Практическая работа по математике "Определение сходимости числовых рядов"

Практическая работа №6 "Определение сходимости числовых рядов"

Цель работы: закрепление практических навыков определения сходимости числовых рядов.

Ход работы:

1)повторение теоретического материала;

2)выполнение заданий;

3)вывод.

1.Краткое содержание теоретического материала.

          Выражение

                                                                                          (1)

называется числовым рядом, числа - членами ряда,  - общим членом ряда.

    Сумма n первых членов ряда    называется  частичной суммой этого ряда.

     Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел:  Значение S называется суммой ряда.

   Если ряд не сходиться, то он называется расходящимся.

 Признаки сходимости рядов

            Необходимый  признак  сходимости ряда.

Если ряд (1) сходится, то

                                                  .                                                                   (3)

Этот признак сходимости является необходимым, но не достаточным.

            Достаточный  признак  расходимости.

Если для ряда (1) предел  или не существует, то ряд расходится.

Признак  Даламбера.

          Если для ряда (1)существует

                                                                        (4)

то при D>1 ряд расходится, при D<1 ряд сходится, при D=1 вопрос остается нерешенным.

Признак  Коши.

           Если для ряда (1) существует                                                                      (5)

то  при C < 1 ряд сходится, при  С > 1 ряд расходится, при C = 1 Вопрос остается нерешенным.

Приме1   Исследовать на сходимость ряд .

Решение:

      Применим признак Даламбера; имеем  ,

Так как D<1, то ряд сходиться.

Приме2.  Исследовать на сходимость ряд

Решение:

              Признак Коши для этого ряда дает:

.

Так как C < 1, ряд сходиться.

Алгоритм исследования на сходимость знакопеременных рядов

°                     Исследовать на сходимость ряд, составленный из модулей членов данного ряда, используя

какой-либо признак сравнения.

°                     Сделать вывод об абсолютной или условной сходимости этого ряда.

°                     Выяснить, сходится ли данный знакочередующийся ряд, применяя признак Лейбница.

 Для этого:

-  Проверить, выполняется ли равенство для абсолютных величин членов ряда

-  Найти предел общего члена ряда

-  Сделать вывод о сходимости данного исходного ряда

2.Самостоятельное выполнение заданий

Вариант 1

1.        Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену, и проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости ряда.

2.        Установить расходимость ряда  с помощью достаточного признака расходимости ряда.

3.        Используя признак Даламбера, исследовать  на сходимость  ряд:

4.        Используя признак Коши, исследовать  на сходимость  ряд:
а) ;      b)

Вариант 2

1.      Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену, и проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости ряда.

2.      Установить расходимость ряда  с помощью достаточного признака расходимости ряда.

3.        Используя признак Даламбера, исследовать  на сходимость  ряд:

4.       Используя признак Коши, исследовать  на сходимость  ряд:
а) ;      b)