Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Практическая работа на тему "Делимость натуральных чисел"

Практическая работа на тему "Делимость натуральных чисел"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


ПЕТРОВСКИЙ РАЙОННЫЙ ОТДЕЛ ОБРАЗОВАНИЯ

РАЙОННЫЙ МЕТОДИЧЕСКИЙ КАБИНЕТ

ДОНЕЦКИЙ УЧЕБНО-ВОСПИТАТЕЛЬНЫЙ КОМПЛЕКС № 114








Практическая работа на тему


«Делимость натуральных чисел»


(математика, 6 класс)





Исполнитель:

учитель математики

Донецкого УВК № 114

Маякова Н. П.










2013 г.

Содержание работы


  1. Критерии оценивания учебных достижений учащихся при изучении темы «Делимость натуральных чисел».

  2. Календарно – тематическое планирование темы.

  3. Справочный материал по теме. Опорные конспекты по теме.

  4. Справочный материал по повторению.

  5. Поэлементный анализ учебных достижений учащихся по теме и по повторению этой темы.

  6. Поэлементный анализ заданий ТКР соответственно уровням учебных достижений.












Критерии оценивания учебных достижений учащихся 6-го класса при изучении темы


«Делимость натуральных чисел»


Уровни учебных достижений учащихся

Баллы

Критерии оценивания учебных достижений учащихся

І. Начальный

1

Ученик (ученица) распознает четные и нечетные числа; числа, которые делятся нацело на 5, 10. Читает и записывает простые и составные числа (в пределах сотни).

2

Ученик (ученица) выбирает четные и нечетные числа; числа, которые делятся нацело на 3, 5, 9, 10; простые и составные числа и объясняет свой выбор.

3

Ученик (ученица) находит делители и кратные данных чисел (в пределах сотни); с помощью учителя определяет, делится ли данное число на 2, 3, 5, 9, 10, является ли данное число простым или составным, используя таблицу простых чисел.

ІІ. Средний

4

Ученик (ученица) формулирует определения понятий: делитель, кратное, простое число, составное число, общий делитель, общее кратное; признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10. Выполняет по образцу задания обязательного уровня: находит делители и кратные данных чисел; находит общие делители и общие кратные данных чисел; раскладывает числа на простые множители (в пределах сотни).

5

Ученик (ученица) приводит примеры простых и составных чисел; чисел, которые делятся нацело на 2, 3, 5, 9, 10. Устанавливает, является ли одно число кратным другому; записывает ряд чисел, кратных данному числу; умеет проверять, является ли одно число делителем другого; находит делители данного числа; умеет раскладывать числа на простые множители, используя признаки делимости чисел и таблицу простых чисел. Формулирует определение общего делителя (НОД); с помощью учебника описывает правило нахождения НОД двух чисел; умеет находить общие делители и НОД двух чисел. Формулирует определение общего кратного, наименьшего общего кратного (НОК); описывает правило нахождения НОК двух чисел; умеет находить общие кратные и НОК двух чисел.

6

Ученик (ученица) формулирует и иллюстрирует своими примерами определения делителя, кратного, простого числа, составного числа, взаимно простых чисел, общего делителя, общего кратного, признаков делимости на 2, 3, 5, 9, 10. Описывает правила нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного нескольких чисел; решает упражнения, которые предусматривают: признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, разложение натуральных чисел на простые множители, нахождение общих делителей и общих кратных двух-трех чисел, НОД и НОК двух-трех чисел. Использует понятия НОД и НОК при решении несложных задач.

ІІІ. Достаточный

7

Ученик (ученица) использует определения признаков делимости на 2, 3, 5, 9, 10, делителя, кратного, простого числа, составного числа, взаимно простых чисел, общего делителя, общего кратного при решении заданий в знакомых ситуациях. Раскладывает натуральные числа на простые множители, находит НОД и НОК двух-трех чисел, использует понятие НОД и НОК при решении задач. Самостоятельно исправляет указанные ошибки; решает задания, предусмотренные программой, без достаточных пояснений.

8

Ученик (ученица) владеет учебным материалом и решает задания, предусмотренные программой: с использованием признаков делимости на 2, 3, 5, 9, 10; разложения натуральных чисел на простые множители; нахождения общих делителей и общих кратных двух-трех чисел, НОД и НОК двух-трех чисел; использования понятий НОД и НОК при решении задач и др. с частичными пояснениями.

9

Ученик (ученица) свободно владеет понятиями делителя, кратного, простого числа, составного числа, взаимно простых чисел, общего делителя, общего кратного, признаков делимости на 2, 3, 5, 9, 10, определенных программой. Самостоятельно выполняет задания в знакомых ситуациях с достаточным пояснением; исправляет допущенные ошибки; полностью аргументирует решение заданий, которые предусматривают: признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, разложение натуральных чисел на простые множители, нахождение общих делителей и общих кратных двух-трех чисел, НОД и НОК двух-трех чисел. Использует понятия НОД и НОК при решении практических задач с достаточным пояснением.

ІV. Высокий

10

Знания, умения и навыки ученика (ученицы) полностью соответствуют требованиям программы, а именно: ученик (ученица) осознает признаки делимости чисел на 4, 25, 11, умеет их использовать; умеет записывать формулы четного, нечетного чисел, чисел, кратных 3, 5 и т. д.; доказывать признаки делимости на 9 (на 3), умеет составлять таблицу простых чисел. Под руководством учителя находит источники информации и самостоятельно использует их; решает задания с полным объяснением и обоснованием.

11

Ученик (ученица) свободно и правильно высказывается по признакам делимости натуральных чисел, по понятиям делителя, кратного, простого числа, составного числа, взаимно простых чисел, общего делителя, общего кратного и т.д. и убедительно аргументирует их; самостоятельно находит источники информации и работает с ними, использует полученные знания и умения в незнакомых ситуациях; знает, предусмотренные программой, основные методы решения заданий и умеет их использовать с необходимым обоснованием.

12

Ученик (ученица) выявляет вариативность мышления и рациональность в выборе способа решения задач на делимость натуральных чисел; умеет обобщать и систематизировать полученные знания по теме; способен(а) к решению нестандартных задач и упражнений.
































Календарно – тематическое планирование по математике в 6 классе на тему


«Делимость натуральных чисел»


п/п


Тема модуля

Кол-во модулей (1 модуль = 60 мин.)


Дата


Учебник1


Дидактические материалы2


1

Делители натурального числа

1


§1 п.1 стр.6

В-2 №1


2

Признаки делимости на 2, 5 и 10.


1


§1 п.2 стр.9

В-1 №1

В-3 №2

В-4 №2


3

Признаки делимости на 9 и на 3.


1


§1 п.3 стр.13

В-1 №1

В-3 №2

В-4 №3



4

Простые и составные числа. Самостоятельная работа.


1


§1 п.4 стр.17

В-1 №2


5

Разложение натуральных чисел на простые множители.


1


§1 п.5 стр.21

В-1 №3

В-2 №3

В-4 №3



6

Наибольший общий делитель (НОД). Взаимно простые числа.



1


§1 п.6 стр.25

В-1 №3

В-2 №2

В-2 №3

В-3 №1

В-3 №3

В-4 №1



7

НОД. Решение задач. Самостоятельная работа.


1


§1 п.6 стр.25

В-1 №3

В-2 №3

В-4 №3


8

Кратные натурального числа. Наименьшее общее кратное (НОК).


1


§1 п.7 стр.29

В-2 №1

В-4 №3


9

НОК. Решение задач.


1


§1 п.7 стр.29

В-3 №3

В-4 №3


10

Обобщение и систематизация знаний по теме «Делимость натуральных чисел». Контрольная работа.


1



§1 пп.1-7

В1 – В4

11

Анализ результатов контрольной работы.

1


§1 пп.1-7

В1 – В4



1 Янченко Галина, Кравчук Василий Математика: Учебник для 6 класса. - Тернополь: Підручники і посібники, 2006. - 272 с.


2 Федченко Л. Я. Тематичні і підсумкові контрольні роботи з математики для 6 класу: Методичний посібник. – Донецьк: «Каштан», 2009. - 146 с.



























Справочный материал по теме


«Делимость натуральных чисел»

(математика, 6 класс)


І. Делители натурального числа.

Четные и нечетные натуральные числа. Число 0.


  1. Если одно число делится на другое без остатка, говорят, что первое число делится на второе.


- Каждое натуральное число делится на 1 и само на себя.

- Многие натуральные числа делятся не только на 1 и сами на себя, но и на другие натуральные числа.


Например: Число 15 делится на 1, 3, 5, 15.


  1. Делителем натурального числа а называется натуральное число, на которое а делится без остатка.


Например: Делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.


  1. Кратным натуральному числу а называется натуральное число, которое делится без остатка на а.


- Каждое натуральное число имеет бесконечное множество кратных. Их можно получить, если данное число умножить на 1, 2, 3 и т.д.


Например: Кратными числа 7 будут числа: 7 · 1 = 7; 7 · 2 = 14; 7 · 3 = 21 и т.д.


- Число 0 кратно любому натуральному числу, поскольку 0 делится без остатка на любое натуральное число.

- Наименьшим из кратных натурального числа является само это число.

- Слово делится (без остатка) и кратно заменяют друг друга.

Например: 45 делится на 9 или 45 кратно 9.


  1. Числа, которые делятся на 2, называются четными. Число 0 также относится к четным числам. Остальные числа называются нечетными.


Например: Четные числа: 272; 116; 4900; 5724.

Нечетные числа: 115; 123; 427; 5001.


- 0, 2, 4, 6, 8 – четные цифры;

- 1, 3, 5, 7, 9 – нечетные цифры.



Опорный конспект 1 ОК 1

Делимость чисел

Если а, b и с – натуральные числа и а = b · с, то

а делится на b, Например: 16 = 8 · 2, значит.

а кратно b, 16 делится на 8; 16 кратно 8;

b – делитель а. 8 делитель 16.



ІІ. Признаки делимости натуральных чисел.

  1. Признаки делимости натуральных чисел на 2, 5, 10.


- На 2 делятся те и только те натуральные числа, которые заканчиваются четной цифрой. (3984 : 2 = 1992)

- На 5 делятся те и только те натуральные числа, которые заканчиваются нулем или цифрой 5. (5 : 5 = 1; 250 : 5 = 50)

- На 10 делятся те и только те натуральные числа, которые заканчиваются цифрой 0. (2910 : 10 = 291)


  1. Признаки делимости натуральных чисел на 9 и на 3.

- На 9 делятся те и только те натуральные числа, сумма цифр которых делится на 9.

Например: Число 76455 делится на 9, поскольку сумма его цифр: 7 + 6 + 4 + 5 + 5 = 27 делится на 9.

- На 3 делятся те и только те натуральные числа, сумма цифр которых делится на 3.

Например: Число 75432 делится на 3, поскольку сумма его цифр: 7 + 5 + 4 + 3 + 2 = 21 делится на 3.

Число 5796 делится и на 3, и на 9: 5 + 7 + 9 + 6 = 27.

27 делится на 3 и на 9.

Опорный конспект 2 ОК 2

Признаки делимости

hello_html_7d65a54e.gifhello_html_4ace810f.gifhello_html_7d65a54e.gif 2 - четные числа! четную цифру

hello_html_mb60b119.gifhello_html_4a41f93a.gifhello_html_m142d438f.gifhello_html_1d06507b.gifhello_html_m142d438f.gifhello_html_m31fb7673.gifа делится на 10 если заканчивается на 0

5 0 или 5


hello_html_7d65a54e.gifhello_html_m7292c3b4.gif 3

hello_html_m31fb7673.gifhello_html_7d65a54e.gifЕсли сумма цифр числа а делится на то

9

hello_html_7d65a54e.gif 3

hello_html_m2724433d.gif а делится на

9

Например:

196 делится на 2; 582 делится на 3, т.к. 5 + 8 + 2 = 210 делится на 10; = 15, 15 делится на 3.

hello_html_m7292c3b4.gif745 189 делится на 9, т.к. 1 + 8 + 9 =

hello_html_7d65a54e.gif делится на 5; = 18, 18 делится на 9.

210

ΙΙΙ. Простые и составные числа.

  1. Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число.

- Первыми десятью простыми числами являются 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

- Наименьшим простым числом является число 2, наибольшее простое число найти невозможно.

2. Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей.

Например: Составные числа: 98, 228, 824, 1002.

  1. Число 1 имеет только один делитель, само это число, поэтому, его не относят ни к составным, ни к простым числам.



Опорный конспект 3 ОК 3

Простые и составные числа


Если а делится только на 1 и на а, то апростое число.

Если а делится не только на 1 и на а, то а составное число.

1 не является составным и не является простым!


Например:


3 делится только на 1 и на 3, значит, 3 – простое число;

4 делится на 1, на 2 и на 4, значит, 4 – составное число.





ΙV. Разложение чисел на простые множители.

  1. Каждое составное число можно представить в виде произведения хотя бы двух множителей, отличных от 1.

  2. Если составное число представлено в виде произведения только простых чисел, говорят, что составное число разложено на простые множители.

Например:

28 = 4 · 7 = 2 · 2 · 7 = 22 · 7;

30 = 2 · 3 · 5;

54 = 2 · 3 · 3 · 3 = 2 · 33;

900 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 =22 · 32 · 52.


Опорный конспект 4 ОК 4

Разложение составных чисел на простые множители

1. Каждое составное число можно разложить на 2 или больше простых множителей.

Например: 15 = 3 · 5; 26 = 2 · 13; 27 = 3 · 3 · 3 = 33.

2. Чтобы разложить составное число на простые множители, выполняй действия подобно примеру:

hello_html_m54e136e9.gifhello_html_m54e136e9.gifhello_html_m54e136e9.gifhello_html_m54e136e9.gif 2100 2 делится на 2

1050 2 делится на 2

525 3  делится на 3

175 5 делится на 5

35 5 делится на 5

7 7 делится на 7

1

Итак, 2100 = 22 · 3 · 52 · 7 – разложение числа 2100 на простые множители.

Оно единственное.

Любая комбинация простых множителей из разложения числа является делителем этого числа.


V. Общий делитель нескольких чисел.

Наибольший общий делитель.

  1. Наибольшим общим делителем двух натуральных чисел называется наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из данных чисел.

Например: Делители числа 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45;

Делители числа 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30;

Общие делители – 1, 3, 5, 15. Наибольший из них 15.

Поэтому НОД(30, 45) = 15.


  1. Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел, нужно:

- разложить данные числа на простые множители;

- найти (подчеркнуть) все общие простые множители в полученных разложениях;

- найти произведение общих простых множителей.

- По этому же правилу можно найти наибольший общий делитель для трех и более чисел.

Например: а) Найти НОД(36, 54).

36 = 2 · 2 · 3 · 3; 54 = 2 · 3 · 3 · 3;

НОД(36, 54) =2 · 3 · 3 = 18.

бhello_html_mb689f5b.gifhello_html_6efeebcc.gif) Найти НОД(360, 840).

360 2 840 2 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5

180 2 420 2 840 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 7

90 2 210 2

45 3 105 3

15 3 35 5

5 5 7 7

1 1


НОД(360, 840) = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 120.

  1. Если данные числа не имеют общих простых множителей, то наибольшим общим делителем этих чисел будет число 1.

Натуральные числа, наибольший общий делитель которых равен 1, называют взаимно простыми числами.

Например: Числа 8 и 21 взаимно простые, так как 8 = 2 · 2 · 2; 21 = 3 · 7; НОД(8, 21) = 1.

  1. Если одно натуральное число делится на другое, то меньшее число и является наибольшим общим делителем данных чисел.

Например: НОД(36, 18) = 18, так как 36 : 18 = 2.


Опорный конспект 5 ОК 5

НОД(а, b)

hello_html_m3c235b34.gif1) 18 делится на: 1; 2; 3; 6; 9; 18. 12 делится на: 1; 2; 3; 4; 6; 12.

hello_html_3e2e2dd9.gif1, 2, 3, – общие делители чисел 18 и 12.

НОД(18, 12)

hello_html_645808b7.gifhello_html_4cbb7abc.gif2) Как найти НОД(18, 12) с их разложения на простые множители?

а) 18 3 12 2

6 3 6 2

2 2 3 3

1 1

б) 18 = 2 · 32; 12 = 22· 3; в) НОД(18, 12) = 2 · 3 = 6

3) если НОД(а,b) = 1, то а и bвзаимно простые числа.

Например: а = 2 · 3 · 5; b = 7 · 11 · 13.

НОД(а, b) = 1; а, b - взаимно простые числа.



VІ. Общее кратное нескольких чисел.

Наименьшее общее кратное.

  1. Наименьшим общим кратным двух натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел.

Например: Числа, кратные 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36… .

Числа, кратные 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36… .

Общие кратные чисел 3 и 4: 12, 24, 36… , наименьшее из них 12.

Поэтому НОК(3, 4) = 12.

  1. Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, нужно:

- разложить их на простые множители;

- выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;

- добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;

- найти произведение полученных множителей.

Нhello_html_645808b7.gifhello_html_645808b7.gifhello_html_m75498e95.gifапример: а) Найдем НОК(50, 180),

50 2 180 2 50 = 2 · 5 · 5

25 5 90 2

5 5 45 3 180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5

1 15 3

5 5

1


НОК(50, 180) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 = 900.

б) Найдем НОК(4, 6, 12).

4 = 2·2; 6 = 2·3; 12 = 2·2·3.

НОК(4, 6, 12) = 2·2·3·2 = 24.

  1. Если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел.

Например: НОК(12,15,60) = 60, поскольку 60 : 12 = 5, 60 : 15 = 4.









Опорный конспект 6 ОК 6

НОК(а, b)

Числа, кратные 15: 15; 30; 45; 60; 75; 90; 105; 120;…

Числа, кратные 20: 20; 40; 60; 80; 100; 120;…

hello_html_3e2e2dd9.gif 60, 120,… – общие кратные чисел 15 и 20..

НОК(15, 20)

hello_html_645808b7.gifhello_html_4cbb7abc.gif а)

15 5 20 2

3 3 10 2

1 5 5

1

б) 15 = 3 · 5; 12 = 22· 5; в) НОК(15, 20) = 22· 3 · 5 = 60

(а) (b) (а; b)

Замечание. Общие кратные 15 и 20 – это числа вида НОК(15; 20) · n, где n,- натуральное число.




Опорный конспект 7 ОК 7

НОК(а;b) · НОД(а;b) = аb


а) Если НОД(а;b) = 1 (а, b – взаимно простые), то НОК(а;b) = аb.


Например: НОД(12;13) = 1 (последовательные числа), поэтому

НОК(12;13) = 12 · 13.


б) Если а делится на b, то НОК(а;b) = а; НОД(а;b) = b


Например: 24 hello_html_222902f.gif 12, поэтому НОК(24; 12) = 24; НОД(24;12) =12.







VІI. Углубление знаний.


1. Формула четного числа: n = 2k, где k – натуральное число

2. Формула нечетного числа: n = 2k + 1; n = 2k - 1,

где k – натуральное число.

3. Формула числа, кратного 3: n = 3k; кратного 7: n = 7k; и т. д.

4. Совершенные числа.

Число, которое равно сумме своих делителей, без самого числа, называется совершенным числом.

Например: 6 = 1 + 2 + 3; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14; 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.

5. Дружественные числаэто числа, каждое из которых равно сумме делителей другого числа, не считая его самого.

Например, числа 220 и 284 Пифагор назвал дружественными.

6. Признак делимости на 4.

Натуральное число делится на 4, если две его последние цифры образуют число, которое делится на 4, или последние цифры – нули.

Например: 2132 hello_html_222902f.gif4, так как последние две цифры образуют число 32, которое делится на 4;

448 hello_html_222902f.gif4 (48 : 4 = 12);

1100 hello_html_222902f.gif4, так как две последние цифры – нули.

7. Признак делимости на 25.

Натуральное число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры либо 25, либо 50, либо 75, либо нули.

Например: 72175 hello_html_222902f.gif 25, 2450 hello_html_222902f.gif25, 4200 hello_html_222902f.gif25.

  1. Признак делимости на 8.

Натуральное число делится на 8, если три его последние цифры образуют число, которое делится на 8.

Например: 5064 hello_html_222902f.gif8, 15160 hello_html_222902f.gif8.

  1. Признак делимости на 11.

Натуральное число делится на 11, если суммы цифр на четных и нечетных местах дают в разности число, которое делится на 11.

Например: 10824 hello_html_222902f.gif11, 1 + 8 + 4 = 13; 0 + 2 = 2; 13 – 2 = 11; 11 hello_html_222902f.gif11.

9493 hello_html_222902f.gif11, 9 + 9 = 18; 4 + 3 = 7; 18 – 7 = 11; 11 hello_html_222902f.gif11.

10. Алгоритм Евклида.

Чтобы найти НОД двух натуральных чисел, нужно большее число разделить на меньшее, потом меньшее число делим на остаток от деления, а потом остаток от первого деления делим на остаток от второго деления и т. д. Последний в этом процессе остаток, отличный от нуля, и будет НОД данных чисел.

Например: НОД(102; 84) = НОД(84; 18) = НОД(18; 12) = НОД(12; 6) = НОД(6; 0) = 6




Справочный материал по повторению

при изучении темы

«Делимость натуральных чисел»

(математика, 6 класс)


  1. Натуральные числа.

Натуральными числами называются числа, используемые для счета предметов.

  1. Цифры.

Для записи чисел используются специальные знаки – цифры (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0). С помощью десяти цифр можно записать любое натуральное число.

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 называются однозначными.

Все числа от 10 до 99 двузначные.

Многозначные: 124, 100, 573, 1000, 27965 и т.д.

  1. Натуральный ряд чисел.

Ряд чисел, расположенных в порядке счета: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12…, называется натуральным рядом чисел.

  1. Свойства натурального ряда чисел:

- первым натуральным числом является единица (наименьшее натуральное число);

- любое натуральное число можно увеличить на единицу и получить натуральное число, следующее за ним;

- последнего натурального числа не существует, то есть натуральный ряд чисел бесконечен.

  1. Позиционные системы счисления – это системы, в которых числа записываются с помощью ограниченного количества знаков (цифр), значение которых зависит от их места (позиции) в данном числе.

Десятичная система счисления – позиционная.

  1. Сравнение натуральных чисел.

Результат сравнения чисел записывается в виде неравенства с помощью знаков: < (меньше), > (больше), hello_html_m7ceebba.gif (меньше или равно), hello_html_m78774d40.gif (больше или равно).

Например: 3 < 7 (три меньше семи); х hello_html_m78774d40.gif 5 ( х больше либо равно пяти).

Из двух натуральных чисел больше то, в записи которого больше разрядов. Если же в записи чисел одинаковое число разрядов, тогда их сравнивают поразрядно, начиная со старшего разряда.

Например: 8952 > 6948; 8952 < 8957.

  1. Двойное неравенство.

Если число 7 меньше 9, но больше 5, тогда записывают так: 5 < 7 < 9 - это двойное неравенство.

  1. Умножение натуральных чисел.

Умножить число m на натуральное число n – значит найти сумму n-слагаемых, каждое из которых равно m. Выражение m·n и значение этого выражения называют произведением чисел m и n. Числа m и n называют множителями.

Например: 7 · 5 = 35; 7 и 5 – множители, 35 – произведение.

Сhello_html_m7d704420.gifумма n-слагаемых, каждое из которых равно 1, равно n. 1· n = n

Сhello_html_79dc2969.gifумма n-слагаемых, каждое из которых равно нулю, равно нулю.

0 · n = 0


  1. Деление натуральных чисел.

Действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей находят другой множитель, называют делением. Число, которое делят, называют делимым. Число, на которое делят, - делителем. Результат деления называют частным.

Нhello_html_m605d8980.gifапример: 18 : 2 = 9; 18 – делимое, 2 – делитель. 9 – частное.

При делении любого числа на 1, получают это же число. а : 1 = а

Пhello_html_m7d704420.gifри делении числа на себя, получается единица. а : а = 1

Пhello_html_m605d8980.gifри делении нуля на число, получается ноль. 0 : а = 0

На ноль делить нельзя.

  1. Деление с остатком.

Деление одного натурального числа на другое нацело не всегда возможно. Иногда получается деление с остатком. Остаток всегда меньше делителя. Если остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель без остатка или, иначе говоря, нацело.

Чтобы найти делимое при делении с остатком, надо умножить неполное частное на делитель и к полученному произведению прибавить остаток.

  1. Квадрат и куб числа.

Произведение 5 · 5 называют квадратом числа 5 и обозначают 52.

Произведение n · n называют квадратом числа n и обозначают n2 (читают: «эн в квадрате»). n2 = n · n

Произведение 4 ·4 · 4 называют кубом числа 4 и обозначают 43.

Произведение n · n · n называют кубом числа n и обозначают n3 (читают: «эн в кубе»). n3 = n · n · n


































Поэлементный анализ учебных достижений учащихся по теме

и по повторению этой темы



справки

Контрольные моменты

п/п

Уровни

6 класс. ТКР Делимость натуральных чисел.


I. 4, ІІ.1

ОК 2

Распознавание четных и нечетных чисел

1

І уровень (1б. – 3б.)


ІІ.1, ІІ.2

ОК 2

Распознание и запись чисел, которые делятся нацело на 3, 5, 9, 10

2


IІІ.1, IІІ.2

ОК 3

Чтение и запись простых и составных чисел (в пределах сотни)

3


I 1, I. 2

Нахождение делителей данного числа (в пределах сотни)

4


IV.1, IV.2

ОК 4

Разложение числа на простые множители (в пределах сотни)

5


V.1, V.2

ОК 5 (1, 2)

Нахождение НОД двух чисел (в пределах сотни) с помощью учителя или по образцу

6


V.3,

ОК 5 (3)

Распознание взаимно простых чисел с помощью учителя или по образцу

7


ІІ.1, ІІ.2

ОК 2

Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10


1

ІІ уровень (4б. – 6б.)


ІІ.1, ІІ.2

ОК 2

Нахождение чисел, кратных 2, 3, 5, 9, 10

2


IІІ.1, IІІ.2

ОК 3

Определение простых и составных чисел

3


IІІ.1, IІІ.2

ОК 3

Нахождение простых и составных чисел в заданном диапазоне

4


I 1, I. 2

Нахождение делителей числа


5


IV.1, IV.2

ОК 4

Разложение натуральных чисел на простые множители

6


V.2

ОК 5 (2)

Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя двух чисел

7


V.1, V.2

ОК 5 (1, 2)

Нахождение наибольшего общего делителя двух чисел

8


V.3,

ОК 5 (3)

Определение взаимно простых чисел


9


VІ. 2, ОК 6

Алгоритм нахождения наименьшего общего кратного двух чисел

10


VІ. 1, VІ. 2,

ОК 6

Нахождение наименьшего общего кратного двух чисел

11


ІІ.1, ІІ.2

ОК 2

Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10


1

ІІІ уровень (7б. – 9б.)


6 класс. ТКР Делимость натуральных чисел.


ІІ.1, ІІ.2

ОК 2

Использование признаков делимости для нахождения чисел, кратных 2, 3, 5, 9, 10


2


ІІ.1, ІІ.2

ОК 2

Использование нескольких признаков делимости одновременно для нахождения чисел, кратных данному числу


3


ІІ.1, ІІ.2

ОК 2

Использование признаков делимости для нахождения чисел, кратных данному числу в заданном диапазоне

4


IІІ.1, IІІ.2

ОК 3

Определение простых и составных чисел

5


IІІ.1, IІІ.2

ОК 3

Нахождение простых и составных чисел в заданном диапазоне

6


V.2

ОК 5 (2)

Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя двух-трех чисел

7


V.1, V.2

ОК 5 (1, 2)

Нахождение наибольшего общего делителя двух-трех чисел

8


V.3,

ОК 5 (3)

Использование понятия НОД для определения взаимно простых чисел

9


VІ. 2, ОК 6

Алгоритм нахождения наименьшего общего кратного двух-трех чисел

10


VІ. 1, VІ. 2,

ОК 6

Нахождение наименьшего общего кратного двух-трех чисел

11


V.1, V.2

ОК 5 (1, 2)

Использование понятия НОД чисел для решения практических задач

12


VІ. 1, VІ. 2,

ОК 6

Использование понятия НОК чисел для решения практических задач

13


V.1, 2,

VІ.1, 2,

ОК 5, ОК 6

Использование понятия НОД и НОК чисел для решения практических задач

14


ІІ.1, ІІ.2

ОК 2

Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10


1

ІV уровень (10б. – 12б.)




ІІ.1, ІІ.2

ОК 2

Использование признаков делимости для нахождения чисел, кратных 2, 3, 5, 9, 10


2


I.3, ІІ.1, ІІ.2

ОК 2

Использование нескольких признаков делимости одновременно для нахождения чисел, кратных данному числу


3


I.3, ІІ.1, ІІ.2

ОК 2

Использование признаков делимости для нахождения чисел, кратных данному числу в заданном диапазоне

4


I.3, ІІ.1, ІІ.2

ОК 2

Использование нескольких признаков делимости одновременно для составления чисел из заданных цифр, кратных данному числу


5


I.3, ІІ.1, ІІ.2

ОК 2

Использование признаков делимости для нахождения неизвестных цифр чисел, кратных данному числу

6


IІІ.1, IІІ.2

ОК 3

Определение простых и составных чисел

7


IІІ.1, IІІ.2

ОК 3

Нахождение простых и составных чисел в заданном диапазоне

8


V.2

ОК 5 (2)

Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя двух-трех чисел

9


V.1, V.2

ОК 5 (1, 2)

Нахождение наибольшего общего делителя двух-трех чисел

10


V.3,

ОК 5 (3)

Использование понятия НОД для определения взаимно простых чисел

11


VІ. 2, ОК 6

Алгоритм нахождения наименьшего общего кратного двух-трех чисел

12


VІ. 1, VІ. 2,

ОК 6

Нахождение наименьшего общего кратного двух-трех чисел

13


V.1, V.2

ОК 5 (1, 2)

Использование понятия НОД чисел для решения практических задач

14


VІ. 1, VІ. 2,

ОК 6

Использование понятия НОК чисел для решения практических задач

15


V.1, 2,

VІ.1, 2,

ОК 5, ОК 6

Использование понятия НОД и НОК чисел для решения практических задач

16


V.1, V.2

ОК 5 (1, 2)

Использование понятия НОД нескольких чисел для решения нестандартных задач

17


VІ. 1, VІ. 2,

ОК 6

Использование понятия НОК нескольких чисел для решения нестандартных задач

18


V.1, 2,

VІ.1, 2,

ОК 5, ОК 6

Использование понятия НОД и НОК нескольких чисел для решения нестандартных задач

19


1

Натуральные числа

1

Повторение


6 класс. ТКР Делимость натуральных чисел.


2

Цифры

2


3

Натуральный ряд чисел

3


4

Свойства натурального ряда чисел

4


5

Сравнение натуральных чисел

5


6

Двойное неравенство

6


7

Умножение натуральных чисел

7


8

Деление натуральных чисел

8


9

Деление с остатком

9


10

Квадрат и куб числа

10







Поэлементный анализ заданий ТКР соответственно

уровням учебных достижений




hello_html_m532e1c77.gif

6 класс. ТКР Делимость натуральных чисел.

Вариант 1

Задание 1

Лучший результат

Задание 2

Лучший результат

Задание 3

Лучший результат















Сумма баллов

Уровни

I

II

III

IV

I

II

III

IV

I

II

III

IV

Контрольные моменты

Использование признаков делимости на 2, на 5 для распознания четных чисел, чисел, кратных 5

Использование признаков делимости на 3, на 9

Нахождение суммы цифр числа и деление суммы на 3, на 9

Использование признаков делимости на 2, на 3, на 5

Использование нескольких признаков делимости одновременно

Использование нескольких признаков делимости одновременно

Составление трехзначных чисел, которые кратны заданным числам

Нахождение простых или составных чисел, которые расположены между заданными числами

Нахождение всех делителей заданного числа

Выбор простых или составных чисел из данных

Нахождение простых или составных чисел из заданного диапазона

Нахождение всех простых или составных чисел из заданного диапазона

Нахождение простых чисел из заданного диапазона



Использование двойного неравенства для нахождения простых чисел

Разложение заданного числа (в пределах сотни) на простые множители

Разложение чисел на простые множители

Нахождение наибольшего общего делителя двух чисел

Определение типа задачи: нахождение НОД или НОК

Разложение двух чисел на простые множители

Нахождение НОД двух чисел

Анализ результата

Определение типа задачи: нахождение НОД или НОК

Разложение двух чисел на простые множители

Нахождение НОК двух чисел

Анализ результата

справки






























Кол-во баллов































6 класс. ТКР Делимость натуральных чисел.

Вариант 2

Задание 1

Лучший результат

Задание 2

Лучший результат

Задание 3

Лучший результат















Сумма баллов

Уровни

I

II

III

IV

I

II

III

IV

I

II

III

IV

Контрольные моменты

Нахождение всех делителей числа (в пределах сотни)

Использование признаков делимости на 3, на 9

Нахождение трехзначных чисел, кратных заданному числу

Использование признаков делимости на 3, на 5

Использование двойного неравенства для нахождения чисел, кратных данному

Использование нескольких признаков делимости одновременно

Использование двойного неравенства для нахождения чисел, кратных данному

Используя признаки делимости, определение, являются ли заданные числа взаимно простыми

Разложение двух чисел (в пределах сотни) на простые множители

Нахождение НОД двух чисел и анализ результата

Разложение двух чисел на простые множители

Нахождение НОД двух чисел и анализ результата

Разложение двух чисел на простые множители

Нахождение НОД двух чисел и анализ результата

Разложение заданного числа (в пределах сотни) на простые множители

Разложение двух чисел на простые множители

Нахождение наибольшего общего делителя двух чисел

Определение типа задачи: нахождение НОД или НОК

Разложение нескольких чисел на простые множители

Нахождение НОД нескольких чисел

Анализ результата

Определение типа задачи: нахождение НОД или НОК

Разложение нескольких чисел на простые множители

Нахождение НОД нескольких чисел

Анализ результата

справки






























Кол-во баллов































6 класс. ТКР Делимость натуральных чисел.

Вариант 3

Задание 1

Лучший результат

Задание 2

Лучший результат

Задание 3

Лучший результат















Сумма баллов

Уровни

I

II

III

IV

I

II

III

IV

I

II

III

IV

Контрольные моменты

Использование признака делимости на 2, на 3 для определения взаимно простых чисел

Разложение двух чисел (в пределах сотни) на простые множители

Нахождение наибольшего общего делителя двух чисел и анализ результата

Разложение двух чисел на простые множители

Нахождение наибольшего общего делителя двух чисел и анализ результата

Разложение двух чисел на простые множители

Нахождение наибольшего общего делителя двух чисел и анализ результата

Использование признаков делимости на 3, на 9

Использование признака делимости на 2

Нахождение четных или нечетных чисел в заданном диапазоне

Использование признаков делимости на 2, на 3, на 5

Использование двойного неравенства для нахождения чисел, кратных данному числу

Использование признаков делимости на 3, на 5 одновременно

Составление трехзначных чисел из данного набора цифр, удовлетворяющих заданному условию

Нахождении наибольшего общего делителя двух чисел (в пределах сотни)

Разложение двух чисел на простые множители

Нахождение наибольшего общего делителя двух чисел

Определение типа задачи: нахождение НОД или НОК

Разложение нескольких чисел на простые множители

Нахождение НОД, НОК нескольких чисел

Анализ результата

Определение типа задачи: нахождение НОД или НОК

Разложение нескольких чисел на простые множители

Нахождение НОК нескольких чисел

Анализ результата

справки






























Кол-во баллов































6 класс. ТКР Делимость натуральных чисел.

Вариант 4

Задание 1

Лучший результат

Задание 2

Лучший результат

Задание 3

Лучший результат















Сумма баллов

Уровни

I

II

III

IV

I

II

III

IV

I

II

III

IV

Контрольные моменты

Использование признаков делимости на 2, на 3 для определения взаимно простых чисел

Разложение двух чисел (в пределах сотни) на простые множители

Нахождение наибольшего общего делителя двух чисел и анализ результата

Разложение двух чисел на простые множители

Нахождение наибольшего общего делителя двух чисел и анализ результата

Разложение чисел на простые множители с использованием признаков делимости чисел

Нахождение пар взаимно простых чисел

Использование признаков делимости на 2, на 5

Использование признаков делимости на 3, на 9

Нахождение сумм цифр заданных чисел

Использование признаков делимости на 2, на 3, на 5, на 9

Использование нескольких признаков делимости одновременно

Использование признаков делимости на 3, на 9

Нхождени неизвестных цифр числа, , удовлетворяющему заданному условию

Разложении числа на простые множители (в пределах сотни)

Разложение двух чисел на простые множители

Нахождение наименьшего общего кратного двух чисел

Определение типа задачи: нахождение НОД или НОК

Разложение двух чисел на простые множители

Нахождение НОД, НОК двух чисел

Анализ результата

Определение типа задачи: нахождение НОД или НОК

Разложение двух чисел на простые множители

Нахождение НОК, НОД двух чисел

Анализ результата

справки






























Кол-во баллов






























Литература


  1. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. Математика, 5 – 12 класи.

  2. Федченко Л.Я., Тематичні і підсумкові контрольні роботи з математики для 6 класу: Методичний посібник. – Донецьк: «Каштан», 2009. – 146 с.

  3. Янченко Галина, Кравчук Василий, Математика: Учебник для 6 класса. – Тернополь: Підручники і посібники, 2006. – 272 с.

  4. Шаповалова Л.В., Математика. 6 клас: Дворівнева методика викладання – Х.: Веста: Видавництво «Ранок», 2006. – 224 с.


Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 20.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров339
Номер материала ДВ-471790
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх