют способы решения систем уравнений?

Сформулируйте алгоритм решения систем линейных уравнений способом сложения.

Сколько решений может иметь система линейных уравнений?

Домашнее задание: № 1083; № 1085 (а, б).







Урок 104

способ сложения

Цели: продолжить формирование умения решать системы уравнений способом сложения; проверить первоначальный уровень усвоения материала.

Ход урока

I. Устная работа.

Являются ли следующие системы уравнений равносильными:

а) hello_html_m3e5d5008.gif и hello_html_m34d2f2b7.gif

б) hello_html_40575dcf.gif и hello_html_129d6f8.gif

II. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Умножьте одно из уравнений системы на такое число, чтобы с помощью сложения можно было исключить одну из переменных.

а) hello_html_m71da45b8.gif б) hello_html_m32b9cbbe.gif в) hello_html_m111eabd3.gif

2. Решите способом сложения систему уравнений:

а) hello_html_m27e95700.gif б) hello_html_m7ff8b9e3.gif

Вариант 2

1. Умножьте одно из уравнений системы на такое число, чтобы с помощью сложения можно было исключить одну из переменных.

а) hello_html_59dcb426.gif б) hello_html_m79776c34.gif в) hello_html_2153b39d.gif

2. Решите способом сложения систему уравнений:

а) hello_html_2bde6c25.gif б) hello_html_m6fbf59a9.gif

III. Формирование умений и навыков.

Рассмотреть пример 3 из учебника, сделать выводы, а затем приступить к выполнению заданий.

1. № 1084 (г, д, е).

Решение:

г) hello_html_ef587cd.gif

17х = 34;

х = 2;

11 · 2 – 18у = 4;

18у = 18;

у = 1.

Ответ: (2; 1).

2. № 1093.

Прежде чем применять способ сложения для подобных систем уравнений, нужно избавиться от дробных коэффициентов.

Решение:

а) hello_html_m569f450.gif

hello_html_44756316.gif

19х = 57;

х = 3;

5 · 3 – у = 11;

у = –4;

у = 4.

Ответ: (3; 4).

г) hello_html_m2f3b6512.gif

hello_html_m72093e77.gif

5v = 75;

v = 15;

2u + 15 = 39;

2u = 24;

u = 12.

Ответ: (12; 15).

3. № 1095 (а, г).

IV. Итоги урока.

Сформулируйте алгоритм решения систем линейных уравнений способом сложения.

На какое число нужно умножить каждое из уравнений системы hello_html_38bc959e.gif чтобы её можно было решить способом сложения?

Домашнее задание: № 1085 (в, г); № 1094.




























Вариант 1

1. Умножьте одно из уравнений системы на такое число, чтобы с помощью сложения можно было исключить одну из переменных.

а) hello_html_m71da45b8.gif б) hello_html_m32b9cbbe.gif в) hello_html_m111eabd3.gif

2. Решите способом сложения систему уравнений:

а) hello_html_m27e95700.gif б) hello_html_m7ff8b9e3.gif

Вариант 2

1. Умножьте одно из уравнений системы на такое число, чтобы с помощью сложения можно было исключить одну из переменных.

а) hello_html_59dcb426.gif б) hello_html_m79776c34.gif в) hello_html_2153b39d.gif

2. Решите способом сложения систему уравнений:

а) hello_html_2bde6c25.gif б) hello_html_m6fbf59a9.gif

Вариант 1

1. Умножьте одно из уравнений системы на такое число, чтобы с помощью сложения можно было исключить одну из переменных.

а) hello_html_m71da45b8.gif б) hello_html_m32b9cbbe.gif в) hello_html_m111eabd3.gif

2. Решите способом сложения систему уравнений:

а) hello_html_m27e95700.gif б) hello_html_m7ff8b9e3.gif

Вариант 2

1. Умножьте одно из уравнений системы на такое число, чтобы с помощью сложения можно было исключить одну из переменных.

а) hello_html_59dcb426.gif б) hello_html_m79776c34.gif в) hello_html_2153b39d.gif

2. Решите способом сложения систему уравнений:

а) hello_html_2bde6c25.gif б) hello_html_m6fbf59a9.gif

Вариант 1

1. Умножьте одно из уравнений системы на такое число, чтобы с помощью сложения можно было исключить одну из переменных.

а) hello_html_m71da45b8.gif б) hello_html_m32b9cbbe.gif в) hello_html_m111eabd3.gif

2. Решите способом сложения систему уравнений:

а) hello_html_m27e95700.gif б) hello_html_m7ff8b9e3.gif

Вариант 2

1. Умножьте одно из уравнений системы на такое число, чтобы с помощью сложения можно было исключить одну из переменных.

а) hello_html_59dcb426.gif б) hello_html_m79776c34.gif в) hello_html_2153b39d.gif

2. Решите способом сложения систему уравнений:

а) hello_html_2bde6c25.gif б) hello_html_m6fbf59a9.gif




























Урок 105
способ сложения

Цели: закрепить умение учащихся решать системы уравнений способом сложения; разобрать, как с помощью системы уравнений можно составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки; проверить уровень усвоения материала.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Являются ли следующие системы уравнений равносильными:

а) hello_html_m3b1c586d.gif и hello_html_74e0498f.gifб) hello_html_m2f9a8ac1.gif и hello_html_m65dbe3b5.gif

2. Первое уравнение системы у = 2х – 1. Подберите второе уравнение так, чтобы полученная система:

а) имела единственное решение;

б) не имела решений;

в) имела бесконечное множество решений.

II. Формирование умений и навыков.

1. № 1086 (а, в).

Решение:

а) hello_html_32c1ac1b.gifhello_html_356a6838.gif

5,03х = 503;

х = 100;

0,32 · 100 – 25у = 7;

25у = –25;

у = 1.

Ответ: (100; 1).

2. № 1092 (а).

2-я группа

1. № 1087 (а, в).

Решение:

а) Чтобы составить уравнение прямой, нужно найти коэффициенты k и b. Подставляя координаты данных точек M (5; 5) и N (–10; –19) в уравнение y = kx + b, получим систему уравнений:

hello_html_7198c727.gif

15k = 24;

k = 1,6;

5 · 1,6 + b = 5;

b = 5 – 8;

b = –3. Получим уравнение: у = 1,6х – 3.

2. № 1088.

3. № 1091.

Решение:

Чтобы задать формулой функцию по её графику, нужно найти на этом графике две любых точки и записать их координаты. Например, А (–1; 1) и В (1; –3). Задача свелась к составлению уравнения прямой y = kx + b, проходящей через точки А и В.

hello_html_6c5fbe1e.gif

2b = –2;

b = –1;

1 = –k – 1;

k = –2.

Получим уравнение: у = –2х – 1.

Сильным учащимся можно предложить дополнительно выполнить задания на карточках.

Карточка 1

Решите систему уравнений:

а) hello_html_3e8d9234.gif б) hello_html_m4e55fd20.gif

Решение заданий на карточке 1

а) hello_html_25b7564e.gif

Если сложить первое и третье уравнения системы, то получится уравнение с одной переменной:

2х = 6;

х = 3.

Подставив найденное значение х в первое и второе уравнения, получим и решим систему:

hello_html_m2ac326e9.gif

2у = 4;

у = 2;

2 – z = 1;

z = 1. Ответ: (3; 2; 1).

б) Сделаем замену переменных: hello_html_5d52c354.gif = a, hello_html_118c6628.gif = b. Получим и решим систему уравнений:

hello_html_m75f0c951.gif

3b = 9;

b = 3;

5a – 6 · 3 = 2;

5a = 20;

a = 4.

Вернёмся к замене: hello_html_5d52c354.gif = 4, значит, x = hello_html_907cc50.gif; hello_html_118c6628.gif = 3, значит, y = hello_html_768e6a91.gif. Ответ: hello_html_m4d328383.gif.

III. Проверочная работа.

Вариант 1 Решите систему уравнений.

а) hello_html_m3c6e2908.gif б) hello_html_24265363.gif

Вариант 2

Решите систему уравнений.

а) hello_html_m75dda3b6.gif б) hello_html_m298c1667.gif

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: № 1086 (б, г); № 1087 (б, г); № 1089; № 1092 (б).





Урок 115
Составление системы уравнений
по условию задачи

Цели: изучить способ решения задач с помощью составления систем уравнений; формировать умение составлять системы уравнений по условию задачи и решать их.

Ход урока

I. Устная работа.

Какое из уравнений нужно записать в систему hello_html_m4496dc4d.gif чтобы она имела единственное решение? не имела решений? имела бесконечное множество решений?

а) y + 3x = 7; в) y – 2x = 3;

б) 4x – 2y = 2; г) hello_html_768e6a91.gifx = 5.

II. Объяснение нового материала.

Сначала следует вспомнить, в чём заключается способ решения задач с помощью составления уравнения, а затем показать, что задачи могут решаться и с помощью составления системы уравнений.

Разобрав примеры решения задач, учащиеся должны сформулировать действия, которые необходимо выполнить, чтобы решить задачу с помощью составления системы уравнений.

III. Формирование умений и навыков.

Сначала необходимо дать учащимся несколько заданий на составление системы уравнений по условию задачи, а затем уже переходить непосредственно к решению задач.

1. Запишите с помощью системы уравнений следующую ситуацию:

а) Сумма двух чисел равна 17. Одно из них на 7 меньше другого.

б) Периметр прямоугольника равен 400 м. Его длина в 3 раза больше ширины.

в) Четыре боксёра тяжёлого веса и пять боксёров лёгкого веса вместе весят 730 кг. Спортсмен тяжелого веса весит на 70 кг больше спортсмена лёгкого веса.

г) Таня заплатила за 3 тетради и 2 карандаша 58 р., а Лена за 3 такие же тетради и 1 карандаш – 78 р.

2. № 1103.

4. № 1104.

Решение:

Пусть ослица несла х мешков, а мул нёс у мешков. Если ослица отдаст 1 мешок мулу, то у неё останется х – 1 мешок, а у мула станет у + 1 мешок. По условию у мула станет в 2 раза больше мешков, чем у ослицы, то есть получим уравнение: у + 1 = 2(х – 1).

Если мул отдаст 1 мешок ослице, то у него останется у – 1 мешок, а у ослицы станет х + 1 мешок. По условию в этом случае количество мешков у них станет равным, то есть получим уравнение: у – 1 = х + 1.

В итоге имеем систему уравнений:

hello_html_m2f3e7390.gif

x + 2 – 2x = –3;

х = 5;

у = 5 + 2;

у = 7.

IV. Итоги урока.

Какие существуют способы решений систем уравнений с двумя переменными? Опишите каждый из них.

Как решаются задачи с помощью составления системы уравнений?

Придумайте ситуацию, которая описывается следующей системой уравнений: hello_html_m59a97ed4.gif

Домашнее задание: № 1100, № 1102, № 1105.

Урок 116
Решение задач «на движение»
с помощью систем уравнений

Цели: продолжить формирование умения решать задачи с помощью систем уравнения, уделив особое внимание задачам «на движение»; проверить уровень усвоения материала.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Являются ли данные системы уравнений равносильными:

а) hello_html_7574b4f6.gif и hello_html_5272bd6e.gif

б) hello_html_m3bbbb251.gif и hello_html_m13ed2771.gif

2. Придумайте ситуацию, которая описывается следующей системой уравнений:

а) hello_html_m6eec880.gif б) hello_html_m69c58ba6.gif

II. Формирование умений и навыков.

Сначала необходимо актуализировать знания учащихся. Они должны вспомнить, как используется таблица при решении задач «на движение» и какая существует зависимость между величинами s, υ и t.

1. № 1108.

2. № 1110.

Решение:

Обозначим скорости автомобилей через х км/ч и у км/ч. Выделим процессы: движение автомобилей навстречу друг другу и движение в одном направлении. Соответственно заполним две таблицы.

Движение навстречу

s

υ

t

1-й автомобиль

2х км

х км/ч

2 ч

2-й автомобиль

2у км

у км/ч

2 ч

Получаем уравнение: 2х + 2у = 280.

Движение в одном направлении

s

υ

t

1-й автомобиль

14х км

х км/ч

14 ч

2-й автомобиль

14у км

у км/ч

14 ч

Получаем уравнение: 14х – 14у = 280.

Составим и решим систему уравнений:

hello_html_m2a94bca7.gif

2х = 160;

х = 80;

80 – у = 20;

у = 60.

Ответ: 80 км/ч и 60 км/ч.

3. № 1111.

4. № 1113.

Решение:

Пусть х км/ч – собственная скорость теплохода, а у км/ч – скорость течения реки. Выделим процессы: движение теплохода по течению и против течения реки в первом и во втором случаях.

s

υ

t

по течению

3 (х + у) км

(х + у) км/ч

3 ч

против течения

4 (ху) км

(ху) км/ч

4 ч

Получим уравнение: 3 (х + у) + 4 (ху) = 380.

s

υ

t

по течению

(х + у) км

(х + у) км/ч

1 ч

против течения

0,5 (ху) км

(ху) км/ч

0,5 ч

Получим уравнение: (х + у) + 0,5 (ху) = 85.

Составим и решим систему уравнений:

hello_html_m54ef501c.gif

hello_html_2673bf95.gif

10х = 550;

х = 55;

3 · 55 + у = 170;

у = 170 – 165;

у = 5.

Ответ: 55 км/ч и 5 км/ч.

III. Проверочная работа.

Вариант 1

1. У Толи 18 монет по 2 р. и по 5 р. на сумму 97 р. Сколько монет каждого достоинства у Толи?

2. Поезд прошёл первый перегон за 2 ч, а второй за 3 ч. Всего за это время он прошёл 330 км. Найдите скорость поезда на каждом перегоне, если на втором перегоне она была на 10 км/ч больше, чем на первом.

Вариант 2

1. У Лены 8 монет по 10 р. и 5 р. Сколько у неё десятирублёвых и сколько пятирублёвых монет, если всего у неё 65 р.?

2. Туристы прошли 24 км, причём 3 ч дорога шла в гору, а 2 ч – под гору. С какой скоростью туристы шли в гору и с какой под гору, если на первом участке их скорость была на 2 км/ч меньше, чем на втором?

IV. Итоги урока.

Как решаются задачи с помощью систем уравнений?

Как используется таблица при решении задач «на движение»?

Домашнее задание: № 1106, № 1109, № 1112.





























Урок 117
Решение задач

Цели: закрепить умение учащихся решать задачи с помощью систем уравнений; подготовить учащихся к контрольной работе.

Ход урока

I. Устная работа.

Придумайте задачу, для решения которой нужно составить систему уравнений: hello_html_4c67824a.gif

II. Формирование умений и навыков.

1. № 1107.

Решение:

Пусть первый автомат изготовлял в час х деталей, а второй – у деталей. Заполним таблицу:

А

работа

k

производительность

t

время

первый автомат

3х дет.

х дет./ч

3 ч

второй автомат

2у дет.

у дет./ч

2 ч

совместная работа

2 (х + у) дет.

(х + у) дет./ч

2 ч

Составим и решим систему уравнений:

hello_html_m7ad90a30.gif

3х + 600 – 2х = 720;

х = 120;

2у = 600 – 2 · 120 = 360;

у = 180.

Ответ: 120 и 180 деталей.

2. № 1115.

Решение:

Пусть слиток золота весит х г, а слиток серебра весит у г. Согласно условию 9 слитков золота и 11 слитков серебра весят одинаково. Получим уравнение: 9х = 11у.

После того как поменяли местами один слиток золота с одним слитком серебра, на левой чаше оказалось 8 слитков золота и 1 слиток серебра, их общая масса равна (8х + у) г. На правой чаше стало 10 слитков серебра и 1 слиток золота, их общая масса равна (10у + х) г. По условию левая чаша на 13 г легче правой, значит, получим уравнение:

(10у + х) – (8х + у) = 13.

Составим и решим систему уравнений:

hello_html_389b1a6e.gif

9yhello_html_mbe19f22.gify = 13;

81y – 77y = 117;

4у = 117;

у = 29,25;

х = hello_html_63b6ef74.gif;

х = 35,75.

Ответ: 35,75 г и 29, 25 г.

3. № 1118.

Решение:

Пусть первая бригада по плану за месяц должна была изготовить х деталей, а вторая бригада – у деталей. По условию вместе они должны за месяц изготовить 680 деталей, то есть получим уравнение: х + у = 680.

Первая бригада, перевыполняя план, изготовила за месяц на 0,2х деталей больше, а вторая – на 0,15у деталей больше. По условию сверх плана было изготовлено 118 деталей, то есть получим уравнение:

0,2х + 0,15у = 118.

Составим и решим систему уравнений:

hello_html_20107c82.gif

0,2 (680 – у) + 0,15у = 118;

136 – 0,2у + 0,15у = 118;

0,05у = –18;

у = 360;

х = 680 – 360;

х = 320.

Ответ: 320 и 360 деталей.

Если останется время, можно предложить учащимся задачи повышенного уровня сложности.

4*. № 1120.

Решение:

Пусть на вклад «Депозитный» клиент положил х р., а на вклад «До востребования» – у р.

По условию всего клиент положил в банк 45000 р., то есть получим уравнение: х + у = 45000.

Доход от вклада «Депозитный» составил 9 %, то есть 0,09 х р., а от вклада «До востребования» 1 %, то есть 0,01у р. Общий доход клиента по условию равен 3410 р., значит, получим уравнение: 0,09х + 0,01у = 3410.

Составим и решим систему уравнений:

hello_html_1348ad5c.gif

hello_html_m6b44cbc3.gif

9х + 45000 – х = 341000;

8х = 296000;

х = 37000;

у = 45000 – 37000;

у = 8000.

Ответ: 37000 р. и 8000 р.

5*. № 1121.

Решение:

Пусть 10 %-ного раствора нужно взять х г, а 15 %-ного – у г.

Всего нужно получить 80 г раствора, то есть получим уравнение:
х + у = 80.

В х г 10 %-ного раствора содержится 0,1х г соляной кислоты, а в у г 15 %-ного раствора – 0,15у г соляной кислоты. В результате получили 80 г 12 %-ного раствора, в нём соляной кислоты 80 · 0,12 = 9,6 г.

Получим уравнение: 0,1х + 0,15у = 9,6.

Составим и решим систему уравнений:

hello_html_m1bec0424.gif

80 – у + 1,5у = 96;

0,5у = 16;

у = 32;

х = 80 – 32 ;

х = 48.

Ответ: 48 г и 32 г.

III. Итоги урока.

Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

Какие существуют способы решения систем уравнений? Опишите каждый из них.

Как решить задачу с помощью системы уравнений?

Домашнее задание: № 1114; № 1116; № 1117.

Дополнительно: № 1122.

Урок 118
Контрольная работа № 9

Вариант 1

1. Решите систему уравнений: hello_html_m10608e55.gif

2. Банк продал предпринимателю г-ну Разину 8 облигаций по 2000 р. и 3000 р. Сколько облигаций каждого номинала купил г-н Разин, если за все облигации было заплачено 19000 р.?

3. Решите систему уравнений hello_html_3dd5eccd.gif

4. Прямая y = kx + b проходит через точки А (3; 8) и В (–4; 1). Напишите уравнение этой прямой.

5. Выясните, имеет ли решение система и сколько: hello_html_4d0a1856.gif

Вариант 2

1. Решите систему уравнений hello_html_m350b5f56.gif

2. Велосипедист ехал 2 ч по лесной дороге и 1 ч по шоссе, всего он проехал 40 км. Скорость его на шоссе была на 4 км/ч больше, чем скорость на лесной дороге. С какой скоростью велосипедист ехал по шоссе и с какой скоростью по лесной дороге?

3. Решите систему уравнений hello_html_3423794d.gif

4. Прямая y = kx + b проходит через точки А (5; 0) и В (–2; 21). Напишите уравнение этой прямой.

5. Выясните, имеет ли решение система и сколько: hello_html_77d957d6.gif



Вариант 1

1. Решите систему уравнений: hello_html_m10608e55.gif

2. Банк продал предпринимателю г-ну Разину 8 облигаций по 2000 р. и 3000 р. Сколько облигаций каждого номинала купил г-н Разин, если за все облигации было заплачено 19000 р.?

3. Решите систему уравнений hello_html_3dd5eccd.gif

4. Прямая y = kx + b проходит через точки А (3; 8) и В (–4; 1). Напишите уравнение этой прямой.

5. Выясните, имеет ли решение система и сколько: hello_html_4d0a1856.gif

Вариант 2

1. Решите систему уравнений hello_html_m6b046a00.gif

2. За 15 акций компании «Трансгаз» и 10 акций компании «Суперсталь» заплатили 35000 р. Сколько стоит одна акция каждой компании, если акция «Трансгаза» на 1000 р. дешевле акции «Суперстали»?

3. Решите систему уравнений hello_html_m6d3c6790.gif

4. Прямая y = kx + b проходит через точки А (–2; 11) и В (12; 4). Напишите уравнение этой прямой.

5. Выясните, имеет ли решение система и сколько: hello_html_m3772c053.gif

Вариант 1

1. Решите систему уравнений: hello_html_m10608e55.gif

2. Банк продал предпринимателю г-ну Разину 8 облигаций по 2000 р. и 3000 р. Сколько облигаций каждого номинала купил г-н Разин, если за все облигации было заплачено 19000 р.?

3. Решите систему уравнений hello_html_3dd5eccd.gif

4. Прямая y = kx + b проходит через точки А (3; 8) и В (–4; 1). Напишите уравнение этой прямой.

5. Выясните, имеет ли решение система и сколько: hello_html_4d0a1856.gif

Вариант 2

1. Решите систему уравнений hello_html_m6b046a00.gif

2. За 15 акций компании «Трансгаз» и 10 акций компании «Суперсталь» заплатили 35000 р. Сколько стоит одна акция каждой компании, если акция «Трансгаза» на 1000 р. дешевле акции «Суперстали»?

3. Решите систему уравнений hello_html_m6d3c6790.gif

4. Прямая y = kx + b проходит через точки А (–2; 11) и В (12; 4). Напишите уравнение этой прямой.

5. Выясните, имеет ли решение система и сколько: hello_html_m3772c053.gif


Вариант 1

1. Решите систему уравнений: hello_html_m10608e55.gif

2. Банк продал предпринимателю г-ну Разину 8 облигаций по 2000 р. и 3000 р. Сколько облигаций каждого номинала купил г-н Разин, если за все облигации было заплачено 19000 р.?

3. Решите систему уравнений hello_html_3dd5eccd.gif

4. Прямая y = kx + b проходит через точки А (3; 8) и В (–4; 1). Напишите уравнение этой прямой.

5. Выясните, имеет ли решение система и сколько: hello_html_4d0a1856.gif



Вариант 2

1. Решите систему уравнений hello_html_m6b046a00.gif

2. За 15 акций компании «Трансгаз» и 10 акций компании «Суперсталь» заплатили 35000 р. Сколько стоит одна акция каждой компании, если акция «Трансгаза» на 1000 р. дешевле акции «Суперстали»?

3. Решите систему уравнений hello_html_m6d3c6790.gif

4. Прямая y = kx + b проходит через точки А (–2; 11) и В (12; 4). Напишите уравнение этой прямой.

5. Выясните, имеет ли решение система и сколько: hello_html_m3772c053.gif

Решение заданий контрольной работы

Вариант 1

1. hello_html_55ab204d.gif

6х – 2(3 – 4х) = 1;

6х – 6 + 8х = 1;

14х = 7;

х = 0,5;

у = 3 – 4 · 0,5;

у = 1.

Ответ: (0,5; 1).

2. Пусть г-н Разин купил х облигаций по 2000 р. и у облигаций по 3000 р.

По условию всего он купил 8 облигаций, то есть получим уравнение: х + у = 8.

За облигации номинала 2000 р. предприниматель заплатил 2000 х р., а за облигации номинала 3000 р. заплатил 3000у р. Всего за облигации было заплачено 19000 р., то есть получим уравнение: 2000х + 3000у = 19000.

Составим и решим систему уравнений:

hello_html_1329cfe.gif

2000 (8 – у) + 3000у = 19000;

16000 – 2000у + 3000у = 19000;

1000у = 3000;

у = 3;

х = 8 – 3;

х = 5.

Ответ: 5 облигаций по 2000 р. и 3 облигации по 3000 р.

3. hello_html_14e9c3a2.gif

hello_html_c19e2a1.gif

8 (6 – 2у) + 5у = –7;

48 – 16у + 5у = –7;

11у = –55;

у = 5;

х = 6 – 2 · 5;

х = –4.

Ответ: (–4; 5).

4. Подставляя координаты точек А и В в уравнение y = kx + b, получим систему уравнений:

hello_html_ma1aeed1.gif

4k + 8 – 3k = 1;

7k = –7;

k = 1;

b = 8 – 3;

b = 5;

у = х + 5.

Ответ: у = х + 5.

5. Выразим в каждом уравнении системы у через х и сравним коэффициенты k и b:

hello_html_m51d12f91.gif

Так как коэффициенты k равны, а b не равны, то прямые параллельны. Значит, система не имеет решений.

Ответ: не имеет.

Вариант 2

1. hello_html_42264465.gif

2х + 3 (3х – 7) = 1;

2х + 9х – 21 = 1;

11х = 22;

х = 2;

у = 3 · 2 – 7;

у = –1.

Ответ: (2; –1).

2. Пусть по лесной дороге велосипедист ехал со скоростью х км/ч, а по шоссейной – со скоростью у км/ч.

На шоссе его скорость была на 4 км/ч больше, поэтому получим уравнение: ух = 4.

За 2 ч по лесной дороге и 1 ч по шоссе велосипедист проехал (2х + у) км, по условию всего он проехал 40 км. Получим уравнение: 2х + у = 40.

Составим и решим систему уравнений:

hello_html_28331fcb.gif

3х + 4 = 40;

3х = 36;

х = 12;

у = 4 + 12;

у = 16.

Ответ: 16 км/ч и 12 км/ч.

3. hello_html_771a716c.gif

hello_html_m382551d1.gif

2 (5 – 4х) + х = –11;

10 – 8х + х = –11;

7х = –21;

х = 3;

у = 5 – 4 · 3;

у = –7.

Ответ: (3; –7).

4. Подставляя координаты точек А и В в уравнение y = kx + b, получим систему уравнений:

hello_html_mbce1d32.gif

7k = 21;

k = –3;

b = –5 · (–3);

b = 15.

Ответ: у = –3х + 15.

5. Выразим в каждом уравнении системы у через х и сравним коэффициенты k и b:

hello_html_5ea6ab86.gif

Получили два одинаковых уравнения, значит, система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: имеет бесконечное множество решений.


Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 490 405 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 24.09.2020 211
    • DOCX 1.1 мбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Омарова Патимат Магомедовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Пожаловаться на материал
  • Автор материала

    Омарова Патимат Магомедовна
    Омарова Патимат Магомедовна
    • На сайте: 3 года и 10 месяцев
    • Подписчики: 1
    • Всего просмотров: 1651
    • Всего материалов: 7