Практическая работа по теме "Числовые ряды"

Практическая работа № 6

«Числовые ряды»

Цель: Проверить умение применять методы дифференциального и интегрального исчисления, исследовать числовые ряды на сходимость.

Время выполнения : 2 часа

Теоретическая часть

Числовым рядом называется выражение вида

где числа называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность. Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм

при n→ ∞ имеет конечный предел: Этот предел называется суммой сходящегося ряда. Если не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся.

Пример 1. Найти сумму ряда.

.

Решение. По определению частичной суммы ряда имеем

Таким образом, получаем последовательность частичных сумм: общий член который равен .

Это означает, что ряд сходится и сумма его равна единице.

1.Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

Ряд может сходиться только при условии, что его общий член при неограниченном увеличении номера стремится к нулю: - это необходимый признак сходимости ряда.

Если же то ряд расходится – это достаточный признак расходимости ряда.

Для знакоположительных числовых рядов имеют место следующие достаточные признаки, по которым можно установить их сходимость или расходимость.

1.Признак сравнения. Если члены знакоположительного ряда

(1)

начиная с некоторого номера, не превосходят соответствующих членов ряда

(2)

то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда(2).

При исследовании рядов на сходимость и расходимость по этому признаку часто используется геометрическая прогрессия.

которая сходится при и расходится при

Гармонический ряд

является расходящимся рядом.

2.Признак Даламбера. Если для ряда (1) существует предел

то при ряд сходится, - расходится (при вопрос о сходимости ряда остается открытым).

3. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница.

Знакочередующимся рядом называется ряд вида

(1)

где положительные числа.

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий признак сходимости.

Признак Лейбница. Ряд (1) сходится, если его члены монотонно убывают по абсолютной величине и общий член стремится к нулю при

Применение сходящихся рядов к приближенным вычислениям основано на замене суммы ряда суммой нескольких первых его членов .Допускаемая при этом погрешность очень просто оценивать для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, - эта погрешность меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов ряда.

Примеры по выполнению практической работы

Пример 1. Пользуясь необходимым признаком сходимости, показать, что ряд расходится.

Решение. Находим

Таким образом, предел общего члена ряда при отличен от нуля, т.е. необходимый признак сходимости не выполняется. Это означает, что данный ряд расходится.

Пример 2.Спомощью признака сравнения исследовать на сходимость ряд:

Решение. 1) Сравним данный ряд с рядом

. (*)

Ряд (*) сходится, так как его члены образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессии со знаменателем При этом каждый членисследуемого ряда меньше соответствующего члена ряда (*).Поэтому, согласно признаку сравнения, данный ряд сходится.

2)Сравним данный ряд с гармоническим рядом

. (**)

Каждый член исследуемого ряда, начиная со второго, больше соответствующего члена ряда (**). Так как гармонический ряд расходится, то, согласно признаку сравнения, расходится и данный ряд.

Пример 3. С помощью признака Даламбера исследовать на сходимость ряд:

Решение. 1)Для того чтобы воспользоваться признаком Даламбера, надо знать (n+1)-й член ряда. Он получается путем подстановки в выражение общего члена ряда вместо n числа . Теперь найдем предел отношения - го члена к -му члену при :

.

Так как то данный ряд сходится.

2)зная найдем член ряда:

Вычислим

Так как то ряд расходится.

Пример 4. Пользуясь признаком Лейбница, исследовать на сходимость знакочередующийся ряд

.

Решение. Так как члены данного ряда по абсолютной величине монотонного убывают:

.

и общий член при стремится к нулю:

то в силу признака Лейбница ряд сходится.

Задания для практического занятия:

Вариант 1:

1.Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену:

2.Найти формулу общего члена ряда:

3.Установить расходимость ряда с помощью следствия из необходимого признака.

4.Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд:

5.Используя признак Лейбница, исследовать на сходимость ряд:

Вариант 2:

1.Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену:

2.Найти формулу общего члена ряда:

3.Установить расходимость ряда с помощью следствия из необходимого признака.

4.Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд:

5.Используя признак Лейбница, исследовать на сходимость ряд:

а) б)

Контрольные вопросы

1. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

2.Запишите формулу Ньютона-Лейбница

3.Какие основные свойства определенного интеграла вы знаете?

4. В чем заключается метод непосредственного интегрирования?

5.С каким способом интегрирования вы еще знакомы и в чем его суть?