Практическая работа "Расчет электрических цепей методом узловых и контурных уравнений"

Практическое занятие №15

Тема: Расчет электрических цепей методом узловых и контурных уравнений

Цель работы: научиться рассчитывать сложные электрические схемы постоянного тока методом узловых и контурных уравнений (МУКУр)

Задание

- Записать название работы, тему и цель работы

- рассмотреть и записать в конспект приведенный пример

- решить индивидуальное задание

Методика расчета сложной цепи методом узловых и контурных уравнений

Данный метод является одним из самых простейших методов расчёта электрических цепей постоянного тока любой сложности. Основывается на составлении уравнений по I и II законам Кирхгофа.

Алгоритм расчёта:

1. Определяем число ветвей m, узлов и контуров в электрической цепи. Число токов в цепи равно числу ветвей. Для каждой ветви выбираем условное направление тока и укажем их на схеме.

2. По первому закону Кирхгофа составляем уравнение для узлов в количестве n -1, где n – число узлов.

3. На основании II закона Кирхгофа составляем m – n + 1 уравнений, где m-число ветвей, n-число узлов. Для обхода выбираем контуры с меньшим числом ветвей и содержащих хотя бы одну новую ветвь. Контур обходим по часовой стрелке.

4. Полученные уравнения объединяем в систему и решаем любым способом, известным из математики.

Пример

Определить токи во всех ветвях цепи (рисунок 3), если Э.Д.С. источников энергии Е₁ = 150В, Е₂ = 80В, их внутренние сопротивления R₀₁ = 1 Ом, R₀₂=0.5 Ом; сопротивления резисторов R₁=9 Ом, R₂=19,5 Ом, R₃ = 25 Ом. Задачу решить методом узловых и контурных уравнений, составленных по законам Кирхгофа. Составить уравнение баланса мощностей.

Рисунок 3 - Электрическая схема

Решение

1. На схеме произвольно показываем направления токов ветвей.

2. В задаче три неизвестных тока, для их нахождения необходимо составить систему из трех уравнений.

Первое уравнение составим для узловой точки С по первому закону Кирхгофа:

I₁ +I₂ –I₃ =0

второе уравнение составим для контура АСDВА по второму закон Кирхгофа; направление обхода контура примем «по часовой стрелке»

Е₁—Е₂ =I₁ (R₁+R₀₁)—I₂(R₂+R₀₂);

третье уравнение составим для контура СКNDС но второму закону Кирхгофа; направление обхода контура примем «по часовой стрелке»:

Е₂=I₂(R₂+R₀₂) +I₃R₃.

3. Подставляем исходные данные в полученную систему из трех уравнений и находим значения токов ветвей:

I1 +I2 –I3 =0                                     (1) Е1—Е2 =I1 (R1+R01)— I2(R2+R02)    (2) Е2= I2(R2+R02) +I3R3                                   (3)

I1 +I2 –I3 =0                                     (1) 150—80 =I1 (9+1)—I2(19.5+0.5)   (2) 80=I2(19.5+0.5) +I325                     (3)

Из второго уравнения получаем:

70=10 I₁ – 20 I₂;  

Из третьего уравнения получаем:

80=20I₂ +25I₃;

Подставляем выражения I₁ и I₃в первое уравнение и находим ток I₂:

I₂+7 + 2 I₂ - 3,2 + 0,8 I₂=0;  3,8 I₂=- 3,8; I₂ = -1А

Определяем токи I₁и I₃:

I₁ = 7+2 · (-1 )=5А;   I₃=3,2—0,8 (- 1) =4 А.

Проверка по первому закону Кирхгофа: I₁ + I₂ - I₃=0; 5-1-4 = 0.

Ток I₂ получился отрицательным, это значит, что первоначально произвольно принятое направление тока I₂от точки Dк точке С оказалось неверным и должно быть изменено на противоположное. При этом ток I₂ будет направлен против направления Э.Д.С. Е₂, следовательно, источник с Э.Д.С. Е₂ находится в режиме потребителя (например, заряд батареи аккумуляторов)

Индивидуальные задания для практической работы №15

Задача На рисунке 4 изображена схема сложной электрической цепи: Е₁, Е₂ – Э.Д.С. источников энергии; R₀₁, R₀₂ – их внутренние сопротивления; R₁, R₂, R₃ – сопротивления резисторов. 

Числовые значения этих параметров указаны в таблице 1

Начертить схему цепи; показать направление токов в ветвях. Определить токи ветвей I₁, I₂, I₃ методом узловых и контурных уравнений.

Составить уравнение баланса мощностей

Указание:

1.                 Перед решением задачи изучите методические указания к решению задачи и решение типового примера.

2.                 В задаче обязательно вычертить электрическую схему, соответствующую условию задачи, и показать на ней заданные и искомые величины, а также направление токов. Привести данные своего варианта.

3.                 Решение задачи сопровождается краткими пояснениями.

4.                 Текст, формулы, числовые выкладки должны быть четкими без помарок. Цифровая подстановка в уравнении должна даваться один раз без промежуточных сокращений и расчетов. Численное значение каждого символа должно обязательно занимать то же место в формуле, что и сам символ. Все расчеты необходимо вести в системе СИ. Буквенные обозначения единиц измерения ставятся только возле окончательного результата и в скобки не заключаются, например, 120 В, 13 А, 100 Вт.

Рисунок 4 - Электрическая схема

Таблица 1 - Исходные данные к задаче

№ вар	Е1, В	Е2, В	R01, Ом	R02, Ом	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	Метод расчета
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25	85	200	0,3	2,0	12,0	1,7	12,0	Метод узловых и контурных уравнений
2, 6, 10, 14, 18, 22, 26	55	120	0,2	0,5	6,0	15,0	6,0
3, 7, 11, 15, 19, 23	105	146	2,0	2,0	50,0	4,5	50,0
4, 8, 12, 16, 20, 24	80	34	0,5	0,3	20,0	19,0	20,0