Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Практические работы обучающихся по дисциплине Математика для специальности Технология машиностроения.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Практические работы обучающихся по дисциплине Математика для специальности Технология машиностроения.

Выбранный для просмотра документ МЕТОД.УК. ПР-ТЕХМАШ,1 КУРС..docx

библиотека
материалов












Методические указания

к выполнению практических работ обучающихся

по дисциплине Математика

для специальности 151901. Технология машиностроения.



























2015г.



Пояснительная записка


Цель методических указаний: оказание помощи обучающимся в выполнении практических работ по дисциплине Математика.

Настоящие методические указания содержат работы, которые позволят обучающимся самостоятельно овладеть профессиональными знаниями и умениями, опытом творческой деятельности при решении проблем учебного и профессионального уровня и направлены на формирование следующих компетенций:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей

профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые

методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их

эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных

ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации,

необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач,

профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии

в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться

с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды

(подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и

личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно

планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий

в профессиональной деятельности.

ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением

полученных профессиональных знаний (для юношей).

В результате выполнения практических работ по дисциплине Математика обучающиеся должны:

уметь:

    • Выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств;

    • Решать уравнения и неравенства (линейные, квадратные);

    • Вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

    • Находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства;

    • Проводить по формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы, тригонометрические функции;

    • Строить графики изученных функций;

    • Решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства; простейшие иррациональные и тригонометрические уравнения;

    • Вычислять производные и первообразные элементарных функций, используя справочные материалы;

    • Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций; строить графики многочленов с использованием аппарата математического анализа;

    • Распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить объекты с их описаниями, изображениями;

    • Описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве ;

    • Изображать основные многогранники и круглые тела;

    • Решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

    • Использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

    • Решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием формул;

    • Вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

    • Использовать приобретенные знания и умения для анализа числовых данных, представленных в виде таблиц, диаграмм;

знать:

    • Выполнение арифметических действий, сочетая устные и письменные приемы, применение вычислительных устройств;

    • Решение уравнений и неравенств (линейных, квадратных);

    • Вычисление значений числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования;

    • Нахождение значений корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма, используя при необходимости вычислительные устройства;

    • Преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы, тригонометрические функции;

    • Построение графиков изученных функций;

    • Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств; простейших иррациональных и тригонометрических уравнений;

    • Вычисление производных и первообразных элементарных функций, используя справочные материалы;

    • Исследование в простейших случаях функций на монотонность, нахождение наибольших и наименьших значений функций; построение графиков многочленов с использованием аппарата математического анализа;

    • Вычисление в простейших случаях площадей и объемов с использованием определенного интеграла;

    • Распознавание на чертежах и моделях пространственных форм; соотношение объектов с их описанием, изображением;

    • Описание взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве ;

    • Изображение основных многогранников и круглых тел ;

    • Решение планиметрических и простейших стереометрических задач на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);

    • Использование при решении стереометрических задач планиметрических фактов и методов;

  • Решение простейших комбинаторных задач методом перебора, а также с использованием формул;

  • Вычисление в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

  • Использование приобретенных знаний и умений для анализа числовых данных, представленных в виде таблиц, диаграмм;

  • Значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

  • Значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;

  • Универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;

Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание из части 1) и 2),выборочно из части 3).

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание из части 2),выборочно из части 3).

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание из части 1),выборочно из части 2).

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №1.

Списки практических работ по специальности:

151901. Технология машиностроения.

Списки ПР

Сроки выполнения

ПР № 1«Вычисление катетов, гипотенузы прямоугольного треугольника по теореме Пифагора . Решение треугольников».

1 семестр, 1 неделя

ПР № 2«Построение четырехугольников и вычисление их элементов. Вычисление элементов правильных многоугольников».

1 семестр, 2 неделя

ПР № 3«Вычисление площадей фигур».

1 семестр, 2 неделя

ПР №4«Построение параллельных прямых и расчет углов. Доказательство параллельности прямых и плоскостей».

1 семестр, 3 неделя

ПР № 5«Определение взаимного расположения прямых в пространстве. Построение параллельных плоскостей».

1 семестр, 3 неделя

ПР №6 «Решение задач на определение перпендикулярности прямых, прямой и плоскости».

1 семестр, 4 неделя

ПР №7«Вычисление перпендикуляра и наклонной. Вычисление угла между плоскостями».

1 семестр, 5 неделя

ПР №8 «Перпендикулярность двух плоскостей. Изображение пространственных фигур».

1 семестр, 5 неделя

ПР № 9«Построение многогранников. Вычисление элементов призмы».

1 семестр, 6 неделя

ПР № 10«Вычисление элементов пирамиды, правильной пирамиды, усеченной пирамиды.».

1 семестр, 7 неделя

ПР № 11«.Построение фигур с помощью симметрии»

1 семестр, 7 неделя

ПР № 12 «Вычисление элементов цилиндра».

1 семестр, 8 неделя

ПР № 13 «Вычисление элементов конуса, усеченного конуса».

1 семестр, 9 неделя

ПР № 14 «Вычисление элементов сферы».

1 семестр, 9 неделя

ПР № 15 «Вычисление элементов тел вращения».

1 семестр, 10 неделя

ПР № 16«Расчет по модели объёма прямоугольного параллелепипеда».

1 семестр, 11 неделя

ПР № 17 «Вычисление объёма прямой призмы. Вычисление объёма цилиндра».

1 семестр, 11 неделя


ПР № 18 «Вычисление объёма пирамиды .Расчет по модели объёма конуса».

1 семестр, 12 неделя

ПР № 19 « Расчет по модели площади цилиндра и конуса».

1 семестр, 12 неделя

ПР № 20 «Вычисление объёма шара. Расчет объёмов сегмента, слоя, сектора шара».

1 семестр, 13 неделя

ПР № 21 «Вычисление объёмов тел».

1 семестр, 13 неделя

ПР № 22 «Составление уравнения сферы».

1 семестр, 14 неделя

ПР №23 «Решение задач на вычисление длины векторов, суммы векторов».

1 семестр, 14 неделя

ПР № 24«Умножение вектора на число .Вычисление координат векторов».

1 семестр, 15 неделя

ПР № 25 « Решение задач в координатах».

1 семестр, 15 неделя

ПР № 26  « Степень числа и ее свойства».

1 семестр, 16 неделя

ПР № 27«Решение пропорций. Решение задач с помощью пропорций».

1 семестр, 17 неделя

ПР № 28«Вычисление квадратных корней. Решение задач на проценты».     

1 семестр, 17 неделя

ПР № 29«Решение квадратных уравнений . Решение неравенств ».   

2 семестр, 18 неделя

ПР № 30   « Решение систем уравнений и неравенств. Вычисления по  формулам сокращенного умножения».

2 семестр, 18 неделя

ПР № 31 «Техника умножения и деления чисел».

2 семестр, 19 неделя

ПР № 32 « Корни и степени» .  

2 семестр, 20 неделя

ПР № 33 « Вычисление логарифмов ».         

2 семестр, 21 неделя

ПР № 34« Перевод из одной меры угла в другую. Вычисление синуса, косинуса, тангенса угла ». 

2 семестр, 22 неделя

ПР № 35 « Вычисление значения тригонометрических функций по формулам». 

2 семестр, 22 неделя

ПР №36«Вычисление значения тригонометрических функций двойного и половинного угла ». 

2 семестр, 23 неделя

ПР № 37« Решение уравнений cosx = a, sinx = a, tg x = a ».

2 семестр, 24 неделя

ПР № 38«Решение тригонометрических уравнений заменой переменной».

2 семестр, 24 неделя

ПР № 39 « Решение тригонометрических уравнений способом деления» .

2 семестр, 25 неделя

ПР № 40 «Вычисление множества значений тригонометрических функций по формулам».

2 семестр, 26 неделя

ПР № 41 « Нахождение экстремумов функции. Нахождения наибольшего и наименьшего значения функции».

2 семестр, 27 неделя

ПР № 42«Построение графиков тригонометрических функций».

2 семестр, 28 неделя

ПР № 43 «Решение иррациональных уравнений».         

2 семестр, 29 неделя

ПР № 44 «Решение показательных уравнений».

2 семестр, 29 неделя

ПР № 45«Решение логарифмических уравнений».

2 семестр, 30 неделя

ПР № 46«Решение тригонометрических уравнений».

2 семестр, 30 неделя

ПР № 47«Решение показательных неравенств».

2 семестр, 31 неделя

ПР № 48«Решение логарифмических неравенств».

2 семестр, 31 неделя

ПР № 49«Решение тригонометрических неравенств».

2 семестр, 31 неделя

ПР № 50 «Решение систем уравнений и неравенств ».

2 семестр, 32 неделя

ПР № 51 «Решение неравенств с помощью метода интервалов».

2 семестр, 32 неделя

ПР № 52 «Вычисление угловых коэффициентов. Составление уравнения касательной к графику функции».

2 семестр, 33 неделя

ПР №53«Вычисление производных по правилам дифференцирования».

2 семестр, 34 неделя

ПР №54«Вычисление производных элементарных функций».

2 семестр, 34 неделя

ПР № 55«Построение графиков функций с использованием производной ».

2 семестр, 35 неделя

ПР № 56 «Вычисление второй производной. Исследование функции на выпуклость, вогнутость, определение точек перегиба ».

2 семестр, 36 неделя

ПР № 57«Вычисление первообразных элементарных функций».

2 семестр, 37 неделя

ПР № 58 «Вычисление площадей с помощью интегралов».

2 семестр, 37 неделя

ПР № 59 «Решение задач на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов».

2 семестр, 38 неделя

ПР № 60 «Вычисление числовых характеристик дискретной случайной величины».

2 семестр, 39 неделя

Всего практ.работ : 60

120 ч.



ПРИЛОЖЕНИЕ №1


Основные учебники :


  1. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. Ш.А.Алимов и др. М., «Просвещение», 2009 г.

  2. Геометрия 10-11 кл. Л.С. Атанасян. М., «Просвещение»,2011 г.


Дополнительные учебники :



  1. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. Колмогоров А.Н. и др. М., «Просвещение»,2009г.

  2. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. Башмаков М.И. М., «Дрофа»,2009г.

  3. Геометрия 10-11 кл. Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. М., «Просвещение», 2009г.




Интернет-ссылки для ВСР.

Алгебра:

  1. http://math-prosto.ru/?page=pages/library-math/alimov-10-11.php

  2. http://nashol.com/2012102467590/algebra-i-nachala-matematicheskogo-analiza-10-11-klass-alimov-sh-a-kolyagin-u-m-2012.html

  3. http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/algebra-i-nachala-analiza-10-11-klass-po-uchebniku-sha-alimova-i-dr

  4. http://nashol.com/2014021575799/algebra-i-nachalo-matematicheskogo-analiza-10-klass-muravin-g-k-2013.html

  5. http://elkniga.ucoz.ru/load/multimedijnye_posobija/matematika/multimedijnoe_posobie_po_matematike_uroki_algebry_kirilla_i_mefodija_10_11_klass/14-1-0-15

Геометрия:

  1. http://nashol.com/knigi-po-matematike/#po_godam_2012

  2. http://nashol.com/2011102361137/geometriya-uchebnik-10-11-klass-atanasyan-l-s-butuzov-v-f-kadomcev-s-b-2009.html

  3. http://4book.org/uchebniki-rossiya/10-klass/62-geometriya-uchebnik-dlya-10-11-klassov-atanasyan-l-s-i-dr

  4. http://neovit.net/edu/math1.htm

  5. http://elkniga.ucoz.ru/publ/uchebniki/10_klass/geometrija_atanasjan_l_s_uchebnik_dlja_10_11_klassa_obshheobrazovatelnykh_uchrezhdenij/98-1-0-311





И любые другие аналогичные из интернета по разделам «Алгебра и начала анализа», «Геометрия».













Выбранный для просмотра документ МЕТОД.УК. ПР-ТЕХМАШ,2 КУРС..docx

библиотека
материалов














Методические указания

к выполнению практических работ обучающихся

по дисциплине Математика

для специальности 151901. Технология машиностроения .






















2015г.

Пояснительная записка


Цель методических указаний: оказание помощи обучающимся в выполнении практических работ по дисциплине Математика.

Настоящие методические указания содержат работы, которые позволят обучающимся самостоятельно овладеть профессиональными знаниями и умениями, опытом творческой деятельности при решении проблем учебного и профессионального уровня и направлены на формирование следующих компетенций:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей

профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые

методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их

эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных

ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации,

необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач,

профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии

в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться

с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды

(подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и

личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно

планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий

в профессиональной деятельности.

ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением

полученных профессиональных знаний (для юношей).

В результате выполнения практических работ по дисциплине Математика обучающиеся должны:

уметь:

  • анализировать сложные функции и строить их графики;

выполнять действия над комплексными числами;

  • производить операции над матрицами и определителями;

  • решать задачи на вычисление вероятности с использованием элементов комбинаторики;

  • решать прикладные задачи с использованием элементов дифференциального и интегрального исчислений;

  • решать системы линейных уравнений различными методами.

знать:

  • основные математические методы решения прикладных задач;

  • основные понятия и методы математического анализа, линейной алгебры, теорию комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики;

  • основы интегрального и дифференциального исчисления;

  • роль и место математики в современном мире при освоении профессиональных дисциплин и в сфере профессиональной деятельности.



Списки практических работ по специальности:

151901. Технология машиностроения.

Списки ПР

Сроки выполнения

ПР № 1 «Выполнение действий над матрицами». 

3 семестр, 1 неделя

ПР № 2 «Вычисление определителей второго и третьего порядка».

3 семестр, 3 неделя

ПР № 3 «Решение систем уравнений с помощью матричного метода».

3 семестр, 4 неделя

ПР № 4 «Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера». 

3 семестр, 4 неделя

ПР № 5 «Решение систем линейных уравнений методом Гаусса». 

3 семестр, 6 неделя

ПР № 6 «Выполнение действий над комплексными числами в алгебраической форме». 

3 семестр, 7 неделя

ПР № 7 «Выполнение действий над комплексными числами в тригонометрической форме». 

3 семестр, 8 неделя

ПР № 8 «Выполнение действий над комплексными числами в показательной форме». 

3 семестр, 9 неделя

ПР № 9 «Решение простейших задач на определение вероятности». 

3 семестр, 10 неделя

ПР № 10 «Вычисление производных функций». 

3 семестр, 12 неделя

ПР № 11 «Вычисление неопределенных интегралов». 

3 семестр, 13 неделя

ПР № 12 «Вычисление определенных интегралов». 

3 семестр, 14 неделя

ПР №13 «Исследование функций и построение графика с помощью производной».

3 семестр, 15 неделя

ПР №14 «Вычисление площади плоских фигур с помощью определённого интеграла». 

3 семестр, 16 неделя

Всего практ.работ : 14

28 ч.






Критерии оценки:

Оценка «5» выставляется если : выполнено задание из части 1) и 2),выборочно из части 3).

Оценка «4» выставляется , если : выполнено задание из части 2),выборочно из части 3).

Оценка «3» выставляется, если : выполнено задание из части 1),выборочно из части 2).

Требования к оформлению самостоятельной работы:

Расчетные задания должны быть выполнены в рабочей тетради №2.

Учебно-методическое и информационное обеспечение: приложение №2.












ПРИЛОЖЕНИЕ №2

Учебники :


  1. Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика:Учебник для СПО / Григорьев С.Г., Иволгина С.В., под ред.В.А.Гусева– 9-е изд., стер. – М.: Академия, 2013 – 416 с.

  2. Башмаков М. И. Математика: Учебник СПО / М. И. Башмаков – М.: Академия, 2011 – 256 с.

  3. Пехлецкий И. Д. Математика: Учебник для СПО / Пехлецкий И. Д. – 6-е изд., стер. – М.: Академия, 2011 – 304 с.

  4. Березина Н. А., Максина Е. Л. Математика: Учеб. пособие для СПО / Н. А. Березина, Е. Л. Максина – М.: РНО, 2007 – 175 с.

  5. Богомолов Н. Практические занятия по математике.- М., 2006;

  6. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике, - М., 2006

  7. Дадаян А. А. Математика: Учебник для СПО / А. А. Дадаян. – М.: Форум, 2008 – 544 с.

  8. Дадаян А. А. Сборник задач по математике / А. А. Дадаян – М.: Инфра – М.: Форум, 2008 – 352 с.

  9. П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова Высшая математика в упражнениях и задачах (часть 1) - М.: «Мир и Образование», 2005-304с.

  10. Д. Т. Письменный. Конспект лекций по высшей математике. - «Айрис», 2007.

  11. Д. Т.Письменный. Сборник задач по высшей математике. - «Айрис», 2007

  12. Математика и информатика: Учебник для СПО / Ю. Н. Виноградов, А. И. Гомола, В. И. Потапов и др. – М.: Академия, 2011 – 272 с.

  13. Математический анализ в вопросах и задачах: Учебное пособие для ВУЗов/ В.Бутузов и др. - М, 2005.

  14. Михеев В. С., Стяжкина О. В.Учебное пособие для СПО - «Феникс», 2009.

  15. М. С. Спирина, П. А. Спирин. Учебник для студентов СПО - «Академия», 2009.

  16. Максимова О. В. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для СПО изд.2-е, 2007.

  17. Старков С. Справочник по математическим формулам и графикам. - СПб., 2008.



Интернет-ссылки для ВСР.



  1. http://www.mathedu.ru/

  2. http://www.onecomplex.ru/

  3. http //matemonline.com/wp-content/uploads

  4. Cайты «Энциклопедий», например: http://www.rubricon.ru/; http://www.encyclope.com

  5. Новые технологии в образовании: http://edu.secna.ru/main/ http://festival.1september.ru

  6. http://www.fxyz.ru

  7. http://referat.ru

  8. http://math.immf.ru/

  9. http://integraly.ru/

  10. http://www.alleng.ru/edu/math.htm

(и другие сайты, связанные с математикой)







Выбранный для просмотра документ ПР-ТЕХМАШ-1КУРС.docx

библиотека
материалов

Инструкционная карта

ПР №1«Вычисление катетов, гипотенузы прямоугольного треугольника по теореме Пифагора . Решение треугольников».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. а = 5, b = 12, найти с. Решение: с2 = а2 + b2 = 52 + 122 = 25 + 144 = …, с = …;

Ответ: 13.

Пример 2. с = 41, а = 40, найти b. Решение: b 2 = с2 а2 = 412 – 402 = 1681 – 1600 = …, b = …;

Ответ: 9.

Пример 3. а = 10, b = , найти с. Решение: с2 = а2 + b2 = 102 + 2 = 100 + 44 = … ,с = …;

Ответ: 12.

Пример 4. а = 10, b = 10, с = 12, найти h1, h2, h3.

Решение: p = (а + b + с) : 2 = (10 + 10 + 12) : 2 = 32 : 2 = …,

S = = = =

= 642 = …,

h1 = 2S : a = 2 48: 10 = 96 : 10 = … , h2 = 2S : b = 2 48:10 = …, h3 = 2S : с = 2 48 : 12 =

= 96 : 12 = …;

Ответ: 9,6;9,6;8.

Пример 5. а = 12, b = 18, С = 50°, найти с, А, В.

Решение: с2 = а2 + b2 – 2 а b cos C = 122 + 182 -2 12 18 cos 50° = = 144 + 324 - 2 12 18 0,6428 = 144 +3 24 – 278 = …, с ≈ 14,

cos А = (b2 + с2 а2) : (2 b с) = (182 + 142 – 122) : (21814) = 0,7460, А = 41°45 / ,

В = 180° - (50° + 41°45 /) = 180° – 91°45 / = 89° – 45 / = 88°15 /; Ответ: 14, 41°45 / , 88°15 / .

Пример 6. а =24,6, В = 45°,С = 70°, найти А, b, с.

Решение: А = 180° - (45° + 70°) = …°,

b = = 24,6 = 24,6 = 19,2;

с = = 24,6 = 24,6 = 25,6;

Ответ: 65°,19,2; 25,6 .

Пример 7. а = 14, b = 18, с = 20, найти А, В, С .

Решение: cos А = (b2 + с2 а2) : (2 b с) = (182 + 202 142) : (2 18 20) = 0,7333;

А = 42°50 / ≈ 43°, cos В = (а2 + с2 b2) : (2ас) = (142 + 202 182) : (21420) = 0,4857;

В = 60°56 / ≈ 61°, С = 180° (43° + 61°) = …°;

Ответ: 43°,61°,76°.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. а = 8, b = 15, найти с.

  2. с = 41, а = 9, найти b.

  3. а = 10, b = , найти с.

  4. а = 10, b = 10, с = 16, найти h1, h2, h3.

  5. а = 6,3, b = 6,3, <С = 54°, найти с, А, В.

  6. а =14, <В = 40°,<С = 60°, найти А, b, с.

  7. а = 6, b = 7,3, с = 4,8, найти А, В, С .

3)Решить задачи :

  1. Найдите периметр прямоугольного треугольника, катеты которого равны 3см и 4см.

  2. Найдите диагонали прямоугольника со сторонами 9см и 12см.

  3. Найдите катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 8см, а

проекция искомого катета на гипотенузу – 2см.

  1. а = 9, b = 12, найти с.

  2. с = 17, а = 15, найти b.

  3. а = 6, b = 8, с = 10, найти h1, h2, h3.

  4. а = 16, b = 10, <С = 80°, найти с, А, В.

  5. а =32, <В = 45°,<С = 87°, найти А, b, с.

  6. а = 12, b = 14,6, с = 9,6, найтиА, В, С .

  7. На какое расстояние надо отодвинуть от стены дома нижний конец лестницы длиною 17 м, чтобы верхний конец ее достал до слухового окна, находящегося на высоте 15 м от поверхности земли.

  8. Две башни в равнине находятся на расстоянии 60 локтей одна от другой. Высота первой башни 50 локтей, высота второй 40 локтей. Между башнями находится колодец, одинаково удаленный от вершин башен. Как далеко находится колодец от основания каждой башни.hello_html_4a8a8a80.jpg

  9. В треугольнике АВС  А = 45°, ВС = 13, а высота ВD отсекает на стороне АС отрезок DС, равный 12 см. Найти площадь Δ АВС и высоту, проведенную к стороне ВС.

  10. В параллелограмме АВСD ВK делит сторону АD на отрезки АK и KD. Найдите стороны параллелограмма, если ВK = 12, АK = 5, ВD = 15.

  11. Диагональ  прямоугольника  равна  52  мм,  а  стороны  относятся как 5 : 12. Найти его периметр.

  12. Дан  прямоугольный  треугольник  ОМK  ( K = 90°).  Запишите теорему  Пифагора  для  этого  треугольника  и  найдите  сторону  МK, если ОK = 15 см,
    ОМ = 17 см.

  13. В прямоугольнике проведена диагональ. Найдите длину диагонали, если известны стороны прямоугольника – 8 см и 15 см.

  14. Записать теорему Пифагора для треугольников и найдите х.

1)

hello_html_m36d3c9b1.jpg

2)

hello_html_1200601f.jpg

3) АВСD – ромб,ВD = 16,АС = 12, АВ = ?

hello_html_m71523c39.jpg

4) АВСD – прямоугольник,АВ = 12,

ВС = 16,ВD = ?

hello_html_5d1935fd.jpg

5)ВС = 26,ВD = 24, DС = ?

hello_html_m408baaf4.jpg

6) DЕ – высота, ВЕ = ВD = 12, ЕD = ?

hello_html_e92519b.jpg


  1. ВЕ =?

hello_html_mf3d8d67.jpg

20


Инструкционная карта

ПР №2«Построение четырехугольников и вычисление их элементов. Вычисление элементов правильных многоугольников».

Задание:

1)а) Построение четырехугольников .hello_html_m233e7e65.gif

б)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Дано: ABCD – ромб, AC = 1,5 BD,SABCD = 27 см2.

Найти: AC, BD.

Решение:

  1. SABCD = 1/2 AChello_html_1cc4939.gifBD.

Пусть BD = x см, тогда AC = 1,5x см. Т.к. по условию задачи SABCD = 27 см2, то получаем уравнение: 1/2hello_html_1cc4939.gif1,5xhello_html_1cc4939.gifx = 27,

1,5x2=54, x2=36, x= … ( x = – 6 не подходит по смыслу задачи).

  1. BD = 6 см, AC = 1,5hello_html_1cc4939.gif6 = см.

Ответ : 6 см и 9 см.

Пример 2. Стороны четырехугольника, взятые последовательно, пропорциональны

числам 2: 5: 2: 5. Периметр четырехугольника равен 42 см. Найти стороны.

Решение: х- коэффициент пропорциональности, тогда стороны будут 2х, 5х, 2х,5х; периметр будет

2х + 5х + 2х + 5х = 42, 14х = 42 , х = …, 2х = 2 3 = …, 5х = 53 = …

Ответ : 6 и 15 см.
Пример 3. В параллелограмме ABCD одна сторона больше другой в два раза. Периметр параллелограмма равен 42 см. Найти стороны.

Решение: х- коэффициент пропорциональности, тогда стороны будут х и 2х, периметр будет

х + 2х + х + 2х = 42, 6х = 42 , х = …, 2х = 2 7 = …

Ответ : 7 и 14 см.

Пример 4. Найти углы параллелограмма АВСD, если известно, что угол А больше угла В в 3 раза.

Решение:В = х,А= 3х, А + В = 180° , 3х + х = 180° ,4х = 180° , х = …, В = …,

А= 180° – 45°= … ,

Ответ : 45° и 135° .
Пример 5. Найти диагонали прямоугольника АВСD, еслиАBD = 30° , АD= 6 см.
hello_html_5d1935fd.jpg

Решение: Δ АBD : АBD = 30° , АD= 6 см, ВD = 62 =…

Ответ : 12 см.

Пример 6. Диагональ  прямоугольника  равна  52  мм,  а  стороны 
относятся как 5 : 12. Найти его периметр.

Решение: х- коэффициент пропорциональности, тогда стороны будут 5х, 12х; ΔАBD – прямоугольный, диагональ ВD найдем по теореме Пифагора:

ВD2 = АD2 + АВ2, ВD2 = (5х)2 + (12х)2 = 25х2 + 144х2 = 169 х2 = 522 = 2704, х2 = 16, х = …,

периметр Р = 2D + АВ) = 2 (5 4 + 12 4) = 2 (20 + 48) = 2 68 = …

Ответ : 136 мм2.

Пример 7. Дано: правильный треугольник , n = 3,

а) R = 3 см, Найдите r, а3, P , S. ;б) S = 48 , Найдите r, R, а3, P; в) r = 2 см, Найдите R, а3, P , S.

Решение: а) r = R : 2 = 3 : 2 = …, а3 = R = … , Р = 3а3 = 33 = … ,

S = 3R2 /4 = 3 9 / 4 = … / 4,

б) ( а3)2 = 4S : = 4 48 : = 4 48 = …,а3 = 8 , R = а3 : = 8 : = …,r = R : 2 = 8 : 2 = …,

Р = 3 а3 = 3 8 = … .

в) R = 2 r = 22 =…, а3 = R = … , Р = 3 а3 = 3 4 = … , S = 3R2 /4 = 3 16 / 4 =

= 3 4 = … .

Ответ : а) r = 1,5, а3 = 3 , Р = 9 , S = 27 / 4,б) а3 = 8 , R = 8, r = 4, Р = 24 ,

в) R = 4, а3 = 4 , Р = 12 , S = 12 .

Пример 8. Дано: правильный четырехугольник , n = 4,

а) а4 = 6 см, Найдите r, R, P , S. ;б) r = 2 см, Найдите R, а4, P , S. в) S = 64, Найдите r, R, а4, P;

Решение: а) Р = 4а4 = 46 = …, S = (а4)2 = 62 = …, R = а4 : = 6 : = 3 ,

r = R : = 3 : = …, б) R = r = … , а4 = 2r = 22 = …, Р = 4а4 = 44 = …,

S = (а4)2 = 42 = …, в) а4 = = …, R = а4 : = 8 : = 4 , r = R : = 4 : = …,

Р = 4а4 = 4 8 = …

Ответ : а) Р = 24, S = 36, R = 3 , r = 3, б) R = 2 , а4 = 4,Р = 16, S = 16,

в) а4 = 8, R = 4 , r = 4, Р = 32.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Дано: ABCD – ромб, AC = 0,75 BD,SABCD = 54 см2. Найти: AC, BD.

  2. Стороны четырехугольника, взятые последовательно, пропорциональны

числам 3: 4: 3: 4. Периметр четырехугольника равен 70 см. Найти стороны.

  1. В параллелограмме ABCD одна сторона больше другой в два раза. Периметр параллелограмма равен 66 см. Найти стороны.

  2. Найти углы параллелограмма АВСD, если известно, что угол А больше угла В в 5 раз.

  3. Найти диагонали прямоугольника АВСD, еслиАBD = 30° , АD= 8 см.

  4. Диагональ  прямоугольника  равна  26  мм,  а  стороны  относятся как 5 : 12. Найти его периметр.

  5. Дано: правильный треугольник , n = 3,

а) R = 6 см, Найдите r, а3, P , S. ;б) S = 27 , Найдите r, R, а3, P; в) r = 4 см, Найдите R, а3, P , S.

  1. Дано: правильный четырехугольник , n = 4,

а) а4 = 8 см, Найдите r, R, P , S. ;б) r = 4 см, Найдите R, а4, P , S. в) S = 16, Найдите r, R, а4, P;

3)Решить задачи :

  1. Стороны параллелограмма пропорциональны числам 3 и 7. Найдите наименьшую сторону, если периметр параллелограмма равен 18 см.

  2. Один из углов ромба равен 120° , а его меньшая диагональ равна 4,5 см. Найдите периметр ромба.

  3. В прямоугольнике СКМN проведена биссектриса угла С, которая пересекает сторону КМ в точке Е, причем длинна отрезка КЕ на 3 см меньше длинны МЕ. Найдите МN, если периметр СКМN равен 51 см.

  4. Найти стороны параллелограмма АВСД, если его периметр равен 40 см, а сторона АВ больше ВС на 4 см.

  5. Найти углы равнобедренной трапеции, если один из них равен 75º.

  6. Найти стороны параллелограмма АВСД, если его периметр равен 54 см, а сторона АВ больше ВС в 2 раза.

  7. Найти углы параллелограмма АВСД, если известно, что угол А меньше угла В на 40 °.

  8. Найти углы прямоугольной трапеции, если больший из них равен 120º.

  9. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен 1 см. Найдите радиус R описанной окружности около этого квадрата.

  10. Дано: правильный треугольник , n = 3, а) а3 = 6, Найдите r, R, P , S; б)Р = 6 , Найдите r, R3, S;

  11. Дано: правильный треугольник , n = 4, а) R = 4 см, Найдите r, а4, P , S ;б) Р = 32 ,
    Найдите
    r, R, а4, S;

  12. Периметр правильного шестиугольника, описанного около окружности, равен 6  см. Чему равен радиус этой окружности?

  13. Периметр квадрата, вписанного в окружность, равен 4  см. Найдите радиус r вписанной окружности.

  14. В правильный шестиугольник ABCDEF, со стороной 6 см, вписан правильный треугольник A1B1C1. Найдите отношение радиуса окружности, вписанной в треугольник A1B1C1, к радиусу окружности, вписанной в шестиугольник ABCDEF.

  15. В правильный треугольник MNP вписана окружность. Отрезок NR перпендикулярен отрезку MP и пересекает его в точке K. Угол KMR=300. Найдите радиус вписанной окружности в треугольник MNP и её длину.

  16. Ширина кольца, образованного двумя концентрическими окружностями, равна 2. Хорда большей окружности, касательная к меньшей, равна 8. Найти радиусы окружностей.

  17. В окружность радиуса R = 12 вписан правильный n-угольник. Определите его сторону и периметр, если: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6.

  18. Около окружности радиуса r = 6 описан правильный n-угольник. Определите его сторону и периметр, если: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6.

  19. Для правильного n-угольника со стороной а = 6 см найдите радиус описанной около него окружности, если: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6.

  20. Правильный треугольник АВС вписан в окружность с центром О и радиусом 8 см. На стороне этого треугольника построен квадрат. Определите радиус окружности, описанной около квадрата.

Инструкционная карта

ПР №3«Вычисление площадей фигур».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Периметр участка земли имеющего форму прямоугольника составляет 80 см, а отношение сторон 2:3. Найдите площадь участка.

Дано: ABCD-прямоугольник, P = 80cм, AD : AB = 2 : 3 .Найти: S.
Решение: х - коэффициент пропорциональности, AD = 2x (см), АВ = 3х (см), P = (AD+AB)2,
(2х+3х) 2 = 80, 5х = 40, х = ...,
AD = 82 = … cм, АВ = 83= …см, S = ab, S = 1624 = …cм2
Ответ: 384 см2.

Пример 2. Дано: АВСD-ромб, A=150º ,AB = 6 см. Найти: S.
Решение: ABCD- ромб (по условию),A+В=180º (внутренние односторонние углы при параллельных прямых AD и ВС и секущей АВ). В=180º150º = …º .

Δ АВК- прямоугольный. Катет, лежащий против угла в 30º равен половине гипотенузы.

АК=1/2АВ = 6 : 2= … см.  S = ah = 63= … см².
Ответ: S=18 см².
hello_html_m7e207ca8.jpg

Пример 3. Дано: ABCD-параллелограмм, BH= 15 см , AD =21 см. Найти: S.

Решение: S = BH AD = 15 21 = …

Ответ : 315 см2.

Пример 4. В параллелограмме ABCD стороны равны 14 и 8см., высота проведенная к большей стороне, равна 4 см. Найдите площадь параллелограмма и вторую высоту.

Дано: ABCD-параллелограмм, BH= 4 см , AD = 14 см, АВ = 8 см. Найти: S, H.

Решение: S = BH AD = 4 14 = …, H = S : АВ = 56 : 8 = …

Ответ : S = 56 см2, H = 7 см.

Пример 5. Площадь параллелограмма равна 48 см2 , а его периметр 40 см. Найдите стороны параллелограмма, если высота, проведенная одной из них, в 3 раза меньше этой стороны.

Решение: х- коэффициент пропорциональности, тогда высота и сторона будут х,3х;

S = х 3х = 48, х2 = 16, х = …, BH = 4 см, AD = 3 4 = …, P = (AD+AB)2 = 40, AD+AB = 20,

AВ = 20 – 12 = …

Ответ : 8 и 12 см.
Пример 6. а) Найти площадь ромба, если его диагонали равны 3см и 6см.

Решение: S=1/2 hello_html_1cc4939.gif3hello_html_1cc4939.gif6 = 18 : 2 = … (см2). Ответ : 9 см2 .

б) Найти площадь квадратного участка земли, если его диагональ равна 10м.

Решение: S = 1/2 hello_html_1cc4939.gif102 = 100 : 2 = … (м2). Ответ : 50 м2 .

в) Найти одну из диагоналей ромба, если его площадь равна 20 см2, а вторая диагональ 8 см.

Решение: d1= 2S/d2, d1=220/8 = 40 : 8 = … (см). Ответ : 5 см .

г)Найти диагональ квадрата, если его площадь равна 18 см2.

Решение: d2 = 2S, d2 = 36, d = …(см). Ответ : 6 см .

Пример 7. Вычислить площадь ромба, если одна из его диагоналей равна 5 см, а другая в 4 раза больше.

Решение: d2 = 4 d1 = 45 = …, S = 5 20 : 2 = 5 10 = … Ответ : 50 см2 .
Пример 8. Площадь трапеции равна 320 см2, а высота трапеции равна 8 см. Найдите основания трапеции, если одно и них составляет 0,6 длины другого. 

Решение: S = (a + b)h : 2, a + b = 2S : h = 2 320 : 8 = 2 40 =…, a = 0,6 b, 0,6 b + b = 80,

1,6b = 80, b = …, a = 80 – 50 = …hello_html_m7ca91367.png

Ответ : 30 и 50 см.

Пример 9. Дано: АВСD- прямоугольник, CKD = 80º .Найти: CBK.

Решение: ABCD –прямоугольник, АС = ВD ,

ΔАВК – равнобедренный, ВКА = CKD = 80º .

АВК = КАВ = ( 180° – 80°) : 2 = 100° : 2 = …,

CBK = 90°АВК = 90° – 50° = … Ответ :CBK = 40°.hello_html_m713f329.jpg

Пример 10.





Решение:

hello_html_20e18f82.jpg

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Дано: ABCD-прямоугольник, P = 60cм, AD : AB = 2 : 3 .Найти: S.

  2. Дано: АВСD-ромб, A=150º ,AB = 12 см. Найти: S.

  3. Дано: ABCD-параллелограмм, BH= 13 см , AD = 21 см. Найти: S.

  4. Дано: ABCD-параллелограмм, BH= 4 см , AD = 28 см, АВ = 8 см. Найти: S, H.

  5. Площадь параллелограмма равна 48 см2 , а его периметр 60 см. Найдите стороны параллелограмма, если высота, проведенная одной из них, в 3 раза меньше этой стороны.

  6. а) Найти площадь ромба, если его диагонали равны 3см и 12см.

б) Найти площадь квадратного участка земли, если его диагональ равна 12 м.

в) Найти одну из диагоналей ромба, если его площадь равна 40 см2, а вторая диагональ 8 см.

г)Найти диагональ квадрата, если его площадь равна 32 см2.

  1. Вычислить площадь ромба, если одна из его диагоналей равна 6 см, а другая в 4 раза больше.

  2. Площадь трапеции равна 120 см2, а высота трапеции равна 8 см. Найдите основания трапеции, если одно и них составляет 0,5 длины другого. 

  3. Дано: АВСD- прямоугольник, CKD = 40º .Найти: CBK.

  4. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если площадь его равна площади прямоугольника.

3)Решить задачи :

  1. Найти: S по рис.

hello_html_744b8681.png.

  1. Как изменяется площадь квадрата, если каждую сторону увеличить в 2 раза?

  2. Во сколько раз надо уменьшить сторону квадрата, чтобы площадь уменьшилась в 25 раз?

  3. Параллелограмм и прямоугольник имеют равные основания и равные периметры. Площадь, какой фигуры больше.hello_html_m5558a9b3.png

  4. Поле имеет фигуру параллелограмма, основание которого равны 250 м, а высота 100 м. Через это поле прямым углом к основанию проходит проселочная дорога шириной 5 м. Найдите посевную площадь этого поля. hello_html_m7e207ca8.jpg

  5. Дано: ABCD-параллелограмм,S = 187 см2 , AD =17 см.  Найти: ВН.

  6. В параллелограмме ABCD высоты равны 10 и 5 см., площадь параллелограмма равна 60 см2 .Найдите стороны параллелограмма.

  7. Площадь параллелограмма равна 50 см2, а его периметр 34 см.
    Найдите стороны параллелограмма, если одна из них в 2 раза больше проведенной к ней высоты.


Инструкционная карта

ПР №4«Построение параллельных прямых и расчет углов. Доказательство параллельности прямых и плоскостей».

Задание:

1)а) Построение параллельных прямых, параллельных прямой и плоскости.

б) Перепишите и заполните пропуски:hello_html_69440865.png

Пример 1. Дано: а || α, b α, а || b, с - секущая, 2 1= 30°,

Найти: 1, 2.

Решение: Углы 1 и 2 внутренние односторонние,

их сумма равна 180°, т. е.  l + 2 = 180°. (1)

Обозначим градусную меру угла 1 через х.

По условию 2 х = 30°, или 2 = 30° + x.

Подставим в равенство (1) значения углов 1 и 2, получим 
х + 30° + х = 180°, 2х = 150°,

Решая это уравнение, получим х = …°, т. е. 

1 = 75°, a 2 = 180° 75° = …°.

Ответ: 1 = 75°, a 2 = 105°.hello_html_11aaf2e3.png

Пример 2. Две параллельные прямые, одна из которых лежит в плоскости α, пересечены третьей. Известно, что сумма двух внутренних накрест лежащих углов равна 150°. Чему равны эти углы и остальные шесть?

Дано: а || α, bα, а || b, с - секущая, l + 2 = 150°,

Найти: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Решение: Углы 1 и 2 внутренние накрест лежащие, следовательно, они равны.

Сумма этих углов по условию задачи равна 150°, тогда 1 = 2 = 150° : 2 = ...

Найдем остальные углы . 1 = 3 = 75° и 2 = 7 = 75° (вертикальные). Углы 4 и 5, 6 и 8 равны как вертикальные, a 5 = 6 как внутренние накрест лежащие. Все перечисленные углы 4, 5, 6 и 8 равны между собой , так как 4 + 3 = 180°, hello_html_2ed53250.png

то 4 = 180° 3 = 180 ° – 75 ° = ...

Получили четыре угла по 75°, четыре угла по 105°.

Ответ: 1 = 2 = 3 = 7 = 75°, 4 = 5 = 6 = 8 = 105°.hello_html_m40fa69e3.jpg

Пример 3. Дано: а || α, bα, а || b, с - секущая, 1 = 150°,

Найти: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Решение: 3 = 1 = 150°(верт.), 3 = 5 = 150°(н.леж.),

5 = 7 = 150°(верт.), 1 + 2 = 180°(смежные),

2 = 180° 1 = 180° 150° = …°,

2 = 4 = 30°(верт.), 4 = 6 = 30°(н.леж.), 6 = 8 = 30°(верт.).

Ответ: 3 = 5 = 7 = 150°, 2 = 4 = 6 = 8 = 30°.

Пример 4. Дано: а || α, bα, а || b, с - секущая, 4 = 70°,

Найти: 1, 2, 3, , 5, 6, 7, 8.

Решение: 2 = 4 = …°(верт.), 4 = 6 = 70°(н.леж.),

6 = 8 = …°(верт.), 4 + 3 = 180°(смежные),

3 = 180° 4 = 180° 70° = …°,

3 = 1 = 110°(верт.), 3 = 5 = …°(н.леж.), 5 = 7 = …°(верт.).

Ответ: 1 = 3 = 5 = 7 = 110°, 2 = 6 = 8 = 70°.

Пример 5.Плоскости α и β пересекаются по прямой АВ. Прямая а || α, а || β. Докажите, что а || АВ.

Док-во: Через точку А проведем АМ || α. Так как а || α, а || β, то АМ α, АМ β. Таким образом, αβ =АМ, т.е. она совпадает с АВ. Следовательно, АВ || а.

Пример 6. Дано: АВСD- прямоугольник, М ( АВСD), (СВМ) = α. Докажите, что АD || α.

Док-во: АD || ВС, ВС α. Следовательно, АD || α.




2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Дано: а || α, bα, а || b, с - секущая, 2 1= 40°,Найти: 1, 2.

  2. Дано: а || α, bα, а || b, с - секущая, l + 2 = 150°,Найти: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

  3. Дано: а || α, bα, а || b, с - секущая, 1 = 145°,Найти: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

  4. Дано: а || α, bα, а || b, с - секущая, 4 = 50°,Найти: 1, 2, 3, , 5, 6, 7, 8.

  5. Плоскости α и β пересекаются по прямой МС. Прямая а || α, а || β. Докажите, что а || МС.

  6. Дано: АВСD- прямоугольник, К ( АВСD), (СВК) = α. Докажите, что АD || α.

3)Решить задачи :

  1. Дано: а || α, bα, а || b, с - секущая, 2 1= 50°,Найти: 1, 2.

  2. Две параллельные прямые, одна из которых лежит в плоскости α, пересечены третьей. Известно, что сумма двух внутренних накрест лежащих углов равна 110°. Чему равны эти углы и остальные шесть?

  3. Дано: а || α, bα, а || b, с - секущая, 1 = 135°,Найти: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

  4. Дано: а || α, bα, а || b, с - секущая, 4 = 20°,Найти: 1, 2, 3, , 5, 6, 7, 8.

  5. Плоскости α и β пересекаются по прямой МК. Прямая а || α, а || β. Докажите, что а || МК.

  6. Дано: ОРТЕ- прямоугольник, К ( ОРТЕ), (РТК) = α. Докажите, что ОЕ || α.

  7. Дано: АВСD- трапеция, М ( АВСD), (СВМ) = α. Докажите, что АD || α.

  8. Дано: АВСD- трапеция, АВ || α, С α, MN – средняя линия трапеции. Докажите, что MN || α.

  9. Дано: АВСD- параллелограмм, К ( АВСD), (АВК) = α. Докажите, что СD || α.hello_html_m477473c3.png

  10. Дано: А α, В α, С α, М – середина АС, К – середина ВС. Докажите, что MК || α.

  11. hello_html_me6b84c4.png


  1. Плоскость α проходит через середины боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD- точки M и N. а) Докажите, что AD׀׀α.
    б) Найдите ВС, если
    AD=10 см, MN=8см.
    hello_html_m33a48410.gif

  2. Плоскость α проходит через основание АD трапеции ABCD. Точки M и Nсередины боковых сторон трапеции. а) Докажите, что MN׀׀α.

б) Найдите AD, если BC = 4 см, MN = 6см.

  1. На модели куба укажите плоскости, параллельные прямой DC, прямой DD1.

  2. По готовому рисунку: а) докажите, что: KMEF;
    б) найдите
    KM , если EF=8 см. hello_html_m3e0c4470.jpg
    hello_html_5a486f25.jpg

  3. ABCD – трапеция, AD , E и F – середины AB и CD соответственно.
    Докажите, что
    EF || α.

  4. Дан ΔВСЕ. Плоскость, параллельная прямой СЕ, пересекает BE
    в точке Е1,а ВС - в точке С1. Найдите ВС1, если С1Е1 : СЕ = 3 : 8, ВС = 28 см.

  5. Через основание AD трапеции ABCD проведена плоскость α. ВС α. Докажите, что прямая, проходящая через середины сторон АВ и CD,
    параллельна плоскости α.
    hello_html_m1a1d6694.jpg

  6. Дано: А, В, С, D; В (ACD). Е, F, М, К- середины сторон АВ, ВС, CD, AD;
    AC = 6 см, BD = 8 см. Доказать: EFMK - параллелограмм. Найти: P(EFMK).  

  7. Дано: ΔАВК, М (АВК); E.D- точки пересечения медиан ΔМВК и ΔАВМ;
    АК = 14 см. Доказать: ADEK - трапеция. Найти: DE


Инструкционная карта

ПР №5«Определение взаимного расположения прямых в пространстве. Построение параллельных плоскостей».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Два отрезка длин а и b упираются концами в две параллельные плоскости. Проекция первого отрезка (длины а) на плоскость равна с. Найдите проекцию второго отрезка, если а = 17 , b = 10, с = 15 см.

Дано: α || β, а = 17 , b = 10, с = 15 см. Найти: х

Решение:

а2 – с2 = b2 – х2, х2 = b2а2 + с2 , х2 = 102 – 172 + 152 =

= 100 – 289 + 225 = …, х = … см.
Ответ: х = 6 см.

Пример 2.

Две параллельные плоскости расстояние между

которыми 2 дм, пересечены прямой, составляющей с каждой из

плоскости угол в 300. Найти длину отрезка этой прямой, заключенной

между плоскостями.

Дано: α || β, АВα = А, АВβ = В, АВС = 30°, АС = 2 дм.

Найти: АВ

Решение: Δ АСВ – прямоугольный, АВС = 30°, АС = 2 дм.

АВ = 2 АС = 2 2 = … дм.
Ответ: АB = 4 дм.

Пример 3. Расстояние между параллельными плоскостями равно 8 см. Отрезок прямой длина которого 17 см расположен между ними так, что его конец принадлежит плоскости. Найти проекцию этого отрезка на другую плоскость.

Дано: α || β, АВα = А, АВβ = В, АВ = 17 см, АС = 8 см.

Найти: ВС

Решение: Δ АСВ – прямоугольный, ВС2 = АВ2 – АС2 = 172 – 82 = 289 – 64 = …, ВС = … см.

Ответ: BС = 15 см.

Пример 4. На параллельных плоскостях α и β, выбрано по паре точек А12 и В12 соответственно так, что прямые А1В1 и А2В2 пересекаются в точке S Вычислите SА1 и SВ2, если А1В1= 6см;
2 = 2,5см; SВ2 : SА2 = 3 : 1 . S

Дано: α || β, А1 А2В1 В2 = S, А1, А2 α, В12 β,

А1В1= 6см; SА2 = 2,5см; SВ2 : SА2 = 3 : 1

Найти: 1, SВ2

Решение: Δ SА1 А2 ~ Δ SВ1В2 , (α || β), SВ2 : SА2 = 3 : 1, SА2 = 2,5см,

2 = 3 2,5 = … см. 1 : SА1 = 3 : 1, А1В1= 6см, SА1 = х ,

( х + 6 ) : х = 3 : 1, 3х = х + 6 , 2х = 6, х = …, SА1 = … см.

Ответ:1 = 3 см, SВ2 = 7,5 см .

Пример 5.

Дано: α || β, а α, bβ, а || b, с - секущая, 1 = 150°,

Найти: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Решение: 3 = 1 = 150°(верт.), 3 = 5 = 150°(н.леж.),hello_html_m40fa69e3.jpg

5 = 7 = 150°(верт.), 1 + 2 = 180°(смежные),

2 = 180° – 1 = 180° – 150° = …°,

2 = 4 = 30°(верт.), 4 = 6 = …°(н.леж.), 6 = 8 = …°(верт.).

Ответ: 3 = 5 = 7 = 150°, 2 = 4 = 6 = 8 = 30°.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Два отрезка длин а и b упираются концами в две параллельные плоскости. Проекция первого отрезка (длины а) на плоскость равна с. Найдите проекцию второго отрезка, если а = 13 , b = 15, с = 5 см.

  2. Две параллельные плоскости расстояние между которыми 6 дм, пересечены прямой, составляющей с каждой из плоскости угол в 300. Найти длину отрезка этой прямой, заключенной между плоскостями.

  3. Расстояние между параллельными плоскостями равно 10 см. Отрезок прямой длина которого 26 см расположен между ними так, что его конец принадлежит плоскости. Найти проекцию этого отрезка на другую плоскость.

  4. На параллельных плоскостях α и β, выбрано по паре точек А12 и В12 соответственно так, что прямые А1В1 и А2В2 пересекаются в точке S Вычислите SА1 и SВ2, если А1В1= 12см;
    2 = 4,5см; SВ2 : SА2 = 3 : 1.

  5. Дано: α || β, а α, bβ, а || b, с - секущая, 1 = 140°. hello_html_m48661333.jpg

Найти: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

3)Решить задачи :

1. Концы двух пересекающихся отрезков AC и BD лежат на двух параллельных плоскостях, причем расстояния между точками одной плоскости равны.
а) Докажите, что АВ ǁ
CD;
hello_html_3cafc7c0.jpg

б) Один из углов четырехугольника ABCD равен 65° . Найдите остальные углы.
2.
Через вершины А и С параллелограмма АВСD проведены параллельные прямые АА1 и СС1, не лежащие в плоскости параллелограмма.

Докажите параллельность плоскостей А1АВ и С1СД.

3.Через точку O, которая находится между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые c и d, пересекающие плоскости так, что точки A и B находятся в плоскости α, а точки C и D - в плоскости β ,

AB=15 см, DO=29 см и AC=3AO.Вычислить: BD;CD.                                         

4.Через точку О, лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскости α и β в точках А1 и А2 соответственно, прямая m – в точках В1 и В2. Найдите длину отрезка А2В2, если А1В1 = 12 см, В1О:ОВ2 = 3 : 4.

5.Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А1, а сторону ВС в точке В1.

Найдите длину отрезка А 1В 1,если АВ = 8 см, АА1 : А1С = 5 : 3.

6.Параллелограммы ABCD и ABC1D1 лежат в разных плоскостях.

Докажите, что четырёхугольник CD C1D1 тоже параллелограмм.

7.Три прямые, проходящие через одну точку О, пересекают плоскость α в точках A,B,C, а параллельную ей плоскость β в точках A1,B 1,C 1. Найдите площадь треугольника АВС,hello_html_49c55645.jpg

если угол В1 равен 900, А1 В1= 3 см, В1С1= 4 см, а точка А1 делит ОА пополам .

8.Дано: α || β,  α .Доказать: что m || β.

9.Три прямые, проходящие через одну точку О, пересекают плоскость α в точках A,B,C, а параллельную ей плоскость β в точках A 1,B 1,C 1..
Докажите подобие треугольников ABC и A
 1B 1C 1.
hello_html_m2d5bd222.jpg

10.Две стороны треугольника параллельны плоскости α.

Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости α.

Дано: ΔАВС, АВ || α, ВС || α. Доказать: АС || α.

9. 10.

hello_html_79dd18b.gifhello_html_m694c6cb2.gif

Инструкционная карта

ПР №6«Решение задач на определение перпендикулярности прямых, прямой и плоскости».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1 , у которого основание квадрат. Докажите, что а) СD В1С1 , б) С1D1 АD . hello_html_75ed7ad2.jpg

Доказательство: а) СD || A1B1, A1B1 В1С1 СD В1С1 ( по лемме),
б) С
1D1 || ВС , ВС АD С1D1 АD ( по лемме) .
hello_html_m66ec6653.jpg

Пример 2. Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны . Найдите отрезок CD, если: АВ = 3 см, ВС = 7 см, AD = 1,5 см;

Дано: АВ, АС и AD попарно перпендикулярны, АВ = 3 см, ВС = 7 см, AD = 1,5 см; Найти: CD

Решение: Δ САВ – прямоугольный, АС2 = СВ2 – АВ2,

АС2 = 72 – 32 = 49 – 9 = …, Δ САD – прямоугольный, СD2 = АС2 + АD2,

СD2 = 40 + 1,52 = 40 + 2,25 = …,

СD = … см. Ответ: СD = 6,5 см.

Пример 3. Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные плоскости α, пересекающие ее в точках С и D соответственно. Найдите расстояние между точками А и В, если АС = 2 м, BD = 3 м, CD = 2,4 м и отрезок АВ не пересекает плоскость α.

Дано: АС α , BD α , АС = 2 м, BD = 3 м, CD = 2,4 м. Найти: A B

Решение: BK = BD – АС = 3 – 2 = …,

Δ BKА – прямоугольный, AB2 = АK2 + BK 2 = СD2 + BK2,

AB2 = 2,42 + 12 = 5,76 + 1 = …, AB = … см.

Ответ: AB = 2,6 см.

Пример 4. Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.

Дано: AB = 15 м, АС = 8 м, BD = 20 м,

Найти: CD

Решение: BK = BD – АС = 20 – 8 = …,

Δ BKА – прямоугольный, АK2 = AB2 BK 2 = 152 122 = 225 – 144 = …, АK = … см.

CD = АK = 9 см. Ответ: CD = 9 см.

Пример 5. К плоскости треугольника из центра, вписанной в него окружности радиуса 0,7 м восставлен перпендикуляр длиной 2,4 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.

Дано: Δ АВС, О – центр , вписанной в него окружности,

ОК = r = 0,7 м, ОМ (АВС), ОМ = 2,4 м, Найти: МК

Решение: ΔМОК - прямоугольный,

МК2 = ОК2 + ОМ2 = 0,72 + 2,42 = 0,49 + 5,76 = …,

МК = … м.

Ответ: МК = 2,5 м.hello_html_m634b7c0d.jpg

Пример 6. Дано: ΔАВС; АВ = АС = ВС; CD  (ABC); AM = MB, 

DM = 15, CD = 12 Найти: SΔADB.

 Решение:1) CD  (ABC)  CD  AC и CD  ВС, тo есть 

ACD = BCD = 90° и ΔADC, ΔBDC -прямоугольные.

2) ΔADC = ΔBDC (по двум катетам): DC - общий, AC = ВС (по условию). Значит, AD =BD (как соответствующие в равных треугольниках), тогда ΔADB - равнобедренный (по определению) и DM - медиана. Следовательно, DM - высота (по свойству медианы равнобедренного треугольника).

3) DC  МС  DCM = 90° и ΔMCD - прямоугольный. По теореме Пифагора:  MD2 = DC2 + МС2. Тогда  152 = 122 + МС2 , МС2 = 225 –144 = …, МС = …

4) ΔМСВ - прямоугольный (CMB = 90°, так как СМ - медиана и высота в ΔАВС - равностороннем),

В = 60°,sinВ = МС : ВС, тогда ВС = МС : sin60° = 9 : = 18: = 6,АВ = ВС (по условию),

5)  Ответ: .hello_html_4318143f.jpg

Пример 7. Дано: АВ - отрезок; α; АВ  α; О - середина АВ, О  α;

ХА = ХВ. (рис. 2). Доказать: X  α.

Доказательство:

1) Если X  АВ, то Х = О, и поэтому X  а.

2) Если X  АВ, то ХО - медиана ΔАХВ. ΔАХВ - равнобедренный (по определению), значит, ХО - высота (по свойству медианы равнобедренного треугольника), то есть ХО АВ. Таким образом, О  ХО, О  АВ и ХО  АВ, следовательно, ХО  а и X  а.

Пример 8. Дано: α; ABCD - параллелограмм; BD α; А α, C α, AB = 7 см .hello_html_7046f1aa.jpg

Найти: РABCD.

Решение: 1)Так как А  α, С  α, то AC α;BD α;=> BD AC;

  (по определению прямой, перпендикулярной плоскости). Значит, ABCD - ромб (по признаку). Тогда АВ = ВС = CD =AD = 7 см (по определению ромба).

2) РABCD = 4 · 7 = …(см). Ответ: 28 см.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1 , у которого основание квадрат.

Докажите, что а) С1D1 ВС, б) СD А1D1 .

  1. Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны . Найдите отрезок CD, если: АВ = 6 см, ВС = 14 см, AD = 3 см;

  2. Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные плоскости α, пересекающие ее в точках С и D соответственно. Найдите расстояние между точками А и В, если АС = 8 см, BD = 20 см, CD = 5см и отрезок АВ не пересекает плоскость α.

  3. Телефонная проволока длиной 26 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 6 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 30 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.

  4. К плоскости треугольника из центра, вписанной в него окружности радиуса 1 м восставлен перпендикуляр длиной 2,4 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.

  5. Дано: ΔАВС; АВ = АС = ВС; CD  (ABC); AM = MB, DM = 17, CD = 8. Найти: SΔADB.

  6. Дано: АВ - отрезок; α; АВ  α; О - середина АВ, О  α; CА = CВ.
    Доказать:
    C  α.
    hello_html_22068a07.jpg

  7. Дано: α; ABCD - параллелограмм; BD α; А α, C α,

AB = 10 см .Найти: РABCD.

3)Решить задачи :

  1. Дано: ABCD квадрат; AM - прямая; АМ  (ABCD); АС  BD = О. Доказать: a) BD  (АМО); б) МО  BD.

  2. Прямые АВ и CD перпендикулярны некоторой плоскости и пересекают ее в точках В и D соответственно. Найдите AС, если АВ = 9, CD = 15, BD = 8.

  3. Отрезок МН пересекает некоторую плоскость в точке К. Через концы отрезка проведены прямые HP и ME, перпендикулярные плоскости и пересекающие ее в точках Р и Е. Найдите РЕ, если HP = 4 см, НК = 5 см, ME = 12 см.

  4. Треугольник ABC правильный, точка О - его центр. Прямая ОМ перпендикулярна плоскости AВС. Докажите, что МА = MB = МС. Найдите МА,
    если АВ = 6 см, МО = 2 см.
    hello_html_m754188c5.jpg

  5. ABCD - квадрат . АЕ - перпендикулярно плоскости квадрата, К  BE. Найти: (ВС; АК).

  6. ABCD прямоугольник. Отрезок АЕ перпендикулярен к плоскости ABC. ЕВ = 15, ЕС = 24, ED = 20. Докажите, что треугольник EDC прямоугольный, и найдите АЕ.

  7. Точка А принадлежит окружности, АК - перпендикуляр к ее плоскости, АК = 1 см, АВ - диаметр, ВС — хорда окружности, составляющая с АВ угол 45°. Радиус окружности равен 2 см. Докажите, что треугольник КСВ прямоугольный, и найдите КС.

  8. Дано: α; АВ - отрезок;AB α = O,AD α; BC α; AD α = D,BC α = C, AD = 6 см, BC = 2 см, OC = 1,5 см. Найти: АВ.


Инструкционная карта

ПР №7«Вычисление перпендикуляра и наклонной. Вычисление угла между плоскостями».

Задание:

1) а) Записать по рисунку:

  • какой отрезок является перпендикуляр, наклонная, проекция наклонной,

  • угол между наклонной и плоскостью α.

АС - …, АВ - …, СВ – …, АВ2 = ВС2 + АС2.

- угол между наклонной и плоскостью α.

б)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Из точки, не принадлежащей данной плоскости , проведены к ней
две наклонные, равные 10см и 18см. Сумма длин их проекций на

плоскость равна 16см. Найти проекцию каждой наклонной.(рис.1)

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции, рис.1

АС = 10 см, СВ = 18 см, АО + ОВ = 16 см,

Найти: АО, ОВ

Решение: АС = 10, СВ = 18, АО + ОВ = 16, АО = х, ОВ = 16 – х,

АС2 АО2 = ВС2 – ОВ2 , 102 х2 = 182 – (16 х)2, 100 х2 = 324 – 256 + 32 х х2 ,

32 х = 32, х = … , АО = 1, ОВ = 16 – 1 = .... Ответ: 1 и 15 см.

Пример 2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 12см наклонена к плоскости под углом 60°, проекция другой на эту плоскость равна 6 см.

Найти длину этой наклонной.

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

СА = 12 см , САО = 60°, ОВ = 6 см ,

Найти: СВ

Решение: Δ АОС- прямоугольный, АСО = 90 ° – 60 ° = 30°, АО = СА : 2 = 12: 2 = … ,

СО2 = СА2 –АО2 = 122 – 62 = 144 – 36 = … ,

СВ2 = СО2 + ОВ2 = 108 + (6 )2 = 108 + 36 6 = 108 + 216 = … , СВ = … см. Ответ: 18 см.

Пример 3. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО = 6см и две наклонные. Каждая из наклонных образует с плоскостью угол 60°. Угол между наклонными 120°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

СО = 6см, САО = СВО = 60°, АСВ = 120°,

Найти: АВ
Решение: sin САО = СО : АС, АС = ВС = СО : sin САО = 6: sin60 ° = 6 : = 12 : = 4 ,

Δ АВС – равнобедренный, АВ2 = АС2 + ВС2 – 2АС ВС cos АСВ =

= (4)2 + (4)2 – 24 cos 120° = 16 3 + 16 3 - 216 3( – ) = 48 + 48 + 48 = … ,

АВ = … см. Ответ: АВ = 12 см.

Пример 4. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО и две наклонные СВ и АС. ОВ= 4,САО = 30°, СВО = 60°, а угол между наклонными 90°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

Дано: ОС - перпендикуляр, АС и ВС - наклонные, АО и ОВ – их проекции,

ОВ= 4,САО = 30°, СВО = 60°, АСВ = 90°,

Найти: АВ

Решение: ΔСОВ – прямоугольный, СВО = 60°, ОСВ = 90 ° - 60 ° = 30 °,

ВС= 2 ОВ = 24 = … , СО2 = ВС2 – ОВ2 = 82 – 42 = 64 – 16 = … , СО = = 4,

АС = 2 СО = 24 = … , ΔАСВ - прямоугольный, АВ2 = АС2 + ВС2 = (8)2 + 82 =

= 64 3 + 64 = … , АВ = … см. Ответ: АВ = 16 см.
Пример 5. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О.


Из точки О проведён к плоскости квадрата перпендикуляр ОМ. Найти расстояние от точки М до

стороны ВС, если AD = 6см, ОМ = 4см. (рис.2)

Дано: АВСD - квадрат, ОМ - перпендикуляр,
О - точка пересечения диагоналей квадрата,

МК - расстояние от точки М до стороны ВС, AD = 6см, ОМ = 4см.

Найти: МК

Решение: ОК = АВ : 2 = AD : 2 = 6 : 2 = … , ΔМОК - прямоугольный, Рис.2

МК2 = ОМ2 + ОК2 = 42 + 32 = 16 + 9 = … , МК = ... Ответ: МК = 5 см.
Пример 6. Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны . Найдите отрезок CD, если: АВ = 3 см, ВС = 7 см, AD = 1,5 см;

Дано: АВ, АС и AD попарно перпендикулярны, АВ = 3 см, ВС = 7 см, AD = 1,5 см; Найти: CD

Решение: Δ САВ – прямоугольный, АС2 = СВ2 – АВ2, АС2 = 72 – 32 = 49 – 9 = … ,

Δ САD – прямоугольный, СD2 = АС2 + АD2, СD2 = 40 + 1,52 = 40 + 2,25 = … ,

СD = … см. Ответ: СD = 6,5 см.hello_html_75ed7ad2.jpg

Пример 7. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1 , у которого основание квадрат.

Докажите, что а) СD В1С1 , б) С1D1 АD .

Доказательство: а) СD || A1B1, A1B1 В1С1 СD В1С1 ( по лемме),

б) С1D1 || ВС , ВС АD С1D1 АD ( по лемме) .

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Из точки, не принадлежащей данной плоскости, проведены к ней две наклонные,
    равные 20 см и 36 см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 32 см.
    Найти проекцию каждой наклонной.

  2. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Одна из них длиной 24 см наклонена к плоскости под углом 60°, проекция другой на эту плоскость равна 12 см. Найти длину этой наклонной.

  3. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО = 12 см и две наклонные. Каждая из наклонных образует с плоскостью угол 60°. Угол между наклонными 120°.
    Найти расстояние между основаниями наклонных.

  4. Из точки С к данной плоскости проведены перпендикуляр СО и две наклонные СВ и АС.
    ОВ= 8,
    САО = 30°, СВО = 60°, а угол между наклонными 90°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

  5. Диагонали квадрата АВСD пересекаются в точке О. Из точки О проведён к плоскости квадрата перпендикуляр ОМ. Найти расстояние от точки М до стороны ВС, если AD = 12 см, ОМ = 8 см.

  6. Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны.
    Найдите отрезок CD, если: АВ = 6 см, ВС = 14 см, AD = 3 см;

  7. Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1 , у которого основание квадрат.
    Докажите, что
    а) С1D1 ВС, б) СD А1D1 .

3)Решить задачи :

  1. Дано: АС - перпендикуляр, АВ - наклонная,
    а) АВ = 10 см, ВС = 6 см, АС = ?, б) АС = 12 см, ВС = 5 см, АВ = ? (Указание:
    АВ2 = ВС2 + АС2 )

  2. Дано: Δ АВС – равнобедренный, АК(АВС), АК = 12 см, АВ = АС = 5 см, ВС = 6 см,
    КМ
    ВС. Найти: КМ, АМ.

(Указание: АВ = АС => КВ = КС => Δ СКВ – равнобедренный, КМ ВС => ВМ- медиана,

ВМ = МС = ВС : 2, КС2 = АК2 + АС2 , КМ2 = КС2 - МС2 , АМ2 = АС2 - МС2 )

  1. Дано: АО - перпендикуляр, АВ и АС - наклонные, АВ = АС, ОАВ = ВАС = 60°,
    АО = 2,5 см.
    Найти: ВС. (Указание: Δ ВАС – равносторонний, ВС = АВ = АС = 2АО)

  2. Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где ее прикрепили на высоте 20 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает.

Дано: AB = 15 м, АС = 8 м, BD = 20 м, Найти: CD.

(Указание: Δ BKА – прямоугольный, АK2 = AB2 - BK 2)

  1. Дан куб АВСDА1В1С1D1 . Найдите следующие двугранные углы: а) АВ В1С , б) АDD1В,
    в) А
    1ВВ1К, где К- середина А1D1.

  2. Из вершины равностороннего треугольника АВС проведен перпендикуляр АК к плоскости треугольника. Найдите длину АК, если ВС = 3 см, КС = 3 см.

  3. Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

Инструкционная карта

ПР №8 «Перпендикулярность двух плоскостей.Изображение пространственных фигур».

Задание:hello_html_41ca87ca.jpg

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ если:

а) АС = 6 м, ВD = 7 м, СD = 6 м, б) АD = ВС = 5 м, СD = 1 м.

Решение: а) Пусть плоскости α и β перпендикулярны. СD – прямая пересечения плоскостей , тогда АС СВ и ВD АD. Тогда в Δ АСВ: АВ2 = АС2 + ВС2, но из Δ СDВ следует ,что: ВС2 = СD2 + ВD2 , так что АВ2 = АС2 + СD2 + ВD2.

АВ2 = 62 + 72 + 62 = 36 + 49 + 36 = …, АВ = …

б) АВ2 = АС2 + ВС2, но из Δ СDА следует ,что: АС2 = АD2 СD2 ,

так что АВ2 = АD2 СD2 + ВС2. АВ2 = 52 12 + 52 = 251 + 25 = …, АВ = …

Ответ: а) 11 м, б) 7 м.hello_html_552bcaf5.jpg

Пример 2. Точка А находится на расстоянии а = 24 см и b = 10 см от двух перпендикулярных плоскостей α и β. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей.

Решение: Пусть α β и α β = с. Проведем перпендикуляры АВ, АD, АС. Тогда четырехугольник АВСD – прямоугольник. АС2 = а2 + b2 ,

АС –искомое расстояние. ВС - проекция АС на плоскость α, поэтому по теореме о 3 – х перпендикулярах ВС с, ВС β. Так как АD β, то по теореме АD||ВС, а, значит, АD и ВС лежат в одной плоскости.

Итак , АС2 = 242 + 102 = 576 + 100 = … , АС = …hello_html_mf971f4e.jpg

Ответ: АС = 26 см.

Пример 3. Плоскости α и β перпендикулярны. В плоскости α взята точка А, расстояние от которой до прямой с ( линия пересечения плоскостей ) равно 0,5 м. В плоскости β проведена прямая b, параллельная прямой с и отстоящая от нее на 1,2 м. Найдите расстояние от точки А до прямой b.

Решение: Пусть α β , b || с, ВС = 1, АВ = 0,5м , где АВ с и ВС b.

Тогда по теореме о 3 – х перпендикулярах АС b. Так что

АС – искомое расстояние и АС2 = АВ2 + ВС2 = 1,22 + 0,52 = 1,44 + 0 ,25 = …, АС = …

Ответ: АС = 1,3 м.

Пример 4. Перпендикулярные плоскости α и β пересекаются по прямой с. Плоскости α проведена прямая а|| с, в плоскости β – прямая b || с. Найдите расстояние между прямыми а и b , если расстояние между прямыми а и с равно 1,5 м, а между прямыми b и с – 0,8 м. hello_html_m209580fa.jpg

Решение: Возьмем в плоскости α точку А на прямой а. По теореме о 3 – х параллельных прямых получаем, что а || b (так как а || с, b ||с). Проведем

АС с и СВ b. Тогда по теореме о 3 – х перпендикулярах АВ b.

Так что АВ – искомое расстояние и АВ СВ, так как α β
( по условию), из прямоугольного треугольника АВС по теореме Пифагора имеем: АВ
2 = СВ2 + АС2 = 1,52 + 0,82 = 2,25 + 0,64 = … , АВ = …

Ответ: АВ = 1,7 м.

Пример 5. Построить изображение правильного шестиугольника .

Решение: Разобьем правильный шестиугольник на три части: прямоугольник FBCE и два равнобедренных треугольника Δ FAB и Δ CDE. Построим вначале изображение прямоугольника FBCE – произвольный параллелограмм FBCE. Находим на изображении точку О и проводим

через нее прямую, параллельную ВС и FE, получим при этом точки N и К

(точки пересечения прямой и сторон параллелограмма). Откладываем от точек N и К

на прямой такие же отрезки, как от центра О до точек N и К, получаем две оставшиеся

вершины правильного шестиугольника А и D.

ABCDFE – искомое изображение.

hello_html_m5af7163d.gif

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ если:

а) АС = 3 м, ВD = 4 м, СD = 12 м, б) АD = 4 м, ВС = 7 м, СD = 1 м.

  1. Точка А находится на расстоянии а = 17 см и b = 8 см от двух перпендикулярных плоскостей α и β. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей.

  2. Плоскости α и β перпендикулярны. В плоскости α взята точка А, расстояние от которой до прямой с ( линия пересечения плоскостей ) равно 0,9 м. В плоскости β проведена прямая b, параллельная прямой с и отстоящая от нее на 1,2 м. Найдите расстояние от точки А до прямой b.

  3. Перпендикулярные плоскости α и β пересекаются по прямой с. Плоскости α проведена прямая а|| с, в плоскости β – прямая b || с. Найдите расстояние между прямыми а и b , если расстояние между прямыми а и с равно 4,5 м, а между прямыми b и с – 2,4 м.

  4. Построить изображение правильного пятиугольника .

3)Решить задачи :

  1. Треугольник AM В и прямоугольник ABCD расположены так, что их плоскости взаимно перпендикулярны. Докажите, что угол MAD — прямой.

  2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точки Е, F и К — середины ребер

А1В1, A1D1 и AD соответственно; АВ = 4,АА1 = 6, A1C =. 1) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки Е, F и К, и докажите, что плоскости сечения и основания взаимно перпендикулярны. 2) Найдите AD.

  1. Прямоугольник ABCD и параллелограмм ВЕМС расположены так, что их плоскости взаимно перпендикулярны. Докажите, что L MCD — прямой.

  2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка Е — середина С1 D1, AD = 5, АВ= 4, В1D = . 1)Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через AD и точку Е и докажите, что плоскость сечения перпендикулярна плоскости боковой грани DD1C1C.

2)Найдите АА1.

  1. Два правильных треугольника ABC и DBC расположены так, что их плоскости взаимно перпендикулярны. Найдите тангенс двугранного угла, образованного плоскостями ADC и ABC.

  2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 основание ABCD — квадрат,
    AD = 2; АС1 = 2. 1)Найдите СС1. 2)Докажите, что плоскости АСС1 и BB1D1 взаимно перпендикулярны.

  3. Сторона правильного треугольника ABC равна 4. Треугольник DBC — равнобедренный
    (DB = DC). Их плоскости взаимно перпендикулярны. Плоскость ADC составляет с плоскостью АВС угол 60°. Найдите площадь треугольника DBC.

  4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 боковая грань DD1C1C — квадрат,
    DC = 3; BD1 = . 1)Найдите ВС. 2)Докажите, что плоскости BCD1 и DC1B1 взаимно перпендикулярны.

  5. Дана параллельная проекция треугольника. Как построить проекции медиан этого треугольникаhello_html_56a3268d.png

  6. а) Докажите, что параллельная проекция центрально - симметричной фигуры также является центрально – симметричной. б) по рис.











Инструкционная карта

ПР № 9«Построение многогранников. Вычисление элементов призмы».

Задание:

1) а) Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11 класс, стр. 57,59. Построить многогранники.
б) Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, в котором высота проведенная к основанию равняется 8см.Высота призмы равняется 12см. Найдите полною поверхность призмы если боковая грань что содержит основание треугольника - квадрат. 
Решение:  Площадь поверхности призмы будет равна сумме площадей оснований и сумме площадей боковых поверхностей, то есть  S = 2S1 + S2 + 2S3 , где S1 - площадь основания призмы, S2 - площадь боковой поверхности, содержащей основание, S3 - площадь боковой поверхности, содержащей стороны равнобедренного треугольника. (Они равны, так как стороны основания равны в следствие того, что треугольник равнобедренный, а вторые стороны равны высоте призмы) .
Поскольку боковая грань, содержащая основание треугольника, является квадратом, то основание треугольника также равно 12 см. (основание треугольника одновременно является стороной грани).
 
Таким образом, зная высоту и основание равнобедренного треугольника можно найти его остальные стороны и площадь.
  S1 = 1/2ah = 1/2 12 8 = 6 8 = … см2 . 
Катеты, соответственно равны (у нас высота, являющаяся в равнобедренном треугольнике одновременно и медианой 12 /2 = 6 см, с каждым из катетов образует прямоугольный треугольник) по теореме Пифагора
  62 + 82  = 102 , Таким образом
S
2 = 1212 = … см2 . S3 = 1012 =… см2 . S = 2S1 + S2 + 2S3 = 2 48 + 144 + 2 120 = … см2 . 
Ответ: … см2.

Пример 2. В основании прямой треугольной призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 8 и 6 см. Найти боковое ребро призмы, если ее боковая поверхность равна 120 квадратных сантиметров. 
Решение: Сначала найдем гипотенузу основания призмы. AB2 = AC2 + BC2 , AB2 = 82 + 62 ,
AB
2 = 64 + 36 = …, AB = … .
Обозначим боковое ребро призмы как  h . Боковое ребро одновременно является и высотой призмы, поскольку по условию задачи призма является прямой. Тогда площадь боковой поверхности призмы является суммой площадей трех прямоугольников - ACC
1A1, CBB1C1 и ABB1A1 или, если подставить известные значения катетов основания призмы, то 10h + 6h + 8h = 120,  24h = 120, h =…, 
Ответ: ребро прямоугольной призмы с прямоугольным треугольником в основании равно 5 см. 

Пример 3 . В правильной четырёхугольной призме площадь основания 144 см2, а высота 14 см. Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности. 
Решение: Правильный четырехугольник - это квадрат, сторона основания равна а = = … см. 
Откуда диагональ основания правильной прямоугольной призмы будет равна 
d
2 =122 + 122  = …, d = 12 ,
Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна: d
12 = ( 12)2 + 142 = 288 + 196 = …, d1 = … см.
Ответ: 22 см .

Пример 4. Основанием прямой призмы ABCD A1B1C1D1 является параллелограмм ABCD со сторонами 4 см и 4 см и углом, равным 30 °. Диагональ AC1 призмы образует с плоскостью основания угол в 60 °. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Решение: Поскольку сумма соседних углов параллелограмма равна 180 градусам, то углы B и D. будут равны 180° – 30° = 150 °. 
Диагональ параллелограмма AC, таким образом, образует треугольник ACD с углом C равным 150
°. Применим теорему косинусов, при этом обозначив диагональ параллелограмма как d, а  стороны параллелограмма как a и b.
Учтем, что
  cos( 150° ) = – / 2. Получим: 
d
2 = a2 + b2 – 2abcos 150° , d2 = 16 + 48 – 2 4 4 (/ 2 ) = 16 + 48 + 48 = …,   
d = 4 , AC = 4 .
Зная величину диагонали параллелограмма, найдем высоту параллелограмма. Треугольник, который образует диагональ AC
1 ( AC1С ) с основанием призмы, согласно условию задачи (призма - прямая)
hello_html_a20ca67.png

является прямоугольным. Угол C1AC по условию равен 60 градусов. Для прямоугольного треугольника тангенс угла C1AC равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть tg ( C1AC ) = C1С / AC . Учтем, что тангенс 60 градусов равен tg 60° = . 
Соответственно,
 C1С  AC tg ( C1AC ) , C1С = 4 tg 60° , C1С = 4 .
Зная высоту призмы, определим площадь ее боковой поверхности:
  S = 2ha + 2hb, 
S = 2
 4 4  + 24 = 96+ ≈ 327,31   
Ответ: 96 + 32 ≈ 327,31.

Пример 5. Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см. 
Решение:  Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора: 
a
2 + a2 = 52 , 2a2 = … , a =
Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна: h
2 + 12,5 = 42 , h2 + 12,5 = 16 ,h2 = … ,
h = .
Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания S = 2a
2 + 4ah , S = 25 + 4 ,S = 25 + 4 ,S = 25 + 4
S = 25 + 4  , S = 25 + 10≈ 51,46 см
2 . 
Ответ: 25 + 10≈ 51,46 см2 .

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, в котором высота проведенная к основанию равняется 6см. Высота призмы равняется 16 см. Найдите полною поверхность призмы если боковая грань что содержит основание треугольника - квадрат.

  2. В основании прямой треугольной призмы лежит прямоугольный треугольник
    с катетами 4 и 3 см. Найти боковое ребро призмы, если ее боковая поверхность
    равна 120 квадратных сантиметров.
     

  3. В правильной четырёхугольной призме площадь основания 36 см2, а высота 7см.
    Найти диагональ призмы и площадь полной поверхности. 

  4. Основанием прямой призмы ABCD A1B1C1D1 является параллелограмм ABCD
    со сторонами 2 см и 2
    см и углом, равным 30°. Диагональ AC1 призмы образует с плоскостью основания угол в 60°. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

  5. Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 10 см, а диагональ боковой грани равна 8 см. 

3) Решить задачи:

  1. Дана прямая призма, в основании которой прямоугольный треугольник Δ АВС, В = 90º,
    ВDD 1В1 – сечение , ВD АС, АА1 = 10 см, АD = 27 см, DС = 12 см.
    Найти площадь сечения Sсеч.
    hello_html_m57d4dae2.jpg

  2. Дана прямая треугольная призма со сторонами a=5,b=12 ,c=13 см и высотой h= 8 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

  3. Основанием прямой призмы АВСА1В1С1 является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. Через ребро ВВ1 проведено сечение ВВ1D1D перпендикулярное к плоскости грани АА1С1С.

Найдите площадь сечения, если АА1 =14 см, АD =25 см, DС =36 см.

  1. Основание прямой призмы - треугольник со сторонами AB=5 и BC=12 см и углом в 90° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна S наиб.=39 см2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.hello_html_m5af2f329.jpg

  2. Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы

равно l = 12 см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной a=8 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.



Инструкционная карта

ПР № 10«Вычисление элементов пирамиды, правильной пирамиды, усеченной пирамиды.».

Задание:

1) Перепишите и заполните пропуски:
Пример 1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 8см, а радиус описанной около него окружности равен 5 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 12см. Вычислить боковые ребра пирамиды. 
Решение: В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на его гипотенузе. Соответственно, AB = 10 см, AO = 5 см. 
Поскольку высота ON = 12 см, то величина ребер AN и NB равна
 
AN
2 = AO2 + ON2 , AN2 = 52 + 122 = …, AN = = …. 
Поскольку нам известна величина AO = OB = 5 см и величина одного из катетов основания (8 см), то высота, опущенная на гипотенузу, будет равна
  CB2 = CO2 + OB2 , 64 = CO2 + 25 , CO2 = 39 ,
CO = . Соответственно, величина ребра CN будет равна :CN2 =  CO2 + NO2 , CN2 = 39 + 144 = …,
CN = .
Ответ: 13, 13 , .
hello_html_3a511f3b.png

Пример 2. Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 16 корней из 3 см2 (16). Вычислить периметр основания пирамиды. 
Решение
: Правильный треугольник - это равносторонний треугольник. Соответственно, боковая грань пирамиды представляет собой равносторонний треугольник. 
Площадь равностороннего треугольника равна:
 . 
Соответственно:
 16 = a2 / 4 , 16 = a2 / 4 , a2 = 64 ,a = … см .
Основанием правильной треугольной пирамиды является правильный (равносторонний) треугольник. Таким образом, периметр основания пирамиды равен
  Р = 83 = … см .
Ответ: 24 см. 

Пример 3. Высота правильной треугольной пирамиды 4 см, а ее апофемы 8 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. 
Решение:  Исходя из того, что MK = 8, MO = 4, синус угла OKM равен  MO/MK = 1/2 , откуда угол равен arcsin 1/2 = 30 °. Откуда  KO / MK = cos 30° , KO / 8 = cos 30° , KO = 8 cos 30° .
 KO = 8/2 = 4 .
Тогда по свойству равностороннего треугольника
  КО = r = a/6. 4 = a /6 , a = 24. 
Теперь, зная размер основания боковой грани и ее апофему, найдем площадь боковой грани как площадь равнобедренного треугольника:
 Sт = 1/224 8 = 12 8 = … см2 .
Откуда площадь боковой поверхности пирамиды
 S = 3 Sт = 3 96 = … см2 . 
Ответ: 288 см2.

Пример 4. Высота и сторона основания правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 24 и 14. найдите апофему пирамиды. 
Решение: Поскольку пирамида правильная, то в ее основании лежит правильный четырехугольник - квадрат. Кроме того, высота пирамиды проецируется в центр квадрата. Таким образом, катет прямоугольного треугольника, который образован апофемой пирамиды, высотой и отрезком, их соединяющим, равен половине длины основания правильной четырехугольной пирамиды.  Откуда по теореме Пифагора длина апофемы будет найдена из уравнения:  72 + 242 = x2 , x2 = …,  x = ….  Ответ: 25 см .
hello_html_m105d4bfc.png

Пример 5. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 3, h = 4, a1= 16 , a2= 10 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: r1= a1 / 2  = 16  : 2  = 16 : 2 = …, r2= a2 / 2  = 10  : 2  = 10 : 2 = … ,

l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 42 + (5 8)2 = 16 + 9 = …, l = … Sn =  /4 (a12 + a22) + 1,5 l(a1 + a2) .

Sn =  /4 ((16 )2 + (10 )2) + 1,5 5(16  + 10 ) =  /4 (768 + 300) + 1,5 5 = =267 + 195  =   .

Ответ: 462 

Пример 6. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 3, a1= 16, a2= 8 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: r1= a1 / 2= 16: 2= …, r2= a2 / 2= 8  : 2  = …,

l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 32 + (4 8)2 = 9 + 16 = …, l = ….

Sn = (a12 + a22) + 2 l(a1 + a2) .Sn = (162 + 82) + 2 5(16 + 8) = 320 + 240 = … .

Ответ: 560

Пример 7. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 6, h = 2, a1= 2 , a2= 6 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: r1= a1 / 2  = 2  : 2  =  , r2= a2 / 2  = 6  : 2  = 3 ,

l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 22 + ( )2 = 4 + 12 = …, l = ….

Sn =3  /2 (a12 + a22) + 3 l(a1 + a2) .Sn =3  /2 (22 + 62) + 3 4(2 + 6) = …   + .

Ответ: 60   + 96

Пример 8. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 3, r1=2, r2= 6 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

Решение: l2 = h2 + (r2 r1)2, l2 = 32 + (6 2)2 = 9 + 16 = …, l = ….

Sn = 4 (r12 + r22) + 4 l(r1 + r2) . Sn = 4 (22 + 62) + 2 5(2 + 6) = 160 + 80 = … .

Ответ: 240.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 16 см, а радиус описанной около него окружности равен 10 см. Основанием высоты этой пирамиды является середина гипотенузы. Высота пирамиды равна 24 см. Вычислить боковые ребра пирамиды. 

  2. Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 64 корней из 3 см2 (64). Вычислить периметр основания пирамиды. 

  3. Высота правильной треугольной пирамиды 8 см, а ее апофемы 16 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. 

  4. Высота и сторона основания правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 24 и 20. Найдите апофему пирамиды. 

  5. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 3, h = 8, a1 = 14 , a2 = 2 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  6. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 8, a1 = 16, a2 = 4 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  7. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 6, h = 2, a1 = 4 , a2 = 8 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

  8. Дано: усеченная правильная пирамида, n = 4, h = 3, r1 = 5, r2 = 9 . Надо найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды .

3)Решить задачи :hello_html_m3eb51a34.png

  1. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна AB=15 см, а одна из диагоналей равна BD = 18 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота ее проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна

SO = .

  1. Дана правильная четырехугольная пирамида со стороной основания a=12 см и
    высотой
    h=8 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
    hello_html_m3367cdaa.jpg

  2. Дана пирамида со сторонами основания a = 10,b = 24,c = 26 см и апофема равна l=10 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

  3. Дана пирамида со сторонами основания a=10,b=13,c=13 см и высотой h2=. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.hello_html_m1aa89a30.jpg

  4. Дана усеченная правильная треугольная пирамида со сторонами
    a1 = 26 и а2 = 14 см и высотой h = 8 см. Найдите площадь полной поверхности усеченной пирамиды.

Инструкционная карта

ПР № 11 «Построение фигур с помощью симметрии».
Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. а)Может ли фигура иметь более одного центра симметрии?

Ответ: Да, например, прямая, плоскость и т.д. имеют бесконечно много центров симметрии.

б) Приведите примеры центрально-симметричных фигур.
Ответ: Центрально-симметричные: куб, прямоугольный параллелепипед, шар и др.;

Пример 2.а) Построить точки А1 и А2 симметричные относительно точки О,

б) Построить треугольники АВС и А1В1С1 симметричные относительно точки О,
Ответ: а) б)

hello_html_27d1ce35.gif

hello_html_2c7a64c8.gif







Пример 3. а) Построить точки А1 и А2 симметричные относительно прямой а.

б) Построить прямоугольники симметричные относительно прямой b.
Ответ: а) б)
hello_html_me2c259c.gif

hello_html_73eae775.gif


Пример 4. Найди подходящую правую часть робота.

hello_html_m69d1ea91.gifhello_html_m43e930ed.jpg

Ответ:2 и 5; 1 и …; … и 4.

Пример 5. Можно ли назвать ножницы симметричной фигурой?

Ответ: Да.

Пример 6. На рисунке укажите буквы латинского алфавита имеющие одну ось симметрии;

hello_html_m79939fd7.png

Ответ: A, …, …, D, …, …, .., U, V, W, Y;

Пример 7. Построить рисунок.

hello_html_17f4ab15.jpg

а

Пример 8. Сколько осей симметрии имеет прямоугольный параллелепипед, гранями которого не являются квадраты?hello_html_76dbeb1f.png

Ответ: 3.hello_html_18121dc3.png

Пример 9. Сколько плоскостей симметрии имеет правильная шестиугольная призма?

Ответ:7.

Пример 10.

Тест по теме «Зеркальная симметрия в призме ».

1)Сколько плоскостей симметрии имеет правильная четырехугольная призма?

а)2 б)4 в)3 г)5 д)12,

2)Сколько плоскостей симметрии имеет прямая призма, в основании которой лежит прямоугольник?

а)2 б)3 в)1 г)4 д)8,

3)Сколько плоскостей симметрии имеет правильная треугольная призма?

а)4 б)3 в)1 г)2 д)5.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. а)Может ли фигура иметь ровно два центра симметрии?

б)Приведите примеры не центрально-симметричных фигур.

  1. а) Построить точки В1 и В2 симметричные относительно точки О,

б) Построить прямоугольные треугольники АВС и А1В1С1 симметричные относительно точки О,hello_html_m575e1189.png

  1. а) Построить точки В1 и В2 симметричные относительно прямой а.

б) Построить квадраты симметричные относительно прямой b.hello_html_m3970ee64.jpg

  1. Дорисуй рисунки так, чтобы они стали симметричными.

  2. Можно ли назвать стрекозу насекомым, у которого имеется ось симметрии?

  3. На рисунке укажите буквы латинского алфавита имеющие две оси симметрии;

hello_html_m79939fd7.png

  1. Построить рисунок.

hello_html_3cfea8dd.jpgа аhello_html_m304f2795.jpg

  1. Сколько осей симметрии имеет прямоугольный параллелепипед, две грани которого являются квадратами?

  2. Сколько плоскостей симметрии имеет прямоугольный параллелепипед, гранями которого не являются квадраты?

  3. Определить фигуры:1) обладающие центральной симметрией и указать их центр;
    2) обладающие осевой симметрией и указать ось симметрии;3) имеющие обе симметрии.




3)Решить задачи :

  1. Какие две цифры при центральной симметрии переходят одна в другую?

  2. Даны слова: ЛЕС, ОНО, ОКО, ПНИ, СЫР. Какие из них при центральной симметрии переходят сами в себя?

  3. Одно число очень любило любоваться своим отражением в зеркале. Однажды мимо проходил гном и увидел в зеркале число 18. Какое число смотрелось в зеркало?

  4. Приведите примеры зеркальной симметрии в природе.

  5. Приведите примеры симметрии в живой природе.

  6. Приведите примеры осевой и центральной симметрия в растительном мире.

  7. Сколько осей симметрии имеет прямоугольник?





  1. Построить фигуру, симметричной данной относительно оси симметрии.

hello_html_675df776.png


  1. Построить фигуру, симметричной данной относительно точки .

hello_html_ba2bd7e.gif

  1. Укажите оси симметрии: а) прямоугольника; б) квадрата.

hello_html_m43d30e22.gif


  1. Сколько осей симметрии имеет правильный шестиугольник?

hello_html_m182ed06f.png


  1. Изобразите треугольник ABC, симметричный треугольнику ABC, относительно прямой c.

а) б)

hello_html_3e4e60ee.pnghello_html_m12c7999c.png












  1. Треугольник ABC симметричен треугольнику ABC относительно некоторой прямой c. Изобразите эту прямую.

а) hello_html_2f13032b.png б) hello_html_m1cd5de4f.png

  1. Сколько осей симметрии имеет шестиугольник, изображенный на клетчатой бумаге, клетками которой являются квадраты?

hello_html_m595f5a19.png









  1. Сколько осей симметрии имеет восьмиугольник, изображенный на клетчатой бумаге, клетками которой являются квадраты?

hello_html_7b57a1eb.png








  1. Верно ли высказывание: правильная четырехугольная пирамида имеет четыре плоскости симметрии?

hello_html_m6929a8d3.gif

Инструкционная карта

ПР № 12 «Вычисление элементов цилиндра».
Задание:

  1. Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого равна 17 см, высота цилиндра равна 15 см., а радиус основания 5 см. На каком расстоянии от оси проведено это сечение? 
Решение. Сечение цилиндра в плоскости представляет собой прямоугольник. Таким образом, BM также представляет собой высоту цилиндра. Треугольник BMK - прямоугольный. Таким образом, можно найти длину стороны MK = BC:
BK
2 = BM2 + MK2 , MK2 = BK2 - BM2 ,MK2 = 172  152 = …, MK = … 
Таким образом, MK = BC = 8 см.
 
AD - диаметр цилиндра, проведенный как сечение, параллельное заданному в условии задачи. BC - прямая, принадлежащая сечению, параллельному оси цилиндра. Поэтому ABCD - трапеция. Если трапеция равнобедренная, то вокруг нее можно описать окружность. Таким образом, ABCD - равнобедренная трапеция. Найдя высоту трапеции, получим расстояние от проведенного по условию задачи сечения до оси цилиндра.
AD = 2R = 2 5 = … см,
 OC = OD = R = 5 см .
В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой - полуразности оснований. Таким образом,
 
AN = DP = ( 10
8 ) / 2 = … см , тогда OP = OD DP = 5 – 1 = … см .
Треугольник CPO - прямоугольный, так как CP - высота трапеции. Откуда
 
CP
2 + OP2 = OC2 ,CP2 = OC2 OP2, CP2 = 52  42 ,CP2 = 25 16 = …,
CP = … . 
Ответ: Проведенное сечение цилиндра находится на расстоянии 3 см от его оси.
hello_html_m518413cd.pnghello_html_m49b1fd63.png

Пример 2. Найдите радиус цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 8см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30 градусов.  hello_html_2a26c44d.png

Решение:

Поскольку AC = 8 см, а угол ACD = 30°, то 
CD = AC cos 30°  . CD = 8  /2 = 4. Аналогично,  AD = AC sin 30° , AD = 8 1/2 = 8 : 2 = … , 

Откуда радиус основания цилиндра равен R = 4 : 2 = … см. hello_html_1ffef818.jpg

Ответ:  2 см.

Пример 3. Высота цилиндра 20см, радиус основания 10см. Найдите площадь сечения, проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии 6см от неё.

Решение:

r = 10, d = 6, АС 2 = r2d2 = 102 – 62 = 100 – 36 = …,

АС =…, АВ1 = 2АС = 2 8 = … ,

Sсеч. = АВ1 h , h = 20, Sсеч. = 16 20 = …

Ответ:  320 см2 .

Пример 4. Найдите высоту цилиндра, если радиус основания 5см и площадь сечения равна 128 см2 , проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии 3см от неё.

Решение: : r = 10, d = 6, АС 2 = r2d2 = 52 – 32 = 25 – 9 = …,

АС =…, АВ1 = 2АС = 2 4 = … ,

h = Sсеч. : АВ1 = 128 : 8 = …

Ответ: 16 см.

Пример 5. Дано: цилиндр, АВ1 = 16 см, B1AB = 30° (рис.).Найти: hRосн. 

Решение:hello_html_m41d996ff.jpg

1) hк. = BB1;

2)Из ΔАВВ1 находим AB: AB = 16 cos 30° = 16 /2 = 8
R = 1/2 AB = 8 : 2 = 4 .

3) Из ΔВ1АВ находим BB1: BB1 = 16 sin 30 ° = 16 1/2 = 16 : 2 = … см.

Ответ: = 8 см; R = 4 см.

  1. Решить задачи ( по примерам):

  1. В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого равна 34 см, высота цилиндра равна 30 см., а радиус основания 10 см. На каком расстоянии от оси проведено это сечение?

  2. Найдите радиус цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 16 см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30 °

  3. Высота цилиндра 20см, радиус основания 15 см. Найдите площадь сечения, проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии 12 см от неё.

  4. Найдите высоту цилиндра, если радиус основания 13 см и площадь сечения равна 144 см2 , проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии 5 см от неё.

  5. Дано: цилиндр, АВ1 = 8 см, B1AB = 30° (рис.). Найти: hRосн.

3)Решить задачи :hello_html_1ffef818.jpg

  1. Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, стороны которого диаметр и образующая цилиндра соответственно. Диагональ осевого сечения цилиндра равна АС = 24 см. Угол α между этой диагональю и диаметром цилиндра равен 30°. Найдите высоту, радиус, площадь основания цилиндра.

  2. Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота-h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите h, если r = 5, d = 4, АВ = 10 см.

  3. Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота-h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите d, если r = 10, h = 5, АВ = 13 см.

  4. Диагональ осевого сечения цилиндра равна см, а радиус основания – 3 см. Найдите высоту цилиндра.

  5. Плоскость , параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу AmD с градусной мерой . Радиус цилиндра равен a, высота равна h, расстояние между осью цилиндра ОО1 и плоскостью равно d. hello_html_45b595c1.gif

1) Докажите, что сечение цилиндра плоскостью есть прямоугольник.

2) Найдите AD, если a =10 см, = 60.

  1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна см, а высота – 5 см. Найдите радиус цилиндра.

  2. В цилиндре параллельно его оси проведено сечение. Диагональ сечения, равная 16, составляет угол 60° с плоскостью основания. Радиус основания цилиндра равен 5. Найдите расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.

  3. Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, а его образующая – 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Найти угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

  4. В цилиндре проведена плоскость, параллельная оси и отсекающая от окружности основания дугу в 120°. Диагональ сечения равна 20 см и удалена от оси на 3 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

  5. Осевое сечение цилиндра - квадрат, площадь основания цилиндра равна 16π см2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

  6. Высота цилиндра 8 дм, радиус основания 5 дм. Цилиндр пересечен плоскостью параллельно оси так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от этого сечения до оси цилиндра.

  7. Дано: цилиндр; CBD = 120°; CD1 = 20 см; OK = 3 см. Найти: Sб.п.ц.hello_html_361456b7.jpg

  8. Плоскость, проходящая через центр нижнего основания цилиндра под углом α к основанию, пересекает верхнее основание по хорде, равной b и стягивающей дугу β. Найдите высоту цилиндра.

  9. Отрезок CD равен 25 см, его концы лежат на разных окружностях основания цилиндра. Найдите расстояние от отрезка CD до основания цилиндра, если его высота 7 см, а диаметр основания 26 см.



Инструкционная карта

ПР № 13 «Вычисление элементов конуса, усеченного конуса».
Задание:

  1. Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Осевое сечение конуса равносторонний треугольник со стороной 10см. Найти радиус основания и высоту конуса.
Решение:  Так как ΔАВС - равнобедренный, то АВ = ВС = АС = 10 см. r = АС : 2 = 10 : 2 = … ,
Из ΔВОС по теореме Пифагора: h2 = OB2 = BC2OC2, h2 = 102 – 52 = 100 – 25 = …, h = = 5

Ответ: r = 5 см, h = 5
Пример 2. Дано: конус, ОР = 15 см, ОВ = r = 8 см (рис.). Найти: РВ. 
Решение: Из ΔОРВ по теореме Пифагора:PB2 = PO2 + OB2,
PB2 = 152 + 82 = 225 + 64 = … , PB = …
hello_html_m6d6bd24b.jpg

Ответ: 17 см.

Пример 3. Дано: Конус, ABC = 120°, АВ = 6 (рис.). Найти: R, h. hello_html_m6bcb7613.jpg

Решение:1) ΔАВС - равнобедренный, угол при основании  С = 30°.

  1. Из ΔАВО : h = ВО = AB : 2 = 6 : 2 = ... 

  2. R = AO = AB · cos 30° = 6 ·  : 2 = … .
    Ответ: H = 3, R = 3.

Пример 4. Дано: Конус. ΔАВС - равносторонний, АВ = 12, = 10 (рис.). Найти: OK, h. hello_html_m2d0d5103.jpg

Решение: 1)Из ΔВОС по теореме Пифагора: h2 = OB2 = BC2OC2, h2 = 122 – 102 = =144 – 100 = …, h = = 2

2)ΔABC - равносторонний, АС = 12, СК = 6. Из ΔСОК по теореме Пифагора
ОК
2 = ОС2 – СК2, ОК2 = 102 – 62 = 100 – 36 = …, OK = ...

Ответ: h = 2, ОК = 8.

Пример 5. Дано: конус, h = OP = 1,2 см, Sосев. = 0,6 см2 (рис.). Найти: l.hello_html_28ad1e01.jpg

Решение:

  1. Осевое сечение - треугольник: высота 1,2 см и основание 2r.

Sосев. =  · 2r h = r h, r = Sосев. : h = 0,6 : 1,2 = … см.

  1. Из ΔАОР по теореме Пифагора: l2 = h2 + r2  = OP2 + OA2. l2 = 1,22 + 0,52 = 1,44 + 0,25 = …, l = … см.

Ответ: 1,3 см.

Пример 6. Дано: усеченный конус, O1С = 3см, OD = 6 см, OO1 = 4 см (рис. ). Найти: So.сеч., CD . hello_html_m28dc10d1.jpg

Решение: Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция. Sсеч.= (BC + AD ) · OO1 : 2 ,
BC = 2O
1C = 2 · 3 = … см. AD = 2 OD = 2 · 6 = … см .
S
сеч.= (6 + 12 ) · 4 : 2 = 18 ·  2 = … см2,

ΔCKD - прямоугольный, по теореме Пифагора:
CD
2 = CK2 + KD2, CK = OO1 = 4 см, KD = OD – OK = OD – O1C = 6 – 3 = … см. CD2 = 42 + 32 = 16 + 9 = … ,CD = …

Ответ: Sсеч. = 36 cм2, CD = 5 см. hello_html_m5f94854e.jpg

Пример 7. Дано: усеченный конус, r 1 = 5 см, r 2 = 11 см, CD = 10 см,
Найти:
 So.сеч., h.
Решение: Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция.
Sсеч.= (BC + AD ) · OO1 : 2 , BC = 2O1C = 2 r 1= 2 · 5 = … см.
AD = 2 OD = 2
r 2 = 2 · 11 = … см .
ΔCKD - прямоугольный, по теореме Пифагора: CD2 = CK2 + KD2,
KD = OD – OK = OD – O1C = r2 r 1= 11 5= … , h = OO1 = CK, CK 2 = CD2 – KD2,
CK2 = 102 – 62 = 100 – 36 = … , CK = … , h = 8 см, Sсеч.= (10 + 22 ) · 8 : 2 = 32 · 4 = … см2. Ответ: Sсеч. = 128 cм2h = 8 см.

Пример 8. Дано: усеченный конус, АС = 40 см, AC  CDCD = 30 см (рис. ). Найти: Sсеч.. 

Решение: Сечение усеченного конуса является равнобедренная трапеция
 
Sсеч.= (BC + AD ) · OO1 : 2 ,

ΔADC - прямоугольный, по теореме Пифагора: AD2 = AC2 + CD2, AD2 = 402 + 302 = 1600 + 900 = … , AD = … см. Так как СН - высота прямоугольного треугольника, то СН2 = АН · HD.

ΔCHD - прямоугольный; CH2 = CD2HD2 , HD = ADAH = 50 – AH, АН · HD = CD2HD2,
AH · ( 50 AH ) = 900 – ( 50 AH)2 , 50AHAH2 = 900 – 2500 + 100 AHAH2, 50 AH = 1600, AH = … см. HD = 50 – 32 = … , OD = AD : 2 = 50 : 2 = … см , OH = OD – HD = 25 – 18 = … см, CH2 = 32· 18, CH = 24 см, Sсеч.= (2OH + 2OD ) · CH : 2 = (14 + 50) · 24 : 2 = … см2,

Ответ: Sсеч. = 768 см2.

Пример 9. Дано: усеченный конус, O1С = 16 см, OD = 25 см. Окружность, вписанная в сечение (осевое) (рис. ). Найти: Sсеч... hello_html_658e6bdc.jpg

Решение:  Осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция. Так как в трапецию вписана окружность, то O1С = CF = 16 (см) и OD = DF = 25 (см)
(как отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки).
CD = CF + DF = 16 + 25 = … см, HD = OD O1C = 25 – 16 = … ,
ΔCHD - прямоугольный:  CH2 = CD2HD2, CH 2 = 412 – 9 2 = 1681 81 = … , CH = … см.

Sсеч. = (OD O1C) CH = (16 + 25) 40 = 41 40 = …

 Ответ: Sсеч..  = 1640 см2.

Пример 10. Дано: усеченный конус, r 1 = 3 см, r 2 = 6 см, h = 4 см, Найти: l.
Решение:
  l2 = h2 + (r2r1)2 , l2 = 42 + ( 6 3)2  = 16 + 9 = … , l = … см.
Ответ:
l = 5 см.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Осевое сечение конуса равносторонний треугольник со стороной 8 см. Найти радиус основания и высоту конуса.

  2. Дано: конус, ОР = 12 см, ОВ = r = 9 см (рис.). Найти: РВ. 

  3. Дано: Конус, ABC = 120°, АВ = 8 (рис.). Найти: R, h. 

  4. Дано: Конус. ΔАВС - равносторонний, АВ = 24, = 20 (рис.). Найти: OK, h.

  5. Дано: конус, OP = 2,4 см, Sосев. = 2,4 см2 (рис.). Найти: l.

  6. Дано: усеченный конус, O1С = 6 см, OD = 12 см, OO1 = 8 см (рис. ). Найти: So.сеч., CD. 

  7. Дано: усеченный конус, r1 = 3 см, r2 = 11 см, CD = 10 см, Найти: So.сеч., h.

  8. Дано: усеченный конус, АС = 20 см, AC  CDCD = 15 см .Найти: Sсеч.. 

  9. Дано: усеченный конус,  O1С = 3см, OD = 12 см. Окружность, вписанная в сечение (осевое). Найти: Sсеч.. hello_html_m3219ea58.jpg

  10. Дано: усеченный конус, r 1 = 3 см, r 2 = 9 см, h = 8 см, Найти: l.

3)Решить задачи :

  1. а) Высота конуса равна h = 24 см, а радиус основания равен r = 10 см. Найдите образующую конуса l.hello_html_775d711f.jpg

б) Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник Δ АВС. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен r = 6 см.

в) Радиусы оснований усеченного конуса равны r 1 = 6 и r 2 = 11 см, а образующая равна l = 13 см. Найдите высоту и площадь осевого сечения усеченного конуса, если его осевое сечение-трапеция.hello_html_m45781634.jpg

г) Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой α. Найдите α , если его радиус основания равен 6 см, а образующая равна 20 см.hello_html_1754fa31.jpg

д) Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой α. Найдите радиус основания конуса, если α = 90°, а образующая равна 12 см.

  1. Образующая конуса l наклонена к плоскости основания под углом в 30°. Найти высоту конуса и площадь осевого сечения.

  2. Радиус основания конуса равен 3 м, а высота 4 м. Найти образующую и площадь осевого сечения.hello_html_415082a2.jpg

  3. Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 90°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

  4. Дано: конус; SO = 6 см; ASB = 90°; CSD = 35°.Найти: S6.п.конуса.

  5. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, длина которой равна 5 см, и стягивающей дугу 90°. Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

  6. Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см.
    Найдите образующую конуса.

Инструкционная карта

ПР № 14 «Вычисление элементов сферы».hello_html_m6a79015f.jpg

Задание:

  1. Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Дано: шар, BAO = 30°Sсеч. = 75π см2 (рис. ). Найти: АС. 

Решение: S сеч. =r2 , 75 = r2 , r2 = …, r = 5 , AO1= 5 .
Из ΔАО
1О: cos 30° = AO1 / AO , AO = / () = 5 2 = … см.

AC = 2 · AO = 2 · 10 = … см. hello_html_65ab0256.jpg

Ответ: 20 см.

Пример 2. Дано: Rш. = 8 смOAB = 45° (рис.).Найти: Sceч

Решение: S сеч. =r2 , cos 45° = AO1 / AO , AO1 = r = 8 · : 2 = … ,

S сеч. = 16 · 2 = … см2.

Ответ: 32π см2.

Пример 3. Дано: шар с центром в точке О, Sсеч. = 16π см2, расстояние от точки О до сечения OA=3 см (рис. ). Найти: Sсф. hello_html_35dd295d.jpg

Решение: S сеч. =r2 = 16 π, r2 = 16, r = … . 

Рассмотрим ΔОАВ : OA = - расстояние, значит, = 90°.

OB2 = R2 = r2 + OA2 = 42+ 32 = 16 + 9 = …, S сф. =R2 = 4π 25 = … π см2

Ответ: 100π см2.

Пример 4. Сколько кожи пойдет на покрышку футбольного мяча радиуса 10 см? (На швы добавить 8% от площади поверхности мяча.)

Решение: S сф. =R2 = 4π102 = 4100 π = … π см2.

1 способ.

1% составляет 0,01 400 π = 4 π см2.

8% составляет 84 π = 32 π см2. S = 400 π + 32 π = … π 1357 см2.

2 способ. 8% составляет 1,08 400 π = 432 π см2.

Ответ: 432π см2.

Пример 5. Дано: сфера с центром в точке О, АВ  CD, АВ - диаметр сечения, hello_html_68cdf4b6.jpg

CD - диаметр сечения MN – общая хорда. MN = 6 см, ОК = 4, ОО1 = ОО2 (рис.). Найти: Sсф. 

Решение: Рассмотрим прямоугольный ΔONK с OKN = 90°;

NK = MN : 2 = 3см, NO2 = R2 =  OK2 + NK2 = 32 + (4)2 = 9 + 32 = …,

S сф. =R2 = 4π41 = … π см2.

Ответ: 164π см2.

Пример 6. Дано: сфера с центром в точке О и радиусом Rr1 и r2 - радиусы параллельных сечений сферы, r1 = 9 см, r2 = 12 см, l = 3 см - расстояние между секущими плоскостями (рис.). Найти: Sсф. hello_html_1a919b33.jpg

Решение: Проведем диаметры перпендикулярно к данным параллельным сечениям. Через диаметр проведем секущую плоскость, которая пересечет сферу по окружности, радиус которой равен радиусу сферы 

ND = r1 = 9см, MB = r2 = 12 см, NM = 3 см, OD = ОВ = R в ΔOВМ:

OM2 = R2 – 122 = R2 – 144, в ΔODN: ON2 = R2 – 92 = R2 – 81,

MN = NO – MO = – , – = 3,

= 3 + , R2 – 81= 9 + 6 + R2 – 144, 6 = 54 , = 9, R2 – 144 = 81, R2 = 144 + 81 , R2 = 225, R = …, S сф.=R2 = 4π152 = 4π 225 = … π см2. Ответ: 900π см2.

Пример 7. Стороны треугольника 13, 14, 15 см. Найти расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника. Радиус шара 5 см.

Решение:

  1. Рассмотрим треугольник АВС со сторонами 13, 14, 15 см

S=, p = ; p = = 42 : 2 = (см)

S== 84 (см)

  1. SАВС = pr , где r – радиус вписанной окружности. S= 21r , 84 = 21r r = … см


  1. h = Rr - т. Пифагора, h = = … (см). Ответ: h = 3 (см)

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Дано: шар, BAO = 30°; Sсеч. = 48π см2 (рис. ). Найти: АС.

  2. Дано: Rш. = 10 см, OAB = 45° (рис.).Найти: Sceч. 

  3. Дано: шар с центром в точке О, Sсеч. = 25π см2, расстояние от точки О до сечения OA= 12 см (рис. ). Найти: Sсф. 

  4. Сколько кожи пойдет на покрышку футбольного мяча радиуса 5 см? (На швы добавить 8% от площади поверхности мяча.)

  5. Дано: сфера с центром в точке О, АВ  CD, АВ - диаметр сечения, CD - диаметр сечения MN – общая хорда. MN = 8 см, ОК = 6, ОО1 = ОО2 (рис.). Найти: Sсф. 

  6. Дано: сфера с центром в точке О и радиусом Rr1 и r2 - радиусы параллельных сечений сферы, r1 = 3 см, r2 = 4 см, l = 1 см - расстояние между секущими плоскостями (рис.). Найти: Sсф.

  7. Стороны треугольника равны 5, 5, 6 см. Найдите расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника. Радиус шара равен 2,5 (см).

3)Решить задачи :

  1. В сферу вписан конус, образующая которого равна l = 3 см, а угол при вершине осевого сечения равен 60 градусов. Найдите площадь сферы. hello_html_50087654.jpg

  2. Точка М- середина отрезка АВ, концы которого лежат на сфере радиуса R с центром О.(рис.) Найдите ОМ, если R = 10 дм, АВ = 12 дм.

  3. Все стороны треугольника ABC касаются сферы радиуса R = 7 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если ВС = а = 10 см, АС = в = 10 см, АВ = с = 12 см.

  4. Сечение шара плоскостью имеет площадь 36(м). Радиус шара 10м. Найти расстояние от центра шара до плоскости сечения.

  5. На поверхности шара даны три точки, кратчайшее расстояние между которыми равно 6 см. Определить площадь сечения, проходящего через эти точки.

  6. Найдите площадь сферы, если радиус сферы равен 3 см.

  7. Найдите радиус сферы, если площадь сферы равна 16π см2.

  8. Найдите площадь центрального сечения сферы, если радиус сферы равен 5 см.

  9. Найдите расстояние от точки касания плоскости и сферы, до точки на касательной плоскости, если радиус сферы равен 5 см, а расстояние от центра сферы до точки на касательной плоскости равно 13 см.

  10. Площадь сечения проходящего через центр шара, равна 16π см2. Чему равен радиус шара?

  11. Через точку, делящую радиус сферы пополам, проведена секущая плоскость, перпендикулярная к этому радиусу. Радиус сферы равен 16 см. Найдите площадь сечения.hello_html_m10715efe.jpg

  12. Шар с центром в точке О касается плоскости в т очке В. Точка А лежит в этой плоскости, ОА = 20 см, АВ = 12 см. Найдите радиус шара.

  13. Дано: шар, AC = 4; BAO = 45°.Найти: Sсеч.

  14. Дано: шар, BAO = 30°; Sсеч. = 75π см2 .Найти: АС.

  15. Радиус шара равен 17 см. Найдите площадь сечения шара, удаленного от его центра на 15 см.

  16. Радиус сферы равен 15 см. Найдите длину окружности сечения, удаленного от центра сферы на 12 см.

  17. Сфера w проходит через вершины квадрата CDEF, сторона которого равна 18 см. Найдите расстояние от центра сферы - точки О до плоскости квадрата, если радиус сферы ОЕ образует с плоскостью квадрата угол, равный 30°.

  18. Стороны треугольника MKN касаются шара. Найдите радиус шара, если МК = 9 см,
    MN = 13 см; KN = 14 см и расстояние от центра шара О до плоскости MNK равно см.

  19. Шар радиусом 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения.

  20. Найдите площадь сферы, радиус которой равен 6 см.



Инструкционная карта

ПР № 15«Вычисление элементов тел вращения».

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:hello_html_m4f14473a.jpg

Пример 1. а)Радиус цилиндра равен 10 см. Сечение, параллельное оси цилиндра и удаленное от нее на 8 см, имеет форму квадрата. Найти площадь сечения.

Решение: 1) ABCD - квадрат. 2) АО = 10 см, ОК = 8 см. OK  AD, АК = KD.

3) ΔАКО прямоугольный. АК =  

4) AD = 6 · 2 = …. (см),5) SABCD = 122 = … (см2). Ответ: 144 см2.

б) Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 дм и образует с плоскостью основания цилиндра угол 45°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Решение: 1) ABCD - осевое сечение.2) АС = 8дм, ΔACD - прямоугольный,
AD = DC, 2AD2 = AC2, AD2 = 64·2 : 2 =… (дм), AD= …
hello_html_m7dc30bd2.jpg

3) AD = CD = h = 8 (дм). r = АО = CD : 2 = h : 2 = 8 : 2 = …,

4) S пол .= · r· ( h + r )  = · 4 · ( 8 + 4 ) = ·48 = …. Ответ: 96 дм2.

Пример 2. а) Высота цилиндра равна 16 см. На расстоянии 6 см от оси цилиндра проведено сечение, параллельное оси цилиндра и имеющее форму квадрата. Найдите радиус цилиндра.hello_html_561073fc.jpg

Решение: 1) ABCD - квадрат. 2) ОО1 = АВ = 16 см, KО1 = 6см,
так как КО
1 расстояние от ОО1 до ABCD, К - середина ВС.

3) ВС = 16 см  ВК = 16 : 2 = … см.

4). ΔВКО1 - прямоугольный.ВО1 = r, ВО1 = Ответ: 10 см.hello_html_304428aa.jpg

б) Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 дм и составляет с образующей
угол 60°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Решение: 1) ΔACD - прямоугольный, ACD = 60°  CAD = 30°.

2) Так как CAD = 30°, то CD = 1/2AC, CD = 8 : 2 = … см = h.

3) AD = r =  

4) S пол .= r ( h + r )  = ··( + 4) = …·( + 4).hello_html_43dd25de.jpg

Ответ: 4·( + 4).

Пример 3. Дано: АВ = 4 см; ВС = 3 см. Найти: Sп.п.

Решение: Sп.п. = πRl + πR2; l = см; R = 3 см.
Sп.п. = π · 3 · 5 + π · 32 = (15 + 9 )π = … (см2). Ответ: 24π см2.
hello_html_415082a2.jpg

Пример 4. Дано: конус; SO = 6 см; ASB = 90°; CSD = 35° .

Найти: S6.п.конуса.  

Решение: В ΔASВ, SO - высота и биссектриса,
тогда
 ASO = 45°  AO = SO, R = H = 6 см. 

l

Sб.п. = πRl = . Ответ: 72 π см2.

Пример 5. Дано: шар, BAO = 30°Sсеч. = 12π см2 (рис. ). Найти: АС. hello_html_m590d8763.jpg

Решение: S сеч. =r2 , 12 = r2 , r2 = …, r = 2, AO1= 2 .
Из ΔАО
1О: cos 30° = AO1 / AO , AO = = 2 2 = … см.

AC = 2 · AO = 2 · 4 = … см. Ответ: 8 см.

Пример 6. Дано: шар; Сокр.сеч. = 6π см; BAO = 60° .Найти: АС.
Решение: С = r = ,r = 6 : 2 =…, Из ΔАО1О: О1ОA = 90°60° = …; 

, Ответ: 12 см.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. а)Радиус цилиндра равен 15 см. Сечение, параллельное оси цилиндра и удаленное от нее на 12 см, имеет форму квадрата. Найти площадь сечения.

б) Диагональ осевого сечения цилиндра равна 6 дм и образует с плоскостью основания цилиндра угол 45°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

  1. а) Высота цилиндра равна 32 см. На расстоянии 12 см от оси цилиндра проведено сечение, параллельное оси цилиндра и имеющее форму квадрата. Найдите радиус цилиндра.

б) Диагональ осевого сечения цилиндра равна 6 дм и составляет с образующей
угол 60°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

  1. Дано: АВ = 8 см; ВС = 6 см. Найти: Sп.п.

  2. Дано: конус; SO = 8 см; ASB = 90°; CSD = 35° .Найти: S6.п.конуса.  

  3. Дано: шар, BAO = 30°Sсеч. = 147π см2 (рис. ). Найти: АС. 

  4. Дано: шар; Сокр.сеч. = 8π см; BAO = 60° .Найти: АС.

3)Решить задачи :

1. Осевое сечение цилиндра - квадрат, длина диагонали которого равна 36 см. Найдите радиус основания цилиндра.

2. Площадь осевого сечения цилиндра 12 дм2, а площадь основания равна 64 дм2. Найдите высоту цилиндра.

3. Отрезок CD равен 25 см, его концы лежат на разных окружностях основания цилиндра. Найдите расстояние от отрезка CD до основания цилиндра, если его высота 7 см, а диаметр основания 26 см.

4. Высота конуса равна 4см, а угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите площадь основания конуса.

5. Радиус основания конуса равен 7 см. Найдите наибольшую возможную площадь осевого сечения данного конуса.

6. Отрезок DE - хорда основания конуса, которая удалена от оси конуса на 9 см. КО - высота конуса, причем КО = 3см. Найдите расстояние от точки О (центр основания конуса) до плоскости, проходящей через точки D,E и K.

7. Сфера w проходит через вершины квадрата CDEF, сторона которого равна 18 см. Найдите расстояние от центра сферы - точки О до плоскости квадрата, если радиус сферы ОЕ образует с плоскостью квадрата угол, равный 30°.

8. Стороны треугольника MKN касаются шара. Найдите радиус шара, если МК = 9 см,
MN = 13 см; KN = 14 см и расстояние от центра шара О до плоскости MNK равно  см.

  1. На поверхности шара выбраны точки А и В так, что АВ = 40 см, а расстояние от центра шара до прямой АВ равно 15 см. Найдите площадь сечения шара, проведенного через точки А и В на расстоянии 7 см от центра шара.

  2. Плоскость, параллельная оси цилиндра, пересекает основание цилиндра по хорде, которая видна из центра этого основания под углом 30°. Диагональ образовавшегося сечения наклонена к плоскости основания под углом 60°. Радиус цилиндра равен R = 4. Найдите: а) площадь данного сечеиия;
    б) площадь осевого сечения.

  3. Осевое сечение цилиндра - квадрат, диагональ которого равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

  4. В сферу вписан конус, образующая которого равна l=5, а угол при вершине осевого сечения равен 60°. Найдите площадь сферы.

  5. Вычислите полную поверхность тела вращения, которое получается в результате вращения прямоугольника вокруг его стороны AD, если АВ = 3 см, АС = 5 см.

  6. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, отсекает от окружности основания дугу в 90°. Найдите площадь сечения, если высота цилиндра равна 6 см, а расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно 3 см.

  7. Около шара радиуса R= 6 описан правильный конус. Найдите площадь поверхности конуса.

  8. Радиус шара равен 8 см. Через конец радиуса, лежащего на сфере, проведена плоскость под углом 45° к радиусу. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.

  9. Высота конуса равна 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом в 30°. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 60°.

  10. Какая фигура образуется при вращении ΔAВС вокруг оси (достроить). Вычислите полную поверхность тела вращения, которое получается в результате вращения ΔABC вокруг его стороны АС, если АС = 8 см, ВС = 5 см.

  11. Высота цилиндра 8 дм, радиус основания 5 дм. Цилиндр пересечен плоскостью параллельно оси так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от этого сечения до оси цилиндра.

  12. Радиус сферы равен 15 см. Найдите длину окружности сечения, удаленного от центра
    сферы на 12 см.

Инструкционная карта

ПР № 16«Расчет по модели объёма прямоугольного параллелепипеда».

Задание:

  1. Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро,

перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.
Решение: Каждая грань прямоугольного параллелепипеда –прямоугольник.

Пусть SABCD= a b = 12 , тогда АА1= h = 4, т.к. АА1 АВСD

Используем формулу объема прямоугольного параллелепипеда: V = a b h , V = 12 4 = ...

Ответ: 48 см3.

Пример 2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 12. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

Решение: Пусть АА1 АВСD, V = 12 , АА1= h = 3.

Найдём SABCD. Используем формулу объема прямоугольного параллелепипеда V = a b h, где SABCD= a b, S ABCD 3 = 12,S ABCD = 12 : 3 = ...

Ответ: 4 см2.

Пример 3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.

Решение: a = 4, b = 2, d = 6. Найдем V.

Формула диагонали прямоугольного параллелепипеда:

d2 = a2 + b2 + h2 , 16 + 4 + h2 = 36, h2 = … , h = ...

Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V = abh , V = 4 2 4 = ...

Ответ: 32 см3.

Пример 4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ и высоту.

Решение: a = 3, b = 2. Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V = abh , 3 . 2 . h = 36,

6h = 36, h = ..., V = 36. Найдем d. d2 = 9 + 4 + 36, d2 = 49, d = ...

Ответ: 7 и 6 см.
Пример 5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, диагональ 
D1= 18 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани, и угол в 45° с боковым ребром (рис. ). Найти: V.
hello_html_m49e41dc8.jpg

 Решение: BC1 - проекция D1на плоскость боковой грани BB1С1С,
поэтому 
D1BC1 = 30°D1BB1= 45°.
Рассмотрим Δ
D1C1BD1C1= 90° (рис.). ∠В = 30°. => D1C1 = 18 : 2 = … см.
Рассмотрим Δ
D1B1- прямоугольный: BB1= 18 cos 45° = 18 : 2 = … см.
Диагональ (d) и измерения (а, b, с) прямоугольного параллелепипеда связаны соотношением:
d2 = a2 + b2 + h2 , 182 = 92 + (9)2 + B1C12 ,(ΔD1B1B: B1B =D1 B1).
B1C12 = 182 92 (9)2 = 324 – 8181 2 = 81, B1C1 = …см. V = 99 9 = … см3.   
Ответ:
V = 729см3.

Пример 6. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 3 и 4. Найти его объём, если высота равна длине диагонали его основания.

Решение: BD - диагональ основания прямоугольного параллелепипеда. BD2 = АВ2 + АD2,
BD2 = 32 + 42 = 9 + 16 = …, BD = …, h = 5. V = 345 = … см3.
Ответ:
60 см3.

Пример 7. Найти объём прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания 2 и 3, а диагональ параллелепипеда .

Решение: d2 = a2 + b2 + h2 , ()2 = 22 + 32 + h2 , h 2 = 38 – 49 = 25, h = ...

V = 23 5 = … см3.
Ответ: 30 см3.

2)Решить задачи ( по примерам):

  1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 15. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 6. Найдите объем параллелепипеда.

  2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

  3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 4. Диагональ параллелепипеда равна 13. Найдите объем параллелепипеда.

  4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 6. Объем параллелепипеда равен 108. Найдите его диагональ и высоту.

  5. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, диагональ  D1= 12 составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани, и угол в 45° с боковым ребром. Найти: V.

  6. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 6 и 8. Найти его объём, если высота равна длине диагонали его основания.

  7. Найти объём прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания 4 и 6, а диагональ параллелепипеда .

3)Решить задачи :

1. Объём параллелепипеда равен 60 см3.

Вычислите и проставьте недостающий размер.

? 4 смhello_html_m5cd8b5bc.png

5 см

2. Каковы измерения параллелепипеда на рис. б), сложенного из 3 одинаковых брусков, изображённых на рис. а). Каков его объём?

3. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3 см, 5 см и 8 см.

а) 120 см3; б) 60 см3; в) 32 см3; г) другой ответ.

4. Длина прямоугольной комнаты в 2 раза больше ширины и на 2 м больше высоты. Найдите объем комнаты, если ее длина равна 6 м.

а) 432 м3; б) 144 м3; в) 72 м3; г) другой ответ.

5. Найдите объем куба, если площадь его развертки равна 96 см2.

а) 16 см3; б) 64 см3; в) 80 см3; г) другой ответ.

6. Найдите ребро куба, если его объем равен  512  м3

а) 4 м; б) 8 м; в) 16 м; г) другой ответ.hello_html_m115c4d1e.jpg

7. Как изменится объем параллелепипеда, если его длину увеличить в 4 раза, ширину увеличить в 6 раз, а высоту уменьшить в 8 раз?

а) увеличится в 3 раза; б) уменьшится в 12 раз; в) не изменится; г) другой ответ.

8. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1; 0,5 и 16. Найдите ребро равновеликого ему куба.

9. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1,5. Найдите объем параллелепипеда. hello_html_54b46307.png

10.Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 5. Найдите объем параллелепипеда.

11. Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед. B1= 10 .

Найти: V.

12. По готовым чертежам найти: V.hello_html_m523d2727.jpg

а) б) hello_html_763e6c8a.jpg





13. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2,5 см, 5 см, 5 см. Найти ребро куба, объем которого в два раза больше объема данного параллелепипеда.

14.Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям,

равным 3 см, 4 см, 5 см. 

15.Найдите площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через ребро АВ и середину ребра В1С1, если ребро куба равно 2 см.

16.Найдите площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через

ребра АВ и C1D1, если ребро куба равно 3 см. 

17.Найти боковую поверхность прямоугольного параллелепипеда, если его высота h,

площадь основания Q, а площадь диагонального сечения М.

4) Выполнить расчет по модели прямоугольного параллелепипеда:
измерить длину, ширину, высоту и найти объем.

Инструкционная карта

ПР № 17 «Вычисление объёма прямой призмы. Вычисление объёма цилиндра».

Задание:

  1. Перепишите и заполните пропуски:

Вычисление объёма прямой призмы. hello_html_m47ca6280.jpg

Пример 1. Дано: АВСА1В1С1 - прямая призма, АС = ВС, ACB = 90°BN NACNC1 = 45°CC1 = 6 (рис.). Найти: V. Решение: V = Sh , S = BC2 : 2, BC2 = BN2 + CN2 , BN =CN
(
ΔABC – прямоугольный,AC =BC), ΔC1CN – прямоугольный,CNC1 = 45°
CC1 = CN= 6, BC2 =2CN2 = 2 62 = 236 = …, BC = 6 ,
V = (62 6 : 2 = 36 6 = … см3.    
Ответ:216см3.     Пример 2. Дано: ABCDА1В1С1D1 - прямая призма,  ABCD - ромб, BAD = 60° (рис.). ВВ1 = 2, B1DB = 45°. Найти: V. РешениеSp = AB AD sin 60°. ΔABD – равносторонний( AB = AD,BAD = 60° ).
AB = BD = AD. ΔB1DB –прямоугольный ,
B1DB = 45°. => ΔB1DB – равнобедренный, ВВ1 = ВD = 2,
V = AB AD sin 60° BB1= BB13 sin 60° = 23 / 2 = … см3.
hello_html_6c1a9bbb.jpg

Ответ: 4 см3

Пример 3. Дано: ABCDFM...M1 - правильная шестиугольная призма. AD1 = 8 см - наибольшая диагональ.AD1= 30°(рис.).hello_html_72355ff0.jpg

Найти: V. 
Решение: V= S0 · h. h = DD1