Практическая работа по теме "Комплексные числа

Практическая работа

Тема: Операции над комплексными числами.

Цели занятия:

Ø  сформировать навыки изображения и записи комплексного числа в алгебраической и тригонометрической форме;

Ø  сформировать навыки проведения простых действий (сложений, вычитания, умножения и деления) с комплексными числами.

Теоретические сведения к практической работе

Комплексное число – это выражение вида

                                            ,                                         (1.1)

где x, y – вещественные числа,  а  – мнимая единица.

x -  вещественная (действительная) часть комплексного числа (используется обозначение );

y - мнимая часть ().

Выражение (1.1) называют алгебраической формой записи комплексного числа.

Числом, сопряженным к , называют число вида . Используя формулу разности квадратов, получаем, что . Можно доказать, что корнями квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом являются два сопряженных комплексных числа.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Дискриминант данного уравнения:  меньше нуля, но теперь мы можем воспользоваться мнимой единицей:

, т.е. ;   .

Арифметические действия над комплексными числами

1) Сложение (вычитание) комплексных чисел:

;

2) Умножение комплексных чисел:

 (осуществляется с учетом того, что );

3) Деление комплексных чисел:

 (эта операция возможна только в случае, когда ).

Пример 2. Вычислить  и указать вещественную и мнимую части полученного комплексного числа.

Решение. Действуя в соответствии с правилами получаем:

;

поэтому ,  .

Тригонометрическая форма комплексного числа. Каждому комплексному числу вида (1.1) можно поставить в соответствие точку  M(x;y) на декартовой плоскости (при этом на оси OX располагаются вещественные числа , а на оси OY – чисто мнимые числа ). Вектор OM считают изображением комплексного числа.

Модулем комплексного числа назовем длину отрезка  (или расстояние от начала координат до точки M), т.е. . Аргументом комплексного числа () назовем угол, который вектор  образует с положительным направлением оси OX. Главное значение аргумента, которое, как правило, используется при осуществлении действий с комплексными числами, удовлетворяет условию . При этом выражение вида

                                           (1.2)

называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Преобразуем (1.1)

и, сравнивая с (1.2), получаем, что аргумент z можно найти, решив систему

                    или                         (1.3.)

Пример 3.  Записать комплексное число в тригонометрической форме , указать модуль и аргумент комплексного числа.

Решение. По определению . Для определения аргумента воспользуемся формулой: . Получаем, что . Тригонометрическая форма заданного комплексного числа имеет вид: .

Возведение в степень и извлечение корней. Если комплексное число задано тригонометрической формой , то справедлива формула Муавра

                     .                                   (1.4)

Для извлечения корня n-й степени (n – целое число, большее 1) из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, применяется формула, дающая n значений этого корня:

,   k=0,1,…,n-1.         (1.5)

Пример 4. Вычислить: a) ;  b) .

Решение. В задании a), чтобы воспользоваться формулой Муавра, необходимо представить комплексное число в тригонометрической форме. Имеем: ;    и  , т.е.  (так как соответствующая точка лежит во второй четверти). Следовательно,  и   (в силу (1.4)). Учитывая что  и используя свойства тригонометрических функций, получаем:

.

В задании b) тригонометрическая форма заданного числа имеет вид   (|z|=1), поэтому в силу (1.5)

, k=0,1,2.

Выписываем три искомых корня:

;

;

.

Практическая часть:

1 часть занятия: совместное решение задач (работа у доски).

Задание 1. Вычислить, выписать вещественную и мнимую  части полученных комплексных чисел.

1)                     2)                                  3)

4)               5)               6)

7)                         

Задание 2. Запишите предложенные комплексные числа в тригонометрической форме: 1) ;   2) ;   3) ;   4)            5)           6)         7) .

Задание 3. Найти все корни уравнений:

1) ;                   2) ;             4) ;         5) ;            6)     7)

Примечание:

2 часть занятия: Самостоятельная работа.

Вариант №1	Вариант №2	Вариант №3
Для данных комплексных чисел найдите
Запишите z в алгебраической форме:
Представьте комплексное число в тригонометрической форме:
а) б)	а) б)	а) б)

Рекомендуемая литература:

1)      Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. – М.: Наука, 1990.

2)      Подольский В.А., Суходский А.М., Мироненко Е.С. Сборник задач по математике. – М.; Высшая школа, 1998.