Повторяем геометрию 11 класс.

Карточка с задачей к теореме Птолемея

Карточка № 1 к уроку геометрии в 11 классе «Повторяем геометрию»

1. Около равностороннего треугольника АВС описана окружность и на дуге  ВС взята произвольная точка М. Найдите длину отрезка АМ, если ВМ = 26см, СМ = 14 см.

1. Около равностороннего треугольника АВС описана окружность и на дуге ВС взята произвольная точка М. Найдите длину отрезка АМ, если ВМ = 26см, СМ = 14 см.

• 1 слайд

• 2 слайд

• 3 слайд

  Повторяем планиметрию
  

• 4 слайд

  Дана трапеция ABCD, АВ = 6 см, ВС = 10 см,
  СD = 8 см, AD = 20 см. Найти S ABCD
  А
  D
  B
  C
  10
  6
  8
  20
  х = 3,6 см
  h = 4,8 см
  SABCD = 72 см2
  

• 5 слайд

  А
  D
  B
  C
  10
  6
  8
  20
  х = 3,6 см
  h = 4,8 см
  SABCD = 72 см2
  

• 6 слайд

  А
  D
  B
  C
  10
  6
  8
  20
  К
  8
  10
  М
  х = 3,6 см
  h = 4,8 см
  SABCD = 72 см2
  

• 7 слайд

  А
  D
  B
  C
  10
  6
  8
  20
  К
  SABCD = 72 см2
  h = 4,8 см
  SАВК = 24 см2
  

• 8 слайд

  А
  D
  B
  C
  10
  6
  8
  К
  8
  10
  h = 4,8 см
  SABCD = 72 см2
  

• 9 слайд

  А
  D
  B
  C
  10
  6
  8
  20
  k = 2
  S тр = SAMD– S BMC = 4 · S BMC - S BMC = 3 · S BMC = 3 · 24 = 72(см2)
  
  М
  

• 10 слайд

  А
  D
  B
  C
  10
  6
  8
  20
  К
  

• 1 слайд

  ТЕОРЕМА
  ПТОЛЕМЕЯ
  

• 2 слайд

  Формулировка:
  Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон четырёхугольника.
  

• 3 слайд

  Около равностороннего треугольника АВС описана окружность и на дуге ВС взята произвольная точка М. Найдите длину отрезка АМ. Если ВМ = 26см,
  СМ = 14см.
  ВС · АМ=АС· ВМ+АВ · МС
  Х·АМ=Х·26+Х·14
  Ответ: АМ=40см.
  АМ · Х=40 · Х
  РЕШЕНИЕ:
  Пусть Х – сторона ∆,
  тогда:
  

• 4 слайд

  Боковая сторона равнобедренной трапеции
  равна , а основания 3 и 4. Найдите длину диагонали трапеции.
  AC·BD=AB·CD+BC·AD
  Х·Х= · + 3·4
  Ответ: 5
  Решение:
  Пусть диагональ равна – Х,
  тогда:
  

• 5 слайд

  Большее основание равнобедренной трапеции равно 8, боковая сторона равна 9, а диагональ равна 11. Найти меньшее основание трапеции.
  AC·BD=AB·CD+BC·AD
  11·11=9·9+ВС·8
  Ответ: ВС = 5
  Решение:
  

Теорема Птолемея

	1.
	1. Около равностороннего треугольника АВС описана окружность и на дуге ВС взята произвольная точка М. Найдите длину отрезка АМ, если ВМ = 26см, СМ = 14 см. 2. Большее основание равнобедренной трапеции равно 8, боковая сторона равна 9, а диагональ рана 11. Найти меньшее основание трапеции. Ответ: х = 5

План-конспект

 урока геометрии

 в 11 классе по теме:

«Повторяем геометрию»

Учитель: Котова В.Б.

п.  Чална

                  

Цели урока:

·       знакомство с многообразием подходов при решении одной задачи;

·       формирование устойчивой мотивации к изучению и закреплению нового;

·       создание на уроке условий, способствующих самостоятельной познавательной деятельности учащихся;

·       систематизация и обобщение методов решения геометрических задач;

·       развитие умения точно и грамотно выражать свои мысли, отстаивать свою точку зрения в процессе дискуссии.

Ход урока

I                                                           

1. Организационный момент.

Учитель. Один юноша провел на земле отрезок и попросил мудреца, чтобы тот уменьшил его, не урезая и касаясь.  Мудрец параллельно провел более длинный отрезок, тем самым первоначальный отрезок был умален. «Так можно относиться к своим достоинствам и недостаткам, - заметил, мудрец, - увеличивая достоинства, мы тем самым умаляем недостатки».

Несомненно,  умение решать геометрические задачи, является достоинством каждого образованного  человека. Так давайте на этом уроке приумножать эти свои достоинства (Рассказывая притчу, рисовать отрезки на интерактивной доске).

Слайд с темой урока.
II Предварительная работа:

1. За несколько дней до  урока учащимся было дано задание решить следующую задачу наибольшим возможным числом способов.

Задача.  В трапеции основания равны 10 см и 20 см, боковые стороны      6 см и 8 см. Найдите площадь трапеции.

2. Один из учеников получил задание разобрать доказательство теоремы Птолемея (данной теоремы нет в школьной программе) и решить несколько задач, в которых эту теорему можно было бы применить. Он должен был подготовить презентацию для ознакомления учащихся класса с выводом данной теоремы и убедить их в целесообразности ее применения.

III  Ход урока.

1. Рассказать притчу о мудреце и отрезках.

2. Разбор различных способов решения задачи, которая была задана домой предварительно. Обобщим методы, с помощью которых вы смогли ее решить.

Слайд № 4.

I способ.  У доски рассказывает  В. К.                                      

1.Проведем ВМАD, CNAD.

BCNM – прямоугольник. АМ=х

h² = 36 – x²

h² = 64 –  (10 – x)²

36 – x² = 64 – (10 – x)²

x = 3,6 см

2. Из ΔАВМ: h² = 36 – x², h = 4,8 см.          S _тр = (10 + 20) : 2 · 4,8 = 72 см²

Слайд № 5.  А можно ли решить задачу, не проводя две высоты, а только одну?

II способ.  У доски решает  Л. А.                                     

1.Проведем ВМАD. ВК || CD.   BCDK – параллелограмм.

 АМ = х см ,  МК = 10 – х см.

 Из ΔАВМ:  h² = 36 – x²

Из Δ ВМК: h² = 64 –  (10 – x)²

Аналогично х =3,6 см,      h = 4,8 см,    S = 72 см²

Слайд № 6.  

III способ.  У доски рассказывает  Д. А.                                     
Теперь приглядимся к ΔАВК. Он прямоугольный по теореме обратной теореме Пифагора. (Отметить маркером прямой угол)

Вспомнить следствие 1º о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.
АМ = х см, МК = 10 – х.
АВ = ,  , 36 = 10х.  х = 3,6см
Можно использовать катет ВК = 8 см.
h = 4,8 см,      S = 72 см².
Это были алгебраические способы.

Слайд № 7.  

IV способ.  У доски объясняет  М. В.                                     

1. Проведем  ВК || CD.
ВСДК – параллелограмм. ΔАВК –прям.
S_Δ =  АВ · ВК = · 6 · 8 =24 см².
S_Δ = ·АК ·h;   h = 4,8 см. S = 72 см².
Площадь треугольника АВК можно найти и по формуле Герона. Хотя в этой задаче  не стоит этого делать, но формулу помнить надо. Один ученик проговаривает.

Слайд № 8.  

V способ.  У доски рассказывает (Х. М.)                                      
Т. к.  в задаче имеются прямоугольные треугольники, то можно использовать  тригонометрические функции.
Из Δ АВК: sin A =
Из Δ АВМ: sin ;  ;
 h = ВМ = 4,8 см

               Слайд № 9.  

VI способ.  У доски решает  Р. К.                       

М

1.Достроим трапецию до треугольника.
2.  Δ ВМС, Δ АМD – прямоугольные, М у них общий и равны соответственные углы при параллельных прямых ВС и АD, т. е. треугольники подобны.  k = 2. АМ = 12 см, DM = 16 см,
S _ВМС =  ВМ · МС =  · 6 · 8 = 24 см ².                      

S _AMD =  АМ ·DM = 12·16 = 96 см²
S_тр  = 96 – 24 = 72 см².

               VII способ. (по тому же рисунку).

Последняя строка этого решения могла бы выглядеть иначе:
S _тр = S_AMD – S _BMC = 4 · S _BMC  - S _BMC = 3 · S _BMC = 3 · 24 = 72 см².

Слайд № 10.  

VIII способ.  У доски рассказывает  Т. А.                                     

Проведем ВК || CD. Соединим точки К и С.
Δ АВК = Δ ВСК(по I признаку), т. к. ВК – общая, ВС = АК, СВК = ВКА, как соответственные при параллельных прямых.  Δ СВК = Δ KCD ( по III признаку)
Тогда S _тр = 3 · S_АВК = 3 · 24 = 72 см².

3. Учитель:  Конечно, в процессе решения этой задачи можно найти  и другие способы…

Какие на ваш взгляд самые лучшие?

Первый, потому что наиболее естественный, им и решали большинство из вас. Последний наиболее оригинальный и простой. Но и промежуточные между ними тоже имеют свои достоинства. Они стоили того, чтобы о них сказали.

4. Ваня Каннинен  изучил  доказательство теоремы  Птолемея, которой нет в нашей школьной программе, но послушайте как красиво и просто можно с ее помощью решать некоторые задачи. Может быть, она вам когда-нибудь пригодится.

 Презентация и рассказ ученика  о теореме Птолемея и применении ее к решению задач.

Произведение диагоналей вписанного 4 –угольника равно сумме произведений противоположных сторон 4 –угольника.

Записать формулировку теоремы в тетрадь. Выдать карточки с задачами, которые можно решить по этой теореме.

Домашнее  задание: -  Выполнить решение  задачи с карточки в тетрадь полностью,  всеми возможными способами.

Карточки с  рисунками забрать домой. На следующем уроке проведем проверочную работу.

               В заключение урока хочу привести слова американского математика Мориса Клайна: «Музыка может возвышать или умиротворять душу,

Живопись – радовать глаз,

Поэзия пробуждать чувства,

Философия – удовлетворять потребности разума,

Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей.

А математика способна достичь все этих целей!»

Успехов вам в изучении математики и на экзамене!

Чертежи к задаче «Площадь трапеции»