Практическая работа по математике "Решение вероятностных задач"

Практическая работа № 8

Решение вероятностных задач

Цель: научиться вычислять вероятности случайных событий с использованием классической формулы вероятности события, с помощью теорем умножения и сложения вероятностей

Методические указания и теоретические сведения к практической работе

Классическое определение вероятности

     Вероятность события – численная мера возможности его наступления.

            Событие А называется благоприятствующим событию В, если всякий раз, когда наступает событие А, наступает и событие В.

            События А₁, А₂, ..., А_n образуют схему случаев, если они:

1) равновозможны; 

2) попарно несовместны; 

3) образуют полную группу.

            В схеме случаев (и только в этой схеме) имеет место классическое  определение вероятности P(A) события А. Здесь случаем называют каждое из событий, принадлежащих выделенной полной группе равновозможных и попарно несовместных событий.

            Если n – число всех случаев в схеме, а m – число случаев, благоприятствующих событию А, то вероятность события А определяется равенством: 

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

1. Вероятность достоверного события равна единице.

            Действительно, если событие достоверно, то каждый случай в схеме случаев благоприятствует событию. В этом случае m = n и, следовательно, 

2. Вероятность невозможного события равна нулю.

            Действительно, если событие невозможно, то ни один случай из схемы случаев не благоприятствует событию. Поэтому  m=0 и, следовательно, 

            Вероятность случайного события есть положительное число,  заключенное между нулем и единицей.

            Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа случаев в схеме случаев. Поэтому 0<m<n, а, значит, 0<m/n<1 и, следовательно,

0 < P(A) < 1.

            Итак, вероятность любого события удовлетворяет неравенствам
     0 ≤ P(A) ≤ 1.

            В настоящее время свойства вероятности определяются в виде аксиом, сформулированных А.Н. Колмогоровым.

            Одним из основных достоинств классического определения вероятности является возможность вычислить вероятность события непосредственно, т.е. не прибегая к опытам, которые заменяют логическими рассуждениями.

Операции над событиями. Теорема сложения вероятностей

     Суммой, или объединением, нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий (в одном и том же испытании).
     Сумма А₁ + А₂ + … + А_n обозначается так:
      или .
     Пример. Бросаются две игральные кости. Пусть событие А состоит в выпадении 4 очков на 1 кости, а событие В – в выпадении 5 очков на другой кости. События А и В совместны. Поэтому событие А +В состоит в выпадении 4 очков на первой кости, или 5 очков на второй кости, или 4 очков на первой кости и 5 очков на второй одновременно.
     Пример. СобытиеА – выигрыш по 1 займу, событие В – выигрыш по 2 займу. Тогда событие А+В – выигрыш хотя бы по одному займу (возможно по двум сразу).
     Произведением или пересечением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий (в одном и том же испытании).
     Произведение В событий А₁, А₂, …, А_n обозначается так:
     .
     Пример. События А и В состоят в успешном прохождении I и II туров соответственно при поступлении в институт. Тогда событие А×В состоит в успешном прохождении обоих туров.
     Понятия суммы и произведения событий имеют наглядную геометрическую интерпретацию. Пусть событие А есть попадание точки в область А, а событие В – попадание точки в область В. Тогда событие А+В есть попадание точки в объединение этих областей (рис. 1), а событие АВ есть попадание точки в пересечение этих областей (рис. 2).
     
     Рис. 1                                                       Рис. 2
     Теорема. Если события A_i(i = 1, 2, …, n) попарно несовместны, то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий:
     
     Пусть А и Ā – противоположные события, т.е. А + Ā = Ω, где Ω – достоверное событие. Из теоремы сложения вытекает, что
     Р(Ω) = Р(А) + Р(Ā) = 1, поэтому
     Р(Ā) = 1 – Р(А).
     Если события А₁ и А₂  совместны, то вероятность суммы двух совместных событий равна:
     Р(А₁ + А₂) = Р(А₁) + Р(А₂) – Р(А₁×А₂).
     Теоремы сложения вероятностей позволяют перейти от непосредственного подсчета вероятностей к определению вероятностей наступления сложных событий.

Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

     Условной вероятностью Р(В/А) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило.
     Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
     Р(А∙В) = Р(А)∙Р(В/А).                                                  (2.2)
     Два события называются независимыми, если появление любого из них не изменяет вероятность появления другого, т.е.
     Р(А) = Р(А/В) или Р(В) = Р(В/А).                       (2.3)
     Если события А и В независимы, то из формул (2.2) и (2.3) следует 
     Р(А∙В) = Р(А)∙Р(В).                                                      (2.4)
     Справедливо и обратное утверждение, т.е. если для двух событий выполняется равенство (2.4), то эти события независимы. В самом деле, из формул (2.4) и (2.2) вытекает 
     Р(А∙В) = Р(А)∙Р(В) = Р(А) ×Р(В/А), откуда Р(А) = Р(В/А).
     Формула (2.2) допускает обобщение на случай конечного числа событий А₁, А₂,…,А _n:
     Р(А₁∙А₂∙…∙А _n)=Р(А₁)∙Р(А₂/А₁)∙Р(А₃/А₁А₂)∙…∙Р(А _n/А₁А₂…А _n-1).

Примеры по выполнению практической работы

         Пример 1.  В урне 3 белых и 9 черных шаров. Из урны наугад вынимают один шар. Какова вероят­ность того, что вынутый шар окажется черным (событие А)?

Решение:  Имеем п = 12, т = 9, и поэтому 

        Пример 2.     Подбрасывают две игральные кости. Найти вероятность того, что на них в сумме выпа­дает 6 очков (событие А).

Решение: При подбрасывании двух игральных костей общее число равновозможных элементарных исходов равно числу паргде х и у принимают значения 1, 2, 3, 4, 5, 6:

                                     

т.е. . Событию А благоприятствуют пять пар: , т.е. .  Следовательно, искомая вероятность 

        Пример 3.  В урне  белых и  чёрных шаров. Из урны наугад вынимают  шаров. Найти вероятность того, что среди них будет  белых, а следовательно,  чёрных .

Решение:  Число элементарных событий . Подсчитаем число элементарных событий, благоприятствующих интересующему нас событию  среди  взятых шаров будет  белых и  чёрных. Очевидно, что число способов, которыми можно выбрать  белых шаров из , равно, а число способов, которыми можно к ним  «довыбрать»  чёрных шаров, равно . Каждая комбинация белых шаров может сочетаться с каждой комбинацией чёрных, поэтому . Следовательно,     .

Пример 4. Имеется три ящика, содержащих по 10 деталей, причем в первом ящике  - 8, во втором – 7 и в третьем – 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали.  Найти вероятность того, что все три вынутые детали будут стандартные.

Решение: вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь (событие А) равна . Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь (событие  В) равна  .Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событие С) равна . Событие «все три вынутые детали будут стандартные» -есть произведение событий А, В,С.  Т.к. события А, В, С – попарно независимы , то по теореме умножения вероятностей для независимых событий имеем:

                    .

         Пример 5. В вазе лежит 3 шоколадных и 7 вафельных конфет. Наудачу  берется одна конфета, затем другая. Найти вероятность того, что первая конфета была шоколадной, а вторая – вафельной?

Решение: вероятность того, что первая конфета - шоколадная (событие А) . Вероятность того, что  вторая конфета – вафельная, вычисленная в предположении, что первая конфета была шоколадной,  т.е. условная вероятность равна   . Т.е. по теореме умножения для зависимых событий имеем: Р(АВ) = Р(А)Р_А(В) =

         Пример 6.  В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара.  Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании извлечен белый шар (событие А), при втором -  черный шар (событие В), при третьем – синий (событие С)?

Решение: Вероятность появления белого шара в первом испытании равна. Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании вынут белый шар, т.е. условная вероятность равна. Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании вынут белый шар, а при втором – черный, т.е. условная вероятность равна  .Окончательно имеем:

                      Р(АВС) = Р(А)Р_А(В)Р_АВ(С)=

        Пример 7.  На стеллаже в библиотеке в случайном порядке расставлены 15 учебников, причем пять из них в переплете. Библиотекарь наудачу берет три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников будет в переплете (событие А).

Решение: событие  А  -  «хотя бы один из взятых учебников будет в переплете» будут осуществлено,  если произойдет любое из трех несовместных событий: В – «один учебник в переплете», С- «два учебника в переплете» , В - «три учебника в переплете».  Т.е.  событие А=В+С+D. Тогда по теореме сложения вероятностей для несовместных событий имеем:

. Вычислим отдельно вероятности событий В, С, D: 

                            .

Используя эти результаты, получим: .

        Пример 8. Вероятность попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы:  Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех  орудий.

Решение: вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от  результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события А₁ (попадание первого орудия), А₂ (попадание второго орудия), А₃ (попадание третьего орудия) – независимы в совокупности.

    Вероятности событий, противоположных событиям А₁, А₂, А₃ (т.е. вероятности промахов) соответственно равны   

Тогда искомая вероятность.

Задания для самостоятельного решения:

1.      Из вазы, в которой находится 5 яблок и 3 персика, выпад один фрукт. Найти вероятность  того, что это был персик.

2.      Бросают одновременно два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма очков будет равна 12?

3.      В коробке 6 одинаковых, занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в нарастающем  порядке.

4.      На склад поступило 35 холодильников. Известно, что 5 холодильников с дефектами, но не известно, какие это холодильники. Найти вероятность того, что два взятых наугад холодильника будут с дефектами.

5.      В ящике имеется 15 деталей, среди которых имеется 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Какова вероятность того, что извлеченные детали будут окрашенные;

6.      В цехе работает шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц будут три женщины.

7.      В корзине 4 яблока, 3 лимона и 6 персиков.  Каждое испытание состоит в том,  что из    корзины случайным образом падает один фрукт. Найти вероятность того, что из корзины при первом испытании выпадет яблоко, при втором – лимон, при третьем – персик.

8.      В двух ящиках находятся детали: в первом -  12 (из 4 стандартных), во втором -10 (из них  7 стандартных). Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что они обе будут стандартными.

9.      Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,8. Найти вероятность того, что  при одном залпе в мишень  попадет только один из стрелков.

Оценка «5» ставится за 8 верно выполненных заданий

Оценка «4» ставится за 6 верно выполненных заданий

Оценка «3» ставится за 4 верно выполненных задания