Практическая работа "Применение различных методов решения систем линейных уравнений с двумя и тремя переменными"

Практическая работа

Тема: Применение различных методов решения систем линейных уравнений с двумя переменными, с тремя неизвестными.

Цель: обобщить знания учащихся по методам решения систем линейных уравнений с двумя переменными: графический, метод подстановки, метод алгебраического сложения, применение определителей к решению систем. Расширить, систематизировать, закрепить знания учащихся о решении систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Теоретическая часть: 1. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки. Метод подстановки заключается в следующем:

1)    Одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором   у выражено через  х (или   х через  у).

2)    Полученное выражение подставляют вместо  у (или вместо  х) во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной.

3)    Находят корни этого уравнения.

4)    Воспользовавшись выражением  у через  х (или  х через  у), находят соответствующее значение  х (или  у).

Пример. Решить систему уравнений

Решение:  1) Из первого уравнения находим выражение х через данные числа и неизвестное  у:

х =

2) Подставляем это выражение во второе уравнение:

5

3) Решаем полученное уравнение:

5(46+3у)+48у=104,            230+15у+48у=104,

15у+48у=104-230,             63у=-126,   у=-2.

5)   Найденное значение  у=-2 подставляем в выражение  х =;

получаем:  х=

Ответ: (5;-2).

2. Решение систем двух уравнений с двумя неизвестными методом сложения. Метод сложения состоит в следующем:

1)  Обе части одного уравнения умножаются на некоторый множитель; обе части другого уравнения умножаются на другой множитель. Эти множители подбираются так, чтобы коэффициенты при одном из неизвестных в обоих уравнениях после их умножения на эти множители имели одну и ту же абсолютную величину.

2)  Складываем два уравнения  или вычитаем их друг из друга; этим одно из неизвестных исключается.

3)  Решаем полученное уравнение с одним неизвестным.

4)  Подставляем полученное значение первого неизвестного в любое из данных уравнений и находим второе неизвестное.

Пример. Решить систему уравнений

2

Проще всего уравнять абсолютные величины коэффициентов при  у; обе части первого уравнения умножим на 2; обе части второго –на 1, т.е. оставляем второе уравнение неизменным:

+

                                                     

             21х        =105

3) Решаем полученное уравнение:

х =

4) Подставляем значение  х=5 в первое уравнение;

имеем:

         40-3у=46;   -3у=46-40; -3у=6;         у=-2.

Ответ: (5;-2).

3. Графическое решение систем двух уравнений с двумя переменными. Для того, чтобы графически решить систему двух уравнений с двумя неизвестными, нужно в одной системе координат построить графики уравнений и найти координаты точек пересечения этих графиков.

Пример. Решить графически систему линейных уравнений

Решение:1) Выразим переменную  у из первого и второго уравнений

                   у =        и       у = 2х – 8

2) Построим график уравнения  у =

х	1	3
у	1	-2

         Также строим график уравнения  у = 2х – 8

                           

х	0	4
у	-8	0

2х-у=8

у

                           Полученные прямые не параллельны,

3

                                                  их пересечением является точка М(3;-2).

х

0

                                                           

Ответ: М(3;-2)

4. Применение определителей к решению систем двух уравнений с двумя неизвестными.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными

Определителем второго порядка, составленным из чисел a₁₁,a₁₂, a₂₁, a₂₂ называется число, определяемое равенством

a₁₁,a₂₂ – элементы главной диагонали

a₂₁, a₁₂ – элементы побочной диагонали

Формулы Крамера:;

                     

Пример: Решить систему уравнений

Решение:

Найдем определитель

Найдем определители

Примененим формулы Крамера

Ответ: (2;3)

5. Применение формул Крамера к решению систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Система трех линейных уравнений с тремя переменными имеет вид:

Определитель третьего порядка можно вычислить методом разложения по элементам первой строки:

Формулы Крамера:;   ;        , где

,   ,    

Определитель третьего порядка можно вычислить также так:

=а₁₁а₂₂а_{33 +} а₂₁а₃₂а₁₃ + а₁₂а₂₃а₃₁ – а₁₃а₂₂а₃₁ – а₁₂а₂₁а₃₃ – а₁₁а₂₃а₃₂

При вычислении определителя третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников (правило Сарруса). Это правило проиллюстрировано на схеме:

                             «+»                                                                               «-»

Пример: Решить систему уравнений

Решение: вычислим определители:

Итак, по формулам Крамера имеем:

; ;    

Ответ: (2; –1; 3)

6. Решение систем уравнений методом Гаусса.

Численность решений линейных алгебраических уравнений с помощью определителей удобно производить для систем 2-х и 3-х уравнений. В случае же большего числа уравнений гораздо выгоднее пользоваться методом Гаусса, который заключается в последовательном исключении неизвестных.

Метод Гаусса состоит в том, что систему уравнений приводят к эквивалентной ей треугольной системе. Это действие называют прямым ходом. Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подставок (обратный ход).

При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:

1)                       умножение и деление коэффициентов на одно и то же число

2)                       сложение и вычитание уравнений

3)                       перестановку уравнений системы

4)                       исключение из системы уравнений, в которых все свободные члены и коэффициенты при неизвестных равны 0.

Пример: Решите систему методом Гаусса

Решение:

Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов и введем так, называемый контрольный столбец, каждым элементом которого является сумма четырех элементов данной строки

Поменяем 1-ую и 2-ую строку местами

Умножим 1-ую строку на 3, вычтем ее из 2-ой, затем, умножая 1-ую строку на 4, вычтем ее из 3-ей

Изменим знаки во 2-ой строке

Умножим 2-ую строку на 5 и сложим с 3-ей

Разделим 3-ю строку на (-11)

Используя полученную матрицу, преобразуем систему и получим решение

Ответ: (–1; 3; 2)

Задания для самостоятельного решения:

Вариант-1.

1.     Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

а) способом подстановки: 

б) способом сложения:

в) графическим способом:   

г) по формулам Крамера:

1.     Решить системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

а) по формулам Крамера:

б) методом Гаусса:      

Оценивание заданий:

Оценка "5" ставится:       а) работа выполнена полностью и без ошибок;

                        б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.

Оценка "4" ставится:      а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;

б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;

в) содержит одну грубую ошибку.

  Оценка "3" ставится:

а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий

б) работа содержит не более 5-7 недочетов.

Оценка "2"

 Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.

Вариант-2.

1.     Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

а) способом подстановки: 

б) способом сложения:

в) графическим способом:   

г) по формулам Крамера:

1.     Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

а) по формулам Крамера:

б) методом Гаусса:      

Оценивание заданий:

Оценка "5" ставится:

а) работа выполнена полностью и без ошибок;

б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.

Оценка "4" ставится:

а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;

б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;

в) содержит одну грубую ошибку.

 Оценка "3" ставится:

а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий

б) работа содержит не более 5-7 недочетов.

Оценка "2"

 Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.

Вариант-3.

1.     Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

а) способом подстановки: 

б) способом сложения:

в) графическим способом:   

г) по формулам Крамера:

1.     Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

а) по формулам Крамера:

б) методом Гаусса:      

Оценивание заданий:

Оценка "5" ставится:

а) работа выполнена полностью и без ошибок;

б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.

Оценка "4" ставится:

а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;

б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;

в) содержит одну грубую ошибку.

 Оценка "3" ставится:

а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий

б) работа содержит не более 5-7 недочетов.

Оценка "2"

 Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.

Вариант-4.

1.     Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

а) способом подстановки: 

б) способом сложения:

в) графическим способом:   

г) по формулам Крамера:

1.     Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

а) по формулам Крамера:

б) методом Гаусса:      

Оценивание заданий:

Оценка "5" ставится:

а) работа выполнена полностью и без ошибок;

б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.

Оценка "4" ставится:

а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;

б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;

в) содержит одну грубую ошибку.

  Оценка "3" ставится:

а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий

б) работа содержит не более 5-7 недочетов.

Оценка "2"

 Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.

Вариант-5.

1.     Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

а) способом подстановки: 

б) способом сложения:

в) графическим способом:   

г) по формулам Крамера:

1.     Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

а) по формулам Крамера:

б) методом Гаусса:      

Оценивание заданий:

Оценка "5" ставится:

а) работа выполнена полностью и без ошибок;

б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.

Оценка "4" ставится:

а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;

б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;

в) содержит одну грубую ошибку.

 Оценка "3" ставится:

а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий

б) работа содержит не более 5-7 недочетов.

Оценка "2"

 Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.

Вариант-6.

1.     Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

а) способом подстановки: 

б) способом сложения:

в) графическим способом:   

г) по формулам Крамера:

1.     Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

а) по формулам Крамера:

б) методом Гаусса:      

Оценивание заданий:

Оценка "5" ставится:

а) работа выполнена полностью и без ошибок;

б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.

Оценка "4" ставится:

а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;

б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;

в) содержит одну грубую ошибку.

 Оценка "3" ставится:

а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий

б) работа содержит не более 5-7 недочетов.

Оценка "2"

 Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.

Вариант-7.

1.     Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

а) способом подстановки: 

б) способом сложения:

в) графическим способом:   

г) по формулам Крамера:

1.     Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

а) по формулам Крамера:

б) методом Гаусса:      

Оценивание заданий:

Оценка "5" ставится:

а) работа выполнена полностью и без ошибок;

б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.

Оценка "4" ставится:

а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;

б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;

в) содержит одну грубую ошибку.

 Оценка "3" ставится:

а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий

б) работа содержит не более 5-7 недочетов.

Оценка "2"

 Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.

Вариант-8.

1.     Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

а) способом подстановки: 

б) способом сложения:

в) графическим способом:   

г) по формулам Крамера:

1.     Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

а) по формулам Крамера:

б) методом Гаусса:      

Оценивание заданий:

Оценка "5" ставится:

а) работа выполнена полностью и без ошибок;

б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.

Оценка "4" ставится:

а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;

б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;

в) содержит одну грубую ошибку.

Оценка "3" ставится:

а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий

б) работа содержит не более 5-7 недочетов.

Оценка "2"

 Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.

Вариант-9.

1.     Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

а) способом подстановки: 

б) способом сложения:

в) графическим способом:   

г) по формулам Крамера:

1.     Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

а) по формулам Крамера:

б) методом Гаусса:      

Оценивание заданий:

Оценка "5" ставится:

а) работа выполнена полностью и без ошибок;

б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.

Оценка "4" ставится:

а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;

б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;

в) содержит одну грубую ошибку.

 Оценка "3" ставится:

а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий

б) работа содержит не более 5-7 недочетов.

Оценка "2"

 Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.

Вариант-10.

1.     Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

а) способом подстановки: 

б) способом сложения:

в) графическим способом:   

г) по формулам Крамера:

1.     Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

а) по формулам Крамера:

б) методом Гаусса:      

Оценивание заданий:

Оценка "5" ставится:

а) работа выполнена полностью и без ошибок;

б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.

Оценка "4" ставится:

а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;

б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;

в) содержит одну грубую ошибку.

 Оценка "3" ставится:

а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий

б) работа содержит не более 5-7 недочетов.

Оценка "2"

 Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.

Основные учебные издания:

         Книги одного автора:

1.            Богомолов Н.В. Сборник задач по математике: учебн. пособие для ссузов.-3-е изд. стер. - М.: Дрофа,2006.-204с.

2.            Богомолов Н.В. Сборник дидактических заданий по математике: учебное пособие для ссузов.-М.: Дрофа,2005.-236с.

3.            Стойлова Л.П. Математика: уч. Пособие для студ. Высш. учеб. заведений.-3-е изд., стер. - М: Издательский центр «Академия»,2005.-432с.

4.            Филимонова Е.В.Математика для средних спец. уч.заведений.: учебное пособие.-Изд.4-е,доп.и перераб .-Ростов н/Д:.Феникс,2008.-414с.

Книги двух авторов:

1.            Лисичкин В.Т. ,Соловейчик И.П. Математика  в задачах с решениями: Учебное пособие.3-е изд., стер. - СПб.:Идательство «Лань»,2011.-464с.

Книги трех авторов:

1.            Подольский В.А. Сборник задач по математике: учебное пособие / Подольский В.А., Суходский А.М., Мироненко Е.С.-3-е изд., стер.- М.: Высш. Шк.2005.-495с.