Практическая работа: "Преобразование алгебраических, рациональных, иррациональных, степенных выражений"

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА  № 1

Тема: « Преобразование  алгебраических, рациональных, иррациональных, степенных выражений».

Цель работы: научиться выполнять преобразование алгебраических, рациональных, иррациональных, степенных выражений с использованием формул сокращенного умножения, основных свойств корней и степеней.

Теоретические сведения.

КОРНИ НАТУРАЛЬНОЙ СТЕПЕНИ ИЗ ЧИСЛА, ИХ СВОЙСТВА.

Корень n – степени:  , n -  показатель корня, а – подкоренное выражение

Если n – нечетное число, то выражение  имеет смысл при  а

Если  n – четное число, то выражение  имеет смысл при  

Арифметический корень:

Корень нечетной степени из отрицательного числа:

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА КОРНЕЙ

1.      Правило извлечения корня из произведения:

2.      Правило извлечения корня из дроби:

3.      Правило извлечения корня из корня:

4.      Правило вынесения множителя из под знака корня:

5.      Внесение множителя под знак корня:

,

6.      Показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и тоже число.

7.      Правило возведения корня в степень.

СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

=,a – основание степени, n – показатель степени

Свойства:

1.      При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остается неизменным. 

2.      При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются, а основание остается неизменным. 

3.      При возведении степени в степень показатели перемножаются. 

4.      При возведении в степень произведения двух чисел, каждое число возводят в эту степень, а результаты перемножают.

5.      Если в степень возводят частное двух чисел, то в эту степень возводят числитель и знаменатель, а результат делят друг на друга.

6.      Если

СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

1.    

2.    

3.    

4.     По определению:

Свойства:

1.     

2.     

3.     

4.     

5.     

6.      Пусть r рациональное число , тогда

 при r>0                               > при r<0

   7 .Для любого рациональных чисел r и s из неравенства > следует

> при a>1                                             при

Формулы сокращённого умножения.

Пример 1. Упростите выражение .

Решение

Применим свойства степеней (умножение степеней с одинаковым основанием и деление степеней с одинаковым основанием): .

Ответ: 9m⁷ .

Пример 2.Сократить дробь: 

Решение.Так область определения дроби  все числа, кроме х ≠ 1 и х ≠ -2.Вместе с тем .Сократив дробь, получим .Область определения полученной дроби: х ≠ -2, т.е. шире, чем область определения первоначальной дроби. Поэтому дроби  и  равны при х ≠ 1 и х ≠ -2.

Пример 3.Сократить дробь: 

Пример 4.Упростить: 

 Пример 5.Упростить: 

Пример 6. Упростить: 

Пример 7. Упростить: 

Пример 8.Упростить: 

Пример 9. Вычислить: .

Решение.

 Пример 10.Упростить выражение: 

Решение.

Пример 11.Сократить дробь , если 

Решение..

Пример 12.Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби 

Решение. В знаменателе имеем иррациональность 2-й степени, поэтому помножим и числитель, и знаменатель дроби на сопряженное выражение, то есть сумму чисел  и , тогда в знаменателе будем иметь разность квадратов, которая и ликвидирует иррациональность.

ВАРИАНТ - I 1. Упростите выражение: 2. Найдите значение выражения: 3. Представьте степень с дробным показателем в виде корня 4. Привести указанное выражение к виду , где а -рациональное число, b – натуральное число , 5. Упростить: ; 6. Замените арифметические корни степенями с дробным показателем , , 7. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня                                                                                                             10. Выполните действие: 8. Сократите дробь                                                                                                   9. Выполните действие

ВАРИАНТ - II 1. Упростите выражение: 2. Найдите значение выражения: 3. Представьте степень с дробным показателем в виде корня 4. Привести указанное выражение к виду , где а- рациональное число, b – натуральное число , 5. Упростить: ; 6. Замените арифметические корни степенями с дробным показателем , , 7. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня                                                                                             10. Выполните действие: 8. Сократите дробь                                                   9. Выполните действие

ВАРИАНТ - III 1. Выполните действие: 2. Найдите значение выражения: 3. Представьте степень с дробным показателем в виде корня 4. Привести указанное выражение к виду , где а -рациональное число, b – натуральное число ,                  5. Упростить: ; 6. Замените арифметические корни степенями с дробным показателем , , 7. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня                                                                                                             10. Выполните действие: 8. Сократите дробь                                                                  9. Выполните действие

ВАРИАНТ - IV 1. Выполните действие: 2. Найдите значение выражения: 3. Представьте степень с дробным показателем в виде корня , 4. Привести указанное выражение к виду , где а- рациональное число, b – натуральное число , 5. Упростить: ; 6. Замените арифметические корни степенями с дробным показателем , , 7. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня                                                                                             10. Выполните действие: 8. Сократите дробь                                                                    9. Выполните действие

ВАРИАНТ - V 1. Упростите выражение: 2. Найдите значение выражения: 3. Представьте степень с дробным показателем в виде корня , 4. Привести указанное выражение к виду , где а- рациональное число, b – натуральное число ,                  5. Упростить: ; 6. Замените арифметические корни степенями с дробным показателем , , 7. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня                                                                                      10. Выполните действие: 8. Сократите дробь                                                                    9. Выполните действие

ВАРИАНТ - VI 1. Упростите выражение: 2. Найдите значение выражения: 3. Представьте степень с дробным показателем в виде корня , 4. Привести указанное выражение к виду , где -а рациональное число, b – натуральное число ,                    5. Упростить: ; 6. Замените арифметические корни степенями с дробным показателем , , 7. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня                                                                    10. Выполните действие 8. Сократите дробь                                               9. Выполните действие