«Поверил я алгеброй гармонию...»

• 1 слайд

  Государственное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа при Посольстве России в Турции, г. Анкара
  «Поверить алгеброй гармонию…»
  Работа ученика 9 класса Гиниятуллина Артура.
  Руководитель: учитель физики и математики Горев Алексей Викторович.
  

• 2 слайд

  Ремесло
  Поставил я подножием искусству:
  Я сделался ремесленник: перстам
  Придал послушную, сухую беглость
  И верность уху. Звуки умертвив,
  Музыку я разъял, как труп. Поверил
  Я алгеброй гармонию. Тогда
  Уже дерзнул, в науке искушенный,
  Предаться неге творческой мечты.
  
  А. С. Пушкин
  «Моцарт и Сальери»  
  
  Поверить
  алгебой
  гармонию...
  

• 3 слайд

  Introductio
  Попытки описать гармонию звуков с помощью математики предпринимались ещё в античные времена, когда не было разделения на гуманитарные и естественные науки. Например, Пифагор и его последователи занимались изучением арифметики, геометрии, астрономии, музыки. Каждая дисциплина исследовала число в разных аспектах, музыка – число во времени. Пифагор считал число сущностью вещей. И именно числа, по его мнению, управляют гармониями в музыке. Таким образом, он утвердил музыку как точную науку. Пифагор открыл математические отношения, которые лежат в основе музыкальных интервалов.
  В эпоху средневековья музыка также воспринималась в первую очередь как наука, а уже потом как искусство. Средневековые авторы многое взяли от пифагорейской идеи. Вслед за Пифагором они считали музыку наряду с арифметикой, геометрией и астрономией наукой о числах.
  Если читать утомительно – листай дальше!
  

• 4 слайд

  Современные композиторы С. Губайдулина, Э. Денисов, К. Штокхаузен использовали такие математические закономерности как ряд Эратосфена, числа Фиббоначи, арифметическую и геометрическую прогрессии.
  Но со временем многие композиторы отходят от такого прямого обращения к математике, которая в процессе сочинения музыкального произведения уходит на второй план. А. Шнитке так сказал об этом: «Я всё-таки писал музыку, которую слышу, а не ту, которую по серийным законам вырисовывалась и вычислялась на бумаге».
  
  Традиционной моделью для изучения музыкальных звуков является колеблющаяся струна. Струны лежат в основе большого числа инструментов. Спор о струне  — научная дискуссия, развернувшаяся в XVIII веке между крупнейшими учеными своего времени вокруг изучения колебаний струны. В спор оказались вовлечены Д’Аламбер, Эйлер, Д. Бернулли, Лагранж. Дискуссия касалась определения понятия функции и оказала решающее влияние на множество разделов математики: теорию дифференциальных уравнений в частных производных, математический анализ и теорию функций вещественного переменного, теорию тригонометрических рядов Фурье и теорию обобщенных функций и пространств Соболева.
  
  Если читать утомительно – листай дальше!
  

• 5 слайд

  В 1625 году французский богослов Марен Мерсенн (1588 – 1648) обнаружил зависимость между частотой ѵ, натяжением Q, площадью поперечного сечения S и длиной l струны, выражающаяся в пропорциональности:
  
  Закон Мерсена был объяснен теоретически Тейлором почти через столетие, в 1713 году.
  Французский математик Жан Мари Констан Дюгамель (1797 — 1872) первым указал на существование в звучащем теле вместе с главным тоном дополнительных тонов (обертонов, гармоник) — открытие, которое обыкновенно приписывается всецело Гельмгольцу.
  
  Если читать утомительно – листай дальше!
  

• 6 слайд

  
  Георг Ом в 1843 г. показал, что простейшее слуховое ощущение вызывается гармоническими колебаниями, на которые ухо разлагает сложные звуки (акустический Закон Ома). Слуховая система человека выполняет (в весьма приблизительном виде) анализ Фурье , разделяя сложную звуковую волну на составляющие ее компоненты. Функционально это означает, что в определенных пределах человек слышит индивидуальные частоты, образующие сложный звук. Акустический закон Ома был положен затем немецким ученым Г. Гельмгольцем в основу резонансной теории слуха.
  Основная мембрана слухового органа, на которой расположен кортиев орган, устроена наподобие струнных музыкальных инструментов. Она имеет поперечную исчерченность, как бы состоит из «струн» разной длины. Герман Гельмгольц предложил свою резонансную теорию слуха, согласно которой отдельные части основной мембраны - «струны» колеблются при действии звуков определенной частоты. При наличии сложных звуков одновременно происходит колебание нескольких участков, звуки высокой частоты вызывают колебания коротких волокон у основания улитки, а низкие звуки приводят в колебательные движения длинные волокна у верхушки улитки.
  Если читать утомительно – листай дальше!
  

• 7 слайд

  На этом закончим затянувшееся Introductio и определимся с нашими планами.
  Что мы можем сделать реально и что нам будет интересно?
  Оказалось, вот что:
  подобрать метод измерения натяжения гитарных струн, провести измерения и проанализировать полученный результат;
  с помощью программы-спектроанализатора для РС получить звуковые спектры стальных и нейлоновых гитарных струн;
  сделать выводы.
  

• 8 слайд

  Как измерить силу натяжения гитарной струны?
  Кажется нет ничего проще – бери динамометр и измеряй! Но не тут то было. Ведь мы имеем дело с гитарой, инструментом хрупким. Во всяком случае, школьный динамометр не подходит. Интересно, кто до нас в школьной физической лаборатории, а не в условиях мастерской по изготовлению музыкальных инструментов, пытался «…поверить алгеброй гармонию…»?
  Ну, не мы первые и не мы последние. В одной из часто цитируемых задач из пособия по термеху (для несведущих – теоретическая механика, жуткая зубная боль любого студента) - задачника Мещерского И.В., который переиздан более 80 раз и до сих пор используется во многих вузах мира, приводится задача о натяжении троса с закреплёнными концами и подвешенными к нему грузами. Взяв эту задачу за образец, мы рассмотрели сходную задачу, где по известной силе, приложенной к середине струны, и измеряемому прогибу гитарной струны находится её натяжение.
  

• 9 слайд

  A
  B
  E
  Q
  Q
  y
  Определение силы натяжения струны с помощью
  измерения прогиба струны
  На рисунке точки А и B – верхний и нижний порожки. Пусть
  - по теореме Пифагора;
  ;
  - соотношения в прямоугольном треугольнике;
  

• 10 слайд

  - условие равновесия точки Е;
  разделим обе части на 2Q, заменим cosα и возведем в квадрат:
  ;
  выразим h:
  ;
  подставим значение l:
  

• 11 слайд

  выразим Q:
  В данном выводе не учитывалась сила упругости, возникающая при прогибе струны под действием веса струны из-за ее малой величины по сравнению с силой натяжения.
  Таким образом, зная вес подвешенного груза Р, длину струны l и прогиб струны h, можно определить силу натяжения струны Q.
  

• 12 слайд

  Измерения прогиба струны, длины струны, диаметра струны, массы груза и вычисление силы натяжения
  Что может быть проще? К струнам укрепленной на штативах гитаре подвешиваем груз определённой массы и по дополненной авторами методике рассчитываем их натяжение.
  

• 13 слайд

  …но не тут то было. Держать в руках линейку, не имеющею точку опоры, и увеличительное стекло неудобно.
  Пришлось придумать вот что: для более точного измерения прогиба струн использовать метод макрофотографии.
  На шестой гитарной струне укреплена полоска миллиметровой бумаги, на которой на уровне 12 лада т.е. ровно посередине гитарной струны проведена вертикальная черта.
  

• 14 слайд

  Прогиб струны хорошо заметен и довольно точно измеряем, конечно, с учетом точности нанесенных на бумагу миллиметровых делений и небольшого параллактического смещения.
  Макрофотографии сделаны фотоаппаратом NIKON 5100
  Значительно проще обстояло дело с длиной струны l, в нашем случае это расстояние от верхнего порожка гитары до нижнего – по-научному мензура. Мензуры бывают разные, у нашей гитары, «конструктором» которой был испанский гитарный мастер XIX века Антонио Торрес (кстати, гитары конструкции Торреса сегодня называют классическими) эта величина равна 25.5 дюйма. 1 дюйм равен 2,54 см. Следовательно, длина струны классической гитары l = 0,6477 м.
  

• 15 слайд

  С помощью микрометра с точностью измерения 0.01 мм определялся диаметр струн
  и, с помощью электронных весов, с точностью до 0,1 г - масса подвешиваемого груза.
  

• 16 слайд

  Измеренные прогибы и вычисленные натяжения струн
  

• 17 слайд

  Диаграмма сил натяжения гитарных струн
  

• 18 слайд

  Некоторые соображения по поводу сил натяжения гитарных струн:
  прямой пропорциональной зависимости силы натяжения от номера струны нет – натяжение первой и последней струн одинаково!
  нейлоновые струны имеют меньшее или равное натяжение по сравнению со стальными.
  И, наконец, проверим, «работает» ли формула натяжения?
  Ура! Формула «работает»!
  Если не устали, то дальше!
  

• 19 слайд

  Для получения спектрограмм частот звучащей струны мы использовали бесплатный (вот здорово!) многофункциональный спектроанализатор от Visualization Software LLC, Spectrogram 16. Эта программа предназначена для анализа аудио материала с помощью спектрограмм, построения графиков АЧХ (амплитудно-частотная характеристика) из аудиофайлов и с линейного входа аудио карты, даёт возможность просмотра результатов, сохраняет данные в виде графических и текстовых файлов.
  Единственное что требуется от пользователя - это изначально правильно настроить её, чем сейчас и занимается ученик 9 класса Гиниятуллин Артур.
  
  

• 20 слайд

  Отладка программного обеспечения и работоспособности микрофона производилась с помощью лабораторного камертона частотой 440 Гц, микрофон помещался внутрь резонаторного ящика.
  Программа позволяет определять следующие параметры исследуемого сигнала:
  частоту,
  длительность,
  уровень громкости (по цветовой таблице).
  Данная спектрограмма отлично показывает основную (собственную) частоту звучащего камертона и большое число (10) гармоник, как чётных, так и нечётных, что невозможно объяснить колебаниями только ножек камертона.
  

• 21 слайд

  Камертон установлен на простеньком деревянном ящике без одной стенки. Колебания камертона передаются ящику и воздушному столбу внутри ящика, в котором возникают продольные упругие волны.
  Резонансная частота воздушного столба зависит от линейных размеров. В открытой трубе основной тон возникает, когда на длине трубы укладывается 1/2 длины волны, а в закрытой (наш случай)— 1/4 длины волны. Проверим?
  u-скорость звука
  λ-длина волны;
  ν -частота;
  Получилось! Длина ящика действительно 20 см.
  

• 22 слайд

  Особое внимание было уделено выбору звукоснимателя. Это мог быть электромагнитный звукосниматель, но от него пришлось отказаться сразу – исследовались и нейлоновые струны, от которых не приходиться ждать появления переменной ЭДС, это был и очень хороший радиомикрофон фирмы AEG c внешней звуковой USB-картой. Но, как ни странно, наилучшие результаты были получены с наименьшими затратами.
  Наиболее подходящим оказался миниатюрный электретный микрофон CZN-15E от старого кассетного магнитофона. Конечно, пришлось поработать головой и руками, в результате из подручных материалов был собран подходящий звукосниматель, который без проблем размещался внутри гитарной деки. Микрофон подключался непосредственно к микрофонному входу PC.
  Капсюль электретного микрофона,
  штекер типа Джек (Jack) 3,5мм,
  кусок тонкого экранированного провода.
  

• 23 слайд

  Спектр частот ПЕРВОЙ гитарной струны (СТАЛЬ) и уровни громкости отдельных гармоник после возбуждения колебаний
  

• 24 слайд

  Спектр частот ПЕРВОЙ гитарной струны (НЕЙЛОН) и уровни громкости отдельных гармоник после возбуждения колебаний
  

• 25 слайд

  Спектр частот ВТОРОЙ гитарной струны (СТАЛЬ) и уровни громкости отдельных гармоник после возбуждения колебаний
  

• 26 слайд

  Спектр частот ВТОРОЙ гитарной струны (НЕЙЛОН) и уровни громкости отдельных гармоник после возбуждения колебаний
  

• 27 слайд

  Спектр частот ТРЕТЬЕЙ гитарной струны (СТАЛЬ) и уровни громкости отдельных гармоник после возбуждения колебаний
  

• 28 слайд

  Спектр частот ТРЕТЬЕЙ гитарной струны (НЕЙЛОН) и уровни громкости отдельных гармоник после возбуждения колебаний
  

• 29 слайд

  Это не просто, сравнивать характеристики ПЕРВОЙ СТАЛЬНОЙ и НЕЙЛОНОВОЙ струн. Честно! Но есть друзья, и они, то есть мы, Вам поможем!
  Итак. Сравниваем первую струну по наличию гармонических составляющих (обертонов) и по времени звучания оных. Потратив некоторое время, мы с вами сделаем некоторые выводы. (Таблица большая и сразу не очень в ней разберешься, но на неё можно не смотреть, если поверишь нашим выводам).
  

• 30 слайд

  Идём дальше. Вот ВТОРАЯ струна и те же материалы: СТАЛЬ и НЕЙЛОН.
  Если вернешься назад, то увидишь, что картина поменялась (куда делись некоторые чётные гармоники?)!
  

• 31 слайд

  И напоследок – ТРЕТЬЯ струна, и опять из тех же материалов: СТАЛЬ и НЕЙЛОН. Почему напоследок? Мы расстаёмся? Нет! Обещанный анализ струн сейчас будет. Просто давайте немного отвлечёмся от сухой теории и рассмотрим некоторые интересные вопросы «струностроения».
  А на таблицу не грех и посмотреть, а для сравнения хорошо бы вернуться к двум предыдущим слайдам.
  

• 32 слайд

  
  Когда-то наши далекие предки играли на жильных (сделанных из сухожилий животных), кишечных (сделанных из кишок животных), шелковых, бронзовых, медных и струнах, изготовленных из растительного сырья. В конце XVIII - начале XIX в.в., с изобретением рояля, появляются первые струны на стальной основе, позднее нашедшие применение и для других инструментов. XX век чрезвычайно расширил гамму видов струн.
  Кишечные струны - почти не используются из-за особенностей эксплуатации и в продаже они почти не встречаются.
  Синтетические струны - используются только для "классической гитары". В середине XX века эти струны пришли на смену нестойким кишечным.
  Синтетические струны повышенной плотности - изготовлены из изобретенного в конце XX века в Японии нового синтетического материала карбона. Их самым главным достоинством является большая звонкость.
  Струны на стальной монолитной основе - используются очень широко, они имеют большее натяжение, по сравнению с синтетическими. Основой этих струн служит высокоуглеродистая сталь.
  «Крутая» современная струна с шестигранным керном и двумя круглыми обмотками
  

• 33 слайд

  В наших экспериментах проходили тест на профпригодность три стальных верхних струны (это не потому, что они вверху, а потому, что они издают высокие звуки) без обмотки российского производителя «ЭМУЗИН» и три нейлоновых струны неведомого китайского производителя.
  Приведённые выше спектрограммы и таблицы однозначно свидетельствуют о значительно большем количестве обертонов и времени их звучания в спектрах стальных струн российского производителя.
  Но, ни в коем случае нельзя однозначно утверждать: стальные струны лучше нейлоновых! Да, они звучат громче, ярче, звонче нейлоновых. Но не будем забывать, что струны установлены на гитаре! (Мы использовали бюджетный вариант классической гитары китайского производства) А у гитар есть корпус, выполняющий двоякую роль – усиливающую на резонансных частотах и порождающую собственные звуки.
  Кстати, существует мнение, что наличие хорошо выраженных обертонов начиная с 6 не улучшает звучание инструмента, а совсем наоборот.
  

• 34 слайд

  Coda
  Вот мы и добрались до конца. До конца этой занимательной работы. Но занимательных работ будет ещё много, мы так надеемся.
  Открытий мы не совершили, но кое-что расставили по полочкам нашего сознания. Не бывает бесполезного труда, если труд осмыслен.
  

Краткое описание документа:

Традиционной моделью для изучения музыкальных звуков является колеблющаяся струна. Струны лежат в основе большого числа инструментов. Спор о струне  — научная дискуссия, развернувшаяся в XVIII веке между крупнейшими учеными своего времени вокруг изучения колебаний струны. В спор оказались вовлечены Д’Аламбер, Эйлер, Д. Бернулли, Лагранж. Дискуссия касалась определения понятия функции и оказала решающее влияние на множество разделов математики: теориюдифференциальных уравнений в частных производных, математический анализ и теорию функций вещественного переменного, теорию тригонометрических рядов Фурье и теорию обобщенных функций и пространств Соболева.

В наших экспериментах проходили тест на профпригодность три стальных верхних струны  без обмотки  и три нейлоновых струны.

Приведённые спектрограммы и таблицы однозначно свидетельствуют о значительно большем количестве обертонов и времени их звучания в спектрах стальных струн.

Но, ни в коем случае нельзя однозначно утверждать: стальные струны лучше нейлоновых! Да, они звучат громче, ярче, звонче нейлоновых. Но не будем забывать, что струны установлены на гитаре! А у гитар есть корпус, выполняющий двоякую роль – усиливающую на резонансных частотах и порождающую собственные звуки.