Практическая работа по системам счисления

Практическая работа.

Тема: «Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Арифметические действия.»

Цели:

1.     Научить правилам перевода чисел из одной системы счисления в другую.

2.     Научить правилам сложения  и вычитания чисел в двоичной системе счисления.

3.     Отработать навыки по переводу чисел из одной системы счисления в другую.

I.                   Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную.

Правило:

1.     Представить число в виде суммы произведений составляющих цифр числа на основание системы счисления.

2.     Расставить степени над основаниями справа налево, начиная с нулевой.

3.     Для дробной части числа степени будут с знаком «- »  .

Примеры:

1.     Перевести число 111011 из двоичной системы счисления в десятичную: 111011₂ → X₁₀.

111011₂=1*2⁵+1*2⁴+1*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰=32+16+8+0+2+1=59₁₀

2.   Перевести число 7СD из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную: 7СD₁₆→ X₁₀.

7СD₁₆=7*16²+12*16¹+13*16⁰=1792+192+13=1997₁₀.

3.   Перевести число 675,2 из восьмеричной системы счисления в десятичную:

675,2₈=6*8²+7*8¹+5*8⁰+2*8^-1=384+56+5+=445,25₁₀

Выполнить самостоятельно:

1.   77₈→X₁₀;

2.   101101₂ → X₁₀;

3.   15FC₁₆→ X₁₀;

4.   101,11₂ → X₁₀;

5.   94,4₁₆→ X₁₀.

II.               Перевод чисел из десятичной системы счисления в любую другую.

Правило для целой части числа:

1.     Разделить данное число на новое основание системы счисления.         

2.   Деление выполнять до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.

3.   Составить число в новой системе счисления, начиная с последнего частного и переписывая полученные остатки от деления.

Примеры:

1.   Перевести число 125 из десятичной системы счисления в двоичную:    

125₁₀→ Х₂.

_125	2
124	_62	2
1	62	_31	2
	0	30	_15	2
		1	14	_7	2
			1	6	_3	2
				1	2	1
					1

Ответ: 125₁₀= 1111101₂.

2.     Перевести число 138 из десятичной системы счисления в восьмеричную:

 138₁₀→ Х₈.

_138	8
136	_17		8
2	16		2
	1
Ответ:		13810=2128.

Выполнить самостоятельно:

1.     890₁₀→ Х₆;

2.     23₁₀→ Х₂;

3.     757₁₀→ Х₁₆.

Правило для дробной части числа:

1.     Последовательно умножать дробную часть числа на основание новой системы счисления.

2.     Умножение продолжать до тех пор, пока дробная часть числа не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления.

3.  Полученные целые части произведений записать в порядке их получения.

Примеры:

1.   Перевести число 0,735 из десятичной системы счисления в двоичную, оставив после запятой 5 знаков: 0,735₁₀→ Х₂.

0	7	3	5
		х	2
1	4	7	0
		х	2
0	9	4	0
		х	2
1	8	8	0
		х	2
1	7	6	0
		х	2
1	5	2	0

                         

Ответ:   0,735₁₀= 0,10111₂.

2.   Перевести число 0,545 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную, оставив после запятой 5 знаков: 0,545₁₀→ Х₁₆.

0	5	4	5
		х	16
8	7	2	0
		х	16
11	5	2	0
		х	16
8	3	2	0
		х	16
5	1	2	0
		х	16
1	9	2	0

 

Ответ:   0,545₁₀= 0,8В851₁₆.

3.   Перевести число 138,735 из десятичной системы счисления в восьмеричную, оставив после запятой 5 знаков: 138,735₁₀→ Х₈.

138,735₁₀= 138₁₀+0,735₁₀

a)   138₁₀→ Х₈;

b)  0,735₁₀→ Х₈.

0	7	3	5
		х	8
5	8	8	0
		х	8
7	0	4	0
		х	8
0	3	2	0
		х	8
2	5	6	0
		х	8
4	4	8	0

a)                                                                        б)    

_138	8
136	_17		8
2	16		2
	1
		13810=2128.

 0,735₁₀=0,57024₈.

Ответ: 138,735₁₀= 138₁₀+0,735₁₀= 212₈+0,57024₈=212,57024₈.

Выполнить самостоятельно:

1.     0,675₁₀→ Х₈;

2.     0,6135₁₀→ Х₂;

3.     0,8455₁₀→ Х₁₆;

4.     432,54₁₀→ Х₂;

5.     12,25₁₀→ Х₈;

6.     97,225₁₀→ Х₁₆.

III.           Перевод чисел из двоичной системы счисления в  восьмеричную.

Правило:

1.     Так как основание двоичной системы счисления и основание восьмеричной системы счисления связаны равенством: 8=2³, то необходимо данное число разбить по 3 цифры, начиная от основания.

2.     Для дробных чисел разбиение осуществлять от запятой влево и вправо, чтобы «триада» была полной, дополняют нули: для целой части - слева, для дробной части – справа.

3.     Выписать отдельно каждую «триаду» и представить её в двоичной системе счисления.

4.     Полученные значения подставить на место каждой «триады».

Примеры:

1.     Перевести число 100111 из двоичной системы счисления в восьмеричную:      100111₂ → Х₈.

100111

100=1*2²+0*2¹+0*2⁰=4

111=1*2²+1*2¹+1*2⁰=7

Ответ: 100111₂=47₈.

2.     Перевести число 1011101,10111 из двоичной системы счисления в восьмеричную:      1011101,10111₂ → Х₈.

001 011 101,101110

001=0*2²+0*2¹+1*2⁰=1

011=0*2²+1*2¹+1*2⁰=3

101=1*2²+0*2¹+1*2⁰=5

101=1*2²+0*2¹+1*2⁰=5

110=1*2²+1*2¹+0*2⁰=6

Ответ:  1011101,10111₂=135,56₈.

IV.            Перевод чисел из двоичной системы счисления в  шестнадцатеричную.

Правило:

1.     Так как основание двоичной системы счисления и основание шестнадцатеричной системы счисления связаны равенством: 8=2⁴, то необходимо данное число разбить по 4 цифры, начиная от основания.

2.     Для дробных чисел разбиение осуществлять от запятой влево и вправо, чтобы «тетрада» была полной, дополняют нули: для целой части - слева, для дробной части – справа.

3.     Выписать отдельно каждую «тетраду» и представить её в двоичной системе счисления.

4.     Полученные значения подставить на место каждой «тетрады».

Примеры:

1.     Перевести число 1011101,10111 из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную:     

01011101,10111000₂ → Х₁₆.

0101=0*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰=5

1101=1*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰=13=D

1011=1*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰=11=В

1000=1*2³+0*2²+0*2¹+0*2⁰=8

Ответ:  1011101,10111₂= 5D,В8₁₆.

Выполнить самостоятельно:

1.     1010,0011101₂→ Х₈;

2.     1010101,100011₂→ Х₈;

3.     1000010101,11₂→ Х₈;

4.     1010,0011101₂→ Х₁₆;

5.     110110100,1101₂→ Х₁₆;

6.     1110010,10101₂→ Х₁₆.

V. Сложение чисел в двоичной системе счисления.

Правила:

0+0=0

0+1=1 

1+0=1

1+1=10

Примеры: Выполнить сложение чисел в двоичной системе счисления:

1.     1011011+11101=1111000

		1	1	1	1	1
	1	0	1	1	0	1	1
+			1	1	1	0	1
	1	1	1	1	0	0	0

2.     1111101+11111=10011100

	1	1	1	1	1	1
	1	1	1	1	1	0	1
+			1	1	1	1	1
1	0	0	1	1	1	0	0

Выполнить самостоятельно: 1.     10101000+1010110; 2.     1111001101+1010111; 3.     11110010+101111.