Практическая работа по теме «Решения систем уравнений методом Гаусса»

Практическая работа по теме «Решения систем уравнений методом Гаусса»

Цели работы:

• расширить представление о методах решения СЛУ и отработать алгоритм решения СЛУ методом Гаусса;

• развивать логическое мышление студентов, умение находить рациональное решение задачи;

• воспитывать у студентов культуру письменной математической речи при оформлении ими своего решения.

Основной теоретический материал.

Метод Гаусса, называемый также методом последовательного исключения неизвестных, состоит в том, что при помощи элементарных преобразований систему линейных уравнений приводят к такому виду, чтобы её матрица из коэффициентов оказалась трапециевидной или близкой к трапециевидной. Пример такой системы - на рисунке сверху.

Решите систему линейных уравнений методом Гаусса. Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду (прямой ход) и далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали). Вначале поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент  равнялся 1 (это мы делаем для упрощения вычислений):

Далее делаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей - три первых:

Все элементы третьей строки делим на два

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений поменяем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся 1:

От третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 3: Умножив третью строку на 0,5 , получаем:

Проведем теперь обратный ход метода Гаусса (метод Гассу-Жордана), то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Надо обнулить элемент , для этого от второй строки отнимем третью:

Далее обнуляем недиагональные элементы второго столбца, к первой строке прибавляем вторую:

Полученной матрице соответствует система

    Ответ. 

Задания для самостоятельного решения:

ВАРИАНТ 1

Решите системы линейных уравнений методом Гаусса:

. в)

ВАРИАНТ 2

Решите системы линейных уравнений методом Гаусса:

а)

в)

Критерии оценивания:

Работа оценивается на «3»,если: записано решение примера и выполнена проверка решения системы;

самостоятельно методом Гаусса верно решена одна из систем.

Работа оценивается на «4»,если: самостоятельно методом Гаусса верно решены любые две системы.

Работа оценивается на «5»,если: самостоятельно методом Гаусса верно решены три системы.