Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Практические работы обучающихся по дисциплине Математика для профессии Электромонтер по ремонту и обслуживанию электрооборудования (по отраслям).

Практические работы обучающихся по дисциплине Математика для профессии Электромонтер по ремонту и обслуживанию электрооборудования (по отраслям).

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Название документа МЕТОД.УК-Я К ПР-ЭЛ-КИ,2014-2016 уч.г..docx

Поделитесь материалом с коллегами:














Методические указания

к выполнению практических работ обучающихся

по дисциплине Математика

для профессии 140446.03. Электромонтер по ремонту и обслуживанию электрооборудования (по отраслям).



























2015 г.

Пояснительная записка


Цель методических указаний: оказание помощи обучающимся в выполнении практической работы по дисциплине Математика.

Настоящие методические указания содержат работы, которые позволят обучающимся самостоятельно овладеть профессиональными знаниями и умениями, опытом творческой деятельности при решении проблем учебного и профессионального уровня и направлены на формирование следующих компетенций:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем.

ОК 3. Анализировать рабочую ситуацию, осуществлять текущий и итоговый контроль, оценку и коррекцию собственной деятельности, нести ответственность за результаты своей работы.

ОК 4. Осуществлять поиск информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, клиентами.

ОК 7.Готовить к работе производственное помещение и поддерживать его санитарное состояние.

ОК 8. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

В результате выполнения практических работ по дисциплине Математика обучающиеся должны:

уметь:

    • Выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств;

    • Решать уравнения и неравенства (линейные, квадратные);

    • Вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

    • Находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства;

    • Проводить по формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы, тригонометрические функции;

    • Строить графики изученных функций;

    • Решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства; простейшие иррациональные и тригонометрические уравнения;

    • Вычислять производные и первообразные элементарных функций, используя справочные материалы;

    • Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций; строить графики многочленов с использованием аппарата математического анализа;

    • Распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить объекты с их описаниями, изображениями;

    • Описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве ;

    • Изображать основные многогранники и круглые тела;

    • Решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

    • Использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

    • Решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием формул

    • Вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

    • Использовать приобретенные знания и умения для анализа числовых данных, представленных в виде таблиц, диаграмм;



знать:

    • Выполнение арифметических действий, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств;

    • Решение уравнений и неравенств (линейных, квадратных);

    • Вычисление значений числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

    • Нахождение значений корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства;

    • Преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы, тригонометрические функции;

    • Построение графиков изученных функций;

    • Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств; простейших иррациональных и тригонометрических уравнений;

    • Вычисление производных и первообразных элементарных функций, используя справочные материалы;

    • Исследование в простейших случаях функций на монотонность, нахождение наибольших и наименьших значений функций; построение графиков многочленов с использованием аппарата математического анализа;

    • Вычисление в простейших случаях площадей и объемов с использованием определенного интеграла;

    • Распознавание на чертежах и моделях пространственных форм; соотношение объектов с их описанием, изображением;

    • Описание взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве ;

    • Изображение основных многогранников и круглых тел ;

    • Решение планиметрических и простейших стереометрических задач на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

    • Использование при решении стереометрических задач планиметрических фактов и методов;

  • Решение простейших комбинаторных задач методом перебора, а также с использованием формул;

  • Вычисление в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

  • Использование приобретенных знаний и умений для анализа числовых данных, представленных в виде таблиц, диаграмм;

  • Значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

  • Значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;

  • Универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание из части 1) и 2),выборочно из части 3).

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание из части 2),выборочно из части 3).

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание из части 1),выборочно из части 2).

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.






Списки практических работ по профессии: 140446.03. Электромонтер по ремонту и обслуживанию электрооборудования (по отраслям).

Списки ПР

Сроки выполнения

ПР №1«Вычисление перпендикуляра и наклонной. Вычисление угла между плоскостями».

1 семестр, 8 неделя

ПР № 2«Построение многогранников. Вычисление элементов призмы».

1 семестр, 11 неделя

ПР № 3«Вычисление элементов пирамиды, правильной пирамиды, усеченной пирамиды.».

1 семестр, 12 неделя

ПР № 4 «Вычисление элементов цилиндра».

1 семестр, 15 неделя

ПР № 5 «Вычисление элементов конуса, усеченного конуса».

1 семестр, 16 неделя

ПР № 6 «Вычисление элементов сферы».

1 семестр, 17 неделя

ПР № 7«Расчет по модели объёма прямоугольного параллелепипеда».

2 семестр, 20 неделя

ПР № 8 «Вычисление объёма прямой призмы. Вычисление объёма цилиндра».

2 семестр, 21 неделя

ПР № 9 «Вычисление объёма пирамиды .Расчет по модели объёма конуса».

2 семестр, 22 неделя

ПР № 10 « Расчет по модели площади цилиндра и конуса».

2 семестр, 23 неделя

ПР № 11 «Вычисление объёма шара. Расчет объёмов сегмента, слоя, сектора шара».

2 семестр, 24 неделя

ПР № 12 «Вычисление объёмов тел».

2 семестр, 25 неделя

ПР № 13 « Составление уравнения сферы ».

2 семестр, 26 неделя

ПР № 14«Умножение вектора на число .Вычисление координат векторов».

2 семестр, 28 неделя

ПР № 15 « Решение задач в координатах».

2 семестр, 29 неделя

ПР № 16 «Вычисление числовых характеристик дискретной случайной величины».

2 семестр, 33 неделя

ПР № 17 «Решение пропорций. Решение задач с помощью пропорций».

2 семестр, 35 неделя

ПР № 18 «Решение квадратных уравнений . Решение неравенств ».   

2 семестр, 37 неделя

ПР № 19   « Решение систем уравнений и неравенств. Вычисления по  формулам сокращенного умножения».

2 семестр, 38 неделя

ПР № 20 « Преобразование выражений ,содержащих корни и степени ».  

3 семестр, 3 неделя

ПР № 21 « Вычисление логарифмов ».      

3 семестр, 15 неделя

ПР № 22« Решение тригонометрических уравнений заменой переменной».

3 семестр, 17 неделя

ПР № 23« Вычисление множества значений тригонометрических функций по формулам».

4 семестр, 19 неделя

ПР № 24 « Нахождение экстремумов функции. Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции».

4 семестр, 20 неделя

ПР № 25 «Решение иррациональных уравнений».         

4 семестр, 24 неделя

ПР № 26 «Решение показательных и логарифмических уравнений».

4 семестр, 25 неделя

ПР № 27 «Решение тригонометрических уравнений».

4 семестр, 26 неделя

ПР № 28 «Решение показательных, логарифмических , тригонометрических неравенств».

4 семестр, 27 неделя

ПР № 29 «Решение неравенств с помощью метода интервалов».

4 семестр, 29 неделя

ПР № 30 «Вычисление угловых коэффициентов. Составление уравнения касательной к графику функции».

4 семестр, 32 неделя

ПР № 31 «Вычисление производных элементарных функций».

4 семестр, 33 неделя

ПР № 32 «Вычисление площадей с помощью интегралов».

4 семестр, 39 неделя

Итого практ.работ

64







ПРИЛОЖЕНИЕ №1


Основные учебники :


  1. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. Ш.А.Алимов и др. М., «Просвещение», 2009 г.

  2. Геометрия 10-11 кл. Л.С. Атанасян. М., «Просвещение»,2011 г.


Дополнительные учебники :



  1. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. Колмогоров А.Н. и др. М., «Просвещение»,2009г.

  2. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. Башмаков М.И. М., «Дрофа»,2009г.

  3. Геометрия 10-11 кл. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. М., «Просвещение», 2009г.




Интернет-ссылки для ВСР.

Алгебра:

  1. http://math-prosto.ru/?page=pages/library-math/alimov-10-11.php

  2. http://nashol.com/2012102467590/algebra-i-nachala-matematicheskogo-analiza-10-11-klass-alimov-sh-a-kolyagin-u-m-2012.html

  3. http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/algebra-i-nachala-analiza-10-11-klass-po-uchebniku-sha-alimova-i-dr

  4. http://nashol.com/2014021575799/algebra-i-nachalo-matematicheskogo-analiza-10-klass-muravin-g-k-2013.html

  5. http://elkniga.ucoz.ru/load/multimedijnye_posobija/matematika/multimedijnoe_posobie_po_matematike_uroki_algebry_kirilla_i_mefodija_10_11_klass/14-1-0-15

Геометрия:

  1. http://nashol.com/knigi-po-matematike/#po_godam_2012

  2. http://nashol.com/2011102361137/geometriya-uchebnik-10-11-klass-atanasyan-l-s-butuzov-v-f-kadomcev-s-b-2009.html

  3. http://4book.org/uchebniki-rossiya/10-klass/62-geometriya-uchebnik-dlya-10-11-klassov-atanasyan-l-s-i-dr

  4. http://neovit.net/edu/math1.htm

  5. http://elkniga.ucoz.ru/publ/uchebniki/10_klass/geometrija_atanasjan_l_s_uchebnik_dlja_10_11_klassa_obshheobrazovatelnykh_uchrezhdenij/98-1-0-311





И любые другие аналогичные из интернета по разделам «Алгебра и начала анализа», «Геометрия».






Название документа МЕТОД.УК-Я К ПР-ЭЛ-КИ,2015-2017 уч.г..docx

Поделитесь материалом с коллегами:














Методические указания

к выполнению практических работ обучающихся

по дисциплине Математика

для профессии 140446.03. Электромонтер по ремонту и обслуживанию электрооборудования (по отраслям).



























2015 г.

Пояснительная записка


Цель методических указаний: оказание помощи обучающимся в выполнении практической работы по дисциплине Математика.

Настоящие методические указания содержат работы, которые позволят обучающимся самостоятельно овладеть профессиональными знаниями и умениями, опытом творческой деятельности при решении проблем учебного и профессионального уровня и направлены на формирование следующих компетенций:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем.

ОК 3. Анализировать рабочую ситуацию, осуществлять текущий и итоговый контроль, оценку и коррекцию собственной деятельности, нести ответственность за результаты своей работы.

ОК 4. Осуществлять поиск информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, клиентами.

ОК 7.Готовить к работе производственное помещение и поддерживать его санитарное состояние.

ОК 8. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

Освоение содержания учебной дисциплины Математика обеспечивает достижение обучающимися следующих результатов:

  • личностных:

    • сформированность представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, идеях и методах математики;

    • понимание значимости математики для научно-технического прогресса, сформированность отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей;

    • развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования;

    • овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для освоения смежных естественно-научных дисциплин и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;

    • готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности;

    • готовность и способность к самостоятельной творческой и ответственной деятельности;

    • готовность к коллективной работе, сотрудничеству со сверстниками в образовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской, проектной и других видах деятельности;

    • отношение к профессиональной деятельности как возможности участия в решении личных, общественных, государственных, общенациональных проблем;

  • метапредметных:

    • умение самостоятельно определять цели деятельности и составлять планы деятельности; самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность; использовать все возможные ресурсы для достижения поставленных целей и реализации планов деятельности; выбирать успешные стратегии в различных ситуациях;

    • умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты;

    • владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;

    • готовность и способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности, включая умение ориентироваться в различных источниках информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников;

    • владение языковыми средствами: умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения, использовать адекватные языковые средства;

    • владение навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и оснований, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и средств для их достижения;

    • целеустремленность в поисках и принятии решений, сообразительность и интуиция, развитость пространственных представлений; способность воспринимать красоту и гармонию мира;

  • предметных:

    • сформированность представлений о математике как части мировой культуры и месте математики в современной цивилизации, способах описания явлений реального мира на математическом языке;

    • сформированность представлений о математических понятиях как важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;

    • владение методами доказательств и алгоритмов решения, умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

    • владение основными понятиями о плоских и пространственных геометрических фигурах, их основных свойствах; сформированность умения распознавать геометрические фигуры на чертежах, моделях и в реальном мире; применение изученных свойств геометрических фигур и формул для решения геометрических задач и задач с практическим содержанием;

    • сформированность представлений о процессах и явлениях, имеющих вероятностный характер, статистических закономерностях в реальном мире, основных понятиях элементарной теории вероятностей; умений находить и оценивать вероятности наступления событий в простейших практических ситуациях и основные характеристики случайных величин;

    • владение стандартными приемами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств;

    • сформированность представлений об основных понятиях математического анализа и их свойствах, владение умением характеризовать поведение функций, использование полученных знаний для описания и анализа реальных зависимостей;

    • владение навыками использования готовых компьютерных программ при решении задач.


Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание из части 1) и 2),выборочно из части 3).

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание из части 2),выборочно из части 3).

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание из части 1),выборочно из части 2).

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.













Списки практических работ по профессии: 140446.03. Электромонтер по ремонту и обслуживанию электрооборудования (по отраслям).

Списки ПР

Сроки выполнения

ПР № 1 «Вычисление перпендикуляра и наклонной к плоскости».

1 семестр, 6 неделя

ПР № 2 «Вычисление расстояния между прямыми и плоскостями».

1 семестр, 7 неделя

ПР № 3 «Построение многогранников. Вычисление площадей и объемов многогранников».

1 семестр, 10 неделя

ПР № 4 «Вычисление координат векторов».

2 семестр, 21 неделя

ПР № 5 «Решение комбинаторных задач».

2 семестр, 23 неделя

ПР № 6 «Вычисление вероятностей».

2 семестр, 24 неделя

ПР № 7 «Вычисление числовых выражений».

2 семестр, 29 неделя

ПР № 8 «Вычисление и сравнение корней. Выполнение расчетов с радикалами».

2 семестр, 30 неделя

ПР № 9 «Нахождение значений степеней с рациональными показателями. Сравнение степеней».

2 семестр, 32 неделя

ПР № 10 «Преобразования выражений».

2 семестр, 33 неделя

ПР № 11 «Нахождение значений логарифма».

2 семестр, 34 неделя

ПР № 12 «Вычисление логарифмов».

2 семестр, 35 неделя

ПР № 13 «Решение иррациональных уравнений». 

2 семестр, 37 неделя

ПР № 14 «Решение показательных уравнений».

2 семестр, 38 неделя

ПР № 15 «Решение логарифмических уравнений».

2 семестр, 39 неделя

ПР № 16 «Решение уравнений и их систем».

2 семестр, 40 неделя

ПР № 17 «Вычисление углов в радианах».

3 семестр, 2 неделя

ПР № 18 «Преобразование тригонометрических выражений».

3 семестр, 5 неделя

ПР №19 «Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств».

3 семестр, 7 неделя

ПР № 20 «Вычисление обратных тригонометрических выражений».

3 семестр, 9 неделя

ПР № 21 «Вычисление множества значений функций».

3 семестр, 11 неделя

ПР № 22 «Построение графиков функций».

3 семестр, 12 неделя

ПР № 23 «Построение графиков по свойствам функций».

3 семестр, 14 неделя

ПР № 24 «Построение графиков периодических функций».

3 семестр, 16 неделя

ПР № 25 «Построение графиков обратных функций».

3 семестр, 17 неделя

ПР № 26 «Построение графиков функций с помощью преобразований».

4 семестр, 18 неделя

ПР № 27 «Решение уравнений с помощью графиков».

4 семестр, 18 неделя

ПР № 28 «Вычисление членов последовательности».

4 семестр, 20 неделя

ПР № 29 «Составление уравнения касательной к графику функции».

4 семестр, 22 неделя

ПР № 30 «Вычисление производных элементарных функций».

4 семестр, 24 неделя

ПР № 31 «Исследование функции с помощью производной».

4 семестр, 25 неделя

ПР № 32 «Вычисление площадей с помощью интегралов».

4 семестр, 29 неделя

Итого практ.работ

64
















ПРИЛОЖЕНИЕ №1


Основные учебники :


  1. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. Ш.А.Алимов и др. М., «Просвещение», 2009 г.

  2. Геометрия 10-11 кл. Л.С. Атанасян. М., «Просвещение»,2011 г.


Дополнительные учебники :



  1. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. Колмогоров А.Н. и др. М., «Просвещение»,2009г.

  2. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. Башмаков М.И. М., «Дрофа»,2009г.

  3. Геометрия 10-11 кл. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. М., «Просвещение», 2009г.




Интернет-ссылки для ВСР.

Алгебра:

  1. http://math-prosto.ru/?page=pages/library-math/alimov-10-11.php

  2. http://nashol.com/2012102467590/algebra-i-nachala-matematicheskogo-analiza-10-11-klass-alimov-sh-a-kolyagin-u-m-2012.html

  3. http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/algebra-i-nachala-analiza-10-11-klass-po-uchebniku-sha-alimova-i-dr

  4. http://nashol.com/2014021575799/algebra-i-nachalo-matematicheskogo-analiza-10-klass-muravin-g-k-2013.html

  5. http://elkniga.ucoz.ru/load/multimedijnye_posobija/matematika/multimedijnoe_posobie_po_matematike_uroki_algebry_kirilla_i_mefodija_10_11_klass/14-1-0-15

Геометрия:

  1. http://nashol.com/knigi-po-matematike/#po_godam_2012

  2. http://nashol.com/2011102361137/geometriya-uchebnik-10-11-klass-atanasyan-l-s-butuzov-v-f-kadomcev-s-b-2009.html

  3. http://4book.org/uchebniki-rossiya/10-klass/62-geometriya-uchebnik-dlya-10-11-klassov-atanasyan-l-s-i-dr

  4. http://neovit.net/edu/math1.htm

  5. http://elkniga.ucoz.ru/publ/uchebniki/10_klass/geometrija_atanasjan_l_s_uchebnik_dlja_10_11_klassa_obshheobrazovatelnykh_uchrezhdenij/98-1-0-311





И любые другие аналогичные из интернета по разделам «Алгебра и начала анализа», «Геометрия».






Название документа ПР - ЭЛ-КИ,2014-2016 уч.г..docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Инструкционная карта

ПР №1«Вычисление перпендикуляра и наклонной. Вычисление угла между плоскостями».

Задание:

1) а) Записать по рисунку:

  • какой отрезок является перпендикуляр, наклонная, проекция наклонной,

  • угол между наклонной и плоскостью α.

АС - …, АВ - …, СВ – …, АВ2 = ВС2 + АС2.

- угол между наклонной и плоскостью α.

б)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Из точки, не принадлежащей данной плоскости , проведены к ней
две наклонные, равные 10см и 18см. Сумма длин их проекций на

плоскость равна 16см. Найти проекцию каждой наклонной.(рис.1)

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции, рис.1

АС = 10 см, СВ = 18 см, АО + ОВ = 16 см,

Найти: АО, ОВ

Решение: АС = 10, СВ = 18, АО + ОВ = 16, АО = х, ОВ = 16 х,

АС2 АО2 = ВС2 – ОВ2 , 102х2 = 182 – (16 х)2, 100 х2 = 324 – 256 + 32 х х2 ,

32 х = 32, х = … , АО = 1, ОВ = 16 – 1 = .... Ответ: 1 и 15 см.

Пример 2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 12см наклонена к плоскости под углом 60°, проекция другой на эту плоскость равна 6 см.

Найти длину этой наклонной.

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

СА = 12 см , САО = 60°, ОВ = 6 см ,

Найти: СВ

Решение: Δ АОС- прямоугольный, АСО = 90 ° - 60 ° = 30°, АО = СА : 2 = 12: 2 = … ,

СО2 = СА2 –АО2 = 122 – 62 = 144 – 36 = … ,

СВ2 = СО2 + ОВ2 = 108 + (6 )2 = 108 + 36 6 = 108 + 216 = … , СВ = … см. Ответ: 18 см.

Пример 3. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО = 6см и две наклонные. Каждая из наклонных образует с плоскостью угол 60°. Угол между наклонными 120°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

СО = 6см, САО = СВО = 60°, АСВ = 120°,

Найти: АВ
Решение: sin САО = СО : АС, АС = ВС = СО : sin САО = 6: sin60 ° = 6 : = 12 : = 4 ,

Δ АВС – равнобедренный, АВ2 = АС2 + ВС2 – 2АС ВС cos АСВ =

= (4)2 + (4)2 – 24 cos 120° = 16 3 + 16 3 - 216 3( – ) = 48 + 48 + 48 = … ,

АВ = … см. Ответ: АВ = 12 см.

Пример 4. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО и две наклонные СВ и АС. ОВ= 4,САО = 30°, СВО = 60°, а угол между наклонными 90°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

ОВ= 4,САО = 30°, СВО = 60°, АСВ = 90°,

Найти: АВ

Решение: ΔСОВ – прямоугольный, СВО = 60°, ОСВ = 90 ° - 60 ° = 30 °,

ВС= 2 ОВ = 24 = … , СО2 = ВС2 – ОВ2 = 82 – 42 = 64 – 16 = … , СО = = 4,

АС = 2 СО = 24 = … , ΔАСВ - прямоугольный, АВ2 = АС2 + ВС2 = (8)2 + 82 =

= 64 3 + 64 = … , АВ = … см. Ответ: АВ = 16 см.
Пример 5. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О.


Из точки О проведён к плоскости квадрата перпендикуляр ОМ. Найти расстояние от точки М до

стороны ВС, если AD = 6см, ОМ = 4см. (рис.2)

Дано: АВСD - квадрат, ОМ - перпендикуляр,
О - точка пересечения диагоналей квадрата,

МК - расстояние от точки М до стороны ВС, AD = 6см, ОМ = 4см.

Найти: МК

Решение: ОК = АВ : 2 = AD : 2 = 6 : 2 = … , ΔМОК - прямоугольный, Рис.2

МК2 = ОМ2 + ОК2 = 42 + 32 = 16 + 9 = … , МК = ... Ответ: МК = 5 см.
Пример 6. Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны . Найдите отрезок CD, если: АВ = 3 см, ВС = 7 см, AD = 1,5 см;

Дано: АВ, АС и AD попарно перпендикулярны, АВ = 3 см, ВС = 7 см, AD = 1,5 см; Найти: CD

Решение: Δ САВ – прямоугольный, АС2 = СВ2 – АВ2, АС2 = 72 – 32 = 49 - 9 = … ,

Δ САD – прямоугольный, СD2 = АС2 + АD2, СD2 = 40 + 1,52 = 40 + 2,25 = … ,

СD = … см. Ответ: СD = 6,5 см.hello_html_75ed7ad2.jpg

Пример 7. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1 , у которого основание квадрат.

Докажите, что а) СD В1С1 , б) С1D1 АD .

Доказательство: а) СD || A1B1, A1B1 В1С1 СD В1С1 ( по лемме),

б) С1D1 || ВС , ВС АD С1D1 АD ( по лемме) .

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Из точки, не принадлежащей данной плоскости, проведены к ней две наклонные,
    равные 20 см и 36 см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 32 см.
    Найти проекцию каждой наклонной.

  2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 24 см наклонена к плоскости под углом 60°, проекция другой на эту плоскость равна 12 см. Найти длину этой наклонной.

  3. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО = 12 см и две наклонные. Каждая из наклонных образует с плоскостью угол 60°. Угол между наклонными 120°.
    Найти расстояние между основаниями наклонных.

  4. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО и две наклонные СВ и АС.
    ОВ= 8,
    САО = 30°, СВО = 60°, а угол между наклонными 90°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

  5. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. Из точки О проведён к плоскости квадрата перпендикуляр ОМ. Найти расстояние от точки М до стороны ВС, если AD = 12 см, ОМ = 8 см.

  6. Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны.
    Найдите отрезок CD, если: АВ = 6 см, ВС = 14 см, AD = 3 см;

  7. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1 , у которого основание квадрат.
    Докажите, что
    а) С1D1 ВС, б) СD А1D1 .

3)Решить задачи :

  1. Дано: АС - перпендикуляр, АВ - наклонная,
    а)
    АВ = 10 см, ВС = 6 см, АС = ?, б) АС = 12 см, ВС = 5 см, АВ = ? (Указание:АВ2 = ВС2 + АС2 )

  2. Дано: Δ АВС – равнобедренный, АК(АВС), АК = 12 см, АВ = АС = 5 см, ВС = 6 см,
    КМ
    ВС. Найти: КМ, АМ.

(Указание: АВ = АС => КВ = КС => Δ СКВ – равнобедренный, КМ ВС => ВМ- медиана,

ВМ = МС = ВС : 2, КС2 = АК2 + АС2 , КМ2 = КС2 - МС2 , АМ2 = АС2 - МС2 )

  1. Дано: АО - перпендикуляр, АВ и АС - наклонные, АВ = АС, ОАВ = ВАС = 60°,
    АО = 2,5 см.
    Найти: ВС. (Указание: Δ ВАС – равносторонний, ВС = АВ = АС = 2АО)

  2. Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.

Дано: AB = 15 м, АС = 8 м, BD = 20 м, Найти: CD.

(Указание: Δ BKА – прямоугольный, АK2 = AB2 - BK 2)

  1. Дан куб АВСDА1В1С1D1 . Найдите следующие двугранные углы: а) АВ В1С , б) АDD1В,
    в) А
    1ВВ1К, где К- середина А1D1.

  2. Из вершины равностороннего треугольника АВС проведен перпендикуляр АК к плоскости треугольника. Найдите длину АК, если ВС = 3 см, КС = 3 см.

  3. Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.


Инструкционная карта

ПР № 2«Построение многогранников. Вычисление элементов призмы».

Задание:

1) а) Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, стр. 57,59. Построить многогранники.
б) Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, в котором высота проведенная к основанию равняется 8см.Высота призмы равняется 12см. Найдите полною поверхность призмы если боковая грань что содержит основание треугольника - квадрат. 
Решение:  Площадь поверхности призмы будет равна сумме площадей оснований и сумме площадей боковых поверхностей, то есть  S = 2S1 + S2 + 2S3 , где S1 - площадь основания призмы, S2 - площадь боковой поверхности, содержащей основание, S3 - площадь боковой поверхности, содержащей стороны равнобедренного треугольника. (Они равны, так как стороны основания равны в следствие того, что треугольник равнобедренный, а вторые стороны равны высоте призмы) .
Поскольку боковая грань, содержащая основание треугольника, является квадратом, то основание треугольника также равно 12 см. (основание треугольника одновременно является стороной грани).
 
Таким образом, зная высоту и основание равнобедренного треугольника можно найти его остальные стороны и площадь.
  S1 = 1/2ah = 1/2 12 8 = 6 8 = … см2 . 
Катеты, соответственно равны (у нас высота, являющаяся в равнобедренном треугольнике одновременно и медианой 12 /2 = 6 см, с каждым из катетов образует прямоугольный треугольник) по теореме Пифагора
  62 + 82  = 102 , Таким образом
S
2 = 1212 = … см2 . S3 = 1012 =… см2 . S = 2S1 + S2 + 2S3 = 2 48 + 144 + 2 120 = … см2 . 
Ответ: … см2.

Пример 2. В основании прямой треугольной призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 8 и 6 см. Найти боковое ребро призмы, если ее боковая поверхность равна 120 квадратных сантиметров. 
Решение: Сначала найдем гипотенузу основания призмы. AB2 = AC2 + BC2 , AB2 = 82 + 62 ,
AB
2 = 64 + 36 = …, AB = … .
Обозначим боковое ребро призмы как  h . Боковое ребро одновременно является и высотой призмы, поскольку по условию задачи призма является прямой. Тогда площадь боковой поверхности призмы является суммой площадей трех прямоугольников - ACC
1A1, CBB1C1 и ABB1A1 или, если подставить известные значения катетов основания призмы, то 10h + 6h + 8h = 120,  24h = 120, h =…, 
Ответ: ребро прямоугольной призмы с прямоугольным треугольником в основании равно 5 см. 

Пример 3 . В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см2, а высота 14 см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности. 
Решение: Правильный четырехугольник - это квадрат, сторона основания равна а = = … см. 
Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна 
d
2 =122 + 122  = …, d = 12 ,
Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна: d
12 = ( 12)2 + 142 = 288 + 196 = …, d1 = … см.
Ответ: 22 см .

Пример 4. Основанием прямой призмы ABCD A1B1C1D1 является параллелограмм ABCD со сторонами 4 см и 4 см и углом, равным 30 °. Диагональ AC1 призмы образует с плоскостью основания угол в 60 °. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Решение: Поскольку сумма соседних углов параллелограмма равна 180 градусам, то углы B и D. будут равны 180° – 30° = 150 °. 
Диагональ параллелограмма AC, таким образом, образует треугольник ACD с углом C равным 150
°. Применим теорему косинусов, при этом обозначив диагональ параллелограмма как d, а  стороны параллелограмма как a и b.
Учтем, что
  cos( 150° ) = – / 2. Получим: 
d
2 = a2 + b2 – 2abcos 150° , d2 = 16 + 48 – 2 4 4 (/ 2 ) = 16 + 48 + 48 = …,   
d = 4 , AC = 4 .
Зная величину диагонали параллелограмма, найдем высоту параллелограмма. Треугольник, который образует диагональ AC
1 ( AC1С ) с основанием призмы, согласно условию задачи (призма - прямая)
hello_html_a20ca67.png

является прямоугольным. Угол C1AC по условию равен 60 градусов. Для прямоугольного треугольника тангенс угла C1AC равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть tg ( C1AC ) = C1С / AC . Учтем, что тангенс 60 градусов равен tg 60° = . 
Соответственно,
 C1С  AC tg ( C1AC ) , C1С = 4 tg 60° , C1С = 4 .
Зная высоту призмы, определим площадь ее боковой поверхности:
  S = 2ha + 2hb, 
S = 2
 4 4  + 24 = 96+ ≈ 327,31   
Ответ: 96 + 32 ≈ 327,31.

Пример 5. Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см. 
Решение:  Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора: 
a
2 + a2 = 52 , 2a2 = … , a =
Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна: h
2 + 12,5 = 42 , h2 + 12,5 = 16 ,h2 = … ,
h = .
Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания S = 2a
2 + 4ah , S = 25 + 4 ,S = 25 + 4 ,S = 25 + 4
S = 25 + 4  , S = 25 + 10≈ 51,46 см
2 . 
Ответ: 25 + 10≈ 51,46 см2 .

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, в котором высота проведенная к основанию равняется 6см. Высота призмы равняется 16 см. Найдите полною поверхность призмы если боковая грань что содержит основание треугольника - квадрат.

  2. В основании прямой треугольной призмы лежит прямоугольный треугольник
    с катетами 4 и 3 см. Найти боковое ребро призмы, если ее боковая поверхность
    равна 120 квадратных сантиметров.
     

  3. В правильной четырёхугольной призме площадь основания 36 см2, а высота 7см.
    Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности. 

  4. Основанием прямой призмы ABCD A1B1C1D1 является параллелограмм ABCD
    со сторонами 2 см и 2
    см и углом, равным 30°. Диагональ AC1 призмы образует с плоскостью основания угол в 60°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

  5. Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 10 см, а диагональ боковой грани равна 8 см. 

3) Решить задачи:

  1. Дана прямая призма, в основании которой прямоугольный треугольник Δ АВС, В = 90º,
    ВDD 1В1 – сечение , ВD АС, АА1 = 10 см, АD = 27 см, DС = 12 см.
    Найти площадь сечения Sсеч.
    hello_html_m57d4dae2.jpg

  2. Дана прямая треугольная призма со сторонами a=5,b=12 ,c=13 см и высотой h= 8 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

  3. Основанием прямой призмы АВСА1В1С1 является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. Через ребро ВВ1 проведено сечение ВВ1D1D перпендикулярное к плоскости грани АА1С1С.

Найдите площадь сечения, если АА1 =14 см, АD =25 см, DС =36 см.

  1. Основание прямой призмы - треугольник со сторонами AB=5 и BC=12 см и углом в 90° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна S наиб.=39 см2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.hello_html_m5af2f329.jpg

  2. Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы

равно l = 12 см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной a=8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.



Инструкционная карта

ПР № 3«Вычисление элементов пирамиды, правильной пирамиды, усеченной пирамиды.».

Задание:

1) Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 8см, а радиус описанной около него окружности равен 5 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 12см. Вычислить боковые ребра пирамиды. 
Решение: В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на его гипотенузе. Соответственно, AB = 10 см, AO = 5 см. 
Поскольку высота ON = 12 см, то величина ребер AN и NB равна
 
AN
2 = AO2 + ON2 , AN2 = 52 + 122 = …, AN = = …. 
Поскольку нам известна величина AO = OB = 5 см и величина одного из катетов основания (8 см), то высота, опущенная на гипотенузу, будет равна
  CB2 = CO2 + OB2 , 64 = CO2 + 25 , CO2 = 39 ,
CO = . Соответственно, величина ребра CN будет равна :CN2 =  CO2 + NO2 , CN2 = 39 + 144 = …,
CN = .
Ответ: 13, 13 , .
hello_html_3a511f3b.png

Пример 2. Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 16 корней из 3 см2 (16). Вычислить периметр основания пирамиды. 
Решение
: Правильный треугольник - это равносторонний треугольник. Соответственно, боковая грань пирамиды представляет собой равносторонний треугольник. 
Площадь равностороннего треугольника равна:
 . 
Соответственно:
 16 = a2 / 4 , 16 = a2 / 4 , a2 = 64 ,a = … см .
Основанием правильной треугольной пирамиды является правильный (равносторонний) треугольник. Таким образом, периметр основания пирамиды равен
  Р = 83 = … см .
Ответ: 24 см. 

Пример 3. Высота правильной треугольной пирамиды 4 см, а ее апофемы 8 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. 
Решение:  Исходя из того, что MK = 8, MO = 4, синус угла OKM равен  MO/MK = 1/2 , откуда угол равен arcsin 1/2 = 30 °. Откуда  KO / MK = cos 30° , KO / 8 = cos 30° , KO = 8 cos 30° .
 KO = 8/2 = 4 .
Тогда по свойству равностороннего треугольника
  КО = r = a/6. 4 = a /6 , a = 24. 
Теперь, зная размер основания боковой грани и ее апофему, найдем площадь боковой грани как площадь равнобедренного треугольника:
 Sт = 1/224 8 = 12 8 = … см2 .
Откуда площадь боковой поверхности пирамиды
 S = 3 Sт = 3 96 = … см2 . 
Ответ: 288 см2.

Пример 4. Высота и сторона основания правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 24 и 14. найдите апофему пирамиды. 
Решение: Поскольку пирамида правильная, то в ее основании лежит правильный четырехугольник - квадрат. Кроме того, высота пирамиды проецируется в центр квадрата. Таким образом, катет прямоугольного треугольника, который образован апофемой пирамиды, высотой и отрезком, их соединяющим, равен половине длины основания правильной четырехугольной пирамиды.  Откуда по теореме Пифагора длина апофемы будет найдена из уравнения:  72 + 242 = x2 , x2 = …,  x = ….  Ответ: 25 см .
hello_html_m105d4bfc.png

Пример 5. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 3, h = 4, a1= 16 , a2= 10 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: r1= a1 / 2  = 16  : 2  = 16 : 2 = …, r2= a2 / 2  = 10  : 2  = 10 : 2 = … ,

l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 42 + (5 8)2 = 16 + 9 = …, l = … Sn =  /4 (a12 + a22) + 1,5 l(a1 + a2) .

Sn =  /4 ((16 )2 + (10 )2) + 1,5 5(16  + 10 ) =  /4 (768 + 300) + 1,5 5 = =267 + 195  =   .

Ответ: 462 

Пример 6. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 3, a1= 16, a2= 8 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: r1= a1 / 2= 16: 2= …, r2= a2 / 2= 8  : 2  = …,

l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 32 + (4 8)2 = 9 + 16 = …, l = ….

Sn = (a12 + a22) + 2 l(a1 + a2) .Sn = (162 + 82) + 2 5(16 + 8) = 320 + 240 = … .

Ответ: 560

Пример 7. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 6, h = 2, a1= 2 , a2= 6 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: r1= a1 / 2  = 2  : 2  =  , r2= a2 / 2  = 6  : 2  = 3 ,

l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 22 + ( )2 = 4 + 12 = …, l = ….

Sn =3  /2 (a12 + a22) + 3 l(a1 + a2) .Sn =3  /2 (22 + 62) + 3 4(2 + 6) = …   + .

Ответ: 60   + 96

Пример 8. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 3, r1=2, r2= 6 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 32 + (6 2)2 = 9 + 16 = …, l = ….

Sn = 4 (r12 + r22) + 4 l(r1 + r2) . Sn = 4 (22 + 62) + 2 5(2 + 6) = 160 + 80 = … .

Ответ: 240.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 16 см, а радиус описанной около него окружности равен 10 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 24 см. Вычислить боковые ребра пирамиды. 

  2. Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 64 корней из 3 см2 (64). Вычислить периметр основания пирамиды. 

  3. Высота правильной треугольной пирамиды 8 см, а ее апофемы 16 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. 

  4. Высота и сторона основания правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 24 и 20. Найдите апофему пирамиды. 

  5. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 3, h = 8, a1 = 14 , a2 = 2 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  6. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 8, a1 = 16, a2 = 4 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  7. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 6, h = 2, a1 = 4 , a2 = 8 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  8. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 3, r1 = 5, r2 = 9 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

3)Решить задачи :hello_html_m3eb51a34.png

  1. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна AB=15 см, а одна из диагоналей равна BD = 18 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота ее проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна

SO = .

  1. Дана правильная четырехугольная пирамида со стороной основания a=12 см и
    высотой
    h=8 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
    hello_html_m3367cdaa.jpg

  2. Дана пирамида со сторонами основания a = 10,b = 24,c = 26 см и апофема равна l=10 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

  3. Дана пирамида со сторонами основания a=10,b=13,c=13 см и высотой h2=. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.hello_html_m1aa89a30.jpg

  4. Дана усеченная правильная треугольная пирамида со сторонами
    a1 = 26 и а2 = 14 см и высотой h = 8 см. Найдите площадь полной поверхности усеченной пирамиды.

Инструкционная карта

ПР № 4 «Вычисление элементов цилиндра».
Задание:

  1. Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого равна 17 см, высота цилиндра равна 15 см., а радиус основания 5 см. На каком расстоянии от оси проведено это сечение? 
Решение. Сечение цилиндра в плоскости представляет собой прямоугольник. Таким образом, BM также представляет собой высоту цилиндра. Треугольник BMK - прямоугольный. Таким образом, можно найти длину стороны MK = BC:
BK
2 = BM2 + MK2 , MK2 = BK2 - BM2 ,MK2 = 172 - 152 = …, MK = … 
Таким образом, MK = BC = 8 см.
 
AD - диаметр цилиндра, проведенный как сечение, параллельное заданному в условии задачи. BC - прямая, принадлежащая сечению, параллельному оси цилиндра. Поэтому ABCD - трапеция. Если трапеция равнобедренная, то вокруг нее можно описать окружность. Таким образом, ABCD - равнобедренная трапеция. Найдя высоту трапеции, получим расстояние от проведенного по условию задачи сечения до оси цилиндра.
AD = 2R = 2 5 = … см,
 OC = OD = R = 5 см .
В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой - полуразности оснований. Таким образом,
 
AN = DP = ( 10 -8 ) / 2 = … см
 , тогда OP = OD -DP = 5 - 1 = … см .
Треугольник CPO - прямоугольный, так как CP - высота трапеции. Откуда
 
CP
2 + OP2 = OC2 ,CP2 = OC2 - OP2, CP2 = 52 - 42 ,CP2 = 25 - 16 = …,
CP = … . 
Ответ: Проведенное сечение цилиндра находится на расстоянии 3 см от его оси.
hello_html_m518413cd.pnghello_html_m49b1fd63.png

Пример 2. Найдите радиус цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 8см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30 градусов.  hello_html_2a26c44d.png

Решение:

Поскольку AC = 8 см, а угол ACD = 30°, то 
CD = AC cos 30°  . CD = 8  /2 = 4. Аналогично,  AD = AC sin 30° , AD = 8 1/2 = 8 : 2 = … , 

Откуда радиус основания цилиндра равен R = 4 : 2 = … см. hello_html_1ffef818.jpg

Ответ:  2 см.

Пример 3. Высота цилиндра 20см, радиус основания 10см. Найдите площадь сечения, проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии 6см от неё.

Решение:

r = 10, d = 6, АС 2 = r2d2 = 102 - 62 = 100 – 36 = …,

АС =…, АВ1 = 2АС = 2 8 = … ,

Sсеч. = АВ1 h , h = 20, Sсеч. = 16 20 = …

Ответ:  320 см2 .

Пример 4. Найдите высоту цилиндра, если радиус основания 5см и площадь сечения равна 128 см2 , проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии 3см от неё.

Решение: : r = 10, d = 6, АС 2 = r2d2 = 52 - 32 = 25 – 9 = …,

АС =…, АВ1 = 2АС = 2 4 = … ,

h = Sсеч. : АВ1 = 128 : 8 = …

Ответ: 16 см.

Пример 5. Дано: цилиндр, АВ1 = 16 см, B1AB = 30° (рис.).Найти: hRосн. 

Решение:hello_html_m41d996ff.jpg

1) hк. = BB1;

2)Из ΔАВВ1 находим AB: AB = 16 cos 30° = 16 /2 = 8
R = 1/2 AB = 8 : 2 = 4 .

3) Из ΔВ1АВ находим BB1: BB1 = 16 sin 30 ° = 16 1/2 = 16 : 2 = … см.

Ответ: = 8 см; R = 4 см.

  1. Решить задачи ( по примерам):


  1. В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого равна 34 см, высота цилиндра равна 30 см., а радиус основания 10 см. На каком расстоянии от оси проведено это сечение?

  2. Найдите радиус цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 16 см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30 °

  3. Высота цилиндра 20см, радиус основания 15 см. Найдите площадь сечения, проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии 12 см от неё.

  4. Найдите высоту цилиндра, если радиус основания 13 см и площадь сечения равна 144 см2 , проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии 5 см от неё.

  5. Дано: цилиндр, АВ1 = 8 см, B1AB = 30° (рис.). Найти: hRосн.

3)Решить задачи :hello_html_1ffef818.jpg

  1. Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, стороны которого диаметр и образующая цилиндра соответственно. Диагональ осевого сечения цилиндра равна АС = 24 см. Угол α между этой диагональю и диаметром цилиндра равен 30°. Найдите высоту, радиус, площадь основания цилиндра.

  2. Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота-h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите h, если r = 5, d = 4, АВ = 10 см.

  3. Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота-h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите d, если r = 10, h = 5, АВ = 13 см.

  4. Диагональ осевого сечения цилиндра равна см, а радиус основания – 3 см. Найдите высоту цилиндра.

  5. Плоскость , параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу AmD с градусной мерой . Радиус цилиндра равен a, высота равна h, расстояние между осью цилиндра ОО1 и плоскостью равно d. hello_html_45b595c1.gif

1) Докажите, что сечение цилиндра плоскостью есть прямоугольник.

2) Найдите AD, если a =10 см, = 60.

  1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна см, а высота – 5 см. Найдите радиус цилиндра.

  2. В цилиндре параллельно его оси проведено сечение. Диагональ сечения, равная 16, составляет угол 60° с плоскостью основания. Радиус основания цилиндра равен 5. Найдите расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.

  3. Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, а его образующая – 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Найти угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

  4. В цилиндре проведена плоскость, параллельная оси и отсекающая от окружности основания дугу в 120°. Диагональ сечения равна 20 см и удалена от оси на 3 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

  5. Осевое сечение цилиндра - квадрат, площадь основания цилиндра равна 16π см2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

  6. Высота цилиндра 8 дм, радиус основания 5 дм. Цилиндр пересечен плоскостью параллельно оси так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от этого сечения до оси цилиндра.hello_html_361456b7.jpg

  7. Дано: цилиндр; CBD = 120°; CD1 = 20 см; OK = 3 см. Найти: Sб.п.ц.

  8. Плоскость, проходящая через центр нижнего основания цилиндра под углом α к основанию, пересекает верхнее основание по хорде, равной b и стягивающей дугу β. Найдите высоту цилиндра.

  9. Отрезок CD равен 25 см, его концы лежат на разных окружностях основания цилиндра. Найдите расстояние от отрезка CD до основания цилиндра, если его высота 7 см, а диаметр основания 26 см.


Инструкционная карта

ПР № 5 «Вычисление элементов конуса, усеченного конуса».
Задание:

  1. Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Осевое сечение конуса равносторонний треугольник со стороной 10см. Найти радиус основания и высоту конуса.
Решение:  Так как ΔАВС - равнобедренный, то АВ = ВС = АС = 10 см. r = АС : 2 = 10 : 2 = … ,
Из ΔВОС по теореме Пифагора: h2 = OB2 = BC2OC2, h2 = 102 – 52 = 100 – 25 = …, h = = 5

Ответ: r = 5 см, h = 5
Пример 2. Дано: конус, ОР = 15 см, ОВ = r = 8 см (рис.). Найти: РВ. 
Решение: Из ΔОРВ по теореме Пифагора:PB2= PO2 + OB2,
PB2= 152 + 82 = 225 + 64 = … , PB = …
hello_html_m6d6bd24b.jpg

Ответ: 17 см.

Пример 3. Дано: Конус, ABC = 120°, АВ = 6 (рис.). Найти: R, h. hello_html_m6bcb7613.jpg

Решение:1) ΔАВС - равнобедренный, угол при основании  С = 30°.

  1. Из ΔАВО : h = ВО = AB : 2 = 6 : 2 = ... 

  2. R = AO = AB · cos 30° = 6 ·  : 2 = … .
    Ответ: H = 3, R = 3.

Пример 4. Дано: Конус. ΔАВС - равносторонний, АВ = 12, = 10 (рис.). Найти: OK, h. hello_html_m2d0d5103.jpg

Решение: 1)Из ΔВОС по теореме Пифагора: h2 = OB2 = BC2OC2, h2 = 122 – 102 = =144 – 100 = …, h = = 2

2)ΔABC - равносторонний, АС = 12, СК = 6. Из ΔСОК по теореме Пифагора
ОК
2 = ОС2 – СК2, ОК2 = 102 – 62 = 100 – 36 = …, OK = ...

Ответ: h = 2, ОК = 8.

Пример 5. Дано: конус, h = OP = 1,2 см, Sосев. = 0,6 см2 (рис.). Найти: l.hello_html_28ad1e01.jpg

Решение:

  1. Осевое сечение - треугольник: высота 1,2 см и основание 2r.

Sосев. =  · 2r h = r h, r = Sосев. : h = 0,6 : 1,2 = … см.

  1. Из ΔАОР по теореме Пифагора: l2 = h2 + r2  = OP2 + OA2. l2 = 1,22 + 0,52 = 1,44 + 0,25 = …, l = … см.

Ответ: 1,3 см.

Пример 6. Дано: усеченный конус, O1С = 3см, OD = 6 см, OO1 = 4 см (рис. ). Найти: So.сеч., CD . hello_html_m28dc10d1.jpg

Решение: Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция. Sсеч.= (BC + AD ) · OO1 : 2 ,
BC = 2O
1C = 2 · 3 = … см. AD = 2 OD = 2 · 6 = … см .
S
сеч.= (6 + 12 ) · 4 : 2 = 18 ·  2 = … см2,

ΔCKD - прямоугольный, по теореме Пифагора:
CD
2 = CK2 + KD2, CK = OO1 = 4 см, KD = OD – OK = OD – O1C = 6 – 3 = … см. CD2 = 42 + 32 = 16 + 9 = … ,CD = …

Ответ: Sсеч. = 36 cм2, CD = 5 см. hello_html_m5f94854e.jpg

Пример 7. Дано: усеченный конус, r 1 = 5 см, r 2 = 11 см, CD = 10 см,
Найти:
 So.сеч., h.
Решение: Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция.
Sсеч.= (BC + AD ) · OO1 : 2 , BC = 2O1C = 2 r 1= 2 · 5 = … см.
AD = 2 OD = 2
r 2 = 2 · 11 = … см .
ΔCKD - прямоугольный, по теореме Пифагора: CD2 = CK2 + KD2,
KD = OD – OK = OD – O1C = r2 r 1= 11 5= … , h = OO1 = CK, CK 2 = CD2 – KD2,
CK2 = 102 – 62 = 100 – 36 = … , CK = … , h = 8 см, Sсеч.= (10 + 22 ) · 8 : 2 = 32 · 4 = … см2. Ответ: Sсеч. = 128 cм2h = 8 см.

Пример 8. Дано: усеченный конус, АС = 40 см, AC  CDCD = 30 см (рис. ). Найти: Sсеч.. 

Решение: Сечение усеченного конуса является равнобедренная трапеция
 
Sсеч.= (BC + AD ) · OO1 : 2 ,

ΔADC - прямоугольный, по теореме Пифагора: AD2 = AC2 + CD2, AD2 = 402 + 302 = 1600 + 900 = … , AD = … см. Так как СН - высота прямоугольного треугольника, то СН2 = АН · HD.

ΔCHD - прямоугольный; CH2 = CD2HD2 , HD = ADAH = 50 – AH, АН · HD = CD2HD2,
AH · ( 50 AH ) = 900 – ( 50 AH)2 , 50AHAH2 = 900 – 2500 + 100 AHAH2, 50 AH = 1600, AH = … см. HD = 50 – 32 = … , OD = AD : 2 = 50 : 2 = … см , OH = OD – HD = 25 – 18 = … см, CH2 = 32· 18, CH = 24 см, Sсеч.= (2OH + 2OD ) · CH : 2 = (14 + 50) · 24 : 2 = … см2,

Ответ: Sсеч. = 768 см2.

Пример 9. Дано: усеченный конус, O1С = 16 см, OD = 25 см. Окружность, вписанная в сечение (осевое) (рис. ). Найти: Sсеч... hello_html_658e6bdc.jpg

Решение:  Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция. Так как в трапецию вписана окружность, то O1С = CF = 16 (см) и OD = DF = 25 (см)
(как отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки).
CD = CF + DF = 16 + 25 = … см, HD = OD O1C = 25 – 16 = … ,
ΔCHD - прямоугольный:  CH2 = CD2HD2, CH 2 = 412 – 9 2 = 1681 81 = … , CH = … см.

Sсеч. = (OD O1C) CH = (16 + 25) 9 = 41 9 = …

 Ответ: Sполн..  = 369 см2.

Пример 10. Дано: усеченный конус, r 1 = 3 см, r 2 = 6 см, h = 4 см, Найти: l.
Решение:
  l2 = h2 + (r2r1)2 , l2 = 42 + ( 6 3)2  = 16 + 9 = … , l = … см.
Ответ:
l = 5 см.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Осевое сечение конуса равносторонний треугольник со стороной 8 см. Найти радиус основания и высоту конуса.

  2. Дано: конус, ОР = 12 см, ОВ = r = 9 см (рис.). Найти: РВ. 

  3. Дано: Конус, ABC = 120°, АВ = 8 (рис.). Найти: R, h. 

  4. Дано: Конус. ΔАВС - равносторонний, АВ = 24, = 20 (рис.). Найти: OK, h.

  5. Дано: конус, OP = 2,4 см, Sосев. = 2,4 см2 (рис.). Найти: l.

  6. Дано: усеченный конус, O1С = 6 см, OD = 12 см, OO1 = 8 см (рис. ). Найти: So.сеч., CD. 

  7. Дано: усеченный конус, r1 = 3 см, r2 = 11 см, CD = 10 см, Найти: So.сеч., h.

  8. Дано: усеченный конус, АС = 20 см, AC  CDCD = 15 см .Найти: Sсеч.. 

  9. Дано: усеченный конус,  O1С = 3см, OD = 12 см. Окружность, вписанная в сечение (осевое). Найти: Sсеч.. hello_html_m3219ea58.jpg

  10. Дано: усеченный конус, r 1 = 3 см, r 2 = 9 см, h = 8 см, Найти: l.

3)Решить задачи :

  1. а) Высота конуса равна h = 24 см, а радиус основания равен r = 10 см. Найдите образующую конуса l.hello_html_775d711f.jpg

б) Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник Δ АВС. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен r = 6 см.

в) Радиусы оснований усеченного конуса равны r 1 = 6 и r 2 = 11 см, а образующая равна l = 13 см. Найдите высоту и площадь осевого сечения усеченного конуса, если его осевое сечение-трапеция.hello_html_m45781634.jpg

г) Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой α. Найдите α , если его радиус основания равен 6 см, а образующая равна 20 см.hello_html_1754fa31.jpg

д) Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой α. Найдите радиус основания конуса, если α = 90°, а образующая равна 12 см.

  1. Образующая конуса l наклонена к плоскости основания под углом в 30°. Найти высоту конуса и площадь осевого сечения.

  2. Радиус основания конуса равен 3 м, а высота 4 м. Найти образующую и площадь осевого сечения.hello_html_415082a2.jpg

  3. Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 90°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

  4. Дано: конус; SO = 6 см; ASB = 90°; CSD = 35°.Найти: S6.п.конуса.

  5. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна 5 см, и стягивающей дугу 90°. Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

  6. Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см.
    Найдите образующую конуса.

Инструкционная карта

ПР № 6 «Вычисление элементов сферы».hello_html_m6a79015f.jpg

Задание:

  1. Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Дано: шар, BAO = 30°Sсеч. = 75π см2 (рис. ). Найти: АС. 

Решение: S сеч. =r2 , 75 = r2 , r2 = …, r = 5 , AO1= 5 .
Из ΔАО
1О: cos 30° = AO1 / AO , AO = / () = 5 2 = … см.

AC = 2 · AO = 2 · 10 = … см. hello_html_65ab0256.jpg

Ответ: 20 см.

Пример 2. Дано: Rш. = 8 см, OAB = 45° (рис.).Найти: Sceч. 

Решение: S сеч. =r2 , cos 45° = AO1 / AO , AO1 = r = 8 · : 2 = … ,

S сеч. = 16 · 2 = … см2.

Ответ: 32π см2.

Пример 3. Дано: шар с центром в точке О, Sсеч. = 16π см2, расстояние от точки О до сечения OA=3 см (рис. ). Найти: Sсф. hello_html_35dd295d.jpg

Решение: S сеч. =r2 = 16 π, r2 = 16, r = … . 

Рассмотрим ΔОАВ : OA = - расстояние, значит, = 90°.

OB2 = R2 = r2 + OA2 = 42+ 32 = 16 + 9 = …, S сф. =R2 = 4π 25 = … π см2

Ответ: 100π см2.

Пример 4. Сколько кожи пойдет на покрышку футбольного мяча радиуса 10 см? (На швы добавить 8% от площади поверхности мяча.)

Решение: S сф. =R2 = 4π102 = 4100 π = … π см2.

1 способ.

1% составляет 0,01 400 π = 4 π см2.

8% составляет 84 π = 32 π см2. S = 400 π + 32 π = … π 1357 см2.

2 способ. 8% составляет 1,08 400 π = 432 π см2.

Ответ: 432π см2.

Пример 5. Дано: сфера с центром в точке О, АВ  CD, АВ - диаметр сечения, hello_html_68cdf4b6.jpg

CD - диаметр сечения MN – общая хорда. MN = 6 см, ОК = 4, ОО1 = ОО2 (рис.). Найти: Sсф. 

Решение: Рассмотрим прямоугольный ΔONK с OKN = 90°;

NK = MN : 2 = 3см, NO2 = R2 =  OK2 + NK2 = 32 + (4)2 = 9 + 32 = …,

S сф. =R2 = 4π41 = … π см2.

Ответ: 164π см2.

Пример 6. Дано: сфера с центром в точке О и радиусом Rr1 и r2 - радиусы параллельных сечений сферы, r1 = 9 см, r2 = 12 см, l = 3 см - расстояние между секущими плоскостями (рис.). Найти: Sсф. hello_html_1a919b33.jpg

Решение: Проведем диаметры перпендикулярно к данным параллельным сечениям. Через диаметр проведем секущую плоскость, которая пересечет сферу по окружности, радиус которой равен радиусу сферы 

ND = r1 = 9см, MB = r2 = 12 см, NM = 3 см, OD = ОВ = R в ΔOВМ:

OM2 = R2 – 122 = R2 – 144, в ΔODN: ON2 = R2 – 92 = R2 – 81,

MN = NO – MO = – , – = 3,

= 3 + , R2 – 81= 9 + 6 + R2 – 144, 6 = 54 , = 9, R2 – 144 = 81, R2 = 144 + 81 , R2 = 225, R = …, S сф.=R2 = 4π152 = 4π 225 = … π см2. Ответ: 900π см2.

Пример 7. Стороны треугольника 13, 14, 15 см. Найти расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника. Радиус шара 5 см.

Решение:

  1. Рассмотрим треугольник АВС со сторонами 13, 14, 15 см

S= p = ; p = = 42 : 2 = (см)

S== 84 (см)

  1. SАВС = pr , где r – радиус вписанной окружности. S= 21r , 84 = 21r r = … см


  1. h = R- r - т. Пифагора, h = = … (см). Ответ: h = 3 (см)


2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Дано: шар, BAO = 30°; Sсеч. = 48π см2 (рис. ). Найти: АС.

  2. Дано: Rш. = 10 см, OAB = 45° (рис.).Найти: Sceч. 

  3. Дано: шар с центром в точке О, Sсеч. = 25π см2, расстояние от точки О до сечения OA= 12 см (рис. ). Найти: Sсф. 

  4. Сколько кожи пойдет на покрышку футбольного мяча радиуса 5 см? (На швы добавить 8% от площади поверхности мяча.)

  5. Дано: сфера с центром в точке О, АВ  CD, АВ - диаметр сечения, CD - диаметр сечения MN – общая хорда. MN = 8 см, ОК = 6, ОО1 = ОО2 (рис.). Найти: Sсф. 

  6. Дано: сфера с центром в точке О и радиусом Rr1 и r2 - радиусы параллельных сечений сферы, r1 = 3 см, r2 = 4 см, l = 1 см - расстояние между секущими плоскостями (рис.). Найти: Sсф.

  7. Стороны треугольника равны 5, 5, 6 см. Найдите расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника. Радиус шара равен 2,5 (см).

3)Решить задачи :

  1. В сферу вписан конус, образующая которого равна l = 3 см, а угол при вершине осевого сечения равен 60 градусов. Найдите площадь сферы. hello_html_50087654.jpg

  2. Точка М- середина отрезка АВ, концы которого лежат на сфере радиуса R с центром О.(рис.) Найдите ОМ, если R = 10 дм, АВ = 12 дм.

  3. Все стороны треугольника ABC касаются сферы радиуса R = 7 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если ВС = а = 10 см, АС = в = 10 см, АВ = с = 12 см.

  4. Сечение шара плоскостью имеет площадь 36(м). Радиус шара 10м. Найти расстояние от центра шара до плоскости сечения.

  5. На поверхности шара даны три точки, кратчайшее расстояние между которыми равно 6 см. Определить площадь сечения, проходящего через эти точки.

  6. Найдите площадь сферы, если радиус сферы равен 3 см.

  7. Найдите радиус сферы, если площадь сферы равна 16π см2.

  8. Найдите площадь центрального сечения сферы, если радиус сферы равен 5 см.

  9. Найдите расстояние от точки касания плоскости и сферы, до точки на касательной плоскости, если радиус сферы равен 5 см, а расстояние от центра сферы до точки на касательной плоскости равно 13 см.

  10. Площадь сечения проходящего через центр шара, равна 16π см2. Чему равен радиус шара?

  11. Через точку, делящую радиус сферы пополам, проведена секущая плоскость, перпендикулярная к этому радиусу. Радиус сферы равен 16 см. Найдите площадь сечения.hello_html_m10715efe.jpg

  12. Шар с центром в точке О касается плоскости в т очке В. Точка А лежит в этой плоскости, ОА = 20 см, АВ = 12 см. Найдите радиус шара.

  13. Дано: шар, AC = 4; BAO = 45°.Найти: Sсеч.

  14. Дано: шар, BAO = 30°; Sсеч. = 75π см2 .Найти: АС.

  15. Радиус шара равен 17 см. Найдите площадь сечения шара, удаленного от его центра на 15 см.

  16. Радиус сферы равен 15 см. Найдите длину окружности сечения, удаленного от центра сферы на 12 см.

  17. Сфера w проходит через вершины квадрата CDEF, сторона которого равна 18 см. Найдите расстояние от центра сферы - точки О до плоскости квадрата, если радиус сферы ОЕ образует с плоскостью квадрата угол, равный 30°.

  18. Стороны треугольника MKN касаются шара. Найдите радиус шара, если МК = 9 см,
    MN = 13 см; KN = 14 см и расстояние от центра шара О до плоскости MNK равно см.

  19. Шар радиусом 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения.

  20. Найдите площадь сферы, радиус которой равен 6 см.



Инструкционная карта

ПР № 7«Расчет по модели объёма прямоугольного параллелепипеда».

Задание:

  1. Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро,

перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.
Решение: Каждая грань прямоугольного параллелепипеда –прямоугольник.

Пусть SABCD= a b = 12 , тогда АА1= h = 4, т.к. АА1 АВСD

Используем формулу объема прямоугольного параллелепипеда: V = a b h , V = 12 4 = ...

Ответ: 48 см3.

Пример 2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 12. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

Решение: Пусть АА1 АВСD, V = 12 , АА1= h = 3.

Найдём SABCD. Используем формулу объема прямоугольного параллелепипеда V = a b h, где SABCD= a b, S ABCD 3 = 12,S ABCD = 12 : 3 = ...

Ответ: 4 см2.

Пример 3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.

Решение: a = 4, b = 2, d = 6. Найдем V.

Формула диагонали прямоугольного параллелепипеда:

d2 = a2 + b2 + h2 , 16 + 4 + h2 = 36, h2 = … , h = ...

Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V = abh , V = 4 2 4 = ...

Ответ: 32 см3.

Пример 4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ и высоту.

Решение: a = 3, b = 2. Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V = abh , 3 . 2 . h = 36,

6h = 36, h = ..., V = 36. Найдем d. d2 = 9 + 4 + 36, d2 = 49, d = ...

Ответ: 7 и 6 см.
Пример 5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, диагональ 
D1= 18 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани, и угол в 45° с боковым ребром (рис. ). Найти: V.
hello_html_m49e41dc8.jpg

 Решение: BC1 - проекция D1на плоскость боковой грани BB1С1С,
поэтому 
D1BC1 = 30°D1BB1= 45°.
Рассмотрим Δ
D1C1BD1C1= 90° (рис.). ∠В = 30°. => D1C1 = 18 : 2 = … см.
Рассмотрим Δ
D1B1- прямоугольный: BB1= 18 cos 45° = 18 : 2 = … см.
Диагональ (d) и измерения (а, b, с) прямоугольного параллелепипеда связаны соотношением:
d2 = a2 + b2 + h2 , 182 = 92 + (9)2 + B1C12 ,(ΔD1B1B: B1B =D1 B1).
B1C12 = 182 92 (9)2 = 324 – 8181 2 = 81, B1C1 = …см. V = 99 9 = … см3.   
Ответ:
V = 729см3.

Пример 6. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 3 и 4. Найти его объём, если высота равна длине диагонали его основания.

Решение: BD - диагональ основания прямоугольного параллелепипеда. BD2 = АВ2 + АD2,
BD2 = 32 + 42 = 9 + 16 = …, BD = …, h = 5. V = 345 = … см3.
Ответ:
60 см3.

Пример 7. Найти объём прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания 2 и 3, а диагональ параллелепипеда .

Решение: d2 = a2 + b2 + h2 , ()2 = 22 + 32 + h2 , h 2 = 38 – 49 = 25, h = ...

V = 23 5 = … см3.
Ответ: 30 см3.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 15. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 6. Найдите объем параллелепипеда.

  2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

  3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 4. Диагональ параллелепипеда равна 13. Найдите объем параллелепипеда.

  4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 6. Объем параллелепипеда равен 108. Найдите его диагональ и высоту.

  5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, диагональ  D1= 12 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани, и угол в 45° с боковым ребром. Найти: V.

  6. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 6 и 8. Найти его объём, если высота равна длине диагонали его основания.

  7. Найти объём прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания 4 и 6, а диагональ параллелепипеда .

3)Решить задачи :

1. Объём параллелепипеда равен 60 см3.

Проставьте недостающий размер.

? 4 см

5 см

2. Каковы измерения параллелепипеда на рис. б), сложенного из 3 одинаковых брусков, изображённых на рис. а). Каков его объём?hello_html_m5cd8b5bc.png


3. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3 см, 5 см и 8 см.

а) 120 см3; б) 60 см3; в) 32 см3; г) другой ответ.

4. Длина прямоугольной комнаты в 2 раза больше ширины и на 2 м больше высоты. Найдите объем комнаты, если ее длина равна 6 м.

а) 432 м3; б) 144 м3; в) 72 м3; г) другой ответ.

5. Найдите объем куба, если площадь его развертки равна 96 см2.

а) 16 см3; б) 64 см3; в) 80 см3; г) другой ответ.

6. Найдите ребро куба, если его объем равен  512  м3

а) 4 м; б) 8 м; в) 16 м; г) другой ответ.hello_html_m115c4d1e.jpg

7. Как изменится объем параллелепипеда, если его длину увеличить в 4 раза, ширину увеличить в 6 раз, а высоту уменьшить в 8 раз?

а) увеличится в 3 раза; б) уменьшится в 12 раз; в) не изменится; г) другой ответ.

8. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1; 0,5 и 16. Найдите ребро равновеликого ему куба.

9. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1,5. Найдите объем параллелепипеда. hello_html_54b46307.png

10.Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 5. Найдите объем параллелепипеда.

11. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед. B1= 10 .

Найти: V.

12. По готовым чертежам найти: V.hello_html_m523d2727.jpg

а) б) hello_html_763e6c8a.jpg





13. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2,5 см, 5 см, 5 см. Найти ребро куба, объем которого в два раза больше объема данного параллелепипеда.

14.Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям,

равным 3 см, 4 см, 5 см. 

15.Найдите площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через ребро АВ и середину ребра В1С1, если ребро куба равно 2 см.

16.Найдите площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через

ребра АВ и C1D1, если ребро куба равно 3 см. 

4) Выполнить расчет по модели прямоугольного параллелепипеда:
измерить длину, ширину, высоту и найти объем.



Инструкционная карта

ПР № 8 «Вычисление объёма прямой призмы. Вычисление объёма цилиндра».

Задание:

  1. Перепишите и заполните пропуски:

Вычисление объёма прямой призмы. hello_html_m47ca6280.jpg

Пример 1. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АС = ВС, ACB = 90°BN NACNC1 = 45°CC1 = 6 (рис.). Найти: V. Решение: V = Sh , S = BC2 : 2, BC2 = BN2 + CN2 , BN =CN
(
ΔABC – прямоугольный,AC =BC), ΔC1CN – прямоугольный,CNC1 = 45°
CC1 = CN= 6, BC2 =2CN2 = 2 62 = 236 = …, BC = 6 ,
V = (62 6 : 2 = 36 6 = … см3.    
Ответ:216см3.     Пример 2. Дано: ABCDА1В1С1D1 - прямая призма,  ABCD - ромб, BAD = 60° (рис.). ВВ1 = 2, B1DB = 45°. Найти: V. РешениеSp = AB AD sin 60°. ΔABD – равносторонний( AB = AD,BAD = 60° ).
AB = BD = AD. ΔB1DB –прямоугольный ,
B1DB = 45°. => ΔB1DB – равнобедренный, ВВ1 = ВD = 2,
V = AB AD sin 60° BB1= BB13 sin 60° = 23 / 2 = … см3.
hello_html_6c1a9bbb.jpg

Ответ: 4 см3

Пример 3. Дано: ABCDFM...M1 - правильная шестиугольная призма. AD1 = 8 см - наибольшая диагональ.AD1= 30°(рис.).hello_html_72355ff0.jpg

Найти: V. 
Решение: V= S0 · h. h = DD1 в ΔADD1, = 90°. D1 = 30°,

DD1 = AD1 · cos 30°. DD1 = 8 / 2 = … , AD = AD1 : 2 = 8 : 2 = … см,
OD = OC = CD = AD : 2 = 4 : 2 = …
см,
S
0 = 6S ΔOCD = 6 / 4) a2 = 6 / 4) 22 = 6 см. V = 6 = 6 43 = … см3.    

Ответ: 72 см3.   hello_html_m62762a7f.jpg

Пример 4. Дана трапеция, S(BB1C1C) = 8 см2, S(AA1D1D) = 12см2, BH = 5 см (рис.).Найти: Vnp. 
Решение:1)Расстояние между параллельными плоскостями ВВ1С1 и AA1D1 есть длина перпендикуляра ВН, который является высотой трапеции ABCD.

2) Обозначим верхнее основание трапеции - а, нижнее - b, высоту призмы h, тогда S(BB1C1C) = ah, 8 = ah, a = 8 / h, S(AA1D1D) = bh , 12 = bh, b = 12 / h,

3) S0 = (AD + BC)BH : 2 =( a + b ) BH : 2 = (8 / h + 12 / h) 5 : 2 = … / h,

4) V= S0 · h. V= 50 / · h = … см3.  Ответ: 50 см3.

Вычисление объёма цилиндра.
Пример 1
. Дано: цилиндр, r = 2см, h = 3 см. Найти: V.

Решение: V= S0 · h. V= πr2 · h = π()2 3 = π 8 3= … π см3.
Ответ: 24π см3.

Пример 2. Дано: цилиндр, r = h= 8π см3.Найти: h.

Решение: V= S0 · h. V= πr2 · h, так как r = h, то V = πh3 => h3 = V / π, h3 = 8 π / π = 8, h = … см.
Ответ: 2 см.
hello_html_2cd2a3a8.jpg

Пример 3. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, 

АС = 8см. (рис.). Найдите: Vцил. 

Решение:1) V= S0 · h. 

2)Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный, так как ABCD квадрат.
Пусть АВ = ВС =
x см(x >0), тогда x2 + x2 = (8)2, 2x2 = 642,x2 = 64, x = ....
Итак: АВ = ВС = 8 см, т.е. 
= 8 (см).

3) Найдем радиус основания: = 1/2AD = h / 2 = 8 : 2 = … см, тогда S0 = πr2 , S0 = 16π см2. 

4) V= S0 · h. V= 16 π · 8 = … π см3.  

Ответ: 128 π см3.

Пример 4. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 6см
(рис.
Пример 3.). Найдите: Vцил. Решение:

1) V= S0 · h.  2)Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный и равнобедренный, так как ABCD – квадрат.

Обозначим АВ = ВС = х см (x >0), тогда x2 + x2 = (6)2, 2x2 = 362,x2 = 36, x = … ,
т. е. АВ = ВС = 6 см, и так = 6 см. 3) Найдем радиус основания r = AD : 2 = AB : 2 = 6 : 2 = …см. S0  = πr2 = 9πсм2. 

4) V= S0 · h. V= 9π · 6 = … πсм3.  
Ответ: 54π см3.
hello_html_60118f26.jpg

Пример 5. Дано: цилиндр (MNKL) || OO1, ОН =15 см, МК = 20 см, r = 17 см (рис.). Найдите: Vцил. 

Решение:1) MN || OO1 и KL || OO1, т.е. MN || KL; ОО1 основанию  MN  основанию и КО  основанию, кроме того NK ||ML - лежат в параллельных плоскостях, таким образом четырехугольник MNKL - прямоугольник.

2)  V= S0 · h. V= πr2 · h = 172πh = … πh см3

3) Рассмотрим ΔMOL: проведем ОН  ML; ОН и есть расстояние от плоскости сечения до оси цилиндра, т. е. ОН = 15 см. ОН - высота, медиана и биссектриса равнобедренного ΔMOL,

HL = ML : 2 , HL2 = OL2 – OH2 = 172 – 152 = 289 – 225 = … , HL = … см, ML = 28 = … см.

4) Находим высоту цилиндра из прямоугольного ΔMKL:
h2 = KL2 = MK2ML2 = 202 – 162 = 400 – 256 = … , h = … см.

5) V =289π 12 = … π см3. Ответ: 3468π см3.

2)Решить задачи ( по примерам): Призма.

  1. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АС = ВС, ACB =90°BN NACNC1 = 45°CC= 8 (рис.). Найти: V.

  2. Дано: ABCDА1В1С1D1 - прямая призма,  ABCD - ромб, BAD = 60° (рис.). ВВ1 = 4, B1DB = 45°. Найти: V.

  3. Дано: ABCDFM...M1 - правильная шестиугольная призма. AD1 = 16 см - наибольшая диагональ.AD1= 30° (рис.). Найти: V. 

  4. Дана трапеция, S(BB1C1C) = 10 см2, S(AA1D1D) = 14см2, BH = 10 см (рис.). Найти: Vnp.  Цилиндр.

  1. Дано: цилиндр, r = 4см, h = 3 см.Найти: V.

  2. Дано: цилиндр, r = h= 27π см3.Найти: h.

  3. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС =10см.(рис.). Найдите: Vцил. 

  4. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 4 см (рис. Пример 3.). Найдите: Vцил.

  5. Дано: цилиндр (MNKL) || OO1, ОН =30 см, МК = 40 см, r = 34 см (рис.). Найдите: Vцил. 

3)Решить задачи :hello_html_m47ca6280.jpg

  1. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АВ = ВС = 20 см, АС = 24 см, К - середина ребра,  KDB =60° (рис.). Найти: Vпр.

  2. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 27 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого?

  3. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 5. Объем призмы равен 60. Найдите ее боковое ребро.

  4. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 5, боковое ребро равно 4. Найдите объём призмы.

  5. Стор она основания правильной треугольной призмы равна 3см, а высота – 4 см. Найдите объём призмы.

  6. Найдите объем цилиндра с высотой, равной 3 см, и диаметром основания, равным 6 см.

  7. Объем цилиндра равен 27π. Найдите диаметр основания цилиндра, если площадь полной его поверхности в два раза больше площади боковой поверхности.

  8. Диагональ осевого сечения цилиндра составляет с плоскостью основания цилиндра угол 60°. Найдите объем цилиндра, если площадь осевого сечения равна 16 см².

  9. Площадь осевого сечения цилиндра равна 21 см², площадь основания - 18π см². Найдите объем цилиндра.

  10. Параллельное оси цилиндра сечение отсекает от окружности основания дугу в 120°. Радиус основания цилиндра равен R, угол между диагональю сечения и осью цилиндра равен 30°. Найдите объем цилиндра.


Инструкционная карта

ПР № 9 «Вычисление объёма пирамиды .Расчет по модели объёма конуса».

Задание:

  1. Перепишите и заполните пропуски:

Пирамида.

Пример 1. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 9 см. Сторона основания 4 см. Найдите объем пирамиды.

Решение: V= 1/3 S0 · h. V= 1/3 a2 · h = 1/3· 42·9 = 1/3 · 16 · 9 = 16 · 3 = … см3. Ответ: 48см3. 

Пример 2. a) Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 27 см3, высота 9 см. Найти сторону основания.

Решение: V= 1/3 S0 · h. V= 1/3 a2 · h, a2  = 3V : h = 3 · 27 : 9 = 3 · 3 = ... , a = … см.

Ответ: 3 см.hello_html_m12ec6366.jpg

б) Объем пирамиды равен 56 см3, площадь основания 14 см2. Чему равна высота?

Решение: V= 1/3 S0 · h.  h = 3 V : S0  = 3 · 56 : 14 = 3 · 4 = … см.

Ответ: 12 см.

Пример 3. Дано: ABCD - правильная пирамида.

АВ = a = 3; AD = 2 (рис.).Найти: aSocн.; б) АО; в) DO; г) V.

 Решение:

а) S0 = 0,25 · a2  = 0,25 · 32 = 2,25 (используем формулу для вычисления площади правильного треугольника). 

б) AO = R = 2/3h = 1/3 a  (формула радиуса описанной окружности через сторону правильного треугольника). AO = 1/3 · 3 = .

в) DO2 = AD2AO2, (по теореме Пифагора).

DO2 = (2)2 – ()2 = 4 · 3 – 3 = … , DO = h = 3.hello_html_5fef969e.jpg

г) V= 1/3 S0 · h. V= 1/3 · 2,25 · 3 = … см3.

Ответ: aSocн. = 2,25 см2; б) АО = см; в) DO = 3см; г) V = 2,25 см3 .

Пример 4. Дано: ABCDF - правильная пирамида. 

FCO = 45°FO = 2 (рис.). Найти: a) Socн.; б) V. 

Решение:

1) Рассмотрим ΔFOC= 90°= 45°, значит, = 45°. Следовательно, ΔFOC - равнобедренный, ОС ≈ FO = h= 2.

2) АС = 2OС = 4. AC = AD (по свойству диагонали квадрата, d2 = 2а2).

Тогда  AD = AC / = 4 / = 2 .

3) ABCD - квадрат (пирамида правильная). S0 = AD2 = (2)2 = 2 · 4 = ...

4) V= 1/3 S0 · h. V= 1/3 · 8 · 2 = 16/3 5,3. Ответ: a) 8; 6) 5,3.hello_html_6d91a8cf.jpg

Пример 5. Дано: ABCA1B1C1 – усеченная пирамида. ΔАВС – прямоугольный,
AB = 18 дм, BC = 24 дм, AA1 = BB1 = СС1 = 12,5 дм, k = 0,5. Найти V.

Решение: S1 = SABC = 1/2 · AB · BC = 1/2 · 18 · 24 = 9 · 24 = … ,
S
2 = S(A1B1C1) = 1/2· A1B1 · B1C1 = 1/2 (k · AB) · (k · BC) =
= 1/2· 0,5 · 18 · 0,5 · 24 = 6 · 9 = … ,
S = S
1 + S2 + = = 216 + 54 + = 216 + 54 + 54 = … ,
V = 1/3 · h · S = 1/3 378 h = 126 h, R
1 = abc/4S1 ,

c = = = … , R1 = = = …, hello_html_m78f1984a.jpg

R2 = R1 : 2 = 7,5; h2 = 12,52 – (15 – 7,5)2 = 12,52 – 7,52 = (12,5 – 7,5) · (12,5 + 7,5) =

= 5 · 20 = … , h = … ,

V = 126 h = 126 · 10 = … (дм3).
Ответ: 1260 (дм3).

Пример 6. усеченная пирамида а) n = 3, а1 = 2, а2 = 5, h = 12, V =?
Решение: A = 22 + 52 + 2 · 5 = 39, V = · h · A = · 12 · 39 = … . Ответ: 39 .

б) n = 4, a1 = 3, a2 = 8, h = 6, V = ?
Решение: A = 32 + 82 + 3 · 8 = 97, V = 1/3 · 6 · 97 = 2 · 97 = ...

Ответ: 194.


в) n = 6, a1 = 4, a2 = 9, h = 8, V = ?

Решение: A = 42 + 92 + 4 · 9 = 133, V = · 8 ·133 = 4 · 3 · 133 = ... Ответ: 1596.

Конус.

Пример 1. a) Вычислите объем конуса, если его высота 6 см, а площадь основания 42 см2.

Решение: V= 1/3S0 · h. V= 1/3· 42 · 6 = 42 2 = … см3.

Ответ: 84 см3. 

б) Найти объем конуса с радиусом основания 4 м и высотой 6 м .hello_html_22f040f9.jpg

Решение: V= 1/3 πr2 · h. V= 1/3 · π ·42 · 6 = … π м3. 

Ответ: 32 π м3. 

Пример 2. Образующая конуса равна 60 см, высота 30 см. Найдите Vк (рис.).

Решение: Из ΔАOР (O = 90°): Так как РО = 1/2АР, то = 30°, 
R = AO = 60· cos 30° = 60 · / 2 = …  см,

V= 1/3 πr2 · h. V= 1/3 π(30)2 · 30 = 900 3 10 π = … π см3. Ответ: V = 27000π см3.

Пример 3. Образующая конуса, равна 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 30° (рис.).

Найдите объем конуса.hello_html_77625222.jpg

Решение: V= 1/3 π ·AO2 · SO.  Из ΔАSO (O = 90°): h = SO = 1/2 AC = 12 : 2 = … см.

R = AO = 12 · cos 30° = 12 · / 2 = …  см.

V= 1/3 π(6)2 · 6 = 2 π · 36 · 3 = … π см3. Ответ: V= 216π см3.

Пример 4. Образующая конуса 8 см, а угол при вершине осевого сечения 60°.hello_html_6c88cf6d.jpg

Найдите объем конуса. 

Решение: (рис.) V= 1/3 πr2 · h. r = 8 : 2 = … см.

h = 8 · sin 60° = 8 · / 2 = …  см.

V= 1/3 π · 42 · 4 = 64 / 3 21,3π см3. Ответ: 21,3π см3.

2)Решить задачи ( по примерам): Пирамида.

  1. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6 см. Сторона основания 5 см. Найдите объем пирамиды.

  2. a)Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 48 см3, высота 4 см. Найти сторону основания. б) Объем пирамиды равен 28 см3, площадь основания 4 см2. Чему равна высота?

  3. Дано: ABCD - правильная пирамида. АВ = a = 6; AD = 4 . Найти: aSocн.; б) АО; в) DO; г) V.

  4. Дано: ABCDF - правильная пирамида.  FCO = 45°FO = 4 . Найти: a) Socн.; б) V. 

  5. Дано: ABCA1B1C1усеченная пирамида. ΔАВС прямоугольный, AB = 12 дм,BC = 16 дм, AA1 = BB1 = СС1 = 13 дм, k = 0,5. Найти V.

  6. а) n = 3, а1 = 2, а2 = 5, h = 24, V =?, б) n = 4, a1 = 3, a2 = 8, h = 3, V = ?,
    в) n = 6, a1 = 4, a2 = 9, h = 4 , V = ?

Конус.

  1. a)Вычислите объем конуса, если его высота 3 см, а площадь основания 12 см2.

б) Найти объем конуса с радиусом основания 5 м и высотой 9 м .

  1. Образующая конуса равна 4 см, высота 2 см. Найдите Vк (рис.).

  2. Образующая конуса, равна 12 см, наклонена к плоскости основания под углом 30° (рис.).
    Найдите объем конуса.

  3. Образующая конуса 4 см, а угол при вершине осевого сечения 60°.Найдите объем конуса. 

3)Решить задачи :

  1. Дано: ABCDEKF – прав. пирамида. FO  (ABC), FM  AK, FO = 8, FM = 10.
    Найти:
    a) Socн.; б) V. 

  2. В треугольной усеченной пирамиде с высотой, равной 10, стороны одного из оснований равны 27, 29 и 52. Определите объем усеченной пирамиды, если периметр другого основания равен 72.

  3. Дано: конус, АР = см, PAB = 45°. Найти: V. 

  4. Найдите объем конуса, осевое сечение которого представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 6 см.

  5. Найдите объем конуса, полученного в результате вращения вокруг большего катета прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной 2 см, и углом 30°.

4) Выполнить расчет по модели конуса: измерить диаметр основания и высоту конуса , найти радиус основания и объем конуса.

Инструкционная карта

ПР № 10 « Расчет по модели площади цилиндра и конуса».

Задание:

  1. Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 8см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30° . Решение: Поскольку AC = 8 см, а угол ACD = 30°, то CD = AC cos 30°  . Треугольник ACD - прямоугольный. Соответственно, CD / AC = cos ACD по свойству тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике.
Значение
  cos 30 найдем из таблицы значений тригонометрических функций. CD = 8  /2 = 4. Аналогично,  AD = AC sin 30° , AD = 8 1/2 = … , Откуда радиус основания цилиндра
равен
R = 4/2 = ... см.
Площадь основания цилиндра, соответственно, равна
  S1 = πR2 = 4π. Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развертки - произведению длины окружности основания и высоты цилиндра. То есть: S2 = 2πRh = 2π 2 4= … π. Общая площадь поверхности цилиндра равна: 
S =S1 + S2 =   4π +  16π.
Ответ:  4π +  16π.
Пример 2. Дано: цилиндр; ABCD - квадрат; АС = 4 см (рис. ). Найти: Sб.п.ц. Решение: Sб.п.ц. = 2πRH. Пусть АВ = х, тогда х2 + х2 = 42; 2х2 = 16; х2 = 8;
х = 2. 
= ; Н = 2. . Sб.п.ц. = 2π · · 2= 2 2 2 π = …π (см2).
Ответ: 8π см2. Пример 3. Дано: цилиндр, ABCD - квадрат; Sосн.ц. = 16π см2 (рис.). Найти: Sб.п.ц. Решение: πR2 = 16π; R2 = 16; R = ... , АВ = ВС = 4 · 2 = … (см). 
Sб.п.ц. = 2πRH, где R = 4; Н = 8.Sб.п.ц. = 2π · 4 · 8 = … π (см2).
Ответ:
64π см2.
Пример 4. Высота конуса равна 5см, а радиус основания 12см.
Найдите площадь полной поверхности конуса. 
Решение: Для нахождения площади поверхности конуса воспользуемся следующими формулами: S1 = rl - площадь боковой поверхности конуса, где r - радиус конуса, а l - длина образующей, S2 = r2 - площадь круга, то есть основания конуса. Таким образом, площадь поверхности конуса составит 
S = S
1 + S2 . Поскольку S1 = rl , найдем образующую. Поскольку высота конуса, радиус основания конуса и образующая являются сторонами прямоугольного треугольника,
то
l2 = h2 + r2 , l2 = 52 + 122 = 25 + 144 = … , l = ....
Тогда
 S = S1 + S2 = + 144 = 156+ 144 = … ≈ 942,48 
Ответ: 300 ≈ 942,48 см2 .
Пример 5. Дано: конус, h = OP = 1,2 см, Sосев. = 0,6 см2 (рис.). Найти: Sполн. . Решение: 1) Осевое сечение - треугольник: высота 1,2 см и основание 2r.
Sосев. =  · 2r h = r h, r = Sосев. : h = 0,6 : 1,2 = 0,5 см.
Из ΔАОР по теореме Пифагора:
l2 = h2 + r2  = OP2 + OA2.
l2 = 1,22 + 0,52 = 1,44 + 0,25 = …, l = … см.
Sполн. = · (r + l) , Sполн. = 0,5 · (0,5 + 1,3) = · 0,5 · 1,8 = …
hello_html_m6d6bd24b.jpghello_html_2cd2a3a8.jpghello_html_28ad1e01.jpg

Ответ: 0,9π см2.


2)Решить задачи ( по примерам):


  1. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 16 см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30 °.

  2. Дано: цилиндр; ABCD - квадрат; АС = 16 см . Найти: Sб.п.ц.

  3. Дано: цилиндр, ABCD - квадрат; Sосн.ц. = 25π см2 . Найти: Sб.п.ц.

  4. Высота конуса равна 10 см, а радиус основания 24 см.
    Найдите площадь полной поверхности конуса.

  5. Дано: конус, OP = 2,4 см, Sосев. = 2,4 см2 .Найти: Sполн..



3)Решить задачи :

  1. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения,
    равная 4 см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30
    °. 

  2. Дано: цилиндр; ABCD - квадрат; АС = 8см (рис.). Найти: Sб.п.ц.

  3. Дано: цилиндр, ABCD - квадрат; Sосн.ц. = 36π см2 (рис.). Найти: Sб.п.ц.

  4. Площадь боковой поверхности цилиндра вдвое больше площади основания, а площадь полной поверхности равна 256π см². Найдите радиус r и высоту цилиндра h.

  5. Площадь основания равностороннего цилиндра равна 2π см². Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

  6. Найдите угол между высотой и образующей конуса, если площадь боковой поверхности конуса равна 2, а площадь полной его поверхности равна 3.

  7. Образующая конуса, равная 4 см, наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь осевого сечения конуса.

  8. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60°, сумма длин его высоты и образующей равна 2 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

  9. Радиус основания конуса равен 10 см, а высота равна 15 см. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, параллельной основанию и находящейся на расстоянии 2 см от вершины конуса.

  10. Высота конуса равна 6 см, а радиус основания 8 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

  11. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60° и равна 4   см. Найдите площадь осевого сечения конуса, 

  12. Радиус основания конуса равен 7 см, а высота — 7 см. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, параллельной основанию и находящейся на расстоянии 4 см от его вершины, 

  13. Найдите боковую поверхности цилиндра с высотой, равной 3 см, если осевое сечение цилиндра плоскостью - квадрат,

  14. Найдите боковую поверхность конуса, в осевом сечении которого равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 6 см. 

  15. Радиус основания конуса равен 2см, а образующие наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите боковую поверхность и объем конуса,

  16. Боковая поверхности цилиндра равна 48π см2, радиус основания - 6 см. Найдите площадь осевого сечения,

  17. Найдите боковую поверхность конуса, осевое сечение которого равнобедренный треугольник с углом при вершине 120° и боковой стороной 6см. 

  18. Осевое сечение цилиндра - квадрат, диагональ которого 4 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

  19. Радиус основания конуса равен 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми равен 45° и площадь боковой поверхности конуса.

  20. В цилиндре проведена плоскость, параллельная оси и отсекающая от окружности основания дугу в 120°. Диагональ сечения равна 20 см и удалена от оси на 3 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

4) Выполнить расчет по модели цилиндра и конуса:
измерить диаметр основания и высоту цилиндра и конуса ,
найти площадь основания цилиндра и конуса,
найти площадь боковой поверхности цилиндра и конуса,
найти площадь полной поверхности цилиндра и конуса.
5) Формулы для расчета площадей (результат округлить до целого числа, принять
при расчете
π = 3) .

Цилиндр:

S осн.= r2 = 0,25 d2 π , S бок.= rh= , S пол .= r ( h + r ) = 0,25 d2 π;

r = 0,5; S пол .= S осн. + S бок.

Конус:

S осн.= r2 = 0,25 d2 π , S бок.= r l = 0,5 l; S пол .= r (r + l ) = 0,25 d2 π + 0,5 l;

l2= h2+ 0,25 d2, r = 0,5; S пол .= S осн. + S бок.




Инструкционная карта

ПР № 11 «Вычисление объёма шара. Расчет объёмов сегмента, слоя, сектора шара».

Задание:

  1. Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. a)Вычислите объем шара, если его радиус = 6 см.
Решение: Vшара = 4/3 R3 = 4/3216 = 72 4 = ….

  • Ответ: 288 см3.

  • б)Вычислите диаметр шара, если его объем V = 36π.

  • Решение: Vшара = 1/6 d3 = 1/6 d3, d3 = 36 6 = … , d = 6.

  • Ответ: 6 см.hello_html_66b842ba.jpg

  • Пример 2.Диаметр основания конуса равен 6 м, образующая наклонена к плоскости основания под углом 60° (рис.). Найти: объем шара описанной около конуса сферы. 

  • Решение:

  • 1) Центр O1  ОС, OBC = 60°  ΔАВС - равносторонний.

  • 2) R = O1C = AB / 3 = 6 /3 = … .

  • 3) Vшара = 4/3 R3 = 4/3 (2)3 = 4/3 8 3 = … .

  • Ответ: 32  м2.

  • Пример 3. Диаметр свинцового шара равен 30 см. Сколько шариков, диаметр которых 3 см, можно сделать из этого свинца?

  • Решение: n = V1 / V2 = /6 d1 3) / (6 d23) = d1 3 / d2 3 = (d1 / d2)3 = (30 / 3) 3 = 103 = ...

  • Ответ: 1000 шариков.

Пример 4. Какую часть шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара?
Решение: Десятая часть диаметра есть пятая часть радиуса. Значит, высота сегмента h= R/5 ,
V сегм. = (R/5)2 (RR /15) = (R2/25) 14R/15 = 14 R3/375,
V сегм.: V = ( 14/375) : (4/3) = 7/250 100 % = 28 : 10 = … % .
Ответ:  2,8%.
Пример 5. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 3 см и 9 см. На какие части делится объем шара?
Решение: = (3 + 9) : 2 = … см. Высота меньшего сегмента h равна 3 см.
Его
V1 = h2 (Rh / 3) = 32 (61) = 5 9 = … см2.
V = 4/3 R3 = 4/3 63 = 4/3 216 = 72 4 = … см3.
Значит, 
V2 = VV1 = 288 - 45 = … см3.
Ответ: 45 , 243 см3. Пример 6. Дано: шар, DС — диаметр секущей плоскости, АМ = 6 см, MB = 12 см (рис.). V1 - объем меньшего шарового сегмента, V2 - объем большего шарового сегмента. Найти: V1, V2. 
Решение: СD  АВ, АМ = 6 см, MB = 12 см. На рисунке: DС - диаметр круга, который является плоскостью, перпендикулярной к диаметру шара, делящей шар на два шаровых сегмента.
Диаметр шара АВ = АМ +
 MB = 6 + 12 = … (см),R = 18 : 2 = … см.
Объем шарового сегмента вычисляется по формуле:
V = h2 (Rh / 3) ,  где h = AM - высота меньшего сегмента. V1 = AM2 (RAM / 3) = 62 (9 – 6/3) = 36 7 = … см3. Объем шара равен:   Vшара = 4/3 R3 = 4/3 93= 4 81 3 = … см3.
V2 = VV1 =  972 252 = … см3.
Ответ: 252π см3 и 720π см3.
Пример 7. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности основания равен 60 см, а радиус шара - 75 см.
Решение: Пусть R - радиус шара, r - радиус основания сегмента. Вычислим высоту сегмента Н = РО1, OP = R. Из прямоугольного ΔОО1М: 
OO12 = OM2O1M2 = R2r2 = 752602 = 5625 – 3600 = …, OO1 = … см. h = PO1 = OPOO1 = 7545 = … см.
V = 2/3 R2 h = 2/3 75230 = 20 5625 = … см3.
Ответ: 112 500 см3.
Пример 8. Дано: шар, h = 30, R = 45 см. Найти: V1, V2, V3.
Решение:
Объем шарового сегмента вычисляется по формуле: V1 = h2 (Rh / 3) ,  V1= 302 (45 – 30:3) = 900 35 = … см3.
V2 = 4/3R3 2 h2 (Rh / 3)
V2 = 4/3453 2 302 (45 – 30 / 3) = 121500 63000 = …см3.
V3= 2/3 R2h = 2/3452 30 = 2025 20 = … см3.
Ответ: 31500 58500 40500см3.
hello_html_m45f5722.jpghello_html_m4c44f677.jpg

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. a)Вычислите объем шара, если его радиус = 3 см.
    б)Вычислите диаметр шара, если его объем V= 32π/3.

  2. Диаметр основания конуса равен 6 м, образующая наклонена к плоскости основания под углом 60° .Найти: объем шара описанной около конуса сферы. 

  3. Диаметр свинцового шара равен 30 см. Сколько шариков, диаметр которых 3 см, можно сделать из этого свинца?

  4. Какую часть шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,2 диаметра шара?

  5. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 6 см и 12 см. На какие части делится объем шара?

  6. Дано: шар, DС — диаметр секущей плоскости, АМ = 3 см, MB = 9 см . V1 - объем меньшего шарового сегмента, V2 - объем большего шарового сегмента. Найти: V1V2. 

  7. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности основания равен 12см, а радиус шара - 15 см.

  8. Дано: шар, h = 30, R = 42 см. Найти: V1V2, V3.

3)Решить задачи :

  1. Вычислите объем шара, если его радиус R = 6 см.

  2. Вычислите диаметр шара, если его объем V = 36π.

  3. Объем шара равен 135. Найти объем другого шара, диаметр которого в 3 раза больше, чем у данного.

  4. Площадь сечения шара плоскостью равна 16π. Найти расстояние от плоскости сечения до центра шара, если объем шара равен 500/3 .

  5. Шаровой сегмент, R = 10 см, h = 6 см. Найти объем сегмента V.

  6. Шаровой слой, R = 36 см, h = 12 см, V = ?

  7. Шаровой сектор, R = 6 см, h = 2 см, V = ?

  8. Шаровой сегмент, R = 75 см, r = 60 см, (h > 100). Найти V.

  9. Шар, плоскость α делит его на две части и перпендикулярна AB, AB – диаметр шара,
    AO1 = 6 см, O1В = 12 см, O1 – центр сечения плоскостью шара.
    Найти объемы частей шара
    V1 и V2.

  10. а) Шаровой сегмент, h = 6 см, V = 720 π см3. R - ? б) Шаровой сегмент, r = 5 см, h = 1 см. R - ?

  11. а) Шаровой сектор, h = 15 см, V = 4000 π см3. R - ?
    б) Шаровой сектор,
    R = 10 см, V = 400 π см3. h - ?

  12. а) Шаровой сектор, r = 60 см, R = 75 см. V = ?
    б) Шаровой сектор,
    h = 30 см, V = 112500 π см3. R - ?

  13. Шаровой слой, h = 30 см, R = 45 см. V = ?

  14. Какую часть объема шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара, равного 20 см?

  15. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности основания равен 60 см, а радиус шара - 75 см.

  16. Диаметр шара радиуса 15 см разделен на 3 части, длины которых относятся как 2:3:5. Через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные диаметру. Найдите объем образовавшегося шарового слоя.

  17. Радиусы трех шаров 3, 4 и 5 см. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

  18. В шаре радиуса 15 см проведено сечение, площадь которого равна 81 см2. Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения.

  19. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6 см, а высота соответствующего сегмента составляет шестую часть диаметра шара.

  20. Радиусы оснований шарового слоя равны 3 см и 4 см, а радиус шара - 5 см. Найдите объем слоя, если его основания расположены по одну сторону от центра шара. 

Инструкционная карта

ПР № 12 «Вычисление объёмов тел».

Задание:

1) Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 8 см. (рис.).
Найдите: 
Vцил.
Решение: 1) V= Sосн · h.
hello_html_2cd2a3a8.jpg

2) Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный, так как ABCD квадрат.
Пусть АВ = ВС = х см, тогда х
2 + х2 = (8)2 , 2х2 = 64· 2 , х2 = 64,  х = …,
х = - 8 не удовлетворяет условию задачи. Итак: АВ = ВС = 8 см, т.е. 
= 8 (см).

3) Найдем радиус основания: = 1/2AD = ВС : 2 = 8 : 2 = … см,
тогда
S осн. =  r2 = … ,

4) V= 16 8 = …см3.
Ответ: 128 см3.
Пример 2. Цилиндр имеет диаметр основания 14 см, а высоту 5 см. Найдите объем и площадь полной поверхности цилиндра.

Решение: = 14 : 2 = … см, = 5 см, V= r2 · h = 49 · 5 = … см3.
S пол .= r ( h + r ) = 2 · 7 · · ( 5 + 7) = 14 ·12 = … см2.
Ответ:  245 см3 и 168 см2.
Пример 3. Образующая конуса равна 12 см. Угол между образующей и плоскостью основания равен 30 градусов. Найти объем конуса.
hello_html_m120fbaaf.png

Решение: Объем конуса найдем по формуле: 
 V= 1/3S0 · h.

Поскольку образующая вместе в высотой конуса и радиусом его основания образуют прямоугольный треугольник, то необходимые размеры конуса вычислим исходя из того, что нам известен угол этого прямоугольного треугольника между основанием и образующей конуса.

h / OB = sin 30 , h = OB sin 30 , h = 12 sin 30 , h = 12 · 1/2  = 12 : 2 = … ,
R / OB = cos 30
 , R = OB cos 30 , R = 12 cos 30 ,
R = 12 /2
 , R = 6   

Откуда объем конуса будет равен: 
V = 1/3π ( 6 )2 · 6  = 1/3π· 36 · 3 · 6 = 36 · 6 = …   см3.

Ответ: объем конуса равен   216π см3 .  
Пример 4. Объем конуса равен 27. На высоте конуса лежит точка и делит её в отношении 2:1 считая от вершины. Через точку проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса. 
Решение: Обратим внимание, что треугольники AOB и COD - подобны. Из условия задачи определим коэффициент подобия как 2:3. 
Объем конуса находится по формуле:  Vконуса = 1/3πR
2h = 27 (по условию) 
Тогда объем малого конуса будет равен 
Vмал.конуса = 1/3π
· (2/3R)2 · (2/3h) , то есть  Vмал.конуса = 1/3π· 4/9 R2 ·2/3 h, 
Vмал.конуса = 8/27
·1/3π R2 h 
а так как мы знаем, что 1/3π R
2 h= 27 (см. выше), то  Vмал.конуса = 8/27 · 27 = … 
Ответ:  объем малого конуса равен 8 см3.
Пример 5.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 10, а угол боковой грани с плоскостью основания равен 60°. Найдите объем шара, вписанного в пирамиду (рис.). 
hello_html_m1caaa07f.jpg

Решение: Рассмотрим сечение, проведение через высоту пирамиды и две апофемы. В сечении получается ΔАВС - равносторонний. Радиус вписанной в него окружности будет равен  r = a / 2, r = 10/2 = 10 : 2 = … ,
Vшара= 4/3R3 = 4/3 53 = 500/3 167.
hello_html_7ac6054e.jpg

Ответ: 167.

Пример 6.В шар вписана правильная треугольная призма так, что ее высота вдвое больше стороны основания. Найдите объем шара, если объем призмы равен 27/π (рис.) 


Решение:

1) Пусть х - сторона основания. Тогда высота призмы 2х. Ее объем Sосн. · h.
V=/4 x2 x = /2x3. По условию V=27/ , /2 x3 = 27/, x3 = 54/, x = 3 .

2) Радиус найдем из ΔOO1A1O1A1 - радиус описанной окружности около треугольника A1B1C1O1A1 = a / ,

O1A1 = = ,
OO1= x = 3 , так как О - середина О1О2.

R2 = OA12 = O1A12 + OO12 = ()2 + ()2 = ( )2 = (2 )2. R = OA1 = 2 .

3)Объем шара Vшара= 4/3R3 = 4/3 8 = 4 · 8 · 2 = ...

 Ответ: = 64.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Дано: цилиндр, ABCD - осевое сечение, ABCD - квадрат, АС = 6 см. Найдите: Vцил.

  2. Цилиндр имеет диаметр основания 16 см, а высоту 5 см. Найдите объем и площадь полной поверхности цилиндра.

  3. Образующая конуса равна 20 см. Угол между образующей и плоскостью основания равен 30 градусов. Найти объем конуса.

  4. Объем конуса равен 54. На высоте конуса лежит точка и делит её в отношении 2:1 считая от вершины. Через точку проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

  5.  Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 12 , а угол боковой грани с плоскостью основания равен 60°. Найдите объем шара, вписанного в пирамиду.

  6. В шар вписана правильная треугольная призма так, что ее высота вдвое больше стороны основания. Найдите объем шара, если объем призмы равен 54/π .

3)Решить задачи :

  1. Пусть V, r и h соответственно объем, радиус и высота цилиндра.
    Найдите
    V, если r = 5 см, h = 6 см.

  2. Пусть V, r и h соответственно объем, радиус и высота цилиндра. Найдите h,
    если
    r = 10 см, V = 400 см3.

  3. Радиус основания конуса равен 12 см, а его образующая равна 13 см. Найдите ребро куба, объем которого равен объему данного конуса.

  4. Пусть V, r и h соответственно объем, радиус основания и высота конуса. Найдите h,
    если
    r = 6 см, V = 288 см3.

  5. Радиусы оснований усеченного конуса равны r 1 и r 2 , а высота равна h. Найдите объем усеченного конуса V, если r 1 = 3 м, r 2 = 4 м, h = 3 м.

  6. Радиусы оснований усеченного конуса равны r 1 и r 2 , а объем равен V. Найдите высоту усеченного конуса h, если r 1 = 3 м, r 2 = 5 м, V = 294 м3.

  7. Пусть V, R соответственно объем и радиус шара. Найдите объем шара V, если R = 6 см.

  8. Пусть V, d соответственно объем и диаметр шара. Найдите диаметр шара d, если
    V = см3.

  9. Пусть V1, V 2 , V 3 соответственно объем шарового сегмента, объем шарового слоя, объем шарового сектора, R- радиус шара, h – высота шарового сегмента. Найдите V1, V 2 , V 3 , если R = 42 см и h = 30 см.

  10. Объемы двух шаров относятся как 8 : 1. Найдите отношение их радиусов.



Инструкционная карта

ПР № 13 «Составление уравнения сферы».
Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. Сфера задана уравнением x 2 + (y + 3)2 + (z – 2)2 = 25.

Найдите координаты центра и радиуса сферы.

Решение: О - центр сферы, О(0,3,2), R = = ...
Ответ:
О(0,3,2), R = 5.

Пример 2. Напишите уравнение сферы радиуса = 7 с центром в точке А(2; 0; 1). Решение: (x …)2 + y 2 + (z + …)2 = 72. (x2)2 + y 2 + (z + 1)2 = …
Ответ: (x2)2 + y 2 + (z + 1)2 = 49.

Пример 3. Лежит ли А(2; 1; 4) на сфере, заданной уравнением  (x + 2)2 + (y 1) 2 + (z 3)2 = 1. Решение: Подставим координаты точки А в уравнение сферы (2 + 2)2 + (1 1) 2 + (4 3)2 = 1, 1 = 1(верно), точка А лежит на сфере.
Ответ:
точка А лежит на сфере.

Пример 4. Найти координаты центра и радиус сферы x2 + y2 + z2 + 4y - 2z = 4. Решение: x2 + y2 + z2 + 4y 2z = 4 выделим квадрат двучлена:
х
2 + у2 + 4у + 4 4 + z2  4z + 1 1 = 4, х2 + (у + 2)2 + (z 1)2 = 9, центр окружности С(…; …; …), радиус R = ...
Ответ:
С(0; 2; 1), R = 3.

Пример 5. Дано: уравнение сферы, х2 + у2z2 + 2у 4= 4.

Найти: а) О(х0; у0z0), R; б) m, при котором А(0; m; 2) и В(1; 1; m2) принадлежат сфере.

Решение: а) x 2 + y 2 +2у + z 2 – 4z = 4, x 2 + y 2 +2у +11 + z 2 – 4z + 4 4 = 4,
x 2 + (y + 1)2 + (z – 2)2 = 9. О(...,…,…), R = = ...
б) А(0; 
m; 2) и В(1; 1; m2)


 , , ,

, m = 2. При m = … точки A и В принадлежат сфере. Ответ: а) О(0; 1; 2), R = 3; б) при m = 2.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Сфера задана уравнением (x – 1)2 + y 2 + (z – 2)2 = 9.

Найдите координаты центра и радиуса сферы.

  1. Напишите уравнение сферы радиуса = 4 с центром в точке А(2; 1; 0).

  2. Лежит ли А(5; 1; 4) на сфере, заданной уравнением  (x 3)2 + (y+ 1) 2 + (z 4)2 = 4.

  3. Найти координаты центра и радиус сферы x2 – 6x + y2 + z2 = 0.

  4. Дано: уравнение сферы, х2 + у2z2 + 4у 2= 4.

Найти: а) О(х0; у0z0), R; б) m, при котором А(0; m; 1) и В(1; 0; m2) принадлежат сфере.

3)Решить задачи :

  1. Точки А(3; -5; 6) и В(5; 7; -1) являются концами одного из диаметров сферы. Составьте уравнение этой сферы.

  2. Дана сфера x2 + y2 + z2 = 450  . Найти координаты точек пересечения сферы с прямой, проходящей через начало координат и точку А(4; 5; 3).

  3. Даны точки А(-1; 3; 2), В(0; 3; 1), С(2; -2; 0), D(-4; 2; 2), Е(5; 7; 8). Какие из этих точек принадлежат сфере с центром О(-2; 1; 0) и радиусом 3?

  4. Составьте уравнение сферы с центром О (2; 3; 4) и радиусом R=5.

  5. Точки А(7; -2; 4) и В(9; -8; 6) лежат на поверхности сферы и на прямой, проходящей через её центр. Составьте уравнение сферы.

  6. Сфера задана уравнением x 2 + y 2 + z 2 + 2y – 4z = 4. a)Найдите координаты центра и радиуса сферы. б) Найдите значение m, при котором точки А(0; m; 2) и В(1; 1; m - 2) принадлежат данной сфере.

  7. Диаметр сферы – отрезок АВ с концами А(2; -1; 4) и В(2; 7; 10). a) Составьте уравнение сферы. б) Найдите кратчайшее расстояние от точки данной сферы до плоскости Оxy.

  8. Сфера задана уравнением (x – 1)2 + y 2 + (z – 2)2 = 9. а)Найдите координаты центра и радиуса сферы. б)Определите, принадлежат ли данной сфере точки А(1; 3; -1) и В(2; 2; 1).


  1. Составить уравнение сферы в каждом из следующих случаев:

а) сфера имеет центр С(0; 0; 0) и радиус r=9;

б) сфера имеет центр С(5; -3; 7) и радиус r=2;

в) сфера проходит через начало координат и имеет центр С(4; -4; -2);

г) сфера проходит через точку А(2; -1; -3) и имеет центр С(3; -2; 1);

д) точки А(2; -3; 5) и В(4; 1; -3) являются концами одного из диаметров сферы;

  1. Сфера задана уравнением x2 + у2 + z2 + 2у - 4z = 4.

а) Найдите координаты центра и радиус сферы.

б) Найдите значение m, при котором точки А(0; m; 2) н В (1; 1; m-2) принадлежат данной сфере.

  1. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением

(x – 2)2 + (y + 3) 2 + z2 = 25. 

  1. Напишите уравнение сферы радиуса R = 7 с центром в точке А(2; 0; -1).

  2. Лежит ли А(-2; 0; 3) на сфере, заданной уравнением (x + 2)2 + (y - 1) 2 + (z - 3)2 = 1. 

  3. Могут ли все вершины прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 2см лежать на сфере радиуса см?

  4. Найти координаты центра и радиус сферы x2 + 6х + y2 + z 2 = 0. 

  5. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением

(x + 3)2 + y 2 + (z 1)2 = 16. 

  1. Напишите уравнение сферы радиуса R = 4 с центром в точке А(-2; 1; 0).

  2. Лежит ли точка А(5; -1; 4) на сфере, заданной уравнением

(x –3)2 + (y + 1) 2 + (z 4)2 = 4. 

  1. Могут ли все вершины прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 2см лежать на сфере радиуса см?

  2. Найти координаты центра и радиус сферы x2 + y2 + 6у + z2 = 0. 

  3. Составить уравнение сферы с центром в точке А (-3; 4; -9) и проходящую через

точку N (-2; 6; 1).

  1. Составить уравнение сферы которая касается каждой из координатных плоскостей и проходит через точку M (2;1;3).

  2. Составьте уравнение сферы с центром в точке О(-1;0;2), если известно, что этой сфере принадлежит точка А(3;1;1).

  3. Даны точки А(2;-5;8) В(8;-2;5) С(5;-8:2)и Д(-2;-8;-5).Составьте уравнение сферы, если известно, что эти точки лежат на её поверхности.

  4. Точка А лежит на сфере с центром О(3; 0; 0).

  1. Напишите уравнение сферы.

  2. Принадлежат ли этой сфере точки с координатами и (4; -1; 0)?

  1. Составьте уравнение сферы, радиус которой равен 2, если известно, что центр сферы лежит в плоскости ОХZ, а сама сфера проходит через начало координат и точку А(1; 1; 0).

  2. Центр сферы имеет координаты (0; 0; 4). Сфера проходит через точку .

  1. Напишите уравнение сферы.

  2. Принадлежат ли сфере точки с координатами (3; 1; 5) и (0;6)?

  1. Составьте уравнение сферы с радиусом, равным 3, если известно, что центр сферы лежит на оси OZ и сфера проходит через точку К(-2; -2; 1).

  2. Найти уравнение сферы, проходящей через точки  (0;0;0), (4;0;0),(0;6;0) и (0;0;8).

  3. Определить координаты центра С и радиус r сферы, заданной уравнением

х 2 + у 2 + z 2 -6х + 4z – 3 = 0.

  1. Определить координаты центра С и радиус r сферы, заданной уравнением

х 2 + у 2 + z 2 – 2х + 2у – 10z + 2 = 0.

  1. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением:

1)x² + y² + z² = 49,

2)(х 3)² + (у + 1)² + (z + 3)² = 1,

3)х² + (y 4)² + z² = 3,

4)(x 1)² + y² + (z + 2)² = 25.

  1. Найти координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением
    x2 + y2 + z2 – x + 2y + 1 = 0.


Инструкционная карта

ПР № 14«Умножение вектора на число .Вычисление координат векторов».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. Дано:



Решение:

  1. Находим координаты вектора

;

  1. Затем находим координаты вектора


  1. Теперь находим аналогично координаты вектора


  1. Теперь находим сумму данных векторов, складывая соответствующие координаты:


Ответ:
Пример 2. Дано: , . Найдите  

Решение: Первый случай

  1. Находим координаты вектора

;

  1. Затем находим разность векторов

;

  1. Теперь находим длину вектора :

Второй случай

  1. Находим координаты вектора

;

  1. Находим координаты вектора

;

  1. Затем находим сумму векторов

;

  1. Теперь находим длину вектора : =

Ответ:

Пример 3. Даны векторы   и . Найти

Решение: Для действий с векторами справедлив обычный алгебраический приоритет: сначала умножаем, потом складываем:

=  3 - 2= - =
= = .

= + 4 {7; -9 ;1 } = + = =

=
Ответ:  ,

Пример 4. Найдите сумму векторов: и .

Решение: , .

Ответ:

Пример 5. Даны векторы , Найдите координаты векторов

Решение: , , с ,

, .

Ответ:

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Дано: А(2;-1;6), В (2;0; -1), С(1; - 5; 0)

  1. Дано: , , ; 2).

  2. Даны векторы   и ,  . Найти

  3. Найдите сумму векторов: и .

  4. Даны векторы , , . Найдите координаты векторов

и

3)Решить задачи :

  1. Найдите координаты вектора , если

  2. Даны векторы {-1;3; - 3} и . Найдите координаты и длину вектора.

  3. Даны векторы {3;1; - 2} и . Найдите координаты вектора ,

  4. Найдите длину вектора , , если {2;1; - 5} и .

  5. Из точки А построен вектор . Найдите координаты точки В , если:

А(3;1; - 2), .

  1. Даны точки А(4;6; –2) и В (–10;6; 0) . Найти длину отрезка АВ.

  2. Даны точки: А(10;14; 4), В (10;8; 12) , С (18;8; 18) 

Выяснить, равнобедренный ли треугольник, построенный на этих точках.

  1. а) Даны два вектора:  и .Найти .

б) Даны четыре вектора: .

Найти координаты векторов  

  1. В кубе АВСDА1В1С1D1, сторона которого равна 3, на диагоналях граней АD1 и D1В1 взяты точки Е и К так, что D1Е : АD1 = 2 : 3, D1K : D1B1 = 1 : 3. Найдите длину отрезка DK.

  2. Дано:

  3. Найдите длину вектора КА АС, диагонали ромба 6 и 8 см.

  4. Даны точки А(2;3; –1) и В (–5;3; 0) . Найти длину отрезка АВ.

  5. Даны точки: А(5;7; 2), В (5;4; 6) , С (9;4; 9) Выяснить, равнобедренный ли треугольник.

  6. Даны два вектора:  и .Найти .

Инструкционная карта

ПР № 15 « Решение задач в координатах».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. Дано: ΔАВС, А(2; 0; 1), В(1; 2; 3), С(8; 4; 9). ВМ - медиана.

Найти: координаты вектора .

Решение: По определению медианы, М - середина отрезка АС. Следовательно, координаты М найдем по формулам координат середины отрезка  M ((82)/2, (4 + 0)/2,(9 + 1)/2), M(…,…,…).{3 + 1,22,53}, {…,… ,…}. Ответ: {4; 4; 2}.

Пример 2. Дано: А(1; 5; 3), В(7; 1; 3), С(3; 2; 6). Доказать: ΔABC - прямоугольный.

Решение: По формуле расстояния между двумя точками найдем длины отрезков АВ, АС, ВС.
AB2 = (7 + 1)2 + (5 + 1)2 + (3 – 3)2, AB2 = 64 + 36 = … , BC2 = (7– 3)2 + (– 2 + 1)2 + (6 – 3)2,
BC2 = 16 + 1 + 9 = … , AC2 = (3 + 1)2 + (5 + 2)2 + (6 – 3)2, AC2 = 16 + 49 + 9 = ...

Проверим равенство АВ2 = ВС2 + АС2, 100 = 26 + 74 верно.

По теореме обратной теореме Пифагора делаем вывод, что ΔABC - прямоугольный
с гипотенузой АВ.

Пример 3. Дано: ΔАВС; М, N, К - середины сторон соответственно АВ, ВС, АС. М(3; 2; 5), 
N(3,5; 1; 6), К(1,5; 1; 2). Найти: координаты А, В, С.

Решение: Пусть A (х1; у1z1), В(х2; у2z2), С(х3; у3z3). По формулам координат середины отрезка составим системы для абсцисс, ординат и аппликат. Пользуясь методом сложения, решим эту систему:

Ответ: А(2; 0; 1), В(8;4; 9), С(1; 2; 3).

Пример 4. Дано: А(-2; 1; 2), B(-6; 3; -2), С  оси OZ; АС = ВС. Найти: координаты точки С.

Решение: По условию С  оси OZ, значит она имеет координаты С(0; 0; z) и АС = ВС. Составим уравнение, пользуясь формулой расстояния между двумя точками: 4 + 1 + (z 2)2 = 36 + 9 + (z + 2)2, 5 + z2 – 4z + 4 = 45 + z2 + 4z + 4, 8z = 40, z = … Ответ: (0; 0;5).

Пример 5. Дано: А(2; 1; 2), B(6; 3; 2), С (0; 0; 5); АС = ВС. Найти: SABC).

Решение: По формуле координат середины отрезка АВ найдем координаты точки М — середины:
M ((62)/2, (1 + 3)/2,(22)/2), M(4,2,0). AB2 = (6 + 2)2 + ( 31)2 + (2 + 2)2 = 16 + 4 + 16 = …, AB = ... СМ-высота равнобедренного ΔABC.
CM2 = (40)2 + (20)2 + (0 (5))2 = 16 + 4 + 25 = … , CM = 3 ,
SABC) = AB · CM : 2 = 6 · 3 : 2 = … . Ответ: 9.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Дано: ΔАВС; А(1; 2; 3), B(1; 0; 4), С(3; 2; 1). AM - медиана.Найти: координаты вектора

  2. Дано: А(1; 5; 3), В(1; 3; 9), С(3; 2; 6).Доказать: ΔAВС - прямоугольный.

  3. Дано: ΔАВС, М, N, К - середины сторон соответственно ABBС, AС. М(3; 2; 4), 
    N(6; 4; 10), К(7; 2; 12).Найти: координаты вершин А, В, С.

  4. Дано: A(4; 5; 4), B(2; 3; 4); С  оси  OXAC = ВС. Найти: координаты точки С.

  5. Дано: А(4; 5; 4), B(2; 3; 4), С(1; 0; 0), АС = ВС. Найти: S(ΔABC).

3)Решить задачи :

  1. Дано: A (10, 4, -3), B (-6, 2, 1). Найти координаты точки M – середины отрезка AB.

  2. Дано: A (5, 4, 7), B (10, 10, 0). Найти координаты вектора .

  3. Дано: {0, 5, 0}, {2, -2, 1}. Найти длину векторов.

  4. Даны точки А (1,5; 1; -2), B (2; 2; -3); и C (2; 0; -1). Найдите: периметр треугольника ABC.

  5. Дано: М(-4; 7; 0) N(0; -1; 2).Найти: расстояние от начала координат до середины отрезка MN.

  1. В кубе АВСDА1В1С1D1, сторона которого равна 3, на диагоналях граней АD1