Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Практическая работа на тему "Приближенное интегрирование функций (формула трапеций)"

Практическая работа на тему "Приближенное интегрирование функций (формула трапеций)"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Практическая работа по теме «Приближенное интегрирование функций (формула трапеций)»


Цель работы. Научиться вычислять приближенно интегралы, используя некоторые приближенные формулы


Ход работы. 1. Прочитать теоретические сведения

2. Просмотреть применение формулы трапеций на примере

3 выполнить самостоятельно практическую работу

4. оформить по образцу слать на проверку

Пусть требуется вычислить определенный интеграл hello_html_5e5c11b9.gif от непрерывной функции hello_html_278687bc.gif. Если будет определена (найдена) первообразная функция hello_html_1a8625d9.gif подынтегральной функции, то величина определенного интеграла вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница

hello_html_fa1e930.gif

Если же первообразная функции не может быть найдена или функция hello_html_13ab80b0.gif задана графически или таблично, то для вычисления интеграла используют приближенные формулы, точность которых может быть сколь угодно большой.


Покажем это на примере применения формулы прямоугольников.


  1. Получим формулу прямоугольников. Для этого основание криволинейной трапеции аАВb разделим на n равных частей , т.е. длина основания каждого прямоугольника равна ∆Х. Площадь прямоугольника равна произведению основания на высоту (высота = f(xi) ; основание ∆Х )

  2. .hello_html_33817ecf.pngрис.1

hello_html_m4ab0c306.gif(1) называется формулой прямоугольников с недостатком. На рисунке (1) очевидно, что площадь криволинейной трапеции состоит из суммы площадей прямоугольников (прямоугольники закрашены разными цветами) и неокрашенных криволинейных треугольников, площади которых мы теряем при вычислении. Или формулу (1) можно записать следующим образом hello_html_m43163181.gif (2)

Рассмотрим 2 случай (ступенчатая фигура – описанная, а значит ее площадь будет больше площади криволинейной трапеции аАВb - рисунок 2). Поступим аналогично, а именно вычислим площадь каждого прямоугольника и найдем их сумму, т.е.

hello_html_m361b92af.pngрис. 2

  1. hello_html_mf63a8ad.gifhello_html_m53d4ecad.gif(3), где hello_html_3e946a3f.gif– Формулу (3) называют формулой прямоугольников с избытком

или формулу (3) можно кратко записать так: hello_html_m3096b775.gif (4)

  1. Пример 1. Вычислить hello_html_m34036efe.gif

Решение. 1) Разобьем промежуток интегрирования на 10 равных частей и используя формулу (2) вычислим данный интеграл по формуле прямоугольников с недостатком: hello_html_m34036efe.gif≈1*(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9) ≈1*45≈45.

2) Вычислим данный интеграл по формуле прямоугольников с избытком: hello_html_m34036efe.gif≈1*(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) ≈1*55 ≈ 55. Ответ. hello_html_m34036efe.gif интеграл по формуле прямоугольников с недостатком равен 45; hello_html_m34036efe.gif интеграл по формуле прямоугольников с избытком равен 55:


  1. Самостоятельно вычислить интегралы по формуле прямоугольников с недостатком и с избытком


1) hello_html_m2aa4c9ab.gif;

2)hello_html_m15354f6d.gif

3) hello_html_19ad9241.gif


Покажем это на примере применения формулы трапеции



Аналогично получим приближенную формулу трапеций hello_html_7caa0c79.gif (5)

  1. где hello_html_m6b9d1220.gif высота трапеции; hello_html_m774c91aa.gif — значения функций.

hello_html_2f589797.pngрис.3

  1. Из школьного курса математики известно, что площадь трапеции hello_html_600f02c2.pngрис.4

вычисляется по формуле:

  1. hello_html_m4a525a35.gif

  2. Тогда hello_html_m459f0ff9.gif(6)

Покажем это на примере применения формулы трапеции (5 или 6):



Покажем это на примере применения формулы трапеции

hello_html_7caa0c79.gif

где hello_html_m6b9d1220.gif высота трапеции; hello_html_m774c91aa.gif — значения функций.

Пример 1. Вычислить по формуле трапеций при n =5 приближенное значение определенного интеграла hello_html_220db4c4.gif

Решение. Формула трапеций для этого примера принимает следующий вид:

hello_html_5d7a7f77.gif

Значения hello_html_31c2b63c.gif определяются подстановкой в функцию hello_html_6cae0791.gif соответственных значений х:

hello_html_648558a1.gif

Подставив эти данные в формулу трапеции, получим

hello_html_m3b5955c0.gif


Пример 2. Вычислить интеграл hello_html_m76bd8a21.gif по формуле трапеций.

Решение. Разобьем промежуток интегрирования на 10 частей ( n =10) Следовательно, шаг h равен 0,1 (h = 0,1)

Абсцисса точек деления Хi ( i = 0,1,2,…, 10) и соответствующие им ординаты

hello_html_760c692c.gif

Промежуточные вычисления удобнее оформить в виде таблицы:

i

Xi

εiyi

0

0,0

0,5000

1

0,1

1,0050

2

0,2

1,0198

3

0,3

1,0440

4

0,4

1,0770

5

0,5

1,1180

6

0,6

1,1662

7

0,7

1,2207

8

0,8

1,2806

9

0.9

1,3454

10

1,0

1,7071

11,4838


По формуле 5 или 6): hello_html_m76bd8a21.gif≈0,1*11,4838=1,14838≈1,148

Можно вычислить точное значение интеграла

hello_html_7b51e0d6.gif


Вычислить самостоятельно

по формуле трапеций и сравнить результаты


1) hello_html_m2aa4c9ab.gif;

2)hello_html_m15354f6d.gif

3) hello_html_19ad9241.gif


Домашнее задание. 1) Самостоятельно изучить еще одну приближенную формулу: формула Симпсона или формула парабол. Подготовиться к практической работе на тему «Приближенные вычисления интегралов».

2) Отчет



Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 08.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров435
Номер материала ДВ-041298
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх