Практическая работа по математике с методическими рекомендациями. Тема: "Матрицы и действия с ними"

Дисциплина – «Математика»

Курс -2

Семестр -3

Практическая работа №1

Тема: «Матрицы и действия с ними»

Цель: сформировать умение выполнять арифметические действия с матрицами.

Методические указания и теоретические сведения к практической работе

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов, которую записывают в следующем виде:

.

Для обозначения матрицы используют заглавные латинские буквы, для обозначения элементов матрицы – строчные латинские буквы с указанием номера строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Запись «матрица B имеет размер mxn» означает, что речь идет о матрице, состоящей из m строк и n столбцов.

Например, матрица  имеет размер 2x3. Далее, b_ij - обозначение элемента, стоящего на пересечении i-й строки и j-го столбца данной матрицы (в примере b₂₃=5).

При ссылке на i-ю строку матрицы A используют обозначение A_i, при ссылке на j-й столбец – обозначение A_j.

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера nxn называют матрицей n-го порядка.  Элементы a₁₁ , a₂₂ ,…,  a_nn  квадратной матрицы A (размера nxn) образуют главную диагональ.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

 Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е.

Например,                                        - единичная матрица 4-го порядка.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали треугольной. Например, среди квадратных матриц размера 3x3

,   ,   ,   

матрица A является верхней треугольной, B – диагональной, C – нижней треугольной, E – единичной.

Матрицы A, B называются равными (A=B), если они имеют одинаковый размер, и их элементы, стоящие на одинаковых позициях, совпадают.

Действия над  матрицами.

1.     Сложение

   Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

   Чтобы найти сумму матриц A, B одной размерности, необходимо сложить элементы с одинаковыми индексами (стоящие на одинаковых местах):

Пример 1.                       +                           =  

2.     Умножение на число

Чтобы умножить матрицу A на отличное от нуля действительное число k, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число:

.

Пример 2.  Найти 2A-B, если , .

Решение. Сначала умножаем матрицу A на число 2, затем матрицу B на число -1, и, наконец, находим сумму полученных матриц:

3.     Произведение  матриц

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы А_mxn=(a_ij) на матрицу В_nxp=(b_jk) называется матрица С_mxp=(c_ik) такая, что элемент i-ой строки и k-ого столбца произведения С равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы  А на соответствующие элементы k-ого столбца матрицы В.

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведение АВ и ВА всегда существует.

Пример 3.  Найти произведение матриц   и .

Решение.  Размер матрицы  A 3x2, матрицы - В  2х2. Поэтому произведение АВ найти можно, произведение ВА – нет. Действуя по сформулированному выше правилу, получаем:

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к данной. Обозначается A^T .

Так, если   , то  .

       Если  , то .

Пример 4. Найти АВ+С^Т  , если

             

Решение. Воспользовавшись вычислениями примера 3,  также правилами умножения матрицы на число и сложения матриц, получим:

АВ+С^Т  =.

Практическая работа №1

Тема: «Матрицы и действия с ними»

Содержание практической работы

Вариант 1.

1.     Найти сумму  и разность матриц  А и В, где

 

2.     Найти  С^Т, где

3.     Найти матрицы:

 а)  2А;

б)  8В^Т;

в) 2А+5В;

г)  -3А-7,5В, где

           

4.     Найти произведения матриц  АВ  и  ВА, где

 

5.     Найти  А³ , где

6.     Найти значение матричного многочлена 2А²+3А+5Е, где

 

7.      Доказать равенство (AB)C=A(BC) для матриц:

1) ,  ,  ;

2) ,  ,  .

Дополнительные задания

8. Выполнить арифметические действия с матрицами:

1) ;                      2) ;

3) ;               4) ;

5)  ; 

6);

7)

9. Доказать равенство для матриц (АВ)С=А(ВС)

 ,  ,  ;

10. Найти:    1) ;       2) ;       3) .