Практическая работа "Частные производные и полный дифференциал"

Практическая работа

Тема: Частные производные и полный дифференциал

1. Цель занятия: овладеть навыками вычисления частных производных и полного дифференциала функций

2. Теоретическая часть:

Частной производной функции z=f(x;y) по переменной y называется производная по y при постоянном значении переменной x

(или z_x' )

Частной производной функции z=f(x;y) по переменной x называется производная по x при постоянном значении переменной y

(или z_y' )

Полным дифференциалом функции z=f(x;y)в некоторой точке М(x;y) называется выражение

,

где  и  вычисляются в точке М(x;y), а ,

Примеры

№1. Найти частные производные функции z=x³–3x²y+4x³y²–y³

Решение:

= z_x'=3x²–3y·2x+4y²·3x²–0=3x²–6xy+12 x²y²

= z_y'=0–3x²+4x³·2y–3y²=–3x²+8x³y–3y²

№2. Вычислите полный дифференциал функции z=x³–2x²y²+y³ в точке М(1;2)

Решение:

Полный дифференциал находится по формуле

Найдем частные производные  и  в точке М(1;2)

= z_x'=3x²–2y²·2x+0=3x²–4xy²

=3·1²–4·1·2²=3–16=–13

= z_y'=0–2x²·2y+3y²=–4x²y+3y²

=–4·1²·2+3·2²=–8+12=4

Итак dz=–13dx+4dy

Ответ: dz=–13dx+4dy

3. Задания

Вариант 1	Вариант 2
1. Найти частные производные функций
а) z=x3+3xy2–y3 б) z=	а) z=x3–5x2y+y2 б) z=
2. Найти значения частных производных функций в заданных точках
z= в точке М(1;2)	z= в точке М(2;1)
3. Вычислите полные дифференциалы функций в заданных точках
z= при x=1, y=2, dz=0,2; dy=0,1	z= при x=1, y=2, dz=; dy=–

4. Содержание отчета

Отчет должен содержать:

– решение данных задач.