Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Практическая работа по теме: «Окружность. Эллипс»

Практическая работа по теме: «Окружность. Эллипс»

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов


Практическая работа по теме: «Окружность. Эллипс»


Цель работы:

  • сформировать у студентов представление о кривых второго порядка;

  • научиться использовать свойства окружности и эллипса при решении различных задач;

  • повышать математическую культуру студентов.

Основной теоретический материал.

Кривые второго порядка: эллипс, окружность, парабола, гипербола.

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.

Если такая плоскость пересекает все образующие одной полости конуса, то в сечении получается эллипс, при пересечении образующих обеих полостей – гипербола, а если секущая плоскость параллельна какой-либо образующей, то сечением конуса является парабола. Кривая второго порядка на плоскости в прямоугольной системе координат описывается уравнением: http://www.bestreferat.ru/images/paper/52/16/8801652.gif

Эллипс.

Множество всех точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F 2 есть заданная постоянная величина, называется эллипсом.http://www.bestreferat.ru/images/paper/53/16/8801653.jpeg


Каноническое уравнение эллипса.

Для любого эллипса можно найти декартову систему координат такую, что эллипс будет описываться уравнением (каноническое уравнение эллипса):http://www.bestreferat.ru/images/paper/54/16/8801654.gif,где http://www.bestreferat.ru/images/paper/55/16/8801655.gif Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат. Число a называют большой полуосью эллипса , а число b – его малой полуосью .

Свойства эллипса:

  • Фокальное свойство. Если F 1 и F 2 — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой ( F 1 X ) равен углу между этой касательной и прямой ( F 2X ) .

  • Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.

  • Эволютой эллипса является астроида.

  • Эксцентриситетом эллипса называется отношение http://www.bestreferat.ru/images/paper/56/16/8801656.gif. Эксцентриситет характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.

Эллипс также можно описать как

  • фигуру, которую можно получить из окружности, применяя аффинное преобразование

  • ортогональную проекцию окружность на плоскость.

  • Пересечение плоскости и кругового цилиндра.

Окружность.

Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой её центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.http://www.bestreferat.ru/images/paper/57/16/8801657.jpeg

Каноническое уравнение окружности.

Общее уравнение окружности записывается как:

http://www.bestreferat.ru/images/paper/58/16/8801658.gif http://www.bestreferat.ru/images/paper/59/16/8801659.gif

Точка http://www.bestreferat.ru/images/paper/60/16/8801660.gif — центр окружности, R — её радиус. Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат: http://www.bestreferat.ru/images/paper/61/16/8801661.gif

Свойства окружности:

  • Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).

  • Касательная к окружности всегда перпендикулярна её диаметру, один из концов которого является точкой касания.

  • Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.

  • Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

  • Длину окружности с радиусом R можно вычислить по формуле C = 2π R .

  • Вписанный угол либо равен половине центрального угла, опирающегося на его дугу, либо дополняет половину этого угла до 180°.

    • Два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

    • Вписанный угол, опирающийся на дугу длиной в половину окружности равен 90°.

  • Угол между двумя секущими, проведенными из точки, лежащей вне окружности равен полуразности мер дуг, лежащих между секущими.

  • Угол между пересекающ-ся хордами равен полусумме мер дуги лежащей в угле и дуги напротив нее.

  • Угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой хордой.

  • Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

  • При пересечении двух хорд произведение отрезков, на которые делится одна из них точкой пересечения, равно произведению отрезков другой.

  • Произведение длин расстояний от выбранной точки до двух точек пересечения окружности и секущей проходящей через выбранную точку не зависит от выбора секущей и равно абсолютной величине степени точки относительно окружности.

Квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей и равен абсолютной величине степени точки относительно окружности.

  • Окружность является простой плоской кривой второго порядка.

  • Окружность является коническим сечением и частным случаем эллипса.



Задания для самостоятельного решения:

ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2


  1. Составьте уравнение окружности, концы диаметра которой имеют координаты: (0;3) и (6; -7)

  2. Составьте уравнение окружности, проходящей через начало координат и имеющей центр в точке с координатами

(-2;3).

  1. 3) Составьте уравнение эллипса, если две его вер шины находятся в точках: (0;-8) и (0;8), а

  2. фокусы эллипса в точках: (-5;0) и (5;0).

  3. 4) Составьте уравнение эллипса с фокусами на

  4. оси ОХ, если большая ось равна 10, а

  5. эксцентриситет равен 0,6.

  6. 5) Найдите длину отрезка прямой х-2у-2=0,

заключенного внутри эллипса hello_html_41a01dac.gif

  1. Составьте уравнение окружности, концы диаметра которой имеют координаты: (-2;3) и (2;5)

  2. Составьте уравнение окружности, проходящей через начало координат и имеющей центр в точке с координатами (3;-5).

  3. Составьте уравнение эллипса, если две его вершины находятся в точках: (0;-4) и (0;4), а фокусы эллипса в точках: (0;-2) и (0;2).

  4. Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси ОХ, если малая ось равна 16, а эксцентриситет равен 0,6.

  5. Составьте уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку

А(18;-4)



Критерии оценивания

Отметка «5» ставится за верно выполненные 5 задач,

Отметка «4» ставится за верно выполненные 4 задачи,

Отметка «3» ставится за верно выполненные 2-3 задачи,

Отметка «2» ставится, если выполнено верно менее двух задач.



Общая информация

Номер материала: ДВ-497782

Похожие материалы