Практическая работа на тему "Приближенное интегрирование функций (формула трапеций)"

Практическая  работа по теме «Приближенное интегрирование функций (формула трапеций)»

Цель работы. Научиться вычислять приближенно интегралы, используя некоторые приближенные формулы

Ход работы.   1. Прочитать теоретические сведения

                         2. Просмотреть применение формулы трапеций на  примере

                        3 выполнить самостоятельно практическую работу

                       4. оформить по образцу слать на проверку

Пусть требуется вычислить определенный интеграл  от непрерывной функции  . Если будет определена (найдена)  первообразная функция  подынтегральной функции, то величина  определенного интеграла вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница

Если же первообразная функции не может быть найдена или функция  задана графически или таблично, то для вычисления интеграла используют приближенные формулы, точность которых может быть сколь угодно большой.

       Покажем это на примере применения формулы прямоугольников.

1)      Получим  формулу  прямоугольников.   Для этого  основание криволинейной трапеции   аАВb  разделим  на n  равных частей , т.е. длина основания каждого прямоугольника равна ∆Х. Площадь прямоугольника равна произведению основания на высоту  (высота  = f(x_i)  ;  основание ∆Х  )

2)      .рис.1

  (1) называется формулой прямоугольников с недостатком. На рисунке  (1)  очевидно, что площадь криволинейной трапеции состоит из суммы площадей прямоугольников (прямоугольники закрашены разными цветами) и неокрашенных криволинейных треугольников, площади которых мы теряем при вычислении.   Или  формулу (1) можно записать следующим образом    (2)

Рассмотрим 2 случай (ступенчатая фигура – описанная, а значит ее площадь будет больше площади криволинейной трапеции аАВb  - рисунок 2). Поступим аналогично, а именно вычислим площадь каждого прямоугольника и найдем их сумму, т.е.

рис. 2

3)      (3),  где – Формулу (3) называют формулой прямоугольников с избытком  

или формулу (3) можно кратко записать так:    (4)

4)       

5)       

6)      Пример 1.  Вычислить  

  Решение. 1)  Разобьем промежуток интегрирования на 10 равных частей и используя формулу (2) вычислим данный интеграл по формуле прямоугольников с недостатком:  ≈1*(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9) ≈1*45≈45.   

2)  Вычислим данный интеграл по формуле прямоугольников с избытком:  ≈1*(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) ≈1*55 ≈ 55.  Ответ.  интеграл по формуле прямоугольников с недостатком  равен  45;    интеграл по формуле прямоугольников с избытком   равен   55:

7)      Самостоятельно вычислить интегралы по формуле прямоугольников с недостатком и с избытком 

 1)   ;  

 2) 

 3)

Покажем это на примере применения формулы трапеции

Аналогично получим приближенную  формулу трапеций   (5)

8)      где    высота трапеции;    — значения функций.

рис.3

9)      Из школьного курса математики известно, что площадь трапеции рис.4

вычисляется по формуле: 

10) 

11)  Тогда (6)

Покажем это на примере применения формулы трапеции  (5 или  6):

 Покажем это на примере применения формулы трапеции

где    высота трапеции;    — значения функций.

Пример 1. Вычислить по формуле трапеций при n =5 приближенное значение определенного интеграла

Решение. Формула трапеций для этого примера принимает следующий вид:

Значения    определяются подстановкой в функцию    соответственных значений  х:

Подставив эти данные в формулу трапеции, получим

Пример 2.     Вычислить интеграл    по формуле трапеций.

Решение.   Разобьем промежуток интегрирования  на 10 частей ( n =10)  Следовательно,   шаг  h  равен 0,1  (h = 0,1)

Абсцисса точек деления  Х_i  ( i  = 0,1,2,…, 10)   и соответствующие им ординаты 

 

Промежуточные  вычисления удобнее оформить в виде таблицы:

i	Xi	εiyi
0	0,0	0,5000
1	0,1	1,0050
2	0,2	1,0198
3	0,3	1,0440
4	0,4	1,0770
5	0,5	1,1180
6	0,6	1,1662
7	0,7	1,2207
8	0,8	1,2806
9	0.9	1,3454
10	1,0	1,7071
∑		11,4838

По формуле 5 или 6):  ≈0,1*11,4838=1,14838≈1,148

Можно вычислить точное значение интеграла 

Вычислить самостоятельно

 по формуле трапеций и сравнить результаты

1)   ;  

 2) 

 3)

Домашнее задание. 1)  Самостоятельно  изучить еще одну приближенную формулу:  формула Симпсона или формула парабол.  Подготовиться к практической работе на тему «Приближенные вычисления интегралов».

2) Отчет