Практическая работа по математике "Параллельность прямых и плоскостей"

Практическая работа № 16

Тема: «Параллельность прямых и плоскостей»

I.                   Теоретическая часть

II.                Упражнения

1.      Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках В1 и С1 Найдите длину отрезка ВВ1 если:1) СС1 = 15см, АС : ВС = 2 : 3;2) СС1 = 8,1см, АВ : АС = 1

2.      Даны параллелограмм и не пересекающая его плоскость. Через вершины параллелограмма проведены параллельные прямые, пересекающие данную плоскость в точках А1, В1, С1 и D1. Найдите длину отрезка DD1, если: 1) АА1 = 2 м, ВВ1 = 3 м, СС1 = 8 м; 2) АА1

3.      Прямые а и b не лежат в одной плоскости. Можно ли провести прямую с, параллельную прямым а и b?

4.      Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АВ и ВС, параллельна прямой, проходящей через середины отрезков AD и CD.

5.      Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины отрезков АВ и CD, АС и BD, AD и BC, пересекаются в одной точке.

6.      Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А1, а сторону ВС — в точке В1. Найдите длину отрезка А₁В₁, если:

1) АВ = 15 см, АА₁ : АС = 2 : 3;

2) АВ = 8 см, АА₁ : А₁С = 5 : 3;

3) В₁С = 10 см, АВ : ВС = 4 : 5;

4) АА₁ = а, АВ = b, А₁С = с.

7.      Докажите, что через любую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой.

8.      Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по прямой а, пересекают плоскость α по параллельным прямым, то прямая а параллельна плоскости α.

9.      Докажите, что если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.

10.  Через данную точку пространства проведите прямую, пересекающую каждую из двух скрещивающихся прямых. Всегда ли это возможно?

11.  Докажите, что геометрическое место середины отрезков с концами на двух скрещивающихся прямых есть плоскость, параллельная этим прямым.

12.  Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что любая плоскость, параллельная прямым АВ и CD, пересекает прямые АС, AD, BD и ВС в вершинах параллелограмма.

13.  Плоскости α и β пересекаются. Докажите, что любая плоскость γ пересекает хотя бы одну из плоскостей α, β.

14.  Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку параллельно данной плоскости, лежат в одной плоскости.

15.  Параллелограммы ABCD и ABC1D1 лежат в разных плоскостях. Докажите, что четырехугольник, CDD1C1 тоже параллелограмм.