Практическая работа по математике на тему "Перпендикулярность в пространстве"

ПРАКТИЧЕСКАЯ  РАБОТА.

Тема: Перпендикулярность в пространстве

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: закрепить и систематизировать знания обучающихся о перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве; определить уровень усвоения знаний по данной теме; оценить результат деятельности обучающихся.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Изучить теоретический материал (А.В. Погорелов,  «Геометрия», параграф 17, «Перпендикулярность прямых и плоскостей»);

2. Выполнить задания практической работы;

3. Оформить отчет о работе.

Варианты практической работы

вариант 1

1.    Через вершину А прямоугольника АВРС проведе­на прямая а, перпендикулярная прямой АС.  Дока­жите, что прямая РС перпендикулярна плоскости прямых а и АС.

2.    Из точки, не принадлежащей данной плоскости, проведены к ней две наклонные, равные 10 дм и 18 дм. Сумма длин их проекций на плоскость равна 16 дм. Найдите проекцию каждой из наклонных.

3.    Через вершину прямого угла С треугольника АВС проведена прямая с, перпендикулярная плоскости треугольника. Найдите расстояние между прямы­ми с и АВ, если катеты данного прямоугольного треугольника равны 3 дм и 4 дм.

_____________________________________________________________________________

4.    Прямые АВ и СD перпендикулярны некоторой плос­кости. Докажите, что если АС параллельна  ВD, то четырехугольник АСDВ — параллелограмм.

5.    Угол А параллелограмма АВСD равен 30°, АВ = 4 дм. Через сторону АD проведена плоскость α, перпендикулярная плоскости параллелограмма. Найдите расстояние между прямой ВС и скрещи­вающейся с ней прямой а, лежащей в плоскости α и проходящей через точку А.

Вариант   2

1.    Через вершину А квадрата АDВС проведена пря­мая а, перпендикулярная прямой АС. Докажите, что прямая ВD перпендикулярна плоскости пря­мых  а и АD.

2.    Из точки,  не принадлежащей данной плоскости, проведены к ней две наклонные, сумма длин ко­торых равна 28 см. Проекции этих наклонных на плоскость равны 6 см и 8 см. Найдите длины на­клонных.

3.    Через вершину прямого угла С треугольника ВСD проведена прямая с, перпендикулярная плоскости треугольника. Найдите расстояние между прямыми с и ВD, если ВD = 25 см, ВС = 15 см.

____________________________________________________________________________

4.    Стороны СD и МN четырехугольника СDМN пер­пендикулярны некоторой плоскости. Докажите, что если СD ≠ МN, то четырехугольник СDМN — тра­пеция.

5.   Сторона ромба АВСD равна его диагонали АС = 2 см. Через сторону АВ проведена плоскость Р, перпендикулярная плоскости ромба. Найдите расстояние между прямой СD и скрещивающейся с ней пря­мой а, лежащей в плоскости р и проходящей через точку А.

Вариант    3

1.   Через вершину А ромба АСВD проведена прямая а, перпендикулярная прямым АВ и АD. Докажите, что прямая СD перпендикулярна плоскости прямых а  и АВ.

2.    Два отрезка длиной 13 см и 20 см упираются своими концами в параллельные плоскости. Найдите рас­стояние между этими плоскостями, если разность длин проекций данных отрезков на эти плоскости равна 11 см.

3.    В плоскости α дана окружность с центром О и радиусом R. Через точку С окружности проведена прямая с, перпендикулярная плоскости α. Прямая а, лежащая в плоскости α, касается данной окруж­ности в точке А.  Чему равно расстояние между прямыми а и с, если угол АОС = 120°?

__________________________________________________________________________

4.    Плоскость, проходящая через сторону АВ четырех­угольника АВCР, перпендикулярна прямым АР и ВC. Докажите, что если АР — ВC, то четырехуголь­ник АВCР — прямоугольник.

5.    Через вершину А квадрата АВСD со стороной d проведена плоскость γ, перпендикулярная прямой АС. Докажите, что если расстояние между прямой ВD и прямой с, лежащей в плоскости γ, больше ,то BD || с.

Вариант   4

1.   Через вершину В квадрата ВСDЕ проведена прямая b, перпендикулярная прямым ВD и ВС. Докажите, что прямая СЕ перпендикулярна плоскости прямых b и  ВD.

2.   Два отрезка длиной 10 дм и 17 дм упираются сво­ими концами в параллельные плоскости. Найдите расстояние между этими плоскостями, если сумма длин проекций данных отрезков на них равна 21 дм.

3.    В плоскости β дана окружность с центром О и радиусом R. Через точку D окружности проведена прямая d, перпендикулярная плоскости β. Прямая b, лежащая в плоскости β, проходит через точку О. Чему равно расстояние между прямыми b и d, если угол между прямыми b и ОD равен 30°?

_____________________________________________________________________________

4.   Плоскость, проходящая через середины сторон СQ и DР четырехугольника СQDР,  перпендикулярна прямым, содержащим эти стороны. Докажите, что если СQ = DР, то четырехугольник СQDР — пря­моугольник.

5.   Прямая а параллельна плоскости α. Докажите, что расстояние между прямой а и любой скрещивающейся с ней прямой b, лежащей в плоскости α, равно расстоянию от прямой а до плоскости α.

Эталон ответов

в1.  2. 1 дм и 15 дм        3. 2,4 дм        5. 2 дм	в3.  2. 12 см        3.
в2.  2. 13,5 см и 14,5 см        3. 7,2 см        5. см	в4.  2. 8 дм        3.