Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Практическая работа "Матричный способ решения систем линейных уравнений"

Практическая работа "Матричный способ решения систем линейных уравнений"


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Практическая работа № 5

Решение систем линейных уравнений матричным способом ”


Цель работы:

1. Познакомиться со способами решения матричных уравнений

2. На конкретных примерах научиться решать системы уравнения с помощью обратной матрицы


Содержание работы:

1. Рассмотрим матричное уравнение: A · X = B 

Так как матрица A — невырожденная, то существует обратная матрица A−1 . Умножим обе части уравнения слева на матрицу A−1 . По определению обратной матрицы, получим

A−1 · A ) · X = A−1 · B ,   E · X = A−1 · B,   X = A−1 · B. 

Таким образом, искомое решение матричного уравнения определяется формулой: X = A−1 · B

Обратите внимание на то, что количество строк матрицы B должно быть равно порядку матрицы A .

2. Рассмотрим матричное уравнение: X · A = B

Так как матрица A — невырожденная, то существует обратная матрица A−1 . Умножим обе части уравнения справа на матрицу A−1 . По определению обратной матрицы, получим

X · ( A · A−1 ) = B · A−1;   X · E = B · A−1;   X = B · A−1 .

Таким образом, искомое решение матричного уравнения: X = B · A−1 

Обратите внимание на то, что количество столбцов матрицы B должно быть равно порядку матрицы A.





 · X =





 .






Решение.

1. Вычисляем обратную матрицу A−1 методом Гаусса:































 .

Таким образом, обратная матрица имеет вид

−1 =





 .

2. Обе части уравнения умножаем слева на матрицу A−1 .

3. Находим решение уравнения:

B =





·





=





 .








Ответ:



 .

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.

            Метод удобен для решения систем невысокого порядка.

            Метод основан на применении свойств умножения матриц.

Систему уравнений можно записать: A×X = B.

Пример. Решить систему уравнений:

hello_html_1e55f86.gif

Х = hello_html_100689f3.gif, B = hello_html_m552a985c.gif, A = hello_html_m54f6e016.gif

Найдем обратную матрицу А-1.

D = hello_html_6e826ba2.gif5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.

 

M11 = hello_html_2400a5ec.gif = -5;                  M21 = hello_html_m49446f72.gif = 1;                   M31 = hello_html_653710ca.gif   = -1;

M12 = hello_html_m70a58b99.gif               M22 = hello_html_5e8e0c97.gif                    M32 = hello_html_m7ca4f8e4.gif

M13 = hello_html_5a5b8b75.gif                 M23 = hello_html_6a1f601c.gif                    M33 = hello_html_m19f8f842.gif

 

hello_html_e3e9e83.gif                     A-1 = hello_html_25fe39ca.gif;

 

Находим матрицу Х.

Х = hello_html_100689f3.gif= А-1В = hello_html_25fe39ca.gif×hello_html_m552a985c.gif= hello_html_m16227aed.gif.

 

Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.


Приложения:



Автор
Дата добавления 13.10.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров47
Номер материала ДБ-258948
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх