Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Практические работы по геометрии по теме "Объем многогранников"

Практические работы по геометрии по теме "Объем многогранников"


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1

Объём куба и прямоугольного параллелепипеда.

Цель: закрепить навык решения практических задач на вычисление объёмов куба и прямоугольного

параллелепипеда.

Теоретическая часть

Уhello_html_64eb2d8d.jpg параллелепипеда 8 вершин, 12 ребер и 6 граней.

  • Каждая грань параллелепипеда - прямоугольник.

  • Противоположные грани параллелепипеда равны.

Каждый параллелепипед имеет три измерения: длину, ширину и высоту.
Среди всех параллелепипедов особую роль играет - куб.

Куб - это такой параллелепипед, у которого все ребра равны, поэтому все его грани - квадраты.

За единицу измерения объема принимается объем единичного куба, т.е. объем куба, длина ребра которого равна 1 единице длины.

1 кубический сантиметр (1 cм3) - объем куба, длина которого равна 1 см.
1 кубический дециметр (1 дм3) - объем куба, длина которого равна  1 дм.
1 кубический метр (1 м3) - объем куба, длина которого равна 1 м.


hello_html_2f48fe64.png

Теорема: объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями а, b, с вычисляется по формуле

hello_html_6cd1638c.png, V = Sосн hello_html_m1c1a597f.gif h.

Теорема: объем наклонного (любого) параллелепипеда равен произведению площади основания S на высоту h:

hello_html_199f9ed1.png.

Объем куба равен кубу (третьей степени) его ребра. V = a3

Пример 1. Найдите объем параллелепипеда, измерения которого равны 6 мм, 10 мм и 15 мм.

Решение: 6 x 10 x 15 = 900 (мм3).


Пример 2. Найдите объем куба, ребро которого равно 5 дм.
Решение: 53 = 5 x 5 x 5 = 125 (дм3).
Заметим, что единица объема, равная одному кубическому дециметру, имеет и другое название - литр. В литрах обычно измеряют объемы жидкостей и сыпучих веществ.


Выполните задания

1 вариант

1 уровень

1. Выразите: а) в кубических дециметрах: 1 м3; 1 литр.

б) в кубических сантиметрах: 1 дм3; 1 м3.

2.Ответьте «да» или «нет».

а) Р = (а + b)hello_html_m1c1a597f.gif2

периметр прямоугольника

в) V = аhello_html_m438452c1.gif bhello_html_m438452c1.gif с

площадь прямоугольника

б) S = аhello_html_m438452c1.gif а

площадь квадрата

г) V = аhello_html_m3fae4d59.gif а hello_html_m1c1a597f.gif а

объём куба

3. Объём каждого маленького кубика 1 куб. ед. Найдите объём фигур, изображённых на рисунках.

hello_html_m4efd1598.png





4Куб 39. Объём параллелепипеда равен 60 см3.

Проставьте недостающий размер.

? 4 см

5 см

5hello_html_24e6bbca.png. Каковы измерения параллелепипеда на рис. б), сложенного из 3 одинаковых брусков, изображённых на рис. а). Каков его объём?


2 уровень


6. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3 см, 5 см и 8 см.

а) 120 см3; б) 60 см3; в) 32 см3; г) другой ответ.

7. Длина прямоугольной комнаты в 2 раза больше ширины и на 2 м больше высоты. Найдите объем

комнаты, если ее длина равна 6 м.

а) 432 м3; б) 144 м3; в) 72 м3; г) другой ответ.

8. Найдите объем куба, если площадь его развертки равна 96 см2.

а) 16 см3; б) 64 см3; в) 80 см3; г) другой ответ.

9. Найдите ребро куба, если его объем равен  512  м3

а) 4 м; б) 8 м; в) 16 м; г) другой ответ.

10. Как изменится объем параллелепипеда, если его длину увеличить в 4 раза, ширину увеличить в 6 раз, а высоту уменьшить в 8 раз?

а) увеличится в 3 раза; б) уменьшится в 12 раз; в) не изменится; г) другой ответ.


3 уровень

hello_html_m115c4d1e.jpg11. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1; 0,5 и 16. Найдите ребро равновеликого ему куба.

hello_html_54b46307.png

12. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1,5. Найдите объем параллелепипеда.




2 вариант

1 уровень

1. Выразите: а) в кубических дециметрах: 1 м3; 1 литр.

б) в кубических миллиметрах: 1 см3; 1 м3.

2.Ответьте «да» или «нет».

а) Р = 4а

периметр прямоугольника

в) V = аhello_html_m438452c1.gif bhello_html_m438452c1.gif с

объём параллелепипеда

б) S = аhello_html_m6724b051.gif

площадь квадрата

г) V = a3hello_html_m1cf81dc0.gif

объём куба


3. Объём каждого маленького кубика 1 куб. ед. Найдите объём фигур, изображённых на рисунках.

Куб 32Куб 31а) б) в)

Куб 19Куб 20Куб 26Куб 25

Куб 16Куб 17Куб 18Куб 21Куб 22Куб 23Куб 24Куб 27Куб 28Куб 29Куб 30Куб 33



Куб 94. Объём параллелепипеда равен 40 см3.

Проставьте недостающий размер.

? 2 см

5 см

5Куб 41Куб 42. а) б) Каковы измерения параллелепипеда на рис. б),

Куб 40сложенного из 3 одинаковых брусков,

Куб 38изображённых на рис. а). Каков его объём?

1 см 8 см

2 см


2 уровень


6. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами 6 см, 3 см и 4 см.

а) 72 см3; б) 13 см3; в) 22 см3; г) другой ответ.

7. Длина прямоугольной комнаты в 3 раза больше ширины и на 2 м больше высоты. Найдите объем

комнаты, если ее длина равна 6 м.

а) 432 м3; б) 144 м3; в) 48 м3; г) другой ответ.

8. Найдите объем куба, если площадь его развертки равна 150 см2.

а) 16 см3; б) 125 см3; в) 80 см3; г) другой ответ.

9. Найдите ребро куба, если его объем равен  729  м3

а) 9 м; б) 8 м; в) 16 м; г) другой ответ.

10. Как изменится объем параллелепипеда, если его длину увеличить в 5 раза, ширину увеличить в 8 раз, а высоту уменьшить в 10 раз?

а) увеличится в 4 раза; б) уменьшится в 12 раз; в) не изменится; г) другой ответ.


3 уровень

hello_html_m115c4d1e.jpg11. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 5. Найдите объем параллелепипеда.

hello_html_54b46307.png

12. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 1. Объем параллелепипеда равен 5. Найдите высоту



ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №2

Объём призмы.

Цель: закрепить навык решения практических задач на вычисление объёмов призмы.


Теоретическая часть


Призмой называется многогранник, две грани которого(основания) – равные n-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней (боковые грани) – параллелограммы.

Призма называется прямой, если все её боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Призма называется правильной, если она прямая и её основания – правильные многоугольники.


Фhello_html_546aa99a.pngормулы для нахождения площадей

Прямоугольник 13Прямоугольник 12фигур

а

S = ahello_html_m438452c1.gif b a S = a2

b a

Равнобедренный треугольник 15Равнобедренный треугольник 14

a a S = hello_html_m6a7147f2.gif a S = hello_html_642daadc.gif ahello_html_54d88a4b.gif

a b

Параллелограмм 35Прямая соединительная линия 34a

Трапеция 37Прямая соединительная линия 36hello_html_m52d9bd12.gifa h S = ahello_html_m4ab40eaf.gif

h S =

b b

Равнобедренный треугольник 44Прямая соединительная линия 43


h S =hello_html_m1722f874.gif ahello_html_m4ab40eaf.gif

a

Выполните задания

1 вариант

1 уровень

1. Выберите неверное утверждение.

а) Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту;

б) Объём правильной треугольной призмы вычисляется по формуле V = a2h, где а – сторона основания , h – высота призмы;

в) Объём прямой призмы равен половине произведения площади основания на высоту.


2. Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 2 и 3, боковое ребро равно 6. Найдите объём призмы.


3. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2√3 см, а высота – 5 см. Найдите объём призмы.

а) 15√3 см3; б) 45 см3; в) 10√3 см3; г) 12√3 см3; д) 18√3 см3.


2 уровень

4hello_html_49df53c6.png. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 8. Объем призмы равен 80. Найдите ее боковое ребро.





5. В основании правильной четырёхугольной призмы лежит квадрат со стороной 6 см. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 600. Найдите:

  1. диагональ основания призмы;

  2. диагональ призмы;

  3. высоту призмы;

  4. площадь боковой поверхности призмы;

  5. площадь полной поверхности призмы;

  6. объём призмы.


3 уровень


6hello_html_1ff76f1c.png. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 27 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 3 раза больше, чем у первого?





2 вариант

1 уровень

1. Выберите верное утверждение.

а) Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту;

б) Объём правильной треугольной призмы вычисляется по формуле V = a2h, где а – сторона основания , h – высота призмы;

в) Объём прямой призмы равен половине произведения площади основания на высоту.


2. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 5, боковое ребро равно 4. Найдите объём призмы.


3. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 3√3 см, а высота – 4 см. Найдите объём призмы.

а) 15√3 см3; б) 45 см3; в) 27√3 см3; г) 12√3 см3; д) 18√3 см3.


2 уровень

4hello_html_49df53c6.png. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 5. Объем призмы равен 60. Найдите ее боковое ребро.





5. В основании правильной четырёхугольной призмы лежит квадрат со стороной 6 см. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 300. Найдите:

  1. диагональ основания призмы;

  2. диагональ призмы;

  3. высоту призмы;

  4. площадь боковой поверхности призмы;

  5. площадь полной поверхности призмы;

  6. объём призмы.


3 уровень


6hello_html_1ff76f1c.png. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого?





ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №3

Объём пирамиды.

Цель: закрепить навык решения практических задач на вычисление объёмов пирамиды.


Теоретическая часть


Пирамида - многогранник, состоящий из плоского многоугольника, точки, не лежащей в плоскости этого многоугольника и всех отрезков, соединяющих эту точку с точками многоугольника.

Данная точка называется вершиной пирамиды, а плоский многоугольник - основанием пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются рёбрами. Высота пирамиды - перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Апофема - высота боковой грани правильной пирамиды. Пирамида, у которой в основании лежит правильный  n-угольник, а основание высоты совпадает с центром основания называется правильной n-угольной пирамидой. Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая её высоту. Правильная треугольная пирамида называется тетраэдром. Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной плоскости основания, то она отсечет пирамиду, подобную данной. Оставшаяся часть называется усеченной пирамидой.

hello_html_3ea17a1f.pnghello_html_m4ec2d4dd.png











Выполните задания

1 вариант

1 уровень


  1. Выпишите формулу для нахождения объёма пирамиды.

а) V=hello_html_m19e8bb17.gifSоснh; б) V=Sоснh; в) V=hello_html_42567408.gifSоснh.

  1. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в двадцать три раза?

а) в 23 раза; б) в 46 раз; в) в 69 раз.



  1. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 1, а основание — прямоугольник со сторонами 4 и 6.

hello_html_37ae8577.jpgа) 4; б) 8; в) 16.



  1. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна hello_html_6f3a9b7f.png.

а) 1,25; б) 1; в) 0,25.



2 уровень

hello_html_m390fd290.jpg

  1. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 м, объем равен 200 м3. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

а) 10 м; б) 13 м; в) 8 м.



  1. Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна

3 см, а высота – 4 см.

а) 12 см3; б) 42 см3; в) 8 см3.



  1. Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна

6 м, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30˚.

а) 12hello_html_bf8cd8c.gif м3; б) 36 м3; в) 12hello_html_m980c3de.gif м3.

3 уровень

  1. Нhello_html_m6fbd68b8.pngайдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.









  1. Вычислите площадь диагонального сечения правильной четырехугольной пирамиды, если её объём равен 9 см3, а длина стороны основания равна 3 см.



2 вариант

1 уровень


  1. Выпишите формулу для нахождения объёма пирамиды.

а) V=hello_html_42567408.gifSоснh; б) V=Sоснh; в) V=hello_html_m19e8bb17.gifSоснh.

  1. Вhello_html_m99a1cc3.jpgо сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в тридцать

четыре раза?

а) в 34 раза; б) в 17 раз; в) в 68 раз.



  1. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание — прямоугольник со сторонами 3 и 4.

а) 48; б) 24; в) 12.

hello_html_37ae8577.jpg

  1. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 4, а объем равен hello_html_m3b6e9642.png.

а) 1,5; б) 3,5; в) 16.

2hello_html_m390fd290.jpg уровень



  1. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6 м, объем равен 200 м3. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

а) 86 м; б) hello_html_746aeebe.gif м; в) hello_html_6c9ce7c8.gif м.

  1. Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна

2 см, а высота – 3 см.

а) 8 см3; б) 4 см3; в) 3 см3.



  1. Найдите объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна

8 м, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60˚.

а) hello_html_m4ff12c5.gifм3; б) hello_html_7e83f440.gif м3; в) hello_html_29d58a1f.gif м3.

3 уровень

  1. Нhello_html_m3f791a6e.pngайдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 4.















  1. Вычислите площадь диагонального сечения правильной четырехугольной пирамиды, если её объём равен 16 см3, а длина стороны основания равна 4 см.


Автор
Дата добавления 23.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров507
Номер материала ДВ-549105
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх