Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Практическая работа по теме "Тригонометрические уравнения и неравенства"

Практическая работа по теме "Тригонометрические уравнения и неравенства"



Внимание! Сегодня последний день приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_56fbd637.jpg




Практична робота з теми «Тригонометричні рівняння

та нерівності»

(алгебра та початки аналізу, 10 клас)




Виконавець
вчитель математики

ЗШ № 7

м. Дружківки

Орлова Л.В.




2015-2016 навчальний рік


Зміст роботи:






  1. Критерії оцінювання навчальних досягнень учня при вивченні теми «Тригонометричні рівняння та нерівності».

  2. Довідковий матеріал з теми.

  3. Довідковий матеріал з повторення.

  4. Поелементний аналіз навчальних досягнень учнів з теми та повторення з цієї теми

  5. Поелементний аналіз завдань 1-3(ТКР) відповідно до рівнів навчальних досягнень.









Критерії оцінювання навчальних досягнень учнів 10-го класу при вивченні теми


«Тригонометричні рівняння та нерівності»


Рівні навчальних досягнень учнів

Бали

Критерії оцінювання навчальних досягнень учнів

І. Початковий

1

Учень(учениця) розпізнає обернені тригонометричні функції. Читає і записує найпростіші тригонометричні рівняння.

2

Учень(учениця) вибирає обернені тригонометричні функції з інших, пояснює свій вибір. Розв’язує однокрокові найпростіші тригонометричні рівняння .

3

Учень(учениця) обчислює значення обернених тригонометричних функцій. За допомогою вчителя(або опорного конспекту)розв’язує найпростіші тригонометричні рівняння та нерівності.

ІІ. Середній

4

Учень(учениця) формулює означення та основні властивості обернених тригонометричних функцій;називає формули загального розв’язку найпростіших тригонометричних рівнянь sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a. Виконує за зразком завдання обов’язкового рівня – розв’язує нескладні тригонометричні рівняння та нерівності.

5

Учень(учениця) дає та ілюструє прикладами з підручника чи конспекту означення та властивості обернених тригонометричних функцій, тригонометричних рівнянь та нерівностей. Розв’язує завдання з оберненими тригонометричними функціями, тригонометричні рівняння та нерівності обов’язкового рівня з частковим поясненням.

6

Учень(учениця) дає та ілюструє власними прикладами означення обернених тригонометричних функцій, тригонометричних рівнянь та нерівностей. Самостійно розв’язує завдання з оберненими тригонометричними функціями, тригонометричні рівняння та нерівності обов’язкового рівня з достатнім поясненням, записує обернені тригонометричні функції, тригонометричні рівняння та нерівності за їх словесним формулюванням і навпаки.

ІІІ. Достатній

7

Учень(учениця) застосовує означення та властивості обернених тригонометричних функцій для визначення властивостей конкретної оберненої тригонометричної функції. Зображує графіки обернених тригонометричних функцій. Розв’язує тригонометричні рівняння, нерівності, їх системи у знайомих ситуаціях. Знає основні способи розв’язування тригонометричних рівнянь, що зводяться до найпростіших. Самостійно виправляє вказані помилки; розв’язує завдання, передбачені програмою, без достатніх пояснень.

8

Учень(учениця) володіє темою та розв’язує завдання, передбачені програмою (розв’язання тригонометричних рівнянь, нерівностей, систем, читає графіки обернених тригонометричних функцій та ін.) з частковими поясненнями, частково аргументує математичні міркування і розв’язування завдань.

9

Учень(учениця) вільно володіє поняттями обернених тригонометричних функцій та їх властивостями,способами розв’язування тригонометричних рівнянь, нерівностей та їх систем, зазначеними програмою. Самостійно виконує завдання у знайомих ситуаціях з достатнім поясненням; виправляє допущені помилки; повністю аргументує обраний спосіб розв’язування тригонометричних рівнянь, нерівностей та їх систем; аналізує можливості різних тригонометричних формул для спрощення умови тригонометричного рівняння, нерівності, системи. Будує графіки обернених тригонометричних функцій за допомогою геометричних перетворень.

ІV. Високий

10

Знання про обернені тригонометричні функції та їх властивості, способи розв’язування тригонометричних рівнянь, нерівностей, систем, побудову графіків обернених тригонометричних функцій за допомогою геометричних перетворень повністю відповідають вимогам програми. Учень(учениця) усвідомлює ці знання, вміє достатньо їх обґрунтовувати; під керівництвом вчителя знаходить додаткові джерела інформації та самостійно їх використовує; розв’язує завдання з повним поясненням та обґрунтуванням; застосовує різні методи при розв’язуванні тригонометричних рівнянь, нерівностей та їх систем.

11

Учень(учениця) вільно і правильно висловлює міркування щодо обернених тригонометричних функцій та їх властивостей, розв’язування тригонометричних рівнянь, нерівностей та їх систем, переконливо їх аргументує; самостійно знаходить джерела інформації та опрацьовує їх; використовує набуті знання та вміння в незнайомих ситуаціях; знає основні методи розв’язання тригонометричних рівнянь, нерівностей та їх систем; робить добір коренів при розв’язанні тригонометричних рівнянь, нерівностей, систем; визначає якісну характеристику тригонометричної формули й застосовує її з метою спрощення умови тригонометричного рівняння, нерівності, системи; використовує властивості обернених тригонометричних функцій та вміє їх застосовувати з необхідним обґрунтуванням

12

Учень(учениця) виявляє варіативність мислення, шукає раціональність в виборі способу розв’язання тригонометричних рівнянь, нерівностей та їх систем; вміє узагальнювати і систематизувати знання з теми у вигляді опорного сигналу, таблиці чи моделі здобутих знань; здатний(а) до розв’язання нестандартних тригонометричних рівнянь та нерівностей, рівнянь з оберненими тригонометричними функціями або застосовувати нестандартні прийоми у їх розв’язанні.










Довідковий матеріал

з теми

«Тригонометричні рівняння та нерівності»

(алгебра та початки аналізу, 10 клас)


І. Обернена функція.

1. Поняття оберненої функції.


Якщо функція y= f(x) набуває кожного свого значення в єдиній точці її області визначення, то можна задати функцію y= g(x), яка називається оберненою до функції

y= f(x):

для кожного аhello_html_m4030b337.gifD(f), якщо f(а)=b, то g(b)=a

E(f)= D(g); D(f)=E(g)

Функції f(x) і g(x) взаємно обернені.


2. Властивості оберненої функції.

1) Графіки прямої і оберненої функції симетричні відносно прямої y=x.


2) Якщо функція f(x) зростає ( спадає) на деякому проміжку, то вона має обернену функцію на цьому проміжку, яка зростає, якщо f(x) зростає, і спадає, якщо f(x) спадає.


3. Практичний прийом знаходження формули функції, оберненої до функції y= f(x).


1) З’ясувати, чи буде функція y= f(x) оборотною на всій області визначення: для цього досить з’ясувати, чи має рівняння y= f(x) єдиний корінь відносно змінної x.

2) Якщо ні, то виділити ( якщо можливо) проміжок, де існує обернена функція

( наприклад, це може бути проміжок, де функція y= f(x) зростає або спадає).

3) З рівності y= f(x) виразити x через y.

4) В одержаній формулі ввести традиційні позначення – аргумент позначити через x , а функцію – через y.



Наприклад.


Знайдіть функцію, обернену до функції y = 2x+4


Розв’язування.


1. З рівності y = 2x+4 можна однозначно виразити x через y:

x=hello_html_626541a8.gify-2.

2. Позначимо в одержаній формулі аргумент через x , а функцію – через y.

Маємо функцію y=hello_html_626541a8.gifx-2, обернену до функції y = 2x+4





ΙΙ. Обернені тригонометричні функції.


1.Поняття арксинуса, арккосинуса, арктангенса та арккотангенса числа.

Арксинусом числа а називається кут (число) з проміжку [hello_html_1bea7c8c.gif], синус якого дорівнює а.

arcsin a = hello_html_368a497d.gif, hello_html_15c29c6e.gif

|a|hello_html_m7ceebba.gif 1

sin hello_html_368a497d.gif= a

  • arcsin(-a) = -arcsin a

sin(arcsin a) = a, a hello_html_m8cddbc8.gif

arcsin(sin hello_html_368a497d.gif) = hello_html_368a497d.gif, hello_html_1cdc7396.gif

Наприклад

arcsin 0 = 0 ; arcsin(hello_html_m4eb49598.gif) = hello_html_m1c4205d4.gif;

arcsinhello_html_m3d4efe4.gif = hello_html_m1e307eb8.gif ; arcsin(-1) = hello_html_24fe5f0a.gif.


Арккосинусом числа а називається кут (число) з проміжку [hello_html_328e7d7a.gif], косинус якого дорівнює а.

arccos a = hello_html_368a497d.gif, cos hello_html_368a497d.gif= a

hello_html_368a497d.gifhello_html_m6ecd906b.gif

|a|hello_html_m7ceebba.gif1

  • arccos(-a) = hello_html_1bfc1af9.gif- arccos a

cos(arccos a) = a, a hello_html_m8cddbc8.gif

arccos(cos hello_html_368a497d.gif) = hello_html_368a497d.gif, hello_html_m33457e86.gif


Наприклад

arccos 0 = hello_html_m3b9f0390.gif ; arccos 1 = 0;

аrccos(hello_html_60b828d7.gif) = hello_html_m7f4271f5.gif.

Арктангенсом числа а називається кут (число) з проміжку hello_html_mfc87329.gif, тангенс якого дорівнює а.

arctg a = hello_html_368a497d.gif, hello_html_2d92a0cc.gif

tg hello_html_368a497d.gif= a

  • arctg(-a) = -arctg a

tg(arctg a) = a

arctg(tg hello_html_368a497d.gif) = hello_html_368a497d.gif, hello_html_2d92a0cc.gif

Наприклад

arctg 0 = 0 ; arctg hello_html_m980c3de.gif= hello_html_m54cf4aa6.gif.

arctg(-1) = hello_html_m1c4205d4.gif;

Арккотангенсом числа а називається кут (число) з проміжку hello_html_7101aed6.gif, котангенс якого дорівнює а.

arcctg a = hello_html_368a497d.gif, hello_html_m58758f42.gif

ctg hello_html_368a497d.gif= a

  • arcctg(-a) = hello_html_1bfc1af9.gif-arcctg a

ctg(arcctg a) = a

arcctg(ctg hello_html_368a497d.gif) = hello_html_368a497d.gif, hello_html_m58758f42.gif

Наприклад

arcctg 0 = hello_html_m3b9f0390.gif ; arcctg(-1) = hello_html_1bfc1af9.gif-arcctg 1 = hello_html_m3e4540b3.gif.

arcsin x + arccos x = hello_html_m3b9f0390.gif arctg x + arcctg x = hello_html_m3b9f0390.gif

tg(arcctgx) = hello_html_m311eb8c3.gif tg(arcctgx) = hello_html_m311eb8c3.gif


sin(arccos x) = hello_html_22921d7f.gif arccos x = arcsin hello_html_29ec3535.gif


2. Властивості обернених тригонометричних функцій.


hello_html_7f2418e6.gif

hello_html_b792325.gif


1) hello_html_m1f4245fa.gif.

2) hello_html_6fa35f3e.gif.

3) Непарна: hello_html_m17a35d5d.gif

4) Неперіодична.

5) Нулі функції: hello_html_20bc40c0.gif

6) hello_html_202fff33.gif при hello_html_3f1c491f.gif;

hello_html_m1172dcd5.gifпри hello_html_mb9fde19.gif.

7) hello_html_b792325.gif зростає при hello_html_7991f1b9.gif.

8) Екстремумів немає.

9) Графік



hello_html_735d31b4.gif





hello_html_m311f0002.gifhello_html_m311f0002.gifhello_html_2d2985a9.gif

hello_html_484821da.gifhello_html_m2d4bbbb5.gifx




1) hello_html_m4b0fac95.gif.

2) hello_html_779f19ac.gif.

3) Ні парна, ні непарна: hello_html_3376f196.gif.

4) Неперіодична.

5) Нулі функції: hello_html_m47658284.gif.

6) hello_html_m6a752ee1.gif при hello_html_56254a09.gif.

7) Функція спадна.

8) Екстремумів немає.

9hello_html_2d2985a9.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_m311f0002.gifhello_html_m311f0002.gif



х


) Графік


hello_html_m5d7653e9.gif





hello_html_e795bf4.gif

hello_html_m3ddfe56.gif




1) hello_html_m4ed67d95.gif.

2) hello_html_56a6df9b.gif.

Горизонтальні асимптоти:

hello_html_25f5b80e.gif.

3) Непарна: hello_html_m533fa26d.gif.

4) Неперіодична.

5) Нулі функції: hello_html_7ab8060b.gif.

6) hello_html_61bf88b4.gif при hello_html_6b1d986c.gif при hello_html_6dec77fd.gif

7) функція зростає

8

у

) Екстремумів немає.

9

hello_html_m67b5dd3d.gif

) Графік

hello_html_m31cdcb11.gifhello_html_7e15934a.gifhello_html_m655aaadd.gifhello_html_3c605fef.gifhello_html_3c605fef.gif

hello_html_m6c733e30.gif

hello_html_m54a53c2a.gifhello_html_m54a53c2a.gif

hello_html_6580d0dc.gif

hello_html_6d25201e.gif

hello_html_28a73566.gif

х

















ΙΙΙ. Найпростіші тригонометричні рівняння.



1.Рівняння cos x = a


1.Якщо |a| >1, то x Є hello_html_541e1c4f.png

cos x = П, x Є hello_html_541e1c4f.png,

так як П≈ 3,14

cos x = hello_html_m7d5a4caa.gif, х Є hello_html_541e1c4f.png


2. Частні випадки:


cos x = 0

x = hello_html_m7d5a4caa.gif + Пn, n Є z

hello_html_m6c45fbbb.png




cos x =1

x = 2Пn, n Є z


hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_2854e30e.png





cos x = -1

x = П + n, n Є z



hello_html_11ebd6cb.png


3. Якщо |a|>1, то соs x=a розв’яжемо графічно.

Будуємо графіки функцій y = cos x і y = a.


Знайдемо абсциси точек перетину цих графіків.



x = arccos a x = -arccos a

x = arccos a + 2П x = -arccos a + 2П

x = arccos a + 4П x = -arccos a + 4П

x = arccos a – 2П x = -arccos a – 2П

x = arccos a – 4П x = -arccos a – 4П


hello_html_4d5dc19.png

Об’єднуя це в одну формулу,отримаємо:

X = ± arccos a + 2Пn, n Є z




Наприклад:

1. cos x = hello_html_18bb84e9.gif

x = ± arccos hello_html_18bb84e9.gif + 2Пn, n Є z

x = ± hello_html_3721a367.gif + 2Пn, n Є z

2. cos = -hello_html_m9b24522.gif

x = ± arccos (-hello_html_m9b24522.gif) + 2Пn, n Є z

x = ± (П - arccoshello_html_m9b24522.gif) + 2Пn, n Є z

x = ± hello_html_mf83ddeb.gifП + 2Пn, n Є z


3. cos2x = -hello_html_m3d4efe4.gif

2x = ± arccos (-hello_html_m3d4efe4.gif) + 2Пn, n Є z

2x = ± (П - arccoshello_html_m3d4efe4.gif) + 2Пn, n Є z

2x = ± hello_html_42567408.gifП + 2Пn, n Є z

x = ± hello_html_m19e8bb17.gifП + Пn, n Є z

4. cos x = hello_html_m3d4efe4.gif

x = ± arccoshello_html_m3d4efe4.gif + 2Пn, n Є z

x = ± hello_html_m1073ca42.gif + 2Пn, n Є z

2.Рівняння виду sin x = a


1. Якщо |a| >1, то x Є hello_html_541e1c4f.png

Наприклад: sin x = 2,5; sin x = П

x Є hello_html_541e1c4f.png x Є hello_html_541e1c4f.png


2. Частні випадки.sin x = 0

x = Пn, n Є z

hello_html_mec92dba.png



sin x = 1

x = hello_html_m7d5a4caa.gif + 2Пn, n Є z

hello_html_m7e45873a.png



sin x = -1

x = -hello_html_m7d5a4caa.gif + 2Пn, n Є z


hello_html_m1f23489a.png





3. Якщо |а|<1, то рівняння sin x = a розв’яжемо графічно.

.

Будуємо графіки функцій y = sin x і y = a і знайдемо абсциси точек перетину цих графіків.

.


Запишемо 2 групи коренів:


x = arcsin a x = -arcsin a + П

x = arcsin a + 2П x = -arcsin a + 3П

x = arcsin a + 4П x = -arcsin a + 5П

x = arcsin a – 2П x = -arcsin a П

x = arcsin a – 4П x = arcsin a – 3П

hello_html_4d5dc19.png

: Об’єднуя групи в одну формулу,отримаємо:


x = (-1)hello_html_65dfafdf.gif arcsin a + mП, m Є z

Наприклад:

1 sin x = hello_html_m3d4efe4.gif

x = (-1)hello_html_65dfafdf.gif arcsinhello_html_m3d4efe4.gif + mП, m Є z

x = (-1)hello_html_65dfafdf.gif hello_html_mf83ddeb.gif + mП, m Є z


2 sin x = - hello_html_18bb84e9.gif

x = (-1)hello_html_65dfafdf.gif arcsin (- hello_html_18bb84e9.gif) + mП, m Є z

x = (-1)hello_html_65dfafdf.gif (-hello_html_3721a367.gif) + mП, m Є z

x = (-1)hello_html_65dfafdf.gif (-1) hello_html_3721a367.gif + mП, m Є z

x = (-1)hello_html_16fc473c.gif hello_html_3721a367.gif + mП, m Є z


3 sin x = -1

X = -hello_html_m7d5a4caa.gif + 2Пn


4 sin x hello_html_m980c3de.gif

x Є hello_html_541e1c4f.png, т.к hello_html_m980c3de.gif≈ 1.7


5 sin x =1

x = hello_html_m7d5a4caa.gif + 2Пn, n Є z

6 sin 2x = hello_html_18bb84e9.gif

2x = (-1)hello_html_65dfafdf.gif arcsin hello_html_18bb84e9.gif + mП, m Є z

2x = (-1)hello_html_65dfafdf.gif hello_html_3721a367.gif + mП, m Є z

x = (-1)hello_html_65dfafdf.gif hello_html_4a94c18e.gif + hello_html_10b731b6.gif, m Є z


7 sin x = hello_html_m7d5a4caa.gif

x Є hello_html_541e1c4f.png, т.к hello_html_m7d5a4caa.gif = hello_html_m47861df7.gif≈ 1.7

3. Рівняння tgx = a

x = arctg a + Пn, n Є z


4.Рівняня ctg x = a

x = arcctg a + Пn, n Є z


Наприклад:

1 tg x = 1

x = arctg1 + 2Пn, n Є z

x = arctg1 + Пn, n Є z

x = hello_html_3721a367.gif + Пn, n Є z


2 tg2x = hello_html_m980c3de.gif

2x = arctghello_html_m980c3de.gif + Пn, n Є z

2x = hello_html_m1073ca42.gif + Пn, n Є z

x = hello_html_3b00d6c5.gif +hello_html_516651b6.gif, n Є z


3 tg hello_html_m3d4efe4.gifx = hello_html_1b9e5cff.gif

hello_html_m3d4efe4.gifx = arctghello_html_1b9e5cff.gif + Пn, n Є z

x = hello_html_m1073ca42.gif + 2 Пn, n Є z


4 ctgx = - hello_html_m980c3de.gif

x = arcctg (-hello_html_m980c3de.gif) + Пn, n Є z

x = (П - arcctghello_html_m980c3de.gif) + Пn, n Є z

x = (П - hello_html_3b00d6c5.gif) + Пn, n Є z

x = hello_html_3b00d6c5.gif П + Пn, n Є z

Ι . Основні способи розв’язування

тригонометричних рівнянь.


1.Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным


Сведение тригонометрического уравнения к алгебраическому относительно одной тригонометрической функции – один из самых общих методов решения тригонометрических уравнений. В этом разделе рассмотрим уравнения, которые после введения нового неизвестного t = f(x), где f(x) – одна из основных тригонометрических функций, превращаются в квадратные. К таким уравнениям можно отнести уравнения вида: asin2x + вsin x + c = 0, аcos2x + вsin x + c = 0 и т. д. Но в большинстве случаев приходится исходное уравнение преобразовать так, чтобы оно приобрело нужный вид. Для этого чаще всего используется основное тригонометрическое тождество sin2х + cos2х = 1.

.

1.

2sin2x + sin х – 1 = 0.

Введём новую переменную: t = sin х. Тогда данное уравнение можно записать в виде: 2t2 + t – 1 = 0. это квадратное уравнение. Его корни: t1 = – 1; t2 = . Тогда sin х = –1 и sin х = – . Решим каждое из получившихся простейших уравнений.

1) sin х = –1 (это частный случай),

х = hello_html_m5fb9118e.gif

2) sin х = – ,

х = (– 1)narcsin (–) + πk, k Î Z,

х = (– 1)k + 1 hello_html_m64b48276.gif + πk, k Î Z.

Ответ: хn = hello_html_340b7820.gif хk = (– 1)k + 1 hello_html_m64b48276.gif + πk, k Î Z.

2.

4сos x = 4 – sin2x,

4сos x = 4 – (1 – cos2x),

4сos x = 4 – 1 + cos2x,

cos2x – 4сos x + 3 = 0.

Пусть cos x = t, тогда t2 – 4 t + 3 = 0.

Так как а + в + с = 0, то t1 = 1, t2 = 3.

Если t = 1, то cos x = 1,

х = 2πn, n Î Z.

Если t = 3, то cos x = 3,

корней нет, т.к. 3 Ï [– 1; 1].

Ответ: х = 2πn, n Î Z.


3.

tg x – 2ctg x + 1 = 0.

Применим формулу: hello_html_7346515c.gif.

Получим: tg x – 2 × hello_html_545a5a2c.gif + 1 = 0.

Пусть tg x = t, тогда t – + 1 = 0,

t2 + t – 2 = 0 (при условии t ≠ 0),


Так как а + в + с = 0, то t1 = 1, t2 = – 2.

Если t = 1, то tg x = 1,

х = arctg 1 + πn, n Î Z,

хn = hello_html_m35897d6c.gif + πn, n Î Z.

Если t = – 2, то tg x = – 2,

х = arctg (– 2) + πk, kÎ Z,

xk = – arctg 2 + πk, kÎ Z.

Ответ: хn = hello_html_m35897d6c.gif + πn, n Î Z, xk = – arctg 2 + πk, kÎ Z.






2. Однородные уравнения


Рассмотрим уравнения вида ао × sinn х + a1 × sinn – 1 х × сos x + a2 × sinn – 2 х × сos2 x + … + an × сos n x = 0, где ао, a1, a2, …, an – действительные числа. Здесь в каждом слагаемом сумма показателей степеней синуса и косинуса левой части уравнения одна и та же и равна n.

Такое уравнение называется однородным относительно sin х и сos x, а число n называют показателем однородности.

Рассмотрим более подробно однородные уравнения с показателями однородности 1 и 2.

I) Сначала рассмотрим решение однородных тригонометрических уравнений первой степени, причём ю только самый общий случай, когда оба коэффициента а и в отличны от нуля, т. к., если а = 0, то уравнение принимает вид в × сos x = 0, т. е. сos x = 0 – такое уравнение отдельного обсуждения не заслуживает; аналогично при в = 0 получаем sin х = 0, что тоже не требует отдельного обсуждения. Итак, при n = 1 имеем уравнение а × sin х + в × сos x = 0 – это однородное уравнение первой степени, где а ≠ 0, в ≠ 0.

Разделив обе части уравнения почленно на сos x, получим уравнение равносильное данному: а × tg x + в = 0 или tg x = – , откуда х = – arctg + πn, n Î Z.

Необходимо помнить, что делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль (на 0 делить нельзя!). Мы должны быть уверены в том, что сos x отличен от нуля. Предположим, что сos x = 0. Тогда однородное уравнение а × sin х + в × сos x = 0 примет вид а × sin х = 0, т. е.

sin х = 0 (ведь у нас коэффициент а отличен от нуля). Получается, что и сos x = 0, и sin х = 0, а это невозможно, т. к. sin х и сos x обращаются в нуль в различных точках. Итак, в однородном тригонометрическом уравнении первой степени деление обеих частей уравнения на сos x – вполне благополучная операция.

Уравнения вида а × sin mх + в × сos mx = 0 тоже называют однородными тригонометрическими уравнениями первой степени. Для их решения обе части уравнения делят на сos mx.

II) Рассмотрим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени. При n = 2 имеем однородное уравнение вида а × sin2 х + в × sin х ×

сos x + с × сos2 x = 0.

Если коэффициент а отличен от нуля, т. е. в уравнении содержится член sin 2 х с каким-то коэффициентом, рассуждая как и выше, нетрудно убедиться в том, что при интересующих нас значениях переменной сos x не обращается в нуль, а потому можно обе части уравнения разделить почленно на сos 2x. Что это даст?

Мы получим уравнение равносильное данному уравнению: а × tg2 x + в × tg x + с = 0. Далее решение уравнения сводится к решению квадратного уравнения относительно tg x.

III) Пусть теперь в однородном тригонометрическом уравнении а × sin2 х + в × sin х × сos x + с × сos2 x = 0 коэффициент а равен 0, т. е. отсутствует член sin2 х. Тогда уравнение принимает вид: в × sin х × сos x + с × сos2 x = 0.

Это уравнение можно решить разложением на множители:

сos x× sin х + с × сos x) = 0,

сos x = 0 или в × sin х + с × сos x = 0.

Получилось два уравнения, о решении которых говорилось выше.

Аналогично обстоит дело и в случае, когда с = 0, т. е. когда однородное уравнение имеет вид а × sin2 х + в × sin х × сos x = 0 (здесь можно вынести за скобки sin х).

Фактически получился алгоритм решения уравнения

а × sin2 х + в × sin х × сos x + с × сos2x = 0:

  1. Посмотреть есть ли в уравнении член а sin2 х.

  2. Если член а sin2 х в уравнении содержится (т. е. а ≠ 0), то уравнение решается делением обеих его частей на сos2 x и последующим введение новой переменной t = tg x.

  3. Если член а sin2 х в уравнении не содержится (т. е. а = 0), то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят сos x.

Также дело обстоит и в однородных уравнениях вида:

а × sin2mх + в × sin mх × сos mx + с × сos2mx = 0.

Хочется отметить, что некоторые уравнения, не являющиеся однородными, могут быть сведены к однородным после соответствующих преобразований.

1.

4sin2 х – sin 2x = 3.

Применим формулы: sin 2x = 2 sin x cos x, sin2 х + сos2 x = 1. Получим:

4sin2 х – 2sin x cos x = 3(sin2 х + сos2 x),

4sin2 х – 2 sin x cos x – 3sin2 х – 3сos2 x = 0,

sin2 х – 2sin x cos x – 3сos2 x = 0. Это однородное уравнение 2-ой степени. Разделим его на сos2 x

tg2 х – 2tg х – 3 = 0.

Пусть tg х = t, тогда: t2 – 2 t – 3 = 0.

Так как а + с = в, то t1 = – 1, t2 = 3.

Если t = – 1, то tg х = – 1,

х = arctg (– 1) + πn, nÎ Z,

хn = hello_html_m35897d6c.gif + πn, n Î Z.

Если t = 3, то tg х = 3,

xk = arctg 3 + πk, kÎ Z.

Ответ: хn = –hello_html_m35897d6c.gif + πn, n Î Z, xk = arctg 3 + πk, kÎ Z.

2.

2sin2 х = hello_html_m2c30eff1.gifsin 2x.

Применим формулу sin 2x = 2 sin x cos x.

2sin2 х hello_html_m2c30eff1.gifsin x cos x = 0,

2sin x(sin x – hello_html_m2c30eff1.gifcos x) = 0,

2sin x = 0 или sin x – hello_html_m2c30eff1.gifcos x = 0,

sin x = 0 tg х = hello_html_m2c30eff1.gif,

хn = πn, n Î Z xk = arctg hello_html_m2c30eff1.gif + πk, kÎ Z,

xk = hello_html_5cc5e5ed.gif + πk, kÎ Z.

Ответ: хn = πn, n Î Z, xk = hello_html_5cc5e5ed.gif + πk, kÎ Z.


3. Уравнения, решаемые разложением на множители


Как уже было сказано выше, одним из наиболее часто применяемых методов решения тригонометрических уравнений является метод разложения на множители. Поговорим теперь о нём.

Смысл этого метода таков: если уравнение f(х) = 0 возможно преобразовать к виду f1(x) × f2(x) = 0, то задача сводится к решению двух уравнений (обычно говорят – к решению совокупности уравнений): f1(x) = 0; f2(x) = 0.

1.

hello_html_m66d539bc.giftg2 x – 3 tg x = 0,

tg x(hello_html_m66d539bc.giftg x – 3) = 0,

tg x = 0 или hello_html_m66d539bc.giftg x – 3 = 0,

х = arctg 0 + πn, n Î Z hello_html_m66d539bc.giftg x = 3,

хn = πn, n Î Z tg x = hello_html_m66d539bc.gif,

х = arctg hello_html_m66d539bc.gif + πk, k Î Z,

хk = hello_html_m25549d5b.gif + πk, k Î Z.

Ответ: хn = πn, n Î Z, хk = hello_html_m25549d5b.gif + πk, k Î Z.

2.

sin 2хсos x = 0,

2 sin х × сos x – сos x = 0,

сos x(2sin х – 1) = 0,

сos x = 0 или 2sin х – 1 = 0,

хn = 2πn, n Î Z 2sin х = 1,

sin х = ,

хk = (– 1)k× hello_html_m37c9ab37.gif + πk, k Î Z.

Ответ: хn = 2πn, n Î Z, хk = (– 1)k× hello_html_m37c9ab37.gif + πk, k Î Z.

3.

сos 3x + сos x = 4сos 2x,

2сos × сos = 4сos 2x,

сos 2x × сos x – 2сos 2x = 0,

сos 2x(сos x – 2) = 0,

сos 2x = 0 или сos x – 2 = 0,

2х = 2πn, n Î Z сos x = 2,

х = πn, n Î Z корней нет, т.к. 2 Ï [– 1; 1].

Ответ: х = πn, n Î Z



Ι . Тригонометричні нерівності.


1. Нерівності виду hello_html_m1f69848f.gifа зручно розв’язувати за допомогою тригонометричного кола.


Треба пам’ятати:


1) Записуючи промежуток, стежать, щоб зліва було менше число, а справа – більше, що відповідає на колі руху проти годинникової стрілки;

2) Відповідь записують з урахуванням періоду;

3) Вісь Оу – вісь синусів, вісь Ох – вісь косинусів.


Пhello_html_m739cb445.gif

у

риклад. Розв’язати нерівність: hello_html_m22e24314.gif.

1

hello_html_2c65753a.gif

hello_html_ma9c5bd5.gif

) Креслимо одиничне коло;

2hello_html_m1c59f9eb.gifhello_html_5c4ba09c.gifhello_html_m59492c59.gifhello_html_161a339c.gif

hello_html_4fa60ed6.gif

hello_html_m4a264a78.gif

) Проводимо пряму hello_html_m5849a87d.gif,

позначимо точки її перетину з колом, дугу,

яка відповідає розвязку нерівності.

3) Записуємо відповідь.







2. Щоб розвязати нерівності виду hello_html_6b8b8143.gif, слід позначити вираз hello_html_m377addfb.gif через t і розвязати одержану нерівність.


Приклад. Розвязати нерівність: hello_html_m445ad3b.gif




Розвязання


hello_html_m56f03da8.gif

Зробимо заміну: hello_html_27965e6.gif

Розвяжемо нерівність: hello_html_14c217b0.gif

1hello_html_m739cb445.gif

у

) Проведемо пряму hello_html_me1b20b3.gif, позначимо точки її перетину з колом, дугу, яка відповідає розвязку нерівності.


hello_html_m3d2f1ba3.gifhello_html_m5366d64e.gifhello_html_m9534073.gifhello_html_mbea6f02.gif

hello_html_m4d9157b9.gif

о

t








2) Нерівність hello_html_14c217b0.gifзадовольняють усі значення t подвійної нерівності hello_html_2fd5d8b5.gif

Тоді

hello_html_a369a49.gif

hello_html_m153ea276.gif

hello_html_m46b53d38.gif

Відповідь: hello_html_m72f21dd5.gif



Довідковий матеріал з повторення

при вивченні теми

«Тригонометричні рівняння та нерівності»

(алгебра та початки аналізу, 10 клас)



1. Розкладання многочленів на множники.


  1. Винесення спільного множника за дужки.

  2. Спосіб групування.

  3. Формули скороченого множення.



2. Лінійні рівняння.

Означення: Лінійними рівняннями зі змінною х називається рівняння виду ах = b, де а і b – дані числа.

Основні властивості рівнянь:

  1. В будь-якій частині рівняння можна звести подібні доданки або розкрити дужки.

  2. Будь-який член рівняння можна перенести із одної частини рівняння до іншої, змінивши його знак на протилежний.

  3. Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне і те ж число, відмінне від нуля.

Розв’язання лінійних рівнянь:

Приклади

1) hello_html_m58ec9e70.gif

2)hello_html_mdc692ba.gif

3) hello_html_1a381f91.gifǿ

4)hello_html_m36393400.gif



3. Лінійні нерівності

Означення: Лінійною нерівністю з однією змінною х називається нерівність виду ax + b>0(ax + b <0), де а і b – дані числа.

Основні властивості нерівностей:

  1. Якщо з однієї частини нерівності перенесемо в другу доданок з протилежним знаком, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

  2. Якщо обидві частини нерівності помножимо, або поділимо на одне й те ж додатне число, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

  3. Якщо обидві частини нерівності помножимо, або поділимо на одне й те ж від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то одержимо нерівність, рівносильну даній.



Схема розв’язування лінійної нерівності


hello_html_737b4bc0.png


Приклади розв’язування лінійних нерівностей

1)hello_html_m1e193700.gif

2)hello_html_2c5c9718.gif

3)hello_html_587d6b20.gif

4)hello_html_m7f1219dd.gifǿ





4. Квадратні нерівності

Означення: Якщо лівою частиною нерівності є вираз ax2 + bx + c, де а≠0, правою – нуль, то її називають квадратною нерівністю.

Розв’язування квадратної нерівності за допомогою графіків:



hello_html_m2d3f3ec6.png


5. Метод інтервалів

  1. Якщо на проміжку (а;в) функція y=f(x) визначена і не дорівнює нулю, то для всіх значень змінної х з цього проміжку вона зберігає свій знак.

  2. Алгоритм розв’язування нерівностей методом інтервалів:
    - знайти
    D(f);
    - знайти нулі функції (х, для яких f(x)=0);
    - знайти та показати на координатній прямій ОХ проміжки , на яких функція зберігає знак;
    - записати розв’язок нерівності .


6. Функція.

Означення : залежність змінної у від змінної х називається функцією, якщо кожному значенню х ставиться у відповідність єдине значення у. Позначають y=f(x), х – незалежна змінна, аргумент, у – залежна змінна, функція.

  1. Область визначення функції D(f) – множина значень , яких набуває змінна х.

  2. Область значень функції Е(f) – множина значень, які набуває змінна у

  3. Монотонність функції:
    Функція називається зростаючою(спадаючою), якщо більшому значенню аргументу ставиться у відповідність більше(менше) значення функції(для будь-яких значень х1 і х2 змінної х, взятих з області визначення функції і таких, що х21, виконується нерівність f(x2) > f(x1)( f(x2) 1))

  4. Графіком функції f(x) називається множина всіх точок (х;у) координатної площини, де y=f(x), а хhello_html_m289d78ff.gif D(f)

  5. Графічне розв’язування рівнянь f(x)=g(x)
    Алгоритм:
    1. Будуємо графіки функцій у= f(x), у= g(x)
    2. Знаходимо точки перетину цих графіків. Їх кількість – це кількість коренів рівняння
    3. Знаходимо корені рівнянь – абсциси точок перетину графіків

  6. Основні елементарні функції шкільного курсу (див. «Алгебра, 7-9», авт. Г. П. Бевз, «Алгебра та початки аналізу, 10»,авт. ШкільМ. І. та ін.)
    у = kx = b – лінійная функція, графік – пряма,
    y = kx – пряма пропорційність, графік – пряма, що проходить через початок координат,
    y =k/x – обернена пропорційність, графік – гіпербола,
    y = x2; y = ax2 + bx + c – квадратична функція, графік – парабола,
    y =x3 - кубічна функція (степенева з непарним показником 3), графік – кубічна парабола,
    y =hello_html_m247fcf1a.gif– степенева функція з дробовим показником 1/2 , графік – частина параболи,
    y = sinx – тригонометрична функція, графік - синусоїда
    y = cosx - тригонометрична функція, графік - косинусоїда
    y = tgx - тригонометрична функція, графік - тангенсоїда
    y = ctgx - тригонометрична функція, графік - тангенсоїда
    y =xα - степенева функція




7. Побудова графіків з допомогою геометричних перетворень

    1. Щоб побудувати графік функції y=кf(x), треба графік функції y=f(x) розтягнути від осі ОХ в к разів, якщо к >1, або стиснути його в к разів до осі ОХ, якщо 0 <к <1

    2. Щоб побудувати графік функції y=f(x)+п, треба графік функції y=f(x) перенести на п одиниці у напрямку осі ОУ, якщо п >0, або в протилежному напрямку, якщо п <0.

    3. Щоб побудувати графік функції y=f(x-m), треба графік функції y=f(x) перенести на m одиниць у напрямку осі ОХ , якщо m >0, або на – m одиниць у протилежному напрямку, якщо m <0

    4. Щоб побудувати графік функції треба графік функції y=f(аx) (а >0), треба графік функції y=f(x) стиснути до осі ОУ в а разів при а >1, або розтягнути від осі ОУ в 1/а разів, якщо 0 <а <1.

    5. Щоб побудувати графік функції y=-f(x), треба графік функції y=f(x) відобразити симетрично осі ОХ

    6. Щоб побудувати графік функції y=f(-x), треба графік функції y=f(x) відобразити симетрично осі ОУ

    7. Щоб побудувати графік функції y=|f(x)|, треба відобразити симетрично осі ОХ частину графіка функції y=f(x), що лежить нижче осі ОХ. Об’єднання побудованих графіків, що знаходяться вище осі (або на ній), є графіком функції y=|f(x) |

    8. Щоб побудувати графік функціїy=f(|x|), треба відобразити графік функції y=f(x) (х≥0), симетрично осі ОУ. Об’єднання побудованих графіків є графіком функції y=f(x)



8. Системи рівнянь

  1. Якщо необхідно знайти спільний розв’язок двох або декількох рівнянь, говорять, що ці рівняння утворюють систему.

  2. Розв’язком системи називають спільний розв’язок всіх її рівнянь

  3. Розв’язати систему рівнянь – це значить знайти множину всіх її розв’язків.

Аналітичні способи розв’язування систем рівнянь

  1. Спосіб підстановки
    Алгоритм:
    1) виразити з будь-якого рівняння одну змінну через другу;
    2)підставити в друге рівняння системи замість цієї змінної одержаний вираз;
    3) розв’язати одержане рівняння з однією змінною;
    4) знайти відповідне значення другої змінної.

  2. Спосіб складання полягає в тому, що одне з рівнянь системи замінюють їх сумою. Так розв’язують системи, у яких коефіцієнти при будь-якій змінній – протилежні числа.
    Алгоритм:
    1) примінивши властивості рівносильних рівнянь, звести систему до виду, зручного для примінення способу складання;
    2) замінити в системі одне з рівнянь сумою;
    3) розв’язати одержане рівняння з однією змінною;
    4) знайти відповідне значення другої змінної.


9. Тригонометричні функції

Означення тригонометричних функцій



hello_html_m26abbbb7.gifhello_html_m33c5bc4a.gifhello_html_223097c7.gifhello_html_m176edfac.gifhello_html_78d7b002.gifhello_html_m5865f1bd.gifhello_html_23302015.gifhello_html_m790b1a3f.gifhello_html_m61d8314e.gifhello_html_3f0688d8.gifhello_html_m61d8314e.gif

х

у

hello_html_m42ddd94.gif

0ох

hello_html_cc8c07b.gif

hello_html_45039c06.gif

«+»

«-»



hello_html_m5a3bd5cb.gifордината точки hello_html_m6887efcb.gif

на тригонометричному

колі (R=1).

hello_html_748307ab.gifабсцисса точки hello_html_m6887efcb.gif

на тригонометричному

колі.


hello_html_m593d3161.gif

hello_html_656a60f5.gif








Знаки тригонометричних функцій

hello_html_m669dd960.gifhello_html_m669dd960.gifhello_html_m669dd960.gifhello_html_m31cdcb11.gifhello_html_m31cdcb11.gifhello_html_m31cdcb11.gifhello_html_1d4fa6bd.gifhello_html_1d4fa6bd.gifhello_html_1d4fa6bd.gif

+

+

+

+

+

+

_

_

_

_

_

_

I

II

IV

III

III

III

I

I

II

IV

IV

II

hello_html_4896b1d6.gif

hello_html_1335df3f.gif

hello_html_m3d0a972c.gif

hello_html_m520b46b6.gif















Парність та непарність

hello_html_3a609a8.gif

hello_html_28785955.gif

hello_html_m42000418.gifhello_html_m42000418.gif

Парна

Непарні











Обмеженість тригонометричних функцій


hello_html_m50928083.gifобмежені

hello_html_m5cfcfee.gifнеобмежені


Значення тригонометричних функцій деяких кутів

hello_html_m1c59f9eb.gifhello_html_m4944f143.gifhello_html_3c0018f9.gifhello_html_2007241b.gifhello_html_6bd0d3e5.gifhello_html_m3a0a86f1.gifhello_html_m55486f17.gifhello_html_m1c59f9eb.gifhello_html_m4944f143.gifhello_html_3c0018f9.gifhello_html_2007241b.gifhello_html_6bd0d3e5.gifhello_html_m3a0a86f1.gifhello_html_m55486f17.gif

hello_html_452d6bc0.gif

hello_html_m15aa069c.gif

hello_html_790e19c2.gif

hello_html_cc8c07b.gif

hello_html_7782f41e.gif

hello_html_m2610ee09.gif

hello_html_m7435b195.gif

hello_html_2a289779.gif

hello_html_mf4982c0.gif

hello_html_43268277.gif

hello_html_45631373.gif

hello_html_m5776502.gif

hello_html_7782f41e.gif

hello_html_cc8c07b.gif

hello_html_30ac8538.gif

hello_html_790e19c2.gif

hello_html_m7435b195.gif



















Памятаємо, що Памятаємо, що

«синус – ордината»! «косинус – абсциса»!

hello_html_mde718fe.gif

hello_html_4848692b.gifне існує

hello_html_m61bdaac0.gif

hello_html_6b6b5939.gifне існує

hello_html_m680a6968.gifне існує

hello_html_561d66c4.gif

hello_html_m68b5c74c.gifне існує

hello_html_6c7b6577.gif








10. Деякі значення тригонометричних функцій.


hello_html_m432d04b5.png


11. Формули зведення.


hello_html_783bce9d.png





















Поелементний аналіз навчальних досягнень учнів з теми та повторення з цієї теми





довідки

Контрольні моменти

п/п

Рівні

10 Клас Тригонометричні рівняння та нерівності.


І І .2

Розпізнання обернених тригонометричних функцій

1

І рівень (1б. – 3б.)


І І.1

Знаходження табличних значень обернених тригонометричних функцій

2


І І І .1,2,3,4

Розв’язування однокрокових найпростіших тригонометричних рівнянь за допомогою вчителя або за зразком

3


І І І .2

Розв’язування рівняння sin x = a

4


І І І .1

Розвязування рівняння cos x = a

5


І І І .3

Розвязування рівняння tg x = a

6


І І І .4

Розвязування рівняння ctg x = a

7


І .1,2,

Розвязування найпростіших тригонометричних нерівностей за допомогою вчителя або за зразком

8


І І .2

Означення обернених тригонометричних функцій

1

ІІ рівень (4б. – 6б.)


І І .2

Властивості обернених тригонометричних функцій

2


І І.1

Знаходження табличних значень обернених тригонометричних функцій

3


І І.2

Знаходження області визначення елементарних обернених тригонометричних функцій

4


І І.2

Знаходження області значень елементарних обернених тригонометричних функцій

5


І І І .1,2,3,4

Застосування формул загального розв’язку найпростіших тригонометричних рівнянь

6


І І І .1,2,3,4

Застосування частих випадків при розв’язанні найпростіших тригонометричних рівнянь

7


І І І .4

Розвязування тригонометричних рівнянь алгебраїчним способом

8


І .1

Розвязування тригонометричних рівнянь, що зводяться до квадратних

9


І .2

Розвязування однородних тригонометричних рівнянь 1-го ступеня

10


І .1

Заміна аргумента в тригонометричних нерівностях

11


І .1

Застосування одиничного кола для розв’язку найпростіших тригонометричних нерівностей

12


І .1

Застосування графічного способу розв’язання найпростіших тригонометричних нерівностей

13


І І .2

Означення обернених тригонометричних функцій

1

ІІІ рівень (7б. – 9б.)


10 Клас Тригонометричні рівняння та нерівності.


І І .2

Властивості обернених тригонометричних функцій

2


І І.1

Знаходження табличних значень обернених тригонометричних функцій

3


І І.2

Знаходження області визначення обернених тригонометричних функцій

4


І І.2

Знаходження області значень обернених тригонометричних функцій

5


І І .2

Побудова графіків елементарних обернених тригонометричних функцій

6


І І .2

Побудова графіків обернених тригонометричних функцій за допомогою геометричних перетворень

7


І І І .4

Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь

8


І І І .1,2,3,4.

Застосування формул загального розв’язку найпростіших тригонометричних рівнянь

9


І І І .1,2,3,4.

Застосування частих випадків при розв’язанні найпростіших тригонометричних рівнянь

10


І І І

Застосування тригонометричних тотожностей для розв’язування тригонометричних рівнянь та нерівностей

11


11.

Застосування формул зведення для розв’язування тригонометричних рівнянь та нерівностей

12


І . 1.

Розвязування тригонометричних рівнянь шляхом зведення до однієї тригонометричної функції

13


І .2.

Розвязування тригонометричних рівнянь способом розкладання на множники

14


І І . 1.

Розвязування тригонометричних рівнянь, що зводяться до квадратних

15


10 Клас Тригонометричні рівняння та нерівності.


І.1

Заміна аргумента в тригонометричних нерівностях

16


І.1

Застосування одиничного кола для розв’язку тригонометричних нерівностей

17


І.1

Застосування графічного способу розв’язання тригонометричних нерівностей

18


Додаткова

інформація

Розвязування систем, які складаються з тригонометричного і алгебраїчного рівнянь

19


8

Перехід до рівносильної системи рівнянь

20


І.1,2.

Вміння розв’язувати тригонометричні рівняння, нерівності та системи, що зводяться до простіших шляхом нескладних перетворень

21


І І .2

Означення обернених тригонометричних функцій

1

ІV рівень (10б. – 12б.)




І І .2

Властивості обернених тригонометричних функцій

2


І І.1

Знаходження табличних значень обернених тригонометричних функцій

3


І І.2

Знаходження області визначення обернених тригонометричних функцій

4


І І.2

Знаходження області значень обернених тригонометричних функцій

5


І І .2

Застосування умови існування обернених тригонометричних функцій

6


І І .2

Побудова графіків обернених тригонометричних функцій за допомогою геометричних перетворень

7


І І І .4

Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь

8


І І І .1,2,3,4.

Застосування формул загального розв’язку найпростіших тригонометричних рівнянь

9


І І І .1,2,3,4.

Застосування частих випадків при розв’язанні найпростіших тригонометричних рівнянь

10


І І І

Застосування тригонометричних тотожностей для розв’язування тригонометричних рівнянь та нерівностей

11


І І І

Застосування формул зведення для розв’язування тригонометричних рівнянь та нерівностей

12


11.

Розвязування тригонометричних рівнянь шляхом зведення до однієї тригонометричної функції

13


І . 1.

Розвязування тригонометричних рівнянь способом групування та способом розкладання на множники

14


І .2.

Розвязування тригонометричних рівнянь, що зводяться до квадратних

15


І І . 1.

Розвязування однородних тригонометричних рівнянь та рівнянь, які до них зводяться

16


І.1

Відбір коренів тригонометричних рівнянь у відповідності вказаному проміжку

17


Додаткова

інформація

Розвязування тригонометричних рівнянь за допомогою метода допоміжного кута

18


Додаткова

інформація

Розвязування тригонометричних рівнянь за допомогою метода оцінки обох частин

19


Додаткова

інформація

Розвязування ірраціональних тригонометричних рівнянь

20


8

Розвязування тригонометричних рівнянь, які містять модуль

21


І.1,2.

Розвязування тригонометричних рівнянь графічним методом

22


Додаткова

інформація

Розвязування рівнянь з оберненими тригонометричними функціями

23


І.1

Заміна аргумента в тригонометричних нерівностях

24


І.1

Застосування одиничного кола для розв’язку тригонометричних нерівностей

25


І.1

Застосування графічного способу розв’язання тригонометричних нерівностей

26



8

Розвязування систем, які складаються з тригонометричного і алгебраїчного рівнянь

27


8

Розвязування систем, які складаються тільки з тригонометричних рівнянь

28


І.1,2.

Перехід до рівносильної системи рівнянь

29


Додаткова

інформація

Розвязування нестандартних тригонометричних рівнянь, нерівностей та їх систем

30


1

Розкладання многочлена на множники

1

Повторення


10 Клас Тригонометричні рівняння та нерівності.


2

Лінійні рівняння

2


3

Розвязування нерівностей

3


4

Квадратні нерівності

4


5

Метод інтервалів

5


6

Функція

6


7

Перетворення графіків функцій

7


8

Системи рівнянь

8


9

Тригонометричні функції

9


10

Табличні значення тригонометричних функцій

10


11

Формули зведення

11








Поелементний аналіз завдань

1-3(ТКР) відповідно до рівнів навчальних досягнень.

10 клас. ТКР Тригонометричні рівняння та нерівності.

Варіант 1

Завдання 1

Кращий результат

Завдання 2

Кращий результат

Завдання 3

Кращий результат















Сума балів

Рівні

I

II

III

IV

I

II

III

IV

I

II

III

IV

Контрольні моменти

Застосування загального розв’язку рівняння sin x =a

Спрощення тригонометричного рівняння

алгебраїчним способом, застосування формули

Застосування табличних значень обернених тригонометричних функцій

Застосування тригонометричних тотожностей для спрощення тригонометричного рівняння

Розв’язання тригонометричних рівнянь, що зводяться до квадратних

Застосування тригонометричних тотожностей для спрощення тригонометричного рівняння

Зведення тригонометричного рівняння до однієї тригонометричної функції

Застосування часних випадків при розв’язанні найпростіших тригонометричних рівнянь

Застосування способу розкладання на множники

Застосування часних випадків при розв’язанні тригонометричних рівнянь

Застосування тригонометричних тотожностей для спрощення тригонометричного рівняння

Розв’язання тригонометричних рівнянь, що зводяться до квадратних

Застосування способу групування (а)

Застосування способу розв’язанні однородного тригонометричного рівняння 2-го ступення

Застосування формул загального розв’язку

Застосування одиничного кола для розв’язання тригонометричних нерівностей

Заміна аргументу в тригонометричній нерівностей

Розв’язання найпростіших тригонометричних нерівностей за допомогою одиничного кола

Застосування формул зведення

Зведення до найпростішої тригонометричної нерівності

Заміна аргументу

Розв’язання найпростіших тригонометричних нерівностей за допомогою одиничного кола

Застосування властивостей тригонометричних функцій для спрощення лівої частини

Застосування формул зведення для спрощення правої частини

Зведення до найпростішої тригонометричної нерівності

Заміна аргументу

Розв’язання найпростіших тригонометричних нерівностей за допомогою одиничного кола

довідки

ІІІ.2

І.1

ІІ.1

ІІ.1

І.1

І.1

І.1


ІІІ..3

І..3

ІІІ..3

ІІ.1

І.1

І..3

І..2

ІІІ.


І.1

І.1

І.2

11

І.3

І.1

І.1

9

13

І.1

І.1

І.1



Кількість балів



































57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 18.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров253
Номер материала ДВ-269523
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх