Практическая математика для начинающих бизнесменов

Акмолинская область

Шортандинский район

Степная средняя школа

 

 

 

 

Копеев Арман

8 класс

 

Практическая математика для начинающих бизнесменов

 

 

Направление:   Математическое моделирование социальных и экономических процессов

Секция:   Математика

Руководитель: Андреева Оксана Геннадьевна, учитель математики

 

 

 

 

 

 

 

Шортанды, 2014

Оглавление

Абстракт3

Введение4

Основные математические методы применяемые в бизнесе 5

Математические модели и бизнес11

Основные вероятностно-статистические модели и бизнес14

Заключение17

Литература………………………………………………………………………......18

Приложение……………………………………………………………………….21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Абстракт

Цель исследования – изучить основные проблемы, возникающие при применении математических (количественных) методов в коммерческой и производственной деятельности.

Задачи исследования – рассмотреть математические задачи, способствующие развитию логического мышления и умению применять методы математического моделирования процессов и явлений.

Сегодня совершенно очевидно, что недостатки в применении количественных методов в производственной и коммерческой деятельности лишают нас значительной доли возможных прибылей и ресурсов. И чем сложнее процесс, явление, тем  потери могут быть более значительными. Эта проблема и послужила для нас объектом исследования.

Гипотеза –  мы предположили, что глубокие знания специальных методов и приемов, заданий творческого характера, направленных на развитие умений решения задач логического характера, на процентные вычисления, разумный перебор вариантов, составление простейших моделей маркетинга дает возможность решать важнейшую проблему современных рыночных отношений – проблему принятия наилучших (оптимальных) решений.

Методам исследования явились:

·        сбор материала;

·        анализ и обобщение собранного материала;

Новизна исследования нацелена на желание познакомиться с основными математическими методами, применяемыми в бизнесе.

 

 

 

 

 

 

 

Абстракт

Зерттеу мақсаты -математикалық (сандық) әдісті қолданалуында комерциялық және өндірістік қызметте туатын негізгі мәселелер.

Зерттеу міндеті – математикалық есептерді қарау, ойдың дамуына және математикалық үдерістерді, көріністерді улгілеу, сол әдістерді қолдану.

Бүгін әбден айқын, сандық әдістердің кемшіліктері өндірістік және комерциялық кызметте қолданатын, бізді қомақты үлес пайдадан және ресурстардан айырады. Күрделірек үдіріс болсада көріністердің шығындар маңызды болуы мүмкін. Сол мәселе зерттеудің мақсаты болды.

Болжам – біз болжауладық , терең  білімдерді арнаулы әдістердің және әдіс – айлалардың , шығармашылық мінезді тапсырмалары, бағытталған логикалық мінезді есеп шешуді дамыту, пайыздық есептерге ақылды нұсқаны тандау , ең жай маркетинг үлгілерін құрастыру , осы заманғы нарықтық қарым қатынастарды ең манызды мәселелерді шешуге мүмкіндік береді.

Зерттеу әдістері:

1.      Материалды жинау ;

 

2.      Материалды талдап қорыту ;

 

Зерттеулік жаңалығы тілейтін мақсаты математикалық әдістерімен, табыскерлікте қолданатын әдістермен танысу.

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                  Abstract

Research objective - to study the main problems arising at application of mathematical (quantitative) methods in a commercial and production activity.

Research problems - to consider the mathematical tasks promoting development of logical thinking and to ability to apply methods of mathematical modeling of processes and the phenomena.

Today it is obvious that shortcomings of application of quantitative methods of production and commercial activity deprive of us a considerable share of possible profits and resources. And the process, the phenomena is more difficult, the losses can be more considerable. This problem also served for us as object of research.

Hypothesis – we assumed that profound knowledge of special methods and receptions, the tasks of creative character aimed at the development of abilities of the solution of problems of logical character, for the percentage calculations, reasonable search of options, drawing up the elementary models of marketing gives the chance to solve the most important problem of the modern market relations – a problem of adoption of the best (optimum) decisions.

To methods of research were:

1 . Collecting Material;

2 . Analysis and generalization of a collected material;

Novelty of research is aimed at desire to get acquainted with the main mathematical methods applied in business.

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

         С течением веков бурно развивается промышленность, сельское хозяйство и, соответственно, математика. Её расцвет особенно пришелся на средние века,  когда жили и творили величайшие умы человечества – Галилей, Ньютон, Коперник и др. Некоторые из тогдашних купцов дошли до нас как великие математики (например Фибоначи).

       Параллельно с развитием рынка бурно развивались и количественные методы анализа и прогнозов хозяйственной деятельности предприятий и частных лиц. Математические приемы часто пересекались с приемами коммерции.      

       Особую роль количественных методов в бизнесе понимали и передовые предприниматели. Так, американский бизнесмен Д. Патерсон (1844-1922), повсеместно считающийся отцом современного искусства коммерции, издал в 1908 г. первый популярный коммерческий учебник «Букварь продавца». В нем наряду с описанием лучших приемов продажи он показал, как анализировать и обрабатывать рыночную информацию, как установить каждому продавцу норму продажи товаров, как поощрять успешный труд коммерсанта и т.д. 

     Для того, чтобы научиться уверенному плаванию в море рыночной экономики следует со школьных лет прикоснуться к идеям рыночного мышления. Этому процессу особенно содействует решение задач логического характера, на процентные вычисления, разумный перебор вариантов, составление простейших моделей маркетинга – в младших классах школы, решение более сложных заданий такого же характера, а также составление оптимизационных и вероятностно-статистических моделей – в старших классах.

         На огромную роль неформального, логического мышления в коммерческой деятельности обращали внимание даже далекие от нее литераторы. Вспомним беседу чеховских персонажей рассказа “Репетитор”. Репетитор сына купца Удодова гимназист седьмого класса Зиберов берет задачник и диктует: “Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается сколько аршин он купил того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное 3 руб.”.Репетитор, столкнувшись с такой неформальной задачей, начинает искать выход из создавшейся трудной для него ситуации. “Это задача собственно говоря, алгебраическая…  Это задача на неопределенные уравнения, а не арифметическая. Её очень трудно решить. Решите мне эту задачу к завтраму. Подумайте.                                                                                                                  -И без алгебры решить можно, - говорит Удодов, протягивая руку к счетам и вздыхая.          

–Вот извольте видеть.                                                                                                                                    Он щелкает на счетах и у него получается 75 и 63 аршина, что и было в ответе”.  

     С логическими задачами имеют много общего задачи, где требуется провести разумный перебор многовариантной коммерческой ситуации. Искусство решения здесь включает в себя умение сокращать перебор вариантов до ощутимых размеров.

     Однако при рассмотрении сложных экономических задач приходится применять различные способы решений в комплексе. Одним из самых универсальных способов для этого является метод экономико-математического моделирования.

     Бизнес от части напоминает азартную игру. Поэтому наибольших успехов достигает тот, кто трезво просчитывает степень риска и, несмотря на возможность неудачи, пойдет на оправданный риск. Здесь большую помощь могут оказать вероятностные и статистические модели, количественно учитывающие различные колебания в стихии рынка.

    

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.     Основные математические методы применяемые в бизнесе

1.1.                     Процесс решения логических задач

       Деловой человек постоянно оперирует с коммерческой информацией, на основе которой он старается принять оптимальное решение. Он должен уметь, используя правила здравого смысла, провести простейшую обработку имеющихся в его распоряжении данных.

        Задача 1. Фирма приступает к выпуску трёх новых моделей чемодана. Первая модель весит 3 кг, а стоит 20 руб.; вторая – весит 2,5 кг, стоит 32 руб.; третья – весит 4,3 кг, стоит 45 руб. Для успешного функционирования фирме необходимо иметь прогноз сбыта своей продукции.

        Решение. Прежде чем приступить к количественному описанию проблемной ситуации, необходим её качественный анализ. Основная цель этого первоначального диагностического анализа – выявление главных факторов, влияющих на данный процесс или явление. Два количественных фактора – вес и цена, уже заданы, исходя из технологических особенностей процесса производства. Однако, как установили эксперты фирмы, большую роль в сбыте будет иметь и внешний вид чемодана. Они же установили, что он у первой модели может считаться находящимся между хорошим и удовлетворительным, у второй – между хорошим и отличным, и, наконец, у третьей модели внешний вид отличный.

         Переходим к анализу задачи. Фактически выбор наилучшей модели зависит от двух количественных (вес, цена) и одного качественного факторов (внешний вид). Как же привести эти разнородные факторы к “единому знаменателю?”

         Введем так называемые безразмерные шкалы: массе в 1 кг поставим в соответствии 1 балл, 2 кг – 2 балла и т.д.; цене 10 руб. – 1 балл, 20 руб. – 2 балла и т.д. Внешний вид будем оценивать так: 1 балл – отлично; 2 – хорошо; 3 – удовлетворительно; 4 – плохо; 5 – очень плохо. Все без размерные шкалы представим в таблице:

Вес,кг	Баллы	Цена, руб.	Баллы	Внешний вид	Баллы
1            2            3            4            5            6            7            8            9           10	1            2            3            4            5            6            7            8            9           10	10            20            30            40            50            60            70            80            90           100	1                      2            3            4            5            6            7            8            9           10	отличный хороший удолетворит. плохой очень  плохой	1            2            3            4            5

     Пусть L_ij - балл , характеризующий  i -ое свойство   j-ой модели  (i =1,2,3;   j=1,2,3). Сведем данные по трем моделям в таблицу:

Характеристики	Варианты выборов
	Модель 1	Модель 2	Модель 3
Масса                Цена         Внешний вид	L11 = 3               L12 = 2               L = 2,5	L12 = 2,5           L22 = 3,5           L32 = 1,5	L13 = 4,3           L23 = 4,5           L33 = 1

  Критериями принятия наилучшего (оптимального решения в нашем случае будет минимум суммы значений безразмерных показателей    L_j  ( j =1,2,3)   . Очевидно, что  L₁ =7,5;   L₂ = 7,2;  L₃ =9,8. Таким образом, наилучшей с точки зрения потребителей является вторая модель.                                                                                                                                                              

        Подчеркнем, что проведенная так форма оценочных таблиц связана с известными ограничениями: мы исходим из предположения, что значимость, важность всех факторов одинакова. В действительности часто бывает не так. Предположим, что, по мнению экспертов, покупатели особенно заинтересованы в приобретении дешевого чемодана; вторым по важности критерием является его внешний вид, а вес чемодана играет незначительную роль.

        Проведенный экспертный анализ, исходя из статистики пробных продаж, указал для каждой характеристики свой весовой коэффициент: для веса  - β₁   = 0,5; внешнего вида  -  β₂  = 0,3; цены -  β₃  = 0,2 для веса  - β₁   = 0,5; внешнего вида  - β₂  = 0,3; цены  - β₃  =  0,2 (подчеркнем, что сумма весовых коэффициентов обычно равна 1).

        В этом случае критерием принятия оптимального решения будет минимум  L _j :     L₁¹=  ₁ i_{1 1} + ₂ i₁₂ + ₃ i₁₃ =  ∑  j i₁ j

                                              j = 1

и т. д.  Легко подсчитать, что  L₁¹ = 2,525;  L₂¹ = 2,34;  L₃¹ = 3,75. И здесь вторая модель является наилучшей.

        Коммерсант, используя исходные данные, постоянно проводит их логический анализ, выдвигая в ходе анализа различные гипотезы. Если на этом этапе работы вскрывается несоответствие выводов фактам, он отвергает  гипотезу, принятую вначале, заменяет ее другой и начинает рассуждение заново. В конце концов, деловой человек приходит к такому заключению, которое согласуется с начальными условиями.

        Мы предлагаем рассмотреть одну “историческую” задачу.

        Задача 2. На королевском соревновании Франции по фехтованию четыре первые места заняли Атос, Портос, Арамис и д”Артаньян. Сумма мест, занятых Атосом, Портосоми д”Артаньяном, равна 6; сумма мест Портоса и Арамиса также равна 6. Какое место занял каждый из мушкетеров, если Портос занял место более высокое, чем Атос? 

        Решение. Попробуем изобразить имеющиеся данные в виде соответствующей условной системы (мушкетеров будем обозначать первыми буквами их имен):

                                       

Из первых двух равенств следует, что места, занятые Атосом и д”Артаньяном вместе, равно месте Арамиса, т.е.     А + Д = Ар .

        Из второго условия следует, что ни Портос, ни Арамис не могли быть первыми. Значит, первыми могли быть или Атос, или д”Артаньян. Так как  А + Д = Ар и П<А, то Арамис занял четвертое место; далее, Портос занял второе место, Атос занял третье, а д”Артаньян – первое место.

Задача 3: Инспектор группы по изучению спроса населения представил управляющему фирмы такой отчет: Число опрошенных- 100 человек. Из них: пьют кофе – 78 человек, пьют чай – 71 человек, пьют кофе и чай – 489 человек. Управляющий забраковал отчет. Почему?  

Решение: Если посчитать, сколько людей пьют только чай или кофе, то получается:
1. 78-48=30 человек пьют только кофе
2. 71-48=23 человека пьют только чай
3. 23+30=53 это их всего, а ещё 48 пьют и чай, и кофе.
4. 53+48=101

Всего получается 101 человек, хотя должно быть сто. Поэтому и не приняли.

        Выше приведены примеры сравнительно несложных логических операций, приводящих к успеху при анализе различных ситуаций. Однако коммерсанту нередко приходится разбирать и более сложные решения.

     1.2                Процентные вычисления

Приведем некоторые несложные примеры, требующие, однако, соответствующей сноровки и смекалки операциях с процентами.

         Задача 4.  Кооператив, продав продукции на 3348 руб. Понес 4% убытка. Какова себестоимость этой продукции?

          Решение. Убыток исчисляется в процентах по отношению к себестоимости, принимаемой за 100%. Значит, 3348 руб, составляет 100%-4% = 96% себестоимости. Следовательно, продукция обошлась кооперативу в

         Задача 5.  Cобираемый пчелами нектар примерно на 70% состоит из воды. Производимый пчелами мед содержит 17% воды. Сколько нектара необходимо для того, чтобы, получить 1 кг меда?

          Решение.  1 кг нектара содержит 700 г воды и 300 г твердого вещества. 1 кг меда содержит 170 г воды и 630 г твердого вещества. Составляем пропорцию:

      Таким образом, для получения 1 кг меда необходимо 2,77 кг нектара.    

          Задача 6.   В каких пропорциях нужно сплавить золото 375-й пробы с золотом 750-й пробы, чтобы получить золото 500-й пробы?                                                                                             

           Решение. Пусть требуется сплавить  x  частей золота 375-й пробы и у частей золота 750-й пробы для золота 500-й пробы. Тогда в полученный  сплав будет входить из 375-й пробы   чистого золота и из 750-й пробы -    , т.е.  чистого золота. Это количество золота должно равнять золоту в сплаве (x+y) 500-й пробы. Отсюда  ;  250у=125х, т.е.

Отсюда делаем вывод, что золота 375-й и 750-й проб нужно сплавлять в отношении 2 : 1.

   

 

 1.3     Решения задач на разумный перебор вариантов

        Самые разные задачи практического содержания часто приводят к необходимости для их решения проведения разумного перебора вариантов. Так нередко происходит в тех случаях, когда неизвестные в полученных моделях по своему смыслу могут принимать только целочисленные значения.

      Задача 7. К животноводческой ферме необходимо проложить водопровод длиной 191 м. Вы располагаете трубами одинакового диаметра длинной 5м и 7м. Найти наиболее экономически целесообразное число труб той и другой длины, которое следует использовать для прокладки водопровода, учитывая, что разрезать трубы не рекомендуется.

      Решение. Для количественного описания процесса необходимо вложить конкретный смысл в понятие “Экономически целесообразно”. В данном случае это может означать стремление совершить возможно меньшее число соединений, что обеспечит большую прочность водопровода и наименьшие затраты труда на его прокладку.

      Перейдем к решению задачи. Обозначим число труб длинной 5м через x , а число длинной 7м через y. Тогда из условия задачи  5x+7y = 191.

      Так как 191 не кратно ни 5, ни 7 и учитывая требования задачи о нецелесообразности разрезать трубы, можно сделать вывод о том, что ограничиться трубами одного из двух заданных размеров нельзя.

       Для решения уравнения запишем его в виде 5x = 191-7y и воспользуемся признаком делимости на 5. Уравнение удовлетворяют пары чисел (34; 7), (27; 8), (20; 13), (13; 18), (6; 23).

       Однако нами еще не использовано требование о необходимости сделать наименьшее число соединений. При х=34 и у=3 потребуется сверить 36 соединений; при x=27 и y=8 – 34 соединения;  при  x=20 и y=13 – 32 соединения; при x=13 и y=18  - 30 соединений;  при x=6 и y=23  - 28 соединений.

       Таким образом, для прокладки водопровода экономически целесообразно использовать 23 семиметровые и 6 пятиметровыx труб.

    

 

 

2.  Математические модели и бизнес.

2.1  Модели, выражаемые элементарными функциями

   В разделе 1.2 мы уже встречались с построением простейших моделей в виде показательных и логарифмических функций и описывающих процесс кредитования средств.  Подчеркнем, что в коммерческой деятельности большую роль играют и другие  классы функций.                                                                                                                                                   Особое значение отводится линейной функции, так как во многих задачах практики “расходы” и “доходы” линейно зависят от количества израсходованных средств (так, суммарная стоимость партий товаров линейно зависит от количества закупленных единиц; оплата перевозок произодится пропорционально весу перевозимых грузов и т.д.). Здесь же рассмотрим и важный методологический вопрос: как моделирование существенно помогает процессу поиска решения прикладных задач.

      Задача 8. Перевозка груза от данного города в первый пункт, находящийся на расстоянии 100 км,  стоит 200 руб., а в другой, находящийся на расстоянии 400 км -350 руб.  Смоделируйте данную ситуацию и дайте прогноз изменения стоимости перевозки в зависимости от расстояния.

      Решение.  При обычных условиях стоимость перевозки пропорциональна расстоянию. Если x  - расстояние, y – стоимость перевозки, то математической моделью, описывающей данную ситуацию, будет линейная функция

                                                          y = kx + b

      Естественно, что указанная модель абстрактна; она пригодна для множества зависимостей, связанных с линейной функцией.

       Для нахождения конкретной модели, переформулируем задачау:                                              дана функция y= kx + b  . Известно, что при x₁, равном 100, y₁  равен 200;  при x₂, равном 400, y₂ равен 350 . Таким образом, для нахождения неизвестных параметров k и b получаем систему:

          Отсюда   k = 0,5,   b = 150.

     Таким образом, искомая модель: y = 0,5 x  +  150. Данная модель может служить для прогнозирования изменения стоимости перевозок грузов в зависимости от расстояния. Так, например, если необходимо перевозить груз на 50 км, то следует заплатить 175 руб., на 500 км – 400 руб. и т.д.

       Задача 9. Вам нужно срочно добраться до вокзала. Вы можете вызвать такси, которое нужно ждать в среднем 24 мин.  и затем ехать со скоростью 30 км/ч, а можете идти пешком со скоростью 6 км/ч.                                                                                                              Как лучше поступить, если расстояние до вокзала: а) 2 км; б) 3 км;  в) 6 км.

        Решение.  Из условия задачи ясно, что необходимо выяснить какое расстояние пройдет за 24 мин.  пешеход, идя со скоростью 6 км/ч и за какое время такси сможет ликвидировать это преимущество пешехода, имея скорость 30 км/ч.

        Пусть ʈ_z – время, отсчитываемое от выхода пешехода из дома. Тогда через  ʈ_z пешеход пройдет  S₁  = 6 ʈ км от дома, а при ʈ > ч. такси пройдет S₂=30 . ( ʈ -  ) км. Таким образом, задача моделируется следующей линейной системой:            

В этой модели необходимо найти то значение  ʈ, при котором S₂ ≥  S₁. С этого значения  ʈ  выгоднее вызвать такси, чем идти пешком.

          Теперь переформулируем задачу:

           Дана линейная система  

Найти  при каком  ʈ     , S_{2  >} S ₁  .

Легко видеть, что при  ʈ       S₂  S ₁. Таким образом, если расстояние до вокзала меньше 3км, то лучше идти пешком, а если равно 3 км, то все равно пешком или на такси, а если больше 3 км, то лучше взять такси.

        Процесс решения задачи с использованием  методов моделирования состоит из ряда этапов.

        На первых этапах, исходя из анализа условия составляется математическая модель задачи. Далее  –  переформулируется  условие задачи . На этом этапе она сводится к одной из известных задач: решению систем уравнений, неравенств, построению графиков функций  и т. д. Наконец, на последнем этапе проводится анализ решения задачи. (блок-схема решения задачи приведена ниже)

                                                               

                                                   

                                

                                      

                      

 

2.2   Оптимизационные модели

     Если проанализировать производство  какого-либо определенного вида продукций, то, как правило, выявится возможность получения этого продукта несколькими технологическими способами. Так существует несколько способов выплавки стали (мартеновский,  конверторный, в электропечах), добычи угля (шахтный, открытый, гидравлический), производства электроэнергии (на тепловых электростанциях, на гидростанциях, на атомных электростанциях). Произведенная продукция может обычно доставляться потребителем не одним, а несколькими (на выбор) видами транспорта, причем сам маршрут доставки также не является единственно возможным.

       Таким образом, на практике всегда приходится выбирать одни варианты, отбрасывая другие. Если затраты и результаты производства по всем вариантам не могу быть подсчитаны, то следует, конечно, отобрать более эффективные. Самый эффективный вариант называют оптимальным.

       Задача 10.  Пусть объем товарооборота (объема продажи) кооператива по некоторой товарной группе за плановый период составляет Q руб. ; С – затраты на хранение 1 кг товара в течение планового периода ;  K – затраты на завоз одной партии товара. Величину одной поставки можно считать оптимальной, если соответствующие расходы на перевозку товаров и затраты на их хранение являются минимальными. Каков должен быть оптимальный размер одной поставки и число поставок на плановый период?

        Обсуждение решения .  Пусть  X  - оптимальный  размер одной поставки. Полные издержки  хранения среднего текущего запаса в плановом периоде составляет , так как предполагается, что уровень  запасов  снижается равномерно  от максимального , определяемого размером   X, до нуля .         Издержки  по завозу составляют   , где  -  число партий товара, завозимых в плановом периоде.  Математическая  модель проблемной ситуации имеет вид:

          3. Основные вероятностно  –  статистические модели  и бизнес.

3.1.   Некоторые сведения из теории вероятностей

    В бизнесе, имея только некоторые предположительные прогнозы, ситуации, нужно пойти на определенный риск и принять  соответствующее решение. В этих случаях желательно применение вероятностных  моделей. Познакомимся вкратце с некоторыми сведениями  из теории вероятностей,  которые нужны нам будут  для последующего изложения.

      Вероятность данного исхода событий эквивалентна относительной частоте этого конкретного исхода, наблюдаемого во всех событиях точно такого рода. Таким образом, вероятность события  A  -  r (A) находится как отношение исходов K , благоприятствующих A,  к общему числу исходов  r , т. е.   r (A)  =                                                                                                                                                                                

   Задача 11.  В «секретном» замке на общей оси находится 4 диска, каждый из которых разделен на 5 секторов, на которых написаны различные цифры. Замок открывается только в том случае, если диски установлены так, что цифры на них составляют определенное четырехзначное число. Найти вероятность того,  что при произвольной установке дисков замок будет открыт.

      Решение:  Пусть A – событие, заключающееся в том,  что при произвольной установке дисков замок будет открыт. Тогда этому событию благоприятствует только один из  5⁴  исходов, т. е.

    Если два случайных события A и B взаимно исключат друг друга, то вероятность суммы этих событий ( т.е . вероятность появления или события  A, или B ) равна сумме вероятностей каждого из событий:

 

     Если события  A и B между собой независимы, то вероятность совместного появления (или вероятность произведения) этих событий равна произведению вероятностей каждого из событий в отдельности: 

     В математическом смысле вероятность события измеряется в пределах от 0 до 1. Если вероятность события A равна r , то вероятность противоположного ему событию A равна   (1- r), которое обычно обозначают через  g .

    Задача 12.  Выпущено 100 тыc. ,билетов  денежной лотереи . Разыгрываются 2 выигрыша по 5 тыс . руб., 8 – по 1 тыc. руб., 170 – по 100 руб., 350 по – 50 руб. и 750 – по 10 руб.  Составить закон распределения выигрыша владельца одного лотерейного билета и вычислить «справедливую» цену одного билета.

     Решение. Запишем закон распределения выигрышей лотереи:

«Справедливая»  цена билета – это математическое ожидание его выигрыша.  Отсюда :    M(X) = 0,1+0,08+0,17+0,175+0,075 = 0,6 руб.

Таким образом, «справедливая» цена билета  - 60 коп.

      Задача 13. Фирме принадлежит два завода. Нужно определить, какой из них работает более ритмично, если известно, что среднесуточный выпуск продукции первого завода составляет 50 тыс. деталей, а второго – 3 тыс. деталей при среднем квадратическом отклонении – соответственно – 6 тыс. штук и 0, 6 тыс.штук.

      Решение:  Показателем ритмичной работы могут служить коэффициенты  вариации:  , т.е.  более ритмично работает первый завод.

 3.2   Практическое применение вероятностных и статистических моделей.

     В практической деятельности часто приходится давать прогноз изучаемого явления, зная только часть её объектов (так называемую выборку) и, исходя из полученных результатов, делать выводы о всем явлении.  Естественно, что эти выводы всегда будут обладать некоторой погрешностью. Вероятностные модели позволяют учесть эти обстоятельства, вводя так называемые интервальные оценки параметров. Они основаны на определении такого числового интервала, относительно которого, c заранее установленной вероятностью  (надежностью), можно заключить, что внутри этого интервала находится истинное значение параметра.

        Задача 14. Для 10 человек была предложена специальная диета. После двухнедельного питания по этой диете вес их тела изменился следующим образом:

Вес до диеты (кг) Р1	78	86	81	74	70	79	78	66	57	76
Вес после диеты (кг) Р2	70	89	75	76	74	71	72	67	57	60

Можно ли рекомендовать эту диету для людей, желающих похудеть? Уровень значимости принять равным 0,9.

   Решение: Составим последовательность знаков разностей P₁-P₂: +-+--+-0+.  Число ненулевых разностей  l = 9, число положительных разностей r = 5.  Выдвигаем две гипотезы:

   H₁ – диету можно рекомендовать для людей, желающих похудеть ;

   H₂ – диету не следует  рекомендовать для людей, желающих похудеть.

   Для проверки гипотезы вычисляем статистику F:

   По уровню значимости 0,9 из таблиц [3]  F_r = 2,24.

 Значит, данные эксперимента подтверждают, что диету можно рекомендовать для людей, желающих похудетью. 

        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

      Рассмотрев математические задачи, способствующие развитию логического мышления и умению применять методы математического моделирования процессов и явлений мы убедились в том, что знания и умения, приобретенные в результате исследования данной темы, удовлетворят индивидуальные образовательные интересы, потребности и склонности школьника. Они могут служить фундаментом для дальнейшего изучения, как математики, так и экономики в высших учебных заведениях, способствует социализации личности и осознанному выбору профессии в будущем.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература

1.     Беседин В.Ф., Михайличенко С.Ю. Планирование в условиях перехода к рынку. Киев, Техника, 1990, 203с.

2.     Горстко А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. М., Знание, 1991, 156с.

3.     Жизнин С.Г., Крупанов В.Л. Как стать предпринимателем. Минск, Полифакт, 1990, 156 с.

4.     Вуукок М., Френсне Д. Раскрепощенный менеджер. М., Дело, 1991, 312 с.

5.     Кордемский Б.А. Математика изучает случайности. М. Просвещение, 1980, 221 с.    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение

ТЕСТ ДЛЯ ОЦЕНКИ СВОИХ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ, СКЛОННОСТИ К ИНДВИВИДУАЛЬНОЙ ТРУДОВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ (5)

      Отвечайте “ да” или “нет” на поставленные вопросы:

1) Я бы рискнул начать собственное дело, нежели работать на кого-то еще;

2) Я никогда не пойду на такую работу, где много поездок;

3) Мне нравится улучшать свою жизнь с помощью идей;

4) Если бы я стал играть, то никогда не делал бы малых ставок;

5) Никогда не брошу работу, не будучи уверен, что есть другая;

6) Я не склонен пойти на риск, чтобы расширить свой кругозор;

7) Зная, что какое-то конкретное новое дело может кончиться неудачей, я не стал бы вкладывать в него средств, даже зная, что прибыль может быть велика;

8) Хотел бы испытать  в жизни как можно больше;

9) Не ощущаю в себе особой потребности в возбуждающих событиях;

10) Я не обладаю большой энергией;

11) Я могу без труда порождать множество прибыльных идей;

12) Я бы никогда не стал спорить на сумку, которой в данное время не располагаю;

13) Мне нравится предлагать новые идеи или концепции, когда реакция на них – например, моего начальника – непредсказуемы и неясны;

14) Я готов участвовать лишь в таких сделках, которые достаточно ясны и определенны;

15) Менее надежная работа с большим доходом меня привлекает больше, чем более надежная со средним;

16) По характеру я не очень независим.

     Если вы ответили “да” на вопросы 1,3,4,8,10,11,13 и 15 – присваивайте каждому ответу по 1 очку. Если вы ответили “ нет” на вопросы 2,5,6,7,9,12,14 и 16 – также присваивайте по 1 очку.

     Если сумм ваших очков 13 и выше – вы, по всей вероятности, склонны к предпринимательскому  риску и к индивидуальной трудовой деятельности.