Практическая тетрадь по алгебре на тему "Айнымалылары модуль таңбасының ішінде болатын теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу"/11 класс/

Тақырыбы: АЙНЫМАЛЫЛАРЫ  МОДУЛЬ  ТАҢБАСЫНЫҢ  ІШІНДЕ  БОЛАТЫН  ТЕҢДЕУЛЕР  МЕН  ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ШЕШУ.

АНЫҚТАМА  МАТЕРИАЛЫ

Санның модулі (абсолют шама) ,теңдеу, теңсіздік, сан аралығы

Сендер  а  санның  модулі де, абсолют шамасы да   деп белгіленетін білесіңдер.

Сонымен  қатар  

Тура  осылай функцияның  модулі де  анықталады:

болатын  барлық  х  үшін , f(x)

болатын барлық х үшін , f(x)

болатын  барлық  х үшін ,  - f(x)
Мысалы :

Айнымалылары модуль таңбасының ішінде болатын теңдеулерді шешу үшін мына алгоритм қолданылады:

1. Модуль таңбасының  ішіндегі өрнектерді нөлге теңестіріп,теңдеулерді шешу;
2. Теңдеудің  түбірлдерін қолданып, сан түзуін аралықтарға  бөлу;
3. Модуль анықтамасын ескеріп, әрбір аралықта берілген теңдеуді шешу;
4. Теңдеудің шешімдерінің қарастырылып отырған аралыққа  тиісті  болатын тексеру;

5.Тиісті түбірлерді берілген теңдеудің түбірі ретінде  алу.

ТАПСЫРМАЛАР ШЕШУЛЕРІМЕН

1мысал .  теңдеуін  шешейік.

Шешуі . Алгоритм  бойынша, алдымен  , теңдеулерін шешеміз. Сонда : және  

Табылған түбірлерді сан түзуінде белгілеп :  аралықтарын аламыз.

                                                                

Берілген теңдеуді әрбір аралықта шығарамыз.

1)      Модульдің анықтамасы бойыншааралығында   болады. Демек, берілген теңдеу: , теңдеуіне мәндес. Соңғы теңдеудің түбірі :. Бұл түбір . Аралығына  тиісті емес.Сондықтан қарастырылып жатқан аралықта теңдеудің түбірі жоқ.

2)      Модуль анықтамасы бойынша  аралығында болады. Демек,  берілген теңдеу  , теңдеуіне мәндес .Соңғы теңдеудің түбірі : . Қарастырылып отырған аралықта теңдеудің түбірі жоқ, өйткені табылған түбір  аралығына  тиісті емес.

3)      Модуль анықтамасы бойынша   аралығында Демек, бұл аралықта берілген теңдеуге мәндес , теңдеуін аламыз.Шыққан теңдеудің түбірі  . және ол аралығына  тиісті .Демек теңдеудің қарастырылып отырған аралықта 1-ге тең бір ғана түбірі бар.

4)      Модуль анықтамасы бойынша  аралығында Демек, теңдеу осы аралықта түбірі          болатын , теңдеуіне мәндес болады. Бұл түбір теңдеудің түбірі болмайды, себебі қарастырылып отырған   аралығына тиісті емес.

Сонымен берілген теңдеудің  болатын бір ғана түбірі бар.

2 мысал .                           теңдеуін шешейік.

Шешуі . Алдымен модуль таңбасының ішіндегі өрнекті нөлге теңестіреміз: . Бұл теңдеудің  болғандағы түбірі . Түбір –сан түзуін аралықтарға бөлетін нүкте. Сан түзуін аралыққа бөлетін тағы бір нүкте – модуль таңбасының ішіндегі өрнектің мәні болмайтын нүкте. Осы екі нүкте арқылы  және ,  сан түзуі :  болатын үш аралыққа бөлінеді. Берілген теңдеуді әрбір аралықта шешеміз:

1)      Модульдің анықтамасы бойынша  аралығында : Демек, берілген теңдеу түбірі жоқ  , теңдеуіне мәндес.Сондықтан берілген теңдеудің қарастырылып отырған аралықта түбірі болмайды.

2)      Модульдің анықтамасы бойынша    аралығында : Демек, берілген теңдеу , теңдеуіне мәндес.Бұл теңдеудің : х = 0  түбірі берілген теңдеудің де түбірі болады.

3)      Модульдің анықтамасы бойынша     аралығында :  Демек, бірінші жағдайдағы сияқты қарастырылып отырған аралықта теңдеудің түбірі жоқ. Сонымен,берілген теңдеудің : x = 0  болатын бір ғана түбірі бар.

3 мысал . Теңсіздігін шешейік:

Шешуі . Алдымен  және   теңдеулерін шешеміз. Теңдеудің түбірлерін   және қолданып ,сан түзуін аралықтарға бөлеміз.

      - 2               3              х

Берілген теңсіздікті жеке әрбір аралықта шешеміз:

1)      болғанда, берілген тңсіздік мына түрге көшеді:

 немесе  , демек берілген теңсіздіктің шешімі :

Теңсіздіктер жүйесін қанағаттандыратын  х айнымалысының мәндері болады, яғни ,

        - 2               х

2) болғанда ,берілген теңсіздік :  түріне ие болады, осыдан

Демек,берілген теңсіздіктің шешімі :  , теңсіздіктер жүйесінің шешімі болатын х айнымалысының мәндері болады, яғни  

2)      болғанда, берілген теңсіздік :  немесе , түріне келеді.Демек, берілген теңсіздіктің шешімі :  теңсіздіктер жүйесін қанағаттандыратын х айнымалысының мәндері, яғни      болады.

Сонымен, берілген теңсіздіктің шешімдер жиыны : және  , яғни  

Жауабы :

ДИДАКТИКАЛЫҚ  МАТЕРИАЛ

1. Теңдеуді шешіңдер                                                                  Жауабы:

2. Теңдеуді шешіңдер                                                          Жауабы:

3. Теңдеуді шешіңдер                                           Жауабы:

4. Теңдеуді шешіңдер                                  Жауабы:

5. Теңдеуді шешіңдер                    Жауабы:

6. Теңдеуді шешіңдер                                                Жауабы: 1

7. Теңдеуді шешіңдер                                              Жауабы:

8. Теңсіздікті шешіңдер                                Жауабы:

9. Теңсіздікті шешіңдер                                  Жауабы:

10. Теңсіздікті шешіңдер              Жауабы:

ТЕСТ №1

1. Теңдеуді шешіңдер  :

A)      B)              C)             D)             E)

2. Теңдеуді шешіңдер  

A)         B)     C)               D)     E)

3. Теңдеуді шешіңдер  

A) 3;5          B) – 3;- 5        C) – 5;3        D) 5; -3           E)

4. Теңдеуді шешіңдер  

A) 6;-2         B) -6;-2           C) 6;2          D) -6;2            E)

5. Теңдеуді шешіңдер  

A)                       B)            C)         D)      E)

ТЕСТ  №2

1. Теңдеуді шешіңдер   

A)           B)     C)      D)       E)

2. Теңдеуді шешіңдер   

A) 0;1       B) -1;0             C) -1;1            D) 0      E) 1

3.      Теңдеуді шешіңдер  

A)                B)            C)         D)        E)

4.      Теңдеуді шешіңдер  

A)               B)         C)        D)         E)

5. Теңдеуді шешіңдер  

A) 0;10     B) 10;10          C) 0      D) -10;0         E) -10;10