Практическая работа по математике для 11 класса "Вычисление пределов"

                                                  Максимова  Р.П.

                                       Иркутский  авиационный техникум  

 Практическая  работа   по теме:   Теория пределов.

Цель:   Научить   вычислять  пределы ,  раскрывать неопределённости, используя свойства,   теоремы  и  2  замечательных  предела

Задачи:   1.  Проверить понимание темы  «Теория пределов»

2. Проверить  умение использовать  свойства и теоремы о пределах   и вычислять  пределы и применяя  теорию пределов для решения физических задач

Оборудование:  Ноутбуки, компьютеры, учебник   Омельченко В.П., Э.В.Курбатова  - Математика: уч.пособие - изд8-е – Ростов  н/Д:  Феникс, 2013.- 320 с – (Среднее профессиональное  образование)

Формирование  компетенций  ОК 2,  ОК  6:

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, определять методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество. 
ОК 3. Решать проблемы, оценивать риски и принимать решения в нестандартных ситуациях.
 ОК 6. Работать в коллективе и команде, обеспечивать ее сплочение, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями 
             Подготовка к работе

1.                  Повторить основные понятия и определения  по учебнику Математика / Омельченко В.П.  с. 73 – 85

2.                  Просмотреть презентацию  по теме   «Теория пределов»:

              Основные теоремы о пределах

   (1)

   (1*), то из условий(1) и (1*) Þ    

   (2)       lim (x^m) = (lim x)^m (3)     (4)

   lim, если limy¹0(5)    lim (log_a x) = log_a (lim x) (6)

   Запомните, что

lim = 1, при х® 0 (Первый замечательный предел)

lim ⁿ = e, при  n ® ¥   -  число  е; е » 2,71828 — основание натуральных               логарифмов;   (логарифм числа х   по основанию е называется натуральным

 логарифмом и обозначается  ln x.

;      ( второй замечательный предел)

При  хà ¥; или при aà 0.

2.   Рассмотрите  решение следующих примеров:

Пример 1. Найти lim (x⁴ – 3x² + 16x + 1), при х® -1

Решение. lim (x⁴ – 3x² + 16x + 1) = (lim x⁴ – lim 3x² + 16x + 1) = [(lim x)⁴  - 3(lim x)² +16lim x +1] =

=(-1)⁴ – 3(-1)² + 16(-1) + 1 = -17         Ответ. - 17.

Примечание. Для нахождения предела целого или дробного рационального алгебраического выражения, если предел знаменателя не равен нулю, надо переменную x заменить ее пределом и произвести указанные в выражении действия. Например,

Пример 2. Найти  

Решение. Применить теорему о пределе дроби (частного) нельзя, т.к. при х®0

                  lim (5х³ -3х²)=0

До перехода к пределу следует упростить данную дробь:

 

Предел знаменателя

                  -3 ¹ 0

Применяя теперь теорему о пределе дроби (частного), получим:

Ответ. -2/3

Пример 3:   Найти

Решение.             Ответ. 0.

Пример 4. Найти

Решение. Числитель и знаменатель дроби превращаются в бесконечность, а их отношение не имеет смысла. Поэтому преобразуем дробь, разделив числитель и знаменатель дроби на наивысшую степень аргумента, т.е. на х³.

        Ответ. 1/2.

Пример 5. Найти

Решение. Применить теорему о пределе дроби нельзя, т.к. предел знаменателя равен нулю.

Перепишем данное выражение так:

, Применяя формулу    , получим:           Ответ. 4.

Пример 6. Найти

Решение. применить теорему о пределе частного нельзя, т.. при х=5 числитель и знаменатель обращаются в нуль. Перепишем данную дробь в виде

,

Переходя к пределу, получим:

 

 Ответ.

3. Вычисление пределов и раскрытие неопределенностей вида .

Самостоятельно решить задачи и  вычислить пределы:

1.      При параллельном соединении двух проводников, имеющих сопротивления r и r’ , общее        сопротивление R, соответствующей части электрической цепи, вычисляется по формуле

           Считая r известным, найти  

  Истолкуйте полученные результаты с точки зрения физики.

 2. Формула выпуклой линзы имеет вид:      

Расстояния  соответственно  предмета                                           и его изображения. – фокусное расстояние линзы (const); найти ; полученные результаты объяснить с точки зрения физики.

4.  Вычислить  следующие  пределы:

Итог занятия

Оформить отчет и   сдать на  проверку

Домашнее  задание.     Решить (на выбор ) любые 2задачи с последующим объяснением на занятиях

1. Масса движущегося тела определяется соотношением - отношение скорости тела  к скорости света.  Покажите, что в предельном переходе при bà0       массу можно считать постоянной и равной  m_о.

2.   Интервал времени между двумя событиями зависит от скорости движения системы,

      где эти события происходят, следующим образом:                    

              найдите предел функции  Dt(v) и сделайте вывод, считая,   например,  что   Dtо  - продолжение жизни близнеца, оставшегося на Земле, а   Dt -  продолжительность  жизни его брата,  отправившегося в космическое путешествие.

3.Значение кинетической энергии тела выражается формулой

                      Найдите предел этой функции,

          т.е.  получите классическую    формулу для кинетической  энергии,  если b®0.

4.Сила  давления летчика, cовершающего «мертвую петлю»,  на сиденье в момент достижения верхней точки «мертвой петли»  выражается формулой j = m (a – g), где  a= v²/r  - центростремительное (нормальное) ускорение , r- радиус петли. Рассматривая данные выражения как функцию центростремительного ускорения, докажите, что при предельном переходе аàg летчик испытывает состояние невесомости.

5.Сила давления летчика на сиденье в нижней точке «мертвой петли»  определяется формулой Q=m(g + v²/r),  m- масса  летчика, g = 9,8 м/с².

Рассматривая данное выражение как функцию от r , найдите ее предел при:      а) rà¥;  b) r à0.   Сделайте соответствующие выводы.

6.В падающем с ускорением  а  лифте тело давит на пол кабины с силой   P= m(а – g), g -  ускорение свободного падения. Рассматривая данный процесс как функцию от  а,  найдите ее предел при а)  aàg;  b)  aà 0.

Сделайте  выводы.

Таблица  ответов

№ Зада- ния	1 задача	2 задача	3 задача		4 задание
					1	2	3		4		5		6	7
Максимальное количество  баллов	3	3	3		1	1	1		2		2		2	2
Набранные  баллы
	4 задание
№ Зада-ния	8	9		10	11	12		13		14		15		16	Сумма баллов
Максимальное количество  баллов	2	2		2	2	2		3		3		4		4	44
Набранные  баллы

Таблица перевода баллов в  оценку

Набранное количество  баллов	Оценка
0  -  15	2 (неудовлетворительно)
16  -  30	3  (удовлетворительно)
31  -  38	4 (хорошо)
39  -  44	5(отлично)

Краткое описание документа:

Практическая работа по теме "Теория пределов" для учащихся 11 класса или для первокурсников средних профессиональных учебных заведений

В работе указаны: цель работы, задачи и формирование компетенцийОК2 и ОК 6

Указан ход работы: 1. Учащиеся изучают теорию пределов (свойства, теоремы,замечательные пределы), образцы решения примеров по учебнику Омельченко В.П. и Курбатова Э.В. Математика для СПО, презентацию в ноутбуке или компьютере, а затем по образцам выполняют задания, оформляют отчет. Работу сдают на проверку.

В конце занятия подводится итог.