Логотип Инфоурока

Получите 30₽ за публикацию своей разработки в библиотеке «Инфоурок»

Добавить материал

и получить бесплатное свидетельство о размещении материала на сайте infourok.ru

Инфоурок География Другие методич. материалыПоурочные разработки по алгебре 8 класс - к учебнику Ю.Н. Макарычева

Поурочные разработки по алгебре 8 класс - к учебнику Ю.Н. Макарычева

Скачать материал
библиотека
материалов

hello_html_mc27b1a2.gif


У р о к 1 (43)
Определение квадратного уравнения

Цели: ввести понятия квадратного уравнения, приведенного квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения; формировать умения записывать квадратное уравнение в общем виде, различать его коэффициенты.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Является ли число а корнем уравнения:

а) 2х – 7 = 8, а = 7,5;

б) х2х – 20 = 0, а = 5;

в) (х3 + 12) (х2 – 8) = 0, а = hello_html_m64fea5fd.png.

2. Найдите корни уравнения:

а) (х – 3 ) (х + 12) = 0;

б) (6х – 5) (х + 5) = 0;

в) (х – 8) (х + 2) (х2 + 25) = 0.

III. Объяснение нового материала.

Для введения понятия квадратного уравнения используется задача, при решении которой возникает уравнение, еще не известное учащимся. Возникает проблемная ситуация: мы не можем решить практическую задачу, так как пока не умеем решать уравнения нового вида. На этом уроке можно просто указать, какие корни имеет полученное уравнение и сообщить, что такое уравнение называется квадратным.

На доску выносится запись:

Далее рассматривается вопрос о коэффициентах квадратного уравнения. Число а называется первым коэффициентом, число b – вторым коэффициентом и число с – свободный член. Особое внимание обращаем, что число а не может быть равным нулю, так как в этом случае уравнение примет вид + с = 0, а это линейное уравнение.

Числа b и с, в отличие от а, могут быть и равными нулю. Если хотя бы одно из них равно нулю, то уравнение называется неполным. Можно предложить учащимся самостоятельно выписать виды неполных квадратных уравнений:

Уравнение

0

Х

ах2 + с = 0

Х

0

ах2 + = 0

0

0

ах2 = 0

Для усвоения понятия квадратного уравнения и его коэффициентов следует предложить учащимся задание:

Укажите, какие из данных уравнений являются квадратными, объясните ответ:

а) 2х2 + 7х – 3 = 0; д) hello_html_m38538182.pngх2 – 6х + 1 = 0;

б) 5х – 7 = 0; е) 7х2 + 5х = 0;

в) –х2 – 5х – 1 = 0; ж) 4х2 + 1 = 0;

г) hello_html_m2b723115.png + 3х + 4 = 0; з) х2hello_html_d818029.png = 0.

Затем определяется, какое квадратное уравнение называется приведенным, приводятся примеры.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке основное внимание следует уделить тому, чтобы учащиеся усвоили понятие квадратного уравнения, могли выделять его из множества уравнений, называть коэффициенты, преобразовывать неприведённое квадратное уравнение в приведённое, овладели соответствующей терминологией.

1. Заполните таблицу.

Окончание табл.
2. Составьте квадратное уравнение по его коэффициентам:

а) а = –4; b = 3; с = 1; в) а = –1; b = hello_html_58d56aec.png; с = 0;

б) а = hello_html_278d2a67.png; b = 0; с = hello_html_25ae4c3f.png; г) а = 2; b = 0; с = 0.

3. Приведите уравнение к виду ах2 + + с = 0:

а) –х + 2х2 – 4 = 0; г) (х – 3) (х + 3) = 2;

б) 2х2 – 3х = 5х – 1; д) (х – 1)2 = 2х + 4.

в) (х – 2) (3х – 5) = 0;

4. Какое из чисел 1; –3 является корнем данного уравнения?

а) 2у2 – 3у + 1 = 0; б) –х2 – 5х – 6 = 0;

в) hello_html_278d2a67.pngt2 + t – 1,5 = 0; г) 25z2 – 10z + 1 = 0.

5. Какие из данных уравнений являются приведёнными; неполными?

а) х2 – 3х + 5 = 0; г) х2hello_html_636f8315.pngх = 0;

б) –х2 – 7х + 1 = 0; д) hello_html_dd8702f.pngх2 = 0;

в) hello_html_58d56aec.pngх2 + 5х – 1 = 0; е) х2 – 5 = 0.

6. Преобразуйте квадратное уравнение в приведённое:

а) –х2 + 2х – 5 = 0; г) 3х2 + 9хhello_html_m38538182.png = 0;

б) hello_html_278d2a67.pngх2 + 3х – 1 = 0; д) –5х2 + 10х + 125 = 0;

в) 2х2 – 4х = 0; е) 18х2 = 0.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

Какое уравнение называется квадратным?

Может ли коэффициент а в квадратном уравнении быть равным нулю?

Является ли уравнение 3х2 – 7 = 0 квадратным? Назовите коэффициенты этого уравнения.

Какое квадратное уравнение называется неполным? Приведите примеры.

Какое квадратное уравнение называется приведённым? Приведите примеры.

Как преобразовать неприведённое квадратное уравнение в приведённое?

Домашнее задание:

1. № 512, № 513.

2. Приведите уравнение к виду ах2 + + с = 0.

а) (3х – 1) (х + 2) = 0; в) (3 – х) (3 + х) = 2;

б) –3х2 + 4х = –8х + 1; г) (х – 2)2 = –3х + 5.


У р о к 2 (44)
Решение неполных квадратных уравнений

Цели: формировать умения решать неполные квадратные уравнения различных видов.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Найдите корни уравнения:

а) х2 = 0; б) х2 = 16; в) х2 = hello_html_m4e575ab1.png; г) х2 = 144;


д) х2 = hello_html_mb15ac68.png; е) х2 = hello_html_m448f6bbf.png; ж) х2 = 2,56; з) х2 = hello_html_6728c7dd.png.

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Составить квадратное уравнение по его коэффициентам и проверить, является ли указанное число х0 корнем этого уравнения:

а) a = 2; b = –3; c = 1; х0 = hello_html_278d2a67.png;

б) a = –1; b = 4; c = 0; х0 = 4;

в) a =hello_html_7a4a2b4a.png; b = –1; c =hello_html_7a4a2b4a.png; х0 =hello_html_7a4a2b4a.png.

В а р и а н т 2

Составить квадратное уравнение по его коэффициентам и проверить, является ли указанное число х0 корнем этого уравнения:

а) a = 3; b = –2; c = –1; х0 = hello_html_292a1627.png;

б) a = –1; b = 0; c = 9; х0 = 3;

в) a =hello_html_25ae4c3f.png; b = –1; c =hello_html_25ae4c3f.png; х0 =hello_html_25ae4c3f.png.

IV. Объяснение нового материала.

Для осознанного восприятия приёмов решения неполных квадратных уравнений объяснение проводим на конкретных примерах с последующим составлением алгоритмов решения.

1. № 514 (устно).

2. hello_html_m5e891816.png

П р и м е р 1. 3,8х2 = 0.

Р е ш е н и е

Разделим обе части уравнения на 3,8 (число, не равное нулю) и получим уравнение, равносильное исходному:

х2 = 0.

Мы знаем, что существует только одно число – нуль, квадрат которого равен нулю, следовательно, уравнение имеет единственный корень х0 = 0.

О т в е т: 0.

В ы в о д: уравнение вида ах2 = 0 (а ≠ 0) имеет единственный корень х0 = 0.

3. hello_html_5692b343.png

П р и м е р 2. –3х2 + 21 = 0.

Р е ш е н и е

Перенесём свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на –3:

3х2 = –21;

х2 = 7.

Отсюда х = hello_html_2c68d437.png или х = –hello_html_2c68d437.png.

О т в е т: х = hello_html_2c68d437.png; х = –hello_html_2c68d437.png.

П р и м е р 3. 4х2 + 6 = 0.

Р е ш е н и е

Перенесём свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на 4:

4х2 = –6;

х2 = hello_html_m35a993c6.png.

Так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то уравнение не имеет корней.

О т в е т: нет корней.

В ы в о д: для решения уравнения вида ах2 + с = 0 (с ≠ 0) воспользуемся алгоритмом:

1) Перенесём свободный член с в правую часть уравнения.

2) Делим обе части уравнения на а (с ≠ 0, а ≠ 0), получаем уравнение х2 = hello_html_75bd0a9a.png.

3) Если hello_html_75bd0a9a.png > 0, то уравнение имеет два корня:

hello_html_m34ee278c.png.

Если hello_html_75bd0a9a.png < 0, то уравнение не имеет корней.

4. hello_html_m54936b55.png

П р и м е р 4. 5х2 + 7х = 0.

Р е ш е н и е

Разложим левую часть уравнения на множители:

х (5х + 7) = 0.

Отсюда: х = 0 или 5х + 7 = 0;

5х = –7;

х = hello_html_m2bc84061.png;

х = –1,4.

О т в е т: 0; –1,4.

В ы в о д: для решения уравнения вида ах2 + bx = 0 (b ≠ 0) воспользуемся алгоритмом:

1) Разложим левую часть уравнения на множители, получим x (ax +
+
b) = 0.

2) Решаем уравнение ах + b = 0; х = hello_html_m7db7c337.png.

3) Уравнение имеет два корня: hello_html_5efb530c.png.

5. Приведённые примеры показывают учащимся, что неполное квадратное уравнение может иметь один или два корня, а может и не иметь корней. В дальнейшем возможно обобщение этого вывода для любых квадратных уравнений.

V. Формирование умений и навыков.

На первых порах желательно, чтобы учащиеся перед решением неполных квадратных уравнений вслух проговаривали их вид и алгоритм решения, пока не будет сформирован устойчивый навык.

515 (а, в, д), № 517 (а, в, е), № 519 (устно), № 523 (а, в).

VI. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

Какое квадратное уравнение называется неполным?

Какие существуют виды неполных квадратных уравнений?

Какие корни имеет уравнение вида ах2 = 0?

Как решается неполное квадратное уравнение, в котором коэффициенты b = 0, с ≠ 0? Сколько корней может иметь такое уравнение?

Как решается неполное квадратное уравнение, в котором коэффициенты b ≠ 0, с = 0? Сколько корней может иметь такое уравнение?

Домашнее задание: № 515 (б, г, е), № 518 (а, г, д, е), № 521 (а, в), № 520, № 522 (а, в).









У р о к 3 (45)
Решение задач с помощью
неполных квадратных уравнений

Цели: продолжить формировать умения решать неполные квадратные уравнения различного вида; формировать умения решать задачи с использованием неполных квадратных уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Вычислите:

а) hello_html_70ce9eb3.png; б) 0,7 · 8; в) hello_html_m2b79702.png : 5; г) hello_html_216213b4.png;

д) 6,3 : 7; е) 1,2 · 6; ж) hello_html_m3aa0eaa1.png : 3; з) 0,06 · 7.

III. Математический диктант.

В а р и а н т 1 [В а р и а н т 2]

1. Запишите квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен 3 [–5], второй коэффициент равен –5 [3]. Свободный член равен нулю.

2. Запишите приведённое квадратное уравнение, у которого второй коэффициент и свободный член равны –2 [–3].

3. Запишите неполное квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен –5 [–3], свободный член равен 7 [5], и решите его.

4. Запишите неполное квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен 3 [5], второй коэффициент равен 5 [7], и решите его.

IV. Формирование умений и навыков.

З а д а ч и, решаемые на этом уроке, можно разбить на две группы:

1) Уравнения, сводящиеся к неполным квадратным путём преобразований.

2) Текстовые задачи, решаемые алгебраическим методом с помощью неполных квадратных уравнений.

1-я г р у п п а.

1) hello_html_50b630b3.png = 2.

Р е ш е н и е

Умножив обе части уравнения на 4, получим:

(х – 2)2 + 2(х + 1)2 = 8.

После преобразований имеем уравнение:

3х2 – 2 = 0;

х2 = hello_html_dd8702f.png;

х =hello_html_m200a0e28.png.

О т в е т: hello_html_m200a0e28.png.

2. hello_html_408e3b6.png.

Р е ш е н и е

Умножив обе части уравнения на 12, получим:

12х2 + 12 – 4 (х2 + 3) = 6 (х2 + 2) – 3(х2 + 4);

12х2 + 12 – 4х2 – 12 = 6х2 + 12 – 3х2 – 12;

5х2 = 0;

х = 0.

О т в е т: 0.

3. hello_html_m105696cf.png = (2 – х) (х + 5).

Р е ш е н и е

Умножив обе части уравнения на 3, получим:

(х – 5)2 – 6х + 5 = 3 (2 – х) (х + 5);

х2 – 10х + 25 – 6х + 5 = 6х + 30 – 3х2 – 15х;

4х2 – 7х = 0;

х (4х – 7) = 0;

х = 0 или 4х – 7 = 0;

х = hello_html_m6a35d52d.png.

О т в е т: 0; hello_html_m6a35d52d.png.

2-я г р у п п а.

Прежде чем перейти к решению задач, необходимо, чтобы учащиеся проговорили, какие этапы включает в себя решение любой задачи алгебраическим методом.

1. № 524.

Р е ш е н и е

Последовательные целые числа отличаются на единицу (последующее больше предыдущего).

Пусть х – меньшее целое число, тогда (х + 1) – последующее целое число (большее). Произведение этих чисел равно х (х + 1), что составляет х2 + х. Зная, что произведение в 1,5 раза больше квадрата меньшего числа, составим уравнение:

х2 + х = 1,5х2;

0,5х2 + х = 0;

х (–0,5х + 1) = 0;

х = 0 или –0,5х + 1 = 0;

х = 2.

Очевидно, что х = 0 противоречит условию задачи (произведение чисел будет равно квадрату меньшего числа). Значит, эти числа 2 и 3.

О т в е т: 2; 3.

2. № 526.

Р е ш е н и е

Площадь квадрата составляет 59 + 85 = 144 см2. Пусть х см – сторона квадрата, тогда х2 см2 – его площадь. Получаем уравнение:

х2 = 144;

х = ±12.

Так как длина стороны квадрата выражается положительным числом, то х = –12 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 12 см.

3. № 527.

Р е ш е н и е

Пусть t ч – время, через которое расстояние между туристами будет 16 км. За это время один турист прошёл на север 4t км, а второй на запад 5t км. Расстояние между ними равно длине отрезка ЗС и вычисляется по теореме Пифагора: (ЗС)2 = (0З)2 + (0С)2. Зная, что длина отрезка ЗС равна 16 км, составляем уравнение:

(16)2 = (5t)2 + (4t)2;

256 = 25t2 + 16t2;

41t2 = 256;

t2 = hello_html_b475add.png;

t = ±hello_html_c9fb4ca.png;

t ≈ ±2,5.

Так как время выражается положительным числом, то t ≈ –2,5 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: ≈ 2,5 ч.

4. Для сильных в учебе учащихся можно предложить задачу повышенной сложности.

530.

Согласно условию, отношение длины экрана к его ширине равно 4 : 3, это значит, что можно обозначить 4х и 3х длину и ширину экрана соответственно (в дюймах). Диагональ вычисляется по теореме Пифагора:

(25)2 = (4х)2 + (3х)2;

625 = 16х2 + 9х2;

25х2 = 625;

х2 = 25;

х = ±5.

х = –5 – не удовлетворяет условию задачи. Длина экрана равна 4 · 5 = 20 дюймов, а ширина равна 3 · 5 = 15 дюймов. В сантиметрах эти величины составляют 20 · 2,54 = 50,8 и 15 · 2,54 = 38,1 соответственно.

О т в е т: 20; 15; 50,8; 38,1.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

Какое квадратное уравнение называется неполным?

Какие существуют виды неполных квадратных уравнений и как они решаются?

Какие этапы выделяются при решении задачи алгебраическим методом?

Домашнее задание: № 532 (б, г), № 525, № 528, № 529.

















У р о к 1 (46)
Решение квадратного уравнения
выделением квадрата двучлена

Цели: ознакомить учащихся с приемом решения квадратного уравнения выделением квадрата двучлена.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Назовите коэффициенты квадратного уравнения:

а) 3х2 – 17х + 4 = 0; в) hello_html_58d56aec.pngх2 = 0;

б) 2хх2 + 1 = 0; г) х2 + 2х = 0.

2. Найдите корни уравнения:

а) х2 = 1,21; в) х2 = hello_html_m7e3d733f.png;

б) х2 = hello_html_4dd0ecf.png; г) х2 = 0,0049.

3. Представьте одночлен в виде удвоенного произведения двух множителей:

а) 10х; в) 7а;

б) –8у; г) hello_html_2368ef1f.png.

4. Разложите на множители:

а) х2 – 4х + 4; в) hello_html_m38538182.pngy2 + y + 1 ;

б) а2 + 6а + 9; г) 3х2 – 6х + 3.

III. Объяснение нового материала.

Для осознанного восприятия приёма решения квадратных уравнений путём выделения квадрата двучлена объяснение следует проводить в н е с к о л ь к о э т а п о в.

1. А к т у а л и з а ц и я з н а н и й.

При решении квадратных уравнений рассматриваемым приёмом учащимся необходимо свободно решать уравнения вида х2 = а и (х + k)2 = m.

Частично знания учащихся были актуализированы при выполнении устной работы. Чтобы ребята вспомнили, как решаются уравнения вида (х + k)2 = m, необходимо им предложить з а д а н и е:

Решите уравнение:

а) (х + 2)2 = 16; г) (2х – 7)2 = hello_html_m21966414.png;

б) (х – 3)2 = hello_html_m38538182.png; д) (1 – 3х)2 = hello_html_m4e575ab1.png;

в) (х + 1)2 = 4; е) (2х + 1) = 0.

2. О з н а к о м л е н и е с приёмом решения квадратного уравнения путём выделения квадрата двучлена следует начать с рассмотрения приведённого квадратного уравнения, левая часть которого представляется в виде полного квадрата двучлена:

х2 + 10х + 25 = 0;

х2 – 6х + 9 = 0;

х2 + х + hello_html_m38538182.png = 0 и т. п.

После этого появляется возможность подвести учащихся к мысли о том, что для решения квадратного уравнения нужно привести его к виду (х + k)2 = m, а сделать это можно путём выделения квадрата двучлена. Сперва рассматриваем приведённое квадратное уравнение, одновременно выделяя алгоритм решения квадратных уравнений данным приёмом.

х2 – 6х – 7 = 0.

1-й ш а г. Записываем второй коэффициент в виде произведения двойки и некоторого числа: b = 2п.

х2 – 6х – 7 = х2 – 2 · 3х – 7.

2-й ш а г. Число п представляет собой второе слагаемое в искомом квадрате двучлена: п = 3. Для того чтобы получить искомый квадрат двучлена (хn)2 = х2 – 2 · х · п + n2, необходимо прибавить п2 и одновременно вычесть его:

х2 – 2 · 3х – 7 = х2 – 2 · 3х + 9 – 9 – 7.

3-й ш а г. Выделяем квадрат двучлена:

х2 – 6х – 7 = х2 – 2 · 3х + 9 – 16 = (х – 3)2 – 16.

4-й ш а г. Решаем полученное уравнение, равносильное исходному:

(х – 3)2 – 16 = 0;

(х – 3)2 = 16;

х – 3 = 4 или х – 3 = –4;

х = 7 или х = –1.

О т в е т: –1; 7.

3. Р е ш е н и е неприведённых квадратных уравнений приёмом выделения квадрата двучлена.

Целью рассмотрения приёма решения квадратных уравнений путём выделения квадрата двучлена является подготовка к осознанному восприятию вывода общей формулы корней. Поэтому не стоит заострять внимание учащихся на технически сложных заданиях. Однако нужно рассмотреть со всем классом пример решения неприведённого квадратного уравнения указанным приёмом (с. 116–117 учебника).

IV. Формирование умений и навыков.

Следующие упражнения представляют собой последовательность квадратных уравнений, решаемых приёмом выделения квадрата двучлена, от простых к более сложным.

1. Решить устно.

а) х2 + 12х + 36 = 0;

(х + 6)2 = 0;

х = –6.

б) х2х + hello_html_m38538182.png = 0;

hello_html_12755d49.png= 0;

х = hello_html_278d2a67.png.

2. а) х2 – 8х + 15 = 0;

(х2 – 8х + 16) – 16 + 15 = 0;

(х – 4)2 – 1 = 0;

(х – 4)2 = 1;

х – 4 = –1 или

х = 3

х – 4 = 1;

х = 5.

О т в е т: 3; 5.

б) х2 – 5х – 6 = 0;

(х2 – 2 · 2,5х + 6,25) – 6,25 – 6 = 0;

(х – 2,5)2 – 12,25 = 0;

(х – 2,5)2 = 12,25;

х – 2,5 = 3,5 или

х = 6

х – 2,5 = –3,5;

х = –1.

О т в е т: –1; 6.

в) х2 – 6х + 14 = 0;

(х2 – 2 · 3х + 9) – 9 + 14 = 0;

(х – 3)2 + 5 = 0;

(х – 3)2 = –5.

Уравнение не имеет решений.

О т в е т: нет корней.

3. а) 3х2 – 4х – 4 = 0;

х2hello_html_m736fc508.png = 0;

х2hello_html_m2695700.png = 0;

hello_html_7ca3d0a1.png = 0;

hello_html_m493e8965.png = 0;

hello_html_m1f1e4b5b.png;

хhello_html_m6142df01.png или

х = 2

хhello_html_4c850a33.png;

х = hello_html_30e5c237.png.

О т в е т: hello_html_30e5c237.png; 2.

б) 2х2 – 9х + 10 = 0;

х2hello_html_1b7e7a6e.pngх + 5 = 0;

х2 – 2 ∙ hello_html_m4a0d189.pngх + 5 = 0;

hello_html_mad7b5fd.png+ 5 = 0;

hello_html_m3d934ebb.png5;

hello_html_57bd216b.png;

хhello_html_m107ed25c.png или

х = 2,5

хhello_html_m403ce0d2.png;

х = 2.

О т в е т: 2; 2,5.

4. а) При каком значении а уравнение х2ах + 9 = 0 имеет один корень?

Р е ш е н и е

Выделим квадрат двучлена.

х2ах + 9 = 0;

х2 – 2 ∙ hello_html_7ab52de1.pngх + 9 = 0;

hello_html_1ad40858.png+ 9 = 0;

hello_html_m193ee5a8.png9.

Это квадратное уравнение имеет единственный корень, если

hello_html_m1721a5f0.png9 = 0;

hello_html_m1721a5f0.png= 9; а2 = 36; а = ±6.

О т в е т: при а = ±6.

б) При каком значении т уравнение 3х2тх – 6 = 0 имеет единственный корень?

Р е ш е н и е

Выделим квадрат двучлена.

3х2тх – 6 = 0;

х2hello_html_m2a585334.pngх – 2 = 0;

х2 – 2 ∙ hello_html_3e5e5a52.pngх – 2 = 0;

hello_html_m51ccf094.png2 = 0;

hello_html_m47ee303c.png+ 2.

Это квадратное уравнение имеет единственный корень, если

hello_html_m4d8182a1.png+ 2 = 0;

hello_html_m4d8182a1.png= –2;

т2 = –72 – нет корней.

О т в е т: нет решений.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

Какое уравнение называется квадратным?

Какое квадратное уравнение называется приведённым?

Как преобразовать неприведённое квадратное уравнение в приведённое?

В чём заключается приём решения квадратных уравнений путём выделения квадрата двучлена?

Любое ли квадратное уравнение может быть решено указанным приёмом?

Домашнее задание.

Решить методом выделения квадрата двучлена:

1. 5х2 + 3х – 8 = 0;

2. х2 – 8х – 9 = 0.

3. № 534 (б, г, д).

4. При каких значениях п можно представить в виде квадрата двучлена выражение:

а) х2пх + 16; б) пх2 – 12х + 4?

5. № 653 (а).





























У р о к 2 (47)
Вывод формулы корней квадратного уравнения

Цели: вывести общую формулу нахождения корней квадратного уравнения; формировать умение её использовать.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

1. Выпишите коэффициенты a, b, c квадратного уравнения:

В а р и а н т 1

а) х2 – 3х + 17 = 0;

б) 3х2 = 2;

в) –7х + 16х2 = 0;

г) hello_html_750440e1.png = 0.


В а р и а н т 2

а) 7х2 + 6х – 4 = 0;

б) –х2 = 5х;

в) 18 – х2 = 0;

г) hello_html_422221bc.png– 4 = 0.

2. Найдите корни уравнения:

В а р и а н т 1

а) 2х2 – 18 = 0;

б) 4у2 + 7у = 0;

в) х2 + 16 = 0;

г) (х – 3)2 – 9 = 0.


В а р и а н т 2

а) х2 = 7;

б) 8у2 – 5у = 0;

в) х2 + 9 = 0;

г) (х + 3)2 – 4 = 0.

3. Решите уравнение приемом выделения квадрата двучлена:

В а р и а н т 1

2х2 – 24х + 54 = 0


В а р и а н т 2

3х2 + 24х – 27 = 0

III. Объяснение нового материала.

Для мотивации изучения общей формулы корней квадратного уравнения достаточно обратить внимание учащихся на д в а м о м е н т а:

1) решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям;

2) каждый раз, решая квадратное уравнение данным приёмом, мы повторяем одни и те же шаги (алгоритм).

Указанные пункты позволяют предположить, что можно провести рассуждения о решении квадратного уравнения приёмом выделения квадрата двучлена для уравнения общего вида.

Для наглядности и осознанности восприятия можно процесс вывода формулы корней квадратного уравнения разбить на несколько шагов, записывая при этом на доске параллельно решение конкретного уравнения и уравнения общего вида.

hello_html_60b52ae.png

Ш а г 4. Выделим квадрат двучлена:

hello_html_m1d94113e.png

hello_html_6839f0ea.png

Ш а г 5. Решим полученное уравнение:

hello_html_32926ede.png

hello_html_6a506628.png

Замечаем, что в левой части уравнения находится квадрат выражения (двучлена). Количество корней уравнения зависит от знака правой части уравнения. Более того, 4а2 > 0 для любого а ≠ 0, значит, для решения важен только знак выражения b2 – 4ac. Так появляется понятие дискриминанта D = b2 – 4ac («дискриминант» в переводе с латинского – различитель).

После рассмотрения вопроса о количестве корней квадратного уравнения и вывода их общей формулы полезно вывесить на доску плакат:

Решение квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0;

D = b2 – 4ac.

Если D < 0, то уравнение не имеет корней.

Если D = 0, то x = hello_html_5eafd24f.png.

Если D > 0, то x = hello_html_m463fd8c.png.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке основное внимание следует уделить вопросу определения количества корней квадратного уравнения с помощью дискриминанта. Желательно, чтобы учащиеся за урок выучили формулу D = b2 – 4ac и хорошо усвоили алгоритм нахождения корней квадратного уравнения.

1. № 533.

2. Докажите, что уравнение не имеет корней:

а) х2 – 5х + 9 = 0;

б) 3х2 – 7х + 18 = 0;

в) hello_html_m7246e491.pngt2 – 2t + 8 = 0.

3. Убедитесь, что уравнение имеет единственный корень, найдите этот корень:

а) х2 – 8х + 16 = 0;

б) hello_html_6d984f76.pngy2 – 3y + 9 = 0;

в) 0,04t2 – 0,2t + 0,25 = 0.

4. № 534 (а, в), № 535 (а, в, г), № 536 (в, д), № 538 (а).

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

На чем основан вывод формулы корней квадратного уравнения?

Как вычислить дискриминант квадратного уравнения?

Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

Как определить количество корней квадратного уравнения?

Если квадратное уравнение имеет единственный корень, то что можно сказать о трёхчлене, стоящем в левой части уравнения?

Домашнее задание: № 535 (б, д, е), № 536 (б, г, е), № 537 (а, в).













У р о к 3 (48)
Решение квадратных уравнений по формуле

Цели: продолжить формирование умения решать квадратные уравнения по формуле.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Вычислите:

а) hello_html_e92d9a5.png; б) hello_html_57d6ca88.png; в) hello_html_1057abc6.png;

г) hello_html_m32bd1da7.png; д) hello_html_231ba825.png; е) hello_html_1f93b3e7.png.

III. Проверочная работа.

Вычислите дискриминант квадратного уравнения и напишите, сколько корней имеет уравнение:

В а р и а н т 1

а) 5х2 – 4х – 1 = 0;

б) х2 – 6х + 9 = 0;

в) 3хх2 + 10 = 0;

г) 2х + 3 + 2х2 = 0.


В а р и а н т 2

а) 3х2 – 5х + 2 = 0;

б) 4х2 – 4х + 1 = 0;

в) 2хх2 + 3 = 0;

г) 3х + 1 + 6х2 = 0.

О т в е т ы:

В а р и а н т 1

а) D = 36, 2 корня;

б) D = 0, 1 корень;

в) D = 49, 2 корня;

г) D = –20, нет корней.


В а р и а н т 2

а) D = 1, 2 корня;

б) D = 0, 1 корень;

в) D = 16, 2 корня;

г) D = –15, нет корней.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке основное внимание следует уделить непосредственному применению алгоритма вычисления корней квадратного уравнения по формуле. Важно, чтобы учащиеся запомнили этот алгоритм, а также желательно, чтобы они начали запоминать формулу корней.

Во избежание формального применения алгоритма на этом уроке следует решать упражнения, в которых требуется проводить преобразования квадратного уравнения к общему виду.

Кроме того, следует приучать учащихся преобразовывать даже квадратные уравнения стандартного вида к более «удобным», решение которых будет менее громоздким и трудным, чем решение исходного уравнения. Для этого следует обратить внимание на т р и с л у ч а я, встречающиеся при решении квадратных уравнений:

1) Коэффициент а является отрицательным. Нужно домножить обе части уравнения на –1.

2) Все коэффициенты уравнения имеют общий делитель. Нужно разделить обе части уравнения на этот делитель.

3) Среди коэффициентов уравнения встречаются дробные. Нужно умножить обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей дробей, чтобы коэффициенты стали целыми (возможны исключения).

Также на этом уроке следует чередовать полные и неполные квадратные уравнения, чтобы учащиеся осознанно выбирали рациональный способ решения: по общей формуле либо по одному из алгоритмов решения неполного квадратного уравнения.

1. № 541 (а, г, д).

2. № 542 (б, г, ж), № 543 (б, е).

3. № 544 (а, г), № 546 (б), № 547 (б, г).

4. № 549.

544.

Р е ш е н и е

а) hello_html_44ab4a99.png;

hello_html_42279852.png= 0;

hello_html_2f3cdf63.png= 0;

D = hello_html_72a9f702.png = 225 + 136 = 361; D > 0; 2 корня.

hello_html_m5fd2def8.png= 1,7;

hello_html_29fe921e.png= –0,2.

О т в е т: –0,2; 1,7.

П р и м е ч а н и е. При решении этого квадратного уравнения нецелесообразно домножать обе части уравнения на число, чтобы получить целые коэффициенты. Наоборот, работа с дробным свободным членом позволяет упростить ход вычислений.

г) –x(x + 7) = (x – 2)(x + 2);

х2 – 7x = х2 – 4;

2х2 – 7x + 4 = 0;

2х2 + 7x – 4 = 0;

D = (72) – 4 ∙ 2 ∙ (–4) = 49 + 32 = 81; D > 0; 2 корня.

hello_html_51ed5bec.png= 0,5;

hello_html_765f0719.png= –4.

О т в е т: –4; 0,5.

546 (б).

Р е ш е н и е

15х2 + 17 = 15 (х + 1)2;

15х2 + 17 = 15 (х2 + 2х + 1);

15х2 + 17 = 15х2 + 30х + 15;

30х – 2 = 0;

х = hello_html_9de1d55.png.

О т в е т: hello_html_9de1d55.png.

549.

х2 = 0,5х + 3.

Г р а ф и ч е с к о е р е ш е н и е

Построим график функций у = х2 и у = 0,5х + 3.

Абсциссы точек пересечения графиков будут являться решением данного уравнения.

Графиком функции у = х2 является парабола, вершина которой находится в начале координат, ветви направлены вверх. Контрольные точки:

Графиком функции у = 0,5х + 3 является прямая, проходящая через точки:
х1 ≈ –1; х2 = 2.

А н а л и т и ч е с к о е р е ш е н и е
(с помощью формулы корней)

х2 – 0,5х – 3 = 0;

2х2х – 6 = 0;

D = (–1)2 – 4 · 2 · (–6) = 1 + 48 = 49; D > 0; 2 корня.

hello_html_6c8431a3.png

hello_html_410d2911.png= –1,5;

hello_html_6d216636.png= 2.

О т в е т: –1,5; 2.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

Как определить количество корней квадратного уравнения?

Каков алгоритм вычисления корней квадратного уравнения?

Что нужно сделать, прежде чем применять алгоритм вычисления корней, если коэффициент а квадратного уравнения является отрицательным?

Что нужно сделать, если все коэффициенты квадратного уравнения имеют общий делитель?

Что нужно сделать, если хотя бы один коэффициент квадратного уравнения является дробным?

Домашнее задание: № 542 (а, в, е, з), № 543 (г, д), № 544 (в), № 545 (а, г), № 547 (в)





У р о к 48
Решение квадратных уравнений

Цели: вывести формулу (II) нахождения корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом; формировать умения применять формулы I и II для решения квадратных уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Назовите коэффициенты a, b, c уравнений:

а) 4х2 – 5х – 7 = 0; г) 8 – 9х2 = 0; б) х2 + 2 – 3х = 0; д) 11х2 = 0;

в) 3х2 + 2х = 0; е) 17 – х2х = 0.

2. Решите уравнение:

а) 2х2 – 18 = 0; в) х2 + 16 = 0; б) 3х2 – 12х = 0; ) 3,6х2 = 0.

3. Сколько корней имеет уравнение:

а) 6х2 – 5х = 0; в) 3х2 – 4 = 0; б) х2 – 4х + 4 = 0; г) 2х2 + 7 = 0?

III. Объяснение нового материала.

Решить квадратное уравнение 15х2 – 34х +
+ 15 = 0. Используя формулу нахождения корней квадратного уравнения, получаем:

D = (–34)2 – 4 · 15 · 15 = 1156 – 900 = 256.

hello_html_683eab2b.png;hello_html_7dd21ab5.png.

Для решения квадратных уравнений, у которых второй коэффициент четный, существует другая формула корней, позволяющая упростить вычисления.

Вывод этой формулы проводится согласно пункту учебника.

ax2 + 2 ∙ kx + c = 0 (b = 2k).

После вывода формулы возвращаемся к решенному уравнению и применяем новую формулу:

D = (–17)2 – 15 · 15 = 289 – 225 = 64;

hello_html_199b520c.png; hello_html_m16606919.png.

Р е ш е н и е к в а д р а т н о г о у р а в н е н и я

a2 + 2kx + c = 0, a ≠ 0;

D1 = k2ac.

Если D1 < 0, то уравнение не имеет корней.

Если D1 = 0, то x = hello_html_m24c8c978.png.

Если D1 > 0, то x = hello_html_6ecccb53.png.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 539 (б, г, ж), № 540 (в, з).

539 (ж).

Р е ш е н и е

7z2 – 20z + 14 = 0.

D = (–20)2 – 4 · 7 · 14 =

= 400 – 392 = 8.

D1 = (–10)2 – 7 · 14 =

= 100 – 98 = 2.

(Ещё раз замечаем, что D1 = hello_html_4b0bc2c7.png.)

x = hello_html_m12428597.png.

Вынесем множитель

из-под знака корня:

x = hello_html_4b49ce9f.png, то есть

x = hello_html_mcd131d0.png.

x = hello_html_mcd131d0.png.

Таким образом, получаем такие же корни.

2. № 541 (б, в, ж), № 546 (а, г), № 550 (б), № 552 (а, в), № 553 (а).

3. № 554, № 555.

554.

Р е ш е н и е

а) х2 – 5х + 6 = 0;

D = (–5)2 – 4 · 1 · 6 = 25 – 24 = 1, D > 0.

x1 = hello_html_6492a609.png = 2; x2 = hello_html_m70a5509a.png = 3.

6х2 – 5х + 1 = 0;

D = (–5)2 – 4 · 6 · 1 = 25 – 24 = 1, D > 0.

x1 = hello_html_m6aa3751d.png; x2 = hello_html_m77fef369.png.

б) 2х2 – 13х + 6 = 0;

D = (–13)2 – 4 · 2 · 6 = 169 – 48 = 121, D > 0.

x1 = hello_html_m198ced7a.png; x2 = hello_html_9ea2dc3.png = 6.

6х2 – 13х + 2 = 0;

D = (–13)2 – 4 · 6 · 2 = 169 – 48 = 121, D > 0.

x1 = hello_html_493024f5.png; x2 = hello_html_m74af4e04.png = 2.

Можно предположить, что корни уравнений ax2 + bx + c = 0 и cx2 +
+
bx + a = 0 являются взаимно-обратными числами. Докажем это.

x1 = hello_html_m3af62489.png;

x2 = hello_html_1edb87ac.png.

x3 = hello_html_m5e0da049.png;

x4 = hello_html_6dc27e90.png.

(Мы предполагаем, что b2 – 4ac ≥ 0, то есть корни существуют.)

Вычислим x1x4 = hello_html_m261d0871.png=

hello_html_5a379933.png= 1. Значит, х1 и х4 – взаимно-обратные числа.

Аналогично доказывается, что x2 и x3 – взаимно-обратные числа.

555.

Р е ш е н и е

х2ах + (а – 4) = 0.

D = (–а)2 – 4 · 1 · (а – 4) = а2 – 4а + 16.

Чтобы определить количество корней, необходимо оценить дискриминант. Выделим в выражении квадрат двучлена:

D = (а2 – 2 · 2 · а + 4) + 12 = (а – 2)2 + 12.

Дискриминант принимает положительные значения при любом а (точнее D ≥ 12), значит, при любом а уравнение имеет два корня.

О т в е т: а) нет; б) нет; в) при любом а.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: № 539 (в, е, з), № 540 (б, е, ж), № 541 (е, з), № 548 (б, г), № 551 (а, г, д).













У р о к 49
решение задач с помощью квадратных уравнений

Цели: ввести понятие «математическая модель», выделить этапы решения задач алгебраическим методом; формировать умение составлять квадратное уравнение по условию задачи и решать его.

Ход урока

I. Организационный момент.

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Сколько корней имеет уравнение? Поясните ответ.

а) 3х2 – 7х = 0; в) 2х2 – 1 = 0;б) х2 – 2х + 1 = 0; г) х2 + 3х + 3 = 0.

2. Решите уравнение:

а) 5х2 + 14х – 3 = 0; в) 7х2 + 8х + 1 = 0; б) х2 – 2х + 2 = 0; г) х – 3х2 – 2 = 0.

В а р и а н т 2

1. Сколько корней имеет уравнение? Поясните ответ.

а) 6х2 – 5х = 0; в) 3х2 – 4 = 0; б) х2 – 4х + 4 = 0; г) х2 – 4х + 5 = 0.

2. Решите уравнение:

а) 5х2 + 8х – 4 = 0; в) 7х2 + 6х – 1 = 0; б) х2 – 6х + 11 = 0; г) 4х – 3х2 – 2 = 0.

IV. Развивающее задание.

Составьте квадратное уравнение, корни которого равны:

а) 1 и 3; б) hello_html_5488f32.png и –hello_html_5488f32.png; в) 1 – hello_html_5488f32.png; 1 + hello_html_5488f32.png.

V. Объяснение нового материала.

Корень уравнения, составленного по условию задачи, может не удовлетворять этому условию. В то же время полученные при решении квадратного уравнения два различных корня могут одновременно отвечать условию задачи. Поэтому возникает необходимость интерпретации полученного решения.

Этапы решения задачи алгебраическим методом:

1. Анализ условия задачи и его схематическая запись.

2. Перевод естественной ситуации на математический язык (построение математической модели текстовой задачи).

3. Решение уравнения, полученного при построении математической модели.

4. Интерпретация полученного решения.

В процессе обсуждения этого вопроса можно выделить несколько самых распространённых ситуаций:

1) Корень уравнения является отрицательным числом, когда за неизвестное принята какая-то мера, которая может выражаться только положительным числом (н а п р и м е р, длина, площадь, объём и т. п.).

2) Корень уравнения является числом из более широкого множества, чем то, которое описывается в задаче (н а п р и м е р, получено дробное число, когда в условии задачи речь идет о целых числах).

3) Несоответствие полученных положительных размеров с реальными (н а п р и м е р, скорость пешехода равна 80 км/ч и т. п.).

При решении задач учащиеся могут в процессе интерпретации полученных решений соотносить ситуации с тремя выделенными.

VI. Формирование умений и навыков.

1. № 559, № 561.

2. № 563.

Р е ш е н и е

Пусть х см – длина одного катета прямоугольного треугольника, тогда (23 – х) см – длина второго катета. Зная, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов и составляет 60 см2, составим уравнение:

hello_html_m7246e491.png· х · (23 – х) = 60;

х (23 – х) = 120;

23хх2 – 120 = 0;

х2 – 23х + 120 = 0;

D = (–23)2 – 4 · 1 · 120 = 529 – 480 = 49; D > 0; 2 корня.

x1 = hello_html_m78b6ce62.png = 15; x2 = hello_html_m63bec2d4.png = 8.

Оба корня удовлетворяют условию задачи.

О т в е т: 8; 15.

3. № 564.

4. № 566.Р е ш е н и е

А н а л и з:hello_html_2e80fda.png

Пусть х см – ширина листа картона, тогда длина оставшейся части картона равна (26 – 2х) см, а её площадь равна х (26 – 2х) см2. Зная, что площадь оставшейся части картона равна 80 см2, составим уравнение:

х (26 – 2х) = 80;

26х – 2х2 – 80 = 0;

х2 – 13х + 40 = 0;

D = (–13)2 – 4 · 1 · 40 = 169 – 160 = 9; D > 0; 2 корня.

x1 = hello_html_ba22f45.png = 8; x2 = hello_html_78fc237e.png = 5.

И н т е р п р е т а ц и я (чертёж в масштабе 1 : 2).

1-е р е ш е н и е:hello_html_3c829c4c.png

2-е р е ш е н и е:hello_html_73a89b80.png

О т в е т: 5 см; 8 см.

5. № 568 (самостоятельное решение).

Пусть х – число рядов в кинотеатре, тогда (х + 8) – число мест в ряду. Количество мест в кинотеатре равно х · (х + 8). Зная, что всего в кинотеатре 884 места, составим уравнение:

х · (х + 8) = 884;

х2 + 8х – 884 = 0;

D1 = 42 – 1 · (–884) = 16 + 884 = 900; D1 > 0; 2 корня.

x1 = –4 + hello_html_38bb55d2.png = –4 + 30 = 26;

x2 = –4 – hello_html_38bb55d2.png = –4 – 30 = –34 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 26 рядов.

VII. Итоги урока.

Домашнее задание: № 560, № 562, № 565, № 567.





































У р о к 50
Решение задач с помощью квадратных уравнений

Цели: продолжить формирование умения решать текстовые задачи с помощью составления квадратных уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Найдите дискриминант квадратного уравнения и определите, сколько корней имеет уравнение:

а) х2 + 8х – 3 = 0; в) х2 + 6х + 9 = 0; б) 2х2х + 10 = 0; г) 7х2 + 2х + 5 = 0.

2. Решите уравнение: а) х2 = 1600; б) х2 = 5; в) х2 = hello_html_m1cfaacaf.gif; г) х2 = 1,44; д) х2 = 0; е) х2 = hello_html_m6cae9e2e.gif.

III. Формирование умений и навыков.

1. № 570.

Р е ш е н и е

Пусть х – число обезьян в стае, тогда hello_html_62b2c5d0.gif обезьян спряталось в гроте. Зная, что на виду осталась одна обезьяна, составим уравнение:

hello_html_62b2c5d0.gif+ 1 = х;

hello_html_249e726a.gif+ 9 + 1 – х = 0;

х2 – 30х + 250 – 25х = 0;

х2 – 55х + 250 = 0;

D = (–55)2 – 4 · 1 · 250 = 3025 – 1000 = 2025; D > 0; 2 корня.

x1 = hello_html_m4a5d92ea.gif = 50;

x2 = hello_html_m3e39b959.gif = 5 – не удовлетворяет условию задачи, так как hello_html_m7514ee6f.gif – 3 в этом случае – отрицательное число.

О т в е т: 50 обезьян.

2. № 571.

Р е ш е н и е

Пусть х – количество сторон в выпуклом многоугольнике, тогда
(
х + 25) – количество диагоналей в нём. Зная, что количество диагоналей (р) связано с количеством сторон (п) по формуле р = hello_html_m4c40e72e.gif, составим уравнение:

х + 25 = hello_html_m341bd2a4.gif;

2х + 50 = х (х – 3);

2х + 50 = х2 – 3х;

2х + 50 – х2 + 3х = 0;

5х + 50 – х2 = 0;

х2 – 5х – 50 = 0;

D = (–5)2 – 4 · 1 (–50) = 25 + 100 = 125; D > 0; 2 корня.

x1 = hello_html_7d79c686.gif = 10;

x2 = hello_html_7689f7f2.gif = –5.

Так как х выражает число сторон многоугольника, то это не может быть отрицательное число, значит, х2 = –5 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: в десятиугольнике.

3. № 573.

При решении этой задачи используются элементы комбинаторики, поэтому следует разобрать её с учителем.

Р е ш е н и е

Пусть х – количество участников турнира, тогда каждый участник играл с (х – 1) участником. Количество комбинаций равно х (х – 1). Но так как в комбинации участвует два человека, а партия одна, то число партий равно hello_html_359c0d20.gif. Зная, что всего было сыграно 45 партий, составим уравнение:

hello_html_359c0d20.gif= 45;

х · (х – 1) = 90;

х2х – 90 = 0;

D = (–1)2 – 4 · 1 · (–90) = 1 + 360 = 361; D > 0; 2 корня.

x1 = hello_html_8fd44d7.gif = 10;

x2 = hello_html_m3dede1cf.gif = –9.

Так как х выражает количество участников турнира, то это не может быть отрицательное число, значит, х2 = –9 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 10 участников.

4. № 575.

Р е ш е н и е

Пусть х, (х + 1), (х + 2) – три последовательных целых числа. Зная, что сумма их квадратов равна 869, составим уравнение:

х2 + (х + 1)2 + (х + 2)2 = 869;

х2 + х2 + 2х + 1 + х2 + 4х + 4 – 869 = 0;

3х2 + 6х – 864 = 0;

х2 + 2х – 288 = 0;

D1 = (–1)2 – 1 · (–288) = 289; D1 > 0; 2 корня.

x1 = –1 + hello_html_720fb4ca.gif = –1 + 17 = 16;

x2 = –1 – hello_html_720fb4ca.gif = –1 – 17 = –18.

Оба корня удовлетворяют условию задачи, значит, это последовательные числа 16; 17; 18 или –18; –17; –16.

О т в е т: 16; 17; 18 или –18; –17; –16.

IV. Проверочная работа.

Решите задачи:

В а р и а н т 1

1. Два последовательных чётных числа таковы, что квадрат большего из них в 9 раз больше меньшего числа. Найдите эти числа.

2. Одну сторону квадрата уменьшили на 2 см, а другую – на 1 см и получили прямоугольник с площадью 6 см2. Найдите длину стороны квадрата. Изобразите квадрат и прямоугольник.

В а р и а н т 2

1. Два последовательных нечётных числа таковы, что квадрат большего из них в 9 раз больше меньшего числа. Найдите эти числа.

2. Одну сторону квадрата увеличили на 2 см, а другую – на 1 см и получили прямоугольник с площадью 12 см2. Найдите длину стороны квадрата. Изобразите квадрат и прямоугольник.

Р е ш е н и е

В а р и а н т 1

1. Пусть х и (х + 2) – два последовательных чётных числа. Зная, что квадрат большего из них в 9 раз больше меньшего числа, составим уравнение:

(х + 2)2 = 9х;

х2 + 4х + 4 – 9х = 0;

х2 – 5х + 4 = 0;

D = (–5)2 – 4 · 1 · 4 = 25 – 16 = 9; D > 0; 2 корня.

x1 = hello_html_a91a308.gif = 4;x2 = hello_html_m47c9917e.gif = 1.

Так как число – чётное, то х2 = 1 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 4; 6.

2. Пусть х см – сторона квадрата, тогда (х – 2) см и (х – 1) см – стороны прямоугольника. Зная, что площадь полученного прямоугольника равна 6 см, составим уравнение:

(х – 2) (х – 1) = 6;

х2х – 2х + 2 – 6 = 0;

х2 – 3х – 4 = 0;

D = (–3)2 – 4 · 1 · (–4) = 9 + 16 = 25; D > 0; 2 корня.

x1 = hello_html_me0f638c.gif = 4;x2 = hello_html_md37f8be.gif = –1.

Так как сторона квадрата выражается положительным числом, то
х2 = –1 – не удовлетворяет условию задачи.

hello_html_m1bec334e.png

О т в е т: 4 см.

В а р и а н т 2

1. Пусть х и (х + 2) – два последовательных нечётных числа. Зная, что квадрат большего из них в 9 раз больше меньшего числа, составим уравнение:

(х + 2)2 = 9х;

х2 + 4х + 4 – 9х = 0;

х2 – 5х + 4 = 0;

D = (–5)2 – 4 · 1 · 4 = 25 – 16 = 9; D > 0; 2 корня.

x1 = hello_html_a91a308.gif = 4;x2 = hello_html_m47c9917e.gif = 1.

Так как число – нечётное, то х1 = 4 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 1; 3.

2. Пусть х см – сторона квадрата, тогда (х + 2) см и (х + 1) см – стороны прямоугольника. Зная, что площадь полученного прямоугольника равна 12 см, составим уравнение:

(х + 2) (х + 1) = 12;

х2 + х + 2х + 2 – 12 = 0;

х2 + 3х – 10 = 0;

D = 32 – 4 · 1 · (–10) = 9 + 40 = 49; D > 0; 2 корня.

x1 = hello_html_m430ce8c2.gif = 2;

x2 = hello_html_m1315d852.gif = –5.

Так как сторона квадрата выражается положительным числом, то
х2 = –5 – не удовлетворяет условию задачи.

hello_html_m1c46b27b.png

О т в е т: 2 см.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

Какие этапы выделяют при решении задачи алгебраическим методом?

В чём состоит интерпретация полученного решения задачи?

Когда полученное решение может противоречить условию задачи?

Какие решения, полученные на сегодняшнем уроке, вы интерпретировали как противоречащие условию задачи?

Домашнее задание: № 569, № 572, № 574, № 578 (б).



























У р о к 51
теорема Виета

Цели: изучить теорему Виета; формировать умение применять теорему Виета и обратную ей теорему при решении приведённых квадратных уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Назовите полные, неполные и приведённые квадратные уравнения:

а) 3х2 – 2х = 0; е) –21х2 + 16х = 0;

б) 7х2 – 16х + 4 = 0; ж) х2 = 0;

в) х2 – 3 = 0; з) х2 + 4х + 4 = 0;

г) –х2 + 2х – 4 = 0; и) х2 = 4;

д) 2 – 6х + х2 = 0; к) –7х2 + 6 = 0.

2. Преобразуйте квадратное уравнение в приведённое:

а) 3х2 + 6х – 12 = 0; г) hello_html_6d984f76.pngх2 + hello_html_50024548.pngх – 2 = 0;

б) 2х2 = 0; д) 3х2 – 7 = 0;

в) –х2 – 2х + 16 = 0; е) –5х2 + 10х – 2 = 0.

III. Объяснение нового материала.

1. «О т к р ы т и е» теоремы Виета.

Сравнить сумму и произведение полученных корней с коэффициентами b и c и выдвинуть гипотезу. Данное утверждение называется теоремой Виета, Эта теорема справедлива для приведенных квадратных уравнений.

Рассмотреть доказательство теоремы можно как по учебнику (с. 127– 128), так и привлекая учащихся, поскольку оно не является сложным. После доказательства на доску выносится запись:

Т е о р е м а В и е т а

Если х1, х2 – корни уравнения x2 + px + q = 0,

то х1 + х2 = –р; х1 · х2 = q.

1) № 580 (а, б, в, г) – устно.

2) х2hello_html_m4830aa31.pngх – 5 = 0.

3) х2 + 3х + 5 = 0.

2. Т е о р е м а В и е т а для неприведённого квадратного уравнения.

Т е о р е м а В и е т а

Если х1, х2 – корни уравнения аx2 + bx + c = 0,

то х1 + х2 = hello_html_m7db7c337.png; х1х2 = hello_html_m2e9cfae3.png.

3. Т е о р е м а, обратная теореме Виета.

После рассмотрения (по учебнику) доказательства теоремы привести примеры нахождения корней квадратного уравнения подбором.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 580 (д, е, ж, з) – устно.

2. № 581 (а, в), № 582 (а, б, г, д).

3. Решите квадратное уравнение по формуле и сделайте проверку, используя теорему Виета:

а) х2 + 7х – 8 = 0; в) х2 – 4х – 5 = 0;

б) х2 – 5х – 14 = 0; г) х2 + 8х + 15 = 0.

4. № 583 (а, в).

5. Найдите подбором корни уравнения:

а) х2 – 11х + 28 = 0; г) х2 + 3х – 28 = 0;

б) х2 + 11х + 28 = 0; д) х2 + 20х + 36 = 0;

в) х2 – 3х – 28 = 0; е) х2 + 37х + 36 = 0.

V. Проверочная работа.

Каждое из следующих уравнений имеет по два корня: х1 и х2. Не находя их, найдите значение выражений х1 + х2 и х1 · х2:

В а р и а н т 1

а) х2 – 7х – 9 = 0; в) 5х2 – 7х = 0;

б) 2х2 + 8х – 19 = 0; г) 13х2 – 25 = 0.

В а р и а н т 2

а) х2 + 8х – 11 = 0; в) 4х2 + 9х =0;

б) 3х2 – 7х – 12 = 0; г) 17х2 – 50 = 0.

VI. Итоги урока.


Домашнее задание: № 581 (б, г), № 582 (в, е), № 583 (б, г), № 584.

Д о п о л н и т е л ь н о: найти подбором корни уравнения:

а) х2 – 12х + 27 = 0; в) х2 + 9х – 36 = 0;

б) х2 + 6х – 27 = 0; г) х2 – 35х – 36 = 0.





У р о к 2 (53)
Применение теоремы Виета
и обратной ей теоремы

Цели: продолжить формирование умения применять теорему Виета и обратную ей теорему при решении приведённых и неприведённых квадратных уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Убедитесь, что уравнение имеет корни и назовите их сумму и произведение:

а) х2 – 12х – 45 = 0; д) х2 – 27х = 0;

б) у2 + 17у + 60 = 0; е) 60z + z2 = 0;

в) 3у – 40 + у2 = 0; ж) 3х2 – 15х + 18 = 0;

г) х2 – 2х + 16 = 0; з) х2 + х + 8 = 0.

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Зная один из корней уравнения, найдите другой корень, используя теорему Виета:

а) х2 – 3х – 18 = 0; х1 = –3;

б) 2х2 – 5х + 2 = 0; х1 = 2.

2. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнями уравнения х2ах + 6 = 0 были бы числа 2 и 3?

В а р и а н т 2

1. Зная один из корней уравнения, найдите другой корень, используя теорему Виета:

а) х2 – 4х – 21 = 0; х1 = –3;

б) 2х2 – 7х + 6 = 0; х1 = 2.

2. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнями уравнения х2 – 5х + а = 0 были бы числа 2 и 3?

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке учащиеся решают приведённые и неприведённые квадратные уравнения с помощью теоремы, обратной теореме Виета.

На первых порах учащимся может быть трудно подбирать корни устно, поэтому стоит предложить им обозначать корни уравнения и записывать соответствующие равенства.

Обратить внимание учащихся, что подбор корней начинаем с оценивания произведения корней, то есть находим делители свободного члена квадратного уравнения.

1. № 586.

Р е ш е н и е

Пусть х1 = 12,5 и х2 – корни уравнения х2 – 13х + q = 0,

тогда х1 + х2 = 13 и х1 · х2 = q.

Имеем 12,5 + х2 = 13, значит, х2 = 13 – 12,5, х2 = 0,5.

Тогда 12,5 · 0,5 = q, q = 25.

О т в е т: х2 = 0,5; q = 25.

2. № 587.

Р е ш е н и е

Пусть х1 = 8 и х2 – корни уравнения 5х2 + bx + 24 = 0,

тогда х1 + х2 = –hello_html_m74d974a2.png, х1х2 = hello_html_m41a743a0.png.

Имеем 8 ∙ х2 = hello_html_m41a743a0.png, значит, х2 = hello_html_m11f73fd.png.

Тогда 8 + hello_html_m11f73fd.png = –hello_html_m74d974a2.png, 8,6 = –0,2 ∙ b, b = –43.

О т в е т: х2 = 0,6; b = –43.

3. № 589, № 590 – самостоятельно.

4. № 593 (а), № 594 (а, д, е), № 595 (б, д, е).

5. № 675.

После выполнения этого упражнения можно рассмотреть с учащимися два способа нахождения корней квадратного уравнения, вытекающие из теоремы Виета.

1-й с п о с о б. Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 сумма коэффициентов равна нулю, то х1 = 1, х2 = hello_html_m2e9cfae3.png.

2-й с п о с о б. Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 сумма коэффициентов а и с равна коэффициенту b, то х1 = –1, х2 = –hello_html_m2e9cfae3.png.

В буквенном виде это может быть записано так:

6. Сильным в учебе учащимся можно предложить для решения задачи повышенной трудности.

591.

Р е ш е н и е

Пусть х1, х2 – корни уравнения х2 + 2х + q = 0.

По теореме Виета: х1 + х2 = –2 (1) и х1 · х2 = q (2).

По условию hello_html_m62584293.png = 12. (Через х1 обозначим больший корень.) Значит, по формуле сокращенного умножения:

(х1х2) (х1 + х2) = 12;

(х1х2) · (–2) = 12;

х1х2 = –6;

х1 = х2 – 6.

Подставим в первое равенство вместо х1 его значение:

х2 – 6 + х2 = –2;

2х2 = 4;

х2 = 2.

Вычислим х1 = 2 – 6 = –4.

Из второго равенства найдём q = –4 · 2, q = 8.

О т в е т: q = 8.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

Сформулируйте теорему Виета и обратную ей теорему.

Если коэффициент с квадратного уравнения является положительным числом, то какими по знаку могут быть его корни? А если с – отрицательное число?

Какие корни имеет квадратное уравнение, если сумма его коэффициентов равна нулю? а + с = b?

Домашнее задание: № 585, № 588, № 594 (б, в, г), № 595 (а, в, г), № 592*.
































У р о к 54
Контрольная работа № 5

В а р и а н т 1

1. Решите уравнение:

а) 2х2 + 7х – 9 = 0; в) 100х2 – 16 = 0;

б) 3х2 = 18х; г) х2 – 16х + 63 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см2.

3. В уравнении х2 + рх – 18 = 0 один из его корней равен –9. Найдите другой корень и коэффициент р.

В а р и а н т 2

1. Решите уравнение:

а) 3х2 + 13х – 10 = 0; в) 16х2 = 49;

б) 2х2 – 3х = 0; г) х2 – 2х – 35 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см2.

3. Один из корней уравнения х2 + 11х + q = 0 равен –7. Найдите другой корень и свободный член q.

В а р и а н т 1

1. Решите уравнение:

а) 2х2 + 7х – 9 = 0; в) 100х2 – 16 = 0;

б) 3х2 = 18х; г) х2 – 16х + 63 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см2.

3. В уравнении х2 + рх – 18 = 0 один из его корней равен –9. Найдите другой корень и коэффициент р.





В а р и а н т 2

1. Решите уравнение:

а) 3х2 + 13х – 10 = 0; в) 16х2 = 49;

б) 2х2 – 3х = 0; г) х2 – 2х – 35 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см2.

3. Один из корней уравнения х2 + 11х + q = 0 равен –7. Найдите другой корень и свободный член q.

В а р и а н т 1

1. Решите уравнение:

а) 2х2 + 7х – 9 = 0; в) 100х2 – 16 = 0;

б) 3х2 = 18х; г) х2 – 16х + 63 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см2.

3. В уравнении х2 + рх – 18 = 0 один из его корней равен –9. Найдите другой корень и коэффициент р.

В а р и а н т 2

1. Решите уравнение:

а) 3х2 + 13х – 10 = 0; в) 16х2 = 49;

б) 2х2 – 3х = 0; г) х2 – 2х – 35 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см2.

3. Один из корней уравнения х2 + 11х + q = 0 равен –7. Найдите другой корень и свободный член q.

В а р и а н т 1

1. Решите уравнение:

а) 2х2 + 7х – 9 = 0; в) 100х2 – 16 = 0;

б) 3х2 = 18х; г) х2 – 16х + 63 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см2.

3. В уравнении х2 + рх – 18 = 0 один из его корней равен –9. Найдите другой корень и коэффициент р.

В а р и а н т 2

1. Решите уравнение:

а) 3х2 + 13х – 10 = 0; в) 16х2 = 49;

б) 2х2 – 3х = 0; г) х2 – 2х – 35 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см2.

3. Один из корней уравнения х2 + 11х + q = 0 равен –7. Найдите другой корень и свободный член q.


Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т 1

1. а) 2х2 + 7х – 9 = 0.

1-й с п о с о б. D = 72 – 4 · 2 · (–9) = 49 + 72 = 121, D > 0, 2 корня.

x1 = hello_html_m713d6032.png = 1;

x2 = hello_html_766bba34.png = –4,5.

2-й с п о с о б. a + b + c = 0, значит, х1 = 1, х2 = hello_html_m2e9cfae3.png, то есть х1 = 1,

х2 = hello_html_4b0361b8.png = –4,5.

б) 3х2 = 18х;

3х2 – 18х = 0;

3х (х – 6) = 0;

х = 0 или х = 6.

в) 100х2 – 16 = 0;

100х2 = 16;

х2 = hello_html_m33b80d6d.png;

х2 = hello_html_6f76a84b.png;

х = hello_html_bae2a8e.png;

х = hello_html_1a26d40c.png;

х = ±0,4.

г) х2 – 16х + 63 = 0.

1-й с п о с о б. D1 = (–8)2 – 63 = 64 – 63 = 1, D1 > 0, 2 корня.

x1 = 8 + hello_html_6979bcc7.png = 9; x2 = 8 – hello_html_6979bcc7.png = 7.

2-й с п о с о б. По теореме, обратной теореме Виета, имеем:

х1 + х2 = 16, х1 · х2 = 63. Подбором получаем: х1 = 9, х2 = 7.

О т в е т: а) –4,5; 1; б) 0; 6; в) ±0,4; г) 7; 9.

2. Пусть х см – одна сторона прямоугольника, тогда вторая сторона hello_html_m2f26d1bc.png см, что составляет (10 – х) см. Зная, что площадь прямоугольника равна 24 см2, составим уравнение:

х (10 – х) = 24;

10хх2 – 24 = 0;

х2 – 10х + 24 = 0;

D1 = (–5)2 – 1 · 24 = 25 – 24 = 1, D1 > 0, 2 корня.

x1 = 5 + hello_html_6979bcc7.png = 6; x2 = 5 – hello_html_6979bcc7.png = 4. Оба корня удовлетворяют условию задачи.

О т в е т: 4 см; 6 см.

3. Пусть х1 = –9 и х2 – корни уравнения х2 + рх – 18 = 0, тогда по теореме Виета: –9 + х2 = –р и –9 · х2 = –18.

Имеем: х2 = hello_html_m378008c2.png; х2 = 2 и –9 + х2 = –р, отсюда р = 7.

О т в е т: х2 = 2; р = 7.

В а р и а н т 2

1. а) 3х2 + 13х – 10 = 0.

D = 132 – 4 · 3 · (–10) = 169 + 120 = 289, D > 0, 2 корня.

х1 = hello_html_m5b311fe4.png;

х2 = hello_html_13d5295a.png = –5.

б) 2х2 – 3х = 0;

х (2х – 3) = 0;

х = 0 или 2х – 3 = 0;

х = hello_html_7b022eb.png;

х = 1,5.

в) 16х2 = 49.

х2 = hello_html_5462bda8.png;

х = ±hello_html_m3f49e01b.png;

х = ±hello_html_3ffe1bdb.png;

х = ±1,75.

г) х2 – 2х – 35 = 0.

D1 = (–1)2 – 1 · (–35) = 1 + 35 = 36, D1 > 0, 2 корня.

x1 = 1 + hello_html_m6121a6ca.png = 1 + 6 = 7;

x2 = 1 – hello_html_m6121a6ca.png = 1 – 6 = –5.

О т в е т: а) –5; hello_html_m5813bed9.png; б) 0; 1,5; в) ±1,75; г) –5; 7.

2. Пусть х см – одна сторона прямоугольника, тогда вторая сторона hello_html_48296a66.png см, что составляет (15 – х) см. Зная, что площадь прямоугольника равна 56 см2, составим уравнение:

х (15 – х) = 56;

15хх2 – 56 = 0;

х2 – 15х + 56 = 0;

D = (–15)2 – 4 · 1 · 56 = 225 – 224 = 1, D > 0, 2 корня.

x1 = hello_html_m7c094cb9.png = 8; x2 = hello_html_4ea744f1.png = 7.

Оба корня удовлетворяют условию задачи.

О т в е т: 7 см; 8 см.

3. Пусть х1 = –7 и х2 – корни уравнения х2 + 11х + q = 0, тогда по теореме Виета: –7 + х2 = –11 и –7 · х2 = q.

Имеем: х2 = –11 + 7, х2 = –4 и –7 · (–4) = q, отсюда q = 28.

О т в е т: х2 = –4; q = 28.

































У р о к 1 (55)

РЕШЕНИЕ дробно- рациональных уравнений

Цели: ввести понятие дробного рационального уравнения, формировать умение применять алгоритм решения дробного рационального уравнения.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Анализ результатов контрольной работы.

Проанализировать и исправить ошибки, допущенные учащимися при решении контрольной работы. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся.

III. Устная работа.

1. Какие из выражений являются целыми, какие – дробными?

а) hello_html_40be98ff.png; б) (аb)2 – 3ab; в) hello_html_m362284bf.png;г) hello_html_m89a3766.png; д) hello_html_3bfd1fe0.png; е) hello_html_m338e9304.png.

2. Укажите допустимые значения переменной в выражении:

а) 2х2 – 8; б) hello_html_24912923.png; в) hello_html_m45da1dd5.png; г) hello_html_m1bb372ca.png; д) hello_html_74e4951b.png е) hello_html_389b2751.png.

IV. Объяснение нового материала.

1. В в е д е н и е п о н я т и я дробного рационального уравнения.

2. Р а с с м о т р е н и е а л г о р и т м а решения дробного рационального уравнения.

Решая целое уравнение с числом в знаменателе, они умножают обе части уравнения на общий знаменатель, что позволяет избавиться от дробей. Возникает идея применить этот приём для нового вида уравнений. После домножения обеих частей уравнения на общий знаменатель, следует спросить учащихся, что произошло с областью допустимых значений уравнения? Она «расширилась» и теперь допустимыми стали любые значения переменных, то есть полученное уравнение не равносильно исходному. Формулируется алгоритм решения дробного рационального уравнения:

1) Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

2) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

3) решить полученное целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль

общий знаменатель.

V. Формирование умений и навыков.

1. № 600 (а, в, д, и).

Р е ш е н и е

а) hello_html_31e6117f.png. Общий знаменатель (у + 3).

Умножим обе части на общий знаменатель дробей.

у2 = у;

у2у = 0;

у (у – 1) = 0;

у = 0 или у – 1 = 0;

у = 1.

При обоих значениях у знаменатель не обращается в нуль.

в) hello_html_5182505b.png;

hello_html_m645ee302.png;

hello_html_7aaa6e70.png. Общий знаменатель дробей (х – 2).

Умножим обе части на общий знаменатель дробей.

2х2 = 7х – 6;

2х2 – 7х + 6 = 0,

D = (–7)2 – 4 · 2 · 6 = 49 – 48 = 1, D > 0, 2 корня.

x1 = hello_html_52b6e6c0.png = 2; x2 = hello_html_m16b6b73.png = 1,5.

Если х = 2, то х – 2 = 0.

Если х = 1,5, то х – 2 ≠ 0.

д) hello_html_278a53ae.png. Общий знаменатель дробей

(х + 7)(х – 1).

Умножим обе части на общий знаменатель

(2х – 1) (х – 1) = (3х + 4)(х + 7);

2х2 – 2хх + 1 = 3х2 + 21х + 4х + 28 = 0;

2х2 – 2хх + 1 – 3х2 – 21х – 4х – 28 = 0;

х2 – 28х – 27 = 0;

х2 + 28х + 27 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = –27, х2 = –1.

Если х = –27, то (х + 7)(х – 1) ≠ 0.

Если х = –1, то (х + 7)(х – 1) ≠ 0.

и) hello_html_m10853801.png = 0;

hello_html_m4bda2eda.png. Общий знаменатель дробей (2х + 3) (3 – 2х).

Умножим обе части на общий знаменатель.

(х – 1) (3 – 2х) = (2х – 1) (2х + 3);

3х – 2х2 – 3 + 2х = 4х2 + 6х – 2х – 3;

3х – 2х2 – 3 + 2х – 4х2 – 6х + 2х + 3 = 0;

6х2 + х = 0;

6х2х = 0;

х (6х – 1) = 0;

х = 0 или 6х – 1 = 0;

6х = 1;

х = hello_html_722d38e4.png.

Если х = 0, то (2х + 3) (3 – 2х) ≠ 0.

Если х = hello_html_722d38e4.png, то (2х + 3) (3 – 2х) ≠ 0.

О т в е т: а) 0; 1; в) 1,5; д) –27; –1; и) 0; hello_html_722d38e4.png.

2. № 601 (а, в, г).

Р е ш е н и е

601.

а) hello_html_m42503767.png – 4 = 0; ОДЗ: х + 5 ≠ 0,

х ≠ –5.

2х – 5 – 4 (х + 5) = 0;

2х – 5 – 4х – 20 = 0;

2х – 25 = 0;

2х = 25;

х = –12,5.

в) hello_html_f28ea19.png; ОДЗ: х 0.

х2 – 4 = 2 (3х – 2);

х2 – 4 = 6х – 4;

х2 – 6х = 0;

х (х – 6) = 0;

х = 0 или х – 6 = 0;

х = 6.

г) hello_html_m1a664d28.png = х – 1; ОДЗ: 2х – 3 ≠ 0,

х ≠ 1,5.

10 = (х – 1) (2х – 3);

10 = 2х2 – 3х – 2х + 3;

10 – 2х2 + 3х + 2х – 3 = 0;

2х2 + 5х + 7 = 0;

2х2 – 5х – 7 = 0;

a + c = b, значит, х1 = –1; х2 = –hello_html_m2e9cfae3.png, то есть х1 = –1; х2 = hello_html_m2020b03e.png = 3,5.

О т в е т: а) –12,5; в) 6; г) –1; 3,5.

3. № 602 (а, е).

а) hello_html_m2770a05e.png; ОДЗ: х2 + 1 ≠ 0,

х – любое.

х2 = 7х;

х2 – 7х = 0;

х (х – 7) = 0;

х = 0 или х – 7 = 0;

х = 7.

е) hello_html_m17baef9f.png; ОДЗ: х ≠ 0.

3х = х2 + 2;

3хх2 – 2 = 0;

х2 – 3х + 2 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = 2; х2 = 1.

О т в е т: а) 0; 7; е) 1; 2.

VI. Итоги урока.

Домашнее задание: № 600 (б, г, е), № 601 (б, е, з), № 602 (в, д, ж).
















У р о к 55
Решение дробных рациональных уравнений

Цели: продолжить формирование умения решать дробные рациональные уравнения по алгоритму.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Разложите на множители:

а) а2 – 9; г) 2х3 – 8х; б) х2 + 2х + 1; д) 9у2 – 1; в) 3х2 – 6х; е) –х2 + 6х – 9.

2. Решите уравнение:

а) hello_html_m77448d7f.gif = 0; в) hello_html_m2eb3f1fe.gif; б) hello_html_687b8206.gif = 0; г) hello_html_1e2d67a3.gif.

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Решить уравнения:

1) hello_html_79f29dca.gif = x; 2) hello_html_7b112b9a.gif; 3) hello_html_3d3503d5.gif.

В а р и а н т 2

Решить уравнения:

1) hello_html_4ddd0b0a.gif = 2x; 2) hello_html_7f8afa1e.gif; 3) hello_html_m707f2267.gif.

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке отрабатывается умение находить общий знаменатель дробей, выполнив предварительно разложение знаменателей дробей, входящих в уравнение, вынесением общего множителя либо по формулам сокращенного умножения.

1. № 603 (а, в, г), № 605 (б, е).

Р е ш е н и е

603.

а) hello_html_5a0cdbbd.gif = 1; ОДЗ: х –2;

х 2.

(3х + 1) (х – 2) – (х – 1) (х + 2) = 1 · (х + 2) (х – 2);

3х2 – 6х + х – 2 – х2 – 2х + х + 2 = х2 – 4;

3х2 – 6х + х – 2 – х2 – 2х + х + 2 – х2 + 4 = 0;

х2 – 6х + 4 = 0.

D1 = (–3)2 – 1 · 4 = 9 – 4 = 5, D1 > 0, 2 корня.

x1 = 3 + hello_html_5418e6bf.gif; x2 = 3 – hello_html_5418e6bf.gif.

в) hello_html_534fa7f8.gif.

hello_html_m314793f9.gif; ОДЗ: y ≠ –hello_html_2ed1d16d.gif; yhello_html_2ed1d16d.gif.

4 – 4 (3у – 1) = –5 (3у + 1);

4 –12у + 4 = –15у – 5;

3у = –13;

у = –hello_html_m3f40c8e.gif; у = –4hello_html_2ed1d16d.gif.

г) hello_html_m5dd07fb6.gif – 1;

hello_html_m2367d9c.gif+ 1 = 0; ОДЗ: х ≠ –3; х ≠ 3.

hello_html_m2b9ca321.gif+ 1 = 0;

4 (х – 3) + 4 (х + 3) + (х + 3) (х – 3) = 0;

4х – 12 + 4х + 12 + х2 – 9 = 0;

х2 + 8х – 9 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = –9, х2 = 1.

О т в е т: а) 3 – hello_html_5418e6bf.gif; 3 + hello_html_5418e6bf.gif; в) –4hello_html_2ed1d16d.gif; г) –9; 1.

605.

б) hello_html_56b5927e.gif.

hello_html_m6dac53ea.gif= 0;

hello_html_m3d3a3e92.gif= 0; ОДЗ: х ≠ 2; х ≠ –2.

2 · 3 · (х + 2) – 1 · 3 · (х – 2) (х + 2) + 6 – х = 0;

6х – 12 – 3х2 + 12 + 6 – х = 0;

3х2 – 7х + 6 = 0;

3х2 + 7х – 6 = 0;

D = 72 – 4 · 3 · (–6) = 49 + 72 = 121, D > 0, 2 корня.

x1 = hello_html_m2866a4df.gif; x2 = hello_html_m29f1bf15.gif = –3.

е) hello_html_m3d831cc6.gif.

hello_html_m6013a68c.gif; ОДЗ: х ≠ 2; х ≠ –2.

3 (5х + 7) (х + 2) – 3 (2х + 21) (х – 2) = 26 (х – 2) (х + 2);

3 (5х2 + 10х + 7х + 14) – 3 (2х2 – 4х + 21х – 42) – 26 (х2 – 4) = 0;

15х2 + 51х + 42 – 6х2 – 51х + 126 – 26х2 + 104 = 0;

17х2 + 272 = 0;

х2 = 16;

х = ±4.

О т в е т: б) –3; hello_html_2fdef081.gif; е) ±4.

2. № 604 (б), № 606 (б, в).

Р е ш е н и е

V. Итоги урока.

Домашнее задание: № 603 (б, е), № 605 (в, г), № 606 (а, г), № 607 (в, е).

























У р о к 56
Решение дробных рациональных уравнений

Цели: продолжить формирование умения решать дробные рациональные уравнения по алгоритму.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Найдите подбором корни уравнения:

а) х2 – 2х – 15 = 0; г) х2 – 29х + 100 = 0; б) х2 + 5х + 6 = 0; д) х2 – 6х + 8 = 0;

в) х2 + 7х – 8 = 0; е) х2 + 15х + 36 = 0.

2. Решите уравнение:

а) hello_html_m33033672.gif= 0; в) hello_html_785de3ec.gif= 0; б) hello_html_m53ccc86a.gif= 0; г) hello_html_1b056a73.gif= 0.

III. Формирование умений и навыков.

Упражнения, решаемые на этом уроке, направлены на закрепление умения решать дробные уравнения по алгоритму, а также некоторые представляют собой задания повышенной трудности.

1. № 608 (б, г), № 609 (а, б).

Р е ш е н и е

608.

б) hello_html_m28a43768.gif; ОДЗ: х ≠ 3; х ≠ –4.

17 – (х + 4) – х (х – 3);

17 – х – 4 – х2 + 3х = 0;

х2 + 2х + 13 = 0.

D1 = 1 + 13 = 14, D1 > 0, 2 корня.

x1 = hello_html_2e197157.gif = 1 + hello_html_m7c86ec10.gif; x2 = hello_html_mea4c2a3.gif = 1 – hello_html_m7c86ec10.gif.

г) hello_html_26caf462.gif.

hello_html_m4ffbc34c.gif; ОДЗ: xhello_html_2ed1d16d.gif;

x ≠ –hello_html_2ed1d16d.gif.

Общий знаменатель дробей x(3x – 1)2(3x + 1).

4x(3x – 1) + (3x – 1)(3x + 1) = 4x(3x + 1);

12х2 – 4x + 9х2 – 1 = 12х2 + 4x;

9х2 – 8х – 1 = 0.

a + b + c = 0, значит, x1 = 1, x2 = hello_html_m3ceb4efe.gif, то есть x1 = 1, x2 = hello_html_2c823f8.gif.

О т в е т: б) 1 – hello_html_m7c86ec10.gif; 1 + hello_html_m7c86ec10.gif; г) hello_html_2c823f8.gif; 1.

На этом примере наглядно демонстрируем учащимся необходимость разложения знаменателей на множители для последующего «составления» общего знаменателя.

609.

б) hello_html_m3ce00b37.gif.

hello_html_79f7cd1a.gif; ОДЗ: у ≠ 0; у ≠ 3;

у ≠ –3.

2(у + 3) – у(у + 3) – 5 = 0;

2у + 5 – у2 – 3у – 5 = 0;

у2у = 0;

у2 + у = 0;

у (у + 1) = 0;

у = 0 или у = –1.

О т в е т: а) hello_html_m4d661a22.gif; 6; б) –1.

2. hello_html_mb675af.gif.

hello_html_m5f857432.gif= 0; ОДЗ: а ≠ –3.

7а – 6 – (а + 3) + а2 – 3а + 9 = 0;

7а – 6 – а – 3 + а2 – 3а + 9 = 0;

а2 + 3а = 0;

а (а + 3) = 0;

а = 0 или а = –3.

О т в е т: 0.

3. hello_html_3da8a06b.gif = 0.

hello_html_71a374e5.gif= 0.

Общий знаменатель дробей х(х2 – 1)(х2 + 1).

Домножим обе части уравнения на общий знаменатель:

х2 + 1 + х2 – 1 – 2х = 0;

2 – 2х = 0;

2х (х – 1) = 0;

х = 0 или х = 1.

Если х = 0, то х(х2 – 1)(х2 + 1) = 0.

Если х = 1, то х(х2 – 1)(х2 + 1) = 0.

О т в е т: нет решений.

4. № 611 (б).

Р е ш е н и е

Графиком функции у = hello_html_15852971.gif является гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях. Запишем координаты контрольных точек:

Графиком функции у = –х + 6 является прямая, проходящая через точки (0; 6), (6; 0).

hello_html_m5456bdca.png

О т в е т: х1 ≈ 1,3; х2 ≈ 4,7.

5. Сильным в учебе учащимся можно предложить для решения задания повышенной трудности.

610 (а), № 612.

Р е ш е н и е

610.

а) hello_html_m2a3ad00.gif. hello_html_21d91bbe.gifhello_html_m2b2e660f.gifhello_html_19312b65.gifhello_html_7528b7d8.gifhello_html_m40016fb3.gif

hello_html_397bf8ad.gif24(–9х2 + 49) = 31(–7х2 + 38), –216х2 + 1176 + 217х2 – 1178 = 0,

х2 = 2,

х = ±hello_html_55e2ae81.gif.

Оба корня удовлетворяют уравнению.

О т в е т: ±hello_html_55e2ae81.gif.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: № 608 (а, в), № 609 (в), № 611 (а), № 695 (д, з).

У р о к 58
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цели: формировать умение составлять дробное рациональное уравнение по условию текстовой задачи и решать его.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Заполните таблицу.

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Найти корни уравнений:1) hello_html_m43ca91e5.png = 3; 2) hello_html_57f69ecf.png.

В а р и а н т 2

Найти корни уравнений: 1) hello_html_252b4390.png = 2; 2) hello_html_6b9f8685.png.

IV. Объяснение нового материала.

1-й э т а п. Анализ условия задачи и его схематическая запись.

2-й э т а п. Перевод естественной ситуации на математический язык (построение математической модели: введение переменной и составление дробного рационального уравнения).

3-й э т а п. Решение полученного уравнения.

4-й э т а п. Интерпретация полученного результата.

V. Формирование умений и навыков.

1. № 617.Р е ш е н и е

А н а л и з: hello_html_4bcd4ea5.png < hello_html_m63b0254d.png на hello_html_m7246e491.png.

Пусть х – числитель обыкновенной дроби, тогда (х + 3) – её знаменатель. Увеличив числитель на 7, а знаменатель на 5, мы получили дробь hello_html_m340783f5.png. Зная, что дробь увеличилась на hello_html_m7246e491.png, составим уравнение:

hello_html_41fc8044.png; ОДЗ: х ≠ –3; х ≠ –8.

Общий знаменатель 2(х + 3)(х + 8).

2х(х + 8) = 2(х + 7)(х + 3) – (х + 3)(х + 8);

2х2 + 16х = 2х2 + 20х + 42 – х2 – 11х – 24;

х2 + 7х – 18 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = 2, х2 = –9. Смыслу задачи удовлетворяет только х = 2, тогда дробь равна hello_html_m40287333.png.

О т в е т: hello_html_m40287333.png.

Обращаем внимание учащихся, что уравнение исходное можно было записать и по-другому:

hello_html_5f106530.png(из большего значения вычитаем меньшее и получаем разницу) или hello_html_51562f88.png.

2. № 619.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

V1 = х км/ч

hello_html_m1c7efb4a.png

t1 = hello_html_1ca155ba.pngч

hello_html_5878c07a.png

на 20 мин меньше

hello_html_m5899f2bb.png

20 км


hello_html_177ca876.png

V2 = (х + 2) км/ч

t2 = hello_html_6a9d1527.pngч

Пусть х км/ч – скорость лыжника, тогда (х + 2) км/ч – скорость второго лыжника. Первый лыжник затратил времени hello_html_185b741.png ч, второй – hello_html_m197fcb63.png ч. Зная, что второй лыжник затратил на 20 мин, или hello_html_m660377f3.png ч, меньше первого, составим уравнение:

hello_html_m78e7c483.png; ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ –2.

3х(х + 2) – общий знаменатель.

60(х + 2) – 60х = х(х + 2);

60х + 120 – 60хх2 – 2х = 0;

х2 – 2х + 120 = 0;

х2 + 2х – 120 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = –12, х2 = 10. Корень х = –12 не удовлетворяет условию задачи. Значит, 10 км/ч – скорость второго лыжника.

О т в е т: 10 км/ч; 12 км/ч.

3. № 621.Р е ш е н и е

А н а л и з:

Пусть х км/ч – скорость поезда по расписанию, тогда (х + 10) км/ч – действительная скорость поезда. hello_html_72eddd39.png ч – время, которое должен был идти поезд по расписанию, а hello_html_m7c197729.png ч – время, затраченное поездом в действительности. Зная, что поезд затратил на 1 ч меньше, чем должен был по расписанию, составим уравнение:

hello_html_7d6eff35.png= 1; ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ –10.

720(х + 10) – 720х = х(х + 10);

720х + 7200 – 720хх2 – 10х = 0;

х2 + 10х – 7200 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = –90, х2 = 80. Корень х = –90 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 80 км/ч.

4. № 623.Р е ш е н и е

А н а л и з:

Пусть х р. – цена лотерейного билета «Надежда», тогда (х – 5) р. – цена лотерейного билета «Удача». hello_html_m761826f7.png билетов лотереи «Надежда» купил Андрей, и hello_html_710d34fa.png билетов лотереи «Удача» мог бы купить Андрей. Зная, что Андрей мог бы купить на 4 билета лотереи «Удача» больше, составим уравнение:

hello_html_m4c9a4738.png= 4; ОДЗ: х ≠ 5; х ≠ 0.

240х – 240(х – 5) = 4х(х – 5);

60х – 60х + 300 – х2 + 5х = 0;

х2 – 5х – 300 = 0;

D = (–5)2 – 4 · 1 · (–300) = 1225, D > 0, 2 корня.

х1 = hello_html_26ae522a.png = 20;

х2 = hello_html_3346cb02.png = –15 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 20 р.

VI. Итоги урока.

Домашнее задание: № 618, № 620, № 624, № 639.



У р о к 59
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цели: формировать умение решать текстовые задачи с помощью дробных рациональных уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Найдите:

а) 50 % от 42; е) 20 % от 55;

б) 1 % от 300; ж) 50 % от 31;

в) 2 % от 200; з) 3 % от 90;

г) 10 % от 35; и) 10 % от 7;

д) 25 % от 280; к) 25 % от 84.

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

Числитель обыкновенной дроби на 4 меньше её знаменателя. Если к числителю этой дроби прибавить 19, а к знаменателю 28, то она увеличится на hello_html_m36a44de3.png. Найдите эту дробь.

В а р и а н т 2

Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 4 больше её числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 2, а знаменатель – на 21, то дробь уменьшится на hello_html_6d984f76.png. Найдите эту дробь.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 622.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

По условию hello_html_m38551153.png меньше hello_html_209ba62b.png на 0,4 га.

Пусть х ц/га – урожайность пшеницы в хозяйстве в прошлом году, тогда (х + 2) ц/га – урожайность пшеницы в этом году. В прошлом году под пшеницу занято hello_html_209ba62b.png га, в этом hello_html_m38551153.png га. Зная, что в этом году эта площадь была меньше на 0,4 га, составим уравнение:

hello_html_190e5ce8.png= 0,4; ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ –2.

192(х + 2) – 192х = 0,4х(х + 2);

384 – 0,4х2 – 0,8х = 0;

х2 + 2х – 960 = 0;

D1 = 1 + 960 = 961, D1 > 0, 2 корня.

x1 = –1 + hello_html_m4e15d999.png = –1 + 31 = 30;

x2 = –1 – hello_html_m4e15d999.png = –1 – 31 = –32 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 30 ц/га.

2. № 625.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

В действительности hello_html_mcd4be40.png больше hello_html_11afb7d5.png на 10 шиллингов.

Пусть х человек обедало, тогда (х – 2) человек оплачивали поровну весь обед. hello_html_11afb7d5.png шиллингов заплатил бы один человек, если бы деньги были у всех едоков, а hello_html_mcd4be40.png шиллингов заплатил каждый человек с деньгами в действительности. Зная, что каждому пришлось уплатить на 10 шиллингов больше, составим уравнение:

hello_html_5a762a6c.png= 10; ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ 2.

175х – 175(х – 2) = 10х(х – 2);

350 – 10х2 + 20х = 0;

х2 – 2х – 35 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = 7, х2 = –5 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 7 человек.

3. № 630.

Перед решением задачи необходимо вспомнить, что такое концентрация вещества в растворе (сплаве, слитке, смеси и т. п.).

hello_html_m2d8db220.png, где k – концентрация вещества в процентах, т1 – масса вещества, т – общая масса.

Также необходимо вспомнить, что для содержащегося вещества мы можем указывать как его относительное содержание в растворе (в процентах или в долях), так и абсолютное содержание (в граммах, тоннах, литрах и т. п.). Как правило, в текстовых задачах на концентрацию мы составляем уравнение по зависимости между абсолютным и относительным количеством вещества.

Р е ш е н и е

А н а л и з:

По условию hello_html_mcb946f1.png ∙ 100 % меньше hello_html_51ef4ecb.png ∙ 100 % на 1 %.

Пусть х г – первоначальная масса раствора, тогда (х + 100) г – масса нового раствора. Концентрация соли первоначально составляла hello_html_28c148f4.png ∙ 100 % , затем стала hello_html_mcb946f1.png ∙ 100 %. Зная, что концентрация соли снизилась на 1 %, составим уравнение:

hello_html_51ef4ecb.png100 – hello_html_mcb946f1.png ∙ 100 = 1; ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ –100.

30(х + 100) – 30х = 0,01х(х + 100);

3000 = 0,01х2 + х;

0,01х2 + х – 3000 = 0;

D = 1 + 4 · 0,01 · 3000 = 121, D > 0, 2 корня.

х1 = hello_html_45b663dd.png = 500;

х2 = hello_html_m41190620.png = –600 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 500 г.

4. № 627, № 629. В классе только проанализировать условие и составить уравнение. Уравнения дорешать дома.

Перед решением задач нужно вынести на доску табличку:

Р е ш е н и е

627.

А н а л и з:

По условию hello_html_m2d080b65.png больше hello_html_m72973eac.png на 1 час.

Пусть х км/ч – собственная скорость лодки, тогда (х – 2) км/ч – скорость лодки при движении против течения. hello_html_m72973eac.png ч турист плыл на лодке против течения, а hello_html_m2d080b65.png ч – он плыл на лодке по озеру. Зная, что на путь по озеру он затратил на 1 час больше, составим уравнение:

hello_html_m2d080b65.pnghello_html_m72973eac.png= 1; ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ 2.

15(х – 2) – 6х = х(х – 2);

15х – 30 – 6хх2 + 2х = 0;

х2 – 11х + 30 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = 5, х2 = 6. Оба корня удовлетворяют условию задачи.

О т в е т: 5 км/ч или 6 км/ч.

629.

А н а л и з:

V1 = 20 – Vтеч (км/ч)

hello_html_m2a65ac2c.png


t1 = hello_html_m5bcc3e8f.png ч

36 км

hello_html_3113a50a.png


22 км

hello_html_2c5b2f83.png


hello_html_m2f3cabec.png

V2 = 20 + Vтеч (км/ч)

t2 = hello_html_794ea316.png ч

По условию t1 + t2 = 3 ч.

Пусть х км/ч – скорость течения реки, тогда против течения катер шёл со скоростью (20 – х) км/ч, а по течению – (20 + х) км/ч. Против течения он шел hello_html_m19d36669.png ч, а по течению hello_html_27de077d.png ч. Зная, что на весь путь катер затратил 3 часа, составим уравнение:

hello_html_m19d36669.png+ hello_html_27de077d.png = 3; ОДЗ: х ≠ 20, х ≠ –20.

36(20 + х) + 22(20 – х) = 3(20 – х)(20 + х);

720 + 36х + 440 – 22х = 1200 – 3х2;

3х2 + 14х – 40 = 0;

D1 = 72 + 3 · 40 49 + 120 = 169, D1 > 0, 2 корня.

х1 = hello_html_1f001f18.png = 2;

х2 = hello_html_2425858c.png – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 2 км/ч.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: № 626, № 628, № 627 (дорешать уравнение),
№ 629 (дорешать уравнение).





























У р о к 62
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цели: продолжить формирование умения решать текстовые задачи с помощью дробных рациональных уравнений; формировать умение решать задачи на совместную работу и задачи повышенной сложности.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Самостоятельная работа.

В а р и а н т 1

Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошёл 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова скорость течения реки?

В а р и а н т 2

Катер прошёл 40 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова собственная скорость катера, если скорость течения 2 км/ч?

III. Формирование умений и навыков.

В задачах на работу фигурируют величины: производительность (р), время (t) и работа (А), связанные формулой A = p · t. Причём в задачах на конкретную работу мы за А принимаем конкретное число (количество выточенных деталей, количество напечатанных страниц и т. п.), а в задачах на абстрактную работу принимаем значение А, равное 1 (заполнен водой бассейн, вспахано поле и т. д.).

. Каждый участник выполняет часть работы: hello_html_68506b19.png и т. д.

1. Две мастерские должны были пошить по 96 курток. Первая мастерская шила в день на 4 куртки больше, чем вторая, и потому выполнила заказ на 2 дня раньше. Сколько курток шила в день каждая мастерская?

Р е ш е н и е

А н а л и з:

По условию hello_html_2f42515e.png больше hello_html_384022a5.png на 2 дня.

Пусть 2-я мастерская шьёт в день х курток, тогда 1-я мастерская в день шьёт (х + 4) куртки. Первая мастерская выполнит заказ за hello_html_384022a5.png дня, а вторая – за hello_html_2f42515e.png дня. Зная, что первая мастерская шила на 2 дня меньше, составим уравнение: hello_html_2f42515e.pnghello_html_384022a5.png = 2; ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ –4.

96(х + 4) – 96х = 2х(х + 4);

384 – 2х2 – 8х = 0;

х2 + 4х – 192 = 0;

D1 = 22 + 192 = 196, D1 > 0, 2 корня.

x1 = –2 + hello_html_m6ccfdc10.png = –2 + 14 = 12;

x2 = –2 – hello_html_m6ccfdc10.png = –2 – 14 = –16 – не удовлетворяет условию задачи. Значит, вторая мастерская в день шила 12 курток, а первая 16.

О т в е т: 16 курток, 12 курток.

2. № 632. Р е ш е н и е

1

По условию задачи hello_html_52fc79d7.png больше 1 : hello_html_m240a76df.png на 5 часов.

Пусть х – производительность первого крана, тогда hello_html_m240a76df.png – производительность второго крана. На разгрузку баржи первый кран затратил hello_html_52fc79d7.png часов, второй 1 : hello_html_m240a76df.png. Зная, что первому крану потребовалось на 5 часов больше, составим уравнение:

hello_html_52fc79d7.pnghello_html_m339ea8ef.png= 5; hello_html_3c54b26e.png = 5; hello_html_m1aea124e.png = 5; ОДЗ: х ≠ 0, хhello_html_722d38e4.png.

1 – 6х – 6х = 5х(1 – 6х);

1 – 12х – 5х + 30х2 = 0;

30х2 – 17х + 1 = 0;

D = (–17)2 – 4 · 30 = 289 – 120 = 169, D > 0, 2 корня.

x1 = hello_html_66250730.png; x2 = hello_html_m7db04794.png.

x1 = hello_html_m7246e491.png не удовлетворяет условию задачи, так как первый кран в этом случае разгрузит баржу за 2 часа.

Имеем: первый кран разгрузит баржу за 15 часов, а второй – за 10 часов.

О т в е т: 15 часов, 10 часов.

3. Слесарь может выполнить заказ за то же время, что и два ученика, работая вместе. За сколько часов может выполнить заказ слесарь и каждый из учеников, если слесарь может выполнить его на 2 часа скорее, чем один первый ученик, и на 8 часов скорее, чем один второй?

4. Если останется на уроке время и для сильных в учебе учеников, можно предложить для решения задачу повышенной трудности.

634*.Р е ш е н и е

V1 = х (км/ч)

hello_html_m327f9dff.png

П hello_html_m61dd677d.png С

V2 = х + 5 (км/ч)

hello_html_m28198660.png

Пусть х км/ч – скорость велосипедиста от посёлка до станции. Обозначим этот путь за 1. Тогда от посёлка до станции велосипедист ехал hello_html_52fc79d7.png, а от станции до посёлка hello_html_me3d96b.png часов, значит, всего в пути он был hello_html_1c7b555d.png часов, а весь путь составил 2. Зная, что средняя скорость на всем пути следования составляла 12 км/ч, получим уравнение:

12 · hello_html_1c7b555d.png = 2;

hello_html_e31a21c.png= 1; ОДЗ: х ≠ 0; х ≠ –5.

6(х + 5) + 6х = х(х + 5);

6х + 30 + 6хх2 – 5х = 0;

х2 + 7х + 30 = 0;

х2 – 7х – 30 = 0.

По теореме, обратно теореме Виета, х1 = 10; х2 = –3 – не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 10 км.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: № 633, № 695 (а, е), № 702.



В а р и а н т 1

Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошёл 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова скорость течения реки?

В а р и а н т 2

Катер прошёл 40 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова собственная скорость катера, если скорость течения 2 км/ч?


В а р и а н т 1

Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошёл 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова скорость течения реки?

В а р и а н т 2

Катер прошёл 40 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова собственная скорость катера, если скорость течения 2 км/ч?


В а р и а н т 1

Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошёл 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова скорость течения реки?

В а р и а н т 2

Катер прошёл 40 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова собственная скорость катера, если скорость течения 2 км/ч?


В а р и а н т 1

Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошёл 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова скорость течения реки?

В а р и а н т 2

Катер прошёл 40 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова собственная скорость катера, если скорость течения 2 км/ч?


В а р и а н т 1

Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошёл 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова скорость течения реки?

В а р и а н т 2

Катер прошёл 40 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова собственная скорость катера, если скорость течения 2 км/ч?


В а р и а н т 1

Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошёл 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова скорость течения реки?


























У р о к 61
Контрольная работа № 6

В а р и а н т 1

1. Решите уравнение:

а) hello_html_m4c90fb4b.gif; б) hello_html_maa335d2.gif = 3.

2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по одной дороге длиной 27 км, а обратно возвращался по другой дороге, которая была короче первой на 7 км. Хотя на обратном пути велосипедист уменьшил скорость на 3 км/ч, он все же на обратный путь затратил времени на 10 минут меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из А в В?

В а р и а н т 2

1. Решите уравнение:

а) hello_html_185d56ea.gif; б) hello_html_5442f830.gif = 2.

2. Катер прошёл 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т 1

1. а) hello_html_m4c90fb4b.gif. Общий знаменатель х2 – 9.

х2 = 12 – х;

х2 + х – 12 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = 3; х2 = –4.

Если х = 3, то х2 – 9 = 0.

Если х = –4, то х2 – 9 ≠ 0.

б) hello_html_maa335d2.gif = 3. Общий знаменатель х (х – 2).

6х + 5(х – 2) = 3х(х – 2);

6х + 5х – 10 – 3х2 + 6х = 0;

3х2 + 17х – 10 = 0;

3х2 – 17х + 10 = 0.

D = (–17)2 – 4 · 3 · 10 = 289 – 120 = 169, D > 0, 2 корня.

x1 = hello_html_m7a49286e.gif = 5;

x2 = hello_html_33ebefdd.gif.

Если х = 5, то х (х – 2) ≠ 0.

Если х = hello_html_2fdef081.gif, то х (х – 2) ≠ 0.

О т в е т: а) –4; б) hello_html_2fdef081.gif; 5.

2. Пусть х км/ч – скорость велосипедиста, с которой он ехал из А в В, тогда (х – 3) км/ч – скорость, с которой он ехал обратно. На путь из А в В он затратил hello_html_m13b05182.gif ч, а обратно hello_html_50d2258.gif ч. Зная, что на обратный путь он затратил на 10 мин (hello_html_3d5ca215.gif часа) меньше, составим уравнение:

hello_html_m13b05182.gifhello_html_m606a570a.gif= hello_html_3d5ca215.gif. Общий знаменатель 6х (х – 3).

162(х – 3) – 120хх(х – 3) = 0;

162х – 486 – 120хх2 + 3х = 0;

х2 – 45х + 486 = 0.

D = (–45)2 – 4 · 486 = 81, D > 0, 2 корня.

x1 = hello_html_m6cfbadb1.gif = 27;

x2 = hello_html_6dadc63d.gif = 18.

Ни один из корней не обращает знаменатель в нуль, но корень х = 27 не удовлетворяет условию задачи (слишком большая скорость для велосипедиста).

О т в е т: 18 км/ч.

В а р и а н т 2

1. а) hello_html_185d56ea.gif. Общий знаменатель х2 – 16.

3х + 4 = х2;

х2 – 3х – 4 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета х1 = 4; х2 = –1.

Если х = 4, то х2 – 16 = 0.

Если х = – 1, то х2 – 16 ≠ 0.

б) hello_html_5442f830.gif = 2. Общий знаменатель х (х – 5).

3х + 8(х – 5) = 2х(х – 5);

3х + 8х – 40 – 2х2 + 10х = 0;

2х2 + 21х – 40 = 0;

2х2 – 21х + 40 = 0.

D = (–21)2 – 4 · 2 · 40 = 441 – 320 = 121, D > 0, 2 корня.

x1 = hello_html_71b7060f.gif = 8;

x2 = hello_html_m7015b16f.gif = 2,5.

Если х = 8, то х (х – 5) ≠ 0.

Если х = 2,5, то х (х – 5) ≠ 0.

О т в е т: а) –1; б) 2,5; 8.

2. Пусть х км/ч – собственная скорость катера, тогда против течения он шёл со скоростью (х – 3) км/ч, по течению – (х + 3) км/ч и по озеру – х км/ч. Против течения он шёл hello_html_4bbae3d7.gif ч, по течению hello_html_559fcef6.gif ч, а по озеру он шёл бы hello_html_24a028c.gif ч. Зная, что на все плавание по реке он затратил бы столько же времени, сколько на плавание по озеру, составим уравнение:

hello_html_4bbae3d7.gif+ hello_html_559fcef6.gif = hello_html_24a028c.gif. Общий знаменатель х (х – 3)(х + 3).

12х(х + 3) + 5х(х – 3) = 18(х – 3)(х + 3);

12х2 + 36х + 5х2 – 15х – 18х2 + 162 = 0;

х2 – 21х – 162 = 0.

D = (–21)2 – 4 · 162 = 441 + 648 = 1089, D > 0, 2 корня.

x1 = hello_html_m7e9e3ad9.gif = 27;

x2 = hello_html_50dd6925.gif = –6.

Ни один из корней не обращает знаменатель в нуль, но х = –6 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 27 км/ч.

В а р и а н т 1

1. Решите уравнение: а) hello_html_m4c90fb4b.gif; б) hello_html_maa335d2.gif = 3.

2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по одной дороге длиной 27 км, а обратно возвращался по другой дороге, которая была короче первой на 7 км. Хотя на обратном пути велосипедист уменьшил скорость на 3 км/ч, он все же на обратный путь затратил времени на 10 минут меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из А в В?


В а р и а н т 2

1. Решите уравнение: а) hello_html_185d56ea.gif; б) hello_html_5442f830.gif = 2.

2. Катер прошёл 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.


В а р и а н т 1

1. Решите уравнение: а) hello_html_m4c90fb4b.gif; б) hello_html_maa335d2.gif = 3.

2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по одной дороге длиной 27 км, а обратно возвращался по другой дороге, которая была короче первой на 7 км. Хотя на обратном пути велосипедист уменьшил скорость на 3 км/ч, он все же на обратный путь затратил времени на 10 минут меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из А в В?


В а р и а н т 2

1. Решите уравнение: а) hello_html_185d56ea.gif; б) hello_html_5442f830.gif = 2.

2. Катер прошёл 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.
















Уравнение с параметром

Цели: изучить понятие «уравнение с параметром», сформировать умение решать линейные и квадратные уравнения с параметром.

О с о б е н н о с т и и з у ч е н и я

I. Актуализация знаний.

Решить уравнения:

а) 3х – 15 = 0; г) 2х2 + 4х – 30 = 0;

б) (х – 2)2 = х2 – 4х + 3; д) х2 – 6х + 9 = 0;

в) у2 – (у – 3) (у + 3) = 9; е) у2 – 2у + 8 = 0.

II. Изучение нового материала.

1. И з у ч е н и е п о н я т и я «уравнение с параметром».

Во время актуализации знаний учащиеся вспомнили, что линейное уравнение в зависимости от коэффициентов может иметь одно решение, бесконечно много решений, либо не иметь решений. Так же и квадратное уравнение в зависимости от дискриминанта, а значит, от коэффициентов, может иметь один корень, два корня, либо не иметь корней.

Если уравнение записано в виде равенства двух выражений, в запись которых входят две буквы, например ах = 5, то нужно четко определить, что это за уравнение. Различают три смысла:

1) х, а – равноценные переменные. Говорят, что задано уравнение с двумя переменными и требуется найти все пары (х, а), которые удовлетворяют данному уравнению.

2) х – переменная, а – фиксированное число. Говорят, что задано уравнение с одной переменной х и требуется найти значение х, удовлетворяющее уравнению при фиксированном значении а.

3) х – переменная, а – любое число из некоторого множества А. Говорят, что задано уравнение с переменной х и параметром а (А – множество изменения параметра), требуется решить уравнение относительно х для каждого значения а.

Область изменения параметра либо оговаривается заранее, либо обычно подразумевается множество всех действительных чисел.

Тогда задачу решения уравнения с параметром можно переформулировать: решить семейство уравнений, получаемых из уравнения при любых действительных значениях параметра.

2. П р и ё м р е ш е н и я уравнения с параметром.

Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства уравнений невозможно. Тем не менее, каждое уравнение семейства должно быть решено. Сделать это можно, если по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества и решить затем заданное уравнение на каждом из этих подмножеств.

Для разбиения множества значений параметра на подмножества удобно воспользоваться теми значениями параметра, при которых или при переходе через которые происходят качественные изменения уравнения. Такие значения параметра называются контрольными.

3. А л г о р и т м р е ш е н и я уравнения с параметром:

1-й ш а г. Находим область изменения параметра.

2-й ш а г. Находим ОДЗ уравнения.

3-й ш а г. Определяем контрольные значения параметра и разбиваем область изменения параметра на подмножества.

4-й ш а г. Решаем уравнение на каждом подмножестве области изменения параметра.

5-й ш а г. Записываем ответ.

4. Р е ш е н и е линейных и квадратных уравнений с параметром.

На примерах со с. 141–143 учебника рассмотреть, как обнаруживаются контрольные значения параметра, как с их помощью множество значений параметра разбивается на подмножества и как затем на каждом из подмножеств решается заданное линейное или квадратное уравнение.

III. Формирование умений и навыков.

Все у п р а ж н е н и я, относящиеся к этому пункту, можно разбить на 3 г р у п п ы:

1) решить уравнение с параметром, заданное в стандартном виде;

2) преобразовать уравнение с параметром и решать его;

3) найти значения параметра, при которых будет выполняться некоторое условие.

1. № 641 (а).

Р е ш е н и е

рур – 1 = 0.

Если р = 0, то уравнение примет вид –1 = 0.

Данное уравнение не имеет корней.

Если р ≠ 0, то ру = р + 1; у = hello_html_4e29c58f.png.

О т в е т: при р = 0 нет корней; при р ≠ 0; у = hello_html_4e29c58f.png.

2. № 642.

Р е ш е н и е

ах – 2х = а3 – 2а2 – 9а + 18;

х(а – 2) = а2(а – 2) – 9(а – 2);

(а – 2) ∙ х = (а – 2)(а2 – 9).

Если а – 2 = 0, то есть а = 2, то 0 · х = 0 · (22 – 9),

0 · х = 0,

х – любое.

Если а – 2 ≠ 0, то есть а ≠ 2, то х = hello_html_58ddaca7.png,

х = а2 – 9.

О т в е т: при а = 2 х – любое; при а ≠ 2 х = а2 – 9.

644 (б).

Р е ш е н и е

3х2 – 10ах + 3а2 = 0.

D = (–10а)2 – 4 · 3 · 3а2 = 100а2 – 36а2 = 64а2.

Если а = 0, то D = 0 и х = hello_html_657e7102.png; х = 0.

Если а ≠ 0, то D > 0 и х = hello_html_6d4ad6db.png, х = hello_html_m3c158fa8.png.

hello_html_529476c.pngзначит, х = hello_html_71650058.png;

x1 = hello_html_5edf7f4b.png = 3а; x2 = hello_html_4b596c6f.png.

О т в е т: при а = 0, х = 0; при а ≠ 0, х1 = 3а, x2 = hello_html_m3d1b87b2.png.

3. № 646.

Р е ш е н и е

х2ах + а – 3 = 0.

D = (–а)2 – 4 · 1 · (а – 3) = а2 – 4а + 12 = (а – 2)2 + 8, D > 0 при любом а, 2 корня.

x1 = hello_html_mf92a50f.png; x2 = hello_html_74c48c57.png;

hello_html_48b43f46.png;

hello_html_m504e13d.pngа2 – 2а + 6 = (а – 1)2 + 5.

hello_html_7df314dc.pngпринимает наименьшее значение при а = 1 и равно 5.

О т в е т: 5 при а = 1.


  • Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
    Пожаловаться на материал
Скачать материал
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Проверен экспертом
Общая информация
Скачать материал

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Основы туризма и гостеприимства»
Курс профессиональной переподготовки «Управление персоналом и оформление трудовых отношений»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания конституционного права с учетом реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «История и философия науки в условиях реализации ФГОС ВО»
Курс повышения квалификации «Организация практики студентов в соответствии с требованиями ФГОС технических направлений подготовки»
Курс повышения квалификации «Управление финансами: как уйти от банкротства»
Курс профессиональной переподготовки «Логистика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Этика делового общения»
Курс повышения квалификации «Маркетинг в организации как средство привлечения новых клиентов»
Курс профессиональной переподготовки «Организация деятельности секретаря руководителя со знанием английского языка»
Курс профессиональной переподготовки «Методика организации, руководства и координации музейной деятельности»
Курс повышения квалификации «Международные валютно-кредитные отношения»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика музейного дела и охраны исторических памятников»
Курс профессиональной переподготовки «Стандартизация и метрология»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.