Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Практические работы обучающихся по дисциплине Математика для профессии Повар- кондитер.

Практические работы обучающихся по дисциплине Математика для профессии Повар- кондитер.

  • Математика

Название документа МЕТОД.УК-Я К ПР-ПОВАРА,2014-2016 уч.г..docx

Поделитесь материалом с коллегами:














Методические указания

к выполнению практических работ обучающихся

по дисциплине Математика

для профессии 260807.01. Повар- кондитер.



























2015 г.


Пояснительная записка


Цель методических указаний: оказание помощи обучающимся в выполнении практической работы по дисциплине Математика.

Настоящие методические указания содержат работы, которые позволят обучающимся самостоятельно овладеть профессиональными знаниями и умениями, опытом творческой деятельности при решении проблем учебного и профессионального уровня и направлены на формирование следующих компетенций:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем.

ОК 3. Анализировать рабочую ситуацию, осуществлять текущий и итоговый контроль, оценку и коррекцию собственной деятельности, нести ответственность за результаты своей работы.

ОК 4. Осуществлять поиск информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, клиентами.

ОК 7.Готовить к работе производственное помещение и поддерживать его санитарное состояние.

ОК 8. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

В результате выполнения практических работ по дисциплине Математика обучающиеся должны:

уметь:

    • Выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств;

    • Решать уравнения и неравенства (линейные, квадратные);

    • Вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

    • Находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства;

    • Проводить по формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы, тригонометрические функции;

    • Строить графики изученных функций;

    • Решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства; простейшие иррациональные и тригонометрические уравнения;

    • Вычислять производные и первообразные элементарных функций, используя справочные материалы;

    • Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций; строить графики многочленов с использованием аппарата математического анализа;

    • Распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить объекты с их описаниями, изображениями;

    • Описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве ;

    • Изображать основные многогранники и круглые тела;

    • Решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

    • Использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

    • Решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием формул

    • Вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

    • Использовать приобретенные знания и умения для анализа числовых данных, представленных в виде таблиц, диаграмм;



знать:

    • Выполнение арифметических действий, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств;

    • Решение уравнений и неравенств (линейных, квадратных);

    • Вычисление значений числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

    • Нахождение значений корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства;

    • Преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы, тригонометрические функции;

    • Построение графиков изученных функций;

    • Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств; простейших иррациональных и тригонометрических уравнений;

    • Вычисление производных и первообразных элементарных функций, используя справочные материалы;

    • Исследование в простейших случаях функций на монотонность, нахождение наибольших и наименьших значений функций; построение графиков многочленов с использованием аппарата математического анализа;

    • Вычисление в простейших случаях площадей и объемов с использованием определенного интеграла;

    • Распознавание на чертежах и моделях пространственных форм; соотношение объектов с их описанием, изображением;

    • Описание взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве ;

    • Изображение основных многогранников и круглых тел ;

    • Решение планиметрических и простейших стереометрических задач на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

    • Использование при решении стереометрических задач планиметрических фактов и методов;

  • Решение простейших комбинаторных задач методом перебора, а также с использованием формул;

  • Вычисление в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

  • Использование приобретенных знаний и умений для анализа числовых данных, представленных в виде таблиц, диаграмм;

  • Значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

  • Значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;

  • Универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание из части 1) и 2),выборочно из части 3).

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание из части 2),выборочно из части 3).

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание из части 1),выборочно из части 2).

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.








Списки практических работ по профессии: 260807.01. Повар- кондитер.

Списки ПР

Сроки выполнения

ПР №1«Вычисление перпендикуляра и наклонной. Вычисление угла между плоскостями».

1 семестр, 8 неделя

ПР № 2«Построение многогранников. Вычисление элементов призмы».

1 семестр, 11 неделя

ПР № 3«Вычисление элементов пирамиды, правильной пирамиды, усеченной пирамиды.».

1 семестр, 12 неделя

ПР № 4 «Вычисление элементов цилиндра».

1 семестр, 15 неделя

ПР № 5 «Вычисление элементов конуса, усеченного конуса».

1 семестр, 16 неделя

ПР № 6 «Вычисление элементов сферы».

1 семестр, 17 неделя

ПР № 7«Расчет по модели объёма прямоугольного параллелепипеда».

2 семестр, 20 неделя

ПР № 8 «Вычисление объёма прямой призмы. Вычисление объёма цилиндра».

2 семестр, 21 неделя

ПР № 9 «Вычисление объёма пирамиды .Расчет по модели объёма конуса».

2 семестр, 22 неделя

ПР № 10 « Расчет по модели площади цилиндра и конуса».

2 семестр, 23 неделя

ПР № 11 «Вычисление объёма шара. Расчет объёмов сегмента, слоя, сектора шара».

2 семестр, 24 неделя

ПР № 12 «Вычисление объёмов тел».

2 семестр, 25 неделя

ПР № 13 « Составление уравнения сферы ».

2 семестр, 26 неделя

ПР № 14«Умножение вектора на число .Вычисление координат векторов».

2 семестр, 28 неделя

ПР № 15 « Решение задач в координатах».

2 семестр, 29 неделя

ПР № 16 «Вычисление числовых характеристик дискретной случайной величины».

2 семестр, 33 неделя

ПР № 17 «Решение пропорций. Решение задач с помощью пропорций».

2 семестр, 35 неделя

ПР № 18 «Решение квадратных уравнений. Решение неравенств».   

2 семестр, 37 неделя

ПР № 19   « Решение систем уравнений и неравенств. Вычисления по  формулам сокращенного умножения».

2 семестр, 38 неделя

ПР № 20 « Вычисление логарифмов ».      

3 семестр, 3 неделя

ПР № 21 «Вычисление множества значений тригонометрических функций по формулам».

3 семестр, 15 неделя

ПР № 22 « Нахождение экстремумов функции. Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции».

3 семестр, 17 неделя

ПР № 23 «Решение иррациональных уравнений».         

4 семестр, 21 неделя

ПР № 24 «Решение показательных и логарифмических уравнений».

4 семестр, 22 неделя

ПР № 25«Решение тригонометрических уравнений».

4 семестр, 24 неделя

ПР № 26«Решение показательных, логарифмических , тригонометрических неравенств».

4 семестр, 25 неделя

ПР № 27 «Решение неравенств с помощью метода интервалов».

4 семестр, 27 неделя

ПР № 28 «Вычисление угловых коэффициентов. Составление уравнения касательной к графику функции».

4 семестр, 30 неделя

ПР № 29 «Вычисление производных элементарных функций».

4 семестр, 32 неделя

ПР № 30 «Вычисление площадей с помощью интегралов».

4 семестр, 38 неделя

Итого практ.работ

60




ПРИЛОЖЕНИЕ №1


Основные учебники :


  1. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. Ш.А.Алимов и др. М., «Просвещение», 2009 г.

  2. Геометрия 10-11 кл. Л.С. Атанасян. М., «Просвещение»,2011 г.


Дополнительные учебники :



  1. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. Колмогоров А.Н. и др. М., «Просвещение»,2009г.

  2. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. Башмаков М.И. М., «Дрофа»,2009г.

  3. Геометрия 10-11 кл. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. М., «Просвещение», 2009г.




Интернет-ссылки для ВСР.

Алгебра:

  1. http://math-prosto.ru/?page=pages/library-math/alimov-10-11.php

  2. http://nashol.com/2012102467590/algebra-i-nachala-matematicheskogo-analiza-10-11-klass-alimov-sh-a-kolyagin-u-m-2012.html

  3. http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/algebra-i-nachala-analiza-10-11-klass-po-uchebniku-sha-alimova-i-dr

  4. http://nashol.com/2014021575799/algebra-i-nachalo-matematicheskogo-analiza-10-klass-muravin-g-k-2013.html

  5. http://elkniga.ucoz.ru/load/multimedijnye_posobija/matematika/multimedijnoe_posobie_po_matematike_uroki_algebry_kirilla_i_mefodija_10_11_klass/14-1-0-15

Геометрия:

  1. http://nashol.com/knigi-po-matematike/#po_godam_2012

  2. http://nashol.com/2011102361137/geometriya-uchebnik-10-11-klass-atanasyan-l-s-butuzov-v-f-kadomcev-s-b-2009.html

  3. http://4book.org/uchebniki-rossiya/10-klass/62-geometriya-uchebnik-dlya-10-11-klassov-atanasyan-l-s-i-dr

  4. http://neovit.net/edu/math1.htm

  5. http://elkniga.ucoz.ru/publ/uchebniki/10_klass/geometrija_atanasjan_l_s_uchebnik_dlja_10_11_klassa_obshheobrazovatelnykh_uchrezhdenij/98-1-0-311





И любые другие аналогичные из интернета по разделам «Алгебра и начала анализа», «Геометрия».






Название документа МЕТОД.УК-Я К ПР-ПОВАРА,2015-2017 уч.г..docx

Поделитесь материалом с коллегами:














Методические указания

к выполнению практических работ обучающихся

по дисциплине Математика

для профессии 19.01.17. Повар- кондитер.



























2015 г.




Пояснительная записка


Цель методических указаний: оказание помощи обучающимся в выполнении практической работы по дисциплине Математика.

Настоящие методические указания содержат работы, которые позволят обучающимся самостоятельно овладеть профессиональными знаниями и умениями, опытом творческой деятельности при решении проблем учебного и профессионального уровня и направлены на формирование следующих компетенций:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем.

ОК 3. Анализировать рабочую ситуацию, осуществлять текущий и итоговый контроль, оценку и коррекцию собственной деятельности, нести ответственность за результаты своей работы.

ОК 4. Осуществлять поиск информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, клиентами.

ОК 7.Готовить к работе производственное помещение и поддерживать его санитарное состояние.

ОК 8. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

Освоение содержания учебной дисциплины Математика обеспечивает достижение обучающимися следующих результатов:

  • личностных:

    • сформированность представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, идеях и методах математики;

    • понимание значимости математики для научно-технического прогресса, сформированность отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей;

    • развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования;

    • овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для освоения смежных естественно-научных дисциплин и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;

    • готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности;

    • готовность и способность к самостоятельной творческой и ответственной деятельности;

    • готовность к коллективной работе, сотрудничеству со сверстниками в образовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской, проектной и других видах деятельности;

    • отношение к профессиональной деятельности как возможности участия в решении личных, общественных, государственных, общенациональных проблем;

  • метапредметных:

    • умение самостоятельно определять цели деятельности и составлять планы деятельности; самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность; использовать все возможные ресурсы для достижения поставленных целей и реализации планов деятельности; выбирать успешные стратегии в различных ситуациях;

    • умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты;

    • владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания;

    • готовность и способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности, включая умение ориентироваться в различных источниках информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников;

    • владение языковыми средствами: умение ясно, логично и точно излагать свою точку зрения, использовать адекватные языковые средства;

    • владение навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и мыслительных процессов, их результатов и оснований, границ своего знания и незнания, новых познавательных задач и средств для их достижения;

    • целеустремленность в поисках и принятии решений, сообразительность и интуиция, развитость пространственных представлений; способность воспринимать красоту и гармонию мира;

  • предметных:

    • сформированность представлений о математике как части мировой культуры и месте математики в современной цивилизации, способах описания явлений реального мира на математическом языке;

    • сформированность представлений о математических понятиях как важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;

    • владение методами доказательств и алгоритмов решения, умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

    • владение основными понятиями о плоских и пространственных геометрических фигурах, их основных свойствах; сформированность умения распознавать геометрические фигуры на чертежах, моделях и в реальном мире; применение изученных свойств геометрических фигур и формул для решения геометрических задач и задач с практическим содержанием;

    • сформированность представлений о процессах и явлениях, имеющих вероятностный характер, статистических закономерностях в реальном мире, основных понятиях элементарной теории вероятностей; умений находить и оценивать вероятности наступления событий в простейших практических ситуациях и основные характеристики случайных величин;

    • владение стандартными приемами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств;

    • сформированность представлений об основных понятиях математического анализа и их свойствах, владение умением характеризовать поведение функций, использование полученных знаний для описания и анализа реальных зависимостей;

    • владение навыками использования готовых компьютерных программ при решении задач.

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание из части 1) и 2),выборочно из части 3).

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание из части 2),выборочно из части 3).

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание из части 1),выборочно из части 2).

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.



















Списки практических работ по профессии: 19.01.17. Повар- кондитер.

Списки ПР

Сроки выполнения

ПР №1 «Вычисление перпендикуляра и наклонной

к плоскости».

1 семестр, 7 неделя

ПР № 2 «Вычисление расстояния между прямыми и

плоскостями».

1 семестр, 9 неделя

ПР № 3 «Построение многогранников. Вычисление площадей и объемов многогранников».

1 семестр, 12 неделя

ПР № 4 «Вычисление координат векторов».

2 семестр, 23 неделя

ПР № 5 «Решение комбинаторных задач».

2 семестр, 26 неделя

ПР № 6 «Вычисление вероятностей».

2 семестр, 27 неделя

ПР № 7 «Вычисление числовых выражений».

2 семестр, 33 неделя

ПР № 8 «Вычисление углов в радианах».

2 семестр, 35 неделя

ПР № 9 «Преобразование тригонометрических выражений».

2 семестр, 37 неделя

ПР № 10 «Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств».

2 семестр, 39 неделя

ПР № 11 «Вычисление обратных тригонометрических выражений».

2 семестр, 41 неделя

ПР № 12 «Вычисление и сравнение корней. Выполнение расчетов с радикалами».

3 семестр, 1 неделя

ПР № 13 «Нахождение значений степеней с рациональными показателями. Сравнение степеней».

3 семестр, 3 неделя

ПР № 14 «Преобразования выражений».

3 семестр, 4 неделя

ПР № 15 «Нахождение значений логарифма».

3 семестр, 5 неделя

ПР № 16 «Вычисление логарифмов».

3 семестр, 7 неделя

ПР № 17 «Вычисление множества значений функций».

3 семестр, 9 неделя

ПР № 18 «Построение графиков функций».   

3 семестр, 11 неделя

ПР № 19 «Построение графиков по свойствам функций».

3 семестр, 13 неделя

ПР № 20 «Построение графиков периодических функций».      

3 семестр, 15 неделя

ПР № 21 «Построение графиков обратных функций».

3 семестр, 16 неделя

ПР № 22 «Построение графиков функций с помощью преобразований».

3 семестр, 17 неделя

ПР № 23 «Решение уравнений с помощью графиков».         

4 семестр, 18 неделя

ПР № 24 «Решение иррациональных уравнений».

4 семестр, 20 неделя

ПР № 25 «Решение показательных уравнений».

4 семестр, 21 неделя

ПР № 26 «Решение логарифмических уравнений».

4 семестр, 23 неделя

ПР № 27 «Решение уравнений и их систем».

4 семестр, 25 неделя

ПР № 28 «Вычисление членов последовательности».

4 семестр, 27 неделя

ПР № 29 «Составление уравнения касательной к графику функции».

4 семестр, 29 неделя

ПР № 30 «Вычисление производных элементарных

функций».

4 семестр, 30 неделя

ПР № 31 «Исследование функции с помощью производной».

4 семестр, 32 неделя

ПР № 32 «Вычисление площадей с помощью интегралов».

4 семестр, 35 неделя

Итого практ.работ

64











ПРИЛОЖЕНИЕ №1


Основные учебники :


  1. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. Ш.А.Алимов и др. М., «Просвещение», 2009 г.

  2. Геометрия 10-11 кл. Л.С. Атанасян. М., «Просвещение»,2011 г.


Дополнительные учебники :



  1. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. Колмогоров А.Н. и др. М., «Просвещение»,2009г.

  2. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. Башмаков М.И. М., «Дрофа»,2009г.

  3. Геометрия 10-11 кл. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. М., «Просвещение», 2009г.




Интернет-ссылки для ВСР.

Алгебра:

  1. http://math-prosto.ru/?page=pages/library-math/alimov-10-11.php

  2. http://nashol.com/2012102467590/algebra-i-nachala-matematicheskogo-analiza-10-11-klass-alimov-sh-a-kolyagin-u-m-2012.html

  3. http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/algebra-i-nachala-analiza-10-11-klass-po-uchebniku-sha-alimova-i-dr

  4. http://nashol.com/2014021575799/algebra-i-nachalo-matematicheskogo-analiza-10-klass-muravin-g-k-2013.html

  5. http://elkniga.ucoz.ru/load/multimedijnye_posobija/matematika/multimedijnoe_posobie_po_matematike_uroki_algebry_kirilla_i_mefodija_10_11_klass/14-1-0-15

Геометрия:

  1. http://nashol.com/knigi-po-matematike/#po_godam_2012

  2. http://nashol.com/2011102361137/geometriya-uchebnik-10-11-klass-atanasyan-l-s-butuzov-v-f-kadomcev-s-b-2009.html

  3. http://4book.org/uchebniki-rossiya/10-klass/62-geometriya-uchebnik-dlya-10-11-klassov-atanasyan-l-s-i-dr

  4. http://neovit.net/edu/math1.htm

  5. http://elkniga.ucoz.ru/publ/uchebniki/10_klass/geometrija_atanasjan_l_s_uchebnik_dlja_10_11_klassa_obshheobrazovatelnykh_uchrezhdenij/98-1-0-311





И любые другие аналогичные из интернета по разделам «Алгебра и начала анализа», «Геометрия».






Название документа ПР - ПОВАРА,2015-2017 уч.г..docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Инструкционная карта

ПР №1«Вычисление перпендикуляра и наклонной. Вычисление угла между плоскостями».

Задание:

1) а) Записать по рисунку:

  • какой отрезок является перпендикуляр, наклонная, проекция наклонной,

  • угол между наклонной и плоскостью α.

АС - …, АВ - …, СВ – …, АВ2 = ВС2 + АС2.

- угол между наклонной и плоскостью α.

б)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Из точки, не принадлежащей данной плоскости , проведены к ней
две наклонные, равные 10см и 18см. Сумма длин их проекций на

плоскость равна 16см. Найти проекцию каждой наклонной.(рис.1)

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции, рис.1

АС = 10 см, СВ = 18 см, АО + ОВ = 16 см,

Найти: АО, ОВ

Решение: АС = 10, СВ = 18, АО + ОВ = 16, АО = х, ОВ = 16 х,

АС2 АО2 = ВС2 – ОВ2 , 102 х2 = 182 – (16 х)2, 100 х2 = 324 – 256 + 32 х х2 ,

32 х = 32, х = … , АО = 1, ОВ = 16 – 1 = .... Ответ: 1 и 15 см.

Пример 2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 12см наклонена к плоскости под углом 60°, проекция другой на эту плоскость равна 6 см.

Найти длину этой наклонной.

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

СА = 12 см , САО = 60°, ОВ = 6 см ,

Найти: СВ

Решение: Δ АОС- прямоугольный, АСО = 90 ° 60 ° = 30°, АО = СА : 2 = 12: 2 = … ,

СО2 = СА2 –АО2 = 122 – 62 = 144 – 36 = … ,

СВ2 = СО2 + ОВ2 = 108 + (6 )2 = 108 + 36 6 = 108 + 216 = … , СВ = … см. Ответ: 18 см.

Пример 3. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО = 6см и две наклонные. Каждая из наклонных образует с плоскостью угол 60°. Угол между наклонными 120°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

СО = 6см, САО = СВО = 60°, АСВ = 120°,

Найти: АВ
Решение: sin САО = СО : АС, АС = ВС = СО : sin САО = 6: sin60 ° = 6 : = 12 : = 4 ,

Δ АВС – равнобедренный, АВ2 = АС2 + ВС2 – 2АС ВС cos АСВ =

= (4)2 + (4)2 – 24 cos 120° = 16 3 + 16 3 - 216 3( – ) = 48 + 48 + 48 = … ,

АВ = … см. Ответ: АВ = 12 см.

Пример 4. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО и две наклонные СВ и АС. ОВ= 4,САО = 30°, СВО = 60°, а угол между наклонными 90°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

ОВ= 4,САО = 30°, СВО = 60°, АСВ = 90°,

Найти: АВ

Решение: ΔСОВ – прямоугольный, СВО = 60°, ОСВ = 90 ° - 60 ° = 30 °,

ВС= 2 ОВ = 24 = … , СО2 = ВС2 – ОВ2 = 82 – 42 = 64 – 16 = … , СО = = 4,

АС = 2 СО = 24 = … , ΔАСВ - прямоугольный, АВ2 = АС2 + ВС2 = (8)2 + 82 =

= 64 3 + 64 = … , АВ = … см. Ответ: АВ = 16 см.
Пример 5. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О.


Из точки О проведён к плоскости квадрата перпендикуляр ОМ. Найти расстояние от точки М до

стороны ВС, если AD = 6см, ОМ = 4см. (рис.2)

Дано: АВСD - квадрат, ОМ - перпендикуляр,
О - точка пересечения диагоналей квадрата,

МК - расстояние от точки М до стороны ВС, AD = 6см, ОМ = 4см.

Найти: МК

Решение: ОК = АВ : 2 = AD : 2 = 6 : 2 = … , ΔМОК - прямоугольный, Рис.2

МК2 = ОМ2 + ОК2 = 42 + 32 = 16 + 9 = … , МК = ... Ответ: МК = 5 см.
Пример 6. Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны . Найдите отрезок CD, если: АВ = 3 см, ВС = 7 см, AD = 1,5 см;

Дано: АВ, АС и AD попарно перпендикулярны, АВ = 3 см, ВС = 7 см, AD = 1,5 см; Найти: CD

Решение: Δ САВ – прямоугольный, АС2 = СВ2 – АВ2, АС2 = 72 – 32 = 49 – 9 = … ,

Δ САD – прямоугольный, СD2 = АС2 + АD2, СD2 = 40 + 1,52 = 40 + 2,25 = … ,

СD = … см. Ответ: СD = 6,5 см.hello_html_75ed7ad2.jpg

Пример 7. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1 , у которого основание квадрат.

Докажите, что а) СD В1С1 , б) С1D1 АD .

Доказательство: а) СD || A1B1, A1B1 В1С1 СD В1С1 ( по лемме),

б) С1D1 || ВС , ВС АD С1D1 АD ( по лемме) .

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Из точки, не принадлежащей данной плоскости, проведены к ней две наклонные,
    равные 20 см и 36 см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 32 см.
    Найти проекцию каждой наклонной.

  2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 24 см наклонена к плоскости под углом 60°, проекция другой на эту плоскость равна 12 см. Найти длину этой наклонной.

  3. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО = 12 см и две наклонные. Каждая из наклонных образует с плоскостью угол 60°. Угол между наклонными 120°.
    Найти расстояние между основаниями наклонных.

  4. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО и две наклонные СВ и АС.
    ОВ= 8,
    САО = 30°, СВО = 60°, а угол между наклонными 90°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

  5. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. Из точки О проведён к плоскости квадрата перпендикуляр ОМ. Найти расстояние от точки М до стороны ВС, если AD = 12 см, ОМ = 8 см.

  6. Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны.
    Найдите отрезок CD, если: АВ = 6 см, ВС = 14 см, AD = 3 см;

  7. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1 , у которого основание квадрат.
    Докажите, что
    а) С1D1 ВС, б) СD А1D1 .

3)Решить задачи :

  1. Дано: АС - перпендикуляр, АВ - наклонная,
    а)
    АВ = 10 см, ВС = 6 см, АС = ?, б) АС = 12 см, ВС = 5 см, АВ = ? (Указание:АВ2 = ВС2 + АС2 )

  2. Дано: Δ АВС – равнобедренный, АК(АВС), АК = 12 см, АВ = АС = 5 см, ВС = 6 см,
    КМ
    ВС. Найти: КМ, АМ.

(Указание: АВ = АС => КВ = КС => Δ СКВ – равнобедренный, КМ ВС => ВМ- медиана,

ВМ = МС = ВС : 2, КС2 = АК2 + АС2 , КМ2 = КС2 - МС2 , АМ2 = АС2 - МС2 )

  1. Дано: АО - перпендикуляр, АВ и АС - наклонные, АВ = АС, ОАВ = ВАС = 60°,
    АО = 2,5 см.
    Найти: ВС. (Указание: Δ ВАС – равносторонний, ВС = АВ = АС = 2АО)

  2. Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.

Дано: AB = 15 м, АС = 8 м, BD = 20 м, Найти: CD.

(Указание: Δ BKА – прямоугольный, АK2 = AB2 - BK 2)

  1. Дан куб АВСDА1В1С1D1 . Найдите следующие двугранные углы: а) АВ В1С , б) АDD1В,
    в) А
    1ВВ1К, где К- середина А1D1.

  2. Из вершины равностороннего треугольника АВС проведен перпендикуляр АК к плоскости треугольника. Найдите длину АК, если ВС = 3 см, КС = 3 см.

  3. Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.


Инструкционная карта

ПР № 2«Вычисление расстояния между прямыми и плоскостями».

Задание:

1) Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1 , у которого основание квадрат. Докажите, что а) СD В1С1 , б) С1D1 АD . hello_html_75ed7ad2.jpg

Доказательство: а) СD || A1B1, A1B1 В1С1 СD В1С1 ( по лемме),hello_html_m66ec6653.jpg

б) С1D1 || ВС , ВС АD С1D1 АD ( по лемме) .

Пример 2. Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны . Найдите отрезок CD, если: АВ = 3 см, ВС = 7 см, AD = 1,5 см;

Дано: АВ, АС и AD попарно перпендикулярны, АВ = 3 см, СD = 6,5 см, AD = 1,5 см; Найти: ВC

Решение:

Δ САD – прямоугольный, СD2 = АС2 + АD2, АС2 = 6,52 – 1,52 = 42,25 – 2,25 = …,

Δ САВ – прямоугольный, АС2 = СВ2 – АВ2, ВС2 = 40 + 32 = …, ВС = …

Ответ: ВС = 7 см.

Пример 3. Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные плоскости α, пересекающие ее в точках С и D соответственно. Найдите расстояние между точками А и В, если АС = 2 м, BD = 3 м, CD = 2,4 м и отрезок АВ не пересекает плоскость α.

Дано: АС α , BD α , АС = 2 м, BD = 3 м, CD = 2,4 м

Найти: AB

Решение: BK = BD – АС = 3 – 2 = 1,

Δ BKА – прямоугольный, AB2 = АK2 + BK 2 = СD2 + BK2,

AB2 = 2,42 + 12 = 5,76 + 1 = …, AB = … м.

Ответ: AB = 2,6 м.

Пример 4. Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.

Дано: AB = 15 м, АС = 8 м, BD = 20 м,

Найти: CD

Решение: BK = BD – АС = 20 – 8 = …,

Δ BKА – прямоугольный, АK2 = AB2 BK 2 = 152 122 = 225 – 144 = …, АK = … см.

CD = АK =… см. Ответ: CD = 9 см.

Пример 5. К плоскости треугольника из центра, вписанной в него окружности радиуса 0,7 м восставлен перпендикуляр длиной 2,4 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.

Дано: Δ АВС, О – центр , вписанной в него окружности,

ОК = r = 0,7 м, ОМ (АВС), ОМ = 2,4 м,

Найти: МК
Решение: ΔМОК - прямоугольный,

МК2 = ОК2 + ОМ2 = 0,72 + 2,42 = 0,49 + 5,76 = …,МК = …м.

Ответ: МК = 2,5 м.

2)Задание:

  1. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1 , у которого основание квадрат.

Докажите, что а) С1D1 ВС, б) СD А1D1 .

  1. Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны . Найдите отрезок CD, если: АВ = 6 см, ВС = 14 см, AD = 3 см;

  2. Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные плоскости α, пересекающие ее в точках С и D соответственно. Найдите расстояние между точками А и В, если АС = 8 см, BD = 20 см, CD = 5см и отрезок АВ не пересекает плоскость α.

  3. Телефонная проволока длиной 26 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 6 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 30 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.

  4. К плоскости треугольника из центра, вписанной в него окружности радиуса 1 м восставлен перпендикуляр длиной 2,4 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.

3) Решение теста. Методические рекомендации к выполнению теста:

  1. Прочитать вопрос, ответить на его и записать букву , под которой записан правильный ответ.

  2. Решив задачу, нужно выбрать правильный ответ и записать номер, под которым он записан.

Задание:

1. Расстоянием от точки до плоскости называется

а) длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость.

б) длина перпендикуляра, проведенного из плоскости к этой точке.

в)длина перпендикуляра, проведенного из любой точки одной

плоскости ко второй плоскости, на которой лежит эта точка.

г) расстояние от этой точки до любой из точек лежащих на плоскости.

2. Расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называется

а) длина перпендикуляра, опущенного из произвольной точки на эту плоскость.

б) длина перпендикуляра, опущенного из произвольной точки прямой на эту плоскость.

в) расстояние от точки лежащей на прямой, до любой из точек лежащих на плоскости.

г) длина перпендикуляра, опущенного из произвольной точки плоскости на эту прямую.

3. Отрезок DM является высотой параллелограмма ABCD.

DK – перпендикуляр к плоскости параллелограмма. На стороне АВ выбрана

точка Х, не совпадающая с точкой М. Какое из соотношений является верным?

а) КМ<КХ, б) КМ>КХ, в) КМ≤КХ, г) КМ≥КХ.

4. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими

диагональ куба и ребро куба, если ребро куба равно см.

а) см ,б) 1 см, в) 0,5 см, г) 2 см.

5.Если угол между двумя прямыми равен 90°, то эти прямые:

а) пересекаются, б) параллельны, в) скрещиваются, г) перпендикулярны, д) совпадают.

6. Какое из следующих утверждений неверно:

а) если прямая перпендикулярна к двум прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и к этой плоскости,

б) если прямая перпендикулярна к плоскости, то она ее пересекает,

в) если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны,

г) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны,

д) если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости,

то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

7.Если одна из двух скрещивающихся прямых перпендикулярна к плоскости,

то будет ли перпендикулярна к этой плоскости вторая прямая?

а) да, б) да, но при определенных условиях, в) определить нельзя, г) нет, д) другой ответ.

8. Прямая а перпендикулярна к прямым с и в, лежащим в плоскости α,

прямая а перпендикулярна к плоскости α. Каково взаимное расположение прямых с и в?

а) параллельны, б) пересекаются, в) параллельны или пересекаются, г) совпадают,  д) определить нельзя.

9.Одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна прямой, тогда:

а) другая плоскость параллельна прямой, б) прямая лежит в другой плоскости,

в) другая плоскость перпендикулярна прямой, г) прямая не пересекает другую плоскость, 

д) выполняются все случаи, указанные в пунктах а - г.

10.Точка Е не принадлежит плоскости прямоугольника АВСD, ВЕ АВ, ВЕ ВС.

Тогда прямая и плоскость ВСЕ:

а)параллельны, б)перпендикулярны, в)скрещиваются,

г)прямая лежит в плоскости,  д) перпендикулярны, но не пересекаются.

11.Какое из следующих утверждений неверно?

а) перпендикуляр и наклонная, выходящие из одной точки, имеют равные длины,

б) проекцией прямой на плоскость является точка или прямая,

в) наклонные разной длины, проведенные к плоскости из одной точки,

имеют проекции разных длин, 

г) прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной

перпендикулярно к ней, перпендикулярна к ее проекции,

д) расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей

до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями.

12.Расстояния от точки М до сторон прямоугольного треугольника АВС

(угол С равен 90°) равны. Какое из следующих утверждений верно?

а) плоскости МАВ и АВС перпендикулярны,

б) плоскости МВС и АВС перпендикулярны,

в) плоскости МАС и АВС перпендикулярны,

г) плоскости МАС и МВС перпендикулярны, д) условия в пунктах а - г неверны.

13.Угол между двумя плоскостями равен 80°. Какое из следующих утверждений неверно?

а) плоскости пересекаются,

б) в одной из плоскостей найдется прямая, перпендикулярная другой плоскости,

в) в одной из плоскостей все прямые не перпендикулярны другой плоскости,

г) в одной из плоскостей найдется прямая, параллельная другой плоскости,

д) плоскости не перпендикулярны.

14.Какое из следующих утверждений верно?

а) градусная мера двугранного угла не превосходит 90°,

б) двугранным углом называется плоский угол, образованный прямой а и

двумя полуплоскостями с общей границей а,

в) если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к

другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны,

г) угол между плоскостями всегда тупой, 

д) все линейные углы двугранного угла различны.

15.Какое из следующих утверждений верно?

а) в прямоугольном параллелепипеде все шесть граней - произвольные параллелограммы,

б) все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда - острые,

в) прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом,

г) квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме трех его измерений,

д) параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра

перпендикулярны к основанию.

16.Длины трех ребер, имеющих общую вершину, называются:

а) высотами прямоугольного параллелепипеда,

б) диагоналями прямоугольного параллелепипеда,

в) измерениями прямоугольного параллелепипеда,

г) диагоналями основания прямоугольного параллелепипеда,

д) смежными ребрами прямоугольного параллелепипеда.

Т Е С Т по теме «Перпендикулярность плоскостей». 1 часть.

1.Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой , то как расположена вторая прямая по отношению к третьей ?

а) параллельна ;б) перпендикулярна; в) скрещивается; г) совпадают;

2.Если две прямые перпендикулярны к плоскости , то как они расположены по отношению друг к другу ?

а) параллельны ; б) перпендикулярны; в) скрещиваются; г) пересекаются;

3.Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым , лежащим в плоскости , то как расположена эта прямая по отношению к плоскости ?

а) параллельна плоскости; б) перпендикулярна к плоскости;в) лежит в плоскости;

4.Прямая а параллельна плоскости α , а прямая b перпендикулярна к этой плоскости. Как расположены прямые а и b ?

а) параллельны; б) перпендикулярны; в) скрещиваются; г) совпадают;

5.Сколько прямых , перпендикулярных к данной плоскости проходит через данную точку пространства ?

а) одна; б) две; в) ни одной; г) бесконечное множество;

6.Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости , то как расположены такие плоскости ?

а) параллельны; б) перпендикулярны; в) скрещиваются; г) совпадают;

7.Сколько двугранных углов имеет параллелепипед ?

а) четыре ; б) восемь; в) десять; г) двенадцать;

8.Диагональ квадрата перпендикулярна к некоторой плоскости . Как расположена другая диагональ квадрата по отношению к этой плоскости ?

а) параллельна плоскости ; б) перпендикулярна к плоскости;

в) лежит в плоскости; г) пересекает плоскость;

9.Каждая из плоскостей α и β перпендикулярна к плоскости γ . Каково взаимное расположение плоскостей α и β ?

а) параллельны; б) перпендикулярны; в) совпадают; г) скрещиваются;

10.Что больше : перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости или наклонная проведенная из той же точки к этой плоскости?

а) перпендикуляр; б) наклонная; в) они равны;

2 часть .

  1. Расстояние от некоторой точки до плоскости квадрата равно 4 см, а до каждой из его вершин – 6 см. Найдите диагональ квадрата.

А) 2 см; Б) 5 см; В) 5 см; Г) другой ответ.

2. Через вершину квадрата ABCD проведена прямая AM, перпендикулярная его плоскости. Какое из данных утверждений неверно?

А) MA перпендикулярна BD; В) MB перпендикулярна CB;

Б) MD перпендикулярна СD; Г) MC перпендикулярна СB.

3. Найдите расстояние от середины отрезка АВ, пересекающего плоскость α,до плоскости α, если расстояния от точек А и В до плоскости равны соответственно 7 см и 9 см. А) 8 см; Б) 1 см;

В) 4 см; Г) другой ответ.

4. Расстояния от вершин А, В, С параллелограмма ABCD, не пересекающего плоскость α, до плоскости α равны соответственно 3 см, 15 см и 18 см. Найдите расстояние от вершины D до плоскости α . А) 3 см; Б) 3 см; В) 6 см; Г) другой ответ.

5. Точка А находится на расстоянии 3 см и 5 см от двух перпендикулярных плоскостей α и β. Найдите расстояние от точки А до прямой пересечения плоскостей α и β.
А)
см; В) 4 см; В) 6 см; Г) другой ответ.

6. Из вершины равностороннего треугольника АВС проведен перпендикуляр АК к плоскости треугольника. Точка D – середина стороны ВС. Найдите длину АК, если ВС = см, КD = 8 см.

А) 14 см; В) 12 см; В) 7 см; Г) другой ответ.

  1. Расстояние от некоторой точки до плоскости прямоугольника равно см, а до всех его вершин – 3 см. Найдите диагональ прямоугольника. А) 4 см; Б) 2 см; В) 5 см; Г) другой ответ.

8. Найдите расстояние от середины отрезка АВ, пересекающего плоскость α ,до плоскости α, если расстояния от точек А и В до плоскости равны соответственно 4 см и 10 см.

А) 7 см; Б) 3 см; В) 2 см; Г) другой ответ.

9. Расстояния от вершин А, В, С параллелограмма ABCD, не пересекающего плоскость α, до плоскости α равны соответственно 19 см, 6 см и 16 см. Найдите расстояние от вершины D до плоскости α . А) 23 см; Б) 11 см; В) 29 см; Г) другой ответ.

10. Точка А находится на расстоянии 2 см и 3 см от двух перпендикулярных плоскостей α и β. Найдите расстояние от точки А до прямой пересечения плоскостей α и β. А) см; В) см; В) 3 см; Г) другой ответ.

11. Из вершины равностороннего треугольника АВС проведен перпендикуляр АК к плоскости треугольника. Найдите длину АК, если ВС = 3 см, КС = 3 см.

А) 2 см; В) 3 см; В) 4 см; Г) другой ответ.

Инструкционная карта

ПР № 3«Построение многогранников. Вычисление площадей и объемов многогранников».

Задание:

1) Перепишите и заполните пропуски:hello_html_3a511f3b.png

  • А)Пример 1. Высота правильной треугольной пирамиды 4 см, а ее апофемы 8 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. 
    Решение:  Исходя из того, что MK = 8, MO = 4, синус угла OKM равен  MO/MK = 1/2 , откуда угол равен arcsin 1/2 = 30 °. Откуда  KO / MK = cos 30° , KO / 8 = cos 30° ,

KO = 8 cos 30° .KO = 8/2 = 4 .
Тогда по свойству равностороннего треугольника
  КО = r = a/6.

4 = a /6 , a = 24. 
Теперь, зная размер основания боковой грани и ее апофему, найдем площадь боковой грани как площадь равнобедренного треугольника:
 Sт = 1/224 8 = 12 8 = … см2 .
Откуда площадь боковой поверхности пирамиды
 S = 3 Sт = 3 96 = … см2 . 
Ответ: 288 см2.

Пример 2. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 3, h = 4, a1= 16 , a2= 10 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: r1= a1 / 2  = 16  : 2  = 16 : 2 = …, r2= a2 / 2  = 10  : 2  = 10 : 2 = … ,

l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 42 + (5 8)2 = 16 + 9 = …, l = … Sn =  /4 (a12 + a22) + 1,5 l(a1 + a2) .

Sn =  /4 ((16 )2 + (10 )2) + 1,5 5(16  + 10 ) =  /4 (768 + 300) + 1,5 5 = =267 + 195  =   .

Ответ: 462 

Пример 3. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 3, a1= 16, a2= 8 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: r1= a1 / 2= 16: 2= …, r2= a2 / 2= 8  : 2  = …,

l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 32 + (4 8)2 = 9 + 16 = …, l = ….

Sn = (a12 + a22) + 2 l(a1 + a2) .Sn = (162 + 82) + 2 5(16 + 8) = 320 + 240 = … .

Ответ: 560

Пример 4. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 6, h = 2, a1= 2 , a2= 6 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: r1= a1 / 2  = 2  : 2  =  , r2= a2 / 2  = 6  : 2  = 3 ,

l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 22 + ( )2 = 4 + 12 = …, l = ….

Sn =3  /2 (a12 + a22) + 3 l(a1 + a2) .Sn =3  /2 (22 + 62) + 3 4(2 + 6) = …   + .

Ответ: 60   + 96

Пример 5. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 3, r1=2, r2= 6 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 32 + (6 2)2 = 9 + 16 = …, l = ….

Sn = 4 (r12 + r22) + 4 l(r1 + r2) . Sn = 4 (22 + 62) + 2 5(2 + 6) = 160 + 80 = … .

Ответ: 240.

  • В)Пример 1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро,

перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.
Решение: Каждая грань прямоугольного параллелепипеда –прямоугольник.

Пусть SABCD= a b = 12 , тогда АА1= h = 4, т.к. АА1 АВСD

Используем формулу объема прямоугольного параллелепипеда: V = a b h , V = 12 4 = ...

Ответ: 48 см3.

Пример 2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 12. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

Решение: Пусть АА1 АВСD, V = 12 , АА1= h = 3.

Найдём SABCD. Используем формулу объема прямоугольного параллелепипеда V = a b h, где SABCD= a b, S ABCD 3 = 12,S ABCD = 12 : 3 = ... Ответ: 4 см2.

Пример 3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.

Решение: a = 4, b = 2, d = 6. Найдем V.

Формула диагонали прямоугольного параллелепипеда:

d2 = a2 + b2 + h2 , 16 + 4 + h2 = 36, h2 = … , h = ...

Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V = abh , V = 4 2 4 = ... Ответ: 32 см3.

Пример 4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ и высоту.

Решение: a = 3, b = 2. Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V = abh , 3 . 2 . h = 36,

6h = 36, h = ..., V = 36. Найдем d. d2 = 9 + 4 + 36, d2 = 49, d = ... Ответ: 7 и 6 см.
Пример 5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, диагональ 
D1= 18 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани, и угол в 45° с боковым ребром (рис. ). Найти: V.
hello_html_m49e41dc8.jpg

 Решение: BC1 - проекция D1на плоскость боковой грани BB1С1С,
поэтому 
D1BC1 = 30°D1BB1= 45°.
Рассмотрим Δ
D1C1BD1C1= 90° (рис.). ∠В = 30°. => D1C1 = 18 : 2 = … см.
Рассмотрим Δ
D1B1- прямоугольный: BB1= 18 cos 45° = 18 : 2 = … см.
Диагональ (d) и измерения (а, b, с) прямоугольного параллелепипеда связаны соотношением:
d2 = a2 + b2 + h2 , 182 = 92 + (9)2 + B1C12 ,(ΔD1B1B: B1B =D1 B1).
B1C12 = 182 92 (9)2 = 324 – 8181 2 = 81, B1C1 = …см. V = 99 9 = … см3.   
Ответ:
V = 729см3.

Пример 6. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 3 и 4. Найти его объём, если высота равна длине диагонали его основания.

Решение: BD - диагональ основания прямоугольного параллелепипеда. BD2 = АВ2 + АD2,
BD2 = 32 + 42 = 9 + 16 = …, BD = …, h = 5. V = 345 = … см3.
Ответ:
60 см3.

Пример 7. Найти объём прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания 2 и 3, а диагональ параллелепипеда .

Решение: d2 = a2 + b2 + h2 , ()2 = 22 + 32 + h2 , h 2 = 38 – 49 = 25, h = ... V = 23 5 = … см3.
Ответ: 30 см3.

  • С)Пример 1. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АС = ВС, ACB = 90°BN NACNC1 = 45°CC1 = 6 (рис.). Найти: V. Решение: V = Sh , S = BC2 : 2, BC2 = BN2 + CN2 , BN =CN
    (
    ΔABC – прямоугольный,AC =BC), ΔC1CN – прямоугольный,CNC1 = 45°
    CC1 = CN= 6, BC2 =2CN2 = 2 62 = 236 = …, BC = 6 ,
    V = (62 6 : 2 = 36 6 = … см3.    Ответ:216см3.     Пример 2. Дано: ABCDА1В1С1D1 - прямая призма,  ABCD - ромб, BAD = 60° (рис.). ВВ1 = 2, B1DB = 45°. Найти: V. РешениеSp = AB AD sin 60°. ΔABD – равносторонний( AB = AD,BAD = 60° ).
    AB = BD = AD. ΔB1DB –прямоугольный ,
    B1DB = 45°. => ΔB1DB – равнобедренный, ВВ1 = ВD = 2,
    V = AB AD sin 60° BB1= BB13 sin 60° = 23 / 2 = … см3.
    hello_html_m47ca6280.jpghello_html_6c1a9bbb.jpg

Ответ: 4 см3

Пример 3. Дано: ABCDFM...M1 - правильная шестиугольная призма. AD1 = 8 см - наибольшая диагональ.AD1= 30°(рис.).hello_html_72355ff0.jpg

Найти: V. 
Решение: V= S0 · h. h = DD1 в ΔADD1, = 90°. D1 = 30°,

DD1 = AD1 · cos 30°. DD1 = 8 / 2 = … , AD = AD1 : 2 = 8 : 2 = … см,
OD = OC = CD = AD : 2 = 4 : 2 = …
см,
S
0 = 6S ΔOCD = 6 / 4) a2 = 6 / 4) 22 = 6 см. V = 6 = 6 43 = … см3.    

Ответ: 72 см3.   hello_html_m62762a7f.jpg

Пример 4. Дана трапеция, S(BB1C1C) = 8 см2, S(AA1D1D) = 12см2, BH = 5 см (рис.).Найти: Vnp. 
Решение:1)Расстояние между параллельными плоскостями ВВ1С1 и AA1D1 есть длина перпендикуляра ВН, который является высотой трапеции ABCD.

2) Обозначим верхнее основание трапеции - а, нижнее - b, высоту призмы h, тогда S(BB1C1C) = ah, 8 = ah, a = 8 / h, S(AA1D1D) = bh , 12 = bh, b = 12 / h,

3) S0 = (AD + BC)BH : 2 =( a + b ) BH : 2 = (8 / h + 12 / h) 5 : 2 = … / h,

4) V= S0 · h. V= 50 / · h = … см3.  Ответ: 50 см3.

  • Д)Пример 1. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 9 см. Сторона основания 4 см. Найдите объем пирамиды.

Решение: V= 1/3 S0 · h. V= 1/3 a2 · h = 1/3· 42·9 = 1/3 · 16 · 9 = 16 · 3 = … см3. Ответ: 48см3. 

Пример 2. a) Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 27 см3, высота 9 см. Найти сторону основания.

Решение: V= 1/3 S0 · h. V= 1/3 a2 · h, a2  = 3V : h = 3 · 27 : 9 = 3 · 3 = ... , a = … см.

Ответ: 3 см.hello_html_m12ec6366.jpg

б) Объем пирамиды равен 56 см3, площадь основания 14 см2. Чему равна высота?

Решение: V= 1/3 S0 · h.  h = 3 V : S0  = 3 · 56 : 14 = 3 · 4 = … см.

Ответ: 12 см.

Пример 3. Дано: ABCD - правильная пирамида.

АВ = a = 3; AD = 2 (рис.).Найти: aSocн.; б) АО; в) DO; г) V.

 Решение:

а) S0 = 0,25 · a2  = 0,25 · 32 = 2,25 (используем формулу для вычисления площади правильного треугольника). 

б) AO = R = 2/3h = 1/3 a  (формула радиуса описанной окружности через сторону правильного треугольника). AO = 1/3 · 3 = .

в) DO2 = AD2AO2, (по теореме Пифагора).

DO2 = (2)2 – ()2 = 4 · 3 – 3 = … , DO = h = 3.hello_html_5fef969e.jpg

г) V= 1/3 S0 · h. V= 1/3 · 2,25 · 3 = … см3.

Ответ: aSocн. = 2,25 см2; б) АО = см; в) DO = 3см; г) V = 2,25 см3 .

Пример 4. Дано: ABCDF - правильная пирамида. 

FCO = 45°FO = 2 (рис.). Найти: a) Socн.; б) V. 

Решение:

1) Рассмотрим ΔFOC= 90°= 45°, значит, = 45°. Следовательно, ΔFOC - равнобедренный, ОС ≈ FO = h= 2.

2) АС = 2OС = 4. AC = AD (по свойству диагонали квадрата, d2 = 2а2).

Тогда  AD = AC / = 4 / = 2 .

3) ABCD - квадрат (пирамида правильная). S0 = AD2 = (2)2 = 2 · 4 = ...

4) V= 1/3 S0 · h. V= 1/3 · 8 · 2 = 16/3 5,3. Ответ: a) 8; 6) 5,3.hello_html_6d91a8cf.jpg

Пример 5. Дано: ABCA1B1C1 – усеченная пирамида. ΔАВС – прямоугольный,
AB = 18 дм, BC = 24 дм, AA1 = BB1 = СС1 = 12,5 дм, k = 0,5. Найти V.

Решение: S1 = SABC = 1/2 · AB · BC = 1/2 · 18 · 24 = 9 · 24 = … ,
S
2 = S(A1B1C1) = 1/2· A1B1 · B1C1 = 1/2 (k · AB) · (k · BC) =
= 1/2· 0,5 · 18 · 0,5 · 24 = 6 · 9 = … ,
S = S
1 + S2 + = = 216 + 54 + = 216 + 54 + 54 = … ,
V = 1/3 · h · S = 1/3 378 h = 126 h, R
1 = abc/4S1 ,

c = = = … , R1 = = = …, hello_html_m78f1984a.jpg

R2 = R1 : 2 = 7,5; h2 = 12,52 – (15 – 7,5)2 = 12,52 – 7,52 = (12,5 – 7,5) · (12,5 + 7,5) =

= 5 · 20 = … , h = … ,

V = 126 h = 126 · 10 = … (дм3).
Ответ: 1260 (дм3).

Пример 6. усеченная пирамида а) n = 3, а1 = 2, а2 = 5, h = 12, V =?
Решение: A = 22 + 52 + 2 · 5 = 39, V = · h · A = · 12 · 39 = … . Ответ: 39 .

б) n = 4, a1 = 3, a2 = 8, h = 6, V = ?
Решение: A = 32 + 82 + 3 · 8 = 97, V = 1/3 · 6 · 97 = 2 · 97 = ...

Ответ: 194.



2)Решить задачи ( по примерам):

А)

  1. Высота правильной треугольной пирамиды 8 см, а ее апофемы 16 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. 

  2. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 3, h = 8, a1 = 14 , a2 = 2 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  3. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 8, a1 = 16, a2 = 4 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  4. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 6, h = 2, a1 = 4 , a2 = 8 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  5. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 3, r1 = 5, r2 = 9 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

В)

  1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 15. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 6. Найдите объем параллелепипеда.

  2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

  3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 4. Диагональ параллелепипеда равна 13. Найдите объем параллелепипеда.

  4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 6. Объем параллелепипеда равен 108. Найдите его диагональ и высоту.

  5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, диагональ  D1= 12 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани, и угол в 45° с боковым ребром. Найти: V.

  6. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 6 и 8. Найти его объём, если высота равна длине диагонали его основания.

  7. Найти объём прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания 4 и 6, а диагональ параллелепипеда .

С)

  1. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АС = ВС, ACB =90°BN NACNC1 = 45°CC= 8 (рис.). Найти: V.

  2. Дано: ABCDА1В1С1D1 - прямая призма,  ABCD - ромб, BAD = 60° (рис.). ВВ1 = 4, B1DB = 45°. Найти: V.

  3. Дано: ABCDFM...M1 - правильная шестиугольная призма. AD1 = 16 см - наибольшая диагональ.AD1= 30° (рис.). Найти: V. 

  4. Дана трапеция, S(BB1C1C) = 10 см2, S(AA1D1D) = 14см2, BH = 10 см (рис.). Найти: Vnp. 

Д)

  1. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6 см. Сторона основания 5 см. Найдите объем пирамиды.

  2. a)Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 48 см3, высота 4 см. Найти сторону основания. б) Объем пирамиды равен 28 см3, площадь основания 4 см2. Чему равна высота?

  3. Дано: ABCD - правильная пирамида. АВ = a = 6; AD = 4 . Найти: aSocн.; б) АО; в) DO; г) V.

  4. Дано: ABCDF - правильная пирамида.  FCO = 45°FO = 4 . Найти: a) Socн.; б) V. 

  5. Дано: ABCA1B1C1усеченная пирамида. ΔАВС прямоугольный, AB = 12 дм,BC = 16 дм, AA1 = BB1 = СС1 = 13 дм, k = 0,5. Найти V.

  6. а) n = 3, а1 = 2, а2 = 5, h = 24, V =?, б) n = 4, a1 = 3, a2 = 8, h = 3, V = ?,

3)Решить задачи :

  1. Дана правильная четырехугольная пирамида со стороной основания a=12 см и
    высотой
    h=8 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
    hello_html_m3eb51a34.png

  2. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3 см, 5 см и 8 см.

а) 120 см3; б) 60 см3; в) 32 см3; г) другой ответ.

  1. Длина прямоугольной комнаты в 2 раза больше ширины и на 2 м больше высоты. Найдите объем комнаты, если ее длина равна 6 м. а) 432 м3; б) 144 м3; в) 72 м3; г) другой ответ.

  2. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1; 0,5 и 16. Найдите ребро равновеликого ему куба.

Инструкционная карта

ПР № 4«Вычисление координат векторов».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. Дано:



Решение:

  1. Находим координаты вектора

;

  1. Затем находим координаты вектора


  1. Теперь находим аналогично координаты вектора


  1. Теперь находим сумму данных векторов, складывая соответствующие координаты:


Ответ:
Пример 2. Дано: , . Найдите  

Решение: Первый случай

  1. Находим координаты вектора

;

  1. Затем находим разность векторов

;

  1. Теперь находим длину вектора :

Второй случай

  1. Находим координаты вектора

;

  1. Находим координаты вектора

;

  1. Затем находим сумму векторов

;

  1. Теперь находим длину вектора : =

Ответ:

Пример 3. Даны векторы   и . Найти

Решение: Для действий с векторами справедлив обычный алгебраический приоритет: сначала умножаем, потом складываем:

=  3 - 2= - =
= = .

= + 4 {7; -9 ;1 } = + = =

=
Ответ:  ,

Пример 4. Найдите сумму векторов: и .

Решение: , .

Ответ:

Пример 5. Даны векторы , Найдите координаты векторов

Решение: , , с ,

, .

Ответ: .

Пример 6. Дано: ΔАВС, А(2; 0; 1), В(1; 2; 3), С(8; 4; 9). ВМ - медиана.

Найти: координаты вектора .

Решение: По определению медианы, М - середина отрезка АС. Следовательно, координаты М найдем по формулам координат середины отрезка  M ((82)/2, (4 + 0)/2,(9 + 1)/2), M(…,…,…).{3 + 1,22,53}, {…,… ,…}. Ответ: {4; 4; 2}.

Пример 7. Дано: А(1; 5; 3), В(7; 1; 3), С(3; 2; 6). Доказать: ΔABC - прямоугольный.

Решение: По формуле расстояния между двумя точками найдем длины отрезков АВ, АС, ВС.
AB2 = (7 + 1)2 + (5 + 1)2 + (3 – 3)2, AB2 = 64 + 36 = … , BC2 = (7– 3)2 + (– 2 + 1)2 + (6 – 3)2,
BC2 = 16 + 1 + 9 = … , AC2 = (3 + 1)2 + (5 + 2)2 + (6 – 3)2, AC2 = 16 + 49 + 9 = ...

Проверим равенство АВ2 = ВС2 + АС2, 100 = 26 + 74 верно.

По теореме обратной теореме Пифагора делаем вывод, что ΔABC - прямоугольный
с гипотенузой АВ.

Пример 8. Дано: ΔАВС; М, N, К - середины сторон соответственно АВ, ВС, АС. М(3; 2; 5), 
N(3,5; 1; 6), К(1,5; 1; 2). Найти: координаты А, В, С.

Решение: Пусть A (х1; у1z1), В(х2; у2z2), С(х3; у3z3). По формулам координат середины отрезка составим системы для абсцисс, ординат и аппликат. Пользуясь методом сложения, решим эту систему:

Ответ: А(2; 0; 1), В(8;4; 9), С(1; 2; 3).

Пример 9. Дано: А(-2; 1; 2), B(-6; 3; -2), С  оси OZ; АС = ВС. Найти: координаты точки С.

Решение: По условию С  оси OZ, значит она имеет координаты С(0; 0; z) и АС = ВС. Составим уравнение, пользуясь формулой расстояния между двумя точками: 4 + 1 + (z 2)2 = 36 + 9 + (z + 2)2, 5 + z2 – 4z + 4 = 45 + z2 + 4z + 4, 8z = 40, z = … Ответ: (0; 0;5).

Пример 10. Дано: А(2; 1; 2), B(6; 3; 2), С (0; 0; 5); АС = ВС. Найти: SABC).

Решение: По формуле координат середины отрезка АВ найдем координаты точки М — середины:
M ((62)/2, (1 + 3)/2,(22)/2), M(4,2,0). AB2 = (6 + 2)2 + ( 31)2 + (2 + 2)2 = 16 + 4 + 16 = …, AB = ... СМ-высота равнобедренного ΔABC.
CM2 = (40)2 + (20)2 + (0 (5))2 = 16 + 4 + 25 = … , CM = 3 ,
SABC) = AB · CM : 2 = 6 · 3 : 2 = … . Ответ: 9.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Дано: А(2;1;6), В (2;0; 1), С(1; 5; 0)

  1. Дано: , , ; 2).

  2. Даны векторы   и ,  . Найти

  3. Найдите сумму векторов: и .

  4. Даны векторы , , . Найдите координаты векторов

и

  1. Дано: ΔАВС; А(1; 2; 3), B(1; 0; 4), С(3; 2; 1). AM - медиана.Найти: координаты вектора

  2. Дано: А(1; 5; 3), В(1; 3; 9), С(3; 2; 6).Доказать: ΔAВС - прямоугольный.

  3. Дано: ΔАВС, М, N, К - середины сторон соответственно ABBС, AС. М(3; 2; 4), 
    N(6; 4; 10), К(7; 2; 12).Найти: координаты вершин А, В, С.

  4. Дано: A(4; 5; 4), B(2; 3; 4); С  оси  OXAC = ВС. Найти: координаты точки С.

  5. Дано: А(4; 5; 4), B(2; 3; 4), С(1; 0; 0), АС = ВС. Найти: S(ΔABC).

3)Решить задачи :

А)

  1. Найдите координаты вектора , если

  2. Даны векторы {1;3; 3} и . Найдите координаты и длину вектора.

  3. Даны векторы {3;1; 2} и . Найдите координаты вектора ,

  4. Найдите длину вектора , , если {2;1; 5} и .

  5. Из точки А построен вектор . Найдите координаты точки В , если:

А(3;1; 2), .

  1. Даны точки А(4;6; –2) и В (–10;6; 0) . Найти длину отрезка АВ.

  2. Даны точки: А(10;14; 4), В (10;8; 12) , С (18;8; 18) 

Выяснить, равнобедренный ли треугольник, построенный на этих точках.

  1. а) Даны два вектора:  и .Найти .

б) Даны четыре вектора: .

Найти координаты векторов  

  1. В кубе АВСDА1В1С1D1, сторона которого равна 3, на диагоналях граней АD1 и D1В1 взяты точки Е и К так, что D1Е : АD1 = 2 : 3, D1K : D1B1 = 1 : 3. Найдите длину отрезка DK.

  2. Дано:

  3. Найдите длину вектора КА АС, диагонали ромба 6 и 8 см.

  4. Даны точки А(2;3; –1) и В (–5;3; 0) . Найти длину отрезка АВ.

  5. Даны точки: А(5;7; 2), В (5;4; 6) , С (9;4; 9) Выяснить, равнобедренный ли треугольник.

  6. Даны два вектора:  и .Найти .

В)

  1. Дано: A (10, 4, 3), B (6, 2, 1). Найти координаты точки M – середины отрезка AB.

  2. Дано: A (5, 4, 7), B (10, 10, 0). Найти координаты вектора .

  3. Дано: {0, 5, 0}, {2, 2, 1}. Найти длину векторов.

  4. Даны точки А (1,5; 1; –2), B (2; 2; –3); и C (2; 0; –1). Найдите: периметр треугольника ABC.

  5. Дано: М(–4; 7; 0) N(0; –1; 2).Найти: расстояние от начала координат до середины отрезка MN.

  1. В кубе АВСDА1В1С1D1, сторона которого равна 3, на диагоналях граней АD1 и D1В1
    взяты точки Е и К так, что
    D1Е : АD1 = 1 : 3, D1K : D1B1 = 2 : 3. Найдите длину отрезка DK.


  1. Даны четыре вектора: .

Найти координаты векторов  

  1. Дано:

  2. Даны векторы и   Найдите координаты вектора .

  3. Даны векторы,. Найдите координаты вектора 

  4. На каком расстоянии от плоскости (хОу) находится точка А(2; 3; 5).

  5. На каком расстоянии от начала координат находится точка А(3; 4; 0).

  6. Найти длину вектора  если А(5; 3; 2), В(3; 1; 4).

  7. На каком расстоянии от плоскости (yOz) находится точка В(3; 2; 4).

  8. Даны векторы и  . Найдите  

  9. Изобразить систему координат Оху: и построить точку А(1; 2; 4).
    Найти расстояние от этой точки до координатных плоскостей.

  10. Вершины ΔАВС имеют координаты А(2; 0; 1), В(1; 2; 3), С(8; 4; 9).
    Найдите координаты вектора
      если ВМ - медиана ΔABC.

  11. Даны точки А(1; 5; 3) В(7; 1; 3) С(3; 2; 6). Доказать, что ΔАВС - прямоугольный.

  12. Даны точки А(2; 1; 2), В(6; 3; 2) на оси аппликат.
    Найти точку С, равноудаленную от точек А и В.

  13. Дано: А(2; 5; 8), В(6; 1;0).На оси ординат найти точку С, равноудаленную от точек А и В.
    Найти: площадь Δ
    ABC.

  14. Даны точки А(2; 1; 2), В(6; 3;2) на оси аппликат. Найти точку С, равноудаленную от
    точек А и В. Найти площадь ΔАВС.

  15. Середины сторон ΔАВС имеют координаты: М(3; 2; 4). N(6; 4; 10), К(7; 2; 12).
    Найдите координаты вершин ΔАВС.

  16. Даны точки А(4; 5; 4), В(2; 3; 4) на оси абсцисс. Найти точку С, равноудаленную от точек А и В. Найти площадь ΔABC

  17. Даны точки А(3; 1; 2) и В(1; 1; 2). Найдите: а) координаты середины отрезка АВ;

б) координаты и длину вектора  в) координаты точки С, если .

  1. Даны точки А(0; 4; 0), В(2; 0; 0), С(4; 0; 4) и D(2; 4; 4). Докажите, что ABCD - ромб.

  2. Даны точки А(0; 1; 2), В(√2 ; 1; 2), С(; 2; 1) и D(0; 2; 1). Докажите, что ABCD- квадрат.

  3. Даны точки А(2; 1; 8), В(1;5; 0), С(8; 1; 4). Докажите, что ΔАВС - равнобедренный и
    найдите длину средней линии треугольника, соединяющей середины боковых сторон.

  4. Даны координаты трех вершин параллелограмма ABCD:
    А(
    6; 4; 0), В(6; 6; 2), С(10; 0; 4). Найдите координаты точки D и
    угол между векторами
      и .
    hello_html_793497f7.jpg

  5. Дано: О(0; 0; 0), А(4; 0; 0), В(0; 6; 0), С(0; 0; 2).
    Δ
    AОВ - вписанный в окружностьW(D; r).
    Найти: а) координаты центра окружности
     D;
    б)
     r- радиус окружности.

  6. Дано: ΔАВС - прямоугольный; АС, ВС - катеты;AC = b = 9 ;BC = a = 12;
    CD = m = 4; CD  (ABC); М - середина гипотенузы АВ. Найти: DM.






Инструкционная карта

ПР № 5 «Решение комбинаторных задач».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. а) Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 1,3,6,7,9, если каждая их них может быть использована в записи только один раз?

Решение: по формуле получаем: способов.

Ответ:60.

б) Из 20 учащихся надо выбрать старосту, его заместителя и редактора газеты. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: по формуле получаем: способов.

Ответ:6840.

в)Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести девушек на танец?

Решение: Два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И варианты,

при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами, считаются разными, поэтому:

Ответ: 360.

Пример 2. а)Сколькими способами можно представлять друг с другом цифры 1, 2, 3, 4?

Решение: Р4 = 4!= = …

Ответ: 24.

б)За столом пять мест. Сколькими способами можно расставить пятерых гостей?

Решение: Р5 = 5! =

Ответ:120.

в)Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и зеленый шарики?

Решение: На первое место можно поставить любой из четырех шариков (4 способа), на

второе – любой из трех оставшихся (3 способа), на третье место – любой из

оставшихся двух (2 способа), на четвертое место – оставшийся последний шар.

Всего 4 · 3 · 2 · 1 = 24 способа. Р4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Ответ: 24 способа.

г)Сколькими способами можно переставить буквы слова «ананас»?

Решение: всего букв 6. Из них одинаковы n1«а»=3, n2«н»=2, n3«с»=1. Следовательно, число различных перестановок равно

Ответ:60.

Пример 3. а) Из 15 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Решение: каждый выбор отличается от другого хотя бы одним дежурным. Значит, здесь речь идет о сочетаниях из 15 элементов по 3. Следовательно, по формуле получаем

Ответ:455.

б) На полке стоит 12 книг: англо-русский словарь и 11 художественных произведений на английском языке. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги, если :

1) словарь нужен ему обязательно; 2) словарь ему не нужен?

Решение:

1) 2)

Ответ: 1) 55,2) 165.

в) Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?


Решение: Выбор 6 из 10 без учёта порядка: способов.

Ответ: 210 способов.

г) Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр.

Решение: Так как кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих трех кнопок – сочетание. Отсюда возможно вариантов.

Ответ:120.

Пример 4. а)Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,4,7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Решение: для того, чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, будем записывать их в порядке возрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 4, и, наконец, с цифры 7: 14, 17, 41, 47, 71, 74.

Ответ: 6.

б) На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?

Решение: Составим таблицу:

плюшка бутерброд пряник кекс

кофе

КП

КБ

КПР

КК

сок

СП

СБ

СПР

СК

кефир

КЕП

КЕБ

КЕПР

КЕК


В ней три строки и четыре столбца, они образуют 12 клеток. Так как выбор еды и напитка происходит независимо, то в каждой клетке будет стоять один из возможных вариантов завтрака и, наоборот, любой вариант завтрака будет записан в одной из клеток. Значит, всего вариантов столько же, сколько клеток в таблице.

Ответ: 12.

Пример 5. а) Имеются 10 различных книг, три из которых – справочники. Сколькими способами

можно расставить эти книги на полке так, чтобы все справочники стояли рядом?

Решение: Т.к. в справочники должны стоять рядом, то будем рассматривать их как одну книгу. Тогда на полке надо расставить 10 – 3 + 1= … книг. Это можно сделать P8 способами. Для каждой из полученных комбинаций можно сделать P3 перестановок справочников.

Поэтому число способов расположения книг на полке равно произведению:

P8 · P3 = 8! · 3! = 40320 · 6 = ...

Ответ: 241920.

б) Сколько всего существует результатов опыта, заключающегося в подбрасывании двух одинаковых игральных костей?

Решение: Формула числа сочетаний из m элементов по n элементов с повторениями имеет вид:

,
Ответ: 21.

2)Решить задание ( по примерам):

  1. а) Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 1,2,4,6,7,9, если каждая их них может быть использована в записи только один раз?

б) Из 15 учащихся надо выбрать старосту, его заместителя и редактора газеты. Сколькими способами это можно сделать?

в)Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из пяти девушек на танец?

  1. а)Сколькими способами можно представлять друг с другом цифры 1, 2, 3, 4,5?

б)За столом семь мест. Сколькими способами можно расставить семерых гостей?

в)Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий, белый и зеленый шарики?

г)Сколькими способами можно переставить буквы слова «Миссисипи»?

  1. а) Из 25 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

б) На полке стоит 15 книг: англо-русский словарь и 14 художественных произведений на английском языке. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги, если :
1) словарь нужен ему обязательно; 2) словарь ему не нужен?

в) Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 7 книг?

г) Сколько четырехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр.

  1. а)Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,4,5,7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

б) На завтрак Вова может выбрать бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?

  1. а)Имеются 10 различных книг, 6 из которых – справочники. Сколькими способами

можно расставить эти книги на полке так, чтобы все справочники стояли рядом?
б)
Сколько всего существует результатов опыта, заключающегося в подбрасывании трех одинаковых игральных костей?

3)Решить задание:
подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний.

  1. «Вороне где-то Бог послал кусочек сыра», колбасы, хлеба и шоколада. «На ель Ворона взгромоздясь, позавтракать совсем уж было собралась, да призадумалась»: если есть кусочки по очереди, то из скольких вариантов придется выбирать?

  2. Сколькими способами можно из 25 учащихся выбрать 5 для участия в школьном марафоне?

  3. Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали по итогам первенства по футболу, если число команд 12?

  4. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

  5. Из 12 солдат нужно в разведку послать 5. Сколькими способами это можно сделать?

  6. Сколько пятизначных чисел можно составить, используя только цифры 3 и 5?

  7. «Проказница Мартышка, Осел, Козел и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Сколькими способами они могут распределить четыре имеющихся у них инструмента?

  8. «Проказница Мартышка, Осел, Козел и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». На складе 12 музыкальных инструментов. Мишке поручили принести со склада 8 любых инструментов. Сколько вариантов выбора есть у мишки?

  9. Гера, Афина и Афродита попросили Париса не только назвать самую красивую из них, но и указать, кто «на втором и третьем местах». Сколько есть вариантов ответа?

  10. В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных «Дню Победы». Сколькими способами можно сформировать из них 3 набора?

  11. Сколько существует способов составить расписание уроков на один день из 6 предметов?

  12. Алфавит племени тумба-юмба состоит из букв А, У, С. Словом является любая последовательность из 4 букв. Сколько слов в языке этого племени?

  13. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, зеленый, черный, синий кубики?

  14. Из колоды в 36 карт вынимают 5 карт. Найдите число всех возможных вариантов выбора.

  15. В классе 27 учеников, из которых нужно выбрать троих: первый ученик должен решить задачу, второй – сходить за мелом, третий – пойти дежурить в столовую. Сколькими способами это можно сделать?

  16. Сколькими способами можно из 6 человек составить комиссию, состоящую из двух человек?

  17. В соревновании участвуют 10 человек. Сколькими способами могут распределиться между ними места?

  18. Сколькими способами можно расставить на полке 4 различные книги?

  19. Сколько различных словарей необходимо переводчику, чтобы он мог переводить с любого из 5 языков – русского, английского, немецкого, французского, испанского – на любой другой из этих языков?

  20. Пять человек обменялись друг с другом фотографиями. Сколько всего фотографий было?

  21. На плоскости отмечены 6 точек. Каждые две точки соединили отрезком. Сколько получилось отрезков?

  22. Сколькими способами можно переставить 5 различных геометрических фигур?

  23. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «здание»?

  24. За свои рисунки ученик получил две положительные оценки. Какими они могут быть? Сколько вариантов?

  25. Сколько флагов можно составить из трех разных цветов, если имеются полосы синего, белого, красного цветов?

  26. В понедельник в пятом классе 5 уроков. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник?

  27. Из десяти учащихся надо выбрать старосту, физорга и культорга. Сколькими способами это можно сделать?

  28. В соревновании участвуют 10 человек. Сколькими способами могут распределиться между ними места?

  29. У одного человека 7 книг по математике, а у второго – 9. Сколькими способами они могут обменять друг у друга две книги на две книги.

  30. Имеется пять различных стульев и семь рулонов обивочной ткани различных цветов. Сколькими способами можно осуществить обивку стульев.

  31. На памятные сувениры в «Поле Чудес» спонсоры предлагают кофеварки, утюги, телефонные аппараты, духи. Сколькими способами 9 участников игры могут получить эти сувениры? Сколькими способами могут быть выбраны 9 предметов для участников игры?

  32. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы на одна из них не могла бить другую?

  33. Сколько может быть случая выбора 2 карандашей и 3 ручек из пяти различных карандашей и шести различных ручек?

  34. На ферме есть 20 овец и 24 свиньи. Сколькими способами можно выбрать одну овцу и одну свинью? Если такой выбор уже сделан, сколькими способами можно сделать его еще раз?

  35. Сколько существует четных пятизначных чисел, начинающихся нечетной цифрой?

  36. В 9 классе учатся 7 учащихся, в 10 - 9 учащихся, а в 11 - 8 учащихся. Для работы на пришкольном участке надо выделить двух учащихся из 9 класса, трех – из 10, и одного – из 11 . Сколько существует способов выбора учащихся для работы на пришкольном участке?

  37. Сколько наборов из семи пирожных можно составить, если в продаже имеется четыре сорта пирожных?

перебором вариантов:

  1. 1. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 3, 5, 7, 9. Сколько двузначных чисел можно записать, если использовать при записи числа каждую цифру только один раз?

  2. 2. В четверг в первом классе должно быть три урока: русский язык, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?
    Указание: Перебирая варианты введите обозначения:
    Р – русский язык, М – математика, Ф – физкультура.

  3. 3. Саша выбрал в библиотеке 5 книг, но одновременно можно взять только две книги. Сколько вариантов выбора двух книг есть у Саши?

  4. 4. Школьники из Волгограда собрались на каникулы поехать в Москву, посетив по дороге Нижний Новгород. Сколькими различными способами могут ребята осуществить свое путешествие, если из Волгограда в Нижний Новгород можно отправиться на теплоходе ли поезде, а из Нижнего Новгорода в Москву – на самолете, теплоходе, поезде или автобусе?

  5. 5. Девять школьников, сдавая экзамены по математике и английскому языку, получили отметки «4» и «5». Можно ли утверждать, что по крайней мере двое из них получили по каждому предмету одинаковые отметки?

  6. 6. Сколько существует двузначных чисел, у которых первая цифра больше второй?

  7. 7. Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех вертикальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг.
    а) Сколько всего стран могут использовать такую символику?
    б) Сколько всего стран могут использовать такую символику с верхней белой полосой?
    в) Сколько всего стран могут использовать такую символику с нижней зеленой полосой?
    г) Сколько всего стран могут использовать такую символику с синей и красной полосами, расположенными рядом?

  8. 8. а) Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9?

б) Сколько среди них чисел, кратных 5? в) Сколько среди них чисел, кратных 3?

Инструкционная карта

ПР № 6 «Вычисление вероятностей».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. a)В партии из 100 деталей имеется 5 бракованных. Определить вероятность того, что, взятая наугад, деталь окажется стандартной.

Решение: А: взятая наугад деталь оказалась стандартной.

Число исходов, благоприятствующих наступлению события А, равно 95.Поэтому вероятность события равна P(A) = m/ n = 95/100 = … .hello_html_m27618eb7.gif Ответ: 0,95.

б) Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «книга».

Решение: А: из рассыпанных букв сложится слово «книга»

Число всех возможных исходов равно n = Pn = 5! = 120.

Число исходов, благоприятствующих событию А равно m =1.

Вероятность события А равна P(A) = m/ n = 1/120 = … .hello_html_m27618eb7.gif 

Ответ: 0,0083.

Пример 2.a) В коробке лежат 8 зеленых, 7 синих и 15 красных карандашей. Вычислить вероятность того, что взятый наугад карандаш будет, синим или зеленым.

Решение: А: взяли синий карандаш, В: взяли зеленый карандаш, С: взяли синий или зеленый карандаш. Событие С равно сумме событий А и В: С = А + В

Вероятность события А равна P(A) = m/ n = 7/30. 

Вероятность события В равна P(B) = m/ n = 8/30. 

Вероятность события С равна P(C) = P(A) = 7/30 8/30 = 15/30 = ...

Ответ: 0,5. б) В урне лежат шары, двузначные номера которых составлены из цифр 1,2,3,4,5. Какова вероятность вынуть шар с номером 15? Решение: А: вынут шар с номером 15.

Число всех возможных исходов равно n =

Число исходов, благоприятствующих событию А, m = 1.

Вероятность события А равна P(A) = m/ n = 1/20 = … .

Ответ: 0,05.

Пример 3.a) Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение: А: абонент наугад набрал нужные цифры.

Число всех возможных исходов равно n =

Число исходов, благоприятствующих событию А, m = 1

Вероятность события А равна P(A) = m/ n = 1/90 = .... 

Ответ: 0,011.

б) Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов равны соответственно 0,05 и 0,08. Найти вероятности отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент. 

Решение: Пусть событие А — «устройство не работает», В1 — «отказал первый элемент», 

В2 — « отказал второй элемент». Событие А соответствует тому, что может отказать один из «цементов либо оба элемента. События  В1 и В2  независимы в совокупности, поэтому:

q1 = 10,05 = 0,95,   q2 = 10,08 = 0,92. P(A) = 1 q1q2= 10,950,92 = 10,874 = ...

Ответ:  0,126.

Пример 4. a)Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

Решение: Пусть p - вероятность попадания в цель при одном выстреле. Введем событие 

X = {при четырех выстрелах есть хотя бы одно попадание} и противоположное ему событие  

= {при четырех выстрелах нет ни одного попадания}.

Вероятность события  равна P(  ) = (1p)4, тогда вероятность события Х равна 

P(X) =1P(  ) = 1 (1p)4. По условию эта вероятность равна 0,9984, откуда получаем уравнение относительно p: 1 (1p)4 = 0,9984, (1p)4 = 0,0016, (1p) = 0,2, p = ...

Таким образом, вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8.

Ответ: 0,8.

б)На полке в случайном порядке расставлено 40 книг, среди которых находится трехтомник Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом.

Решение: Используем классическое определение вероятности: P = m/n, где n- число всех равновозможных элементарных исходов, m - число элементарных исходов, благоприятствующих осуществлению события  A = (Тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом). n= 40⋅39⋅38 =59280, так как первый том можно поставить на любое из 40 мест, второй - на любое из 39 мест и третий - на любое из оставшихся 38 мест.

А число m= 40! / (37! 3!) = (40⋅39⋅38) : (1⋅2⋅3) = ...

Тогда искомая вероятность P(A)= m/n = 9880/59280 = 1/6.
Ответ: 1/6.

Пример 5. а)В коробке имеется 250 лампочек, из них 100 по 90Вт, 50 - по 60Вт, 50 - по 25Вт и 50 – по 15Вт. Определить вероятность того, что мощность любой наугад взятой лампочки не превысит 60Вт.

Решение: 1. Рассматриваем следующие события: А = {мощность лампочки равна 90Вт}, вероятность Р(А) = 100/250 = 0,4; В = {мощность лампочки равна 60Вт}; С = {мощность лампочки равна 25Вт}; D = {мощность лампочки равна 15Вт}.

2. События А, В, С, D образуют полную систему, так как все они несовместны и одно из них обязательно наступит в данном опыте (выборе лампочки). Вероятность наступления одного из них есть достоверное событие, тогда Р (А)Р (В)Р (С)Р (D) = 1.

3. События {мощность лампочки не более 60Вт} (т.е. меньше или равна 60Вт), и {мощность лампочки более 60Вт} (в данном случае – 90Вт) являются противоположными. По свойству противоположных чисел Р (В)Р (С)Р (D) = 1Р (А).

4. Учитывая, что Р (В)Р (С)Р (D) = Р (ВСD), получим

Р (В СD) = 1Р (А) = 10,4 = ... Ответ: 0,6. 

б) Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,7, а вторым стрелком – 0,9. Найти вероятность того, что 

1) цель будет поражена только одним стрелком; 2) цель будет поражена хотя бы одним стрелком.

Решение: 1. Рассматриваем следующие события:
А
1 = {первый стрелок поражает цель}, Р (А1) = 0,7 из условия задачи;
1 = {первый стрелок промахнулся}, при этом Р (А1)Р (1) = 1, поскольку А1 и А̄1 – противоположные события. Отсюда Р (1) = 10,7 = …;
А
2 = {второй стрелок поражает цель}, Р (А2) = 0,9 из условия задачи;
2 = {второй стрелок промахнулся}, при этом Р (2) = 10,9 = …

2. Событие А={цель поражена только одним стрелком} означает, что наступило одно из двух несовместных событий: либо А12, либо 1А2.
По правилу сложения вероятностей Р (А) = Р (А12) + Р (1А2).По правилу умножения вероятностей независимых событий:
Р (А12) = Р (А1)Р (2) = 0,70,1= 0,07; Р (1А2) = Р (1)Р (А2) = 0,30,9 = ...
Тогда Р (А)= Р (А12) Р (1А2) = 0,070,27 = ...

3. Событие B ={цель поражена хотя бы одним стрелком} означает, что либо цель поразил первый стрелок, либо цель поразил второй стрелок, либо цель поразили оба стрелка.

Событие = {цель не поражена ни одним стрелком} является противоположным событию В, а значит Р(В) = 1Р ().
Событие B̄ означает одновременное появление независимых событий 1 и 2, следовательно Р () = Р (12) = Р (1)Р (2) = 0,30,1 = 0,03. Тогда Р (В) = 1Р () = 10,03 = ...

Ответ: 1) 0,34; 2) 0,97.

Пример 6. Выпущено 1000 лотерейных билетов: на 5 из них выпадает выигрыш в сумме 500 рублей, на 10 – выигрыш в 100 рублей, на 20 – выигрыш в 50 рублей, на 50 – выигрыш в 10 рублей. Определить закон распределения вероятностей случайной величины X – выигрыша на один билет.

Решение: По условию задачи возможны следующие значения случайной величины X:

0, 10, 50, 100 и 500.

Число билетов без выигрыша равно 1000 – (5+10+20+50) = …, тогда P(X=0) = 915/1000 = ...

Аналогично находим все другие вероятности: P(X=0) = 50/1000=…, P(X=50) = 20/1000=…,

P(X=100) = 10/1000=…, P(X=500) = 5/1000=... Полученный закон представим в виде таблицы:


Вероятности pi

0,915

0,05

0,02

0,01

0,005


Пример 7. a)Закон распределения случайной величины X имеет вид:

X

1

0

1

2

P

0,1

0,2

0,3

0,4

Вычислить Dx   и Ϭx .

Решение: Найдем вначале математическое ожидание случайной величины X:

Mx = .

Вычислим дисперсию Dx :Dx = .

Тогда среднее квадратическое отклонение: Ϭx = .

Ответ: Dx = 1, Ϭx = 1.

б) Закон распределения случайной величины X имеет вид:

X

0

1

2

P

0,1

0,2

x

Найти x. Составить функцию распределения. Вычислить: P{X > 0,7} , Mx , Dx и Ϭx .

Решение. Согласно условию нормировки имеем уравнение: 0,1   Отсюда x = 0,7 . Далее, воспользовавшись рядом распределения, найдем:

P{X > 0,7} = P {X = 1}P{X = 2} = 0,2 0,7 = …; Mx =

Dx = ; Ϭx = .

Ответ: x = 0,7 ; P{X > 0,7} = 0, 9; Mx Dx ; Ϭx

Пример 8. a)Известно, что случайная величина X, принимающая два значения  x1 = 2 и x2 = 3 , имеет математическое ожидание, равное 2,2. Построить ряд распределения случайной величины X, найти дисперсию, среднее квадратическое отклонение и составить функцию распределения.

Решение. Пусть P{X = 2} = p . Тогда, согласно условию нормировки,P{X = 3} = 1  . Используя определение математического ожидания, получим Mx = 2p . Имеем уравнение 3 , откуда находим p = 0,8 . Ряд распределения имеет вид:

X

2

3

P

0,8

0,2

Теперь вычислим дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

Dx = ; Ϭx =  .

Согласно определению функция распределения имеет вид

Fx(x) =

Ответ: Dx ; Ϭx =   Fx(x) =

б) Возможные значения случайной величины X таковы: x1 = 2 , x2 = 3, x3 = 3 . Известно, что Mx = 2,3 ,α2 = 5,9 . Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X, и записать ряд распределения.

Решение. Ряд распределения, с учетом возможных значений случайной величины X, будет выглядеть следующим образом:

X

1

2

3

P

p1

p2

p3

Найдем вероятности p1 , p2 и p3, соответствующие возможным значениям X.

По условию Mx = 2,3 , поэтому имеем первое уравнение, связывающее p1p2 и p3 :

 . Аналогично из условия α2 = 5,9   получим второе уравнение:

 . Третье уравнение возникает из условия нормировки:

p1 p2 p3 = 1. Итак, имеем систему:


Ответ: ряд распределения имеет вид

X

1

2

3

P

0,2

0,3

0,5


2)Решить задачи ( по примерам):

  1. a)В партии из 100 деталей имеется 3 бракованных. Определить вероятность того, что, взятая наугад, деталь окажется стандартной.

б) Из 4 букв разрезной азбуки составлено слово «мама». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «мама».

  1. a)В коробке лежат 5 зеленых, 3 синих и 12 красных карандашей. Вычислить вероятность того, что взятый наугад карандаш будет, синим или зеленым.

б) В урне лежат шары, двузначные номера которых составлены из цифр 1,2,3,4. Какова вероятность вынуть шар с номером 123?

  1. a)Набирая номер телефона, абонент забыл последние 3 цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

б) Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов равны соответственно 0,04 и 0,09. Найти вероятности отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент. 

  1. a)Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9919. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

б)На полке в случайном порядке расставлено 21 книга, среди которых находится трехтомник Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом.

  1. a)В коробке имеется 200 лампочек, из них 60 по 90Вт, 60 - по 60Вт, 40 - по 25Вт и 40 – по 15Вт. Определить вероятность того, что мощность любой наугад взятой лампочки не превысит 60Вт.

б) Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,4, а вторым стрелком – 0,7. Найти вероятность того, что 

1) цель будет поражена только одним стрелком;

2) цель будет поражена хотя бы одним стрелком.

  1. Выпущено 200 лотерейных билетов: на 5 из них выпадает выигрыш в сумме 500 рублей, на 10 – выигрыш в 100 рублей, на 20 – выигрыш в 50 рублей, на 40 – выигрыш в 10 рублей. Определить закон распределения вероятностей случайной величины X – выигрыша на один билет.

  2. a)Закон распределения случайной величины X имеет вид:

X

1

0

1

2

P

0,1

0,15

0,3

0,45

Вычислить Dx и Ϭx . б) Закон распределения случайной величины X имеет вид:

X

0

1

2

P

0,2

0,3

x

Найти x. Составить функцию распределения. Вычислить: P{X > 0,7} , Mx , Dx и Ϭx .

  1. a)Известно, что случайная величина X, принимающая два значения  x1 = 2 и x2 = 3 , имеет математическое ожидание, равное 2,4. Построить ряд распределения случайной величины X, найти дисперсию, среднее квадратическое отклонение и составить функцию распределения.

б) Возможные значения случайной величины X таковы: x1 = 2 , x2 = 3, x3 = 3 . Известно, что Mx = 2,5 ,α2 = 6,7 . Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X, и записать ряд распределения.




Инструкционная карта

ПР № 7 «Вычисление числовых выражений».   

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Найдем значение выражения 800-625 + 331 +87 – 119.

Решение: 800 – 625 = …,   175 + 331 = …,    506 + 87 = …,     593 – 119 = ...

Ответ: 474.

Пример 2. Найдем значение выражения 780 : 39 • 212 : 106 • 13.

Решение: Это выражение не содержит скобок, и в нем имеются действия только второй ступени, поэтому их следует выполнять по порядку слева направо:

780 : 39 = …,    20 • 212 = …,   4240 : 106 = …, 40 • 13 = ...

Ответ: 520.

Пример 3. Найдем значение выражения 5781 –28 • 75 : 25 + 156 : 12.

Решение: Это выражение не содержит скобок, и в нем есть действия первой и второй ступени. Поэтому вначале выполним действия второй ступени:

28 • 75 = …,     2100 : 25 = …,     156 : 12 = …, а потом действия первой ступени:

5781 – 84 = …,   5697 + 13 = ...

Ответ: 5710.

Пример 4. Найдем значение выражения 36 000 : (62+ 14 • 2) – 23 • 5.

Решение: Это выражение содержит скобки. Поэтому выполним сначала действия в скобках:

62 + 14 • 2 = 62 + 28 = ... Подставив это значение, получим: 36 000 : 90 – 23 • 5 = 400 – 115 = ... 

Ответ: 285.
Пример 5.  Запишите выражение по следующей программе вычислений:

1. Сложить числа 215 и 748. 
2. Вычесть из 591 число 318. 
3. Перемножить результаты команд 1 и 2. 
Найдите значение этого выражения.

Решение: 1)215 + 748 = … ,2)591 – 318 = …,3)963 273 = …

Ответ: 262899.

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Найдите значение выражения:

а) 48 – 29 + 37 – 19; 
б) 156 + 228 – 193 – 66; 
в) 39 • 45 : 65 • 2; 
г) 1024 : 128 • 15 : 10; 
д) 245 : 7 – 224 : 16 + 35 • 11; 
е) 322 : 23 • 70 – 161 • 9 : 69; 

  1. а) 315 : (162 + 12 • 24 - 11 • 39) + 558 : 31; 
    б) (24 • 7 - 377 : 29) • (2378 : 58 – 38); 
    в) (120 + 16 • 7) • 240 : (300 – 5 • 44); 
    г) (372 + 118 • 6) : (38 • 35 – 34 • 37) - 12; 
    д) 3124 : (3 • 504 – 4 • 307) + 10 403 : 101; 
    е) 15 + (12 322 : (24 + 37) – 12 • 15) : (35 • 2 – 59).

  2. Измените порядок действий на основании свойств сложения, вычитания и умножения для удобства вычислений:

а) 348 + 54 + 46;                      г) 54 • 2 • 50; 
б) 543 + 89 – 43;                       д) 34 • 8 + 66 • 8; 
в) 427 – 33 – 67;                        е) 135 • 12 – 35 • 12.

  1. Выполните действия по схеме .

hello_html_m7f78617e.jpg

  1. Найдите частное:

а) 1 989 680 : 187;                            в) 9 018 009 : 1001; 
б) 572 163 : 709;                               г) 533 368 000 : 83 600.

3)Решить задание :

Вычислить:

  1. а) (– 2,35 – 4,65) · 5 : (16,9 – 2,9),
    б) (7,63 + (– 5,13)) · 0,4 : (3,17 + 6,83),

  2. а) 30,3 · (124,9 – (48,96 : 6,8 + 36,04) : 9,2),

б) 73, 2 · 48, 3 – 37,4 · (166,02 + 219,38) : 1,64,

  1. а) 3,44 : 0,4 + 24,56 , б) 684 · 245 – 675 · 246,

  2. а) (93 · 7 + 141) : 72 , б) 7091 + 9663 – (243916 + 75446) : 527 : 3,

в) (15,964 · 5,2 – 12) · 0,1 , г) (96,6 + 98,6) : 6,4 · 1,2 – 0,2,

  1. а) ((27,12+ 43,08) · 0,007 – 0,0314) · 100,
    б) 1,53 · 54 – 0,42 · (512 – 491,2) + 1,116,

в) (867000 : 2125 – 396,4) · 2,15,

  1. а) 51,6 + (70,2 – 4,4 · (73,73 : 7,3)) · 1,6,
    б) 18,305 : 0,7 – 0,0368 : 0,4 + 0,492 : 1,2,

в) (0,6739 + 1,4261) · 557, 55 : (16,7 · 2,9 – 42,13),

г) 702,3 – (59 – 389,64 : 6,8) · (59,3 – 5,64 : 9,4),

  1. а) 316219 – (27090 : 43 +16422 : 119), б) 565,3 – 465,3 : ((1,25 + 5,8) · (55,8 – 49,2)),

в) 74 : 100 – 0,4 : 10 + 17,8 : 1000, г) 0,35 · 10 + 0,0237 · 100 – 0,00087 · 1000,

  1. а) 0,7 : 0,1 + 0,0474 : 0,01 – 0,00174 : 0,001, б) 12,3 + 7,7 · 187,2 : 4,5 : 6,4 – 3,4,

в) 10,1 + 9,9 · 107,1 : 3,5 · 6,8 – 4,85, г) 37 · 0,01 – 0,2 · 0,1 + 8,9 · 0,001.

  1. Найди значения выражений:
    а) (18370+23679):7, 156-96:(12:4):2,
    б) (800035
    784942)∙6,

в) 98560:7 ,83216:4, 8656:4 ,91620:4,
г) 73170:9 ,3726:9 ,91728:9, 705355:5.

  1. Найди значения выражений:
    а) (10283+16789):9, 5∙(125+75):20+80,
    б) (200496
    134597)∙2,

в) 54663:7, 80395:5, 6543:9, 860073:3,
г) 1836:4,7542:9, 3906:6, 9150:3,

д)795 ·504 248.952:492,

  1. Реши примеры на деление:

    114595 : 215 =

    200064 : 384 =

    404758 : 922 =

    5370 : 358 =

    396204 : 548 =

    263082 : 978 =

    181116 : 387 =

    118956 : 276 =

    115419 : 487 =

    140070 : 435 =

    223925 : 689 =

    420210 : 435 =

  2. а)1098 + (1453 – 564) · 176  + 195 539– 352 004,

б)30257 · 8 + 7 280400 · 5 5 897 · 6 3504: 8.

Инструкционная карта

ПР № 8  « Вычисление углов в радианах».
Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. Найти радианную меру угла, выраженного в градусах: а) α = 40°, б) α = 120°, в) α = 150°.

Решение:

Ответ:

Пример 2. Найти градусную меру угла, выраженного в радианах:

Решение:

Ответ:

Пример 3. Вычислите:

Решение:



Ответ:

Пример 4. Вычислите:

Решение:



Ответ:

Пример 5.

Решение:



Ответ:

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Найти радианную меру угла, выраженного в градусах: а) α = 75°, б) α = 32°, в) α = 140°.

  2. Найти градусную меру угла, выраженного в радианах:

  3. Вычислите:

  4. Вычислите:

3)Решить задание :

  1. Вычислите:

  2. Радианная мера двух углов треугольника равна   и  . Найдите градусную меру каждого из углов треугольника. 

  3. Выразите в градусной мере величину угла: .

  4. Выразите величину угла в радианах: .

  5. Найдите знак произведения, используя правило знаков по четвертям:

  6. Вычислите значение выражения:

  7. Вычислите:

  8. Вычислите:

  9. Найдите знак произведения:

  10. Вычислить значения и ,если α =120°.

  11. Вычислите значение тригонометрических функций:

sin π/3;cos 7π/6;tg π;sin π/4;tg 2π/3;ctg π/2;sin 3π/2;cos 5π/4.

  1. Найдите радианную меру углов треугольника, если их величины относятся как 2:3:4.

  2. Может ли косинус быть равным:  

  3. Может ли синус быть равным:

  4. Вычислите:

  5. Вычислите :

  6. Известно, что Вычислите значение выражения:

  7. Известно, что . Вычислите значение выражения:

  8. Вычислите : .

  9. Известно, что . Вычислите: .

  10. Известно, что Вычислите:

  11. Найдите значение выражения: 5sin²3х – 6,если cos²3х = 0,6.

  12. Найдите значение выражения: 5sin²4х – 6,если cos²4х = 0,8.


Инструкционная карта

ПР № 9  « Преобразование тригонометрических выражений».
Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1.Вычислить : а) cos 18° cos 12° sin 18° sin 12°; б) cos 107° cos 17°sin 107° sin 17°;

в) sin 17° cos 13° sin 13° cos 17°; г) sin 43° cos 13° sin 13° cos 43°;

д) , е) .

Решение: а) cos 18° cos 12° sin 18° sin 12° = cos(18°12°) = cos 30° = …,

б) cos 107° cos 17° sin 107° sin 17° = cos(107°17°) = cos 90° = …,

в) sin 17° cos 13° sin 13° cos 17° = sin(17°13°) = sin 30° = …,

г) sin 43° cos 13° sin 13° cos 43° = sin(43°13°) = sin 30° = …,

д) = tg (9°51°) = tg 60° = …, е) = tg (65°20°) = tg 45° = … .

Ответ: а); б) 0; в) 0,5; г) 0,5; д) ; е) 1.

Пример 2.Вычислить : а) cos π /7 cos /21 sin π/ 7sin /21;

б) sin π /3 cos π /12  cos π /3sin π /12; в) .

Решение: а) cos π /7 cos /21 sin π /7sin /21 = cos /7 4π /21) = cos (3π /21 4π /21) =

= cos /21 = cos π /3 = …,

б) sin π /3 cosπ /12 cos π /3 sin π /12 = sin /3 π /12) = sin (4π /12π /12) = sin /12 =

= sin π /4 = …,

в) = tg (π /7 4π /21) = tg π /3 = …

Ответ: а) 0,5; б) /2; в).

Пример 3. Упростить: а) cos α cos 3α sinα sin3α; б) sin 2α cos α cos 2α sin α;

в) sin α cos 3α cos α sin 3α; г) .

Решение: а) cos α cos 3α sinα sin3α = cos (α 3α) = cosα;

б) sin 2α cos α cos 2α sin α = sin (2α α) = sin α;

в) sin α cos 3α cos α sin 3α = sin (αα) = sinα; г) = tg (x 3x) = tgx.

Ответ: а) cos 4α; б) sin α; в) sin 4α; г) tg 4x.

Пример 4. Упростить : а) cos α cos β sin α sin β, если α = 42 °, β = 18 °;

б) cos(x y) cos(x + y) + sin(x y) sin(x + y).

Решение: а) cos α cos β sin α sin β = cos (α β) = cos (42 ° 18 °) = cos 60 ° = …,

б) cos(x y) cos(x + y) + sin(x y) sin(x + y) = cos ((x  y) – (x + y)) = cos (–2y) = cos 2y.

Ответ: а) 0,5; б) cos 2y .

Пример 5. Упростить выражение:

Решение: Ответ: 1.

Пример 6. Вычислите: cos630°– sin1470°– сtg1125°.

Решение: cos630°– sin1470°– сtg1125° = cos(360° + 270°)– sin(4360° + 30°)сtg(3360 ° + 45°) =

= cos270°– sin30°– сtg45° = 0 – 0,5 – 1= … Ответ: – 1,5.

Пример7. Вычислить

Решение: Ответ:

Пример 8. Вычислить

Решение: Ответ:

Пример 9. Вычислить sin2α, если sinαcosα =

Решение: Возведем обе части равенства в квадрат: (sinαcosα)2 = ,

sin2α – 2sinαcosα + cos2α = , 2sinαcosα = – 1, 2sinαcosα = , sin2α = …

Ответ: .

Пример 10. Вычислить sin2α, если sinα = 0,6,

Решение: sin2α = 2sinα cosα . Т.к. ,то cosα < 0,

cos α =

sin2α = 2() () = ...

Ответ: 0,96.

Пример 11. Вычислить sinα/2, cosα/2, tgα/2, ctgα/2, если cosα = 0,8,

Решение: cos2 α/2 = (1 + cosα) : 2 = 1,8 : 2 = 0,9, cosα/2 = .

sin2 α/2 = (1 cosα) : 2 = 0,2 : 2 = 0,1, sinα/2 = .

tgα/2 = sinα/2 : cosα/2 = 0,33 : 0,95 = 33/95, ctgα/2 = cosα/2 : sinα/2 = 0,95 : 0,33 = 95/33.

Ответ: 0,33; 0,95;33/95; 95/33.

Пример 12. Пусть Найдем sin2, cos2, tg2.

Решение:


Ответ:

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Вычислить : а) cos 38° cos 22° sin 38° sin 22°; б) cos 55° cos 10°sin 55° sin 10°;

в) sin 47° cos 13° sin 13° cos 47°; г) sin 103° cos 13° sin 13° cos 103°;

д) , е) .

  1. Вычислить : а) cos  π /5 cos π /20 sin π/ 5sin π /20;

б) sin π /4 cos π /12  cos π /4sin π /12; в) .

  1. Упростить: а) cos 2α cos 6α – sin 2α sin 6α; б) sin 3α cos α cos 3α sin α;

в) sin 2α cos 3α cos 2α sin 3α; г) .

  1. Упростить : а) cos α cos β sin α sin β, если α = 42 °, β = 48 °;

б) cos(2x y) cos(2x + 3y) + sin(2x y) sin(2x + 3y).

  1. Упростить выражение:

  2. Вычислите: cos450°– sin750°сtg765°.

  3. Вычислить

  4. Вычислить

  5. Вычислить sin2α, если sinαcosα = 1/4.

  6. Вычислить cos 2α, если sinα = 0,8,

  7. Вычислить sinα/2, cosα/2, tgα/2, ctgα/2, если sinα = 0,8,

  8. Пусть Найдем sin2, cos2, tg2.

3)Решить задание :

  1. Упростите выражение: sin(3π/2 – αcos(π/2 + α) + sin(2 π – α) + cos(3π/2 + α) + cosα ·sinα.

  2. Найдите cosß, если tgß = 7/24 и ß (π; 3π/2).

  3. Найдите значение выражения: 2sin²2х – 9cos²2х, если cos2х = – 0,9.

  4. Вычислите:3ctg60º· (sin310ºcos70º sin70ºcos310º).

  5. Найдите значение выражения:5 cos(3π/2 + α) , если α = 7π/6.

  6. Найдите значение выражения: 4 + 5tg²х • cos²х, если sinх = 0,4.

  7. Найдите значение выражения:7 cos(π + α) – sin(3π/2 + α), если cosα = 0,6.

  8. Упростить выражение 4⋅(tg(π t) + ctg(π t) + ctg(3π/2 t)) ctg(π t).

  9. Упростите выражение: .

  10. Вычислите:

  11. Докажите тождество: .

  1. Упростите выражение: .

  2. Вычислите

  1. Найди значение выражения sin1050°+cos4620°+tg1035°.

  2. Вычислите:

  3. Упростите выражение 

  4. Вычислите:

  5. Упростите выражение:

  6. Вычислите: а) sin810°cos900o + tg585octg l845o + cos l35osin405°;
    б)
    cosl05°sinl95° + sin(-135°);

  7. Найдите значение выражения sin (х + у), если sin х= 9/41; cos у =40/41; х - угол II четверти.

  8. Найдите , если  и.

  9. Найдите значение выражения, если .

  10. Упростить выражение: .

  11. Упростите выражение:


  1. Вычислить


  1. Дано: cos х =-12/13; 180 º < х < 270 º. Найти: cos х/2,tg x/2.

  2. Упростите выражение 

  3. Упростите выражение 

  4. Найдите ctg 2α, если

  5. Найти значение выражения: 2sin150 cos150.

  6. Найти значение выражения: cos2150 sin2150).

  7. Вычислить: sin330º  и ctg315º.

  8. Упростите выражение :

  1. Найти значение выражения:

  2. Найдите значение выражения

  3. Найдите sin 2α, cos 2α,tg2α,  если и  .

  4. Найдите 24cos2α, если sinα = - 0,2 .

  5. Найдите tgα/2 , если .

  6. Найдите – 16cos2α , если sinα = – 0,6.

  7. Найдите 22cos2α  , если cosα = – 0,8.

  8. Найдите , если sin2α = 0,6.

  9. Найдите , если cos2α = 0,8.

  10. Упростите выражение

  11. Упростите выражение: сtg²х · sin²х cos2х.

  12. Найдите sin 2, если 3sin + 3cos = 1.

  13. Найдите cos 2, если 

  14. Вычислите без помощи таблиц:1) sin 75°; 2) cos 75°; 3)tg75°; 4) ctg 75°.

  15. Вычислите без помощи таблиц и калькулятора: 1) sin 15°; 2) tg22,5°.

  16. Упростите выражение:





Инструкционная карта

ПР № 10  « Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств».
Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1.Решите уравнение sin4xcos2x = 0.

Решение: sin4x – cos2x = 0 , 2sin2x cos2x – cos2 x = 0 , сos2x(2sin2x – 1)=0 ,

сos2x=0 или sin2x=1/2 .

2x = π/2 + π k, k , 2x = (1) n π/6 + π n, n Z .

х1= π/…+ π k/2 , k Z, x2 = (1)n π/…+ π n/2 , n Z .

Ответ: х1= π/4+ π k/2 , k Z; x2 = (1)n π/12+ π n/2 , n Z .

Пример 2. Решите уравнение (2 sin x – 1) (tg x) = 0.

Решение: ( 2 sin x – 1) hello_html_m61765ba1.gif (tg x) = 0,

2 sin x – 1= 0 или tg x = 0,

sin x = 1/2 tg x = ,

х1= (–1) n π/… + π n, n Z , х2 = π/… + π k, k .

Ответ: х1= (–1) n π/6 + π n, n Z , х2 = π/3 + π k, k .

Пример 3. Решите уравнение ( ctg x – 1) hello_html_m61765ba1.gif (2sin + 1) = 0.

Решение: ( ctg x – 1) hello_html_m61765ba1.gif (2sin + 1) = 0,

ctg x – 1 = 0 или 2sin + 1 = 0,

ctg x = 1 sin = – 1/2, х/2 = (–1) n +1 π/6 + π n, n Z,

х1 = π/… + π k, k , х2 = (–1) n +1 π/… + 2π n, n Z.

Ответ: х1 = π/4 + π k, k , х2 = (–1) n +1 π/3 + 2π n, n Z.

Пример 4. Решите уравнение . Решение: , cos (4x 3x) =, cos x =, x = 2πn, nZ. Ответ: x = 2πn, nZ.

Пример 5. Решите уравнение 2cos( х + π/3) = .

Решение: 2cos( х + π/3) = , cos( х + π/3) = –, х + π/3 = ± 5π/6+2πn, nZ, x = – π/3 ± 5π/6 + 2πn, nZ. x1 = – π/3 + 5π/6+2πn, nZ, x1 = π/… +2πn, nZ,

x2 = π/3 – 5π/6+2πn, nZ, x2 = 7π/… +2πn, nZ.

Ответ: x1 = π/2 +2πn, nZ, x2 = –7π/6 +2πn, nZ.

Пример 6. Решите уравнение sin( 2х + π/2) = 0.

Решение: sin( 2х + π/2) = 0, 2х + π/2 = πn, nZ,2х = – + πn, nZ,х = – , nZ.

Ответ: х = = – , nZ

Пример 7. Решите уравнение a) arccos б)arcsin (5x+2) = 0.

Решение: a) arccos cos(arccos ,

б) sin(arcsin (5x+2)) = sin0, 5x + 2 = 0, 5x = – 2,x = …

Ответ: a) 2,5, б) – 0,4.

Пример 8. Решите уравнение arctg (4x – 1) =

Решение: tg(arctg (4x – 1)) = tg 4x – 1 = 1, 4x = 2, x = … Ответ: 0,5.

Пример 9. Решить неравенство sin(t) 1/2.

Решение: Рисуем единичную окружность. Так как sin(t) по определению - это координата y, отмечаем на оси Оу точку у = 1/2. Проводим через неё прямую, параллельную оси Ох. В местах пересечения прямой с графиком единичной окружности отмечаем точки Pt1 и Pt2. Соединяем двум отрезками начало координат с точками Pt1 и Pt2

Решением данного неравенства будут все точки единичной окружности расположенные выше данных точек. Другими словами решением будет являться дуга l. Теперь необходимо указать условия, при которых произвольная точка будет принадлежать дуге l.hello_html_m203b787d.jpg

Pt1 лежит в правой полуокружности, её ордината равна 1/2,

тогда t1= arcsin(1/2) = π/6. Для описания точки Pt1 можно записать следующую формулу: t2 = π – arcsin(1/2) = 7π/6. В итоге получаем

для t следующее неравенство:/6 t 7π/6, Мы сохраняем знаки неравенств. А так как функция синус функция периодичная, значит решения будут повторяться через каждые 2π. Это условие добавляем к полученному неравенству для t и записываем ответ.

Ответ: /6+2πn t 7π/6 + 2πn, при любом целом n.

Пример 10. Решить неравенство cos(t) <1/2.

Решение: Нарисуем единичную окружность. Так как согласно определению cos(t) это координата х, отмечаем на грфике на оси Ох точку x = 1/2.
Проводим через эту точку прямую, параллельную оси Оу. В местах пересечения прямой с графиком единичной окружности отмечаем точки P
t1 и Pt2. Соединяем двум отрезками начало координат с точками Pt1 и Pt2.
hello_html_mecb7ec3.jpg

Решениями будут все точки единичной окружности, которые принадлежать

дуге l. Найдем точки t1 и t2t1 = arccos(1/2) = π/3 ,

t2 = 2π arccos(1/2) = 2π/3 = 5π/6.

Получили неравенство для t: π/3 < t < 5π/6.

Так как косинус - это функция периодичная, то решения будут повторяться через каждые 2π. Это условие добавляем к полученному неравенству для t и записываем ответ.hello_html_m174f9f6b.jpg

Ответ: π/3+2πn π/6+2πn, для любого целого n.

Пример 11. Решить неравенство tg(t) 1.

Решение: Период тангенса равняется π. Найдем решения, которые принадлежат промежутку (-π/2; π/2) правая полуокружность. Далее воспользовавшись периодичностью тангенса, запишем все решения данного неравенства. Нарисуем единичную окружность и отметим на ней линию тангенсов.

Если t будет являться решение неравенства, то ордината точки Т = tg(t) должна быть меньше или равна 1. Множество таких точек будет составлять луч АТ. Множество точек Pt, которые будут соответствовать точкам этого луча – дуга l. Причем, точка P(-π/2) не принадлежит этой дуге. Найдем условие, при котором некоторая точка Pt будет принадлежать дуге l. t1 = arctg(1) = π/4.  Получаем неравенство /2 t/4. 

Учитывая период тангенса записываем ответ.

Ответ: /2 + πnt /4 + πn, для любого целого n.

Пример 12. Решить неравенство:   sin x > 0.

Решение: В пределах одного оборота единичного радиуса это неравенство справедливо

при 0 < x < hello_html_3fac242e.gif. Теперь необходимо добавить период синуса  2hello_html_3fac242e.gif n :hello_html_m12869a62.png

0 + 2πn х π + 2πn, 2πn х π + 2πn, при любом целом n.hello_html_6e343a75.png

Ответ: 2πn х π+ 2πn, при любом целом n.

Пример 13. а) Решить неравенство:   sin x > 0.5 .

Решение: π/6 + 2πn < х < 5π/6 + 2πn, для любого целого n.

б) Решить неравенство cosх > /2.

Решение: /4 + 2πn х π/4 + 2πn, для любого целого n.( по рис.)

Пример 14. Решить неравенство cos (x/4 – 1) ≤ (/2).

Решение: Обозначим x/4 – 1 = у. Решая неравенство cos у ≤ (/2), находим 
3π/4 + 2πn ≤ у ≤ 5π/4 + 2πn, n Z.

Заменяя у = x/4 – 1, получаем 3π/4 + 2πn ≤ x/4 – 1 ≤ 5π/4 + 2πn, откуда 
1 + 3π/4 + 2πn ≤ x/4 ≤ 1 + 5π/4 + 2πn, 4 + 3π + 8 πn ≤ х ≤ 4 + 5π + 8 πn, n Z.

Ответ: 4 + 3π + 8 πn ≤ х ≤ 4 + 5π + 8 πn, n Z.


2)Решить задание ( по примерам):

  1. Решите уравнение sin4xcos2x = 0.

  2. Решите уравнение (2 sin x ) hello_html_m61765ba1.gif (tg x – ) = 0.

  3. Решите уравнение (ctg x ) hello_html_m61765ba1.gif (2sin +) = 0.

  4. Решите уравнение cos 4xcos3x + sin4xsin3x =

  5. Решите уравнение 2cos(х + π/4) =

  6. Решите уравнение sin( 2х + π/3) = 0.

  7. Решите уравнение a) arccos б)arcsin (5x + 4) = 0.

  8. Решите уравнение arctg (3x – 1) =

  9. Решить неравенство cos x ≤ - .

  10. Решить неравенство sin x > - .

  11. Решить неравенство sin x ≥ .

  12. Решить неравенство ctg x < - .

  13. Решить неравенство tg x > 1.

  14. Решить неравенство tg x ≤ 1.

  15. Решить неравенство ctg x ≥ - .

  16. Решить неравенство сtg x ≤ 1.

3)Решить задание :

  1. Решите уравнения:

  1. Решите уравнения:

  1. Решите уравнения:

  1. Решите уравнения:

  1. Решите уравнения:

  2. Решите уравнения:

  1. Решите уравнения:

  2. Решите уравнения:

  3. Решите уравнения:

  4. Решите уравнения:

  5. Решите уравнения:

  1. Решите уравнения:

  1. Решите неравенства: а) ,б) , в) .

  2. Решите неравенства:

а) ;б) ;в) ;

  1. Найдите какой-либо корень уравнения , удовлетворяющий неравенству .

  2. Решите неравенство: .

  3. Решите неравенство:

  1. Решите неравенства:

а) б) в) .

  1. Решите неравенства:

а)

  1. Определите все а, при каждом из которых неравенство

4sinx + 3cosxа имеет хотя бы одно решение.






Инструкционная карта

ПР № 11  « Вычисление обратных тригонометрических выражений».
Задание:

1) Перепишите и заполните пропуски:
Для выполнения заданий, связанных с обратными тригонометрическими функциями, нужно, во-первых, четко помнить определения этих понятий:


hello_html_mc5281e4.gif





,


hello_html_m3aca29e1.gif

Пример 1. Вычислить:

а) arccos (cos ), б) cos(arccos 0,4),в) arcsin (sin ),

г) sin(arcsin 0,6), д) sin (arccos 0,6),е)tg(arcsin 0,8).

Решение:

а) arccos (cos ) = , б) cos(arccos 0,4) = …,

в) arcsin (sin ) = …, г) sin(arcsin 0,6) = 0,6,

д) ,

е) .

Ответ:

а) arccos (cos ) = , б) cos(arccos 0,4) = 0,4,в) arcsin (sin ) = ,

г) sin(arcsin 0,6) = 0,6, д) , е) .

Пример 2. Вычислить cos(4arctg 5).

Решение:

Пусть α = arctg5, тогда tg α = 5. Требуется найти cos4α. Вычислим вначале cos2α, используя универсальную подстановку:

.


Тогда получаем, что:

.

Ответ: .

Пример 3. Вычислить  arcsin (sin 12).

Решение:

По условию задачи требуется найти угол, синус которого равен синусу угла в 12 радиан и который принадлежит промежутку  Заметим, что поэтому . Поскольку  , угол 12 - 4π является искомым углом: его синус равен sin 12, и он находится в области возможных значений арксинуса.

Ответ: arcsin (sin12) = 12 - 4π.

Пример 4. Вычислить  

Решение:

Введем два угла:  и . Оба они лежат в первой четверти, значит, все их тригонометрические функции положительны.

Мы знаем, что. Требуется найти синус суммы этих углов, а для этого нужно знать их синусы и косинусы.

Во-первых,

  .

Во-вторых, 

.

Следовательно,

Ответ:  .

Пример 5. Вычислить 

Решение:

Типичная ошибка в данном случае – это сразу же написать в ответ 4. Как мы указывали в предыдущем примере, для использования основных свойств аркфункций необходимо проверить соответствующие ограничения на их аргумент. Мы имеем дело со свойством:

при . Но 4> .

Главное на этом этапе решения не подумать, что указанное выражение не имеет смысла и его нельзя вычислить. Ведь четверку, которая является аргументом тангенса, мы можем уменьшить при помощи вычитания периода тангенса, и это не повлияет на значение выражения. Проделав такие действия, у нас появится шанс уменьшить аргумент так, чтобы он вошел в указанный диапазон.

 , т.к. < 1 поскольку > 3, следовательно, , т.к. .

Ответ: .


Пример 6. Вычислить sin (2 arcsin 0,6).

Решение:


Ответ: 0,96.

 Пример 7. Вычислить arccos x – arcsin x = arccos .

Решение:

Учитывая, что arccos = и arcsin x + arccos x = , заменим в уравнении arcsin x выражением – arccos x, получим уравнение

arccos x – (– arccos x)= ,

2arccos x – = , 2arccos x = + = .

arccos x = , x = cos , x= 1/2 = …

Ответ: 0,5.

Пример 8. Решите уравнения:

а) 6arcsin (x2 – 6x+8,5) = π ;

б)  3arcsin2x – 10arcsinx + 3 = 0.    

Решение:

а) 6arcsin (x2 – 6x+8,5) = π  , arcsin(x2 – 6x+8,5) = ,

x2 – 6x+8,5 = 0,5; x2 – 6x+8 = 0,

D = 36 – 418 =….

, .

б) 3arcsin2x – 10arcsinx + 3 = 0.    arcsinx = у,

2 – 10у + 3 = 0, D = 100 – 433 = 64.

- не уд. усл.

.

arcsinx = 0,3, х= sin 0,3

Ответ: а) x1= 4,x2 = 2.б) х= sin 0,3

Пример 9. Вычислить: а) arcsin (-2), б) arccos

Решение:

а) Типичная ошибка в данном случае – это начать выносить минус и что-то упрощать. Первое, что необходимо заметить, это то, что аргумент арксинуса не входит в область определения.

Следовательно, данная запись не имеет значения, и вычислить арксинус нельзя.

б) Стандартная ошибка в данном случае заключается в том, что путают местами значения аргумента и функции и дают ответ 1/2. Это неверно! Конечно, возникает мысль, что в таблице косинусу  соответствует значение 1/2, но в таком случае перепутано то, что вычисляются аркфункции не от углов, а от значений тригонометрических функций. Т.е. arccos 1/2 =, а не arccos  = 1/2.

Кроме того, поскольку мы выяснили, что  является именно аргументом арккосинуса,

то необходимо проверить, чтобы он входил в область определения. Для этого вспомним, что >1,т.е. , а значит арккосинус не имеет смысла и вычислить его нельзя.

Кстати, например, выражение arccos  имеет смысл, т.к. , но поскольку значение косинуса, равное  не является табличным, то и вычислить арккосинус с помощью таблицы нельзя.

Ответ: Выражения не имеют смысла.

 Пример 10. Вычислить arcсtg х, если известно, что arctg х =  .

Решение:

Вспомним, по какой формуле связаны между собой указанные функции:


И выразим из нее то, что нам нужно:.

Ответ: .

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Вычислить:

а) arccos (cos ), б) cos(arccos 0,25),в) arcsin (sin ),

г) sin(arcsin 0,45), д) sin (arccos 0,8),е)tg(arcsin 0,6).

  1. Вычислить cos(4arctg 3).

  2. Вычислить  arcsin (sin 6).

  3. Вычислить  

  4. Вычислить 

  5. Вычислить sin (2 arcsin 0,8).

  6. Вычислить arccos x – arcsin x = arccos .

  7. Решите уравнения:

а) 6arcsin (x2 – 7x+12,5) = π ;

б)  3arcsin2x – 11arcsinx + 6 = 0.    

  1. Вычислить: а) arcsin (hello_html_m7cdd195e.gif 4), б) arccos

  2. Вычислить arcсtg х, если известно, что arctg х =  .


Инструкционная карта

ПР № 12 «Вычисление и сравнение корней. Выполнение расчетов с радикалами».
Задание:

1) Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. Вычислите: . Решение: .

Ответ: 1.

Пример 2. Вычислите: .

Решение: .

Ответ: 0,2.

Пример 3. Упростите выражение: .

Решение: .

Ответ: 3.

Пример 4. Вычислите: а) б)

в) г)д)

е) ж)

з)

Ответ: а) 6, б) hello_html_15da1ba3.gif8, в) 3,5; г) 40, д) 2, е) 10, ж) 1,25; з) 250.

Пример 5. Выполнить действия: Решение: Ответ:

Пример 6. Решите уравнения:

Решение: Ответ: а) х = 4, б) х = 2.

Пример 7. а) Вынести множитель из-под знака корня: ,

внесите множитель под знак корня: .

Ответ: а) б) .

2)Решить задание ( по примерам):

  1. Вычислите: .

  2. Вычислите: .

  3. Упростите выражение: .

  4. Вычислите:

а) б) в) г)д)

е) ж) з)

  1. Выполнить действия:

  2. Решите уравнения:

  3. а) Вынести множитель из-под знака корня: ,

внесите множитель под знак корня: .


3)Решить задание :

  1. Вычислите: а) ,б) ,в) ,г) ,д) ,

е) ,ж) , з) .

  1. Решите уравнения: а) , б) , в) , г)

  2. Упростите выражение: .

  3. Вычислите: а) б) в)

  4. а) вынести множитель из-под знака корня:

б) внесите множитель под знак корня:

  1. Вычислите а) ,б) ,в) г) ,д) .

  2. Упростите выражение


  1. Найдите значения выражения при у = 16.

  2. Найдите значение выражения:

  3. Сократите дробь: .

  4. Найдите значения выражения при а = 4, b = 5.

  5. Найдите значение выражения при р = 49.

  6. Упростите выражение .

  7. Упростите выражение .

  8. Вычислите

  9. Упростите выражение .

  10. Найдите значение выражения:

  11. Найдите значение выражения: .

  12. Упростите выражение .

  13. Упростите выражение


Инструкционная карта

ПР № 13 «Нахождение значений степеней с рациональными показателями. Сравнение степеней».

Задание:

1)Перепишите:

Определение. Степенью числа с рациональным показателем , где m-целое число, а n-натуральное (), называется число . Итак, по определению .

Свойства степени с рациональным показателем,

где r,s-рациональные числа, ,.





Замечание. При рациональная степень числа а не определяется.

Пример 1.

Пример 2. Сравните числа .

.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Пример 6. Упростите выражение:

Решение:

=======

==27

2)Решить задание:

  1. Найдите значение числового выражения .

  2. Сравните числа .

  3. Вычислите: а) ; б) ; в) ; г) .


  1. Упростите выражение:

а) ; б); в) ; г) ; д) .

  1. Представьте выражение в виде степени и найдите его значение при у = 8.

  2. Сократите дробь: а) ; б).

  3. Вычислите:

  1. Вычислите:

  1. Данные     выражения    представить  в  виде    степеней   с одинаковыми показателями и сравнить их по величине:

1) 42 и 28;  2)  273  и  96 ; 3)  1252 и 253; 4) 4300 и 3400;   5) — 1/8   и   (—1/32)3;  6) ( — 6/7 )4  и (36/49)6;

  1. Найдите значение выражения .

3)Решить задание (тест):

Часть 1.

1. Представьте выражение в виде степени с основанием a. Ответ: ________________

2. Какое из данных выражений не равно ?

А. Б. В. Г.

3. Найдите значение выражения при m =

А. -16 Б. В. Г. 16

4. Решите уравнение: . Ответ: ________________

5. Разложите на множители:

А. ()() Б. ()() В. ()() Г. ()()

6. Найдите значение выражения А. 60 Б. 30 В. 12 Г.

Часть 2.

7. Упростите выражение:

Инструкционная карта

ПР № 14 «Преобразования выражений».

Задание:

1) Перепишите:

hello_html_m7ca5a23c.png

hello_html_mea6a4e4.png

hello_html_1f9e2b77.png

2) Решение теста по теме «Степень с рациональным, действительным показателем, ее свойства».

( заполните пропуски и запишите номер правильного ответа)

А1. Вычислите .

1) 2; 2) 4; 3) 9; 4) .

А2. Вычислите .

1) 2; 2) 4; 3) 5; 4) 4.

А3. Упростите выражение

1) ; 2) ; 3) а2; 4) .


А4. Вычислите 1) 0,25; 2) 0,3; 3) 0,15; 4) 5.

А5. Найдите значения выражения при у = 16.

1) 9(4+3); 2) ; 3) 4+3; 4) .

А.6. Упростите выражение

1) 2) 3) 4)

А7. Найдите значение выражения: .


1) 12; 2) 6; 3) 8; 4) –3.


А8. Найдите значение выражения: .

1) ; 2)1,4; 3) ; 4)

А9. Найдите значение выражения:

1) 4; 2) 9; 3) 45; 4) 5.

А10. Сократите дробь:

1) 0,5а; 2) ; 3) ; 4) а+1.

А11. Вычислите . 1) 9; 2) 4; 3) 25; 4) .

А12. Вычислите .

1) 2; 2) 4; 3)6; 4) 4.

А13. Упростите выражение

1) ; 2) ; 3) а; 4) .

А14. Вычислите

1) 0,09; 2) 0,03; 3) 0,8; 4) 3.

А15. Найдите значения выражения

при а = 4, b = 5.

1) ; 2) 2; 3) 0; 4) .

3)Решить задание :

  1. Упростите иррациональные выражения:

1. ,2. , 3. , 4. ,5. ,

6. ,7. ,8.

  1. Упростите выражения: а) б) в)


  1. Разложите на множители:

а) ,б) ,в) ,г) ,д)

е) ,ж) ,з) ,и) ,к)

  1. Вычислите:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

  1. Найдите значение выражения:

а) б) в) г)

д) е) ж)

  1. Сократите дробь:

а) б)

в) г)


д)


  1. Вычислите:

а) , б) , в) ,г)

д) е)
ж) з) и)

  1. Упростите выражение:

а) 60,7/ 60,3; б) к -5,3∙4к 0,1; в) а7/6-5/6;

г) (а3/2: а-7/2)∙а3;д) 4с2/7+ 3(с1/7 )2 ; е) (4∙ 4-2а) -2.

  1. Вычислите:

а) б) в)

г) д) е)

ж) з)

  1. Найти значение выражения

hello_html_6f3d862e.png

  1. Найти значение выражения

hello_html_ma7e682b.png

  1. Упростите выражение.

hello_html_1432db50.png




Инструкционная карта

ПР № 15 «Нахождение значений логарифма».

Задание:

1)Перепишите:

1.Вычислим пример по формуле

2. Вычислим пример по формуле

3. Вычислим пример по формуле


4.Вычислим пример по формуле


5.Найдите значение выражения:

6. Найдите значение выражения:

7. Найдите значение выражения:
8. Найдите значение выражения:

9. Найдите значение выражения:


10. Найдите значение выражения:


11. Найдите значение выражения:

12. Найдите значение выражения:

13. Найдите значение выражения:

14. Найдите значение выражения:

15. Найдите значение выражения: .

16. Найдите  , если


2) Перепишите и заполните пропуски:

1) 2) 3)

4) 5) 6) 7)

8) 9) 10)

11) 12)

13)

14)

15) 16)

17) 18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25) 26)

27)

28)


30)

hello_html_m6da07957.png


3)Решить задание :Найдите значение выражения:





Инструкционная карта

ПР № 16 «Вычисление логарифмов».
Задание:

1) Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. log3 9 = 2, так как 32 = 9, log5 25 = 2, так как 52 = 25, log3 81 = 4, так как 34 = 81,

Ответ: 2,2,4.

Пример 2. Вычислите : а) log2 16, б) log3 3, в) , г) , д) log2 2 log3 81, е) log12 2 + log12 72, ж) log5 75 – log5 3.
Решение: а) log2 16 = 4, б) log3 3 = …, в) = 16, г) = = …,

д) log2 2 log3 81= 1· 4 = …, е) log12 2 + log12 72 = log12 (2 ·72) = log12 144 = …,

ж) log5 75 – log5 3= log5 (75:3) = log5 25 = …

Ответ: а) 4, б) 1, в) 16, г) 8, д) 4, е) 2, ж) 2.

Пример 3. Найдите х, если logx 36 = 2 и log2 x = – 2.

Решение: logx 36 = 2, х2 = 36, х = log2 x = - 2, х = 2 -2 = 1 / 4 = …

Ответ: 0,25
Пример 4. Вычислите: а) , б) , в) .

Решение: а) = log2 16=…, б) = 5 · = 5 · 3 = … ,

в) = = 17 = 1296 – 17 = …

Ответ: 4, 15, 1279.

Пример 5. Упростите выражение :

а) ;

б)

;

в) ;

Ответ: 24, 7, 2.

2)А)Решить задание ( по примерам):

  1. Вычислите а) log3 27, б) log4 1,в) log1/2 4,

  2. Вычислите а) log2 32, б) log3 9, в) , г) , д) log3 log2 8,